（应用数学专业论文）具有重试、服务台可修的mg1排队系统.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 文研究了具有重试、服务台可修的m g 1 排队系统，针对重试 时间服从不同的分布，讨论了几种不同的模型。首先考虑的是重试 时间服从负指数分布，研究了一类特殊的排队模型：具有重试、可 选择到达、反馈、服务台可修的m g 1 排队系统。其次考虑了重试 时间服从一般分布的情况，发现把一般重试时间与服务台可修相结 合的排队模型尚未得到关注。针对上述情况本文首次研究了具有一 般重试、服务台可修的m g 1 排队模型。最后研究了具有一般重试、 反馈、服务台可修的m g 1 排队模型。通过补充变量法得到了一些 排队指标以及一些可靠性指标。 关键词：服务台可修重试排队反馈可靠性补充变量法 江苏大学硕士学位论文 a b a s r a c t t h i sp a p e rr e s e a r c h e st h em g 1r e t r i a l q u e u e i n gs y s t e mw i t h r e p a i r a b l es e r v i c es t a t i o n ，w es t u d ys e v e r a lk i n do fd i f f e r e n tm o d e l sw h e n t h er e t r i a lt i m eo b e yd i f f e r e n td i s t r i b u t i o n f i r s t l y , w ec o n s i d e rt h er e t r i a l t i m eo b e ye x p o n e n td i s t r i b u t i o n ，r e s e a r c has p e c i a lq u e u e i n gm o d e l ：t h e m g 1r e c u r r e n tr e t r i a l q u e u e sw i t h s e r v i c e o p t i o n o na r r i v a la n d r e p a i r a b l es e r v i c es t a t i o n ；s e c o n d l y , w ec o n s i d e rt h er e t r i a l t i m eo b e y g e n e r a ld i s t r i b u t i o na n df i n dt h eq u e u e i n gm o d e lc o m b i n i n gt h eg e n e r a l r e t r i a lt i m ew i t ht h er e p a i r a b l es e r v i c es t a t i o nh a sn o tb e e ns t u d i e d ，u n d e r t h i sc i r c u m s t a n c e w ef i r s t s t u d yt h em g 1g e n e r a lr e t r i a lq u e u e 、i m r e p a i r a b l es e r v i c es t a t i o n ；a tl a s t ，w es t u d yt h em g 1g e n e r a lr e t r i a l q u e u e w i t hr e c u r r e n ta n d r e p a i r a b l e s e r v i c e s t a t i o n b y u s i n gt h e s u p p l e m e n t a r yv a r i a b l em e t h o d ，w eo b t a i ns o m eq u e u e i n gq u a n t i t i e so f t h es y s t e ma n dt h er e l i a b i l i t yq u a n t i f i e so f t h es e r