（应用数学专业论文）基于信息的违约传染.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 现有的大多数关于违约传染的文献都假设两个负债人之间的违约是一个直接的因果 关系。s c h s n b u c h e r 于2 0 0 3 年提出信息影响也可导致违约传染，并给出了一个仅有信息影 响而无因果联系的违约传染模型。在此模型中，投资者仅有负债人违约风险真正大小的不 完全信息，而真正的违约风险依赖于一系列不可观测的随机变量，并且这些变量在负债人 之间是相关的。但是，它们却难以估计和量化，一般都带有误差项。于是s c h s n b u c h e r ( 2 0 0 3 ) 利用比例危险模型，令= k 扎，其中，y 为连续、非负的随机变量。 本文推广了s c 6 m u c e r ( 2 0 0 3 ) 模型，假设负债人的违约时间丁i 服从r ( k ，胁) 分布， 同时假设尺度参数屈= 九，并为了具有传染效应，假设它们相等，在不同信息条件下， 具体给出了负债人不同的生存概率与违约危险率。最后，本文对首次违约债券进行定价。 关键词：违约传染；生存概率；违约危险率；首次违约债券 李国荣：基于信息的违约传染 i n f o r m a t i o n d r i v e nd e f a u l tc o n t a g i o n a b s t r a c t m u c ho ft h ee x i s t i n gl i t e r a t u r eo nd a f a u l tc o n t a g i o na s s u m ead i r e c tc a u s a lr e l a - t i o n s h i p sb e t w e e nt w oo b l i g o r s d e f a u l t s s c h s n b u c h e r ( 2 0 0 3 ) p r e s e n tam o d e li nw h i d l d e f a u l tc o n t a g i o na r i s e sw i t h o u tc a u s a ll i n k ss o l e l yf r o mi n f o r m a t i o ne f f e c t s i nt h i sm o d e l ， i n v e s t o r sh a v eo n l yi n c o m p l e t ei n f o r m a t i o na b o u tt h et r u es i z eo fa n yo b l i g o r s r i s ko fd e f a u l t t h et r u ed e f a u l tr i s kd e p e n d so nan u m b e ro fv a r i a b l e sw h i c hn o n eo ft h em a r k e t p a r t i c i p a n t sc a no b s e r v ed i r e c t l y f u r t h e r m o r e 】m a n yo ft h e s eh i d d e nv a r i a b l e sm a y b e c o r r e l a t e da c r o s so b l i g o r s h o w e v e r ，t h e ya r en o t o r i o u s l yd i f f i c u l tt oe s t i m a t ea n dq u a n - t i f y , a l m o s ta l lo ft h e mc a r r yl a r g ee s t i m a t i o ne r r o r s t h u s ，s c h i ! m b u e h e r ( 2 0 0 3 ) u s ep r o - p o r t i o n a lh a z a r d sm o d e la s u m i n gt h a tt h ed e f a u l th a r a r dr a t e sa r en o tf u l l yo b s e r v a b l e b u tt h e yc a r r yam u l t i p l i e a t i v ee r r o rt e r my ，i e h = 凡w h e r eyi sac o n t i n u o u s n o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l e t h i sp a p e rp r e s e n ta ne x t e n s i o no ft h es c h s n b u c h e r ( 2 0 0 3 ) m o d e l ，w i t ht h ea s s u m p - t i o nt h a tt h ed e f a u l tt i m eo b e y i n gf d i s t