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多层中心动力学网络的混沌同步与有序涌现 摘要 多层中心网络是现实世界中一类比较典型的网络，本论文研究 具有多层中心网络的各种性质及动力学行为。由于三层中心的网络 是一种比一层和两层中心网络更重要更具代表性的多层中心网络， 所以我们以三层中心网络为例进行分析。 本论文主要运用动力系统理论与数值计算方法对三层中心网络 的同步问题进行了深入的研究，探讨了网络的拓扑结构与同步之间 的关系。在研究过程中，我们构造了两种耦合方案的网络，且网络 中每个节点的动力学为混沌的l o g i s t i c 映射，利用线性稳定性分析 方法得到了网络达到完全同步时耦合强度的范围，并证明了多层 中心网络模型耦合矩阵的特征值是实数，同时发现该网络的第二层 和第三层中心节点对网络的同步起着关键作用。此外给出了关于三 层中心网络进一步的数值结果，说明了多层中心耦合网络具有使网 络上的动力学由混沌到有序的自组织功能，最后列出了与本课题相 关的一些研究问题。 关键词：复杂网络；多层中心网络；同步；混沌；耦合强 度；l y a p u n o v 指数；稳定性 c h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n do r d e r e m e r g e n c ei nm u l t i l a y e rc e n t e rd y n a m i c a l ne t v v o r k s a b s t r a c t m u l t i l a y e rc e n t e rn e t w o r k sa r eac l a s so f t y p i c a ln e t w o r k si nt h ew o r l d ， i nt h i sd i s s e r t a t i o nw es t u d yt h ep r o p e r t ya n dd y n a m i c a lb e h a v i o ro fm u l t i l a y e rc e n t e rn e t w o r k s t h r e e l a y e rc e n t e rn e t w o r k sa r em o r er e p r e s e n t a t i v e t h a no n e l a y e ra n dt w o l a y e rc e n t e rn e t w o r k s ，s ow ee m p h a s i z eo nt h r e e 1 a y e rc e n t e rn e t w o r k si no u ra n a l y s i s w ea p p l yd y n a m i c a ls y s t e m st h e o r ya n dn u m e r i c a la n a l y s i sm e t h o d t os t u d yt h es y n c h r o n i z a t i o no f t h r e e l a y e rc e n t e rn e t w o r k s ，e x p l a i n i n gt h e r e l a t i o n sb e t w e e nt o p o l o g i c a ls t r u c t u r e sa n ds y n c h r o n i z a t i o n i no u rs t u d y , b yu s i n gl i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i sa p p r o a c h ，w ed i s c u s ss e v e r a ld i f f e r e n t c o u p l i n gs c h e m e so f t h r e e l a y e rc e n t e rn e t w o r k sw i t ht h el o g i s t i cm a pl o c a ld y n a m i c s ，a n do b t a i nt h er a n g eo f c o u p l i n gs t r e n g t h w h e nt h ew h o l e n e t w o r ka c h i e v e sc o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n w ep r o v et h ee i g e n v a l u e so f t h ec o u p l i n gm a t r