（固体力学专业论文）非线性系统的有界随机扰动.pdf

浙江大学博士学位论文 摘要 本论文从非线性动力系统的分叉、混沌及响应研究的现状出发，运用研究非线 性系统的分叉、混沌及响应的解析方法和数值计算方法研究了几个典型非线性系统 在有界随机扰动下的混沌与响应，获得了一些新的结论p 文的主要内容如下： 第一章论述了非纷陛系统的混沌、分又及响应的研究现状与应用，有界噪声模 型的特性与数字模拟方法，阐明了论文的立题意义，介绍了论文研究的主要内容、 结构安排 第二章论述了混沌的数学定义，混沌的基本特征及判别确定性系统和随机系统 中产生混沌运动的解析及数值方法。 第三章研究了d u f f i n g 振子在有界噪声参激下的混沌运动，首先用随机 m e l n i k o v 过程的均方值准则，获得了系统可能产生混沌运动的临界条件，并得到 了可能出现混沌的临界激励幅值随w i e n e r 过程强度参数值的增大而增大的结论， 然后用l y a p u n o v 指数、p o i n c a r e 截面和功率谱验证解析结果，也得到出现混沌的 临界激励幅值随w i e n e r 过程强度参数值的增大而增大的结论解析方法与数值实 验得到了基本一致的结论 第四章研究了有界噪声激励下的两自由度单摆一谐振子系统的混沌运动，首 先推导了该两自由度系统仅在h a m i l t o n 扰动下的m e l n i k o v 函数，得到该自治系统 可能产生混沌的必要条件；研究了该系统在小的h a m i l t o n 扰动和增大摄动情形下 的p o i n c a r e 截面；然后对有阻尼、谐和或有界噪声激励下的非自治系统数值计算 了其最大l y a p u n o v 指数和p o i n c a r e 截面：从l y a p u n o v 指数分析得到了这个两自 浙江大学博士学位论文 由度系统产生混沌运动的临界条件及产生混沌的临界激励幅值随w i e n e r 过程强度 参数值的增大而增大的结论，p o i n c a r e 截面分析的结果亦符合l y a p u n o v 指数分析 的结论；研究了w i e n e r 过程强度参数、阻尼系数变化对p o i n c a r e 截面的影响 第五章采取新的路径积分方法研究了v a nd e rp o l 振子在宽带有界噪声激励下 的运动性态，分析了w i e n e r 过程强度参数值变化和增大激励幅值即增大摄动对v a n d e rp o l 振子运动状态的影响，并得到了合理的结论所用的路径积分法与m o n t e c a r l o 数字模拟方法结果基本一致，表明路径积分法在数值求解高维f p k 方程的有 效性 第六章给出了全文主要工作与创新之处总结，并对非线性有界随机扰动研究中 应进一步开展的工作作了介绍 关键词：非线性系统，有界噪声扰动，混沌 j j 渐江大学博士学位论文 i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，s t a r t i n g f r o mt h ec u r r e n ts i t u a t i o no f b i f u r c a t i o n 、c h a o sa n dr e s p o n s ei nn o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m ，t h ec h a o sa n d r e s p o n s ei ns e v e r a lt y p i c a in o n l i n e a rs y s t e m sp e r t u r b e db yb o u n d e dn o is ois i n v e s t i g a t e db yu s i n ga n a l y t i c a la n dn u m e r i c a lm e t h o d s o m en o wc o n c l u s i o n s a r eo b t a i n e d t h em a i nc o n t e n tso ft h ed iss o t t a t i o na r ea sf o l l o w s ： c h a p t e r o n es u m m a r i z e st h ec u r r e n ts i t u a t i o na n d a p p l i c a t i o n o f b i f u r c a t i o n 、c h a o sa n dr e s p o n s ei nn o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m ，a n dp r e s e n t s t h e s i g n i f i c a n c e ，m a i nc o n t e n t sa n da r r a n g e m e n to f t h ed is s e r t a t i o n c h a p t e rt w op r e s e n