（应用数学专业论文）几类不确定时滞系统的指数稳定控制.pdf

摘要 本文主要研究了下面几类不确定时滞系统的指数稳定控制器设计问题 。( + 1 ) = ( a + a ( k ) ) z ( ) + ( a 1 + a 1 ( 七) ) z ( 七一d ) + ( b + b ( ) ) u ( 七) + ( b 1 + b 1 ( 女) ) u ( 一 ) ， ( 1 ) 既( 七+ 1 ) = ( a + a 。( 七) ) 如( 七) + b 啦( k ) + 芝- 二( a 玎+ a 玎) ( 七一 玎) o = 1 ，2 ，) ，( 2 ) j = 1 q 士( ) = ：“( z ) ) a 。z ( t ) + a 出z ( t 一 ) + 日u ( t ) ( 3 ) t = 1 在第一章中，主要介绍了模糊控制，线性矩阵不等式和本文的研究背景 在第二章中，针对一类具有状态时滞和控制时滞的不确定离散系统( 1 ) ，研究了系统的 指数稳定控制器设计问题基于李亚普诺夫稳定性理论，通过构造新的李亚普诺夫函数， 利用线性矩阵不等式方法给出了系统的指数稳定条件和无记忆的状态反馈控制器设计方 案所得结论以线性矩阵不等式形式出现，所提条件具有较小的保守性最后仿真例子说 明了所挺方法的有效性 在第三章中，针对一类不确定离散时滞大系统( 2 ) ，研究了系统的指数稳定弹性控制 器设计问题基于李亚普诺夫稳定性理论，通过构造新的李亚普诺夫函数，利用线性矩阵 不等式方法给出了系统的指数稳定条件并提出了分散的无记忆状态反馈弹性控制器设计 方案所得结论以线性矩阵不等式形式出现，可利用m a t l a b 中的l m i 工具箱十分方 便地求解，而且弹性控制器的应用使得系统仿真更加方便仿真例子说明了这一点 在第四章中，针对一类基于t s 模型的模糊时滞系统( 3 ) ，研究了系统的指数稳定和 动态输出反馈控制器设计问题基于李亚普诺夫稳定性理论，在系统状态未知的情况下， 通过设计系统的模糊观测器，利用矩阵不等式分析的方法给出了系统指数稳定条件和基于 观测器的动态输出反馈控制器设计方案确保了闭环系统和误差系统的指数稳定性所得 结论以线性矩阵不等式形式出现仿真结果说明了所提方法的有效性 关键词；离散时滞系统；模糊系统；指数稳定；弹性控制；线性矩阵不等式( l m i ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ep r o p o s et h ed e s i g nm e t h o d sf o re x p o n e n t i a ls t a b i l i t yc o n t r o u e rf o r s e v e r a lc l a s s e so fu n c e r t a i ns y s t e m sw i t ht i m ed e l a y s z ( + 1 ) = ( a + a ( k ) ) z ( k ) + ( a l + a 1 ( ) ) z ( k d ) + ( 日+ b ( ) 札婶) + ( _ 日1 + b 1 ( ) ) 札( 南一 ) ，( 1 ) z 。( + 1 ) = ( a ；+ a 。( ) ) 黾( 七) + 鼠u ；( k ) + ( a 可+ “) ( 一 巧) ( i = 1 ，2 ，- ，) ，( 2 ) = 1 q 峦o ) = m ( z o ) ) a 。z ( t ) + a 出z ( 一 ) + 鼠u ( t ) ( 3 ) i = 1 i nc h a p t e ro n e ，w em a i n l yi n t r o d u c ef u z z yc o n t r o l ，l i n e a rm a t r i ) ( i n e q u 甜i t ya n dt h e b a c k g r o u n df 0 tt m sp a p e r i nc h a p t e rt w o ，e x p o n e n t i a ls t a b i u t yc o n t m l l e rd e s 培nm e t h o d 8f o rac l a s so fu n c e r t a i n d i s c r e t es y s t e m s ( 1 ) w i t h8 t a t ea n di n p u td e l a y sa r ep r 签e n t e d b a s e do nt h el y a p u n o vs t a - b i l i t yt h e r o ya n dt h el i n e a rm 8 t r i xi n e q u a l i t ya p p f o a c h ，t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yc o n d