（应用数学专业论文）几类微分方程边值问题的正解.pdf

：。ji ” 原创性声明 | l | | i i | | l | | | i i i | 1 | l f l f i f l l | f l f | l l | i 咖 y 1719181 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：垒臣左超一日期：翠年卫月么目。 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：辑导师签名掣血日期：碑年且月趁日 摘要 本文研究了几类微分方程边值问题正解的存在性，另外还研究了 一类生物数学问题正周期解的存在性，由四章组成 在第一章，介绍了微分方程边值问题的研究背景、研究现状以及 种群生态学的发展状况 在第二章，研究了一类三阶二点边值问题 x ”( ，) + ( x ( ，) ) = o ，0 s f s l ， x ( 0 ) = x ( o ) = o ，口x 7 ( 1 ) + x ”( 1 ) = 0 ， 其中口，o 且a + p 0 在满足一定的条件下，以l e g g e t t w i l l i a m s 不动点理论为工具，给出了边值问题至少存在三个正解的充分条件 在第三章，研究了一类三阶边值问题 ，( f ) = g ( t ) f ( t ，x ( ，) ) ( o t 1 ) ， x ( 0 ) = x ( 元) = o ，a x ( 1 ) + x ”( 1 ) = 0 ， 其中厂：【o ，1 】 o ，+ o o ) 一 o ，悯) 是连续函数，g ： o ，l 】j o ，佃) 也是连续函数 且满足o f g ( s ) a s o ， o 在边值问题不要求有上 下解存在的情况下，应用单调迭代技术给出了边值问题存在正解的充 分条件，且从简单的函数出发构建出函数序列，使它趋近于边值问题 的正解 在第四章，研究了一类非线性四阶边值问题 ”4 o ) = q ( t ) f ( u t )( 0 f 1 ) ， ”o ) = 缈o ) ，一r f 0 “( o ) = u ( 0 ) = u ( 1 ) = ”( 1 ) = 0 其中坼( j ) = z ，( ，+ j ) ，一f s 0 , 0 0 u s i n gl e g g e r w i l l i a m s f i x e d p o i n t ：h e o r e m f f i c i e n tm d i t i c f o r。；t e n c eo ft r i9 1 e ；i t i v es o l u t i o n saretheorem s u t l i c i e n tc o n o n st o re x i s t e n c eo it n p mp o s m v es o l u h o n sd , i ， e s t a b l i s h e d i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yak i n do ft h r e eo r d e rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m x 。o ) = g ( t ) f ( t ，x ( ，) ) ( 0 t 1 ) ， x ( o ) = x ( 允) = 0 ，a x ( 1 ) + f i x ”( 1 ) = 0 ， w h e r e f ： 0 ，l 】【o ，佃) 一【0 ，佃) ，g - o ，l 卜 【0 ，+ 。o ) a r ec o n t i n u o u s ，口 0 ， 0 ， 丢力1 a n do f 如) 出 w ew i l ln o tr e q u i r et h e e x i s t e n c eo “o w e r a n du p p e rs o l u t i o n s b ya p p l y i n gm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e s ，w en o t o n l y o b t a i nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s ， b u ta l s oe s t a b l i s h 1 1 