（概率论与数理统计专业论文）中国权证定价的模型分析与实证研究.pdf

南京师范大学硕上学位论文 摘要 权证是源于美国的一种金融创新工具。近年来在中国有了迅猛的发展， 成为一种重要的投资和风险管理工具。 本文介绍了有关权证的基本知识，分析了b l a c k s c h o l e s 定价模型、二叉树 定价模型及n i g1 6 v y 过程下定价模型三种权证定价模型，并将其应用于我国证 券市场上汽权证的定价，最后，利用数据距离标准评价了各模型的优劣。 全文结构如下： 第一章，主要介绍研究现状、研究思路。 第二章，介绍权证相关概念和权证定价理论综述。 第三章，对权证定价的三个模型分别给以分析介绍，从中界定了我们实 证分析对应的假设条件和注意的问题。并用e s s c h e r 变换推导出n i g1 6 v y 过程下 的权证定价公式。 第四章，首先给出各模型中参数估计的方法，然后结合我国证券市场的 上汽权证，分别应用以上三种模型进行了权证定价，并与权证实际价格图作 比较，在数组距离的标准下判断模型模拟的好坏 第五章，综合模拟情况得到一些实证结果，分析了理论价格与市场价格 偏差的原由，以期对模型的改进提供思路 关键词b l a c k s c h o l e s二叉树n i g1 6 v y 过程权证定价 南京师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t o p t i o ni sat o o lo ff i n a n c i a li n o v a t i o nr o o t e df r o ma m e r i c a i th a sd e v e l o p e df a s t i nc h i n at h e s ey e a r sa n dh a sb e c o m ea ni m p o r t a n tt a c k l ef o ri n v e s t m e n ta n d m a n a g i n g r i s k t h i sp a p e ri n t r o d u c e ss o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u to p t i o n ，a n a l y s e st h r e eo p t i o n p r i c i n gm o d l e sa n da p p l y st h e mi nc a l c u l a t i n gt o wo p t i o n sp r i c e ，a tt h es a m et i m e ，w e a s s e s st h ei m i t a t e do u t c o m e t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c e st h ec u r r e n ts i t u a t i o na n dt r a i no ft h o u g h to fo u rs t u d y ；i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t s o it h eo p t i o na n dg i v eas k e t c ho fo p t i o np r i c i n gp r i n c i p l e ；i nc h a p t e rt h r e e w eg i v e t h ep r o c e d u r eo fe a c hm o d e la n ds o m ee x p l a n a t i o n ；i nc h a p t e rf o u r , w eu s et h et h r e e m o d e l st op r i c eo n eo p t i o n - s h a n h a ia u t oo p t i o n w eg e tt h e i rt h e o r e t i c a lp r i c ea n d f i n dw h i c hm o d e li sm o r ea c c u r a t et h a na n o t h e r i nc h a p t e rf o u r w eg e ts o m ec o n c l u s i o n sa n df i n ds o m er e a s o n sf o rt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e o r e t i c a lp r i c ea n dh i s t o r i c a l p r i c e s oi tm a y b eh e l pp e o p l et oi m p r o v et h em o d e l sa b o v e k e yw o r d sbl a c k s c h o l e s b i n o m i n a lt r e en i g 1 6 v yp r o c e s s e s o p t i o np r i c i n g r v 一 南京师范大学硕 ：学位论文 第1 章绪论 1 1 权证的发展历史及研究现状 1 1 1国内外权证发展概况 自从诞生了金融衍生产品之后，人们的投资领域和投资产品变得越 来越丰富，金融衍生产品在经历了近百年的发展后，已形成一个功能齐 全的投资工具领域，而权证就是这个领域中最耀眼的明珠之一。