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摘要 基于中值滤波和小波变换的图像去噪算法研究 摘要 在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，所有的图像均不同程度地被 可见或者不可见的噪声污染。噪声的存在严重影响了图像质量，也为图像进一 步处理带来了麻烦。为提高图像质量，有利于更深入地图像分析，在图像预处 理中就必须减小图像中的噪声，尽可能地保留图像的主要特征。本文主要针对 椒盐噪声和高斯噪声，研究基于中值滤波和小波变换的消除数字图像噪声的理 论方法，主要研究内容包括： 针对传统中值滤波算法和极值中值滤波算法的不足，首先提出一种带有噪 声检测的消除椒盐噪声的改进中值滤波算法。通过设定阈值，并考虑相邻像素 的相关性，先检测出噪声点，然后再进行中值滤波。该算法能够更好地保护图 像的细节。此外又提出一种基于g f ( 2 8 ) 域相似度函数的椒盐噪声滤波算法， 将1 0 进制的灰度值转换到g f ( 2 8 ) 域内，进行相似度函数的计算，然后根据窗 口内每个像素的相似度来确定噪声点，再进行中值滤波。仿真结果和性能指标 计算表明，此算法在椒盐噪声的检测和滤除上非常有效。 鉴于双树复小波变换不但继承了传统小波变换的优点，而且还具有近似平 移不变性、多方向性、有限冗余和高效计算等特点，设计一种基于双树复小波 域隐马尔可夫树模型的图像去噪算法。该算法是在分析反映小波系数尺度间相 关性的隐马尔可夫树( h m t ) 模型的基本思想和方法后，建立复小波域h m t 模型，给出基于该模型的图像去噪算法。仿真结果表明，基于双树复小波的 h m t 模型去噪算法与传统图像去噪算法相比，能够消除传统小波变换因缺乏 平移不变性而产生的伪g i b b s 现象，在峰值信噪比和保留图像细节上都取得较 好效果。 针对基本高斯比例混合模型去噪算法无法区分图像邻域内不同成分的差别 的问题，提出一种基于复小波系数反转的去除高斯噪声的图像滤波算法。建立 复小波系数的邻域和相邻尺度的模型时，对图像边缘和突变处的不连续特征使 用小波系数反转方法建模，将小波尺度间系数相位特性用于信号估计中。应用 b a y e s 选择结构来确定每个小波系数邻域内的模型，进而从含噪声的小波系数 邻域中估计出中心系数的值。仿真结果表明，所提出的图像去噪算法可以有效 哈尔演理t 大学t 学博十学位论文 提高图像结构特征区域的去噪效果，降低振铃现象，增加对比度，同时避免其 他区域图像质量的下降。 基于嵌入式处理器s 3 c 4 4 8 0 x 和嵌入式操作系统1 t c l i n u x ，设计了具有图 像去噪功能的图像采集和预处理装置。该装置通过摄像头完成视频图像的采集 和图像文件的存储，并采用本文提出的去噪算法滤除图像噪声，进而通过u s b 接口和网络接口实现图像文件的传输。 关键词图像去噪；小波变换；双树复小波；中值滤波；嵌入式系统 a b s t r a c t 售量蔓曼皇量曼詈曼寡皇暑詈暑詈量量皇鼍皇鼍詈昌罾量置| 量鲁昌鲁皇詈量量皇皇! ! 鼍詈墨詈鼍皇鼍皇田量置量置量| 量皇詈舅舅皇皇皇鼍皇葛皇量鼍ii s t u d yo ni m a g ed e n o i s i n g - 一一 a l g o r i t h mb a s e do nm e d i a n f i l t e ra n dw a v e l e tt r a n s f o r m a b s t r a c t a ni m a g ei so f t e nc o r r u p t e db ym u c hn o i s ev i s i b l eo ri n v i s i b l ew h i l eb e i n g c o l l e c t e d ，a c q u i r e d ，c o d e da n dt r a n s m i t t e d n o i s ei m p a i r st h eq u a l i t yo ft h er e c e i v e d i m a g es e v e r e l ya n dm a y c a u s eab i gp r o b l e mf o rf u r t h e ri m a g ep r o c e s s i n g i no r d e r t oi m p r o v et h eq u a l i t yo fa ni m a g e ，t h en o i s em u s tb er e m o v e dw h e nt h ei m a g ei s p r e p r o c e s s e d , a n dt h ei m p o r t a n ts i g n a l f e a t u r e ss h o u l d b er e t a i n e da sm u c ha s p o s s i b l e t h em e t h o d o l o g yo fi m a g ed e n o i s i n gi ss t u d i e di nt h i sd i s s e r t a t i o nb a s eo n m e d i a nf i l t e ra n dw a v e