t s t h em a t h e m a t i c a ld e f i n i t i o no fc h a o s ，t h eb a s i c c h a r a c t e r is t i c so fc h a o s ，t h e a f l a i y t i c a i a n dn u m e r i c a lm e t h o d sf o r d e t e r m i n i n gt h eo n s e to fc h a o si nb o t hd e t e r m i n i s t i ca n ds t o c h a s t i cs y s t o m s c h a p t e rt h r e ei n v e s t i g a t e s t h ee f f e c to fb o u n d e dn o is oo nt h ec h a o t i c b e h a v i o ro fd u f f i n go s c i l l a t o tu n d e rp a r a m e t r i ce x c i t a t i o n f i r s t l y ，t h e m e a ns q u a r ec rit e ri o no fst o c h a sti cm e l n i k o vp r o c e s sisu s e dt oo b t ai nt h e c r i t i c a lv a l u e sf o rt h ep r o b a b l eo n s e to fc h a o s t h ec o n c l u s i o nist h a tt h e c r i t i c a lv a l u e sf o rt h ep r o b a b l eo n s e to fc h a o si n c r e a s ea st h ei n t e n s i t y p a r a m e t e ro fw i e n e rp r o c e s si n c r e a s e s t h e l a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t 、 p o i n c a r em a p sa n dp o w e rs p e c t r a l d e n s i t y i su s e dt ot e s tt h e f l n a l y t i c a l r e s u l ts i tisa 1s of o u n dt h a tt h et h r e s h e l do fb o u n d e dn o is oa m p i i t u d ef o r t h eo n s e to fc h a o si nt h e s y s t o mi n c r e a s e sa st h ei n t e n sit y p a r a m e t e r i n c r e a s e s t h ea n a l y t i c a im e t h o da n dn u m e r i c a i a p p r o a c h e s i e a dt ot h e c o o s is t e n tc o n c l u s i o n s c h a p t e rf o u rs t u d i e s t h ec h a o t i cr e s p o n s e si na s y s t o mc o n s is t i n go f s i m p l ep e n d u l u ma n d h a r m o n i co s c i l l a t o tu n d e r b o u n d e dn o is oo x c i t a t i o n f ir s t l y ，t h em e l n i k o vf u n c t i o no ft h e t w o d e g r e e o f f r e e d o ms y s t e mu n d e r h a m i l t o n i a n p e r t u r b a t i e l l i sd e r i v e d t h ee s s o n t i a lc o n d i t i o no ft h e a u t o n o m o u ss y s t e r nf o r t h ep r o b a b l eo n s e to fc h a o siso b t a i n e d ，t h ep c i n c a r e m a p so ft h es y s t e mu n d e rs m a l lh a m i l t o n i a np e r t u r b a t i o na n dt h ee f f e c to f i n c r e a s i n gp e r t u r h a t i o n o nt h ep