权证作 为一种投资工具，有着不可比拟的优越性。从历史的发展进程来看，权 证的发展非常迅速，权证产品在全球各个投资市场十分红火。 全球最早的权证可以追溯到1 9 11 年的美国。当时，一家名叫美国 电灯和能源公司( a m e r i c a nl i g h t & p o w e r ) 发行权证进行了融资。2 0 世 纪6 0 年代，权证曾经成为许多美国公司用于筹措资金以并购其他企 业的金融工具之一。然而美国作为世界上最大的证券市场，并没有在权 证的发展方面保持领先地位，特别是备兑权证市场，主要原因在于其市 场上已经存在成熟的其他投资选择。比如，美国的期权市场发展较为成 熟，除专业机构之外，普通投资者对期权( 包含股票期权、指数期权、 期货期权等) 的投资策略都有一定的认识，期权已成为美国投资大众降 低风险及扩大收益的主要工具。但对投资者来说，持有期权和权证均可 以实现风险管理和“以小搏大”的目的，因此，两者之间具有一定程度 的替代性。 目前，全球最大的三个权证交易所都提供了广泛的权证产品供交 易。其中，德国交易所提供了最大数量的权证产品，包括股票权证、债 券权证、指数权证、期货权证、外汇权证、商品权证和其他权证产品。 德国权证市场的成功得益于这个国家的监管环境。德国有一个相对自由 南京师范大学硕i ：学位论文 的权证发行和发售环境，强制发行人和经纪商向投资者提供资料，检查 产品对投资者的适合性，为投资者提供充分的保护。另外，上市规则通 过强制发行人连续报价( 做市商制度) ，保障投资者在任何时候都能变现 他们的资产。事实上，由于市场竞争激烈，德国权证市场的买价和卖价 之间的价差很小，意味着投资者可以在更有效率的条件下卖出权证。上 述监管环境为德国权证市场提供了广阔的发展空间。而且，由于无须就 发行和发售证券获得个别的批准，这样新产品就很容易得以发行。因 此，大量的新产品由于市场推动和投资者需求而得到大力发展。同时， 通过对发行人和经纪商设定义务，从而为投资者提供了足够的保护。 中国香港是全球最大衍生权证市场。首只衍生权证于1 9 8 8 年2 月在 番港挂牌。过去4 年香港一直是全球衍生权证最大的市场，可谓全球之 冠。自2 0 0 2 年后，香港权证市场的上市规则有所改变，并引入“庄家 制 等措施后，香港衍生权证市场发展明显加快。2 0 0 3 2 0 0 5 年间，单 以成交金额计，中国香港更已成为全球最大的权证市场，较德国等有过 之而无不及。能够连续两年高居全球衍生权证市场成交金额榜首，除归 功于那些有利于香港权证市场成功发展的因素外，另一重要原因是投 资者在香港买卖衍生权证的手续相当方便。至2 0 0 7 年年底，香港权证数 量超过2 0 0 0 只，其中备兑权证的交易额占市场的9 9 左右。在标的选择 上，可供券商发行权证的股票涵盖了银行、地产、电信、石油天然气 等多数行业的主要上市公司；在期限上，权证存续期从6 个月到1 5 年不 等；行权价和行权比例的合理设计，使得权证价格在发行时一般不高。 灵活的权证发行和巨大的权证数量，给了香港投资人充分多样的选择， 也避免了“全市场紧盯数只权证 的尴尬。 2 0 世纪9 0 年代初，邓小平南巡之后，走在十字路口的中国经济重新 活跃起来，但因为种种复杂因素，造成经济发展出现明显偏差，地产泡 沫快速膨胀，通货膨胀率高企，经济过热明显。1 9 9 3 年国家果断采取宏 南京师范大学硕上学位论文 观调控政策，以海南为代表的地产泡沫开始崩溃，全面紧缩的政策虽然 主要是针对泡沫最严重的房地产行业，然而股市同样遭遇资金面的严 峻形势，市场出现接连近3 年的下跌，股票市场从前两年初创时期的火 热，一下子进入了寒冷的冬季。在此背景下，有两个方面的动力让人想 到要发行权证产品：一是上市公司，由于股价持续下跌，导致很多上市 公司再融资受阻，许多公司试图通过权证产品，使老股东的利益可以得 到曲线保障的同时，关键是可以实现再融资的目的：二是当时的交易 所试图活跃市场，拟推出权证产品来达到活跃市场的目的。来自这两 方面的利益趋同，权证产品应运而生。9 0 年代初期的权证市场总共大约 有1 4 只权证。第一个权证产品则是1 9 9 2 年沪市推出的飞乐股份股票的配 股权证。在我国初期的权证市场中，由于条件限制，市场法规的不完 善，市场还相当稚嫩，投资者风险意识薄弱，伴生高度投机，市场处于 高度无序状态之中。