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逆用无穷递缩等比数列各项和公式证明数列不等式甘志国(该文已发表 中小学数学(高中)，2011(7-8)：78-80)我们知道，对于无穷递缩等比数列，有笔者发现，有不少证明数列不等式的高考题若逆用此公式来证，将变得非常简洁自然.例1 (2002全国理22(2)设数列满足N).当N时，证明：；.解 用数学归纳法可证，这里略去.下面证明.逆用无穷递缩等比数列各项和的公式，得所以只需证明，即.而这用数学归纳法可证：当时成立：.假设时成立：.由(用结论)，得得时也成立.所以欲证成立.例2 (2006天津理21)已知数列满足，常数).(1)若成等比数列，求的值；(2)当时，证明：N)；(3)当时，证明：N).解 (1)(过程略).(2)由，得数列是首项为，公比为的等比数列，所以N)，又由及数学归纳法可证得N).由，得由N)(因为时也成立)，及数学归纳法可证得N).所以N)，从而可得N).(3)由知，只需证明. 在(2)中已证得N)，所以只需证明N). 运用(2)的结论及数学归纳法可证得N)，所以只需证明N)，而这正是(2)的结论，所以结论(3)成立.例3 (2008浙江理22) 已知数列满足,，记，.求证：当时，(1)； (2)； (3).证明 (1)用数学归纳法来证.当时，因为是方程的正根，所以0=.假设当时，.因为0，所以.即当时，也成立.所以要证结论成立.(2)由，()，累加得=0所以.由及得，所以.(3)即证只需证明，证明如下：由，得，所以(因为已证)所以欲证成立.例4 (2004全国卷III理22(3)的等价命题)设N*)，求证.分析1 可得.设得.若能证得N*) 恒成立，便得但不可能恒成立，因为它等价于N*)恒成立.但当时，上式左边，右边.分析2 即证.可得若能证得N*) 恒成立，便得，但不可能恒成立，因为可以验证时就不成立.分析3 即证.可得若能证得N*) 恒成立，便得.证明如下：即证N*)只需证明N*)而这用数学归纳法极易获证.所以，欲证成立. 例5 (2009四川理22 (2)设，求证.证明 只需证明N*时成立.易证N*)，所以例6 (2007四川文22 (3)求证：.证明 只需证明N*时成立.此时，可证，所以例7 (2010年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验理科第20题第(2)小题)求证：.证明 只需证明N*时成立.此时，有，所以请读者注意，有些不等式不能用以上方法来证，兹举一例.例8 (2006全国卷I理22(2)设N*)，求证.证明 设，即证.可得所以，可猜测.容易用数学归纳法证得此结论成立，从而可得.注 若能用以上方法证得即能证得N*)时，时也成立)又所以须证而该式在时不可能恒成立，因为当时，上式左边，右边(因为).这就说明用以上方法不能证得例8的结论. 例9 (2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛第五题)对于任意的正整数，证明：.证明 记
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