1 i t e r a t i v es c h e m e sf o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o n s i nc h a p t e rf o u r ，二w es t u d yak i n do fn o n l i n e a rf o u ro r d e rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m “4 ( ，) = 9 ( ，) ( 1 )( 0 t 1 ) “o ) = 缈( ，) ，一r t o “( o ) = 掰( 0 ) = u l ( 1 ) = u m ( 1 ) = 0 ， w h e r e 坼( s ) = “( f + s ) ，一f s 0 ，0 0 在满足一定的条件下，以l e g g e t t w i l l i a m s 不动点理论 为工具，给出了边值问题至少存在三个正解的充分条件 其次研究了一类三阶边值问题 x ”o ) = g ( t ) f ( t ，x o ) )( 0 ，1 ) ， x ( o ) = x ( 名) = 0 ，a x o ) + p x ”( 1 ) = 0 ， 其中厂：【o ，1 x o ，佃) 专 o ，佃) 是连续函数，g ：【o ，l 卜争【0 ，佃) 是连续函数且满足 o - fg ( s ) d s o ， 0 在边值问题不要求有上下解存在的 情况下，应用单调迭代技术给出了边值问题存在正解的充分条件，且从简单的函 数出发构建出函数序列，使它趋近于边值问题的j 下解 接下来研究了一类非线性四阶边值问题 甜4 ( r ) = g ( ，) 厂( 坼)( o ，1 ) ， 甜o ) = 缈o ) ，一f f 0 甜( o ) = , t ( o ) = 越7 ( 1 ) = 甜_ ( 1 ) = 0 ， 其中珥( s ) = 甜o + s ) ，一r s 0 ，0 r l ，伊( r ) c ( 【一f ，o 】，r + ) 且伊( o ) = 0 利用范 4 毒帅 一 、l 、， _ ，凳 一 一 r ：、 ，、 c x 硕十学位论文 笙二至丝鱼 - _ _ _ _ - - 一 数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理，在满足适当的条件下，证明了边值问题存 在正解： 最后研究了一类更加符合实际的具有相互干扰和b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功 能性反应的脉冲食饵捕食模型 棚吲和，) _ j 羔= = b , j ( t ) x j ( t - r j ( t ) ) 一丽丽器丽丽朋) j i = l 2 ，n , l ， 少= m ) | 碘卜百哆u ，+ 辟u 孵r j v ( t ) 一x j ( t - 纠巧十( 乃t ) ) v 小，一咋v y m j 一j 如 t ( 气) = 薯( f ；) 一( ) = 矗 ( 气) ，f = i ，2 ，n , k = 1 ，2 ， 缈( ) = y ( 瞄) 一y 陬) = 魄加。) ，k = l ，2 ， 利用迭合度理论中的延拓定理，获得了j 下周期解存在性的充分条件，并用实例进 行了说明 5 硕十学位论文第二二章一类三阶二点边值问题= 个正解的存在性 第二章一类三阶二点边值问题三个正解的存在性 2 1 引言 近年来，对非线性微分方程边值问题正解存在性的研究引起了众多学者的关 注，如文献 2 5 - 2 9 文献 2 9 研究了边值问题 “”( f ) - a ( t ) f ( t ，甜( ，) ) = o ，a o ，存在万 o ，当x d ，i x - x o i 万时，有i 叙一瓴i 占，则称算子么在点而 硕士学位论文 一 第二章一类三阶二点边值问题二个：解的存在性 是连续的若a 在d 中每一点都连续，则彳在d 中连续 定义2 2 2d ，e 是b a n a c h 空间，算子a ：d 专e 若a 将d 中的任何有界集 s 映成e 中的列紧集( 相对紧集) ，则称a ：d 寸e 是紧算子 定义2 2 3 若算子a ：d 寸e 是连续的，而且又是紧的，则称算子a 是映d 入e 的全连续算子 定义2 2 4 设e 是实的b a n a c h 空间，p 是e 中非空闭集，如果p 满足下面 两个条件 ( i ) 任给局y p ，口o ，0 ，有口x + p y p ； ( i i ) z p ，x 0 ，则一x 叠p ，0 表示e 中的零元素， 则称p 是e 中的一个锥 在e 中给定锥尸后，则可在e 中元素问引入半序x j ，0 e ) ，如果 x - y p 定义2 2 5 设e 是实的b a n a c h 空间，尸是e 中一个锥，设算子口是定义在 锥p 上的泛函如果满足下列条件 ( i ) a ：p 专【0 ，。