r i b u t i o na n dt h es c a l ep a r a m e t e r 觑= 九f o r e x h i b a t i n gc o n t a g i o np r o p e r t i e s ，w ea s s u m ea l lma r ee q u a lu n d e rd i f f e r e n ti n f o r m a t i o n ，t h eo b l i g o r s s u r v i v a lp o r b a b i l i t i e sa n dd e f a u l th a z a r dr a t e sa r ed i s c u s s e d f i n a l l y , w e p r i c et h ef i r s td e f a u l tb o n ( i s k e y w o r d s ：d e f a u l tc o n t a g i o n ；s u r v i v a lp r o b a b i l i t y ；d e f a u l th a z a r dr a t e ；t h e f i r s td e f a u l tb o n d s 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 作者签名 鳞嗍出、厂。 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 壅! 垫蓥 垒奎羞 型年月竺日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1研究意义和应用前景 资产证券化源自2 0 世纪7 0 年代，第一笔担保债权凭证交易，1 9 8 8 年出现在美国， 然后在欧美迅速发展目前已成为重要的债券市场。我国金融产业发展正值转型期，金融 行业除面对人民币升值带来经营压力外，同时亦需规避评等较差的债务人的信用风险。 1 9 9 7 年发生的亚洲金融危机，造成许多公司企业纷纷违约、甚至倒闭，造成一连串的金 融危机连锁效应。因此，公司间的荣枯是相互关联的，且均会受总体经济因素所影响。 所以公司企业违约相关问题成为了近年来金融信用风险领域上重要议题。 近来大多数文献就违约相关的原因及其本质进行了探讨，对违约传染现象也越来越 关注。违约传染通常是用来描述一个大公司的违约对其他公司的影响。它一般有两类典 型的影响：( 一) 即时的市场影响。即时市场影响主要表现为其他债务人的信用价差立即 出现显著增大，甚至呈现出跳跃性的变化。( 二) 延时的市场影响。延时市场影响主要表 现为其他债务人在接下来的时期里发生违约。在现实中，我们可能同时观测到上述两种 违约传染的影响，或者价差增大或延时违约现象，这都取决于现实情况。比如1 9 9 7 年亚 洲金融危机，2 0 0 1 2 0 0 2 年e n r o n 事件、w o r l d c o m 公司违约事件以及互联网与通讯 泡沫的破灭导致了整个信用市场受挫。 现有关于违约相关的文献主要是借助初始违约债务人a 和随后违约债务人b 之间 的直接因果关系对违约传染进行了描述j a r r o w 和y u ( 2 0 0 1 ) 举了一个汽车行业的例 子：a 是一主要汽车制造商，而且a 是小供应商b 的唯一主顾，如果4 违约，那么b 就会倒闭。在这些例子当中，这种直接因果关系看起来似乎精确地描述了违约传染的本 质( 举例来说，在1 9 9 7 年亚洲金融危机中，母公司的违约引起子公司的违约) 。 然而在其他一些情况下，用直接因果关系来解释违约传染显然是不合情理的。例如， 在调查w o r l d c o m 会计欺诈案时期内，福特汽车信用公司( f o r dm o t o r c r e d i tc o ) 发行 的信用差价为5 2 5 j u n e 0 8 债券在2 0 0 2 6 6 、2 0 0 2 8 9 和2 0 0 2 1 2 1 9 日分别跳跃了1 0 功、 2 9 助和1 4 6 p 。但是事实上，f o r d 公司仍旧存活下来了。这显然表明： w o r l d c o m 公 司的破产并没有使f o r d 公司破产。 而且，在同一工业行业中，一旦有公司违约，其他竞争对手的信用价差倾向于明显 增大。而如果只用直接因果关系的违约传染来解释的话，这就会看到相反的情形发生， 即：其他竞争公司的信用价差倾向于减少。违约对其他竞争对手来说是一个好消息。信 用价差变化的原因似乎在于外在的对市场察觉的变化、而不是潜在事实的自身变化。市 李国荣：基于信息的违约传染 场察觉风险增加导致信用价差的放大可以观察到的例子有：2 0 0 0 2 0 0 2 年通讯行业的频 繁违约，或2 0 0 1 年9 1 1 事件后的民航部门。民航部门中的其他竞争对手仍旧支付其债务 的而面对真实的糟糕情况，能继续存活的一个可能解释是：事实上，违约的竞争公司并 没有倒闭，而是继续超负荷的运转，同时也被它们的债权人保护着。但是在其他行业( 尤 其是通讯行业) ，这种信用价差增大的观点不成立，困惑仍旧存在。 