o i n c a r em a p sa r es t u d i e s t h e nf o rt h e i i i 浙江大学博士学位论文 1 1 0 n a u t o n o l n o t l ss y s t e mu n d e rd a m p i n ga n dh a r m o n i co rb o u n d e dn o is ee x c i t a t i o n ， t h e l a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t a n dp o i n c a r em a p sa r ec a l c u l a t e d f r o mt h e a f l f l 1 y s is o ft i l e l a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t ，t i l ee l i t i c a ic i t e r i o r z f o rt h e o r l s e to fc h a o s a n dt h ec o l i c l u s i o nt h a tt h et h r e s h o l do fb o u n d e dr i o is e a m p l i t u d ef o rt h eo n s e to fc h a o s i nt h es y s t e mi n c r e a s e sa st h e i n t e n s i t y p a r a m e t e ro fw i e n e rp r o c e s si n c r e a s e sa r eo b t a i n e d t h er e s u l tf r o mt h e a r i a l y s i so fp o i n c a r em a p sisi na g r e e m e n tw i t ht h a to b t a i n e df r o mt h el a r g e s t l y a p u n o ve x p o n e n t t h ee f f e c to fv a r y i n gd a m p i n gc o e f f i c i e n ta n d ；n t e n s i t y p a r a m e t e ro fw i e n e rp r o c e s s isa 1s oa n a l y z e d c h a p t e rf i v es t u d i e st h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro fv a nd e rp o lo s c i l l a t o r u n d e rb o u n d e dw i d eb a n dn o is ee x c i t a t i o nu s i n gt h en e p a t h i n t e g r a t j o t l m e t h o d t h ee f f e c to fv a r y i n gi n t e n s i t yp a r a m e t e ro fw i e n e rp r o c c ssa n d i 1 1 c r e a s i n gp e r t u r b a t i 0 1 10 i 3 t h es t a t eo fv a nd e rp 0 1o s c i l l a t o r isa 1 1 e t l y z e d a n d v a l i dc ol i c l u s i o n sa r eo b t a i n e d t h ec o n e l u s i o n so b t a i n e df r o mp a t h i n t e g r a t i o n m e t h o d8 r ei na g r e e m e n tw i t h t h o s e f r o m m o n t ec a r l om e t h o d w h i c h s h o w st h ee f f i c i e n c yo ft h ep a t hi n t e g r a t i o nm e t h o d c h a p t e rs i xc o n c l u d e st h ew o r ka n di i l l l o v a t i o n so ft h i sd i $ s l o r t a t i o i l a n d p o i n t so u ts o m e a s p e c t st ob ef u r t h e rs t u d i e d0 1 1b o u n d e ds t o c h a s t i c p e r t u r b a ti o no fn o n li l e 8 r s y st e m $ i o y w o r d s ：n