o ) 是连续的； ( i i ) 对所有的z ，y p 及0 ，l 有 c t ( t x + ( 1 一，) y ) t o t ( x ) + ( 1 - o c t ( y ) ， 则我们说口是锥上的一个连续凹泛函 设p 是实b a n a c h 空间e 中的一个锥，口，b r + ，r ( x ) 为p 上一个非负连续 的凹泛函 记 i i x ( t ) l l = m 。g a s x 。i x ( t ) l ， p ，：= x p i x 0 ，) ， o a r ：m x ep 叫i _ ，) ， p ( r ，口，6 ) = x l x p ，口印( x ) ，i l x l l - b ) 7 硕十学位论文第二章一类二阶二点边值问题二个正解的存在性 易知尸( 叩，a ，b ) 是有界凸闭集 定理2 2 ( l e g s c t t w i l l i a m s 不动点定理文 3 1 ) 设a ：p 。_ 只全连续的， 且存在非负连续凹泛函7 7 ( x ) ，满足刁( x ) sh x u ( v x 只) ，又设存在o d a ，并且x p ( 巧，a ，6 ) ，恒有r l ( a x ) a ； ( i i ) 当xe 时，恒有8 彳x 0 b 时， 有ir t ( a x 5 口， 那么a 在只中至少有三个不动点 引理2 2 1 文献 2 6 设y ( t ) c o ，l 】，则边值问题 x ”o ) + y ( ，) = 0 ，0 t l ，( 2 2 1 ) x ( 0 ) = x ( o ) = 0 ，口x ( 1 ) + x ”( 1 ) = 0 ( 2 2 2 ) 的解当且仅当它满足下面的积分方程 x ( ，) = f g ( ，s 沙( s ) a s 其中 g ( t ，s ) = a t z ( 1 - s ) + 丝 o ，j 1 缨2 ( a + f 1 ) + 黑2 ( a + f 1 ) 二业，呱鲻。亿2 耐2 ( 1 一s ) 2( ，一s ) 2 n ，。， 。 2 ( a + )2 ( a + ) 2 证明由( 2 2 1 ) 可得 m ) = 一三f ( ，一s ) 2 y o + 么t 2 + b t + c ， ( 2 2 4 ) 其中参数满足 x ( o ) = c ， x 7 ( o ) = b ， a x o ) + f i x o ) = 口( 一f ( 1 一s ) y ( j ) d s + 2 a + b ) + f l ( 一f y ( s ) d s + 2 a ) 代入边值条件得 。 8 堡堂堡垒壅一一一皇兰望生二耋三坠三蓝型丝墅翌笙三竺堑堡竖丝 彳= 而1 ( 扣一帅) 凼+ 胁蝴 ? b = o c = o ， 因此边值问题( 2 2 1 ) + ( 2 2 2 ) 有解 x o ) = 一圭f ( ，一s ) 2 y ( s ) 出+ 彳户+ b ，+ c ：一扣叫2 如附而t 2 ( 细叫如膨m 蛐 ：旦a + p 鲁( 1 - s ) y ( s ) d s + g 夕- d + p 和出一学出 f 棚f ( a z t ( 2 口( 1 + - p s ，) ，+ 厕f i t 2 ) 少( s ) 豳，。f s l 2 1 c 筹+ 南一华肿溉娜1 = f g ( t ，s 沙( s ) a s 证毕 引理2 2 2 文献 2 6 格林函数( 2 2 3 ) 有如下性质 ( i ) g ( f ，s ) o 且g p ，s ) g ( 1 ，s ) 旦三云耋毛三j 善笋，o f ，s l ( i i ) g ) 驰) g ) ，o 轧s 1 其中驰) = 磊 证明 ( i ) 根据( 2 2 3 ) 式，当0 ，s 1 时，有 g ( f ，s ) 0 r o ( t ，j ) g ( 1 ，s ) g ( 1 邮厕a o - s ) + 东 仅+ 一a s 2 ( a + ) ( i i ) 当f 竺丝 l s j l ，2 o 9 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 联立式( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 得，当。