l e tt h e o r y ，i nt h es e t t i n go fa d d i t i v es a l ta n dp e p p e rn o i s eo r w h i t eg a u s s i a nn o i s e ，t h em a i nc o n t r i b u t i o n sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s t oo v e r c o m et h ew e a k n e s s e so ft h et r a d i t i o n a lm e d i a nf i l t e ra n de x t r e m e m e d i a nf i l t e r ，a ni m p r o v e dm e d i a nf i l t e rw i t hn o i s e - d e t e c t i n gi sp r o p o s e dt or e m o v e t h ep r o c e s ss a l ta n dp e p p e rn o i s e t h r o u g hs e t t i n gat h r e s h o l dv a l u ea n dt a k i n gi n t o a c c o u n tt h er e l a t i o n s h i po fa d j a c e n tp i x e l s ，t h em e t h o dd e t e c t st h en o i s es p o tf a s ta n d t h e np e r f o r m st h em e d i a nf i l t e r t h i sm e t h o dc a ns u p p r e s sn o i s ee f f i c i e n t l ya n d p r e s e r v ee d g ed e t a i l so fi m a g ea tt h es a m et i m e m o r e o v e r , an e wm e d i a nf i l t e r i s a l s oi n v e s t i g a t e dt or e m o v es a l ta n dp e p p e rn o i s eb a s e do ns i m i l a r i t yf u n c t i o ni n g f ( 2 8 ) f i e l d f i r s t ，t h ed e c i m a lg r a yv a l u eo fi m a g ei st r a n s f o r m e di n t og f ( 2 8 ) f i e l d ，a n dt h e nt h es i m i l a r i t yf u n c t i o ni sc a l c u l a t e d a c c o r d i n gt os i m i l a rd e g r e eo f p i x e lw i t h i naw i n d o w , n o i s es p o t sa r ed e t e r m i n e da n dr e m o v e d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o wt h a tt h em e t h o di se f f e c t i v ef o rd e t e c t i o na n dr e m o v a lo fs a l ta n dp e p p e rn o i s e a ni m a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h mb a s e do nh i d d e nm a r k o vt r e e ( h m t ) m o d e l s w i t hd u a l - t r e ec o m p l e xw a v e l e tt r a n s f o r m ( d t - c w t ) i sp r e s e n t e d d t - c w tn o t o n l yi n h e r i t st h ea d v a n t a g e so ft h et r a d i t i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m , b u ta l s op o s s e s s e s m a n ym e r i t ss u c ha sn e a r l ys h i f ti n v a r i a n t ，o r i e n t a t i o ns e l e c t i v i t y , l i m i t e dr e d u n d a n c y a n dc o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c y i nt h i sa l g o r i t h m ，t h eh i d d e nm a r k