i xa r ea l lr e a l ，a tt h es a m et i m e ，w ef i n dt h a tt h es e c o n da n dt h et h i r dl a y e rc e n t e r sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nt h es y n c h r o n i z i n g p r o c e s s f u r t h e r m o r e ，o u rn u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tm u l t i l a y e rc e n t e r n e t w o r k sh a v es e l f - o r g a n i z a t i o ne f f e c to nc h a n g i n gt h ed y n a m i c a lb e h a v i o rf r o mc h a o st oo m e nf i n a l l y , w es u m m a r i z et h er e s u l t sa n dl i s ts o m e p r o b l e m sf o rf u r t h e rr e s e a r c hi nt h ef u t u r e k e y w o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ；m u l t i l a y e rc e n t e rn e t w o r k ；s y n - c l a r o n l z a t l o n ；c h a o s ；c o u p l i n gs g e n g t h ；l y a p u n o ve x p o n e n t ：s t a b l l i “ 一 ， 一 ， i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名： 学位论文使用授权声明 脚，； 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影 印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后 遵守此协议。 警名叫寥 聊躲 期：研f ” 。 日 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理 条例。我的学位论文中凡引用他人己经发表或未发表的成 果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名 称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和 版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：参7 多 一驯盹咏、 1 1 引言 1 绪论 复杂系统是一门多学科交叉的科学，它研究现实世界中的复杂现象，如生 命起源、生物进化、金融股市、社会、管理、气象等系统的问题。复杂系统涵 盖极广，几乎无处不在，可以说复杂系统与我们的关系十分密切。复杂系统包 括下列几个基本特征，可以作为对系统的某种程度的描述。1 它由大量的单 元( a g e n t ) 组成：2 系统是开放的，受外界的影响；3 在特定的条件下，作用 者会相互作用；4 当相互作用开始时，将会有微小的变化，但系统能通过自 组织，自加强，自协调，并随之扩大、发展，最终发生质变，这种质变，在复 杂系统中称为涌现( e m e r g e n c e ) 。 复杂网络是许多复杂系统的一种恰当的模型，自然界中存在的大量复杂系 统都可以通过形形色色的网络加以描述。可以说复杂网络是一个包含了大量个 体以及个体之间相互作用的系统，通常把个体视为网络的节点，把个体间的相 互作用视为网络节点与节点之间的连接，这样由大量的节点以及节点间的连接 构成了复杂网络系统。例如，神经系统可以看作是大量神经细胞通过神经纤维 相互连接形成的网络；计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质 如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络；在社会关系网络中，节 点可以是个体、组织、甚至是国家，它们之间是通过社会相互作用进行连接 的；在学术合作网络中，其节点是科学家，如果两位科学家有合作( 如合作论文 等) ，那么他们就被连接起来了。类似的还有电力网络、交通网络等等【l 】。 