显然地，在现实中投资者甚至债务人自己只能获取任何债务人真实违约风险的大小 不完全信息这种真实的违约风险取决于一系列的变量，而这些变量是市场参与者不能 直接观测到的。而且，许多隐含变量使得债务人相关联，尤其是在高不确定性的整个行 业或部门，像债务人产品的市场需求、商业成本结构、财政报告系统的诚实和可靠性( 包 括审计员的诚实度) 或中央银行的外汇储备的真实数量( 对母公司而言) 等变量，很明显 是难以估计和量化的。几乎所有变量对债务人的违约风险有着明显的影响，但对它们进 行估计时会存在很大的误差。 考虑到这种不确定性，任一债务人的违约可看成是这种风险的表现因此它传递了 迫使这个债务人违约的真实的隐含变量参数的信息。显然这是消极的信息。市场参与者 将利用此信息修正其他债务人的风险大小，以及对其他债务人的信用价差向上跳跃程度 进行测量另外，因为不同的债务人通过隐含变量起作用从而使得违约概率是相关的， 这些隐含变量不仅对债务人信用价差有影响，而且实际的违约事件本身倾向于在这种情 境下发生的更加频繁 与大多数现有研究相反，本文推广了s c h s n b u e h e r ( 2 0 0 3 ) 基于信息的违约传染模型。 这种违约传染模型无需假设债务人之间的直接因果关系，而是假设信息影响导致违约传 染，即：如果投资者没有完全地被告知影响债务人真正信用额度大小的信息。在这种情 况下，一个债务人的违约会传递其他债务人违约风险大小的重要信息。这样，最终会导 致投资者对其他债务人的债务市场价格进行下调本文主要对这种基于信息驱动而使得 信用价差增大的违约传染进行了研究。 1 2 国内外研究现状分析 目前文献上描述违约过程的信用风险模型中，主要分为两大类：结构式模型( s t r u d u r a l m o d e l ) 与缩减式模型( r e d u c e d f o r mm o d e l ) 结构式模型由m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 首先提 出，其主要模型假设债务人的资产动态过程服从对数正态分布，且当债务人的资产低于某 阈值时发生违约缩减式模型是由j a r r o w 和t u r n b u l i ( 1 9 9 5 ) 等人提出，s c h s n b u c h e r ( 2 0 0 3 ) 等加以发展，其主要模型假设违约是随机发生的，且同时服从随机跳跃过程。理论或实证 上，验证并管理多个债务人的信用风险时，需考虑多个债务人违约相关性的存在，方能 2 大连理工大学硕士学位论文 准确地衡量信用风险。故在信用风险管理中，违约相关性的估计与考虑显得格外重要。 因此多个债务人的违约相关性模型几乎都是建立在这两个模型的基础之上的 4 1 2 1 结构式模型( s t r u c t u r a lm o d e l ) 本模型亦称为公司价值模型( f 打m v a l u em o d e l ) 或称为或有未定权益法( c o n t i - n g e n tc l a i m sa p p r o a c h ，c c a ) 。此模型视公司债务为公司资产的或有未定权益，当公 司的资产小于负债时，则公司破产以m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 模型以及b l a c k 和c o x ( t 9 7 6 ) 首 次通过时间模型( f i r s tp a s s a g et i m em o d e l ) 为主，将公司所有流通在外的有价证券视 为对公司价值的或有未定权益，其价值类似以公司价值为标的资产，丽以负债总额为履 约价格的买权，由b l a c k s c h o l e s 模型，即可求得股权价值，而债券价值则为公司价值 扣减股权价值。 结构模型在实际评价时所面临到的重大问题在于公司真实价值以及负债价值的认 定，由于公司价值中的商誉等既无法交易亦不易直接观察，因此难以正确评估公司价值。 此外，面对公司复杂债权的不同求偿顺序，更添加了评价的困难度故对公司真实价值 估算的困难性，造成了结构模型实际运用上的瓶颈。更重要的是，此类模型无法应用信 用评级的相关信息，造成无法充分运用市场信息，而对信用衍生金融商品进行评价时， 可能发生价值扭曲等严重问题。 m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 首先利用公司资产负债的资本结构，针对债券的违约风险加以计算。 此模型的债券价格受公司价值波动的影响，模型假设若公司无法支付本金，则债券发生 违约因此，信用风险只发生在债券到期时。就因为假设违约不会发生于债务到期前、 公司债务仅有一种形式( 排除不同到期日、不同偿债等级) ，故破产仅发生于公司资产价 值小于负债时等情况，从而模型排除了流动性不足造成的公司破产或是债务违约 b l a c k 和c o x ( 1 9 7 6 ) 为解决m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 信用风险只发生在债券到期时的缺点， 考虑了债券到期前的违约风险。