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青岛农业人学硕士学伉论文 摘要 基于l 系统的植物外观形态模拟研究 摘要 植物作为构成人类生存环境的最重要的一环，与我们的日常生活密切相关。随着分 形学的研究和发展，植物模拟已成为人们研究的热点问题。植物模拟在教育，娱乐，商 业等领域中占有重要的地位，有着广泛的应用前景。 植物的种类繁多，其外在形态结构和内部生长机理各不相同，对植物生长建模的方 法也有很多种。本文在对四种主要分形植物模拟方法的模拟对象和算法特点进行分析对 比后，选定以l 系统为主要研究起点。并基于植物形态的分形特征，对单轴分枝树木和 草本植物进行了模拟。论文主要内容如下： 本文在对影响植物外部形态的几种分枝和叶序结构进行研究的基础上，采用l 广系统 法对单轴分枝树形结构进行了建模，并对植物器官的建模方法进行了深入研究，提出了 一种基于逆向工程中模型重建技术的建模方法。 在此理论基础上，实现了单轴分枝树木和草本植物的外观形态模拟。在单轴分枝树 木模拟过程中，引入了分枝长度的数学模型，实现了分枝长度的模型化控制，并将单轴 分枝树木和舍轴分枝树木的模拟结果进行了对比分析。 建立了用户控制面板，用户可以通过调节各项参数如分枝长度、叶片大小颜色等， 实现不同植物形态的模拟。 本文的研究结果对植物模拟的研究具有实际指导意义，将有力推动植物模拟技术的 应用和发展。 关键词：l 一系统：模拟；分形 青岛农业人学硕十学位论文 a b s t r a c t r e s e a r c ho ns i m u l a t i o no fp l a n ta p p e a r a n c e s ba s e do nl s y s t e m a b s t r a c t t h ep l a n t ，a st h em o s ti m p o r t a n tc o m p o n e n to fh u m a n sl i v i n ge n v i r o n m e n t ，c l o s e l yr e l a t e st oo u r d a i l yl i f e a l o n gw i t ht h er e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n to f f r a c t a l ，s i m u l a t i o no f p l a n th a sb e c o m e ah o tt o p i c i t p l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i nm a n ya r e a s ，e d u c a t i o n ，e n t e r t a i n m e n t ，b u s i n e s se t c ，a n dh a sh a daw i d e a p p l i c a t i o ni nt h e s ea r e a s ， s i n c et h ep l a n ts p e c i e si sv a r i o u s ，a n dt h ee x t e r n a ls t r u c t u r ea n di n t e r n a lm e c h a n i s ma r ed i f f e r e n t ， m c t h o d so fm o d e l i n gp l a n tg r o w t ha r ed i v e r s e t h ea u t h o rc h o o s e st h el s y s t e ma st h ef o u n d a t i o no f r e s e a r c ha f t e rac o m p a r a t i v ea n a l y s i st os i m u l a t i n go b j e c ta n dt h ec h a r a c t e ro fa l g o r i t h m t h em o n o p o d i a l t r e ea n dh e r b a c e o u sp l a n ta rs i m u l a t e do nt h eb a s i so ft h ef f a c t a lc h a r a c t e r t h em a i nc o n t e n ba r ea s f o i l o w s ： t h ep a p e rd s e sl - s y s t e mt om o d e l i n gt h em o n o p o d i a lt r e e - l i k es w d c t u r e so nt h eb a s i so fh a v i n g r e s e a r c h e dt h es t y l eo fd i v a r i c a t i o na n dl e a fo r d e r sw h i c ha f f e c t e do u t l o