随着计算能力的不断提高，各个领域中数据获取的计算机化，复杂网络的 研究也得到了迅速的发展，它己遍及各个学科领域，从生物学到物理学，甚至 到社会科学。复杂动力学网络具有很强的学科交叉性，7 它涉及到动力学理论、 控制论、科学计算等多方面的内容。因此复杂网络的动力学是近些年来的研究 热点，其中网络同步问题和网络上的传播动力学是复杂动力学网络中的两个最 具代表性的课题。同步现象广泛存在于生物、化学、物理和现实社会等领域， 是复杂动力学网络的一种非常重要的动力学行为，因此对复杂网络的同步行为 研究在复杂动力学网络中具有重要的理论意义和应用价值。近十余年来，混沌 动力系统在网络上的同步性能吸引了大量科学家的关注 2 - 5 ，尤其是由非线性 耦合振子构成的大型复杂网络睁”】。最近，文献 1 0 ，11 1 中用线性稳定性分析方 法分别研究了多中心( 即一层中心) 网络和两层中心网络的同步问题，但现实世 界中除了一层和两层中心的网络外，大多数网络都具有更多层次，如我们国家 1 绪论 的领导机构，从国务院到各部委再到地方各级政府，从上到下分为许多层次， 而且层与层之间以及各层内部都有着不同的关系。因此对多层中心网络进行深 入的研究有着重要的现实意义。 1 2 论文研究的主要内容 本硕士论文将运用线性稳定性分析的方法对多层中心网络的同步问题进行 深入的研究。首先在前人的研究基础上构造了三层中心网络结构模型，因为三 层中心网络是一种比一层和两层中心网络更重要更具代表性的多层中心网络。 我们建立网络的动力学方程之后，把非线性动力学节点的演化方程在同步状态 线性化，用动力系统理论和数值模拟方法来研究该网络的同步问题，证明了多 层中心网络模型耦合矩阵的特征值是实数，给出了网络实现同步的条件和影响 网络同步能力的各种因素。同时给出了关于三层中心网络的进一步数值结果， 说明了多层中心耦合网络具有使网络上的动力学由混沌到有序的自组织功能， 这与物理学、生物学等领域的一些实际模型相吻合，可用于解释自然界中的一 些协调现象。 论文的内容安排如下：第二章详细介绍了复杂网络的一些基本概念，包 括复杂网络的一些基本模型，如规则网络、随机网络、小世界网络和无标度网 络；及网络的一些统计特征量，如平均路径长度、聚类系数、度分布、介数和 同配性与异配性；第三章先后介绍了混沌和同步的基本概念，随后给出了网络 的同步动力学模型，并介绍了判断网络完全同步的经典判据主稳定函数方法。 第四章具体介绍了三层中心网络的同步行为。先简单介绍了星型网络和两层中 心网络，之后给出了三层中心网络模型及其基本统计量的计算，最后运用线性 稳定性分析的方法和数值方法分析了两种不同耦合方案的三层中心网络，给出 了网络达到完全同步的条件。第五章结合第三章的网络模型，给出了一些关于 三层中心网络的数值结果，说明了适当的网络模型和耦合强度，可以使网络上 的混沌动力学行为稳定到不动点或周期点，并指出这一结果对时间连续的耗散 耦合网络也是成立的。第六章概述了复杂网络上的传播动力学的研究近况，简 单介绍了网络上传播动力学的两个基本传染病模型：s i s 模型和s i r 模型，并 且给出了无标度网络上具有分片线性传染力的s i r 模型的传播阈值。论文的最 后一章对本论文作了总结和进一步研究的展望。 一2 一 2 1 网络的定义 2 复杂网络的基本概念 一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些连线组成的，其 中节点用来代表真实系统中不同的个体，而连线则用来表示个体之间的关系， 通常是当两个节点之间具有某种特定的关系时连一条线，反之则不连线。有线 相连的两个节点在网络中被看作是相邻的。 图论是复杂网络数学处理的自然框架，所以复杂网络在形式上可以用图 来表示。一个典型的网络是由点集和边集组成的图g = ( ，) ，边 集合e 是由点集合中元素的无序( 有序) 对( t ；j ) 或( 歹； ) 构成的集合。集 合三_ 礼1 ，n 2 ，n ) 中的元素是图g 的节点( 又称为顶点或点) ，集合兰 e 1 ，e 2 ，e k ) 中的元素是图的连接( 又称为边或线) ，其中节点数记为n = i i ，边数记为k = 吲。如果任意点对( t ；j ) 与( 歹；i ) 对应同一条边，则该网络 称为无向网络( u n d i r e c t e dn e t w o r k ) ，否则称为有向网络( d i r e c t e dn e t w o r k ) ；如果 给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就称为加权网络( w e i g h t e dn e t w o r k ) ， 否则称为无权网络( u n w e i g h t e dn e t w o r k ) 。我们把没有重边和自环的图，称为简 单图。 图g = ( ，) 可由邻接矩阵a 完全描述。