本模型在债券到期前设定破产边界值，当公司价值触及 此边界值，则该公司就立刻面l 临破产清算的状况亦即，透过增加了破产边界条件以求 得最后信用风险公司债务的评价公式，使本模型得以包含到期日前违约的情形，以修正 m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 模型中，信用风险只发生在债务到期时的缺点。故此类结构模型又称为首 次通过模型( f i r s tp a s s a g et i m em o d e l ) 。z h o u ( 2 0 0 1 ) 以首次通过时间模型为基础， 提出多个企业间的违约相关性模型。该文定义当企业的价值第一次触及违约的界限时， 此企业违约因此，求取两企业间的违约相关系数相当于计算二维随机过程通过界限的 概率 3 李国荣：基于信息的违约传染 1 2 2 缩减式模型( r e d u c e d f o r mm o d e l ) 缩减式模型又称违约强度模型( i n t e n s i t ym o d e l ) 。不像结构式模型，缩减式模型并 不明确的把违约决定于债务人的价值。在使用该模型的过程中并不需要估计与债务人价 值相关的一些参数。而且，这两种模型根本的区别就在于对违约预测的程度。事实上， 由于缩减式模型更容易包含各种突然发生的违约状态，所以它要比结构式模型更一般。 缩减式模型具有下列特点：( 1 ) 假设市场完整( c o m p l e t em a r k e t ) 且为完美市场并 符合无套利限制条件。( 2 ) 通过违约概率的计算以求得信用风险债券的价格，无需计算 债务人的资产。( 3 ) 违约为随机过程。( 4 ) 违约挽回率( r e c o v e r yr a t e ) 为外生变数。 ( 5 ) 可以运用信用等级的信息对债务人的风险以及信用衍生品进行定价 1 2 2 1 基于直接因果关系的违约传染模型 许多模型都是描述性的。即它们刻画菲违约债务人的违约风险是单调上升的这类 模型完美的刻画了直接因果关系的违约传染 j a r r o w 和t u r n b u u ( 1 9 9 5 ，以下简称j t ) 首先提出违约强度模型，之后陆续有许多 针对违约强度进行延伸的模型，例如：d u f f l e 和s i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) 、l a n d o ( 1 9 9 8 ) 。j t 是利用类似国外货币的概念来考虑信用风险，根据信用风险发生时债权人的回收率，来 计算可能发生违约的概率。，t 利用不同于m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 的方法来评价信用风险。假设 破产过程与无风险利率期限结构彼此独立且都为外生变量，由无套利限制条件来评价信 用风险。 j a r r o w ，l a n d o 和t u r n b u l l ( 1 9 9 7 ，以下简称，贸扩展了j t ( 1 9 9 5 ) 的模型，首先将 信用等级的信息运用在信用风险债券的评价上，此模型具有以下特点：( 1 ) 同一公司不 同债权的求偿顺序可用不同的回收率表示( 2 ) 能结合任何模型的无风险利率期限结构 ( 如h j m ( 1 9 9 2 ) ) 。( 3 ) 利用信用等级历史转移概率( t r a n s i t i o np r o b a b i l i t i e s ) 决定风险 中立概率。( 4 ) 能用于评价信用衍生品与信用风险债券等，并且进行避险。l a n d o ( 1 9 9 8 ) 对，工t 模型进行了扩展，额外考虑了违约风险与利率相关的因素。 另外，d 札f f i e 和s i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) 使用独立的泊松过程( p o i s s o np r o c e s s ) 将违约 过程的相关陛模型化，此方法必须事先假定相关系数的符号。d a v i s 和l o ( 2 0 0 0 ，2 0 0 1 ) 首次用违约传染建立数量信用风险模型，在此模型中，一个债务人的违约引发了到”高 风险制”的转变，在这个时期，其他债务人的违约强度上升。当另外一个独立的泊松跳 发生时，又回复到正常状态。他们利用两种概率模型分析债务人之间的交互影响效果。第 一种模型假设产业内个别债务人的违约事件将迅速且连锁地传染给同行业的其它其他债 务人，其结果显示随着传染扩大，违约概率分配除变异数会增加外，也会呈现厚尾现象 4 大连理工大学硕士学位论文 第二种模型为一连续时间随机过程( e n h a n c e d r i s km o d e l ) ，其分析结果和第一种模型 类似。l i ( 2 0 0 0 ) 模型中，高斯分布c o p u l a 所隐含价格动态保持较一般化，可模拟产生 较为一致的违约情境，但是仍旧无法产生信用价差曲线。d u f f i e 和g a r l e a n u ( 2 0 0 1 ) 假 设违约强度的相关性为一跳跃过程，利用风险中立评价法针对担保债券凭证( g d o ) 分 券予以定价。