v i c es t a t i o n k e yw o r d s ：r e p a i r a b l e r e c u r r e n t ； m e t h o d i i s e r v i c e s t a t i o n ；r e t r i a lq u e u e s ； r e l i a b i l i t y ；s u p p l e m e n t a r y v a r i a b l e 学位论文版权使用授权书 y9 3 8 0 s i 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子舨，允许 论文被查阅和借阕。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全都内容或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密蜃适用本授权书。 不保密曰。 学位论文作者签名：童彳：声印 l 筑年月f 嚣 指导教师签名： 6 ( ) 年胃l 笨蟊 独创性声明 本人郑重声明：所量交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行臻究工作搿敬缛酶成果。除文中已注鹱弓| 爰的瘛容敬井，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做警重要贡献载个人帮集体，均避在文中蔽疆确方式标羁。本人竞全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 国 l冀饵 _ ， ， 、雪加 轹 年 签 舂 者 神 艚 一 定怼 ： 使 期 等 b 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 排队论发展简介 随着科学技术的不断发展，运筹学在现实生活中发挥了重要作用，经典随机 服务系统理论，也称为排队论，它是运筹学的重要组成部分。排队论源于e r l a n g 关于电话服务的研究，是专门研究由于随机因素的影响而产生拥挤现象的科学， 尤其是第二次世界大战以后得到迅猛的发展。它通过研究各种服务系统在排队等 待中的概率特性，来解决系统的最优设计和最优控制。排队论最早可追溯到上个 世纪，在上世纪初，丹麦数学家、工程师爱尔朗将概率论方法用于电话通话问题， 从而开创了排队论这门学科的先河。之后的几十年时间里排队论的理论得到迅速 发展，并逐步趋于成熟。其文献数以千计，特别在计算机技术迅猛发展的同时， 排队论的发展更是日新月异，应用领域也不断扩大。它适用于一切服务系统，特 别在通信系统、交通系统、计算机系统、存储系统和生产管理系统，大规模生产 线的设计与优化等方面应用广泛。 2 0 世纪3 0 年代中期，当费勒( w f e l l e r ) 引进生灭过程时排队论才被数学 界承认为一门重要的学科。2 0 世纪5 0 年代初肯德尔( d g k e n d a l l ) 对排队论 作了系统的研究，他用嵌入马尔可夫链( m c m a r k o vc h a i n ) 方法研究排队论， 使排队论得到进一步发展。他首先引进经典排队中较为方便的记号，如m g i 表 示泊松到达、一般服务、一个服务台、无限等待空间的排队系统。2 0 世纪6 0 年 代起，排队论研究的课题日益复杂，很多问题很难求得其精确解，就是求得的解 也非常复杂，不便于应用，因而开始了近似方法的研究。排队论的产生与发展来 自于实际的需要。实际的需要也必将决定它今后的发展方向。 排队系统由顾客和服务台构成，其中顾客是被服务的对象，服务台是进行服 务的设备。排队系统有三个组成部分：输入过程、排队规则及服务机构。输入过 程是描述顾客的来源及顾客是按怎样的规律抵达排队系统的；排队规则有先到先 服务、后到先服务、随机服务和有优先权的服务；服务机构主要是指服务台的数 目，进行服务时服务的方式是并行还是纵列，接受服务的顾客是成批的还是单个 的，服务时间服从什么分布，顾客们接受服务的时间是否独立。反映排队系统的 江苏大学硕士学位论文 主要特征有瞬态与稳态系统的队长、顾客在系统中的等待时间( 逗留时间) 、忙 期等。 