权证这种衍生工具的积极作用没有得到很好的发 挥，反而产生了许多问题，有些权证甚至已经异化为纯粹投机的工具。 由于当时存在一批投机大户，在证券市场上兴风作浪，大钻法律、监管 的漏洞，造成市场大起大落。1 9 9 6 年6 月底，监管层最终不得不通过行 政命令手段终止了权证交易。 我国现在的权证市场是伴随着股权分置改革而诞生 的。2 0 0 5 年7 月1 8 日，股权管理暂行办法出台，权证作为股权分置 改革中的一种解决力量被重新提出来。2 0 0 5 年8 月2 2 日，权证交易在我 国重新启动。随后随着宝钢和长江电力的股改方案的确定，权证重新登 上了我国金融历史舞台。 1 1 2研究现状及创新点 尽管权证在国内还属于新兴的金融衍生产品，但国际上对权证的研 究已有很长的历史。2 0 世纪6 0 年代，国外学者们就开始用数学分析、 动态规划等方法来确定权证的价值，如c m s p r e n k l e ( 1 9 6 1 ) 发表的认 南京师范大学硕上学位论文 股权证价格是预期和偏好的指示器。1 9 7 3 年，美国经济学家f i s h e r b l a c k 矛1 m y r o ns c h o l e s 发表题为期权和公司债务定价的文章，提出 了著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型，此后，权证的定价研究进入了迅 速发展的时期。c a l a i 和s c h n e l l e r ( 1 9 7 8 ) 在有效资本市场的假定下，提出 了考虑流通股稀释效应的权证定价模型。c o x ，r o s s ，和r u b i n s t e i n ( 1 9 7 9 ) 提 出了二叉树定价模型对期权进行定价。k r e m e r 平l l r o e n f e l d t ( 1 9 9 2 ) 将跳扩 散模型应用于权证定价。g e r b e r h u 和s h u i e ( 1 9 9 4 ) 将e s s e c h e r 变换应用 于权证定价。 国内也有许多学者对权证定价进行了研究。周延( 1 9 9 8 ) 通过对b s 模 型的分析，推导出了考虑股本稀释效应的权证定价公式。张铁( 2 0 0 0 ) 对 经典二叉树模型中的参数进行修正，提出了一个推广的二叉树模型。 刘志强、金朝嵩( 2 0 0 4 ) 应用等价鞅测度方法，推导出更为简单的类似b s 模型的权证定价公式。沈媛媛、颜小军( 2 0 0 6 ) 在b s 模型的基础上，通 过改变b s 模型的基本假设给出了几种修正模型及定价公式。 除了理论研究，实证研究也是众多学者的研究方式，如郑 丽( 2 0 0 4 ) ，孙胜利、刘永建( 2 0 0 5 ) ，金浩、刘新平、朱文武( 2 0 0 6 ) 等应 用数值方法对中国权证市场进行实证研究。但他们所采用的模型均是经 典模型的基础上讨论的，鲜有人利用新模型进行实证研究。本文将在一 个新的股票价格模型下，推导出新的权证定价公式，并利用该公式进行 权证价格的实证研究。 1 2 本文研究思路和内容结构 1 2 1本文研究思路 本文主要采用比较研究和实证研究相结合的研究方法。首先，运用 经典的b s 定价模型和二叉树定价模型对我国市场一具体权证进行实证 研究。然后在一个新的股票价格模型下，推导出新的期权定价公式，并 南京师范大学硕上学位论文 利用该公式进行权证价格的实证研究，并与两经典模型进行比较研究。 1 2 2本文的内容结构 第一部分绪论，主要介绍研究现状、研究思路。第二部分是对权证 相关概念的界定和理论综述。第三部分对权证定价的三个模型分别作以 分析介绍，从中界定了我们实证分析对应的假设条件和注意的问题。第 四部分用这两种模型对我国权证市场的数据进行实证研究，从对比中得 出一些初步结论。第五部分就是对我们得出的结论进行分析，以期给出 合理的建议。最后是附件、参考文献和致谢。 南京师范大学硕上学位论文 第2 章权证定价理论概述 2 1 权证的概念 2 1 1权证的定义 权证，是指标的证券发行人或其以外的第三人发行的，约定持有人 在规定期间内或特定到期日，有权按约定价格向发行人购买或出售标的 证券，或以现金结算方式收取结算差价的有价证券，因此权证是一种期 权。 权证实质反映的是发行人与持有人之间的一种契约关系，持有人向 权证发行人支付一定数量的权利金之后，就从发行人那里获取了一个权 利。这种权利使得持有人可以在未来某一特定日期或特定期间内，以约 定的价格向权证发行人购买出售一定数量的资产。购买股票的权证称 为认股权证，出售股票的权证叫作认沽权证。权证分为欧式权证、美式 权证和百慕大式权证和亚式权证。所谓欧式权证：就是只有到了到期日 才能行权的权证。所谓美式权证：就是在到期日之前随时都可以行权的 权证。所谓百慕大式权证：就是持有人可在设定的几个日子或约定的到 期日有权买卖标的证券。