o n l i n e a r s y st e m s ，b o u n d e dn o is ep e r t u r b a ti o n ，c h a o s 浙扛大学博士学位论文 第一章文献综述 1 1 前言 继牛顿力学和量子力学之后发展起来的非线性科学，正改变人们对世界的看 法，形成一种新的自然观，促进了一大类新兴科学的孕育和发展，并从根本上影响 着现代科学的逻辑体系非线性科学是- 1 7 跨学科的综合性基础学科，旨在揭示非 线性系统的共同性质、基本特征和运动规律，以达到利用和控制规律的最终目的 本世纪六十年代初确定性非线性动力系统中混沌的发现首当其冲地奠定了非线性科 学的基础，它的发现被认为是二十世纪科学的重大成就之一近3 0 年来非线性动 力系统逐渐形成并发展为一较完整的理论体系，它的若干理论方法正被广泛应用于 振动工程电子工程，化学工程，系统工程、生物工程等等，且对经典力学、数学， 物理学、生物学、医学以及一些社会科学的研究和发展产生了深远的影响，它的若 干研究成果已为国民经济和工程实际带来了效益 在振动问题中，随机振动已成为振动力学的一个重要分支，它是机械振动或结 构力学与概率论及其分支相结合的产物，爱因斯坦在1 9 0 5 年的一篇论文中，首次 对布朗运动作了理论解释，这是将自然现象随机模型化的开端在本世纪的前4 0 多年中，相继发展了统计力学，通讯噪声及流体湍流理论，将这三种理论移植到机 械振动中，初步形成了随机振动这门学科，开始大多数随机振动理论都基于确定性 时不变线性动态系统模型1 9 6 2 年美国声学学会的一次讨论会有效地促进了非线 性随机振动理论的研究，发展了多种预测非线性系统随机响应的方法，与此同时， 随机系统的稳定性与参激随机振动理论也有较大的发展，还发展了结构对带宽随机 浙江大学博士学位论文 激励的响应的渐近方法，在估计线性与非线性随机振动系统的可靠性方面也提出了 多种近似方法随机振动理论的应用也越来越广泛，开始阶段主要应用于飞行器、 汽车、船舰等，后来扩展到高层建筑、离岸结构等总而言之，随机振动已发展成 一门内容十分丰富的学科，并有着越来越广泛的应用前景 在以往和现在的理论研究中，绝大多数系统的随机激励模型为白噪声或白噪声 经过滤波器产生的非白噪声，在某些情形下，该噪声模型与实际情况并不相符合 有界噪声激励模型是一个合理的模型，具有更广泛的应用前景s t r a t o n o v i c h “1 首 次讨论了这个随机过程，随后对它的研究便开始了，尤其是在l i n 和l i 研究 大跨桥梁的稳定性，发现可用有界噪声模型表示湍流之后，对它的研究与应用又进 了一步 本章详细综述非线性系统的分叉、混沌及响应研究现状与应用，有界噪声模型 的性质、特点、数字模拟及应用前景，然后介绍本文的立题依据、意义及本文的主 要内容，结构安排 1 2 分又、混沌及其相互关系 长期以来，人们认为非线性动力系统对确定性激励只能引起确定性响应，对随 机性激励只能引起随机性响应混沌现象的发现使人们惊奇地看到在初始条件有微 小的扰动下确定性激励竟然会使系统的长期运动发生很大的变化，引起某种类似随 机性的响应这一现象的发现对人们的传统观念是一个冲击，使得长期以来似乎难 以解决的问题，如流体如何由层流变为湍流“”、卫星的不规则自振、钻杆的不规 则振动，金属切削机床产生的不规则振动例，从混沌的角度考虑有了解决的可能 分岔、分形和混沌等特性是非线性系统中的极其丰富和复杂的动力学行为，分 浙江大学博士学位论文 叉和混沌的根源来自非线性，分岔和混沌现象的深入研究是当前国际上非线性动力 系统的前沿课题对于分岔的研究不但可以得到周期解的失稳条件及其控制条件， 即对各种系统的稳定性研究有重要意义，而且可搞清楚产生混沌的机理 分岔是指平衡点的数目、稳定性和运动性态随系统参数的变化而变化，分岔不 仅揭示了系统的不同运动状态之间的联系和转化，而且与混沌和失稳密切相关如 当= 2 时，l o g i s t i c 映射以+ i2 脚。( 1 一) ，! 现以= o 5 ，它是一稳定不动点， 即周期解；当= 3 2 时，1 3 足够大，以趋于在0 5 13 0 和0 7 9 9 5 两个值上来回跳 动，这是周期为2 的解；当= 3 5 时，n 足够大，厄趋于在0 3 8 2 8 、0 8 2 6 9 ，0 8 7 5 0 和0 5 0 0 9 四个值上循环跳动，这是周期为4 的解，等等，这称为倍周期分岔，最 终导致周期为m 的混沌运动这一现象说明，逐次分叉将是出现混沌的前兆，目 前人们公认通向混沌的道路还有阵发性( 常与切分岔有关) 、二次h o p f 分岔和k a m 环面破裂 分岔问题按动力系统的拓扑结构可分为全局分叉和局部分叉两类，只需考虑 在某个平衡点( 不动点) 或闭轨附近动力系统拓扑结构的变化，即只研究它们的邻 域内局部向量场( 或微分同胚) 的分岔，属局部分岔，如平衡点分岔中的鞍结分岔、 跨临界分岔、叉形分岔、h o p f 分岔及极限环分岔；若分岔分析涉及向量场的大范 围拓扑结构，则称为全局分岔，如同宿轨道分岔、异宿轨道分岔园对全局分岔的 研究主要是对同( 异) 宿轨道分叉的研究，而同( 异) 宿轨道分叉与非线性动力系 