自排队论这门学科形成以来，新的研究方向和研究方法层出不穷。大量的科 研工作者在此领域取得了丰硕的成果。排队论专家田乃硕等把矩阵解析法引入 g i m 1 型休假排队系统，并研究了部分服务台同步的休假排队模型，极大丰富 了排队模型的理论；史定华将频度转移法用于可修服务系统并且对可靠性作了大 量工作；g e l e n b e 将负顾客引入排队系统。当前，排队论的研究主要集中在排队 网络、矩阵解析法、数值计算、极限定理以及特殊模型等方面。其中特殊模型主 要是研究具有实际应用背景的满足特殊需要的有一定假设前提的排队模型，而多 个服务阶段排队、重试排队以及由这两方面衍生的一些具有多个服务阶段的重试 排队模型和具有反馈的重试排队模型是特殊模型研究的几个重要方面。关于排队 论的研究方法，主要有：e r l a n g 的阶段化，k e n d a l l 的嵌入马氏链，k o s t e n 和c o x 的补充变量，n e u t s 的矩阵解析方法，史定华的向量马氏过程和频度转移法。由 于排队论研究的课题日趋复杂，很多问题难求精确解，因此近似方法的研究正逐 步深入。 1 2 重试排队模型的研究现状 近几十年来排队论得到了迅速的发展，它不仅建立了较完备的理论体系而且 已被广泛地应用到通信系统、交通系统、生产管理和计算机等领域。 随着现实问题的复杂多变，特别是近年来通信技术和电子计算机技术的发展 使得描述排队现象的排队模型也越来越复杂，引入的规则也越来越多。在各种各 样的排队模型中，重试排队模型由于具有较强的适用性而得到了广泛的研究。例 如：在电话交换技术，通讯网络，计算机网络等模型中的运用。重试排队系统的 特征就是当顾客到达时发现服务台忙，则必须离开服务区域，经过一段时间后再 次要求服务，相连两次要求服务的时间间隔内顾客处于重试区域中的情况。较早 的文献中利用的是补充变量的方法，获得了在稳态的情况下重试组中队长的分布 函数，研究了一些有用的排队指标。 就重试排队而言，已经有不少的作者作了研究 1 - 3 1 ，但是大多数重试排队的 文献，其重试时间间隔服从指数分布，k a p y r i n 4 1 在1 9 9 7 年首先提出了具有一般 2 江苏大学硕士学位论文 重试时间的重试排队，他假设在轨道( o r b i t ) 中产生一个与轨道中的顾客数和服 务台相独立的重试流。尽管由文献 2 中可以得出该文献所用的方法不正确，但 这一想法仍具有很强的现实意义，c h o ibd 在文献 5 6 中分别讨论了其在通信 系统a l c h a 和c s l a c d 协议中的应用，后来y a n gt i t l 采用一种近似的方法得融 了k a p y r i n 所考虑模型的稳态指标。 近来又有不少作者对具有一般重试时间的m g 1 排队模型进行了研究 8 - 1 2 1 2 ”，k u m a rbk t 8 1 考虑了具有b e r n o u l l i 休假的i v i g 1 重试排队模型，z h o u w e n h u i 吲在此基础上考虑了具有启动时间和b e r n o u l l i 休假的n u g 1 重试排队 模型。k u m a rbk 还在文献 1 0 一1 1 分别考虑了可选服务、抢占的m g 1 重试排 队和具有反馈和启动失败的m g 1 重试排队模型。最近m o r e n op 1 2 1 考虑了具有 一定数量再要求服务顾客的m g 1 排队模型。在实际生活中人们发现顾客被服务 完毕后有可能再次要求服务的情况即反馈的情况，于是把反馈与重试相结合的排 队模型产生了。而具有反馈的重试排队模型也有一些研究 1 3 - 1 6 ，并且在实际生 活中具有广泛的应用，如多通路通信系统中当信号传输发生错误须重新传输时， 可看作具有反馈的排队系统【” 1 3 可修排队模型的研究发展 我们一般研究的排队系统都是假定服务台是不会发生故障的，但在实际生活 中却经常碰到服务台发生故障而不能为顾客服务的情形。此时需要修理工人对发 生故障的服务台进行修理( 或更换) ，修理完成后再继续为顾客服务，我们把这 类服务台可能发生故障且可修复的排队系统统称为可修排队系统。