i t i o n s a n d 址l em e m o r y i e s ss t a t ef e a c ke o n t r o u e rd e s i g nm e t h o d sa r eg i 眦b yi n t r o d u c i n ga n e wl y a p u n o vf u n c t i o n a l a ut h ec o n d i t i o i l sa r ee x p r e s s e di nt e r m s0 fl i n e a rm a t r i xi n - e q u a l i t i e 8 a n dt h ep r o p o s e dc o n d i t i o n sa r el e 8 sc o n s e r v a t i v et h a nt h ep r e v i o u sr e s u l t s ， f i n a l l y an u m e r i c a le x a m p l ei sp r o v i d e dt oi 1 1 l l s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e d a p p r o a c l l 1 nc h a p t e rt h r e e ，e ) 【p o n e n t 埘8 t a b i l i t yc o n t r o l l e rd 髑i g nm e t h o d sf o rac l a s so fu n c e r t a j nd i s c r e t e1 a r g e - s c a l es y s t e m s ( 2 ) w i t ht i m ed e l a 泸a r ep r e s e n t e d b a s e do nt h el y a p u n o v s t a b i l i t yt h e r o ya n dt h el i h e a rm a t r i ) 【i n e q u a l i t ya p p r o a c h ，t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yc o n d i t i o n sa n dm ed e c e t r a l i z e ds t 8 t ef e e d b a c kn o n - f r 8 9 i l ec o n t m l l e rd e s i g nm e t h o d sa r eg i v e n l l b yi n t r o d u c i n gan e wl y a p u n o vf l l n c t i o n a l a ut h ec o n d j t i o n sa r ee x p r e s s e di nt e r m so f l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t j e s t h es i m u l a t j o ni 8e a 5 j e rw i t hn o n f r a g i l ec o n t r 0 王l e r t h es o l u t i o n so fl m ic a nb ee 豁i l y0 b t a i n e db yu s i n gl m ic o n t r 0 1t 0 0 l b 0 xi nm a t l a b f i n a l l y ) an u m e r i c 8 le x a m p l ei s 西v e nt oi 1 1 u s t r a t et h ep r o p o s e dm e t h o d i nc h a p t e rf o u r ，e x p o n e n t i a ls t a b 主l j t yc o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o 如f o rad a s so ft sf u z z ys y s t e m s ( 3 ) w i t ht i m ed e l a y sa r ec o n 8 i d e r e d b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t y t h e r o y ) af u z z yo b s e r v e ri sd e s i g n e dw h e nt h es t a t ei su n k n a w n t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t y c o n d i t i o n sa n dt h eo