o ko fp l a n t s ，a n di n d e p t h r e s e a r c h e st h em o d e l i n gm e t h o d so ft h ep l a n to r g a n s t h e nam o d e l i n gm e t h o di si n t r o d u c e db a s e do nt h e r e c o n s t r u c t i o nt e c h n o l o g yo fr e v e r s ee n g i n e e r i n g b a s e do na b o v et h e o r i e s ，t h ea p p e a r a n c e so f m o n o p o d i a lt r e ea n dh e r b a c e o u sp l a n ta r es i m u l a t e dt h e l e n g t ho f b r a n c h e sm o d e li sb u i l tt oc o n t r o lt h el e n g t ho f b r a n c h e sm a t h e m a t i c a l l yi nt h es i m u l a t i o np r o c e s s o f m o n o p o d i a lt r e et h er e s u l t so f m o n o p o d i a lt r e ea n ds y m p o d i a lt r e ea r ec o m p a r e da n da n a l y z e d t h eu s e rc o n t r o l l i n gi n t e r f a c ei sb u i l t ，u s e r sc a ne a s i l yc o n t r o lt h em o d e lb yc h a n g i n gt h ep a r a m e t e r s ( s u c ha st h el e n g t ho f b r a n c h e s ，t h ec o l o ro rs i z eo f t h el e a v e s ) t og e td i f f e r e n tp l a n ta p p e a r a n c e s t h ep a p e rr e s u l t so f f e rt h ep r a c t i c eg u i d a n c ef o rt h er e s e a r c ho ns i m u l a t i o no fp l a n t ，a n dw o u l d p r o m o t et h ea p p l i c a t i o na n dd e v e l o p m e n to fi t i i k e y w o r d s ：l - s y s t e m ，s i m u l a t i o n ，f r a c t a l 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。如不实，本人负全部责任。 学位论文作者签名：五枷签字同期：2 0 0 7 年彳月2 o f t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权学校可以 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：王枷 签字日期：御年月如日 导师签字m 硌 签字同期：獭湃月确 7 青岛农业大学硕十学位论文 第1 章绪论 1 绪论 1 1 问题的提出 自然景物模拟是计算机图形学应用的研究热点，而植物模拟则是其中最诱人的研究 领域之一。千百年来，无数的科学家被多姿多彩的自然植物所吸引，数学家们更是对其 显著的几何特性作了广泛的研究。研究结果表明，自然界中的植物虽然形态千差万别， 却大都蕴含着一个同样的、具有自相似性的物质结构规则：植物体中每一相对独立部分 的形态构造模式是整体构造模式的缩影。正是基于植物的这一几何特性，使得许多人致 力于利用分形理论进行植物模拟研究。 从6 0 年代中期开始，农业科学研究人员就开始了作物生长的模拟研究。所建立的 模型通过对作物生理生态过程的模拟，能够预测不同环境条件下作物生长的某些综合指 标，如作物的产量、牧草的生物量，叶面积指数动态，器官的生物量、数量等l ”。但由 于各种模型对作物生理生态过程的量化描述繁简不一，参数取值差别较大，许多模型中 采用了一系列的假设来描述未知的生态生理过程，使得模型模拟的精度下降。另外，作 物模拟的复杂性也影响了作物模型的应用普及。 近年来由植物学、农学、生态学、数学、计算机图形学等诸多学科交叉而迅速发展 起来的虚拟植物模型t 2 , 3 1 ，在作物生长模拟方面更具有优越性。虚拟植物( v i r t u a lp l a n t s l 就是利用虚拟现实( v i r t u a lr e a l i t y ) 技术在计算机上模拟植物在三维空间中的生长发育过 程，它是以植物个体或群体为对象，生成具有三维效果和可视化功能的计算机模型。