该文中利用违约强度过程由两个仿射过程( a f f i n ep r o c e 8 8 ) 组成的假设， 来捕捉违约相关性。其实证结果显示，在用蒙特卡罗模拟违约时间时，除违约时间相关 性显著影响个别分券的市场价值外，权益分券的价格增加与违约时点成正相关性该模 型虽然理论架构严谨，但仍有步数缺点，当与实证资料比较时，由该模型估计的违约相 关性过低，此外，该模型针对违约相关结构的分析也很复杂。 j a r r o w 和y u ( 2 0 0 1 ) 将d u f f i e 和g a r l e a n u ( 2 0 0 1 ) 模型予以扩展，导入信用违约 传染模型，建立了一个类似于d l 的模型，用以分析不同债务人之间信用风险相关性对 违约造成的影响，不同的是这里其他债务人的违约以固定的百分比传播给某个债务人。 在衡量个别债务人的信用风险时，必须考虑因为其他风险相关债务人的违约而产生信用 风险跳跃的情况，以计算不同债务人特定的信用风险；这种特定的信用风险由自身的信 用风险和与其他债务人间的信用风险的相关总和所构成。这个模型直观上非常吸引人， 且可较真实地估算违约相关性。不幸的是计算相当复杂，因为每一对相互违约影响需要 增加一个新方程到非线性方程系统中，而这是求解甚至一个简单的单变量生存概率所必 需的。a v e l l a n e d a 和w u ( 2 0 0 1 ) 具体的描述了从每种可能违约状态到另外一种违约状态 的转换强度。这里的违约状态是由在这种状态下违约债务人的子集所刻画。而且这也纯 粹是一种描述睦的模型。g i e s e c k e 和w e b e r ( 2 0 0 2 ，2 0 0 3 ) 利用直接因果关系建立了局部 相互影响的近邻违约传染模型。每一个债务人的违约将使近邻债务人的违约强度增加。 同时，g i e s e c k e 和w e b e r ( 2 0 0 2 ，2 0 0 3 ) 推导了在这种情形下违约的极限分布，并表明在 维数足够高的近邻结构中，这种分布是非常重要的，因为它准确地描述了现实中的违约 分布。 近来，一些文献采用动态更新过程来对信用风险模型中的信用差价的动态变化进行 描述。s e h s n b u c h e r 和s c h u b e r t ( 2 0 0 1 ) 建立了一个基于c o p u l a 的信用风险模型。他们 将违约相关性纳入信用违约强度模型中，而发展出一套最一般化c o p u l a 函数分析及一 致睦的个别违约强度动态模式，亦即可推估个别债务人的存活概率与信用价差的动态过 程。在此模型中，投资者可以实时地知道引发违约的真实的参数值( c o p u l a 相依) 。其 研究结果显示信用违约传染( d e f a u l tc o n t a g i o n ) 的变化，将导致原先无违约债权人信用 价差急速跳跃上升( j u m pu p w a r d ) ，尤其在c l a y t o nc o p u l a 下，这一跳跃幅度与事前违 约( p r e d e f a u l t ) 强度成正比。若假设债务人之间在信息不对称情况下，则该模型退化 5 李国荣：基于信息的违约传染 为最一般的个别债务人的违约强度模型，这一特性将有利于数据校准。g a g l i a r d i n i 和 g o u r i d r o u x ( 2 0 0 3 ) 扩展了s c h s n b u c h e r 和s c h u b e r t ( 2 0 0 1 ) 、j a r r o w 和y u ( 2 0 0 1 ) 所建 立的信用风险模型。他直接对c o p u l a 变换触发变量和违约时间的联合条件分布建模。 在c o l l i n d u f r e s n e 等( 2 0 0 2 ) 的信用风险模型中，不确定性的真实的经济状态是一 有限状态集。投资者通过是否发生违约来了解这些状态。就违约传染而言，它意味着一 个违约事件对经济产生整体影响。同时作者分析了违约传染对定价和风险溢价的影响。 g i e s e c k e ( 2 0 0 1 ) 分析了具有多个债务人的公司价值模型，投资者知道债务人违约障碍的 真实参数值。s c h s n b u c h e r 和r o g g e ( 2 0 0 2 ) 扩展了s c h s n b u c h e r 和s c h u b e r t ( 2 0 0 1 ) 的模 型，提出信用价差与违约强度的联合动态过程，描述了导致其他债务人信用价差扩大的 违约传染的动态变化，并推导出违约者与非违约者间违约与存活的联合概率以及敏感度 的解析解表示法，这将有利于日后债务人的避险操作。此外，该文中发现a r c h i m e d e a n c o p u l a 相较于实务界常使用的高斯分布c o p u l a 或t 分布c o p u l a ，可产生较为真实的 信用价差变化过程。然而，该模型的最大缺点是仿真过程复杂，不易执行。 1 2 2 2 基于信息驱动的违约传染模型 s c h s n b u c h e r ( 2 0 0 3 ) 首次建立了一个基于信息的违约传染模型。违约传染由信息影 响产生，而不是由直接因果关系产生，即违约传染是由于投资者没有完全被告知影响 债务人真正信用额度大小的信息所引起。