b s e r v e r 七a s e df u z z yc o m r o l l e rd 商g nm e t h o d sa r eg i v 朗b yu s i n gt h e l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya p p r o a c h i ti 88 h o w nt h a 土t h ed o s e d 1 0 0 ps y s t e ma n dt h ee r r o r s y s t e mc a nb eg u a r a n t e e dt ob ee x p o n e n t i a ls t a b l e a l lt h ec o n d i t i o n sa r ee x p r e s s e di n t e r m so fu n e a rm a t r 议i n e q u a l i t i e s f i n 越l y la 硼m e r i c a le x a m p l ei s 舀v e nt od e m o n s t r a t e t h ev a h d i t yo ft h er e s u i t 8 k e y 、o r d s ：d i s c r e t et i m e _ d e l a ys y 8 t e m s ；n l z z ys y 8 t e m s ；e x p o n e n 乞i a ls t 如i l i t y ；n o n _ f r a 舀l ec o n t r 0 1 ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) 1 1 i 第一章引言 1 1 模糊控制与线性矩阵不等式简介 1 9 6 5 年，美国著名控制论学者l a z a d e h 发表开创性论文f u z z ys e t s ，首次提 出了模糊性问题，并给出了其定量描述方法，从此模糊数学涎生了以模糊集理论为基础 的模糊控制也迅速发展起来模糊控制是以人的控制经验作为控制的知识模型，以模糊集 合，模糊语言变量以及模糊推理作为控制算法的数学控制，用计算机来实现的一种智能控 制它的基本思想是利用计算机实现人的控制，而人的控制经验一般是用语言来表达的， 这些语言表达的控制规则又带有相当的模糊性，是模糊条件语句的形式，可以通过模糊关 系用模糊推理求出控制量 ts 模糊控制系统是目前模糊控制领域最活跃的一个分支之一，该模型是由日本学者 t a l ( a 百和s u g e n o 在1 9 8 5 年提出的t - s 模糊模型提供了一种用模糊集和模糊推理来描 述复杂的非线性系统的有效方法它通过用语言信息结合一些简单的局部的线性系统来描 述高度非线性的动态系统因此t s 模糊模型具有熏要的研究意义和广泛的应用范围 时滞广泛存在于各种动力系统中，如通讯系统，生态系统，化工系统等，时滞的存在 使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时时滞的存在也往往是系统不稳定和系统 性能变差的根源正是由于时滞系统在实际中大量存在，以及时滞系统分析和控制的困难 性，使得时滞系统的分析和综合一直是控制理论和控制工程领域中研究的一个热点问题 2 0 世纪9 0 年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等式再一次受到 控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领域中许多控制问题可以转化为一个线性 矩阵不等式系统的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题由于 有了求锯凸优化问题的内点法，使得这些问题可以得到有效的解决1 9 9 5 年，m a t l a b 推出了求解线性矩阵不等式问题的l m i 工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地来 求解线性矩阵不等式，进一步推动了线性矩阵不等式方法在系统和控制领域中的应用 第一章引言 1 2 研究课题简介 近年来，不确定时滞系统的稳定性分析与控制问题引起了人们的极大关注f 15 1 x i a 和j i a 在文献f 6 1 中，研究了具有状态时滞的不确定系统的鲁棒控制问题x u 等人在文 献 7 中，改进了时滞依赖的稳定性标准m a g d i s 等人在文献 8 中，通过坐标变换，给出 了设计时滞依赖的控制器的新方法然而他们大都仅研究系统的渐近稳定性在文献9 1 中， m o n d i 6 和k h a r i t o n o v 针对一类线性时滞系统，通过构造新的l y a p u n o v 函数，以 线性矩阵不等式形式给出系统的指数稳定条件，并在此基础上研究了中立时滞系统的指数 