o vt r e em o d e l sw i t l l d t - c w ta r eb u i l ti nt e r m so ft h ed e p e n d e n c i e sb e t w e e nt h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t s s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a t ，c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a li m a g ed e n o i s i n gm e t h o d s ， - 哈尔滨理t 大学t 学博十学位论文 j i i 量目| 量量詈詈詈皇皇詈曼詈量皇曼皇皇曼鼍詈鲁量曼曼曼! 寡音量皇舅詈詈置暑置鲁詈詈量置詈鲁曹毫 t h ep r o p o s e di m a g ed e n o i s i n ga p p r o a c hb a s e do nh m tm o d e l sw i t hd t - c 、 ，tc a l l e f f e c t i v e l ye l i m i n a t et h ep s e u d o g i b b sp h e n o m e n o nt h a to c c u r si nt h et r a d i t i o n a l w a v e l e tt r a n s f o i t sr e s u l t i n gf r o mt h ea b s e n c eo fs h i ri n v a l i a n t ；s oi ta c h i e v e sg o o d r e s u l t si nb o t hm a x i m u ms i g n a l - t o n o i s er a t i o na n dr e t a i n i n gi m a g ed e t a i l a n o t h e rm e t h o df o rr e m o v i n ga d d i t i v eg a u s s i a nn o i s ef r o md i g i t a li m a g e si s d e s c r i b e db a s e do nc o m p l e xw a v e l e tc o e 伍c i e n ti n v e r s i o n i ti sd e s i g n e dw i t ha s t a t i s t i c a lm o d e l i n go ft h ee o e f f i c i e n t so fr e d u n d a n t o r i e n t e da n dc o m p l e xm u l t i s c a l e t r a n s f o r m t w ot y p e so fg a u s s i a ns c a l em i x t u r em o d e l so fn e i g h b o r h o o da n dt h e a d j a c e n ts c a l eo fc o m p l e xw a v e l e tc o e 伍c i e n t sa r ec o n s t r u c t e d f o rt h ee d g ea n d r i d g ed i s c o n t i n u i t i e so fa ni m a g e i ti sm o d e l e dw i t hw a v e l e tc o e f f i c i e n t sd e r o t a t e d b yt w i c et h ep h a s eo ft h ec o e f f i c i e n ta tt h es a m el o c a t i o na n dt h en e x tc o a r s es c a l e ； f o ro t h e ra r e a s ，t h es t a n d a r dw a v e l e tc o e f f i c i e n t sa leu s e d a na d a p t i v eb a y e s i a n m o d e ls e l e c t i o nf r a m e w o r ki sa d o p t e dt od e t e r m i n et h em o d e lo fe a c hn e i g h b o r h o o d , a n d 也e nt h ec e n t e rc o e f f i c i e n t sc a l lb ee s t i m a t e df r o mt h en e i g h b o r h o o do f w a v e l e t c o e f f i c i e n t sc o n t a m i n a t e db yn o i s e e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e d a l g o r