显然可修排队 系统是从服务台的性能角度提出来的，与休假排队系统有很大的差别，而且人们 对这类可修排队系统又提出了新的研究课题，即不仅要研究系统的排队问题，同 时还要研究因故障而产生的可靠性问题，例如系统的可用度和故障频度等。因此， 对可修排队系统，无论是从排队论的角度，还是从可靠性理论的角度都是非常值 得研究的。早在1 9 6 2 年a v i i t z h a k ，b 和n a o r , p ” ，1 9 6 3 年t h i r u v e n g d a n ，k t “1 就 研究了服务台易坏的一些排队问题，利用补充变量的方法讨论一些有用的排队指 标。在随后的二十年里关于服务台可能发生故障的文章也有很多 文献1 9 - - 2 1 ， 但是他们研究的问题仅限于系统的一些排队性指标，直到1 9 8 2 年，我国的曹晋 江苏大学硕士学位论文 华和程侃两位老师f 文献2 6 真正的从可靠性的角度全面地分析了一些有用的可 靠性指标，例如：系统首次完全恢复时间的分布，服务台首次失效时间分布，时 刻t 服务台失效的概率，( 0 ，t ) 中服务台平均失效次数等等。以后关于服务台可 修的排队模型都分析了可靠性指标。关于服务台可修的排队系统的文章中，人们 不但讨论其排队指标而且也从可靠性角度对其分析，许多复杂而且实用的排队模 型应运而生。 1 4 本文的研究内容和组织结构 前面分别介绍了重试和服务台可修的排队系统的研究现状。有关将重试和服 务台可修相结合的排队系统也有一些，例如在1 9 9 3 年a a i s s a n im 1 较早研究了 具有重试和服务台可修的排队系统，随后在1 9 9 4 年t y a n g ，h + l i 又研究了服 务台刚开始启动时易坏的m g 1 重试排队系统，研究了一些有用的排队指标。 但是当时关于重试和可修相结合的文章基本上都没有考虑系统的可靠性指标，直 到2 0 0 1 年j c a o ，k c h e n g 2 5 1 真正全面的分析了系统的可靠性指标。由于重试与 可修相结合后系统本身的复杂性，考虑的重试时间都服从负指数分布。然而有关 将一般重试时间与可修相结合的排队系统尚未得到讨论。本文立足于此，首次探 讨了具有一般重试，服务台可修的排队系统，求得其一些常用的可靠性指标。 本文分五章，第一章为绪论，简要地介绍重试排队和服务台可修的排队模型 的研究现状。第二章为研究排队模型的主要方法，列出了几种常见的求解排队模 型的方法。第三章为具有重试、可选择到达、反馈、服务台可修的m o 1 排队 系统，第四章为具有一般重试、服务台可修的m o 1 排队系统，第五章为具有 一般重试、反馈、服务台可修的删g ，1 排队系统。通过补充变量法得到了 一些排队指标以及一些可靠性指标。 江苏大学硕士学位论文 第二章研究排队模型的主要方法 排队论是运筹学的重要分支，也是应用概率论的重要组成部分。它的基础是 概率论和随机过程。排队论已经发展了近一个世纪形成了一系列较成熟的研究方 法，取得了丰富的成果。下面简单介绍几种常用的研究排队模型的方法。 2 1 嵌入马尔可夫链法 当一个排队系统的队长过程 n ，o ) 为非马氏过程时，为了能用成熟的马 氏过程知识来分析问题，可以在此过程中嵌入一个离散时间的的马氏链，然后建 立该离散马氏链的极限结果与该过程的极限结果的关系从而达到分析排队问题 的目的。 定义设随机过程 x ( r l f t ) 的状态空间s 为r 中的可列集，如果对t 中 任意n 个r 。 r ： o 的状 态，s ，k = 1 2 ，胛一1 ，与状态s 均有 p ( x ( r 。) = l x o 。) = f 。，“一：) = 一：，x ( t 。) = f 。) = p ( x 以) = l z o 。) = f 。) ， 则称 x o l f t ) 为马尔可夫链，简称马氏链。如果t 还是可列离散集，则称 x f t ) 为离散参数马尔可夫链，如果t 是连续参数集，则称 f t 为 连续参数马尔可夫链。 在泊松到达与服务时间为负指数分布的排队系统中，在任何时刻系统都具有 马尔可夫性质，因而可用生灭过程的方法化成可求解的平衡方程组，得到系统的 平稳解。然而对于服务时间或到达间隔时间为一般分布的排队系统，并不是在任 何时刻系统都具有马尔可夫性质，只是在某些特殊的随机时刻系统才具有马尔可 夫性质。这种随机时刻叫再生点，即从这个时刻起，系统好像又重新开始一样。 