镇定条件 1 0 】在文献 1 l 】中，l i u 针对线性时滞系统研究了其鲁棒指数镇定问题，并给 出了时滞依赖的指数镇定条件在文献f 1 2 1 中，姜和徐针对带有状态时滞的不确定线性 时滞系统，基于l y a p u n o v 稳定性理论，给出了系统鲁棒指数稳定条件在文献1 3 1 中， c h e n 等人通过描述器模型变换，利用线性矩阵不等式方法，提出了不确定多时滞系统的 时滞依赖指数镇定条件上述文章都是针对连续时滞系统来研究的由于离散系统在系统 仿真，实际等方面的广泛应用，使得不确定离散时滞系统的分析与控制得到了较为深入的 研究 1 4 16 高会军等人在文献 1 7 】中针对一类不确定离散多时滞系统给出时滞相关的 鲁棒镇定条件在文献 1 8 中，k a u 等人利用线性矩阵不等式方法，给出了一类离散不 确定系统的鲁棒稳定的充分条件h s i e n 和l e e 在文献 1 9 l 中研究了离散时滞系统的指 数稳定性，运用矩阵不等式方法，使闭环系统指数稳定但是该方法具有较大的保守性 本文第二章就是在此基础上结合文献【9 l 中的结果，研究了一类不确定离散时滞系统的指 数稳定控制器设计问题基于李亚普诺夫稳定性理论，通过构造新的李亚普诺夫函数，利 用线性矩阵不等式方法给出了系统的鲁棒指数稳定条件和无记忆状态反馈控制器设计方 案，所得结论以线性矩阵不等式形式给出仿真结果表明了该方法的有效性 由于系统空间上的大型化，结构上的复杂化等因素，在工程技术，社会经济和生态生 物等领域中出现了大规模系统，对于这些大系统，集中控制将使得整个控制系统信息交换 异常复杂，从而导致系统集成和运行成本提高，系统可靠性降低2 0 世纪7 0 年代出现 了处理复杂关联大系统的分散控制方法分散控制是指利用组成大系统的各局部予系统信 息构成若干局部控制器，以实现对整个大系统的控制近年来，大系统的分散控制方法受 到了人们的广泛重视，提出了许多有效的分散控制设计方法，并在一典实际系统中取得了 成功应用 2 0 _ 2 2 y u 等人在文献【2 3 ，2 4 】中，基于l y 印u n o v 稳定性理论和线性矩阵不 2 第一章引言 等式方法研究了时滞大系统的分散镇定和控制器设计方法然而他们的研究成果均是针对 连续系统的，对于离散时滞大系统的鲁棒控制方面的结果却不常见f 2 5 - 2 7 1 、沁等人在文 献f 2 8 1 中，针对一类线性离散时滞大系统，给出了系统的分散镇定条件p a r k 在文献 2 9 中，基于l y a p u n o v 稳定性理论，研究了一类不确定离散时滞大系统的鲁棒镇定和弹性控 制器设计问题上述结果仅研究了离散时滞大系统的渐近稳定性，有关指数镇定方面的结 果却极为少见本文第三章就是针对一类不确定离散时滞大系统，基于l y a p u n o v 稳定性 理论和线性矩阵不等式方法，以线性矩阵不等式形式给出系统指数镇定条件和分散的弹性 控制器设计方案由于弹性控制器的引入使得系统仿真极为方便，仿真结果表明了该方法 的有效性 近年来，模糊控制和1 。s 模型得到了快速发展和广泛应用 2 6 ，2 7 ，3 0 ，3 1 - 在文献3 2 】 中，l i u 等人针对一类以t s 模型描述的非线性系统，基于模糊观测器，以线性矩阵不 等式形式给出了设计风。控制器的新方法t o n g 等人在文献 3 3 1 中针对一类以t s 模 型描述的非线性系统，设计了基于t - s 模型的状态观测器，利用线性矩阵不等式方法，设 计基于观测器的模糊控制器，使系统渐近稳定上述结果只是讨论被控系统的渐近稳定性 及控制器设计方法，而且都是针对无时滞的t s 模糊系统进行研究目前，带有时滞的 t s 模糊模型得到广泛关注 3 4 3 8 】_ 在文献 3 9 j 中，首次提出了具有时滞的t s 模糊模 型，并对系统进行了稳定性分析在文献 4 0 中，带有时滞的不确定模糊系统的玩。控制 问题被研究，其中一个充分条件的提出，保证了闭环系统是指数稳定的在文献f 4 1 1 中， 基于l y a p u n o v 稳定性理论，研究了系统的指数稳定性但是所得结果要求系统状态是可 测的，否则状态反馈控制器难以实现本文第四章就是针对一类基于t s 模型的模糊时 滞系统，在状态不可测条件下，设计模糊观测器和基于该观测器的模糊控制器，利用线性 矩阵不等式方法给出了保证闭环系统和误差系统全局指数稳定的充分条件 3 第二章一类不确定离散时滞系统的指数稳定控制 2 1 系统描述及其预备知识 考虑下面具有状态和控制滞后的不确定离散时滞系统： 茹( 忌+ 1 ) = ( a + a ( 七) z ( 七) + ( a 1 + _ 4 i ( 七) ) z ( 七一d ) + ( b + b ( 七) ) ( 南) + ( b 1 + 日l ( 七) ) ( 七一 ) ， ( 21 1 ) z 陋) = 乒( 七) 一d 七0 其中z ( ) 即是系统的状态向量，# ( ) 尾给定的系统初始状态，u ( ) 舻是控制输 入，a ，p ”和且l 毋”是系统矩阵，be 舻“”和b 1 俨。