（应用数学专业论文）几类时滞微分方程解的稳定性分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文以三阶和四阶时滞微分方程为研究对象，通过l y a p u n o v 第二 方法，主要研究了几类三阶和四阶时滞微分方程的渐近稳定性或全局渐 近稳定性，得到。厂使言, f r j 的零解渐近稳定或伞局渐近稳定的充分性条件 本文主要包括以下几方面内容： 1 介绍了时滞微分方程稳定性分析的背景及意义，并叙述了三阶 和四阶时滞微分方程的研究现状，在此基础上给出了本文的研究内容 2 简要介绍了时滞微分方程的概念、稳定性的定义、稳定性的 l y a p u n o v 泛函方法以及自治系统的l y a p u n o v 泛函，这些构成了本文的 理论基础 3 ( 1 ) 研究了两类三阶时滞微分方程 c e m i lt u n c 研究了以下方程： z + 烈b 功j i + g ( j c ( t r o ) ) ) + f ( x ( t r ( t ) ) ) = 0 本文所研究的方程 z + 9 ( j f ) + g ( g ( t r o ) ) ) + f ( x ( t r o ) ) ) = 0 是在前一方程的基础上将烈五戈) 戈改为烈功方程 z + g ( 功+ 厂( 戈o q ) ) + j l ( 力缈( x o 一乞) ) = 0 主要是将单滞量推广为双滞量最后分别得到了它们的零解全局 渐近稳定充分性条件； ( 2 ) 研究了两类四阶时滞微分方程 s a d e k 研究了以下方程： x ( 4 ) + 矽( j f ) y + 乃( 戈) 膏+ 矽( 贾( 哆) + ( x p 一，) ) = 0 本文所研究的方程 x 4 + 烈戈o ) ) z q ) + a ( 戈o r ) ) + g 【畎f r ) ，戈( f r ) 】+ f ( x ( t - r ) ) = o 是在前一方程的基础上将h ( f ) j 改为j i l ( 戈( f 一，) ) ，并添加了g x ( t 一，) ，戈( f r ) 1 江苏大学硕士学位论文 方程 x t 4 o ) + 烈戈( f ) ) z o ) + ( 戈o r o ) ) ) + 矽( 戈o 一，o ) ) ) + 厂( z o 一，( f ”) = 0 做了进一步改进，将常时滞推广为变时滞，并且将矽( 戈( f ) ) 改为矽( 戈o 一，( f ) ) ) ， 最后得到了它们零解渐近稳定的充分性条件 关键词：渐近稳定，全局渐近稳定，l y a p u n o v 泛函，时滞微分方程 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t a k i n gt h et h i r d o r d e ra n df o u r t h o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa st h es u b j e c t ， b yt h es e c o n dm e t h o do fl y a p u n o v , t h i sp a p e rm a i n l yf o c u s e so nt h ea s y m p t o t i c s t a b i l i t yo rg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o no fs e v e r a lk i n d so ft h i r d o r d e r a n df o u r t h o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo rg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h et r i v i a ls o l u t i o no ft h e ma r e e s t a b l i s h e d t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ： 1 t h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h es t a b i l i t yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a r ee x p l a i n e da n dt h er e s e a r c hs t a t u so ft h i r d - o r d e ra n df o u r t h - o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si