给定邻接矩阵a 是一个n n 的 方阵，其元素为毗j ，( i ，j 未l ，2 ，) ，若边e 协存在则t z i = 1 ，否则m j = 。 邻接矩阵的对角线上的元素都是o ，从而无向图的邻接矩，阵是对称的。另外0 一 种表示网络的方法是关联矩阵b ，b 是n k 矩阵，其元素为b 泐若点z 连接 于边e 惫则= 1 ，否则= 0 。 要理解网络结构与网络行为之间的关系并进而考虑改善网络的行为，就 需要对实际网络的结构特征有很好的了解并在此基础上建立合适的网络结构模 型。人们对来自不同领域的大量实际网络的拓扑特征进行了广泛的实证性研 究，并在此基础上，从不同的角度出发提出了各种各样的网络拓扑结构模型。 下面我们主要介绍复杂网络中的几个基本模型：规则网络、随机图、小世界网 络、无标度网络。 2 1 。1 规则网络 通常把具有规则形状的网络称为规则网络，像一维链、二维格，研 究比较多的规则网络还有全局耦合网幺b ( g l o b a l l yc o u p l e dn e t w o r k ) 、最近邻 耦合网- 络( n e a r e s t n e i g h b o rc o u p l e dn e t w o r k )及星形耦合网络( s t a r - c o u p l e dn e t 3 2 复杂网络的基本概念 w o r k ) 等【1 6 ，如图2 1 所示。 式 7 侈 叼 兮 。i 勿丽愈。 饿髅藜0 漱蕙q 弋些驾y - 1 s t a rc o u p l e dn e t w or k 2 ne a r e s l - n e i g h b orc o u p l e dn e t w o r k 3 , g l o b a l l yc o u p l e dn e t w o r k 图2 1几种规则网络模型 任意两个节点之间都有边直接相连的网络称为全局耦合网络。因此，全局 耦合网络具有最小的平均路径长度l 9 。= 1 和最大的聚类系数q 。= 1 。最近邻 耦合网络是一个得到大量研究的规则网络模型，其中每个节点只和它周围的邻 居节点相连。具有周期边界条件的最近邻耦合网络包含个围成一个环的点， 其中每个节点与它左右各k 2 个邻居点相连，这里k 为偶数。 2 1 2e r 随机网络 最典型的随机网络模型由匈牙利数学家p e r d s s 和a r 6 n y i 提出【1 7 。e r 模 型的定义为：在图中的个节点间，随机连接佗条边形成的随机网络，记为 g n ，n ，由n 个节点，n 条边组成的网络共有2 ) ( 一1 ) 种，构成一个概率空 间，每一个网络出现的概率是相等的。后来人们又提出另一种与e r 模型等价 的随机网络模型，即二项式模型：给定的节点数目固定不变，假定任意节点 对之间有边连接的概率为p ，形成的网络记为g p o 其节点数目为，边数期 望值为p n ( n 一1 ) 2 。 2 1 3 小世界网络 随着计算机数值运算与存储能力的提高，科学家们发现大量的实际网络 既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不相同的拓扑特征 的网络。作为从完全规则网络向完全随机图的过渡，1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 引入了一个具有小平均路径长度和大聚类系数的小世界网络，简称为w s 小世 界( s m a l l w o r l d ) 网络模型【】8 1 。 该模型构造如下：考虑具有个节点，度为 的最近邻耦合网络，以 概率p 重新随机连接每条边的其中一节点，重连时保证没有自环和重边产生。 一4 一 2 复杂网络的基本概念 通过调节p 的值可以控制从完全规则最近邻网络( p = o ) 到完全随机= 1 ) 的过 渡，见图2 2 ( a ) 。w s 网络模型介于规则网络和随机网络之间，它实现了从规 则到完全随机之间的连续演变。但从w s 小世界网络的构造算法可以看出，随 机化重连可能破坏网络的连通性。 赢鹏 r e w r i t i n o fl m k s 胍赢赢 a d d i t i o n0 fl i n k s 图2 2小世界网络模型的形成【1 9 】 ( a ) ( b ) 1 9 9 9 年，n e w m a n 和w a t t s 对小世界网络的构造算法进行了改进 2 q ，用“随 机化加边”取代“随机化重连”，提出了n w 小世界网络模型：在原有最近邻 网络模型基础上，以概率p 在随机选取的一对节点之间添加一条边。其中，任 意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身 相连。当p = 0 时对应原来的最近邻耦合网络，当p = 1 时对应于全局耦合网 络，如图2 2 一( b ) 所示。