统的混沌运动有密切联系，这在第二章会详细说明 1 3 非线性系统的混沌、分又及响应研究现状与应用 1 3 1 混沌、分又及响应问是的解析方法研究现状 浙江大学博士学位论文 描述非线性振动系统的非线性微分方程没有求精确解的一般方法，自本世纪二 十年代以来，人们一直在寻求普适的近似方法经典k b 平均法只适用于研究弱非 线性振动系统，在寻求单自由度强非线性问题的渐近解方面主要分析方法有：广义 平均法、椭圆函数法，时间变换法、参数展开法、频闪法和增量谐波平均法相比 之下，对于多自由度强非线性振动系统的渐近解析方法研究远不够深入现在经典 的非线性振动理论与分叉、混沌理论相结合，更焕发出了勃勃生机 对于分叉与混沌的研究成为非线性振动研究最活跃的前沿课题之一研究非线 性动力系统的响应、分叉与混沌的解析方法主要有：( 1 ) 离散映象法：这是研究分 叉与混沌行为最初的方法，它是将非线性常微分方程近似地变成离散映象如：生 态学中l o g is t i c 虫口模型就是将一非线性微分方程通过参数变量交换，得到离散 形式的迭代表达式，从而研究得到虫口数目随年代增长出现的分叉与混沌行为； ( 2 ) 平均法和多尺度法：平均法应用于分又问题的研究之中首先应归功于c h o w 【1 ”， 他研究了二维中心流形上的h o p f 分叉，求出了h o p f 分叉的稳定性公式；s m i t h 和 m o t i n o “”用多尺度法确定了颤振失稳点附近的极限环及其稳定性；( 3 ) 三级数法 和广义谐波平衡法：h s u l l 5 利用三级数法( k b m ) 研究了单自由度参数激励非线性 动力系统在主参数共振和基本参数共振情况下的极限环振动；s z e m p l i n s k a s t u p n i c k a i 】”利用广义谐波平衡法研究组合共振情况下多自由度参数激励非线性 动力系统的响应，分析了组合共振的不稳定区域；( 4 ) l - s 方法和奇异性理论：陈 予恕和l a n g f o r d n ”第一次利用l - s 方法研究了一般形式的非线性 , t a t h i e u 方程的 主参数共振分岔解；b a j a j 1 用平均法导出了分叉方程，结合奇异性理论研究了参 数摄动对h o p f 分叉的影响上述六种方法可用来研究非线性动力系统的响应和局 部分岔；( 5 ) 规范形方法和m e l n i k o v 方法：i 、a y f e h 19 j 在他的专著里发展了一种新 浙江大学博士学位论文 的规范形方法，用来研究非自治非线性动力系统他用这种方法研究了单自由度和 多自由度参数激励非线性动力系统，所得结果与用多尺度法得到的结果完全一致， 规范形理论可用来研究非线性动力系统的局部和全局分岔；许多研究者利用 m e l m k o v 方法研究了非线性动力系统的全局分岔和混沌动力学，这个问题在下面 详细综述 m e l n i k o v 方法首次由m e l n i k o v “”提出，随后a r n o l d m l 将其推广到两自由度 完全可积h a m i l t o n 系统受时间周期h a m i l t o n 摄动的一个特殊例子，从而证明 h a m i i t o n 系统存在全局不稳定性即a r n o l d 扩散h o l m e s “2 1 首次用该方法研究曲屈 柱在轴向外力作用下的横向运动( 即具有负的线性刚度的d u f f i n g 型振子) 的全局分 又及混沌性质，h o l m e s 和m a r s d e n “”还将文献”的某些内容进行推广研究了轴向 正弦激励下压杆的横向混沌运动h o l m e s 和m a rs d e n 【2 ”研究了两个自由度耗散的、 哈密顿摄动下弱耦合振子的同宿轨道，l e r m a n 和v m a o s k i ”“研究了强耦合振子在 耗散的、哈密顿摄动下的同宿轨道，这时，出现了另一种研究全局分又与混沌的方 法：比较抽象的泛函分析法，如p a l m e r 1 及m e y e r 等人m 1 的文章，这种方法实质 上是m e l n i k o v 方法在聆维时间周期扰动系统及概周期扰动系统的推广，同时，研 究全局分叉与混沌的几何方法继续发展着，领导性的有w i g g i n s ”t 圳的专著，他发 展了一大类系统中探测同( 异) 宿轨道、双曲周期轨道及双曲不变环面的全局摄动 方法，将m e l n i k o v 1 最初提出的研究周期激励的两维系统推广到任意有限维，且 同时适用于慢变参数和拟周期激励情形，它将用系统参数来判断混沌运动的准则运 用于任意维，并且将m e l n l k o v 方法推广到激励为多种频率的情形 b u l s a r a 等提出了一种修正的m e l n i k o v 方法，用于研究弱噪声作用对外激 的耗散非线性系统的同宿轨道闽值的影响，其方法是将原系统的m e l n i k o v 函数加 浙江大学博士学位论文 上一个反应噪声特征的二阶修正项x i c m l 用这一方法研究了白噪声下有周期性末 端位移作用的压杆的横向振动的混沌行为，解析方法与数值分析得到相反的结论 随后f r c y 和s i m i u m