利用再生点，服务时间或到达间隔时间为一般分布的排队系统可以嵌入一个离散 时间马尔可夫链，用马尔可夫链的方法来分析和解决问题。现在以经典的m i g l l 排队系统为例，说明用嵌入马尔可夫链的方法来解决排队问题的主要思路。在经 典的m g 1 排队模型中，令。为第n 个顾客被服务完毕离开系统时的瞬间看到 留在自己身后的顾客数。k 为第行个顾客接受服务员服务的服务时间。 江苏大学硕士学位论文 4 。是k 中所到达的顾客数。 则 = rz 1 一描 可以证明a 。与n ，n 2 ，虬相互独立 因此。为马尔可夫链，其一步转移概率为 弓= p ( 虬+ 。= _ ，帆= i ) 当i = 0 时，有异，= 尸( m 。= ，i o = o ) = p ( 以。= ，) 当f 1 时，有巴= p ( 虬+ 。= j i n = f ) = p ( 爿。= j - i + 1 ) 令七，= p ( a 。= ) 这样可以得到一步转移概率矩阵为 可以证明此马尔可夫链是不可约，非周期，正常返的，进而可以求得系统的平稳 分布。 2 2 补充变量法 补充变量法是研究排队模型的一种常用方法。许多排队系统的队长过程 u ( f l t o 不是马氏过程，但是可以通过引入补充变量使得这个非马氏过程马氏 化。e r l a n g 的阶段化思想可以看成是补充变量法产生的初始背景。c o x 完整地提 出了补充变量的技巧。下面我们以经典的m g 1 排队模型为例来说明用补充变 量法解决排队问题的主要思路。 考虑一个经典的m g 1 排队模型，顾客按到达率为五的p o i s s o n 过程到达， 服务时间为一般分布： g g ( f ) = f g ( f 协_ 1 _ e x p ( 一j 。g 皿) ，e ( g ) _ 2 “ 其中4 x ) 为服务时间的风险率函数。系统中只有一个服务台，顾客按先到先服 触肚如薪n 胁岛加 岛丘孙0 “0 o 江苏大学硕士学位论文 务( f c f s ) 的规则接受服务。如果到达的顾客发现服务员正在为别的顾客服务，他 就依次排队等待。假定等待空间无限，开始时系统中无顾客。 设( f ) 表示r 时刻系统中的顾客数，显然o ) 不是状态空间e = 0 ，1 2 上 的马尔可夫过程。通过引进补充变量z ( f ) = x 表示正在服务的顾客在时刻f 已接 受过的服务时间，则向量过程 ( f ) ，x ( o ) 是状态空间 e 1 = ( 胛，x ) k = o ，1 ，2 ，；o x o ，z o ，”= 1 , 2 ， 顾客的服务时间独立同分布于函数b ( x ) ，其密度函数为 6 g ) = g ) e x p , - r o j 其中g ) 为风险率函数，；f f p ( x ) ：b ( x ) 1 一b o ) 其一 二阶矩分别用i ，鸬表示 x 0 服务台的寿命服从负指数分布，其失效率是口 服务台失效后立即进行修理，修理时间y 的分布函数是任意分布g ( y x 其 密度函数是 g ) = o ) e x p 七- r g j ，其中) 为风险率函数，有 ) = g ( y ) 1 一g 0 ) 其一，二阶矩分别用屈，岛表示y 0 顾客的重试时间独立同负指数分布，且其平均值为1 臼 到达的顾客有两种选择：第一种，以概率盯直接进入重试组，在重试组中 江苏大学硕士学位论文 要求接受服务第二种，或者以概率1 一q 接触服务台，如果服务台处于闲期，则立 刻接受服务，否则进入重试组要求接受服务 顾客被服务完毕后，可以以概率1 一p 离开系统或以概率p 返回重试组再 次要求服务 进一步假设： 系统的服务区域无等待位置，重试区域中的等待位置无限 在服务台空闲期间，服务台既不发生失效也不会变坏，新到达的顾客与重 试组中的顾客( 如果有) 竞争接受服务 当服务台失效时，新到达的顾客进入重试组，正在接受服务的顾客需要等 待其修复，再继续接受服务：已经服务过的时间仍然有效，服务台修复如新 到达，重试，服务，失效，修理，反馈，均相互独立+ 备注：我们用，0 ) 表示，g ) 的l 变换，即有，0 ) = f e x p _ 吖扩o 胁夕( s ) 表示，o ) 的l - s 变换，即有夕( s ) = f e x p 卜s 磅d f ( r ) 