在理论分析上，n w 小世界模型要比w s 小世界模型简单 一些。当p 足够小和n 足够大时，n w 小世界模型本质上等同于w s 小世界模 型。 2 1 4b a 无标度网络 e r 随机图和w s 小世界模型的一个共同特征是网络的度分布可近似用 p o i s s o n 分布来表示，该分布在度平均值 处有一峰值，然后呈指数快速衰 减。这意味着当2 时，度为2 的节点微乎其微，可以忽略不计。因此， 一5 一 2 复杂网络的基本概念 这类网络也称为均匀网络( 网络中节点具有类似的度) 或指数网络( e x p o n e n t i a l n e t w o r k ) 。随着计算机的发展，研究发现许多复杂网络如h a t e m e t 、w w w 以及 新陈代谢网络等的度分布函数具有幂律形式。这类网络节点的度没有明显的 特征长度，故称为无标度网络。为了解释幂律分布的产生机理，b a r a b z i s i 和 a l b e r t 提出了一个无标度网络模型，现被称为b a 模型【2 l 】。 该模型的构造算法如下： 增长：从一个具有较少数量m o 个节点的网络开始，在每个时间间隔引 入一个新的节点，并且连到m 个网络中己存在的节点上，这里m m o 。 优先连接：一个新节点与一个已经存在的节点i 相连接的概率；和节 点i 的度k 之间满足如下关系： 玉 t = 爵，( 2 1 ) z 一k j 经过t 步后，产生一个有n = t + 低个节点、m 艺条边的网络。 2 2 复杂网络的统计特征 研究网络中节点和边的度值、权值以及网络几何性质的稳定性等，是复杂 网络研究的核心内容，下面针对无向网络来介绍复杂网络的几个基本几何量。 2 2 1 节点的度和度分布 一个节点所连接的边的数目称为该节点的度( d e g r e e ) ，第i 个节点的度通常 用来表示，用邻接矩阵a 可定义为觑= j a i j 。网络中所有节点度的平 均值称为网络的平均度，记为 。网络的平均度定义为： = 丙1 忽= 万2 e ， ( 2 2 ) 其中e 和分别表示网络的边数和节点数。 网络中节点的度分布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 可以用分布函数p ( k ) 来描述，它 表示为随机均匀选择的点具有度忽的概率，或者说网络中具有度k 的点在整个 网络中所占的比例，即： 1 n p ( 七) = 专6 ( 意一觑) ， ( 2 3 ) 一6 一 2 复杂网络的基本概念 其中6 ( ) 是d e l m 函数，即当忌= 觑时6 ( ) = 1 ，否则6 ( ) = 0 。根据p ( k ) 可以 获得网络g 的最基本的拓扑特征。 根据不同类型的度分布，可以把网络分为均匀网络( h o m o g e n e o u sn e t w o r k ) 和异质网络( h e t e r o g e n e o u sn e t w o r k ) 。均匀网络包括规则网络、完全随机网 络、小世界网络等，这类网络的度分布近似为泊松分布p ( k ) e - 础 譬菩， 其形状在远离峰值 处呈指数下降，如图2 3 ( a ) 所示。而许多实际网络属 于异质网络，其度分布服从幂律形式p ( k ) = c 恐一7 ，也称为无标度( s c a l e , , f r e e ) 分 布，7 0 称为幂指数，如图2 3 一( b ) 所示。在一个大规模无标度网络中，其幂指 数通常为2 7 3 ，绝大部分的节点的度相对很低，有且只有少量的度相对很 高的节点。 图2 3 图( a ) 表示当 = 5 ，1 0 ，1 5 时的泊松度分布；图( b ) 表示当r = 1 ，2 ，3 时的幂率 形式的度分布 2 2 2 平均路径长度 在一个网络中，从节点i 到节点歹的最短路径是指所有从i 到歹的连通的通 路中，所经过的其他节点最少的一条或几条路径。节点i 和歹之间的最短路径 长度奶也称距离，定义为连接这两个节点的最短路径上的边数。特别地，网 络中任意两个节点之间距离的最大值称为网络的直径( d i 锄e t e r ) d 巧。网络的平均 路径长度( a v e r a g e p a t hl e n g t 1 ) l 定义为两个节点之间的距离的平均值，即： l = 赢蓦奶， 亿4 ， 2 复杂网络的基本概念 其中是网络的节点数。平均路径长度描述了网络中节点的分离程度。复杂网 络研究领域的重要发现就是，大型真实网络的平均路径长度却很小，即使这个 真实网络中的边数比相同节点个数的全局耦合网络的边数少的多。这也揭示了 网络的“小世界特性”。 2 2 3 聚类系数 社会网络的一个共同特征是聚类特性，比如在朋友关系网络中，一个人 的两个朋友很可能彼此也是朋友。