生 成的植物是可以反映现实植物的形态结构、具有真实感的三维植物个体或群体，并能够 获得植物生理生态过程和形态结构的并行过程的共同结果 4 - - - 6 。与传统的模型相比，虚 拟植物模型在空间规律研究方面具有很大的优势。其可视化特征，使得人们可以非常直 观地对农田、森林等复杂的生态系统进行研究，发现某些传统研究方法难以观察到的规 律。 1 2 课题研究的意义 植物生长模拟通常是指利用计算机形象直观地再现植物的生长过程。植物生长模拟 涉及到众多领域，包括植物生理学、作物栽培学、农业气象学和微气象学、土壤学、计 算机科学等众多学科。目前，植物生长模拟研究的方向主要有两个：第一是单纯的植物 外观形态模拟，注重形态的逼真性。其目的是自然景观的再现，主要应用领域如下： ( 1 ) 教育：用于制作植物生长教学软件、数字图书馆等，使人们形象直观地认识和了 解人们赖以生存的植物： 青岛农业人学硕十学位论文 第1 章绪论 ( 2 ) 娱乐：用于三维动画片的制作、电子游戏中虚拟场景的生成、影视的制作等； ( 3 ) 商业：用于网上销售花卉等电子商务方面、广告的创意制作等； f 4 ) 计算机辅助设计：用于园林及城市规划和生活区设计等。 第二是真实植物生长过程的模拟，注重植物学理论的真实性。目的在于植物生长过 程的研究，主要应用领域如下： ( 1 ) 应用虚拟植物生长技术在虚拟的农阳环境系统中进行虚拟试验，可以部分替代在 现实中难以进行或者虽能进行但费时、费力、昂贵的试验，为植物栽培技术提供 依据； ( 2 1 通过虚拟分析害虫在植物群体三维空间中的藏匿和觅食规律，确定最佳的喷药时 间和方式。降低成本减少环境污染，并为培育降低病虫害的植物形态提供依据； ( 3 ) 通过虚拟分析土壤养分和水分的变化，可以确定出在特定环境中植物生长的最优 水肥条件，从而优化灌溉和施肥措施，提高资源利用率，为精确农业技术应用提 供指导依据； ( 4 ) 结合现代生物技术，为植物株形设计和基因型改良提供指导，促进人们深化对植 物生理和生命的研究； ( 5 ) 在教学和农业科技推广领域，可以由此建立虚拟农场，与其它智能化农业系统软 件系统联结，可以有效地进行相关农业技术的培训，以实现先进农业技术的迅速 推广。 本文是以单纯的植物外观形态模拟作为研究方向，对自然界中具有代表性的单轴分 枝树木和草本植物进行模拟，以便能够应用于教育、娱乐、商业等领域，为以后真实植 物生长过程的模拟奠定理论基础和试验基础。 1 3 国内外研究现状 1 9 6 8 年，美国生物学家l i n d e n m a y e r 在生物理论杂志上发表了题目为“m a t h e m a t i c a l m o d e l sf o rc e l l u l a ri n t e r a c t i o ni nd e v e l o p m e n t ”1 7 j 的论文，首次提出了著名的“字符串重 写系统( s t r i n gr e w r i t i n gs y s t e m ) ”，习惯称之为l 一系统( l - s y s t e m ) 。该系统对植物的形态与 生长进行了形式化的描述，开始只着重于植物的拓扑结构，即植物的各个器官( 主干、 枝条、叶、果等) 之间的相邻关系，后来把字符串系统的各个符号用几何图形加以表示， 形成了现在被人们广为重视的l 系统【8 1 。继l i n d e n m a y e r 提出l 系统后，加拿大学者 p r u s i n k i e w i c z 等为了能更加准确地描述植物的生长过程，对l 系统进行了扩展，比如提 出了能够与周围环境交互的系统丌放l 系统( o p e n l - s y s t e m ) 1 9 】和能够模拟植物生长的随 机性的随机l 广系统( s t o c h a s t i cl s y s t e m ) 。 青岛农业人学硕士学位论文 第1 章绪论 植物生长模拟的研究除了采用上面的l 系统进行建模外，还有其它各种方法也可以 实现植物生长的建模。美国学者r e e v e s 在1 9 8 3 年提出了“粒子系统( p a r t i c l es y s t e m s ) ” 的概念【1 。之后，他又提出了一种结构化的粒子系统【”1 ，用该方法成功地描述了树木、 森林、草地等复杂的自然景物，但该方法不适合描述植物的生理形态结构。 迭代函数系统( i f s ) 是分形绘制的典型方法，它通过若干仿射变换将整体形态变换到 局部1 1 2 , 1 3 。b a r n s l e y 与d e m k o 应用i f s 方法生成了自相似性极强的蕨类植物叶片。之后 b a r n s l e y 等发展了“再现迭代函数系统( r e c u r r e n t i f s ) ”方法。该方法在自相似性生成方 面更为灵活，可以体现植物体局部之间的不同自相似性。p r u s i n k i e w i c z 与h a m m e l 通过 加入变换顺序的约束条件发展了一种称为“语言约束式迭代函数系统 f l a n g u a g e r e s t r i c t e di f s ) ”的方法。 