sp r e s e n t e d b a s e do nt h i s ，t h ec o n t e n to ft h i ss t u d yi si n t r o d u c e d 2 t h ec o n c e p to fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ed e f i n i t i o no fs t a b i l i t y , t h e m e t h o do fl y a p u n o vf u n c t i o n a la n dt h el y a p u n o vf u n c t i o n a lo fa u t o n o m o u sd e l a y d i f f e r e n t i a ls y s t e ma r eb r i e f l yi n t r o d u c e d ，w h i c hc o n s t i t u t e st h et h e o r e t i c a lb a s i so ft h i s s t u d y 3 ( 1 ) t w ok i n d so ft h i r d - o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es t u d i e d t h e e q u a t i o ni ss t u d i e db yc e m i l t u n cs u c he q u a t i o na s z + 缈( 置功j i + g ( y c ( t 一，o ) ) ) + f ( x ( t r ( f ) ) ) = 0 o nt h eb a s i so ft h ep r e v i o u se q u a t i o n ，t h ee q u a t i o ni ss t u d i e dw h i c hr e p l a c e s 缈( x ，功戈w i t h 烈功s u c he q u a t i o na s z + 吠功+ g ( y c ( t 一，o ) ) ) + f ( x ( t 一，( f ”) = 0 t h eo t h e re q u a t i o ni ss t u d i e dw h i c hr e p l a c e ss i n g l et i m e - - d e l a yw i t hd o u b l e - d e l a y s u c he q u a t i o na s i + g ( x 3 + f ( y c ( t t ) ) + h ( x ) c p ( x ( t 一乞) ) = 0 f i n a l l ys o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ez e r o s o l u t i o no ft h e ma r er e a c h e dr e s p e c t i v e l y ( 2 ) t w ok i n d so ff o u r t h o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es t u d i e d t h e e q u a t i o ni ss t u d i e db ys a d e k s u c he q u a t i o na s x ( 4 + 矽( j f ) y + 乃( 戈) j f + ( 戈( f ) ) + 厂( x ( f 一，) ) = 0 o nt h eb a s i so ft h ep r e v i o u se q u a t i o n ，t h ee q u a t i o ni ss t u d i e dw h i c hr e p l a c e s h ( e ) zw i t hh ( j i ( t - r ) ) a n da d d sg x ( t - r ) ，y c ( t - r ) 】s u c he q u a t i o na s 江苏大学硕士学位论文 0 4 + 认戈( f ) ) z ( f ) + ( 戈( f - r ) ) + g x ( t - r ) ，戈o 一，) 】+ f ( x ( t - r ) ) = o t h eo t h e re q u a t i o ni sm a d et oi m p r o v ew h i c hr e p l a c e sc o n s t a n td e l a yw i t hv a r i a b l e d e l a ya n dr e p l a c e s 矽( 戈o ) ) w i t h 