在一个简单的基于强度违约传染的模型中， s c h s n b u c h e r 利用不可测的脆弱变量对这种信息估计误差进行了刻画。在此模型中，若 一个债务人违约，那么其他债务人的违约强度呈现出跳跃性，跳跃的程度与相应脆弱变 量的方差成比例这就使得模型具有更高( 更现实) 水平的违约依赖性，它存在于债务人 之间，而且不能被纯粹的基于扩散强度的模型所捕获。同时，该模型没有增加计算的复 杂巨。相依参数可直接从市场中所观察到的信用价差获得。这样，在价格概率下就获得 一个完全具体的模型而无需历史违约相关性数据。 1 2 3 现有研究存在的主要问题 现有研究不能很好的解释除直接因果关系之外的违约传染，比如：近来e n r o n 事件 和w o r l d c o m 公司的违约事件等。另外，在同一行业中，一旦有公司违约，其他的交易 对手的信用价差倾向于明显增大。而如果只用直接因果关系的违约传染来解释的话，就 会看到相反的情形发生。 s c h s n b u c h e r ( 2 0 0 3 ) 对此提出了基于不完全信息的另一种违约传染的解释。即是通 过不完全信息影响驱动违约传染但是，s c h s n b u c h e r ( 2 0 0 3 ) 仅讨论了违约时间r i 服从 简单指数分布的情况，而对更一般的伽玛分布是否也有类似结论并未讨论，并且忽略市 6 大连理工大学硕士学位论文 场的其他因素的影响，而只假设到某一时刻负债人得到的唯一信息是负债人是违约还是 生存，这是不实际的。因此，我们还可以考虑市场中其他因素的影响，计算负债人的生 存概率及违约危险率，进而分析一旦某个负债人违约对其他负债人的影响 1 3 论文创新点及写作章节安排 1 3 1 论文创新点 现有的大多数关于违约传染的文献都假设两个负债人之间的违约是一个直接的因果 关系s c h 6 n b u c h e r 于2 0 0 3 年提出信息影响也可导致违约传染，并给出了一个仅有信息影 响而无因果联系的违约传染模型。在此模型中，投资者仅有负债人违约风险真正大小的不 完全信息，而真正的违约风险依赖于一系列不可观测的随机变量，并且这些变量在负债人 之间是相关的。但是，它们却难以估计和量化，一般都带有误差项。于是s e h h n b u c h e r ( 2 0 0 3 ) 利用比例危险模型，令= a t ，其中，y 为连续、非负的随机变量。 本文推广了s c h s n b u c h e r ( 2 0 0 3 ) 模型，假设负债人的违约时间气服从r ( k ，屈) 分布， 同时假设尺度参数危= m ，并为了具有传染效应，假设它们相等，在不同信息条件下 ，具体给出了不同的生存概率与违约危险率。我们可看到，当k = 1 时，该模型就退化 为s c h 6 n b u c h e r 模型。当有一个负债人违约时，其它负债人的违约风险呈现出跳跃性， 违约传染的大小为相对跳跃的大小，即等于y 的方差与y 的均值平方之比。同时也可 看出，y 的不确定性越高( 即方差越大) ，由违约传递的信息也越多。相应地，传染的 影响就越大。 最后，本文对首次违约债券进行定价。并求出了它的解析解。 1 3 2 论文写作章节安排 本文的基本框架如下； 第1 章，介绍选题背景，对现有研究文献进行分类综述。 第2 章，基本概念与理论初步主要介绍本文所用到的生存分析、比例危险模型、 脆弱模型、l a p l a c e 变换和期权定价理论等知识。 第3 章，基于信息的违约传染模型。 7 查垄猩三盔兰堡主堂垡鲨塞 2 基本概念及理论初步 2 1 生存分析预备知识 2 1 1 生存分析的基本函数 生存分析研究的对象是非负随机变量x ，它的特征可用下列函数或数字特征来刻 画： ( 1 ) 生存函数s ( t ) s ( t ) = p ( x t ) = i p ( x t ) = 1 一f ( t ) ( 2 1 ) 其中f ( t ) 为分布函数。s ( t ) 又称为可靠度函数或可靠度。显然， s ( o ) = 1 ， s ( 。) = 0 。当x 有分布密度函数，( t ) 时，有： s ( t ) = i ( u ) d u ( 2 2 ) 我们常记x 的数学期望为弘，方差为矿，中位数为m 。 ( 2 ) 危险率函数a ( t ) = 抽l i m 。+ - - 焘p ( x t ) ( 2 3 ) 这里假定极限存在。a ( t ) 又称为损坏函数、失效率函数等当x 的密度函数，( t ) 存 在时，又有： 琊) = 尚= 器一鬻 ( 2 a ) 或 s ( t ) 2 唧( 上1 ( u ) d ) ( 2 5 ) 而且满足： 上1 ( u ) 砒。 ( 2 同 ( 3 ) 累积危险率函数a ( t ) 邶) = 小u ) 砒 ( 2 7 ) 李国荣：基于信息的违约传染 a ( t ) 又称为累积损坏函数、累积失效率函数等，用鞅论方法研究生存分析时，它充 当十分重要的角色。类似地，我们有： s ( t ) = e - a ( 。( a ( + o 。) = o o ) ( 2 8 ) 密度函数f ( t ) 也可以用a ( t ) 、a ( t ) 来表示，就是： ，( t ) = a ( t ) s ( t ) = a ( t ) e 一片1 ( “) 乱= a ( t ) e 一“( 。 ( 2 9 ) ( 4 ) 平均剩余寿命m ( t ) m ( t ) ：e ( x t l x ) = f r l os 豇( r u ) d u ( 2 a o ) 在实践中往往很注重对a ( t ) 性质的研究。一般地，如a ( ) 单调上升，就称x ( 或f ) 具有递增损坏速度( i n c r e a s i n gf a i l u r er a t e ) ，简记为i f r ；如a ( t ) 单调下降，就称x ( 或 f ) 具有递减损坏速度( d e c r e a s i n gf a i l u r ep 。a t e ) ，简记为d f r 。有时我们也考虑所谓 平均危险率t 新冰胁( 2 1 1 ) 类似的，若上式递增，则称x ( 或f ) 具有递增平均损坏速度( i n c r e a s i n gf a i l u r er a t e a v e r a g e ) ，简记为i f r a ；若上式递减，则称x ( 或f ) 具有递减平均损坏速度( d e c r e a s i n g f a i l u r er a t ea v e r a g e ) ，简记为d f r a 。 2 1 2 生存分析常见的参数模型 虽然在生存分析中用的方法大部分都是非参数或半参数的，但参数模型仍占重要地 位。如果被研究总体被纳入参数模型，常常会事半功倍。下面列出了几个常见的参数模 型，它们都已被人们较为深刻地研究过，掌握它们不仅便于实际工作，也利于对非参数 模型的理解 ( 1 ) 指数分布( 参数a 0 ) 首先讨论指数分布，它的特点是历史地位重要、数学形式简单，并且具有许多重要性 质。其生存函数、密度函数和危险率函数等具有如下形式： s ( t ) = e 。( t 0 ) f ( t 、= a e 一“ a ( t ) = a a ( t ) = a t 1 0 大连理工大学硕士学位论文 不难算出p = ，o - 2 = f 1 。当a = 1 时，我们称之为标准指数分布。 指数分布具有无记忆性，即： p ( j r 。+ z l x 。) = p ( x z ) ( 2 1 2 ) 这一性质使得它在数学上易于处理，但是也限制了它在可靠性研究领域的应用。根 据无记忆性可知，e ( x x l x 。) = e ( x ) = 1 x ，即平均剩余寿命为常数。由于未来 发生某事件的时间与历史记录无关，无记忆性有时也称为“不老化陛。指数分布的危 险率为常数也同样体现了这一性质。这里，给定事件在任意时刻岱之前尚未发生的条件 下，事件在时刻z 发生的条件概率与z 无关。尽管历史上指数分布很受欢迎，但在健康 领域和工业领域，其常数危险率的限制显得过于苛刻。 指数分布的均值和标准差都是1 a ( 也就是说，其变异系数( c o e f f i c i e n to fv a r i a t i o n ) 为1 ) ，p 分位数为x p l n ( 1p ) a 指数分布是w e i b u l l 分布和g a m m a 分布的特 例，因此下面将要介绍的这两种分布的性质也适用于指数分布。 ( 2 ) w e i b u l l 分布( 参数a 0 ，p 0 ) w e i b u l l 分布的生存函数、密度函数和危险率函数等具有如下形式： s ( t ) = e - ( 1 。) 9( t o ) f ( t ) = 祁( a t ) 4 1 e 一( 1 。) “ a ( t ) = 祁( 舳) 4 。1 a ( t ) = 卢( m ) 4 由此可得：p = r ( 1 + p 一1 ) a ，盯2 = 【r ( 1 + 2 卢一1 ) 一r 2 ( 1 + p 一1 ) 】a 2 ，其中r ( ) 是 g a m m a 函数。对于不同的p 值，w e i b u l l 分布的密度函数呈不同的形状，因此p 也称 为形状参数。同时可以看出当p 1 时，危险率函数单调上升；当卢= 1 时，危险率函 数为常数，w e i b u l l 分布退化为指数分布。正因为这种多变性，w e i b u l l 分布能适合许 多实际情况。 w e i b u l l 分布也被称为极值分布的第一近似分布( g u m b e l ，1 9 5 8 ) 。该分布是作为连 续分布中最小样本的极限分布而出现的，因此，在某些情况下，人们建议使用w e i b u l l 分 布作为近似分布。 ( 3 ) g a m m a 分布 g a m m a 分布和w e i b u l l 分布有一些相似的性质，尽管它在数学上不是那么易于处 理，其密度函数形式为： f ( x ) = 警( 2 1 3 ) 1 1 李国荣：基于信息的违约传染 其中：a 0 ，卢 0 ，。 0 ，r ( 8 ) 是g a m m a 函数。与w e i b u u 分布类似，我们称a 为尺度参数，称卢为形状参数。与w e i b u l l 分布一样，g a m m a 分布也包含了指数分布 这一特例( 口= 1 时) ；当卢一o 。