l 再次扩展了m c l n i k o v 方法一称为广义随机m e l n i k o v 过程方 法，l i b 和y i m o ”用它研究了d u f f i n g 振子在周期力和白噪声摄动下的混沌运动， 得到了较好的结果 目前人们研究非线性动力系统响应、分岔及混沌的方法局限于激励项是弱项的 情况，对于激励不是弱的情况，研究遇到很大的困难为解决这一问题，a r n o l d ” 首先提出了研究强参数激励非线性动力系统的方法，s i n h a 和p a n d i y a n 等人o ”发 展了该方法，他们将系统变为含有周期系数的二维非自治动力系统，然后用 l y a p u n o v f l o q u e t 变换和c h e b y s h c v 多项武将带有周期系数的矩阵变换成不依赖 于时间的定常系数矩阵，最后用规范形理论或摄动方法分析系统的局部分岔和全局 分岔从理论上讲方法可行，但不是计算有很大困难就是精度不够，某些情况下数 值结果与解析方法相比误差较大，并且定性结果也有差别因此如何完善、改进这 种强激励非线性动力系统的解析方法有待于今后的研究 m e l n i k o v 方法适用于未扰系统是h a m i 1t o n 系统的情况，当未扰系统不再具 有h a m i l t o n 结构时，m e l n i k o v 函数会产生指数小的问题，不能直接用该方法研究 系统的同( 异) 宿分岔、次谐分岔及混沌运动y a g a s a k i ”7 1 等人利用平均法和 m c l n i k o v 方法解决了这个问题，他们的研究过程是先用平均法得到非自治的平均 方程，使平均方程具有h a m ilt o n 结构，然后对平均系统使用m e l n i k o v 方法 对于高维系统和无穷维动力系统，目前大多数研究限于两个自由度和三个自由 度的非线性动力系统因为从理论上讲虽然可用中心流形和惯性流形理论使系统降 维，但降维后系统维数还是相当高，并且高维系统中稳定流形和不稳定流形的几何 浙江大学博士学位论文 结构难于直观构造和描述因此发展处理高维系统的研究方法是非常迫切和重要 的 7 0 年代和8 0 年代初期的研究主要集中在研究各种共振情况下多自由度系统的 响应，t s o 和a s m is ”1 利用平均法研究了参数激励下带有三次非线性项的两自由度 系统在没有内共振情况下的响应，在此基础上，t e z a k ，m o o k 和n a y f e h “”用多尺 度法研究了上述系统在内共振情况下的响应，并应用所得结果研究了长柱在周期激 励下的横向振动f e n g 和s c t h n a 1 研究了具有z 20z 2 对称性的四阶 a m i l t o n 系 统的全局分叉，他们利用推广的m e l n i k o v 方法研究三种不同类型的异宿环，发现 异宿环破裂可以产生s m a l e 马蹄并导致混沌运动产生，并用数值方法验证了理论结 果b a n e r j e e 和b a j a j l 4 u 用m e l n i k o v 方法研究了具有1 ：2 内共振的两自由度系 统的混沌运动，发现在这种具有二次项的两自由度系统中混沌运动是一种非常普遍 的现象h a q u a n g “2 1 研究了参激与强迫激励作用下具有两次和三次非线性项的多自 由度非线性系统的响应、分岔和混沌动力学，在这类系统中发现了倍周期分岔通向 混沌的道路值得指出的是，k o v a c i c 和w i g g i n s 1 发展了一种新的研究四维微分 方程组中同宿轨道和异宿轨道的全局摄动法，这类四维系统是完全可积的两自由度 h a m i l t o n 系统扰动后形成的，这种新的全局摄动法是高维m e l n i k o v 方法、几何奇 异摄动法和不变流形纤维丛理论的一种结合，与标准m e l n i k o v 方法和其它全局摄 动法相比，有很大差别，利用这种方法可以寻找扰动后共振情况下奇点的s i i n i k o v 型同宿轨道和异宿轨道，因此这种方法对于研究高维非线性动力系统的全局分岔和 混沌动力学是一种强有力的手段，但这方面的文献较少，其应用也很少，所以目前 尚未有这方面的应用。 淅江大学博士学位论文 1 3 2 混沌、分叉i 习题解析方法的应用 在工程实际问题中，上述研究非线性动力学问题的几种解析方法的应用非常广 泛，在船舶倾覆动力学研究里，船舶横摇运动起着十分重要的作用，通过对船舶在 横波或纵波作用下横摇运动的研究，可确定船舶倾覆的条件“5 1 ；在卫星姿态转 交机动动作动力学中，卫星的方向由与主体相连的水平旋翼的旋转而定，首先对卫 星建模，然后用m e l n i k o v 方法计算，可得到卫星产生混沌运动的条件，以此作为 设计卫星的依据“”；在风通过折皱的海床引起的海流模型中，当没有摩擦与外力 时，存在同宿轨道( 在势能图上对应着两个势井和它们中间的一个势垒) ，当风力 与摩擦力作用时，海流的运动会随时间的增长而逃出势井而呈现混沌运动，当逃出 刚好发生时，m e l n i k o v 函数为简单零点，此时的时间为逃出时间，m e l n i k o v 方法 