矽( 戈o r o ) ) ) s u c he q u a t i o na s x ( 4 o ) + 欢衩f ) ) z o ) + 庇( 戈( f 一，( f ) ) ) + 矽( 戈o 一，( f ) ) ) + f ( x ( t 一，( f ) ) ) = 0 f i n a l l ys o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o n o ft h e ma r er e a c h e d k e yw o r d s ： a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y , l y a p u n o v f u n c t i o n a l ，d e l a yd i f f e r e n t i ae q u a t i o n s i v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书 不保密囹 学位论文作者签名：王经天 珈d 1 年l 三月1 e t 指导教师签名：跨2 j 乃 2 。) 年胆月 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中己注明引用的内容以外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：王经天 日期：加d 7 年jz 月z 7e t 江苏大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 本课题研究的背景和意义 在实际工程系统中，时滞现象是普遍存在的时滞产生的原因有很多，如：系统变 量的测量过程需要一定时间、系统中设备的物理性质( 大惯性环节) 因数也会导 致滞后、物质或信号的传递( 传输过程) 亦需要一定的时间，缓慢的化学反应过程 等都会使系统产生时滞时滞的存在对系统的控制无论在理论方面还是在工程实践 方面都造成了很大的困难通常情况下时滞将使系统的性能变坏，甚至使系统失去 稳定性，从研究的角度来说，时滞的存在给系统的稳定性分析和控制器的设计带来 了很大的困难因此，对时滞微分方程的稳定性的研究无论在理论上还是在应用上 都具有非常重要的意义开展这方面的研究，一方面将丰富和发展时滞微分方程的 理论，另一方面也为一些问题的实际应用提供了必要的理论基础目前，关于时滞微 分方程的研究成果也很多例如【4 】、【9 】、【1 6 】等 稳定性理论是时滞微分方程理论中的重要部分在稳定性理论发展进程中最伟 大的事件乃是俄国数学力学专家李雅普诺夫在1 8 9 2 年完成的博士论文“运动稳定 性的一般问题 ，从而建立了稳定性理沦研究的框架稳定性理论和方法不断地在发 展，尤其是2 0 世纪3 0 年代以来，由于科学技术的日新月异，特别是自动控制、空间技 术、大系统理论、生物数学等的出现，使稳定性理论发展更快，新的课题、方法不断 涌现5 0 6 0 年代初期，数学家们围绕李雅普诺夫第二方法中的李雅普诺夫函数的结 构，建立了一致稳定、等度渐近稳定、指数渐近稳定等各种稳定性概念，丰富了稳定 性理论的研究内容随着时间的推移，众多学者为稳定性理论的研究奠定了雄厚的 基础，使其形成了一套比较完善的理论例j t n 1 7 1 、1 9 1 等都涉及到了稳定性方面的研 究 至今，研究时滞微分方程解的稳定性的有效方法，仍是l y a p u n o v 直接法( 即 l y a p u n o v 第二方法) 其主要优点在于，不需要预先知道解的情况，就可确定其解的稳 定性在过去的四十多年里，已有很多学者利用构造l y a p u n o v 泛函的方法，研究了时 滞微分方程解的稳定性，得到了许多不错的结果但是，如何构造合适、有效的 l y a p u n o v 泛函? 这是一个难题，没有学者给出一个明确的方法这样的难题在高阶常 江苏大学硕士学位论文 微分方程中一样存在，例如【1 7 】显然，对于高阶时滞微分方程构造l y a p u n o v 泛函将 是更加地困难从上世纪五、六十年代到本世纪初掀起了研究微分系统稳定性及有 界性的热潮，并有许多研究成果在微分系统稳定性及有界性研究成果得出的过程 中，巴尔巴辛公式功不可没自从巴尔巴辛给出了刀阶线性微分系统y 函数构造的公 式以后，许多学者通过“类比法 构造y 函数研究了大量二至五阶非线性微分系统 的稳定性和有界性 1 2 本课题的研究现状 本课题主要研究三阶和阴阶时滞微分方程解的稳定性，在此将主要介绍三阶和 四阶时滞微分方程的研究现状 1 9 9 0 年，朱云峰【3 6 1 根据 4 ，5 】的思想方法，证明了自治r f d e ( r e t a r d e df u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 系统的b