v i e n n o t 提出了模拟植物结构的分枝矩阵模型( r a m i f i c a t i o nm a t r i x ) t 4 1 。用矩阵来描述 植物分枝节点的个数和彼此之间的关系，通过迭代产生植物的分形结构，并且定义了一 些几何结构参数。 b l o o m e n t h a l 定义了一些如枝条的弯曲参数，树皮纹理的生成等可绘制真实感较强 植物图形的参数。在绘制较粗的树木枝干时，为了形象逼真通常把真实植物的一段枝干 的纹理处理成数字图片，通过纹理映射的方法绘制成树皮纹理l i5 。 w e b e r 提出了一种只重视树木外观的几何形状的建模方法【1 6 i ，这种建模方法只注重 视觉上的真实感，不是严格遵循树木的生理结构。该模型定义了许多的参数，如对植物 的每个枝条设定两个偏转角度，枝条的前半段和后半段分别以不同的偏转角度向下和向 上偏转，这样能模拟s 型枝条弯曲形状。为了模拟枝条弯曲的随机性，还可以对每一段 加入随机偏转量。w e b e r 利用这些参数，可以构造出与样本十分类似的几何图形，同时， 该模型还给出了多分辨率的模拟算法的一种简化算法，使得大片森林背景可以得到实时 的绘制。 a o n o 提出了构造植物形念的a 系统( a s y s t e m ) ”7 1o 该模型针对早期l 系统不能生 成复杂三维枝条的缺点，提出了g m t l 、g m t 2 、g m t 3 以及g m t 4 等四种几何结构模 型。通过设置分枝角度按照定统计规律随机变化，以及植物分枝结构的一些特征( 如 单轴分枝结构、合轴分枝结构等) ，能够形象地模拟多种植物。并通过应用吸引子( a t t r a c t o r ) 算法模拟光照、重力以及风力等对植物形态的影响。 o p p e n h e i m e r 使用分形的方法来构造树木模型【l 剐。通过定义各级枝条的偏转角度、 锥度、螺旋状扭曲以及子干与母干之间的尺寸比等，并在每个递归层次上使用同一种描 述，引入一些随机变量到系统中来以避免分形带来的完全自相似性。 l i n t e r m a n n 等提出了基于功能图符的交互式植物构造模型 1 9 , 2 0 。该模型是以整个枝 青岛农业大学硕十学位论文 第1 章绪论 条为单位来构造植物，虽然不符合植物的实际生长特点，但是可以作为一个纯图形学意 义上的植物构造模型，而且参数输入方法结构条理，容易操作，已经应用于x f r o g 软件。 g r e e n e 提出了体元素空f n ( v o x e ls p a c e ) 方法1 2 i 】，即将三维空间区域细分为若干的小 立方体( c u b e ) ，每一个小的立方体就是一个元素。空间中的植物和周围环境都用体元素 近似表示。根据体元素的编号，可以检测植物与周围的环境是否占用了相同的空侧，实 现了植物与障碍物之间的碰撞检测。丽且，可以根据体元素空间元素划分的大小，控制 植物的生长速度，体元素空间越小，植物的生长过程越慢，反之越快。 d er e f f y e 等提出了“参考轴技术”的植物建模的方法1 2 2 1 ，该方法是用有限自动机 ( f i n i t ea u t o m a t i o n ) 来描述植物的形态，用随机过程的马尔可夫链理论以及“状态转换图 ( s t a t et r a n s i t i o ng r a p h ) ”方式来描述植物的生长模拟。该模型能够很真实的反映植物的生 长，能够可见植物生长的各个阶段，很容易把周围的物理环境参数集成到该系统中，比 如风、养分、病虫害等，是第一个真正符合植物生长规律的模型。但该模型存在不易理 解和使用的缺点。g o d i n 等在此基础上提出了多尺度意义下的植物拓扑结构模型 ( m t g ) 2 3 1 ，这种模型能够以不同时间尺度描述植物的拓扑结构。 植物生长模拟的研究在国内起步较晚，研究机构也很少，其主要研究机构有：中国 科学院自动化研究所与法国c i r a d 公司的a m a p 实验室联合合作研发机构、中国农业 大学等。前者侧重于可视化技术研究，后者侧重于植物模型研究。 中科院自动化所中法实验室从1 9 9 7 年开始进行了虚拟植物生长的合作研究。其研 究基础主要是基于a m a p 公司的虚拟植物生长方法，系统采用了参考轴技术和双尺度 自动化模型。中科院自动化所的伍怡【2 4 l 等人对虚拟植物器官的建模进行了详细的研究， 在p c 平台下，利用v i s u a lc 什丌发工具丌发了一个可产生通用器官的二维图形符号， 并能用o p e n g l 对其进行三维可视化的软件，该软件生成的器官模型可以被其它的软件 调用。 中国农业大学运用l - 系统方法，建立了不同土壤水分条件下小麦根系生长发育的三 维可视化模型；与北方工业大学c a d 中心合作，实现了理想条件下冬小麦苗期生长的 三维动画模拟：与中国科学院计算技术研究所c a d 开放实验室合作，实验了不同生育期 玉米形态的三维重建1 2 5 1 。 中国科学与技术大学赵星博士【26 】从植物学的角度出发，提出了微状态和宏状态的双 尺度概念，建立了虚拟植物生长的“双尺度自动机模型”。