所谓亚式权证：就是平均价格权证，与其他的 区别在于，在到期日确定权证收益时，不是采用标的资产当时的市场价 格，而是用权证合同期内某段时间标的资产价格的平均值，这段时间被 称为平均期在对价格进行平均时，采用算术平均或几何平均。持有人 获取的是一个权利而不是责任，其有权决定是否履行契约，而发行者仅 有被执行的义务，因此为获得这项权利，投资者需付出一定的代价( 权 利金) 。权证( 实际上所有期权) 与远期或期货的分别在于前者持有人所获 得的不是一种责任，而是一种权利，后者持有人需有责任执行双方签订 南京师范大学硕 j 学位论文 的买卖合约，即必须以一个指定的价格，在指定的未来时间，交易指定 的相关资产。 2 1 2 权证的特点 权证一般具有一下几点特性： 1 权证的持有者有权利而无义务。在资金不足、股市形势不明朗的 情况下，投资者可以购买权证而推迟购买股票，减少决策失误而造成的 损失。 2 权证风险有限，可控性强。从投资风险看，认购权证的最大损失 时权证买入价，其风险锁定，便于投资者控制。 3 权证为投资者提供了杠杆效应，能够以小搏大。权证属于衍生金 融产品之一，权利金仅为正股价格的- d , 部分，具有高杠杆性，杠杆比 率愈大表示杠杆效果愈大，其获利与损失的风险也愈大：反之，杠杆的 比率愈小表示杠杆的效果愈小，其获利与损失的风险也愈小。 4 权证具有时效性。权证具有存续期，权证到期后即失去其效力。 2 1 3 权证的分类 权证根据不同的划分标准有不同的分类： 1 按买卖方向分为认股权证和认沽权证。认股权证持有人有权按约 定价格在特定期限内或到期日向发行人买入标的证券，认沽权证持有人 则有权卖出标的证券。认股权证属于期权当中的”看涨期权”，认沽权证 属于”看跌期权”。 2 按权利行使期限分为欧式权证和美式权证，美式权证的持有人在 权证到期日前的任何交易时间均可行使其权利，欧式权证持有人只可以 在权证到期日当日行使其权利。 3 按发行人不同可分为股本权证和备兑权证。股本权证一般是由上 市公司发行，备兑权证一般是由证券公司等金融机构发行。 南京师范大学硕上学位论文 4 按权证行使价格是否高于标的证券价格，分为价内权证、价平权 证和价外权证。 5 按结算方式可分为证券结算型权证和现金结算型权证。证券结算 型是指行权时，发行人和权证持有人一方支付现金，一方交付标的证券 进行结算；而现金结算型是指行权时，发行人和权证持有人按照股价与 行权价之间的差额以现金进行结算。 2 2 权证定价理论概述 2 2 1 权证价格的构成 权证价格由权证内在价值和时间价值两部分构成。 1 权证的内在价值。权证的内在价值是指其持有者可以马上实现的 利润。一个买权的内在价值等于标的资产的现货价格高出合同中规定的 执行价格的部分。在标的资产的现货价格等于或低于买权的执行价格 时，买权的所有者不会实施其购买权利，这些买权的内在价值等于零。 令s 为标的资产的现货价格，x 为权证的执行价格，则买权的内在价值 ：为m a x ( s x ，0 ) 。一个卖权的内在价值等于合同中规定的执行价格高 出标的资产的现货价格的部分。在标的资产的现货价格等于或高于买权 的执行价格时，卖权的所有者不会实施其出售权利，这些卖权的内在价 值等于零，因此卖权的内在价值为m a x ( x s ，0 ) 。 2 权证的时间价值。权证的时间价值是指在权证合同的有效期内， 权证的内在价值的波动给予其持有者带来收益的预期价值。值得注意的 是，权证的时间价值给予其持有者带来的预期收益只是统计上的期望 值。当权证的执行价等于标的资产的现货价格的时候，权证的时间价值 最大。随着执行价格与标的资产价格之间的距离的增大，权证的时间价 值将不断下降。权证到期的时候，其时间价值不复存在。 一8 一 南京师范大学硕上学位论文 2 2 2影响权证价格的因素 实际交易中，权证价格主要受到：标的资产价格、执行价格、剩余 期限、波动率、无风险利率等多方面因素的影响。 1 标的资产价格 标的资产的价格对权证价值的影响非常直接。对于认股权证来说， 标的资产价格越高，其权证价值也越高，因为标的资产的价格越高，权 证的内在价值就越高，所以权证价值就越高。对于认沽权证来说情况刚 好相反。 2 权证执行价格 权证所约定的执行价格越高，意味着该执行价格可能与认股( 沽) 权证发行或交易时的正股市价之间的价差空间越小( 大) ，则该权证持 有人未来行使执行权证认股( 售出) 正股所获利润空间越小( 大) 。故 执行价格权越高的认股( 沽) 权证，其发行或交易价格往往越低( 高) 。 3 剩余期限 无论是认股权证还是认沽权证，距离到期日越远，其权证价值就越 大。对于欧式期权来说，离到期日越近，相关资产的现货价格上升高于 认股权证或下降低于认沽权证的机会就比较小，权证的价值也越来越 小。 4 波动率 波动率是决定权证价值最为重要的一个因素，它用来衡量证券价格 随时间变化的波动程度。随着波动率的增加，股票上升很高或者下跌很 低的概率也随之增加。因此，对于权证来说，波动率的增加，认股权证 和认股权证的价值都会增加。 5 无风险利率 无风险利率对于证券价格的价格的影响不是很直接。