a r b a s h i n k r a s o v s k i i 定理，并利 2 5 ，2 6 】中已构造的二 阶、三阶常微分系统的l y a p u n o v 函数，分别构造了系统： 戈+ 缈( 工，p + g ( d c ) f o 一，”= 0 ( 1 1 ) z + 武+ 城+ c x + d x ( t 一，) = 0 ( 1 2 ) z + 积+ 6 受+ c x + f ( x ( t 一，) ) = 0 ( 1 3 ) 的等价系统的l y 印眦o v 泛函，从而得到了它们的零解渐近稳定的充分性准则 1 9 9 2 年，z h u 3 7 】得到了系统 譬+ 戚+ 撕+ f ( x ( t r ) ) = o ( 1 4 ) 和 z + 武+ ( 戈o 一，- ) ) + f ( x ) = 0 ( 1 5 ) 的零解稳定的充分性条件其中，、a 和b 是正常数 2 0 0 3 年，s a d e k l 3 8 】研究了形如 y r + a y f + g ( j c ( t 一，( f ) ) ) + f ( x ( t r ( f ) ) ) = 0 ( 1 6 ) 的三阶非线性时滞微分方程，得到了它的零解渐近稳定的充分性条件： 定理1 1 ( 【3 8 q b 的定理1 ) 如果a 0 ，0 r ( t ) 7 ，厂( f ) ，0 o ( y o ) ，s u p f 7 ( x ) j = c o ，a b c 0 ，并且存在工 o ，m o ， v 使得i 厂( z ) l ，f g ( y ) i - o ( x o ) ，s u p f ( x ) ) = c ，i ，( 砷i ； ( 3 ) 掣6 o ( y o ) ，帆y ) i m ； v ( 4 ) 0 ，o ) y ，厂o ) ，0 0 ，使得丛墨垃6 ( y 0 ) ； y ( 3 ) 存在c o ，使得f ( x ) s g n x o ( z 0 ) ，并且s u p 厂( x ) = c ； ( 4 ) a b c 0 ； ( 5 ) y g 。( z ，y ) 0 ； ( 6 ) 存在正常数厶m ，n ，使得i ，i 上，g y 似y ) 障m ，i g , ( x ，y ) j ； ( 7 ) 存在0 ，0 o ，j 万( 占， o ，使川 o ，3 t ( c r ，咖，当h 6 0 ( 仃) 时，对 v t a + t ( a ，咖都有l x ( t ，仃，力i o ，对v s 0 ， 万( 占) o ，使当例 0 ，则( 2 2 ) 的零解是一致 渐近稳定的 8 江苏大学硕士学位论文 定理2 2 设u ，k ，且存在v ( t ，咖满足： ( 1 ) v t 0 ，缈c 有“( i 烈o ) 1 ) y o ，劝v ( i 缈i ) ； ( 2 ) 对v o - 0 ，妒c 有- 9 ( t ，x , ( o - ，咖) 0 ，t 仃， 则( 2 2 ) 的零解是致稳定的 下面，给出零解为不稳定的充分条件 定理2 3 对方程( 2 2 ) ，设y ( 力是c 中连续有界泛函，若记b ( 0 ，) = 缈c ：例 0 ，开集uc c ，使得： ( 1 ) y ( 咖 0 伊e u 的边界时，y ( 力= 0 ( 2 ) 0 ) u n b ( 0 ，) ( 3 ) 在u n b ( o ，) 上，y ( 咖比( i 吠o ) i ) ( 4 ) 在r + , un b ( o ，r ) 上，畋2 2 ) ( 力( 1 吠o ) i ) 其中，比，o ) ek 岐：2 ) ( 纠2 。l i m h v ( x , + 一( f ，咖) 一y ( 力】， 则( 2 2 ) 的零解是不稳定的 特别地，对v 伊un b ( 0 ，) ，过( 乃力的解乇( 正功必在有限时间内达到曰( 0 厂) 的边界 2 3 自治系统的l y a p u n o v 泛函 考虑自治r f d e 系统： 戈o ) = f ( x t ) ，t 0 ，x ，= x ( t + d ，一y 0 0 ( 2 3 ) 其中厂：g r “是连续泛函，且满足对h 1 日，只要恻l o ，使 l ，( 劝i - o ，使得当1 1 4 i 占时，y ( 力 ( 占) 于是， 由( 2 ) 知，对恻l 万有w ( i 工( f ) 1 ) y ( 薯( 湖y ( 咖 w ( s ) 由函数( r ) 的严格单凋性，即可得i 工( f ) i 云1 ，c o ， o ，m o ，使得曲 口+ c ； ( 2 ) f ( x ) s g n x o ( x * o ) ，对任意的x ，都有s u p 厂7 ( x ) ) = c ，i 厂( 力i 三； ( 3 ) 型导6 ( y o ) ，对任意的y ，都有i g ，( y ) i m ； v ( 4 ) 0 ，( f ) y ，r o ) ，0 1 ； ( 5 )丝! ! 