该模型考虑了植物的生长机 理，参数物理意义明确，并且应用了符合植物顶芽和腋芽发育过程的概率模型，更适合 模拟真实植物的生长过程。 郭新宇等人1 2 7 通过对玉米叶片形态建成过程的观察研究，构建了描述玉米叶片形念 青岛农业人学硕十学位论文 第1 章绪论 变化的数学模型，如叶脉曲线、叶形、展丌部分、叶缘和叶鞘的数学描述，并采用v c + + 、 o p e n g l 在微机上开发了软件系统，实现了玉米叶片的虚拟生长；张树兵，王建中针对 l 一系统编程繁琐的缺点，尝试将字符序列转换成递归表达式1 2 8 】；魏琼，蒋湘宁利用d o l 系统模拟了简单树木的三维造型1 2 9 1 ；孔小利利用l - 系统给出了三维植物形态的简单描 述，并建立了植物的拓扑结构【3 0 】；莱阳农学院尹玉亮利用l 系统实现了合轴分枝树木 的模拟【3 1 】：王莉莉、赵沁平针对l 系统的字符串规则灵活性不够的问题，提出建立一 种较为通用的基于l 系统规则语言分析器的解决办法p 。 随着各种植物建模理论的成熟，计算机硬件水平的飞速发展和数据采集能力的提 高，世界各地涌现出了许多优秀的建模软件。 美国o n x y 公司利用其开发的t r e ec l a s s i c 及t r e ep r o f e s s i o n a l 软件生成 了具有二百多种常见的植物的三维植物图形库。u s d a 研究机构基于棉花生理生态的建 模方法丌发出了棉花生长过程管理专家系统( c o t t o np l u s ) 。 澳大利亚q u e e n s l a n d 大学的研究机构c e n t r ef o rp l a n ta r c h i t e c t u r ei n f o r m a t i c s 基于 l 系统建模方法开发了v i r t u a lp l a n t s 软件，能模拟棉花、大豆、玉米等农作物根系的生 长以及病虫害对植物生长的影响。但该软件目前还不能应用于农林业的实际生产，只能 定性地模拟p ”。 德国k u r t z f e r n h o u t 公司基于计算机图形学的方法开发的p l a n t s t u d i o 软件。日本岩 手大学开发的v i r t u a lg a r d e n i n g ，d i g i t a ll a n d s c a p e s 能对植物生长特性，如自我修剪、 光照对植物的影响，植物根系的生长，大面积景观等进行较好的模拟。加拿大c a l g a r y 大学基于l 一系统建模方法和应用少量植物学知识开发出的c p e g ，l s t u d i o ，v i r t u a l l a b o r a t o r y 能再现灭绝的树种，成功地应用于计算机辅助景观设计和植物学教学。 法国c i r a d 开发的a m a p 系列软件在植物生长机理模型与可视化模型方面取得了 显著的进展。该软件包括了若干个子系统软件，每个子系统软件完成不同的功能。如 a m a p m o d 子系统软件主要用来建立具体植物的生长发育模型，首先通过特有的编码方 式记录植物体的测量数据，并且用一个数据库系统管理这些数据。应用a m a p 建模语 言a m l ( a m a pm o d e l i n gl a n g u a g e ) 对数据库中的数据进行提取，以表格的方式显示出来， 从而可与描述植物概率模型产生的植物生长参数曲线进行比较、验证和调整模型，并用 “多尺度树图( m u l t i s c a l et r e eg r a p h s ) ”方法根据植物体的不同尺度来定义和描述被测 量植物体的拓扑结构和几何结构，最终建立基于实际测量数据的植物生长模型。 1 4 本文的主要研究内容 从上面的论述可以看到，植物外观形态模拟在教育、娱乐、园林及城市规划等领域 青岛农业人学硕十学何论文 第l 章绪论 有着重要而广泛的实用意义。本文将以l 系统方法为基础，研究典型植物的形念模拟。 为了能够客观有效地模拟真实的植物外观形态，将来应用于虚拟农业的研究，对植物的 模拟应尽可能简洁，以具有更好的实用性。本文在前人的研究基础上，主要做了以下几 方面的工作； ( 1 ) 在相关植物学知识的基础上，利用l 系统法进行了单轴分枝树形结构的建模， 对植物器官的建模方法进行了分析研究，提出了一种新的基于逆向工程中模型重 建技术的建模方法，并作了详细阐述。 ( 2 ) 在上述理论的基础上，利用l 系统实现了单轴分枝树木和草本植物的模拟。在 单轴分枝树木的模拟过程中，引入了分枝级数、分枝长度以及叶片颜色等参数， 实现了分枝长度的模型化控制，并将单轴分枝树木和合轴分枝树木的模拟结果进 行了对比；在草本植物的模拟过程中，引入了花瓣数目、花的大小颜色等参数， 实现了花的凋谢等形念模拟。 ( 3 ) 在单轴分枝树木和草本植物的模拟过程中，建立了控制面板，通过调节各项参 数，实现了不同植物形态的模拟。 1 5 小结 在简单介绍了作物生长模拟研究的基础上，给出了虚拟植物的含义并对其优势进行 了简单的说明。阐述了植物生长模拟研究的方向及研究意义，引用国内外文献说明了此 领域目耵的研究进展和研究成果，并简单介绍了本文的主要研究内容。 