，s 1 时，g ( ，s ) g ( f ) g ( 1 ，s ) ，其中g ( ，) = 为 2 3 主要结果及证明 定理2 3 1 设存在实数d ，a 且0 d a ，满足 ( i ) ( x ) 是 0 ，佃) 上的非负连续函数，并且l i m 丛型 25 一t 1 ，_ + ” x ( i i ) 当0 x d 时，有f ( x ) 2 d ； 1 0 硕十学位论文 第二章一类三阶二点边值问题三个正解的存在性 ( i i 哨勰半砒m ) 鲁，其中 m = m i n l3(a+3,6)，丽p232(a) ， l+ ) 8 ( 口+ ) 2 则边值问题( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 至少有三个属于c 3 【o ，1 】的非负解 证明 如果x ( ，) 是边值问题( 2 ，1 5 ) 与( 2 1 6 ) 的解，当且仅当 x ( ，) = f g ( ，s 矿( 工( s ) ) 丞， 其中g ( ，s ) 如( 2 2 5 ) 葶所定义，也等价于积分算子 a x = f g ( ，s 圹( x ( s ) ) 出 的不动点令p = x ( f ) ix ( f ) c 【0 ，l 】，x ( ，) 0 ) ，理( x ) = m i n x ( t ) ，显然，穆( x ) 是尸上 二g s i 一个非负的连续凹泛函，并且满足刁( x ) l l x l l ( v x p ) 取6 = 丝口，由条件( i ) 知，存在o c r o ，使得当x f 时，有 ) o x ，令五= m a x f ( x ) ， 于是有0 ( x ) o x + a ( o x 佃) ， 取 o 口 ，当x p ( r l ，a ，6 ) 时，由条 件伍i 1 知 硕十学位论文 第二章一类三阶二点边值问题二个正解的存在性 f 窖。器+ 南一半m 冲 垂丽f l 峒f ，、2 ( a 口( 1 + - s ) i + 南一半删呦出 1 w ( 删出 m l 静 c 2 3 2 ， 当x 万时，由条件( i i ) 知 l = m 。蚓a xf g ( t ，j 矿( x ( s ) ) 凼 = f g ( 1 ，j ) 厂( z ( j ) ) 西 ：爱等似，幽 吾f m ( 妫出 s 1 f ( 2 d ) d s = d ( 2 3 3 ) 当川魄叩洲彳x i i 6 = 半砒有 r t ( n x ) = 一m i n 。f g ( 删m ( s ) ) 凼 唆f g ( ，) g ( 1 ，s ) m ( s ) ) 凼 ：窖f g ( 如肌耶渺 1 2 凼 地 呦 八 ) 1 ， d 心 ” o a 。n二穹，-穹 n 鲥 曲吲 誊净 m 扣 刮 人1 硕十学位论文 一 篁兰童二耋三堕三皇望篁塑墼三全些堡堕查垒丝 _ - - - _ - 一一一 = 一p 卜pi i i a x i l 4 ( c t = 一 一工 十pl l 4 ( a + f 1 ) a ：a ( 2 3 4 ) 二一一= t z j j 一4 ( a + p 、p 、 t i i ( 2 3 2 ) 、( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 式可知，l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理的所有条件t 日p f , 明4 4 1 足，所以边值问题( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 在虿中至少有三个属于c 3 【o ，l 】的非负解 2 4 举例 考虑下列具体的边值i 司题 x ”( ，) + 厂( x ( ，) ) = 0 ，0 ，1 ， ( 2 4 1 ) x ( o ) = ，( 0 ) = 0 ，x ”( 1 ) = 0 ， ( 2 4 2 ) 其中 似，= 6 5 6 篇蚰8 根据本章讨论其中口= 0 ，= 1 ，且口+ 0 ( i ) 厂( x ) 是【o ，佃】上的非负连续函数，且 而巡：x + 7 6 5 6 ：1 2 ； j + 。xo 耕。