网络的这一特性可以用聚类系数( c l u s t e r i n g c o e f f i c i e n t ) 来定量描述。定义第z 个节点的聚类系数为与它相连接的个节点 彼此之间的连接概率， g = 订去，i = 1 ，2 ， 。砥f 可刮_ ，7 川 其中最是与第i 个节点相连接的节点( 称为第i 个节点的邻居) 之间实际存在的 边数，而分母则是可能的最大边数。整个网络的聚类系数c 就是网络中所有节 点的聚类系数的平均值，即 c = 寺g ( 2 5 ) i = 1 根据定义显然有，0 冬g 1 且0 c 1 。c = 0 当且仅当网络中没有任意三 个节点是相互连接的，比如说平均度为2 的环形网络；c = 1 时，网络是全局耦 合的，即网络中任意两个节点都直接相连。对于一个含有个节点的完全随机 网络，当很大时，c = o ( n q ) 。而许多大规模的实际网络都具有明显的聚 类效应，它们的聚类系数尽管远小于l 但却比o ( n 以) 要大得多。事实上，在许 多类型的网络( 如社会关系网络) 中，你朋友的朋友同时也是你的朋友的概率会 随着网络规模的增加而趋向于某个非零常数，即当_ 时，c = 0 ( 1 ) 。 在规则网络中，对较大的k 值，最近邻耦合网络的聚类系数为 g c = 筹兽兰。 亿6 ， 该网络的平均路径长度为 l n c 云一( 一o 。) ( 2 7 ) 星形耦合网络有一个中心点，其余的一1 点都只与这个中心点连接，而它们 一8 一 2 复杂网络的基本概念 彼此之间不连接。星形网络的聚类系数为 g 姗：菇三一1 ( _ ) ( 2 8 ) 。加2 万j 一上_ l 厶6 该网络的平均路径长度为 、 l 。衙= 2 一斋篙 等_ 2 ( 一o o ) ( 2 9 ) e r 随机图的主要特点是：平均度为 = p ( n 一1 ) p n ，平均路径长 度l e ro ( 1 n n l n ，度分布为正态分布且峰值取度平均值，每个节点有 大致相同数目的度。e r 随机图中两个节点之间的连接概率均为p ，因此其聚类 系数为c = p ，从这可以看出大规模的稀疏e r 随机图不具有聚类性 质。 对于小世界网络，设c ( p ) 和l ( p ) 为以重连概率或加边概率p 得到的w s ，j , 世界网络模型n w 小世界网络模型的聚类系数和平均路径长度如下，w s ，j , 世界 网络的聚类系数为( 2 2 】： ) = 籍若( 1 计 ( 2 1 0 ) n w j 世界网络的聚类系数为 i 】： ) = 硒者甍丽 + ( 2 1 1 ) 而目前w s 小世界网络的平均路径长度没有精确的表达式。n e w m a n 等人用重正 化群方法得到【2 0 】： 三( p ) ：万2 n ，( 砌2 ) ， ( 2 1 2 ) 基中，( z ) 为一个普适标度函数，满足： ，c z ，= c 。竹o n z s t z a ，位三妻： 对于b a 无标度网络，平均路径长度为lo f 丽i n 丽n ，说明当n 很大的时 候，b a 网络仍具有很小的路径长度。另外数值模拟表明具有七条边的节点的概 率服从指数为r = 3 的幂指数分布。 9 。 2 复杂网络的基本概念 2 2 4 介数 介数( b e t w e e n n e s s ) ) 反映了某节点在网络中的重要性，其定义最早由f r e e m a n 在1 9 7 7 年提出 2 3 1 。令节点i 和节点j 之间最短路径的条数为c ( i ，j ) ，这两个节 点之间经过节点j c 的最短路径条数记为瓯( i ，歹) 。比值鼠( i ，j ) = g ( i ，歹) c ( t ，j ) 描述了节点k 在节点i 和j 之间的重要程度。节点k 的介数鼠定义为所有节点 对的b k ( i ，j ) 的总和，即 耻驴瓴沪蓦嬲 亿哟 某个节点的介数越大说明在信息传播过程中通过该节点的信息量就越多，于是 就越容易发生信息拥塞。类似地，还可以定义边的介数，它反映了某边的影响 力。 2 2 5 同配性与异配性 在一些实际网络中还有一个重要的结构特性即是节点之间的相关t 生t 2 4 a ( c o r r e l a t i o n ) ，如果网络中的节点趋于和它近似的节点相连，比如度大的节点趋 于和度大的节点相连，就称该网络是同配的( a s s o r t a t i v e ) ；反之，就称该网络是 异配的( d i s a s s o r t a t i v e ) 。定义同配系数( a s s o r t a t i v ec o e f f i c i e n t ) 忙毒鬻， ( 2 1 4 ) 忙匠葱再厦莎砑 u j 4 ) 来刻画网络同配性( 或异配性) 的程度。其中为网络中度为i 的节点总数与度 为j 的节点总数的比， 西= = 址器掣， 其中 为网络的平均度，p ( i ) 是网络中度为i 的节点总数占整个网络节 点数目的比例。