从理论上讲， 南京师范大学硕上学位论文 当无风险利率增大的时候，股票价格预期增长率也会增加，这会增加认 股权证的价值。同时，无风险利率的增大也会减少权证持有者收到未来 现金流的现值。但是总的来说，第一个因素起主导作用，即无风险利率 增大会增加认股权证价值。对于认沽权证情况刚好相反。 6 预期股息 一般而言，由于权证无法享有现金股利，因而预期股息越高，对认 股证越不利( 对认沽证则相反) ，故认股( 沽) 证的发行或交易价格就 越低( 高) 。但需要指出的是，根据某些权证的( 行使) 价格调整条款或 是交易所有关规则，遇正股派息时往往会对权证行使价格作相应调整， 因而预期股息的高低对权证价格及其走势的影响不大。 此外，权证的价格往往还要受到权证的市场供求、发行人业绩等因 素影响。 2 2 3权证定价原理 权证的本质是一种期权，认股权证相当于看涨期权，认沽权证相当 于看跌期权。因此，权证定价的基础便是期权定价的理论。 1 无套利定价原理 1 9 7 3 年，f i s c h e rb l a c k 矛d m y r o ns c h o l e s 发表了著名的论文( ( t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ) ) 提出了欧式看涨期权的定价公 式，在这篇文章中，b l a c k s c h o l e s 首先从最简单的股票期权欧式看涨期 权入手，得出了欧式看涨期权的b s 公式。b s 期权定价模型建立的基 础是无套利定价原理。即假设标的资产价格未来分布已知的情况下，期 权可以通过标的资产和无风险债券的组合动态复制，因此期权价格就等 于动态复制所需要的成本。“复制 ，即复制期权的投资组合在复制的 有效期内应该与期权有相同的现金流；“动态”的意思是，由于标的资 产价格是不断变化的，且期权的价格是随着标的资产价格变化而变化 的，因此需要不断地根据标的资产的价格变化来动态地调整投资组合的 南京师范大学硕上学位论文 头寸，以达到“复制”的目的；三是“无套利，它的含义是复制期权 的投资组合的成本( 即投资组合的价格) 应该与期权价格相等，否则就 可以通过“卖高买低”来进行无风险套利。 2 风险中性定价原理 在风险中性世界里，任何金融资产的收益率都等于无风险收益率， 而与具体的金融资产风险的大小无关。由c o x ，r o s s 和r u b i n s t e i n ( 1 9 7 9 ) 得 出的这个结论极大简化了期权定价公式，因此在风险中性条件下，欧式 看涨期权价格可以表示为无风险收益率折现的期望收益，即： c ( ) = e r ( r ) e m a x ( s t x ，o ) 】 其中c ( ) 是t 时刻权证价格，随机变量曲是风险中性调整后到期日股票价 格，r 为无风险收益率，t 一亡为权证剩余期限，x 为权证执行价格。由 于这个思路是假定投资者为风险中性情况下对衍生证券进行定价，这个 方法又称风险中性定价法。 本论文中各模型下的定价公式均是在风险中性定价原理下推得。 南京师范大学硕j ：学位论文 第3 章权证定价模型分析 3 1b l a c k s c h o l e s 模型 3 1 1 模型的假设 给定带域流的概率空间( q ，a ，( 五) o ，p ) ，并假设： 1 ) 股票价格遵循几何b r o w n 运动 d s t = # s t d t 士a s t d b t 其中，弘为股票的收益率，盯为股票价格的波动率， b t t 0 y 9 一标 准b r o w n 运动 2 ) 无风险利率是常数 3 ) 没有交易费用和税收 4 ) 在衍生证券有效期内没有红利支付 5 ) 市场是完全无套利 6 ) 证券交易连续 3 1 2b l a c k s c h o l e s 模型下权证定价公式 首先由假设1 ) ，利用i t 5 公式给出股票价格表达式。 命题3 1 1 假定股票价格遵循几何b r o w n 运动 d s t = # s t d t 一- a s t d b t 其中，弘为股票的收益率，仃为股票价格的波动率， b t t 0 y 9 一标 南京师范大学硕上学位论文 准b r o w n 运动，则有 & ：岛e x p ( p 一百0 2 汁口b f ) l n & 。( 1 n 岛忡一每m 证明由i t 5 公式 d l n & = 圭d & 一互1 妾( 蚓2 = 去d & 一互1 1 & 2 霹砌亡 = l os t ( # d t + a d b t ) 一互1 盯2 班 ：( p 一丢仃2 ) d t + 盯d 鼠， n s t = l n 。s o + 0 2 ( 肛一丢盯2 ) d s + z 。盯d 鼠 l n & ：l n 岛+ ( p 一丢仃2 ) 亡+ 盯鼠 & ：& e x p ( ( 肛一昙盯2 ) 亡+ 盯易 y b 一n ( o ，亡) ，故由式知 l n & 一( 1 n & + ( 肛一i 0 2 ) t ，仃2 亡) ， 命题得证 现利用风险中性定价原理给出该股票价格模型下的权证定价公式， 而风险中性定价的核心就是找到风险中性测度( 鞅测度) 。 