x ( i i ) 取d = 1 ，当0 x d 时，有( x ) 2 d ； ( i i i ) 取口= 2 2 ，通过计算得m = 瓦3 ，当2 2 x 8 8 时 ( x ) 2 2 z 掣幸2 2 经验算满足定理2 3 1 的所有条件，因此边值问题( 2 4 1 ) + ( 2 4 2 ) ，至少有三 个属于c 3 【0 ，1 】的非负解 硕十学位论文 第三章一类三阶边值问题单凋迭代解的存在性 第三章一类三阶边值问题单调迭代解的存在性 3 1 引言 文献 3 2 】应用了锥拉伸与锥压缩定理以及l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理，证 明了下列边值问题 x ”( ，) + f f f ，缸，) ) = 0( 口，6 ) ， 3 1 1 ) x ( 口) = x ( 口) = x ( 6 ) = 0 ( 3 1 2 ) 至少存在一、二、三和无穷多个单调j 下解 文献 2 9 】利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理讨沦了下列边值问题 正解的存在性 “”( f ) = h ( t ) f ( t ，“( f ) ) ( 0 t 1 ) ，( 3 1 3 ) 甜( o ) = “( 刁) = 甜”( 1 ) = 0 ( 3 1 4 ) 其中i l 刁 0 在边值问题不要求有上下解存在 的情况下，应用单调迭代技术从简单函数开始构建出连续的函数序列，使它趋近 边值问题的正解 1 4 一 硕+ 学位论文 第二章一类二阶边值问题单调迭代解的存在性 3 2 引理 引理3 2 1 由文献 3 3 】可以知道边值问题( 3 1 5 ) + ( 3 1 6 ) 的解当且仅当它满 足下面的积分方程 ，) = f g ( f ，s 塘o ) 厂( s ，x ( s ) ) 凼 ( 3 2 1 ) 其中 g ( t ，j ) = 三(2s一，)+j兰(2名一，)oja，o，sj2 、 2 ( 2 + a ( 1 - 2 旯) ) 、 。一一。 s 2 ( 2 + 口( 1 2 五) ) + a t ( 2 2 - t ) 】 2 ( 2 + a ( 1 2 兄) ) t ( 2 2 - 0 2 + 口( 1 一s ) 2 】 2 ( 2 + a o 一2 力) ) t ( 2 2 一t ) 2 + a ( 1 - s ) 2 】( ，一s ) 2 2 ( 2 + a o 一2 a ) ) 2 0 s j 五0 j ， 名s 1 0 ，s 名s 1 0 s ， ( 3 2 2 ) 且当见三2 时，对所有s ，f 【o ，1 】，格林函数( 3 2 2 ) 有如下的性质 半g ( 如) 0 ，且 ( h 1 ) f ( t ，而) f ( t ，x 2 ) 对所有的0 t 1 ，0 s 五x 2 口； c 2 ) m 。；a ，；x 。f ( t , a ) m a 其 m = i _ ：丽1 ，i c s ，= = m 。；a s x ，( 7 e 五，j ，； ( h 3 ) f ( t ，0 ) 不恒等于零， 则边值问题( 3 1 5 ) + ( 3 1 6 ) 存在j 下解1 ，木和w 母满足 0 v 宰( r ) a ，0 w 木( ，) a ， 且 l i m v ( t ) = 1 ，幸( ，) ，l i r a ( ，) = w 幸( f ) ， 一- , 0 0打- - 0 0 其中v o ( t ) = o ，w o ( t ) = a 及( f ) = ( 彳一1 ) ( ，) ，( ，) = ( 彳一1 ) ( ，) ，其中刀= 1 ，2 ，3 证明 ( i ) 定义只= x p ，l | xl l a ) ，对任意的工只，由( 3 2 4 ) 式定义的算子有 i ia x ( t ) l l = m a xfg ( t ，s 垮( s ) 厂( j ，x ( s ”豳 fg ( 兄，s 培( s ) 厂( 蹦( s ) ) 凼 f g ( 兄，j 培( s ) 厂( 删) a s = w ( ，) 因为零函数不是算子 彳的解，从而得0 。，= l 0 取口= l ，经计算得 膨：3 ，经验算它满足定理3 3 1 的所有条件因此边值问题( 3 4 1 卜( 3 4 2 ) 存在 正解，事和w ，且 0 v 宰( f ) a ，0 w 木( f ) a ，t ( o ，1 ) 并且存在两个单调迭代序列 v n 垆j n = 。! 