当r 0 时，表示整个网络呈现同配性结构，度大的节点倾向 于与度大的节点相连；r 0 表示整个网络呈现异配性；r = 0 表示网络结构 不存在相关性。通过对大量实际网络的分析，如电影演员合作网络、万维网、 科学家合作网等等，这些社会网络都呈现同配性；而大量科技网络，比如电 网，i n t e r n e t 互联网以及大量生物网络如蛋白质网络、新陈代谢网络、神经网络 等等都呈现异配性。 一1 0 一 3 1 混沌简介 3 1 1 混沌的概念 3 复杂网络中的混沌同步 混沌动力学是复杂性科学的一个重要分支，也是近三十年来的一个热门学 科，它是以一种新的方式对自然界进行描述，揭示了自然界以及人类社会中普 遍存在的复杂性、有序性与无序性的统一，确定性与随机性的统一，大大加深 了人们对大自然的理解。混沌( c h a o s ) 是指发生在确定性系统中的貌似随机的不 规则运动。一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重 复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性系统的固有特性，是非线性系 统普遍存在的现象，牛顿确定性理论能够处理的多为线性系统，而线性系统大 都由非线性系统简化而来。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是 无处不在的。 混沌现象最初是由美国气象学家洛伦茨，在2 0 世纪6 0 年代初研究天气预报 中大气流动问题时偶然发现的。1 9 6 3 年，洛伦兹( l o r e n z ) 在大气科学杂志 上发表了“决定性的非周期流”一文，指出在气候不能精确重演与长期天气预 报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期与不可预见性之间的联 系，他还发现了混沌现象“对初始条件的极端敏感性”，即混沌现象具有不可 预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点。洛伦兹形象地把混沌 运动这种对初值条件的敏感依赖性比喻为“蝴蝶效应”( b u t t e r f l ye f f e c t ) 来比喻： 如果全球气象处于混沌状态，那么有一只蝴蝶在巴西拍动几下翅膀，就可能在 美国德克萨斯州引起风暴。因此可以说，蝴蝶效应是区别混沌同其它确定性运 动的最重要标志 2 5 1 。 3 1 2 混沌系统的基本特征 混沌理论是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系 统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。混沌系统与线性系统 及其它的非线性系统相比有着自己独有的特征。混沌的特征主要有【2 5 ： 1 对初始条件的极端敏感性( 蝴蝶效应) 当一个确定性系统的发展演化行为敏感地依赖于系统的初始条件的时候， 我们就称这个系统是混沌的。混沌这个特征暗示：两个初始条件很相近的不同 1 1 3 复杂网络中的混沌同步 轨道最终将会以指数的方式分离。由于混沌系统对初始条件的极端敏感性，一 般来讲，由于事实上我们不可能精确知道实验的全部初始条件，使得这些系统 本质上是不可预测的。 2 存在无数个不稳定周期轨道的稠密集 混沌的第二个特征就是：在潜在的混沌集中存在着无数个不稳定周期轨道。 换言之，混沌吸引子就是无数不稳定周期轨道的集合。 3 正的l y a p u n o v 指数 l y a p u n o v 指数是对非线性映射产生的运动轨道相互间趋近或分离的整体效 果进行的定量刻划。对于非线性映射而言，l y a p u n o v 指数表示1 1 维相空间中运 动轨道沿各基向量的平均指数发散率。当l y a p u n o v 指数小于零时，轨道间的 距离按指数消失，系统运动状态对应于周期运动或不动点；当l y a p u n o v 指数 大于零时，则在初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运动对应于混沌状 态：当l y a p u n o v 指数等于零时，各轨道间距离不变，迭代产生的点对应分岔 点( 即周期加倍的位置) 。一般而言，系统只要有一个正的l y a p u n o v 指数，就 称为混沌系统。而有两个或两个以上正l y a p u n o v 指数的混沌系统，则称为超 混沌( h y p e r c h a o t i c ) 系统。 对于保守系统，由于不存在相空间体积收缩，因此所有l y a p u n o v 指数 之和必须为0 。对于耗散系统，所有l y a p u n o v 指数之和为负数。一般通过 最大l y a p u n o v 指数入1 等来判断系统的稳定性。