可用来估计平均逃出时间和可靠性概率“”；在刚体结构对地震的响应研究中， m e l n i k o v 方法用来研究地震作用下建筑结构的混沌运动“”；另外，柔性梁、板等 结构的非线性动力学问题也采用了上述几种解析方法，对于轴向激励下曲屈柱的横 向振动的混沌运动研究，在解析方法上也采用了m c l n i k o v 方法；对于轴向周期 载荷作用下简支曲屈梁的响应和混沌运动研究，a b o u - r a y a n ，n a y f e h 和m o o k 等人 “”用多尺度方法和f l o q u e t 理论分析了周期解的稳定性，用数值方法和数字模拟 方法研究了跳跃现象和混沌；对于正方形薄板的混沌运动，y a n g 和s e t h n a 啪1 用平 均方法研究了其在l ：1 共振情况下的局部分叉、余维2 退化分叉及全局分叉；f e n g 和s e t h n a “在y a n g 和s e t h n a 的基础上，利用k o v a c i c 和w i g g i n s 的全局摄动法 详细研究了参数激励下薄板的全局分叉和混沌动力学，获得了产生s il n i k o v 型同 宿轨道和混沌的条件 浙江大学博士学位论文 1 3 3 混沌、分又的数值方法研究现状 目前电子计算机仍是揭示非线性微分方程中丰富的分岔和混沌现象的重要- r 具研究混沌、分叉问题的数值方法有以下几种： ( 1 ) 分频采样法 许多周期驱动系统可看作非线性振子的和线性振子的耦合系统在耦合太弱 时，系统中存在两个独立的振动频率，发生准周期运动或拍频现象耦合稍增加时， 非线性振子就锁频到线性振子的基频或分频上，系统中只剩下一个共同的，通常较 长的运动周期这个“非常普遍而又十分复杂的现象”恰好推广到普通的闪烁采 样思想，实现分频采样即不仅按控制频率的基本周期瓦采样，而且按适当分 频的更长周期采样 + ( 2 ) p o i n c a r e 截面法 p o i n c a r e 映射是研究混沌的一种降维分析方法对于三维或三维以上的动力 系统，其相空间轨迹很复杂，很难描绘此时我们可以在轨道的横截方向找一个平 面( 称为p o i n c a r e 截面) ，那么轨道上一点x o 下一次在截面上交于_ ，即确映 射成一，同样一映射成x ：，这样就建立起离散点之间的映射关系： x = f ( x 。) 胛= 0 , 1 ，2 ， 若为周期激励，可在激励的某个任定相角c o t 处，陆续测响应，以获响应的 p o i n c a r e 截面图 由于自治系统中没有确定的频率可作控制参数，p o i n c a r e 截面成为研究它们 的主要手段截面位置的选择很重要，通常应经过原来稳定而后失稳的不动点附近， 才能反映出现分岔和混沌的过程由于分岔序列往往伴随着在不同几何尺度上重复 的层次结构，原则上可以靠分割和限制空间范围和采样间隔，实现“空问分辨的n 9 浙江大学博士学位论文 次返回映象”，从而大为提高分辨能力 ( 3 ) 功率谱分析 实验中可直接测量的对象之一，是时间序列而，x 2 1 x 。的功率谱目前的功 率谱分析直接由x 作快速傅氏变换，得到系数 铲专驴。s 警，轧= 专莩x ls m 警 然后计算= 口：+ 酲，由许多组“) 得一批 ) ，求平均后即得到功率谱仇 周期运动在功率谱中对应尖峰；混沌运动的特征是谱中出现噪声背景和宽峰， 因此功率谱分析是计算机实验和实验室观测分岔和混沌的重要方法 ( 4 ) 运动轨道的直观观察 分别观察各个x ( f ) 的时问行为，是发现“阵发混沌”的直接办法但多次分 频后，非线性振动的形态往往比较复杂，必须借助其它手段才能作出判断 更直观的作法是将运动投影到相空间的某些截面中，周期运动对应封闭曲线， 混沌则对应在一定区域内随机分布的永不封闭的轨道如果绘出的周期足够多，混 沌轨道会把整个区域逐步填满，但任何时候都在更小的尺度上留下空隙，以后再继 续填充，这就是所谓奇怪吸引子 ( 5 ) l y a p u n o v 指数 在相空间中跟踪一条轨道，以轨道上某点x ( ，) 为原点，在胛维相空间选取 个 独立的正交的小矢量，将z ( f ) 按微分方程积分一步，达到x ( t + f ) ，同时将各矢量 的端点按线性化的方程积分一步，得到”个矢量长度之比，再与x ( t + r ) 连成r 个 矢量e l , e ：，e 。，这些新的矢量一般不再是正交的，再取j ( ，+ f ) 为原点，将 p 。，p ：，e n 正交后重复以上过程，最后把所求得的所有聆个长度之比分别沿整个轨 道平均，即得”个l y a p u n o v 指数 浙江大学博士学位论文 l y a p u n o v 指数是刻画相空间中两条十分邻近的轨道随时间演化收敛或发散的 平均指数变化率，因而能有效地描述对初始条件的敏感依赖性，这是混沌系统的典 型特征系统中只要有一个正的l y a p u n o v 指数就意味着混沌发生 从以上几种数值方法可以得到以下几点：分频采样作为一种离散时间序列的采 样方法，具有其它数值方法不能比拟的高分辨能力，但只适用于周期外力驱动的非 线性系统，而且和功率谱分析一样，不能分辨比采样频率更高的频率；功率谱分析 分辨能力不高，但其精细结构可提供其它方法不能替代的信息；p