时，逼近于正态分布；当u = 2 8 ( 8 为整数) ，a = 1 2 时，得到自由度为t ，的x 2 分布。g a m m a 分布的均值和方差分别为卢a 和卢a 2 当口 1 时，g a m m a 分布的危险函数是单调递增的，且有h ( 0 ) = 0 ，而且当窖一。 时，有h ( x ) 一a ；当卢 1 时，g a m m a 分布的众数为z = 一1 ) 肛 g a m m a 分布生存函数的表达式为： ，= 旦产 ：，一篮：兰! ：! ：塑 r ( 8 ) = l 一，( 口，知) 这里是不完全g a m m a 函数。 当卢= n 为整数时，我们可以通过式( 2 2 ) 和式( 2 4 ) 分别求出e r l a n g i a n 分布的生 存函数和危险函数，化简后得： 跗) _ e - h 萎鳟 ( 1 4 ) s ( z ) = e 以。! 笔 ( 2 且 ，2 高篷辛 嘲 ( 4 ) 广义g a m m a 分布( 参数a 0 ，卢 0 ，o t 0 ) 巾) = 羔( a t ) 州e 删4 ( t o )( 2 1 6 ) 当口= 8 = 1 时，为指数分布； 当口= 1 时，为w e i b u l l 分布5 当卢= 1 时，为g a m m a 分布。 2 2 比例危险模型与脆弱模型 2 2 1 比例危险模型 本小节主要介绍c o z ( 1 9 7 2 ) 提出的乘法危险模型，也称为比例危险模型。一般地，令 x 表示对应某一事件的发生时间。若我们的数据来自容量为n 的样本，包括三个变量乃， 1 2 大连理工大学硕士学位论文 岛，易( t ) 0 = 1 ，n ) 。其中t j 表示对第j 个个体的研究时间，如是事件标识变量( 即 如果事件发生，则如= l ；如果其寿命为右删失，则岛= 0 ) ，乃( ) = ( 乃t ( t ) ，乙，( ) ) 表示第j 个个体在时间t 时的协变量向量或风险因素，这有可能影响到x 的生存分布。 弓k ( t ) = 1 ，p ) 为依赖于时间的协变量，其取值随时间改变。在这里，只考虑协变量 不随时间改变的情况，即有z j ( t ) = 乃= ( 毛t ( ) ，乃，( t ) ) 。 令h ( t z ) 表示具有危险向量z 的个体在时间t 时的危险率。c o x ( 1 9 7 2 ) 提出的基 本模型如下： h ( t iz ) = o ( t ) c ( 卢z ) ( 2 1 7 ) 其中h o ( t ) 是一个任意的基准危险率，p = ( 卢t ，岛) 是一个参数向量，c ( 卢z ) 为 已知函数。上面表达式( 2 1 7 ) 之所以被称为半参数模型，是因为它含有协变量效应，因 而有参数形式，而基准危险率被当做是非参的。因为h ( t t z ) 必须为正，c ( p z ) 的一个 常见模型为： p c ( p 7z ) = e 印( 卢z ) = e z p ( 乏二觑 不)( 2 1 8 ) k = l 这样： p h ( t t z ) = ( t ) c ( 卢7 z ) = h o ( t ) e 印( 凤反) ( 2 1 9 ) 因此，根据协变量的影响为线性模型的假设 p h ( t l z ) h o ( t ) 的对数是凤磊这些因 k = l 素代码与它们的相互影响服从线性模型的一般规则。例如，若一个因素有四个水平，可 以构造三个指示变量( 或哑变量) 来反映该因素的效应。如同在其他的回归模型( 最小二 乘或l o g i s t i c ) 中常见的做法那样，可以用个体因素与相关变量的乘积来构造新变量，以 此体现两个或多个因素间的相互影响。这种情况下，对各个系数的解释要谨慎。 c o x ( 1 9 7 2 ) 模型常被称为比例模型，因为假如有两个个体，其协变量的值分别为z 器( t l ：攀一西( 磊吲 ( 2 。0 ) 九乃) h o ( t ) e 印( 壹风况) 【鲁“8 j p 7 该比值是一个常数。换句话说，危险率是成比例的。式( 2 2 0 ) 的值被称为具有风险 因素z 的个体对风险因素为z + 的个体的相对风险( 或危险率) 。特别地，如果磊表示 治疗效应( 有治疗时z = l ；服用安慰剂时五= 0 ) ，而所有其他的协变量值相同，则 h ( t l z ) h ( t l z + ) = e z p ( 卢- ) 表示接受治疗的个体所具有的风险。 1 3 李国荣：基于信息的违约传染 2 2 2 脆弱性模型 分析生存数据的很多技术都依赖于各个不同的个体生存时间是彼此相互独立的假 设。尽管这个假设在许多试验中可能是正确的，但是在其他情形下，这个假设是值得怀 疑的。例如，我们可能需要从具有共同基因组成的兄弟姐妹或一窝动物的样本中进行推 断；或者需要研究生活在共同的、不可观测的环境中的已婚夫妇样本的生存情况；以及 研究同一个体身上不同的非致命性疾病的发生时间等。在上面的几种情况下，样本的个 体间的生存时间非常可能存在相关性。 越来越广泛的用于描述子组中个体生存时间之间的关联性的模型是“脆弱性模型” ( f r a i l t ym o d e l ) 。脆弱性是子组内每一个体都受影响的不可观测的随机效应。最常用的 有关脆弱性的模型是公共随