“是控制输入矩阵， a ， 1 ，且和日1 是具有适当维数的时变不确定矩阵，d 和 是已知的正整数，分 别表示系统状态和控制的滞后时间。d = m “ d ，吣，记k 一珥“圳( 女) 协 一d 玉0 系统中的参数不确定性假定是范数有界的，并且满足 i a ( 七)b )a 1 ( 盂)b 1 ( 七) 】= d ，( 七) 正毛上矗届d 正吲( 2 1 2 ) 其中f ( ) 是满足 f 7 ( 南) f ( 七) ( 2 13 ) 的具有适当维数的不确定矩阵， d ，既，b ，岛，聩是具有适当维数的反映不确定结构 的常数矩阵 设计个无记忆状态反馈控制器 u ( 盘) = k 卫( 膏)( 2 14 ) 其中彤“是待定的状态反馈增益矩阵，使得对所有允许的不确定性，闭环系统 z ( 七十1 ) 一 a + b + d f ( 七) ( 醯+ e j k ) z ( 七) + 且1 + d f ( 南) 岛】z ( 孟一d ) + 且l + d f ( 七) 晚j k z 一 ) = a o z ( 七) + 4 d z ( 丘d ) + b z h h )( 2 15 ) = 且。茹( 七) + 4 d z ( 七d ) + z “一h )( 2 15 ) 4 第二章一类不确定离散时滞系统的指数稳定控制 5 其中 a c = a + b + d f ( 女) ( 1 + 蜀) ， a d = a 1 + d f ( ) z 乃， b h = b 1 + d f ( ) 目 是指数稳定的 定义2 1 1 9 对系统( 2 1 1 ) ，如果存在常数c 1 和osa 1 使得 i i 。( 七) | | c l i 咖i i h n 七o 则称系统( 2 1 1 ) 是指数稳定的，其中。叫做系统的指数稳定度 引理2 1 2 4 2 对给定的礼n 对称矩阵s = l i ，其中s 。是r r 维 的，则以下三个条件是等价的 ( )s 0 ； ( 缸) 吼l o ，岛2 一s 五5 矗1 s 1 2 o ； ( i i i )s 2 2 o ，岛1 一日2 s 署s 墨 o 引理2 1 3 【4 2 】给定适当维数的矩阵d 和e ，其中y 是对称的，则 y + d f e + e t f t d t 0 ，使得 y + e d d 丁+ e 一1 f 尹e 0 2 2 状态反馈控制器设计 定理2 2 1 对系统( 2 1 1 ) 和给定的常数q ( o o 1 ) ，如果存在矩阵r m 一，n 阶对称正定矩阵p 1s 和m 阶对称正定矩阵t ，使得对所有允许的不确定性，矩阵不等式 a 否p a da 舌尸b 日 a 五p a c月五尸a d n 2 d s a 暑尸b 日 b 五p a g日五尸a db 吾p z k 一口2 “丁 o ( 2 2 1 1 第二章一类不确定离散时滞系统的指数稳定控制 成立，其中 取控制器 h 二4 苫p 4 c 一口2 p + s + k 丁，k 则系统( 2 1 1 ) 是指数稳定的 证明 选取l y a p u n o v 函数 ( 女) = z ( 七) d y ( ) = z r ( ) p 。( 七) + z 丁( t = 1 1 ) z ( 七一i ) j ) j f t t k n 2 0 一1 ) z ( 七一j )( 2 2 2 ) 其中n 是满足o 。 l 的常数，p ，s 是待定的n 阶对称正定矩阵，t 是待定的m 阶 对称正定矩阵 沿闭环系统( 2 1 5 ) 的任意轨线，y ( 七) 的前向差分为 v ( ) = y ( 七+ 1 ) 一y ( ) + z r ( + 1 一j ) k t t k n 2 ( 一1 ) 。( 七+ 1 一j ) 一茁t ( ) p z ( 七) j = l = z t ( 七+ 1 ) 尸z t ( + 1 ) h 1 z ( 一i ) 一z r ( 七一j ) t 丁0 2 ) z ( 一j ) j = 1 ) s 血2 。z ( 七一i ) 一1 1 z ( 一i ) + ，( 一j ) r t q 。( 女一j ) j = 0 一z t ( 七一j ) 丁丁。2 ( ) z ( 一j ) j = 1 = z r ( + 1 ) p z r ( 七+ 1 ) 一z 丁( 七) 尸z ( ) + z t ( 后) s z ( ) 6 七 丁 z 。m 十 一+z 卜 口c ，) 0 一 l 十 七 t z 。斟 + l + zp1 + r 茁 | | 丁 。甜 一 r z ：l + 砷 zp r z os一 t z 。 