一1 3 一 南京师范大学硕上学位论文 考察股票折现价格 由，t 6 公式 s 产e - r t s t l d & = 一r e 叶s t d t + e - r t d s t 令w t = b + o t ，口= 等，则 由i t 5 公式知 = 筑 ( 肛一r ) d t + a d b t d s t = a d w t & = 岛e x p ( 一百0 - 2 + 仃w t ) ， 下面证明存在概率测度p 使( w t ) o t t 是标准b r o w n 运动，且此 时( & ) o t 是鞅 定理3 1 1 ( g i r s a n o v 定理【4 】) 设( 仇) o t 是适应过程，满足8 2 d s o 。a s ，且过程( l t ) o o t 是一个标 准b r o w n 运动，其中 叫l ) ， 吼十o s d s j o 1 4 一 南京师范大学硕上学位论文 令 做测度变换 0 t _ 生! l 。= e x p ( 一z p 。d b 。一互1z 目。2 d s ) ， d p = l d p , 则g i r s a n o v 定理，在概率测度p 下( 吼) o 丁是标准b r o w n 运动，其 中吼= b t + 等亡 命题3 1 2 【4 】设( 吼) o t t 是定义在概率空间( q ，a ，( 五) o ，p ) 上的标 准b r o w n 运动，则( 五) o t t 是鞅，其中五= e x p ( - - l a 2 t + 口w ) 由命题3 1 2 知股票的折现价格过程( & ) o 1 ，d 1 ，d 0 的最小正整数，t 为每一期的时间长 度，一m 积 ： 证明：我们知道随机变量踟服从二项分布，即s n = 8 u j d 一j 的概率 为矿( 1 一p ) 按推导二期模型的同样思路，从最后第期开始向前 推，可以得n ( 3 2 6 ) 式结果 南京师范大学硕上学位论文 3 3 正态逆高斯1 6 v y 过程下的权证定价模型 对经济和金融数据的大量分析表明，传统的正态分布假设和实际吻 合程度差强人意比如，m a n d e l b r o t 早就发现实际数据的分布具有半厚 尾性( s e m i h e a v yt a i l s ) ，并提出了用稳定分布代替金融数据正态分布的 假设【1 0 】。但稳定分布的尾部通常比实际分布要更厚，国内学者对中国 证券市场收益率分布的研究也证实了稳定分布的尾部通常比实际分布 要更厚【1 7 】。因此，又有许多学者开始转向广义双曲线分布( g e n e r a l i z e d h y p e r b o l i cd i s t r i b u t i o n ，简称g h ) 。 b a m d o r f - n i e l s e n 首先于1 9 7 7 年提出了广义双曲分布族的概念【8 】经 过长期研究，这个分布族的很多性质已经比较清楚了如下所述，这个 分布族的极限形式就是很多常见的分布，比如双曲分布、正态逆高斯 分布、t 分布、正态分布等而这些分布已经被广泛用于经济和金融建 模e b e r l e i n 并 i k e l l e r 于1 9 9 5 年首次提出把广义双曲分布的子族双曲分 布( h y p e r b o l i cd i s t r i b u t i o n ，简称h y p ) 用于金融数据建模【7 】，开辟了广义双 曲分布族的新的应用领域。本文将在广义双曲分布的另一个子族正态逆 高斯分布( n o r m a li n v e r s eg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ，简称n i g ) 下对金融数据建 模，并将此模型应用于欧式权证定价，得到该模型下的欧式权证定价公 式。 3 3 i广义双曲分布介绍【8 】 定义3 3 i 广义双曲线分布( g h ) 的概率密度函数定义如下： 9(z；入，肛，a，p，6)=了乏荠夏页i毒罢兰薪(62+(z一肛)2)似一如2 k 一 ( q 而) e x p 3 ( z 一肛 南京师范大学硕上学位论文 参数肛r 和6 0 是位置和尺度参数，蚓 o 反映 了峰度，入标记了不同的子类因而有不同的厚尾性。虬( z ) 是修正的第 三类b e s s e l 函数 虬( z ) = 互1 以o o u h e x p _ 互1 嘶+ 扣 下面给出g h 分布的极限形式和一些常用的分布的关系： 1 ) 正态分布：当6 一和熹_ 0 - 2 时g h 分布就成为正态分布； 2 ) t 分布：当q = p = 肛= 0 时，就得到t 分布； 3 ) 双曲分布( h y p ) ：当入= 1 时，就得到双曲分布； 4 ) 正态逆高斯分布( n i g ) ：当入= 一 时，就得到正态逆高斯分布， 其分布密度为 咖邢 萨i a 6 1 k i ( a v 轷6 2 + ( z - l z ) 2 ) e x p ( 巧厣州叫) ) 令p = p = 0 ，( = 6 q 则得到对称情形下的正态逆高斯分布密度 咖甜：竽警 要充分利用n i g 分布的性质，还必须得到它的特征函数和矩母函 数。