o i n c a r e 截面法 的分辨力也不能超过谱分析，但和功率谱分析一样可以作为周期与混沌的直观判 断；直接观察轨道虽形象直观但分辨力最低；l y a p u n o v 指数不但可以区分周期与 混沌运动，混沌与随机运动，而且可以定量地对混沌运动进行描述 1 4 有界噪声的特性与数字模拟 在许多工程问题中，振源或系统参数被认为是理想的周期激励，如有一不平衡 质量块的旋转轴，海浪作用下的海洋平台由凸轮驱动的机器和由周期流动的流体 压力控制的水压值然而在实际中由于振幅和相位的不确定性和不规则性，激励及 系统参数不可能是完全周期的，研究结构对于不规则周期激励的随机响应及可靠 性，建立一个合理的模型是重要的 早期，d i m e n t b e r g ”1 和w e d i g 【5 2 1 用一个带有稳态随机相位调制的谐和激励模型 式( 1 1 ) ，研究m a t h i e u 型随机系统， y ( ，) = z c o s ” 警叫- c o o 这个定义是针对一个集合提出的，但它表明了混沌运动的重要特征：存在可数 无穷多个稳定的周期轨道；存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道：至少存在一个 不稳定的非周期轨道 以上的数学定义过于抽象，一种更为直观的定义如下川： 混沌定义i i ：设v 为一集合，五v _ v 称为在v 上是混沌的，如果：( 1 ) ，有对初始条件的敏感依赖性；( 2 ) 厂是拓扑传递的；( 3 ) 周期点在v 中稠密 浙扛大学博士学位论文 扼要地说，混沌的映射具有三个要素：不可预测性，不可分解性，还有一种规 律性的成分因为对初始条件具有敏感依赖性，所以混沌的系统是不可预测的；因 为存在拓扑传递性，它不能被细分或不能被分解为两个在f 下不相互影响的子系 统( 两个不变的开子集合) ；然而在这混沌性态当中，毕竟有规律性的成分，即稠 密的周期点 2 2 混沌的基本特征 混沌运动是一种非常普遍的非线性现象，人们公认它的基本特征是： ( 1 ) 宏观上的无序无律呈现一种混乱、貌似随机的状态，且对初始条件十分敏 感，这种对初始条件的敏感性必然导致系统的长期行为难以预测； ( 2 ) 混沌具有伸长和折叠的特性这是形成对初始条件敏感性的主要机制，伸长 是指系统内部局部不稳定所引起的点之间距离的扩大；折叠是指系统整体稳定所形 成的点之间距离的限制经过多次伸长、折叠，轨道搅乱了，形成了混沌； ( 3 ) 具有丰富的层次和自相似结构，混沌不同于随机运动，混沌区内有窗口( 印 周期解) ，窗口里面还有混沌，这种结构无穷多次重复着，并具有各态历程和层次 分明的特性同时，伸长与折叠使混沌运动具有大大小小的各种尺度，而无特定的 尺度，这些统称为自相似结构； ( 4 ) 非线性耗散系统中存在混沌吸引子，这是整体稳定与局部不稳定相结合的产 物，通常的吸引子都有负( 且无正的) l y a p u n o v 指数，唯独混沌吸引子具有正的 l y a p u n o v 指数，而且混沌吸引子只能用分数维来表征 2 3 混沌的判据 浙江大学博士学位论文 混沌研究属全局分岔问题，目前研究它的少数几个解析方法有规范形理论和 m e l n i k o v 方法，在实际问题研究中，b l e l n i k o v 方法可以借助于系统参数来提供混 沌运动产生的准则，因而在许多实际模型和本文中均作为判断系统是否产生混沌运 动的方法，判断系统是否产生混沌运动还需通过数值方法加以验证，因为m e l n i k o v 函数只是必要条件，不能保证一定出现混沌运动，研究混沌的几种数值方法中， l y a p u n o v 指数方法、p o i n c a r e 映射以及功率谱分析方法各有其特殊的优点，因而 被本文采用，这里将详细介绍m e l n i k o v 方法、l y a p u n o v 指数方法、p o i n c a r e 映射 以及功率谱分析方法 2 3 1m o l n l k o v 方法 m c i n t k o v 方法的基本思路是用未扰可积系统的可计算的全局解来计算摄动系 统的解m e l n i k o v 函数是度量同一个鞍点( p o i n c a r e 截面上) 的稳定流形与不稳 定流形之间距离的函数，m e l n i k o v 函数为零，稳定流形与不稳定流形横截相交， 一旦相交就有无数个交点，同( 异) 宿轨道破裂，吸引子的相空间发生形交( 伸、 缩，折) ，产生s m a l e 马蹄意义下的混沌，数值实验已证明m e l n i k o v 函数具有简单 零点是产生混沌振动的必要条件 m e l n i k o v 方法已被推广到随机动力系统，称为随机m e l n i k o v 过程方法，它是 判断随机动力系统是否产生混沌运动的方法，其原理与确定性系统的m e l n i k o v 函 数方法相同 2 3 1 1i l e l t l i k o v 函数 对于确定性系统，w i g g i n s ”给出了下列三类系统的m e l n i k o v 函数 堂兰查兰堡主堂垡造茎 s y s t e m i 量= j