定义记号 夕( s ) = 1 一厂g ) ，p = 和， 定理1 系统能够达到稳态的充分必要条件是不等式p ( 1 + 嘲) + p 1 成立 证明先证明p ( 1 + n 织) + p i 是系统达到稳态的必要条件令厄表示第即 个顾客从开始接受服务的时间起直到服务结束的时间其中包括了在该顾客的服 务期内，服务台可能发生失效而进行修理的时间，我们称厄为第胛个顾客的广义 服务时间显然有厄( h = 1 ，2 ，3 ，) 相互独立的参考 文献2 6 ， 对，0 ，令最( ，) = p 厄f ；且在厄内服务台恰发生七次失效) ，k o ，咒1 令或o ) = p 皖。f l f 0 有 茁( f ) = 或o ) ：t j 】，o x ) k e m 柏g ) 其l - s 变换为 f o ) = 1 8 - s t 越o ) = 6 0 + 口一掣0 ) ) 1 0 江苏大学硕士学位论丈 从而孑。的期望为e 防。】- - 掣5s = o = t i ( 1 + 叩1 也就是每一个顾客的平均广义服务时间为鸬( 1 + 媚) ，在此时间内到达的平均顾 客数为枇( 1 + a , b 1 ) 如果系统能达到稳态，则有p ( 1 + 唱) + p 1 再证明p ( 1 + 螭) + p 1 也是系统能达到稳态的充分条件设q 。表示第一个 顾客离开系统时重试组中顾客数，不难看出娩，行o 是不可约，非周期的马尔可 夫链为了证瞬其遍历性，我们介绍f o r s t e r 准则：一个不可约，非周期马尔可夫 链是遍历的，若存在一个非负函数( 七) ，k 使得恢i m ，憋s u p 九 o 其中纯= e ( 厂( q + ，) 一厂( q ) i g = 七) 女= 0 , 1 ，2 我f i j 考虑函数，( 女) = k ，则有 九= p 亲陆+ 和。( 1 + 筇，) 一女】+ p 万纺 ( 1 一q x k + 1 ) + q q + 1 ) 十助。( 1 + 筇。) 一】 + ( 1 一p ) 煮万除一1 ) + 舡，( 1 + 筇。) 一女卜万吣一g k + 亦+ 姐，( 1 + 筇t ) 一七1 j = 和。( 1 + 硝) + p 一丽k o 万 由上述可知，当p ( 1 + 粥) + p 1 时，嵌入马尔可夫链娩，”o ) 具有遍历性 由于系统的到达过程为p o i s s o n 过程，当p ( 1 + o r j i ) + p 1 ，由b u r k e 定理 文献 2 7 p 1 8 7 1 8 8 知系统可以达到稳态1 9 , 而充分性得证对于 丸= 助( 1 + 够。) + p 一2 堑+ k l o 有以下合理的解释：由引理1 知机( 1 + 嘲) 表示广 义服务时间内平均到达的顾客数，p 表示再次回到重试区域中的平均顾客 数，了芝五表示当前一个顾客服务完成时重试区域顾客数为七时，重试区域中成 + 耗廿 功接受服务的平均顾客数稳态时我们要求服务期间新到达的平均顾客数少于重 试区域中成功接受服务的平均顾客数，即应有不等式p ( 1 + 硝) + p 万成 守 江苏大学硕士学位论文 3 2 模型方程的建立与求解 系统任意时刻的状态可用马尔可夫过程 ( c x o x 】，e 矬f o ) 表示，其 中c o ) 表示时刻f 服务台所处的状态( 取值0 ，1 ，2 ，分别表示服务台处于空闲状态， 工作状态，失效状态) o ) 表示时刻f 重试组中的顾客数，z o l 】，o ) 分别表示在时 刻t 已用去的服务时间和修理时间，其状态空间是 “o ，f l ( 1 ，i ，x l ( 2 ，f ，x ，y l o i + 。，0 z ，y + m 令 只o ) = p c o ) = o ，o ) = i ) t o , i 0 9 f o ，z x = 户 c ( f ) = 1 ，o ) = f ，x 爿o ) z + d x x 0 ，r o ，i 0 r ；o ，z ，y 如 = 尸 c o ) = 2 ，( r ) = f ，j o ) = 石，y y o ) o ，x o ，辩= 1 , 2 ， 颞客熬鼹务辩润独立同分蠢手分布番数器& ) ，其密度函数 6 ( o = o ) e x p 0r o 净；，其中b ) 为风除率函数， 有b ) = 6 