i t h mc a ne f f e c t i v e l yi m p r o v et h ed e n o i s i n gp e r f o r m a n c ea ts t r u c t u r a li m a g e f e a t u r e s ，d e c r e a s es p l i ti m a g e ，i n c r e a s et h ec o n t r a s t ，a n da v o i dd e t e r i o r a t i n go fi m a g e q u a l i t yo fo t h e ra r e a s f i n a l l y ，ad e v i c ei sd e s i g n e df o ri m a g ed e n o i s i n g ，v i d e oi m a g es a m p l i n ga n d p r e p r o c e s s i n gw i t ht h ee m b e d d e dp r o c e s s o rs 3 c 4 4 8 0 xa n dt h ee m b e d d e d c l i n u x o p e r a t i o ns y s t e m t h ed e v i c ei sa b l et oc o m p l e t et a s k so f t h ec c dc a m e r ai m a g e c o l l e c t i o n 。s t o r a g ea n dd e n o i s i n g b e s i d e s ，a s s i s t e dw i t ht h em o d u l e sl i k cu s ba n d n e t w o r ki n t e r f a c e s ，i m a g et r a n s m i s s i o ni sa l s oi m p l e m e n t e db yt h ed e v i c e k e y w o r d si m a g ed e n o i s i n g ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，d u a l t r e ec o m p l e xw a v e l e t ，m e d i a n f i l t e r ，e m b e d d e ds y s t e m 哈尔滨理工大学博士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的博士学位论文基于中值滤波和小波变换的 图像去噪算法研究，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读博士学位 期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不 包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：张 日期： 口罗年7j 弓1 6n 哈尔滨理工大学博士学位论文使用授权书 基于中值滤波和小波变换的图像去噪算法研究系本人在哈尔滨理工大 学攻读博士学位期间在导师指导下完成的博士学位论文。本论文的研究成果归 哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完 全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有 关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大 学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分 内容。 本学位论文属于 保密n ，在 年解密后适用授权书。 不保密南。 ( 请在以上相应方框内打) 作老签名：辙 日期：9 予年7 旯堵日 导师签名：绑+ m i - 乏11 期：莎夕和7 月彳日导师签名二_ 乡名 日期：莎夕年夕7 月日 第1 审绪论 第1 章绪论 1 1 论文背景及研究意义 当今社会是一个信息化社会，d , n 家庭生活中使用的可视电话、数字电 视，大到生产、医疗、航天和军事等都离不开图像，所有这一切都是建立在信 息交换和信息传递的基础之上，图像与人类生活是息息相关的。 人们获取信息的途径主要是通过视觉、听觉、触觉、味觉和嗅觉等生理器 官，其中视觉信息占总信息量的6 0 ，即有超过一半的信息属于图像信息，图 像信息在生活中的地位是举足轻重的。 在图像的采集、获取、编码和传输过程中，所获得的图像均不同程度地被 可见或者不可见的噪声“污染”。噪声源来自各个方面，主要包括光子噪声、 电子噪声、斑点噪声和量化噪声。如果信噪比( s n r ) 低于一定水平，图像噪声 就变为可见的颗粒形状，导致图像质量明显下降。噪声还可能会掩盖重要的图 像细节，妨碍对图像的后续处理。 为了后续更高层次的图像处理，有必要对图像进行去噪。去除了噪声，我 们就能够较容易地从图像中获取所需要的信息，并且良好的滤波技术也可以使 用较少的图像硬件来获得更好质量的图像，因此为了有利于进一步的图像分析 和通信，在图像的预处理中就必须减小图像中的噪声【i , 2 1 。 