和 ) = ，使得 l i m v ( t ) = ，幸( f ) ，l i m w ( t ) = w 幸( f ) 疗 厅 其中= a v - 1 ，= a w 1 v o ( t ) = 0 ，w o ( t ) = a 硕十论文第四章竹线性四阶边值问题止解的存在性 第四章一类非线性四阶边值问题正解的存在性 4 1 引言 近年来，边值问题在应用数学和物理学中得到了广泛的应用，对四阶边值问 题解的考虑也得到了不少的结论( 文献 4 0 一4 5 ) ，文献 4 6 讨论了四阶常微分方 程边值问题 甜4 ( ，) = f ( t ，“( ，) ，甜( ，) ) ，0 t l ， ( 4 1 1 ) u ( o ) = 甜( 1 ) = ”( 0 ) = “”( 1 ) = 0 ( 4 1 2 ) 其中f ( t ，1 1 ，力：【o ，l 】月x 尺寸月为连续函数在满足f ( t ，甜，v ) 口甜- p v + h ( t ) 的 单边增长条件下，用上下解方法获得了f 解的存在性 在文献 4 6 的启发下，本文将研究下列一类四阶两点边值问题 1 1 ( 4 ) ( f ) = q ( t ) f ( u t )( 0 f 1 ) ， ( 4 1 3 ) “o ) = 妒( ，) ，一f ，0( 4 1 5 ) u ( o ) = u t ( o ) = 1 1 1 ( 1 ) = 甜”( 1 ) = 0 ，( 4 1 4 ) 其中( s ) = 甜o + s ) ，一f s 0 ，0 f 。的常数，( f ，s ) 【民，1 】【。l 】 证明( i ) 由引理4 2 1 显然有g ( t ，j ) 0 当0 ，叠s 1 时 g ( ，j ) = 6 s 一3 s 2 - 2 0 f 2 1 ( 6 s 一3 s 2 2 s ) t 2 1 2 上，2 s 2 1 2 且 g ( ，沪击( 6 s 一3 s 2 _ 2 咖2 击( 6 s 一3 s 2 ) t l ( 2 s - s ) f 2 l ( 2 t - t 2 ) s 2 当0 s f 1 时 g 也沪瓦1 ( 6 f - 3 卜2 咖2 扣_ f 2 百1 办2 且 g g ：堕：l ( 6 t - 3 t - 2 s ) s 2 l ( 2 t - t 2 ) s 2 丢( 2 t - - t 2 ) s 2 2 i s 孬2t i 2 s 力卜 一2 一兰j 3 所以当( ，s ) 【o ，1 】【。，l 】时，有。上1 2 t 2 s 2 o ，( f ，s ) 【岛，l 】 o ，1 2 3 2 1 t 2 s 2 1 l ”| i ，v u p n o c 乏，且i l 彳材恻i 甜i l ，v u p n o c 之( 即范数锥压缩) 则a 在p 厂、( q q ) 中比存在不动点 4 3 主要结果及证明 设e = “c - r ，1 】：u ( t ) = o ，一r ，0 ) ，其范数定义为i i ”i i - s u pi “( ，) i ，则e 是一个b a n a c h 空间设b = c - r ，0 】，皿= 矽b ：( s ) o ，s 【一f ，0 】) ，显然皿是b 中的一个锥本文总假设一下条件成立 ( h i ) f 是定义在皿上的非负连续泛函，厂把盈中的有界映为r + 中的有界 集 ( h 2 ) q ：【o ，1 】j 【0 ，佃) 为连续函且在【o ，1 】的任何非空子区间上不恒为零 为了方便起见记： 尸= ：“l 。i l i m ，。度f i i ”( u i | ) ，f 。= i 坤l i + m 。i 。n 。f 。f iiz ( 1 u | 1 ) ，； ( a 1 ) f o = 0 ，f 。= ( a 2 ) f o = 0 0 ，f 。= 0 定理4 3 1 如果( h 1 ) 、( h 2 ) 成立且( a 1 ) f o = 0 ，f 。= ，则边值问题 ( 4 1 3 ) + ( 4 1 4 ) + ( 4 1 5 ) 至少存在一个正解 证明 容易验证边值问题( 4 1 3 ) + ( 4 1 4 ) + ( 4 1 5 ) 的解当且仅当它满足下面的 积分算子方程 ：j f g m 啪( 彤( ， o f o 使得当怕i i 0 满足 lf 丢嘲。