b ) i b b ) 其一，二阶矩分别为l ，2 x 0 骚务台靛寿愈朦扶受撵数分布，其失散攀楚g 摄务台失效屠立帮送行修理，修理辩闻y 鲍分布盈数楚任懑分布g ) ，萁 密度函数是g ( y ) = p o ) e x p - f o j 其中卢) 为风险率函数，有 0 ) = g b ) 1 一g ) 其一，二阶矩分别为崩，属 y 0 簸容懿重试辩阕独立嚣般分毒4 g ) ，爨度函数是 口g ) = ， ) e x p _ f ，扛净j 其中，0 ) 为风险率函数y 0 ) = a ( x ) l 一爿b ) x 0 进一步假设： 系统嚣鼹务送竣秃等莓霞菱，重试送域中羚等待霞黉无疆，耋试攥瑟 f c f s 在服务台空闲期间，服务台既不发生失效也不会变坏，新到达的顾客与重 试组中的顾客( 如果有) 竞争接受服务时，重试缎尾的顾客具有优先服务权，新到 达魄磁毽盏接进入重试缀 江苏大学硕士学位论文 当服务台失效时，新到达的顾客进八重试组：正在接受月务的顾客需要等 待其修复，再继续接受服务：已经服务过的时间仍然有效，服务台修复如新 到达，重试，服务，失效，修理，均相互独立 备注：我们用，g ) 表示厂0 ) 的l 变换，即有，o ) = f e x p - 盯l 厂( f ，( s ) 表示厂0 ) 的l s 变换，即有于( s ) = f e x p 一s 略d f ( f ) 定义记号，+ g ) = 1 一f + g ) ，p = 助， 引理1 设名。表示第月个顾客的广义服务时间，或( f ) = p 皖。f ) ，r o 贝0 有 营o ) ；或o ) = i y ( k ) ( r x ) k e 一“拈g ) k = on 其l - s 变换为 i g ) = i e - s t 瘟o ) = b ( s + 口一掣g ) ) e 阮 ：一捌卜。( 1 + 嘲l 定理1 系统能够达到稳态的充分必要条件是不等式p ( 1 + d 秒。) 以) 成立 证明设q 表示第一个顾客离开系统时重试组中顾客数，为了证明系统稳态 的充分必要条件，我们考虑顾客服务完成离开服务区域时刻的嵌入马氏链，令 矗。；，z ) 相继表示第聆个顾客服务完成时刻，则 q = q ( + ) 为状态空间n 上 的嵌入马氏链。 肌，= f 警“哪) 例；q = f 警“嘶) 脚 则q 表示顾客服务期间系统恰好到达_ ，个顾客的概率； 玩表示在服务台修理过程中恰好到达个顾客的概率； d 以) 表示重试期间到达0 个顾客的概率。 设 q ；n 1 的一步转移概率矩阵为r = ( 勺) ，则有 o = 嘞+ 口6 0 ；，= ( 1 - a ) a j + a t 2 a f b s 一，1 o = 0i 2 ；吃= 口+ ( 五) 口( 口0 6 1 + a i b o ) + ( 1 一a d a i 】+ ( 1 一日。( ) ) ( + a b o ) i 1 ； 1 9 江苏大学硕士学位论文 勺= 甜。( a ) ( 1 - c o a j + 十删嘶钆+ 。】 f _ 0 + ( 1 - a 。( a ) ) ( 1 - a g a j 。+ 掰氆强；。】 i 歹，( i 1 ) ? 神 一 t ，【= # + ( 丑) ( d o + a b 0 ) i 1 ；珞= o ， i - 1 ，f 1 由g 的一步转移概率矩阵r = ( o ) ，可以看出 q ；n 1 的任意状态f ，( f ，j ) 均是夏邋雏，其对角线上黪元素大于零，所以 g ；露l 为一个不霹豹，非周期 静骂尔可夫链。为了证戮箕遍历往，我们_ 分绥f o r s t e r 准刚：一个不可约囊# 蠲麓马尔 可夫链是遍历的，若存在个非负函数，( 约，k e 使得恢i 。，。l i 。r a 。s u p g 0 其中丸= e ( ，包+ 。) 一，娩1 q = k )k = 0 , 1 2 我们考虑丽数，( 七) = k ， 剐鸯 疙= 轻积躲一i ) + 襁毒+ 嚷) 一露】+ 8 一癌+ 五激+ 肇，( 1 + 硝) _ 盂 = p o + q 口，) 一d + 以) 豳上述可知，当p ( 1 + 媚) 1 ，鸯焱0 0 且存在对任意寿馨k o ) 有 焱0 ，放马尔可夫链 g ，押0 为j 越童历的从两不等式p 0 + 螭) 撂+ 积) 为马尔 可夫镪妇。