傅立叶变换是信号处理的主要手段之一，但它只能获得信号的整个频谱， 而难以得到信号的局部细节特性，因此用傅立叶变换无法充分刻画时变、非平 稳随机信号的特征。在傅立叶变换中引入可变的尺度因子和平移因子，建立了 一种新的变换方式一一小波变换。小波变换在信号分析时具有可调的时频窗 口，既能反映信号的时域特征，又能反映信号的频域特征，很好地解决了时频 局部化矛盾，为信号处理提供了一种多分辨率下的动态分析手段，弥补了傅立 叶变换的不足。小波理论最成功的应用领域是信号处理，其它应用领域基本都 与信号处理有关。基于小波变换的信号分解和重构，等效于设计一个完全重构 滤波器组，如果滤波器组满足正则条件，则即可以计算离散小波变换，又可以 导出连续小波基函数。 常规去噪算法在消除噪声的同时，会导致真实信息的丢失。基于小波变换 的去噪算法能满足多种要求，且与其他去噪方法相比具有无可比拟的优势。现 哈尔滨理t 大学t 学博十学位论文 在小波分析己经渗透到自然科学、应用科学、社会科学等各个领域。在图像去 噪领域中，小波理论受到许多学者的重视，并在实际应用中获得了非常好的去 噪效果。基于统计模型的去噪算法由于充分利用了已知的先验信息，取得较好 的去噪效果，近来成为小波图像去噪领域研究的重点。本文将重点研究小波系 数的统计模型，并提出几种基于小波变换的图像去噪算法。 1 2 图像去噪算法国内外研究现状 1 2 1 传统图像去噪算法 为了更深入地对图像进行处理，必须改善图像质量，因此图像的去噪预处 理非常重要。人们根据图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布规律，发展了 多种图像去噪算法。图像去噪也称为图像滤波，传统的滤波方法分为空域滤 波、频域滤波和最优线性滤波。 “空间域”一词是指图像信号自身，空域滤波以对图像的像素直接处理为 基础。空域滤波分为两种，即线性空间平滑滤波器和非线性空间统计排序滤波 器，二者都是通过对邻域内像素的灰度值进行某种运算而达到滤波目的。滤波 时首先选用一定奇数尺寸的模板，使待处理的象素点位于模板的中心位置，随 着模板的移动，进行某种运算，完成对图像中全部像素的滤波。常用的线性空 间平滑滤波器有两类，第一类称为均值滤波器【3 ，4 】，滤波运算是对模板内的像素 做简单平均，第二类称为加权均值滤波器，滤波运算是对模板内的像素做加权 平均【5 一，这两类线性滤波器的共同缺点是经常造成图像细节丢失和物体边缘模 糊。非线性滤波技术一般利用原始信号与噪声信号特有的统计特性进行去噪， 现有的非线性滤波方法有以中值滤波为代表的滤波方法和以形态滤波为代表的 新型滤波方法。中值滤波( m e d i a nf l i t e r ) 是一种基于排序统计理论且能有效抑制 噪声的非线性信号处理技术，它把邻域中的像素按灰度等级进行排序，然后选 择该组的中间值作为输出像素值。中值滤波能减弱或者消除傅立叶空间的高频 分量，但会影响到低频分量，椒盐噪声属于高频分量，因此中值滤波器对椒盐 噪声有很好的的滤除效果 7 jo 】，其缺点是对所有象素点采用一致的处理方式， 在滤除噪声的同时可能改变真实象素点的值，从而破坏图像的细节和边缘，而 且该方法对图像中的高斯噪声滤波效果不佳。 “频域 处理技术是以图像的傅立叶变换为基础，频域滤波方法是通过傅 立叶变换把图像由空间域变换到频域进行处理的方法1 3 】。由频率分量和图像 空间特征的对应关系可知，低频对应图像灰度的慢变化分量，高频对应图像灰 第1 章绪论 度的快变化分量，如物体的边缘和噪声，因此可通过低通滤波器来抑制或滤除 图像中的高频噪声。常见的低通滤波器有巴特沃思滤波器和高斯滤波器1 1 4 , 1 5 】。 频域滤波方法的缺点是：在信号频带与噪声频带相互分离的情况下，滤波效果 非常显著，但在信号频带与噪声频带相互混叠的情况下，滤波效果变差。低通 滤波器在抑制高频噪声的同时，也会滤除图像中的物体边缘等高频分量，使图 像细节变得模糊，因此存在着去噪和保持图像边缘之间的矛盾【l6 】，设计低通滤 波器要根据设计准则来平衡这对矛盾。 在数字图像处理的发展过程中，曾经出现过多种多样的滤波方法，但是这 些滤波方法都不是尽善尽美的，没有一种滤波方法适合于所有类型的图像噪 声。最优滤波器的设计是在计算复杂性和最优性之间进行折衷，最优线性滤波 方法是指在某种准则下最佳的滤波器设计方法。1 9 4 2 年，n w i e n e r 提出了维 纳滤波器，获得了较好的去噪效果 1 7 - 2 0 1 。维纳滤波器是在最小均方误差 m m s e ( m i n i m u mm e a ns q u a r e de r r o r ) 准则下的最优线性滤波，信号的最优估计 值是在均方误差的数学期望取极小意义下的一种估值。维纳滤波器的优点是适 应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都 可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，进而采用由简单的 物理元件组成的网络构成维纳滤波器。维纳滤波器的缺点是要求得到半无限时 间区间内全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于对非平稳随机噪声 的滤波，对于向量应用也不方便。 