在对称情形下，根据特征函数的定义，计算得n i g 分布的特征函数 为 妒( ，d ( u ) = e x p ( ( 一、e 2 + 6 2 “2 ) 而根据特征函数和矩母函数的对称关系m ( i u ) = 9 ( 乱) 得至u n i g 分布的矩 母函数为 坂，6 ( 钆) = e x p ( ( 一、( 2 一万2 钆2 ) 南京师范大学硕上学位论文 大量的实证研究都是基于资产价格的对数回报其定义为：令表示 资产在t 时刻的价格，则其对数回报为x t = i n 一i n s o 。b l a c k s c h o l e s 模 型下对数回报服从正态分布，本文将在对数回报服从对称情形下的正态 逆高斯分布对股票价格进行建模。 3 3 2 模型的介绍 给定带域流的概率空i b q ( n ，a ，( 五) t o ，p ) ，下面讨论均在此空间进 行。 设( 戤，6 ( t ) ) o 表示n i g1 6 v y 过，r t = 盯( x e ，6 ( s ) ) o 。t ，k ，6 ( 1 ) 具有 密度 咖谢：竽警 股票价格模型： & = s o e x c ，6 ( 扪， 对模型的其他假设与b l a c k s c h o l e s 模型相同。 3 3 3 正态逆高斯l v y 过程下的权证定价公式 现利用风险中性定价原理给出该股票价格模型下的权证定价公 式，与b l a c k s c h o l e s 模型一样关键是找到风险中性测度( 鞅测度) 。 本节利用e s s c h e r 变换确定风险中性测度。e s s c h e r 变换由瑞士精算学 家e s s c h e r 提出，之后许多精算学家对此进行了研究。1 9 9 4 年g e r b e r 首 次将此法引入期权定价q b o l 。 定义3 3 2 设u 为任意实数，p ( z ) 为随机变量x 的密度函数，且矩母函数 m ( u ) = e ( e u z ) = e u z p ( x ) d x 存在，贝u f ( x ，钆) = 幽m ( u ) 柏v 密度函数，并称其为原密度函数p ( z ) 的参数 为乱的e s s c h e r 变换 南京师范大学硕上学位论文 对随机变量做e s s c h e r 变换实质为一种测度变换，即在原来的概率 空间( q ，尸，p ) 上引 , , r a d o n n i k o d y m - 导，使新的测度q 满足：盟d p = 上 m ( u ) 。 考察& 的折现 & = e - r t 岛= 岛e x ( 2 ) 叫。 现通过e s s c h e r 变换找到测度q ，使过程雪= ( & ) t o 在q 下是鞅。 令 筹i 五= 肌= e x p 【u k “) 一池坂“u ) 】， 其中坂，6 ( u ) 是戤，6 ( 1 ) 的矩母函数 命题3 3 1 【5 】m = ( 舰) t o 是q 鞅当且仅当m y = ( m t y t ) t o 是p 鞅，其 中器i 五= k 为e s s c h e r 变换，y = ( k ) t o 由命题3 3 1 知，雪是一个q 鞅当且仅当雪帆= ( & 帆( 亡) ) o 是p 鞅，其 中， 雪虬( t ) = s oe x p ( 1 + u ) x e ，6 ( t ) 一t ( 1 n 坂，6 ( u ) + r ) 1 命题3 3 2 5 1 若( 五) t o 是带：f i l e v y 特征7 7 ( u ) 的l e v y 过程，则对v u r ，眠= ( 眠( 亡) ) t o 是鞅，其中， 眠( 亡) = e x p i u x t 一铆( u ) 】 由命题3 2 2 知，( s oe x p ( 1 + 札) k ，6 ( ) 一t ( 1 n 坂，占( 1 + 乱) ) ) o 是鞅。 故雪是q 鞅当且仅当r = i nm c ，6 ( 1 + u ) 一i nm c ，6 ( u ) 通过以上讨论，利用风险中性定价原理得t 时刻欧式认股权证价格 p t = e r ( 肋 ( 国一k ) + 】 = e r ( t 一。) e q t ( s t e x “( t ) 一投删一k ) + 】， 一2 5 南京师范大学硕上学位论文 而鼍，占( 丁) 一x e ，占( 亡) 与投，6 ( t 一亡) 同分布，故 p 严e r ( t ) e q ( s t e x ( ，6 ( t 一) 一k ) + 】 记坂，j ( ) 在p 下的密度为，占( z ) ，戤，6 ( ) 在q 下的密度为，6 ( z ，u ) 命题3 3 3 【5 1 ( 托) t o 是l e v y 过程，7 7 ( u ) 是l e v y 特征，则托的特征函数为 x 1 的特征函数为 托v ) = e t n ( 训 妒( ，5 ( v ) = e x p ( ( 由命题3 3 3 知，x t 的特征函数为 妒杈u ) = ( ( u ，( ，6 ) ) 由傅里叶变换，x e ，6 ( ) 的密度为 职z ) = 妻f o 。