二正巫互匝匝 盟 0 因此，泛函y ( 薯，m ，) 满足定理2 5 的条件( 1 ) z d 一工 为了后面书写的方便，我们给出一个记号用丢y ( ，只，乙) = 丢y 表示 v = y ( 薯，咒，五) 沿着系统( 3 5 ) 的解的导数由( 3 5 ) 和( 3 6 ) 式，可得： 要y = y 2 厂( 力+ 2 弦+ 肛2 + a y 2 r ( t ) 一无( 1 一r q ”f _ ，( f ) y 2 ( o ) a o 一y 吠z ) c 盯 1 ，、 一p y g ( y ) 一z 似z ) + 如2 r o ) 一砸一，q ) ) l ) z 2 ( d d 矽 ( 3 7 ) + ( y + z ) m g ；( y o + s ) ) z o + s ) 凼+ ( + z ) ( f ) o + s ) ) y o + s ) 幽 1 段设( y ) i m ，并且利用2 u v u + 伊，我1 i j 口j 以得芏u ： ( b y + z ) t ( ，) g ；( y o + s ) ) z p + s ) d s 彬l y l l z o + s ) l 凼+ m i z i i z o + s ) i 凼 譬y 2 他) + 譬l 邢2 埘等z 2 ， + 了mk 反渺 类似地，我们可以得到： ( y + z ) ( 1 ) ( x ( h s ) ) ) ，( f + s ) d s 等y 2 v 2 ( t ) + 等k y 2 出+ 考z 2 2 2 ( 0 + l f _ 砭( o y z ( 渺 2) ：) i 1 2 2 2 2 一 e2(yz-,uytp(zp y ( p z - t p ( z ) j ly + i t2 , u c p ( z ) z + o z ( z ) 2) = ) i i 2 2 2 2 一 j i l uy 2 + 等芦砌咖+ 警砍z ) 因此，由( 3 7 ) 、( 3 8 ) 、( 3 9 ) 、( 3 1 0 ) 我们可以得到： 导y(薯，只，乞)y2厂(力+肜2+ay2r(t)一无(1一，70)巾)y2(o)dopyg(y)at _ v ， 一z 烈z ) + 出2 ，( f ) + 等y 2 + 等z 2 - - l z 2 以z 弦+ 等缈2 ( z ) 一a ( 1 - r ( f ”l z 2 ( 印硼 + 譬y 2 + 譬f ：- r ( t ) z 2 ( 渺+ 等卉m 等k 2 凼 + 等y 2 + il ) ，2 凼+ 考z 2 r ( 卅l f _ r ( o y 2 ( 渺 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 江苏大学硕士学位论文 假设 s p l s ( x ) ) = c 。，( f ) ，。 0 ( y 。) ，口6 口+ c ，。r o ) 厂，可 得到： 丢咻m p ( 加一等嘶一半7 一等y ) y 2 + 陟啪2 雌烈州譬埘影+ 等l 班2 + ( 考+ 等川一励也凼 + ( 等+ 譬哪一励n ，以油 取= 丽a b + c ，兄= 南，丁l + p 圳以及万= 而1 ，丁l + z m 。，婀得： 丢咻m 净( 肋一筹嘶一譬y 一等y y 2 + 陟咄2 坪绯，+ 埘印+ 争护| 我们记 日( z ) = i , 缈2 q ) 一( 2 + 1 ) z 认z ) + i 1 3 + + 缈+ 了m 厂+ 考力z 2 那么，可以将日( z ) 看成是关于畎力( z 0 ) 的二次函数 于是，容易得到 枷2 + 1 ) z2 - - 4 詈( 譬+ + 影+ i m 厂+ 鲁班2 所以，当y 。 因此，二次函数日( z ) ：= 日( 缈( z ) ) = o 的解是 1 时，则有 j 江苏大学硕士学位论文 或 缈( 力：( , u = + 1 ) z - 堑x l - 歪, u ( 2 亚6 + m 翌+ l 丑) y z i ： 鲤竖三正巫亚( z 0 ) ， ( t 2 + i ) z + z 互l - t 亟( 2 6 + 匦m + 互l ) 7 ( z 0 ，则有 (t2+1)z-zx1-a(26+m+l)y“z)(fl+1)z+zx1-t(2,8+m+l) h 医 l l th ( z ) 0 类似的，我们可以得到h ( z ) 0 ，当z 0 ，这就意味着c = o , 贝j lx q ) = 0 最后，我们来证明系统( 3 5 ) 的所有解的正半轨线都是有界的 考虑集合 d = ( x ，y ，z ) ：y ( 薯，只，乙) 三，y i ) 其中l ，是任意给定的正常数显然d 是有界集 下面，我们将证系统( 3 5 ) 中经过d 中任一点的正半轨线r + 都不会越出有界区 域d 注意到导y o ，因此，经过d 中任一点的正半轨线f + 若是越出有界区域d ，就必须 d t 穿过有界区域d 的边界0 1 9 