1 2 2 小波变换理论 小波变换能够有效地从信号中提取信息，已经成为瞬变信号分析的有力工 具。小波变换是在短时傅立叶变换基础上发展起来的一种新的时频分析方法， 它通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度的分析，其主要特点是 具有时域和频域双重局部定位能力和多分辨率分析能力。 小波分析起源于2 0 世纪初。a h a a r 在1 9 1 0 年提出了h a a r 小波，这是第 一个规范的小波正交基，但在当时没有明确提出“小波 的概念。1 9 3 6 年， l i t i e w o o d 和p a l e y 提出了关于傅立叶级数的二进制频率分量分组理论，将频率 按2 7 进行更为详细的划分，构造出一组称为l i t t l e w o o d p a i e y 基函数，这是多 尺度分析的起源【2 1 1 。 小波变换的概念是由从事石油信号处理的法国工程师j m o r l e t 在1 9 8 1 年 首先提出的，并通过物理的直观和信号处理的实际经验建立了反演公式，但当 时未能得到数学家的认可【2 2 1 。1 9 8 2 年，s t r o m b e r g 、l e m a r i e 和b a t t l e 分别独立 哈尔滨理t 大学丁学博j j 学位论文 | i i 皇量皇皇日暑置鼍置量詈詈! 詈量! 詈! 量詈量曹鲁! ! 鼍墨昌鼍鼍詈昌量喜詈皇暑量置置詈詈詈詈皇| 鼍| 皇鲁皇皇皇一 构造了具有无限支撑的、正交的、逐段多项式构成的小波函数 2 3 川。1 9 8 6 年， a c n o s s m a n 、i d a u b e c h i e s 和y m e y e r 进一步研究了非正交小波基，给出连续 小波变换的容许条件，并证明非正交的一维小波函数的存在性定理1 2 5 。在此 基础上，y m e y e r 首先构造出具有一定衰减性质的连续光滑的小波函数【2 6 1 。 1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 深入研究了离散滤波器的迭代方法，构造了具有紧支 撑性质的标准正交小波基函数阳，为构造标准小波函数定制了基本框架。用这 种方法构造出的尺度函数和小波基函数具有优异的特性，这些特性包括任意选 定的正则性、有限支撑性和正交性。 1 9 8 9 年，s m a l l a t 利用计算机视觉领域中的多尺度分析思想，提出了多分 辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的概念【2 8 1 ，并给出构造正交小波基的一般准 则。基于多分辨率分析思想提出的快速小波变换算法( m a l l a t 算法) ，成为小 波理论发展中的标志性成剽2 9 删。 19 9 2 年，r r c o i f m a n 和m v w i c k e r h a u s e r 首次提出小波包( w a v e l e t p a c k e t ) 的概念【3 1 1 ，并严密推导出了小波包的数学表达式，将2 尺度方程推广生 成一族小波包函数，这族函数包括原小波基函数。同年，a c o h e n 、 j c f e a u v e a u 和i d a u b e r c h i e s 又提出了“双正交小波 的概刽3 2 1 ，标志着小波 分析理论进入成熟阶段。 1 9 9 4 年，s l l e e 和t n t g o o d m a n 首次提出了“多小波的概念【3 3 1 ，并 用h e r m i t 样条函数构造了第一个样条多小波函数。“多小波 采用向量小波 作为数学描述，解决了紧支撑的、正交的标量小波相位的非线性问题。 g e r o n i m o 和m a s s o p u 将分形理论引入了小波变换，构造出第一个非样条多小 波函数，即g h m 多小波【3 4 1 。 1 9 9 5 年，s w e l d e n s 提出了通过提升方法( 1 i f t i n gs c h e m e ) 构造第二代小波的 新思想【3 5 】。该思想客服了小波构造方面的不足，使小波理论摆脱了对傅立叶变 换理论的依赖性，但其理论还有待完善。 1 9 9 5 年，j m l i n a 提出复d a u b e c h i e s 小波的概念，并给出其构造方法和 性质【3 6 1 。1 9 9 8 年，n k i n g s b u r y 提出- j 刃2 树复小波变换( d t c w t ) 的概念，d t c w t 不但继承了传统小波变换的优点，而且还具有近似平移不变性、多方向 性、有限冗余和高效计算特等性，并解决了复小波的重构问题 3 7 , 3 8 。 2 0 0 5 年，k i n g s b u r y 发表了多尺度信号设计和信号处理中的双数复小波变 换理论【3 9 1 。该文章系统地阐述了多尺度小波变换的性质以及如何设计具有良好 性质的双数复小波滤波器，同时也指明了复小波信号在信号处理和图像处理的 应用范围。 第1 章绪论 近几年，小波理论的新观点、新方法不断出现，如r i d g e l e t t 、c u r v e l e t 、 b r u s h l e t 、d o n a l d 和a n d r e w 等1 4 0 - 4 2 ，这些新的变换方法为寻求高维函数的最优 表示提供了有效的分析工具。 