c o s ( 妒杈州 ( e ( tk 1 ( ( 芒 由器i 五= 帆( 亡) = e x p u x ，6 ( ) 一t l n m ，6 ( 乱) 】知，鼍，6 ( 亡) 在q 下的密度为 ，6 ( z ，u ) = ，6 ( z ) e x p u x t l nm ( ，6 ( 钆) 】 2 6 一一 南京师范大学硕上学位论文 由此得n i gl e v y 过程下的欧式认股权证定价公式 舻压e - r ( t - t ) ( & e z - - k ) 嚣钕m 妃 一2 7 南京师范大学硕上学位论文 第4 章模型定价的实证分析 4 1 权证发行基本情况及比较分析方法 本文对已发行的上汽权证进行实证分析，首先介绍一下其基本情 况。 总计2 2 6 5 0 万份上海汽车认股权证于2 0 0 8 年1 月8 日上市，发行人为 上海汽车集团股份有限公司，权证简称上汽c w b l ，代码5 8 0 0 1 6 ，期 限为7 3 0 天，行权价为2 7 4 3 元，行权期为最后5 个交易日，行权比例 为1 ：1 ，即1 份认股权证可按行权价格向上海汽车集团股份有限公司购 买1 股上海汽车a 股股票，其标的证券简称为上海汽车，代码6 0 0 1 0 4 。 2 0 0 8 年发生全球金融危机，中国也深受影响，股市暴跌。就上 海汽车a 股股票来说，从2 0 0 8 年1 月8 号至u 2 0 0 8 年6 月1 0 号共1 0 0 天，价格 从2 7 4 3 元暴跌至1 0 9 6 ，跌了近6 0 。相应的上海汽车认股权证从上市 价1 2 3 1 元暴跌至2 6 5 元，跌了近8 0 。我们将用第三章中介绍的三种模 型对从2 0 0 8 年1 月8 号至i j 2 0 0 8 年6 月1 0 号共1 0 0 天的上汽权证定价进行实证 分析，并比较各模型下的理论价格与市场价格的拟合程度。 本文的数据处理及绘图采用软件m a t l a b7 0 这里介绍一下比较分析所采用的方法。 定义4 1 1 给定两组数列 o i ) i = 1 ，礼， b di = 1 ，n ，令 d = 则称d 为数列 o ji = 1 ，n 与数列6 ii = 1 ，n 的距离 由定义易知如下命题成立， 南京师范大学硕l j 学位论文 命题4 1 2 对于由两个数列所绘制成的图形，当图形越接近时，数列的 距离越小，反之也成立 4 2b s 模型下权证定价的实证研究 4 2 1 b s 模型中的参数估计 b l a c k s c h o l e s 模型定价公式中只有一个参数波动率仃需要估计。 定义4 2 1 若叩满足 s t = s t e ，7 ( t 一“ 则称”为t 至t j t 之间股票连续复利收益率 命题4 2 2 叩一吣一百c r 2 ，禹) 证明： 。叩= 南f n ( 蚤) = 南( t n s t i n s t ) 一垂( p 一百0 2 ，妄) 原命题得证 利用上述命题给出b l a c k s c h o l e s 模型定价公式中参数波动率盯的估 计方法。 记： 佗+ 1 ：观察次数； 8 t ：在第i 个单位时间间隔末的股票价格，单位时间间隔为1 k ； 丁：以年为单位表示的时间间隔的长度，如一天对应的长度为1 年 令u = i n 卫8 1 - - 1 ，i = 1 ，2 m 则 8 t28 i - 1 e t t = 8 i - 1 e _ s r t 南京师范大学硕上学位论文 u i 的标准差s 的估计值为： s ：孵u i - - ： 其中瓦为乱i 的均值 由命题4 2 2 知叩的方差为譬，故的方差为盯2 7 - ，标准差为盯因 此s 为仃的估计值，盯本身可被估计为s + = z 8 一般地，设定波动率的时期等于应用波动率所对应的时期，如波动 率准备用于1 0 0 天的权证估值，可使用前1 0 0 天的历史数据 4 2 2 累积正态分布函数 6 】 对于累积正态分布函数n ( x ) ，一种使用计算器就可以容易求得的近 似值的估计如下： ( z ) = 1 - n ( x ) ( a l 七+ q 2 尼2 + q 3 尼3 ) ，z x 。o 其中 七= 南 7 = 0 3 3 2 6 7 5 1 = 0 4 3 6 1 8 3 6 q 2 = - 0 1 2 0 1 6 7 6 0 1 3 = 0 9 3 7 2 9 8 0 且 协) = 孺1 e 一害 这种近似计算的( z ) 值可以精确到小数点后四位 南京师范大学硕l 学位论文 4 2 3b s 模