上的平面部分q 或，其中q 和吒分别表示有界区域 d 的边界a d 上的平面部分y = 和y = _ 根据y ( 薯，只，乙) 的表达式，易知有界区 域d 中的任一点( z ，y ，z ) 都满足 丢+ z ) z l ， ( 3 1 3 ) 即 一a y 一互z z 互z a y ( 3 1 4 ) 事实上，如果y = ，则由( 3 1 3 ) 式的右边可得z o 因此我们可以选择足够大的，使z s g ny = 譬s g ny o ，易 三， o ，m o ，使得，乙( z = m a x , ，m ，) ， 口( 巧+ 乞_ l _ a 2 t ) 五1 ，且满足： ( 1 ) o 缈 砌一争； ( 2 ) f ( y ) s g n y ( b + a r l + 2 a t 2 ) i y i ； ( 3 ) i ( y ( “) ) l ； ( 4 ) i 矽i ，工亿k m ： ( 5 )( a 2 + 1 ) - ( b + a r l + 2 口乞) y ，即f ( y ) - 缈( 口五+ 2 a r 2 ) y 0 ； 当y 0 时，f ( y ) ( b + a t l + 2 a r 2 ) y ；当y 0 时，- f ( y ) - ( b + 口气+ 2 a r 2 ) y 可知，f ( y ) y p + 口气+ 2 a r 2 ) y 2 故 警l = 口缈( 力+ y 缈( 力 ) ，+ 认功+ 口( 缈+ z ) + 厂( y ) + 导口2 瞅f ) 一y 2 p + s ) 降) z + ( 缈+ z ) + 三口2 p 2 ( t ) - z 2 ( f + s ) 】凼 卜烈x o ) ) 一，( y o ) ) 一g ( z o ”+ e ( y o + s ) ) z o 十s ) 凼+ ：绒 o + s ”y + s ) 凼】 = y 2 ( x ) + a z y z + a z 2 + 口2 【) ，2 ( f ) 一y 2 ( f + s ) 降一a y f ( y ) 一a y g ( z ) 一z g ( z ) + 口2 【z 2 0 ) - - z 2 ( t + s ) 降+ ( a y + z ) ( y o + s ) ) z o + s ) a s t o + ( 缈+ 力i ，破( x o + j ) ) y ( f + s ) d s = 一 a b + a 2 毛+ 2 a 2 r e 一缈 ) _ ) ，2 + 口2 y z + a z 2 - a y g ( z ) - z g ( z ) + 口2 乞y 2 一口2 y 2 0 + s + a 2 q z 2 一；。a 2 2 2 ( t + s 迹 + ；j a y ( t ) + z ( t ) i if ；( y ( t + s ) ) o z ( f + s ) i 凼 + i 缈o ) + z q ) o 线( z + s ) ) l l y ( t + j ) i 凼 江苏大学硕士学位论文 i 刭刀 。l a y ( f ) + z ( f ) o ( y o + s ) ) o z o + s ) l 出 。l a y ( f ) + z o ) l i t z ( f + s ) l 幽 争( 缈( f ) + z ( 嘞2 + r z 2 0 + 刚出 三( 口2 ) ，2 + 2 i 彬i + z 2 ) 出+ 1 2 t 2 2 2 0 + s ) 凼 t i l t2 2 + ( a 2 y 2 i - z 2 ) j t - z 2 】幽+ 三z 2 p + s ) 凼 口2 y 2 一- i - z 2 q + 吾r z 2 0 + s ) 出 类似地，可以证得 l a y ( f ) + z o ) o 线( x o + s ) ) oy o + s ) l 凼_ a 2 y 2 乞+ z 2 乞+ 丘丢m 2 y 2 0 + s ) 出 故 詈i 十6 + a 2 q + 2 口2 乞叫o ) ) ，2 + a 2 声+ 彪2 一嗍( z ) 一z g ( z ) + a 2 f 2 y 2 一a 2 y 2 0 + s ) d s - i - a 2 2 - 1 2 2 - a 2 2 2 ( 炒+ a 2 y 2 r l + z 2 巧+ 三r z 2 0 + s ) 凼+ a 2 y 2 乞+ z 2 吃+ e 丢m 2 y 2 0 + s ) 凼 = - a b - t p 7 ( 力) y 2 + 缈( 舷一g ( z ) ) 一z g ( z ) + ( 口+ 口2 q + q + r d z 2 一( 口2 一丢r ) z 2 0 + s 灿一( 口2 一丢m 2 ) y 2 p + s 灿 七6 一缈7 y 2 + 兰【y 2 + 似一g ( z ) ) 2 卜z g ( z ) + o + a 2 1 + 五+ 乞) z 2 