在小波理论发展的同时，小波在实践中的应用也在不断进行。小波理论应 用范围主要包括：小波在信号处理中的应用，包括信号检测、识别和信号去噪 等，如语音信号、天文信号、雷达信号、机械故障信号和医学信号等等；小波 在通信中的应用，如自适应均衡、分形调制和扩频通信等；小波理论在其它数 学分支中的应用，如函数逼近、微积分方程、分形理论、非线性分析等方面； 小波在图像处理中的应用，包括图像的去噪、压缩、分割、数字水印技术、模 式识别等。当前，小波理论的文献已经遍布信息科学的所有分支学科，其对信 息科学领域的重要性不言而喻。 1 2 3 基于小波变换的图像去噪算法 1 2 3 1 小波系数模型和小波变换方式为了更清晰地论述基于小波变换的各种 去噪方法，这里对小波系数和小波变换方式做简要分类和说明。 小波系数模型主要分为尺度内模型、尺度间模型和混合模型。尺度内模型 也称为层内模型，主要考虑的是层内系数的统计分布，以及相邻系数之间的关 系，比较常见的尺度内模型有独立同分布广义高斯模型【4 3 】、独立同分布 l a p l a c e 模型和m a r k o v 场模型】等；尺度间模型也称为层间模型，主要考虑在 不同的尺度上的小波系数之间的关系，尺度间模型有零树模型【4 5 1 、隐m a r k o v 树模型【4 6 】等；混合模型是上述两种模型的综合，混合模型应用相对较少，主要 是此类模型较前两者更为复杂。 小波变换不但可以灵活地选择小波基，而且可以根据需要采用不同的变换 方式。这些变换方式按是否对高频通道继续进行分解来区分，则可以分为普通 小波变换和小波包变换；按母小波是否唯一来区分，可分为单小波变换和多小 波变换；如果按是否具备平移不变性来区分，又可分为平移不变小波变换和非 平移不变小波变换。 通常情况下，普通小波变换能够很好地表征一大类信号。由于普通小波变 换具有倍频特性，使得其在高频信息较多的时候无法很好地分解和表示信号的 高频部分。小波包变换可以对信号的高频部分进行任意细的分割，更详细地描 述高频信号的特征，因而对含高频信息较多的图像或信号进行处理，小波包变 换要比普通小波变换更加合适。然而当信噪比较低时，噪声会影响小波包算法 对小波基的搜索，尤其是在噪声的主宰区域，搜索到的小波基可能仅仅是对噪 哈尔滨理t 大学t 学博十学位论文 声的描述，这会大大削弱图像的去噪效果。 由于小波变换缺乏平移不变性，所以基于这种变换的小波图像去噪方法往 往会引起振铃效应和g i b b s 效应等失真现象。针对这种情况，学者们提出了平 移不变小波变换【4 7 船】，采用该变换的小波图像去噪可以很好地抑制振铃效应和 g i b b s 效应。使用平移不变小波变换的另外一个优点是小波系数的个数不会随 着层数衰减，从而能够保持某些去噪方法的渐进特性，例如由g e n e r a l i z e d c r o s sv a l i d a t i o n ( g c v ) 准则确定的阈值不会过度偏离理想阈值【4 9 1 。平移不变小 波变换是一种冗余的分解方式，其计算量要比小波变换大很多，为了减少了计 算量，很多学者做了有益的尝试，构造出了接近平移不变的小波变换方式。 普通小波变换和小波包变换均是基于同一个母小波，所以在表征多种特征 图像的时候效率较低，而多小波变换通过几个母小波之间的互补可以很好地解 决这一问题，从而避免一些图像特征出现模糊。有时为了达到更好的图像去噪 效果，需要将上述几种变换方式综合起来使用。例如，b u i 等人利用平移不变 多小波变换来进行去噪。 从算法的难易程度和去噪效果两方面考虑，没有一种变换方式适合于所有 类型的噪声，含噪信号的具体特征才是使用何种变换方式的决定性因素。 1 2 3 2 基于小波变换的去噪算法小波变换在信号去噪方面所表现出的优势及 潜力，使其一直是研究的热点，而且也取得了一定的成果，下面具体介绍基于 小波变换的去噪算法。 1 9 9 2 年，m a l l a t 最早提出了小波去噪法一一模极大值重构去噪法【5 1 1 。该方 法为了描述奇异信号引入了l i p s c h i t z 指数，根据信号和噪声在不同尺度空间上 的不同传播特性，在小波域内消除噪声对应的小波系数的模极大值点，而保留 信号对应的小波系数的模极大值点，利用剩余的模极大值点重构小波系数，再 进行小波逆变换，从而恢复图像。 w i t k i n 提出了利用小波变换不同尺度间相关性的去噪方法【5 2 】。该方法首先 把含噪信号分解为各个小波子带，然后从粗尺度空间到细尺度空间逐步地搜索 信号的主要边缘，最后从含噪信号中滤除噪声，重构原信号。 1 9 9 4 年，x u 进一步完善了w i t k i n 的思想，提出空域相关性去噪方法【5 3 1 。 该去噪法利用了信号与噪声的小波变换系数在相邻尺度间的相关性，虽然比较 容易实现，但是精度稍差。 1 9 9 5 年，j o h n s t o n e 和d o n o h o 提出小波域软阈值和硬阈值去噪算法髀娜】， 给出了通用阈值计算公式，并证明阈值去噪法在b e s o v 空间能够获得最佳估计 值。同年，k r i m 等人运用m i n i m u md e s c r i p t i o nl e n g t h 准则得到了相同的阈值 第1 章绪论 计算公式 5 6 1 。