6 青岛农业人学硕士学位论文 第2 章分形与l 系统的基本理论 2 分形与l 一系统的基本理论 2 1 分形理论 2 ，11 分形的基本概念 经典几何学是以规则而光滑的几何形状为其研究对象的。经典几何在描述一些抽象 图形或人造物体形态时是非常有力的，但对一些复杂的自然景象形态描述就显得无能为 力，诸如山、树、草、火、云等物体，它们的共同特征是极端不规则或极不光滑连续的。 为了解决这个问题，分形理论孕育而生。1 9 7 5 年法国数学家b e n o i tb m a n d e l b r o t ”4 j 根据拉丁语形容词“f r a c t u s ”( 意为破碎的) 造出“f r a c t a l ”这个词用来表示极不规则的 结构，同时提出了分数维的概念。分数维概念的引入为研究复杂形体提供了全新的角度， 使人们从无序中重新发现了有序，许多学科如物理、经济、气象等都将分形几何学作为 解决难题的新工具。计算机图形学也从中受到启发，并形成了以模拟自然界复杂景象、 物体为目标的分形造型。 分形目前尚无明确的数学定义，仅是从直观角度去描述。人们对极不规则的复杂图 形( 如海岸线的总长度) 进行细致研究后，发展在其混沌外表下隐含着一种序：具有无 穷嵌套的自相似结构，即组成这个图形的任一大的部分与小的部分都是同样的机制生成 的，从而造成该图形的局部形态与整体形态相似，使它们具有相同的总体特征和一般特 征。 按照法尔柯内( k j f a l c o n e r ) 的见解，分形集合f 应该具有如下的一些特征口5 j ： ( 1 ) 分形集合f 具有精细的结构，也就是说，在任意小的尺度下，它总是有复杂的 细节； ( 2 ) 分形集合f 是非常不规则的，用传统几何方法都不能描述它的整体与局部； ( 3 ) 分形集合f 通常具有某种形式的自相似特性； ( 4 ) 以某种方式定义的分形集合f 的分形维数通常都要大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在大多数情况下，分形集合f 能够以简单的递归方法产生。 根掘分形理论，分形内部任何一个相对独立的部分，在一定程度上都应是整体的再 现与缩影。我们将构成分形整体的相对独立的部分称为分形元或生成元。分形自相似性 有层次、级别上的差异，其最高级别是整体，最低级别是零级分形元，级别越接近则越 相似，级别相差越大则相似性越差。从严格数学意义上讲，自相似分形集可通过压缩映 射束定义，这是因为每次递归替换时对生成元进行了包括平移、旋转、缩小等在内的仿 射变换，实质上是一种压缩相似变换，将导致极限集成为该压缩相似变换下的不变集， 7 青岛农业人学硕+ 学位论文 第2 章分形与l 系统的基本理论 成为自相似集。具有采用数学变换定义自相似集和自仿射集如下：设d 是r ( 实数集) 闭子集，映射s ：d d 称为d 上的压缩，如果对d 上所有的x ，y ，存在值域为( 0 ，1 ) 的实数c ，使 l s ( x ) 一s ( y ) i c 恤一y i 。 可以证明任何压缩都是连续的。若峪( x ) 一s ( y ) i = c l x y i 成立，则映射s 把集合d 变成 几何相似集，此时称s 为相似的。设墨s 。是一组压缩映射，如果集合d 的子集f 满 足： m f = u s ( f ) ， i z l 则称集合f 对变换 s ，) 是不变的。这样的不变集合通常具有严格的分形结构。 然而，与上面定义的数学集合不同的自然物体是不满足严格相似性的，就是说自然 物体不是由自身较小的精确复制品组成的。如果把某个植物放大足够大的倍数直至分子 层次，它当然不具有和植物相同的空间结构。但是许多物体在若干数量级的尺度上却能 显示自相似性，这个大的自相似性尺度范围使这样的物体也十分适合用分形理论束描 述。为了解决自然界的分形一般不满足任意缩放自相似性问题，m a n d e l b r o t 引入了统计 自相似性这个概念，作为自然界物体更一般和更逼真的模型。在一个“统计自相似性” 的物体中，组成物体的各部分具有和整体相同的一般结构，只是根据某个比例缩小的精 确复制品发生随机变化。从模拟的观点看，这意味着分形的分形元在每个递归层次上是 随机变化。这些变化必须足够小，以保证分形元大致相同。这种把一个复杂对象分割成 更多可管理的部分的方法可以用来模拟复杂对象。 2 1 2 研究分形的方法 当前，利用分形方法模拟植物形态结构的方法主要有迭代函数系统( i t e r a t e df u n c t i o n s y s t e m ，i f s ) 、受限扩散凝聚( d i f f u s i o nl i m i t e da g g r e g a t i o n ，d l a ) 法、粒子系统法和l 系统等1 3 6 1 。这四种方法的算法原理不同，模拟对象也各有侧重。 1 迭代函数系统( i f s ) 法 当前，在计算机上生成分形结构的方法越来越多，然而，用一个数学系统去研究构 造一类存在于自然界的具有自相似性、标度不变性结构的分形，最为成功的方法就是迭 代函数系统。迭代函数系统i f s 是以仿射变换为框架，根据几何对象的整体与局部具有 自相似的结构，将总体形状以一定的概率按不同的映射变换迭代下去，直至得到满意的 分形图形【”1 。 