一( a 2 - 1 l 2 ) ；q z 2 ( h s 沙一( 口2 1 2 m2 ) e y 2 ( f + s 炒 = 十p 一三) 叫 ) y 2 + 2 9 2 ( z ) _ ( 口2 + 1 ) z g ( 卅( - 譬- + a + r 1 + r 2 + a 2 r 1 ) z 2 一( 口2 一j 1 l 2 ) z 2 ( h s 一( a 2 - 1 z m 2 ) y 2 ( h s 炒 由条件( 1 ) 知_ 口p 一争一( x ) y 2 - - o ( 当且仅当y = o 时等号成立) ；又因为 口2 1 1 2 o ，贝0 口2 一里r o , a 2 - - 1 92 o ，所以 2 。 22 。 2 0 江苏大学硕士学位论文 巾2 一云1l 2 ) 口2 2 2 ( h s 冲o ，_ ( a 2 _ 1 2m 2 ) y 2 ( f + s 灿o 若能证明a z9 2 ( z ) 一 2 + 1 ) 窍( z ) + ( 了a 3 + 口+ q + 乞+ 口2 一) z 2 全日( z ) 。，则可得到 警i o ，( a 2 + 1 ) z - z x 石l g ( z ) 塑：! 堕三巫时， 日( z ) o ；当z o 时，类似地可以得到日( z ) o ，所以h ( z ) o 故警卜o 下面证明定理2 5 中的条件( 3 ) 也成立即需证明k = ( x ，y ，z ) ：丢y = 。) 的最大不 变集是m = 0 ) 以及系统( 3 1 5 ) 的所有解的正半轨线是有界的 为了证明这些，首先令足= ( x ，y ，z ) ：丢y = 。) ，易证k 的最大不变集是m = 。) 事实 上，kc 似y ，z ) ：x ，z 尺，少= o ) ，而当y = o 时，由( 3 1 5 ) 式易得x = o ，z = o 最后，我们来证明系统( 3 1 5 ) 的所有解的正半轨线是有界的 考虑集合 d = ( x ，y ，z ) ：y ( ，以，z t ) l ，l y i 堕( 3 1 6 ) 显然，d 是有界集 下面，我们将证系统( 3 1 5 ) 中经过d 中任一点的正半轨线r + 都不会越出有界区域 d 事实上，由警卜。知轨线上的点若要从区域。内离开，就必须通过这个区域边 界的平面部分，即有这样的瞬i h j t ，使i y ( t ) i = n 下面证明这是矛盾的因为 江苏大学硕士学位论文 y ( z ，y ，z ) 三，所以去( 缈+ z ) 2 上，即 一a y 一2 三 z 2 三一a y ( 3 1 7 ) 若y = ，则由( 3 1 7 ) 右边不等式得z a n 一厄这就是说，当足够大时有z s g ny = d r s g ny o 由此可知当 a t 系统( 3 1 6 ) 的轨线交区域d 的边界的平面部分时，轨线应自外向内穿过，因此系统 ( 3 1 6 ) 的所有证半轨线有界 综上所述，定理2 5 的所有条件都满足因此，系统( 3 1 6 ) 的零解全局渐近稳定证毕 3 2 本章小结 在本章，受s a d e k 和c e m i lt u n c 的启发，我们研究了两类三阶时滞微分方程解 的全局渐近稳定性在研究过程中分别构造了系统( 3 3 ) 、( 3 4 ) 的等价系统( 3 5 ) 、 ( 3 1 5 ) 的l y a p u n o v 泛函最后给出并证明了其零解全局渐近稳定的充分性条件 其中系统( 3 3 ) 是单滞量，系统( 3 4 ) 推广到了双滞量研究此类方程的主要方法 仍是l y a p u n o v 直接法( 即l y a p u n o v 第二方法) ，其中如何构造等价系统是关键但在 利用此方法判断稳定性时，应该注意当系统的零解有某种稳定性时，满足这个稳定 性定理的y ( 曲是否存在 江苏大学硕士学位论文 第四章两类四阶时滞微分方程解的渐近稳定性 在上一章中，我们研究了三阶时滞微分方程，得到其零解全局渐近稳定的充分 性条件，而本章中，我们将研究以下两类四阶时滞微分方程解的渐近稳定性 x 4 + 认戈o ) ) z ( f ) + ( 戈o 一，) ) + g x ( f 一厂) ，戈o r ) 卜厂( x o 一，) ) = o ( 4 1 ) 和 f 4 ( f ) + 烈戈o ) ) z ( f ) + ( 戈o 一，( f ) ) ) + ( 戈o r o ) ) ) + f ( x ( t - r ( t ) ) ) = 0 ( 4 2 ) 4 1解的渐近稳定性分析 4 1 1( 4 1 ) 式解的稳定性分析 显然( 4 1 ) 等价于 z2 y 夕= z 2 = u 西= 一r e ( z ) u 一 ( z ) 一g ( x ，) ，) 一厂( 力 ( 4 3 ) + ，左( z ( s ) ) “ ) d s + f - ，暮，( x ( s ) ，y ( s ) ) y ( s ) 出 + f