一 第二章一类不确定离散时滞系统的指数稳定控制 一z 了( 七一d ) s q 2 ( d 一1 ) 茁( 七一d ) + ( 1 + z 丁( 七) k 丁r z ( ) 一z t ( 一 ) k t 丁a 2 m 一1 ) z ( 一 ) h l 2 ) 芝二z t ( 女一j ) k r 丁k q 巧茁( 一j ) + ( 1 一口一2 ) z t ( 七+ 1 ) p z ( + 1 ) ，= 1 一( 1 一n 一2 ) z t ( 七+ 1 ) p z ( 七+ 1 ) + ( 1 一q 一2 ) z t ( 后) s z ( 七) 一( 1 一一2 ) z t ( 七) s z ( 七) + ( 1 一q _ 2 ) 。t ( ) k 丁t k z ( ) 一( 1 一。一2 ) z 丁( 女) k t t k z ( 七) + z r ( 七十1 一j ) r 丁。2 卜1 z ( 七+ 1 一j ) + q 一2 【a g z ( ) + a d z ( 七一d ) j = l + b h j r 茁( 七一 ) 】t p a g z ( 七) + a d z ( 七一d ) + b h k z ( 南一 ) 一z 了。( 七) p z ( 七) + z 丁( 七) s z ( 南) 一z r ( 七一d ) s q 2 ( d 一1 ) z ( 惫一d ) + z r ( 七) j ，t z ( 七) 一z 丁( 七一h ) r 丁a 2 ( “一1 ) z ( 七一 ) 一( 1 一q 一2 ) z t ( 七) s z ( ) 一( 1 一n - 2 ) z t ( 七) t t z ( k ) = ( 1 一n 一2 ) y ( 七+ 1 ) + a 一2 其中 惩p b h 岛p b h b 矗p b h 一舒h t z ( 七) z ( 七一d ) z ( 一 ) z ( 七) z ( 七一d ) z ( 一 ) n a 苫p a d a 暑p a ga 五p a d a 2 4 s b 蚕p a 。b 五p a d = a 舌p a c n 2 p + s + k t t 从条件( 2 2 ，1 ) ，可得对所有允许的不确定性 y ( ) ( 1 一血一2 ) v ( 七+ 1 ) 7 zos 一 女 z “雠 a 一+ z os 曲 一 l + 自 r z 。汹 +女zp1+七 t z 第二章一类不确定离散时滞系统的指数稳定控制 8 即 从而 其中 y ( + 1 ) q 2 v ( 七) 矿( 七) 0 2 矿( 七一1 ) 0 2 0 2 y ( 七一2 ) 2 2 y ( o ) y ( o ) a 。( p ) + d a 。( s ) + a 。( r r ) 川曲幄 又由v ( ) 的表达式有 y ( 七) a 。；。( p ) | 1 z ( ) | | 2 综合以上三式 z ( 是) | | 因此系统( 2 1 1 ) 是指数稳定的 训 a 口 定理2 2 2 对系统( 2 1 1 ) 和给定的常数q ( o 乜 o ，矩阵 ，p “，对称正定阵x ，m 册”和r m ，使得线性矩阵不等式 一x + c d d r ( a x + b 矿) t a ， b ， 0 0 0 a x + b w a 2 x o 0 e 。x + e h w x w 0 ( 玩x + 蜀) 7 m 壤 n 醴 一e j 0 0 成立，取 “( ) = h ，x 一1 z ( 七) 则系统( 2 1 1 ) 是指数稳定的 证明 矩阵不等式( 2 2 1 ) 可以写成 。旷 。州 o x o o o o 一。砉=。 毋o o舻o o o o泓o o舢。跗。 第二章一类不确定离散时滞系统的指数稳定控制 一2 p + s + j r t 丁koo 0 0 根据引理2 1 2 上式等价于 n 2 d so 0 一n 2 矗r + a 舌 钙 睇 - p 一1 a ga d a 舌 一口2 尸+ s + k r r j f o a 五 。 一q 2 d s 碍 oo 在上式中代入矩阵a c ，以d 和置h 的表达式 一p 一1 a + b k 十d ，( 砷( e 。+ 昂k ) ( + b k + d f ( 七) ( 。品+ 岛耳) ) t 0 2 p + s + r z 耳 ( a 】+ d f ( ) 肠) 7 o ( _ 8 1 + d f ( k ) 日。) 7 o 该矩阵不等式可进一步等价的写成 一p 一1 ( a + b k ) t a ， b ， a + b k n 2 p + s + r t k 0 o a l8 1 0o n 2 8 so 0一q 2 丁 + p a ca 。b h o b h o 0 一0 2 “丁 o a 1 + d f ( 南) 县f岛+ _ d f ( 七) 毋。 d 0 0 0 o n 2 姆 0 。及+ 昂局厮 + o 玩+ 目玩取 t ，( 女) p ( ) d o o o 0 0 一n 2 h ? 0 ，使得 9 o 第二章一类不确定离散时滞系统的指数稳定控制 一p 一1 ( a + b k ) t a ， 卵 + e d 0 0 0 a + b ka 】 q 2 尸+ s + k 。