灿 1 ( 4 3 4 ) 令q = 弛e ：l l 甜1 1 o 满足 2f 壶嘲( 蛐 1 ( 4 3 7 ) 令q = “e ：1 1 “i i 1 i ( 4 3 1 0 ) 令g = “e ：u “l l 0 ，便得当月4 马lui i 时，f ( t ，“ 4 l l 兵甲4 0 凋 足 4f 孑1j 2 9 。炒 1 ( 4 3 1 3 ) 取吼= m a x 2 h 3 ，- 6 ) ，q = 甜e ：l l ui i 凰) ，则对任意的u 豫厂、k 彳甜= fg ( ，j o ) 厂( 虬) 凼 f 丢( 2 t - t 2 ) s 2 q ( 彤( 虬) 凼 f 丢嘲( 批忪i i ) a s n 4f l s 2 q ( s ) l l 材i l a s ( 4 3 1 4 ) 里翌型鎏生一 笙璺量羔垡堡堕堕丝篁塑璧垩坚箜查垒堡 一 ：= ：=! ：二2 ：卜1 。川k i h l 卜1 c 上l 舯l i j 。i 丁1 工l 土 i i a ”i i = m ，1 0 l a x jj ：g ( t ，j ( 5 ) ( 致) 出 m f i l a x j 4f 三嘲o ) i i 刚硌 司fz ，f i 甜e 弧nk ( 4 3 1 5 ) 由于( 4 3 1 2 ) 、( 4 3 15 ) ，所以满足了定理4 2 1 的所有条件，所以算子彳在 x 厂、( 西一g ) 中有不动点令 材( ，) ：r 0 fs ，0 显然甜( ，) 是边值问题( 4 1 3 ) 、( 4 1 4 ) 、( 4 1 5 ) 的一个正解即边值问题至少存在一 个诈鲤 硕+ 学位论文 第五章一类具有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应的脉冲食饵一 捕食模型的止周期解 第五章一类具有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应的 5 1 引言 脉冲食饵一捕食模型的正周期解 ? p 项功叩 沙”：， ( 5 1 1 ) 【y = y ( - d + k ( a ( x ) y 刖一一g ( y ) ) 。 卜r x o - 丢) - 肌而x y 磊( 5 坨) p 2 丽- p + e m x 弘 硕十学位论文 第五章类具有b e d d i n 舀o n - d e a n g e l i s 功能性反应的脉冲食饵一 捕食模础的正周期解 讯，) 吲，) 一姜啪w 卜俐一丽丽蒜y 叫 t = l ，2 ，”，t t k ， 八咖巾) r ( t ) x , ( t - 8 ( t ) ) y 叫( ，) 卜， 3 缸( 0 ) 。薯( ) 一( ) = k 薯( ) f = 1 ，2 ，一，j i = l ，2 ， a y ( t 女) = 少( ) 一y ( ) = h k y ( t 女) ，七= 1 ，2 ， 其中x ，( ，) ，吠，) 代表r 时刻被捕食者和捕食者的数量，k j 瓴_ ( ，霹l ，2 ，疗) 和 魄少( ) 代表时刻的脉冲效应 很明显，在模型( 5 1 3 ) 的研究中没有考虑捕食者y ( f ) 与被捕食者一( ，) 之间的 k h - i f - t 壬) - i g ( m , = 1 ) ，因此我们研究了模型( 5 1 3 ) 在0 o ， f = m a x r j ( t ) ，万) ，t o ，彩】，j = l ，2 ，n ) ( 风) 7 = 丢r 厂( f ) 衍，l = ，e l m 。i 驯nf ( 吐厂m = ，l m 。a 驯xf ( 吐其中厂( ，) 是一个连续的 正国一周期函数 ( ) 一l o ( i = l ，2 ，以) ，- 1 吃 0 ，使得对_ 切甜= l ，( ，) m ， 都有i u ( t ) 库k ，v t j ； 2 9 硕十学位论文 第五章一类具有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能性反麻的脉冲食饵一 捕食模型的正剧期解 ( i i ) 集合m 中的函数等度连续，即对任给占 0 ，存在万= 万( f ) 0 ，使得当 ，i j ，2e ，l ，1 一，2l 占时，对任给材= 材( ，) m ，都有iu ( t 1 ) - u ( t 2 ) i ，善n ，和p 岛+ ( 毒砌p 叩， 则模型( 5 1 3 ) 至少有一个正的周期解 证明设 u j ( t ) = l l l 【薯( ，) 】，v ( t ) = l n 眇( f ) 】，江1 ，2 ，见 ( 5 3 1 ) 则模型( 5 1