，珂0 ) 为遍历镳的必要条件 由于系统的到达过程为p o i s s o n 过程，当p o 十。羁) o ；y o ；z o ) 令岛o ) = p c ( f ) = o ，o ) = 0 只o ，x x = p c o ) = o ，o ) = f ，x 掌o ) x + d x x 0 ，t o , i 1 q l o ，x x 抚= 尸 c o ) = 1 ，o ) = f ，x v o ) l ( 1 8 ) 逮器条侮霉。) = f q 弘g 盗i 1 ( 1 9 ) 0 0 ( o ) = 伐+ r 鼻g g 垮 q f ( o ) = f o 只g k + r 只+ 。g p g 玲 i - i r o ，o ) = 艘3 0 ) 最；扛，o ) - - 崛g ) i 1 正则憾条件 r + 善f 鼻g 扭+ 萎f q ，o + 砉f f 置o ，y ) = t 接下来，我们将求出上爱穗感方程的解，先绘出颤下概率母函数静定义 ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 江苏大学硕士学位论文 p ( z ，x ) = 只g kq 0 ，x ) = z 。q , ( x ) zr 矗g ，x ，y ) ：妻r ，g ，_ y b ，( 2 5 ) = o t = o 对方程( 1 3 ) 一( 2 3 ) 的两边同乘以z 再关于f 求和，经过计算我们可以得到 侈m g ) 似x ) = 。 丢+ 五+ 口+ 。) q 。，膏) = f 矗。，五y 归) 方十七9 。，z ) 陪m 。她 小脚 p 0 ，o ) = r 9 0 ，x ) 归g ) 出一弛 q ( zo ) = 五f d p ( z ，x k + 三r p o ，x 矽g 协+ 弛 r 0 ，x ，o ) = 0 ，z ) 解微分方程( 2 6 ) ( 2 8 ) 分别得到 p ( z ，x ) = p 0 ，o ) e “j b ) r 0 ，x ，y ) = r ( z ，x ，o ) e 。( 1 。h 百( y ) = g ，x ) e 一4 ( 1 一咖百( y ) 把( 3 3 ) 代入( 2 7 ) 式中得到 j 丢+ 兄+ 口+ b ) j q o ，石) = r r g ，o ) e - a o = ：) y 百( y ) 卢c y ) 咖+ 尼q ( z ，x ) = 口q ( z ，x ) g + 以( 1 一z ) ) + 允q 0 ，x ) 解微分方程( 3 4 ) 可以得到 q ( z ，x ) = q ( z ，o ) e x p _ b ( 1 一z ) + 喀0 ( 1 一z ) ) k ) 百g ) 把( 3 5 ) 式代入( 2 9 ) 联系( 3 0 ) ( 3 2 ) 可以解得 p ( z ，0 ) = 墨丝望：巡! 二生堕：唑! 二三! ! 二! = 一6 ( ，z ( 1 一z ) + c 喀( 五( 1 一z ” = + ( 1 一z ) a + ( 五) 把( 3 2 ) 代入( 3 0 ) 得到 o ( z ，0 ) f + ( 1 一z ) a + ( 丑) 】j d ( z ，0 ) + 异谊 把( 3 5 ) 代入( 3 1 ) 得到 z ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) r 0 ，x ，o ) = 。，g g ，x ) = 。q 0 ，o ) e x p - a ( 1 一z ) + 喀+ 以( 1 一z ) ) k 百g ) ( 3 8 ) 江苏大学硕士学位论文 定理2 在p ( 1 + o 移，) 0 ，工o ，n = 1 , 2 ， 顾客的服务时间独立同分布于分布函数b ( x ) ，其密度函数 6 g ) = o ) e x p r o 切 ，其中g ) 为风险率函数， 有g ) = 6 0 ) 1 一b g ) 其一，二阶矩分别为l ，2 x 0 服务台的寿命服从负指数分布，其失效率是a 服务台失效后立即进行修理，修理时间y 的分布函数是任意分布g ( y l 其 密度函数是g o ) = p ( y ) e x p f 卢o j 其中纠涉