丁? k0 0 一0 2 d s 0o d t o o 应用引理2 1 2 上式等价于 0 b 1 0 o n 2 “丁 ( 玩+ 毋k ) t 酸 砑 o 玩+ 岛k 岛昂 o p 一1 + ( d d ta + b k a 1b l o ( a + b k ) rq 2 p + s + k 丁t k oo ( b + e b k ) 丁 a o 0 2 4 so 爵 田 oo 0 2 6 丁 酲 o e 。七e b k e de h e l o 对上式两边分别左乘和右乘对角矩阵d n 9 j ，p ，s ，t ，j ) ，并令x = p ， k p ，m = s ，= t 一1 可得到 其中 一x + e d d t ( a x + 丑w 7 ) r m a n b o a x + b w 圣 0 0 e 。x 七e b w a l 掰 0 一q 2 d _ 】l f o e d m b l n 0 o n 2 a e h n 0 ( 玩x + 昂w ) r m 砚 n 壤 一e ， 西= 一0 2 x + x 竹一2 x + ? 一1 彤 对上式再一次应用引理2 1 2 ，即可得到线性矩阵不等式( 2 2 3 ) o 口 第二章一类不确定离散时滞系统的指数稳定控制 2 3 系统仿真 考虑不确定离散时滞系统( 2 1 1 ) ，其中 0 2 ，玩= 0 10 1 ，昂= o l ，岛= 0 2 采样周期t = 0 0 0 5 ， 初始条件取为z c t ，= c t ，= 二 一z t 。 解线性矩阵不等式( 2 2 3 ) 得到 x ：5 8 4 5 81 5 8 9 。 ，m ：1 7 - 8 6 。3 a 4 z s s ， x = li ，m = ll ， l 一1 5 8 9 0 6 9 2 3 8 j 【一4 4 7 5 5 1 6 5 2 7 8 j w = _ 0 4 4 2 6m 3 1 3 5 ，= 3 4 5 2 9 ，e _ 1 3 髓1 2 从而可解得 一诫黧斟 ( ) = z ( 七) = x 一1 z ( k ) = _ 0 0 9 3 9 - 0 0 6 6 8 z ( 七) 状态z 1 状态z 2 1 1 1_j 1 2 o o 。l = 黾 1j l l 0 0 l = b 1j o 2m 叫 a 卜 ， | | r m ， 吣 。 吡 毗 r，l rl = | | a d 第三章一类不确定离散时滞大系统的指数稳定控制 3 1 系统描述 考虑由n 个关联子系统s ，t = l ，2 ，复合而成的不确定关联系统： n 毛： z ；( 七+ 1 ) = ( a + a ( 后) ) 飘( 盂) + 鼠u i ( 七) + 芝：( a 。，+ a 订) ( 七一 埘) ，；1 z ( 七) = 识( ) 一h 女so f 3 1 1 ) 其中黾( ) r m ，讹( ) 兄”t 分别是子系统黾的状态和控制向量，咖( ) 是给定的子系统 s 。的初始状态，a 冗一”- 和a ，舻t “- 是常数矩阵，最酽“m 是控制输入矩阵， a ( 七) 册z 一，a f ( 七) 彤t ”t 是子系统s ；的时变不确定项， 灯是已知的系统状态 的滞后时间， 2 “曼紧| v t j ) ，l i 妒l = 一2 1 凝。 呲( 七) 慨l j 圳h2 ；黔，删妒。队) ，4 ，= l ，z ，v n e i u l = j ，“v z ( 惫) = z ( 七) z ；( 七) z ：( 血) 】r 系统中的参数不确定顼假定是范数有界的，并且满足 a t ( 尼) = 飓e ( 七) 晟，a 玎( 七) = l 玎( ) 拙j ( 3 1 2 ) 其中只( 七) 和( ) 分别是满足 口( 七) 只( ) ，和碍( ) 蜀( 惫) ， 的具有适当维数的时变未知矩阵，甄，圾，k ，巧是已知的具有适当维数的矩阵 设计一个分散的无记忆状态反馈弹性控制器 t “( ) = = ( j ，+ 配) z t ( 七)( 3 1 3 ) 其中咒矽“”t 是待定的状态反馈增益矩阵，雎尼“，”t 是弹性不确定性，满足 = 眈也( ) 国甄 吼和g 。是已知的具有适当维数的矩阵，咖( ) 满足 西 ( 奄) 曲l ( 七) 曼， 1 2 f 3 1 4 1 第三章一类不确定离散时滞大系统的指数稳定拉制一1 3 把式( 31 4 ) 代入式( 3 1 3 ) 中可得 u 。( a ) = ( j t + ，t ) z 。( ) = ( k + d 也( 七) g k ) 甄( 七) = ( ，+ 觑也( ) g 。) k z 。( ) ( 3 1 5 ) 把( 3 1 5 ) 代入( 3 1 1 ) 中得闭环系统 其中 ( + 1 ) = 【a + a 。+ b t ( j 十d 如( k ) g 。) 甄】z 。( k ) + ( a 玎十a 玎) 码( 盘一h 玎) j 嚣i = _ l 黾( ) + 瓦( 七一 。) ( 3 1 ，6 ) 夏= a + a 。