迭代函数系统是从一个坐标系到另一个坐标系的映射系统，其中的映射过程包括仿 射变换和收缩映射两类过程。 青岛农业大学硕七学位论文 第2 章分形与l 一系统的基本理论 1 ) 仿射变换 仿射变换是一种实现几何变换的公式，它可以按比例放大或缩小图形，也可以使图 形发生旋转或位移，甚至可以使图形产生畸变。对于二维平面上的个仿射变换 ：r2 斗r2 可以表示成如下的形式： 睁( ：糊+ 其中：d ，b ，c ，d ，e ，f 均为实物，口，b ，c ，d 称为仿射变换系数，b ，f 称为变换偏移量。这是 一种最广泛的线性变换，任何二维平面图形都可以从某些基本图形通过一系列的仿射变 换得到。进行仿射变换的关键在于确定仿射变换系数和变换偏移量。 同理，对于三维空间，也存在着类似的仿射变换。 2 ) 收缩映射 设( ，d ) 是一个距离空间，对于映射国：x _ x ，若存在一个系数j ( o s 1 ) ，使 得对所有x ，y x ，均有下式成立： d ( x ) ，m ) ) s d ( x ，y ) 则称珊为收缩映射，s 称为的收缩因子。 迭代函数系统是距离空间( ，d ) 上的一组有限的收缩仿射变换 国。：一x ，0 = 1 , 2 ，3 ，) ，其中，各个变换。的收缩因子分别为s 。( o s 。s 1 ) ，按照 这种方法定义的迭代函数系统( i f s ) 也常称为双曲的迭代函数系统，此处双曲的概念指明 了仿射变换是收缩的。 收缩仿射变换在数学意义上具有收敛性，其变换结果最终将趋于稳定。实际上分形 图形可以理解为一组收缩仿射变换所确定的不动点集，即一个迭代函数系统的吸引子。 迭代函数系统主要用于分形绘制和图像压缩。这方面的研究主要集中在利用i f s 码 进行图像绘制和求已知图像的i f s 码，以及图像压缩。 2 受限扩散凝聚法 受限扩散凝聚( d l a ) 法是美国科学家的w i t t e n 和s a n d e r 于1 9 8 1 年提出的 3 8 1 。按照 这一模型，一种无序的、不可逆的生长过程可以导致一种分形形态的生成。d l a 模型 的生长过程为：在网格原点处放置一粒种子，吸附颗粒一次一个的从外部区域中释放出 去，使其做无规则行走。吸附颗粒与种子接触则粘附其上，形成新的凝聚体。这样，在 重复若干次后，就可生成一种分形图像。利用d l a 或其修改的模型可以对部分植物的 形态结构进行计算机模拟。d l a 模型主要用于模拟各种分形生长和凝聚现象 3 9 , 4 0 1 。由于 屏蔽效应的存在，d l a 模型总呈现分枝形状，d l a 模型的重要性在于揭示了分形与生 9 青岛农业人学硕十学位论文第2 章分形与l 系统的基本理论 长的关系，但对生长图形的研究目前还仅仅是开始，其中不少是计算机模拟的结果，其 解析理论还不健全，实验研究也只是刚刚起步。由于模型不易控制，很难用于具体形态 的模拟。 3 粒子系统法 粒子系统法是迄今为止被人们认为模拟不规则模糊物体最为成功的一种图形生成 算法。由于计算机模拟自然景物的其他算法模型往往是专门针对某一类自然景物而设计 的，因而无法使用统一的一种模式来生成具有变化形状的自然景物。而粒子系统则采用 一种完全不同于以往绘毒4 造型的方法来构造和绘制景物。在这种方法中，景物被定义为 由成千上万个不规则的随机分布的粒子所组成，每个粒子均有一定的生命周期，在任意 时刻都具有随机的形状、大小、运动方向和运动速度等属性，并且随着时间推移发生位 置和形念的变化。每个粒子的属性及其动力学性质均由一组预先定义的随机过程来说 明。粒子在系统内部要经过产生、运动、消亡三个阶段，某一时刻所有活动粒子的集合 构成了研究对象的粒子系统模型。通常，粒子系统模型适合用来模拟森林和原野等自然 景观和科学研究中的粒子动态变化等【4 卜4 3 1 。 4 l 一系统法 l 一系统最为成功的应用是在植物模拟方面。它最早由美国生物学家a r e s t i d l i n d e n m a y e r 提出，经过发展，现在已经成为植物形态模拟的主要方法之一。l 一系统是 一种基于字符串重写的并行系统，它通过对植物对象生长过程的经验式概括和抽象，构 造公理与产生式集，生成字符发展序列，表现植物的拓扑结构。它以形式化的语言描述 植物的结构和生长，在语言的终结符与植物结构对应时，由文法生成的句子代表植物， 而句子生成的中间过程是植物生长发育的过程。最简单的l 系统简称为d o l 一系统，d 表示确定性，o 表示与上下文无关。随机l 系统克服了确定性l 一系统只能生成觑则分形 图形的局限，可构造随机的植物拓扑结构。参数化l 一系统使l 一系统能够模拟时延信息。 1 9 8 4 年s m i t h m l 等人率先将l 一系统引入计算机图形学中，显示了l 系统在计算机模拟 方面的巨大潜力。为计算机模拟植物的真实感图形提供了有力的工具。l 系统法能简洁 地描述植物的拓扑结构，例如枝条和花序结构。具有定义简洁、结构化程度高、易于实 现等优点【4 5 】。 综上所述，虽然i f s 法、d l a 法、粒子系统法和l 系统法都能用来模拟一些自然 植物，但是它们的模拟对象各有侧重。