通用阈值对小波系数有“过扼杀现象，为此学者们对小波阈值 去噪算法进行了改进，提出了各种阈值函数和阈值去噪法，其中包括g a o 和 b r u c e 提出的半软阈值算法【5 7 1 ，以及g a o 等人提出的g a r r o t e 阈值去噪法【5 引。 采用正交小波变换图像去噪后通常会产生伪g i b b s 现象，即产生抖动和边 缘模糊，这是因为正交小波缺乏平移不变性。针对这个问题，d o n o h o 和 c o i f m a n 提出平移不变小波去噪方法。c o h e n 等人吸收了平移不变小波和小波 包的优点，提出平移不变小波包去噪法，并推导出其阈值函数【5 9 】。1 9 9 7 年， j o h n s t o n e 等人给出了小波阈值估计器，j a n s e n 等人给出了g c v 估计器，这两 类估计器能够消除不同小波系数间的相关噪声1 6 0 , 6 1 ，取得了很好的去噪效果。 h a l l 等人利用小波系数在同一尺度内具有局部相关性的性质，提出了分块阈值 化去噪法【6 2 】。2 0 0 2 年，s e n d u r 等人对尺度间的小波系数建立了双变量模型， 提出双变量阈值去噪法【6 3 1 。2 0 0 4 年，c h e n 等人根据图像小波系数在小波分解 后具有的相关性，提出基于邻域小波系数的图像阈值去噪算法 6 4 1 。 2 0 0 5 年，z h a n g 提出了基于神经网络的图像去噪算法【6 5 1 。根据s t a i n 提出 的s u r e 算法惭】，即无偏风险估计算法，从2 0 0 2 至2 0 0 6 年间涌现出了大量的 该算法的文献 6 7 - 7 1 】。 2 0 0 7 年，l u i s i e r 提出了一种不依赖于梯度运算的s u r e 算法，并做了大 量改进工作 7 2 - 7 5 】。支持向量回归法也被尝试应用到图像去噪领域，其间涌现出 了大量的文献 7 6 7 刁，取得了良好的去噪效果。 近年来有关小波去噪的文献非常多，尤其是关于高斯噪声的去除得到人们 的高度关注 7 9 - 9 1 】。 在基于小波域统计模型的图像去噪算法中，需要确定图像小波系数的联合 概率密度函数( c o ) ，但准确获得联合概率密度函数f ( c o ) 十分困难。为了简化 算法，常将小波系数模型假定为联合高斯分布或独立的非高斯分布。这两种模 型与小波变换的一些特性不符，都存在一些不足。例如小波系数的集聚性和持 续性说明了小波系数在尺度内和尺度间的局部残存具有相关性，“重尾 特性 说明小波系数不是高斯分布。建立精确的统计模型来描述小波系数的相关性， 是众多学者们正在从事的研究工作。h a l l 等研究了小波系数空间的聚集特性， 即在判断一个小波系数的奇异性时，考虑其相邻小波系数的有关信息 s 2 , s 3 】。小 波四叉树模型描述了小波系数尺度间的相关性，s h a p i r o 利用该模型提出了嵌 入式零树编码器 4 5 p 4 4 5 - 堋。 1 9 9 8 年，c r o u s e 建立了小波系数的隐马尔可夫树( h i d d e nm a r k o vt r e e ， h m t ) 模型，该模型用转移矩阵描述小波系数尺度间的相关性，并取得了良 哈尔演理丁大学t 学博l ：学位论文 好的图像去噪效果。f a n 对h m t 模型进行了改进，提出一种四状态模型【8 5 】， 即h m t - 2 模型。隐马尔可夫树模型考虑了层间小波系数的相关性，它是一种 联合分布模型。使用h m t 降噪的缺点是计算量较大。为简化h m t 模型的参 数训练过程，r o m b e r g 根据真实世界图像之间固有的自相关性，提出了简化的 隐马尔可夫树模型i s 6 。近年来，人们发现建立描述小波系数尺度内和尺度间残 存的相关性的统计概率模型，可以提高小波分析的准确性，这成为小波图像处 理领域的重点研究问题之一。 在小波图像处理中，正确的选取小波基的是非常重要的，小波基的选取直 接影响到图像去噪的效果。通常希望选取的小波基能够同时具有紧支撑性、对 称和正交性质，但大多数实小波不可能同时具备这些性质，只有h a a r 小波满 足条件，这导致可选取的小波基种类很少。在傅立叶变换理论中，信号的相位 特性中含有非常重要的特征，但离散小波变换却恰恰忽略了小波系数的相位信 息。离散小波变换( d w t ) 会导致图像出现伪g i b b s 现象，这是因为其采用下采 样操作而缺乏平移不变性。为抑制这种现象，可以采用非采样小波变换，但这 种方法的代价是增加了计算量和输出信息的冗余度，而且小波分解层数越多冗 余度就越大。由于离散实小波变换存在这些缺点，学者们开始关注复数小波。 2 0 0 5 年，k i n g s b u r y 对双树复小波变换( d u a lt r e ec o m p l e xw a v e l e t t r a n s f o 咖，d t - c w t ) 的分析，很好地弥补了离散实小波变换的不足【盯删，被广 泛应用于信号处理和图像处理领域。 2 0 0 7 年，c h a u x 等人基于双树复小波变换，建立了典型的静态图像小波系 数协方差的一维和二维的统计数学模型，同时也研究了标准小波变换和复小波 变换间的相互关系。该模型的建立对提高图像的去噪效果提供了理论基础【聊。 2 0 0 7 年，b a r