+ 鼠( j + 色丸( 惫) g 1 ) 甄 瓦，= a 玎+ a 玎 i ，j = 1 ，2 ，一， 设计目的是对每个子系统设计一个形如( 3 1 3 ) 的局部无记忆状态反馈弹性控制器， 使得对所有允许的不确定性，闭环系统( 3 1 6 ) 是指数稳定的 3 2 分散的状态反馈弹性控制器设计 定理3 2 1 系统( 3 1 1 ) ，如果对给定的常数0 兰q 1 和所有的i ，j = l ，2 ， 存在矩阵k j p i ”t 和对称正定矩阵只毋“t ，r 舻t ”t 使得对所有允许的不确 定性，矩阵不等式 五。弩只_ f ，碍只五。刁只_ 只夏 ，焉只_ l 。霉只五 麓只五麓只瓦。 。麓只瓦 j 0 只五。j 0 r 页。j 0 只五；。 j 0 ( 3 2 1 ) 第三章一类不确定离散时滞大系统的指数稳定控制 1 4 成立，其中 。= 霹只_ 一n 2 只+ 也r ， 。= 慈只_ 。一6 ( a 讯) 心。2 ，= 1 ，2 ，) 五= a + a + 鼠( ，+ 现也( ) ) 尬， 瓦= a “+ a 订 则系统( 3 1 1 ) 是指数稳定的，且具有分散的状态反馈弹性控制器( 3 1 3 ) ，其中6 ( ) 是一 个两值函数，6 ( o ) = o ；对v e o ， 6 ( e ) = 1 ；也= 兰16 ( 冯，) 证明 选取l y a p u n o v 函数 y ( ) = 嘲七) 只孔( ) + 巧( 七一m ) 弓d ( a ，加2 ( m - 1 ) ( t = 1 j = 1 m = 1 其中q 是满足0 o 1 的常数，只j t m ，总彤t ( i = 1 ，2 的正定矩阵 沿闭环系统( 3 1 6 ) 的任意轨线，v ( 七) 的前向差分为 y ( ) = y ( + 1 ) 一y ( ) = z ，( 七+ 1 ) 只铂( 七+ 1 ) 一z ) 只岛( 七) 】 t = 1 _ v ” + j = 1m = 1 _ j 一 j = 1m = 1 巧( + 1 一m ) 马6 ( a “) q 2 ( m 1 q ( + l m ) 巧( 七一m ) 毋6 ( a d ) 0 2 ”一1 ( 一仇) ) = z ，( + 1 ) 只戤( + 1 ) 一。，( 女) 只黾( ) 扛= 1 “一1 + 巧( 女一2 ) 马6 ) 2 。巧( 七一2 ) j = lf = o h ” 一z ；( 一f ) r 6 ( ) n 2 ( 卜1 ) ( 七一2 ) ) ) 是待定 第三章一类不确定离散时滞大系统的指数稳定控制 1 5 nn 似 ( + 1 ) 只轨( + 1 ) 一z ，( ) 只( ) j + 时( 尼) 毋d ( 4 玎) q ( 女) t = 1 j = 1 一z ；( 一九玎) 毋d ( a 甜) a 2 “u 一1 ( 七一h ”) + ( 1 一n 一2 ) 巧( 女一2 ) 马d ( 锄) 0 2 2 ( 七 i = l _ v 似 ( + 1 ) 只毛( + 1 ) 一z ( ) 只孔( ) + 时( 忌) 局d ( 如) ( 女) 一碍( 一) 弓d ( 如) 口2 ( b 叫q ( 一) ，= 1 玎 + ( 1 一a 一2 ) z i ( + 1 一m ) 局j ( a j ) a 2 ( m 一1 ) q ( 后+ 1 一m ) ， m = 2 n n = z ( 七+ 1 ) 只魏( + 1 ) 一z ( ) 只孔( ) + 巧( ) 马d ( a 。，) ( k ) l = 1 j = l z ，( 一 玎) 局6 ( a 巧) n 2 ( “”一1 ( 女一 玎) t j + ( 1 一n _ 2 ) 巧( 七+ 1 一m ) 马6 ( a 玎) a 2 ( m 一1 ) ( + l m ) j = 1m = 1 一( 1 一q 一2 ) 巧( ) 弓6 ( a “) 奶( 七) + ( 1 一n 一2 ) 。 ( + 1 ) 只( 七+ 1 ) j = 1 一( 1 一n 一2 ) z ( 七+ 1 ) 只( + 1 ) ) = ( 1 一q 一2 ) y ( k + 1 ) + a 一2 z ，( 后+ 1 ) 只祝( 七+ 1 ) 一。( 七) 只孔( 七) t = 1 n n + 。一2 巧( ) 弓6 ( a 面) ( ) 一巧( 一 ，) 局6 ( 如) 。2 ( 6 1 ( 女一) ) j = 1j = 1 v = ( 1 一o - 2 ) y ( 女+ 1 ) + a 2 。，( 七十1 ) 只甄陋+ 1 ) 一q 2 z ，( 七) 只硝( ) = 1 nn + 巧( 七) d ( 如) 马( 女) 一巧( 七一) 6 ( 铂) 马q 2 “v ( 一) ) c ： 试 口+l+矿 一 n 一 其中 第三章一类不确定离散时滞大系统的指数稳定控制 1 6 q ，= 。手( + 1 ) 只( + 1 ) 一n 2 z ，( ) 只吼( ) + z ；( )