利用i f s 法能生成各种植物，又能模拟各种山、 水、云等，但合适的i f s 码的选择是一个令人非常头疼的问题，i f s 在图像压缩方面具 有很大的优势和广阔的前景；d l a 法适合模拟些凝聚现象，因而模拟对象受限；粒 子系统在模拟森林、草地等方面具有其无可比拟的优势，而在单株植物的模拟中却无能 o 青岛农业人学硕七! 学位论文第2 章分形与l 系统的基本理论 为力；而l 系统法对单株植物的模拟具有明显的优势，无疑是描述植物拓扑结构的一种 最简洁有效的方法。本文的研究对象是自然植物中具有代表性的单轴分枝树木和草本植 物，因此，l 系统将是本论文的应用重点。 2 2l 一系统的基本理论 2 2 1 简单l 系统 l 系统实质就是一个并行重写系统【“。其核心概念就是重写( r e w r i t i n g ) ，重写的基本 思想就是根掘预先定义的重写规则( 生成规则) 集不断地生成复合形状并用它来取代初 始简单物体的某些部分以定义复杂物体。 考虑由两个字母a 和b 组成的字符串，它们可在同一字符串中多次出现，每个字符 串与一个重写规则有关。例如，如果写b a ，那么代表字母b 用a 替换；a a b 表示字 母a 用a b 替换，这便是重写规则。重写过程起始于一个称之为公理的字符串，例如这 个字符串仅包含一个字母b ，那么第一步由规则b a 可知公理b 被a 替换；第二步，由 生成规则a a b ，a 被a b 替换。字符串a b 由两个字母组成，在下一步两个均被同时替换， 得到新的字符串a b a ；接着，由a b a 生成a b a a b ，由a b a a b 又生出a b a a b a b a ，然后是 a b a a b a b a a b a a b ，上述过程可一直进行下去，最后得到一个由a 和b 两个字母组成的字符 串序列，其推导序列如下： 迭代次数 调用规则结果 丌始 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 b ，a b - a b - a b ，a b ，a b a a b a b a a b a a b a b a a b a b a a b a a b a b a a b a a b 上述过程可归结为下面的形式化定义：令v 表示字母集，v + 表示v 上的所有单词( 由 符号或字符组成的字符串) 的集合，一个字符串0 l 系统是一个有序的三元组( v ，出，p ) ， 这里甜是一个非空单词，也是起始元，称作公理，p 是产生规则的有限集合，产生规则 写作a x ，字母a 和单词x 分别称为产生式的前躯和后继。规定对任何字母a v ，至 少存在一个非空x ，使得a x 。若对给定的前躯a e v 无明确的产生式，则确定a a 这 个特殊的产生式就属于p 。对每个a e v ，当且仅当恰有一个非空单词x ，使得a x ，那 么就晓o l 系统是确定的，记作d o l 系统。 里a 曲曲如如如 期一一一一一一 左b a a a a a 壹璺坐兰! ! 三盔堂堡主堂堡堕奎 笙! 童坌垄兰兰童堡盟竺堑咝 系统的迭代过程是；首先从公理甜开始，把m 中的字符作为第0 次迭代的结果字符； 调用p 中的相应规则，改写第i 次迭代的结果字符，可以得到第i + 1 次迭代的结果字符 ( i = o ，1 ，2 3 ) ，迭代过程可以在有限次内进行。 根据l 一系统的定义，我们可以写出上述字符串的生成过程： 公理：b 产生规则只：b a 只：a a b 然后根掘产生规则去替换初始字符串中的每一个字符，就锝到了上面的字符串。 由上面的定义可知，l 一系统中的初始元和产生式均是由字符串来描述的，字符串重 写系统最后得到的是一个由特定字母组成的字符串。为了使该字符串能描述某种图形， 需对它进行适当的几何解释，这就要求l 系统生成的字符串含有必要的图形的几何信 息。在这罩，我们常用一种“龟标记的字符串图形解释”h 7 1 ( 简称龟解释模型) 来对l - 系统进行图形解释。 2 2 2l 系统的几何解释 1 二维龟解释模型 由于绘图的方法类似于一只乌龟在平面上爬行，故又称为龟解释模型。龟解释模型 的基本思想：将龟的状态定义为三元组( x ，y ，疗) ，其中笛卡尔坐标( x ，y ) 表示龟的位置， 而角度日( 称为龟的指向) 被解释为龟头所指的方向。给定步长d 和角度增量6 ，龟可以 反馈下述符号表示的命令( 见图2 1 ) ： l - 。厂。、。 图2 1 字符串的二维龟解释 f i 9 2 1t u r t l ei n t e r p r e t a t i o no f s t r i n gs y m b o l s f ：向前移动步长d ，龟的状态变为( x ，y ，n ) ，这罩工1 x + d e o s a ，j ，1 = y + d s i n a ， 同时在点( 工，y ) 和( x ，y ) 间画一线段； f 向前移动步长d ，不画线； 童璺坐些盔堂堡主堂生堡苎 笙! 童坌丝兰生：墨竺塑垩查堡丝 + ：向右转角度艿，龟的下一状念为( 五，y ，a + 艿) 。在这里，假设角度正向为顺时 针方向。 ：向左转角度占，龟的下一状态为( 一，y ，a 一巧) a 这样，对任一字符串s ，若( z 。，y 。，a o ) 是龟的初始状态，d 、