若入1 0 ，则吸引子为稳 定的节点( 不动点) ；若入1 = 0 ：入2 = o 为网络的耦 合强度，日( ) ：p _ 舒为各个节点状态变量之间的内部耦合函数，也称为 各节点的输出函数，这里假设每个节点的输出函数是完全相同的：耦合矩阵 a = ( a i j ) r n 表示网络的拓扑结构，满足耗散耦合条件。a t j = 0 。 当耦合矩阵a 描述了一个无权无向简单图的拓扑结构时，具体定义如下： 若节点i 和节点j ( i j ) 之间有连接，则= a j i = 1 ，否则a i j = i = o ( i 一】4 一 3 复杂网络中的混沌同步 歹) 。对角元为 n n = 一= 一= 一乜，i = 1 2 ( 3 4 ) j = l ，j tj = l 。j t 这里为节点i 的度。由于矩阵a 为对称矩阵，除零特征根以外的所有特征根 对应的特征变量构成的n 一1 维子空间横截( 正交) 于特征变量( 1 ，1 ，1 ) 丁，即 横截( 正交) 于同步流形。如果当t _ 0 0 时有 z 1 ( 芒) = z 2 ( t ) = z n ( t ) 全s ( t ) ( 3 5 ) 就称动力网络( 3 3 ) 达到完全( 渐近) 同步。由于耗散耦合条件，方程( 3 3 ) 右端的 耦合项消失，同步状态s ( t ) 形必为单个孤立节点的解，满足( 芒) = ，( s ( 亡) ) ， 这里s ( 亡) 可以是孤立节点的平衡点、周期轨道，甚至是个混沌吸引子。 对状态方程( 3 3 ) 关于同步状态s ( 亡) 线性化，令已为第i 个节点状态的变 分，可以得到变分方程： & = 【d f ( s ) + c 入知d 日( s ) 烁，忌= 1 ，2 ，n ( 3 6 ) 这里 入七，k = 1 ，2 ， 是矩阵a 的特征根。毛称为同步流形( 3 5 ) 的横截 误差( t r a n s v e r s ee r r o r ) ，它刻画了正交于同步流形的矢量的特性，当所有的横截 误差均趋向于零时，同步流形( 3 5 ) 指数稳定。如果s ( t ) = 否是一个平衡点，那 么同步稳定的充分必要条件就是矩阵【d ，( 吾) + c a k d 日( 吾) 的特征根实部均为负 值。如果s ( 亡) 是混沌轨道，通常判断混沌同步稳定性的判据是要求方程( 3 6 ) 的 横截l y a p u n o v 指数全为负值【3 9 】。横截l y a p u n o v 指数描述了横截( 正交) 于同步 流形的极小矢量的动力学行为，从而决定了同步流形的稳定性【 4 1 。 如果假定网络是无权无向的连通的单图，那么耦合矩阵的特征根均为实 数，且可以记为 1 二 a i = l i m 二 ：i ni 九( 亡) 1 ( 3 7 ) 下- - + o o1 瞢 则定义主稳定方程( m a s t e rs t a b i l i t ye q u a t i o n ) 为 = ( d f ( s ) + q d 日( s ) 】 ( 3 8 ) 该方程的最大l y a p u n o v 指数厶也是实数q 的函数，称为动力n n ( 3 3 ) 的主稳 定函数( m a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o n ，m s f ) 。我们把使得主稳定函数己m 凹为负的实数 q 的取值范围称为动力网络( 3 3 ) 的同步化区域，它是由孤立节点的动力学函数 一1 5 一 3 复杂网络中的混沌同步 ，( ) 和内部耦合函数日( ) 确定的。如果耦合强度与耦合矩阵的每个负的特征值 之积都属于同步化区域，即 c a k s ，尼= 2 ，n ( 3 9 ) 那么同步流形( 3 5 ) 是渐近稳定的。 根据同步化区域的不同情形，我l f n - i 以把网络( 3 3 ) g 以分为以下几种类 珏9 4 0 1 ： 类型i 网络，对应的同步化区域为s 。= ( 一。，q 1 ) ，q 。为有限非正实 数。如果耦合强度和耦合矩阵的特征值满足 c t a l - o a 2 ( 3 1 0 ) 那么，类型i 网络的同步流形( 3 5 ) 是渐近稳定的。因此类型i 网络关于拓扑结 构的同步化能力可以用对应的耦合矩阵a 的第二大特征值a 2 来刻画。入2 值越 小，类型i 网络的同步化能力越强。我们把公式( 3 1 0 ) 记为同步判据i 。 类型i i 网络，对应的同步化区域为& = ( ，q 2 ) ，o l l 和q 2 为有限非正 实数。如果耦合强度和耦合矩阵的特征值满足 鼍 c 号，慕q 焉， ( 3 1 1 ) 则类型i i 网络的同步流形( 3 5 ) 是渐近稳定的。我们把公式( 3 1 1 ) 称为同步判据 ，它也可写为 a i r a 2 o e 2 o l l ，( 3 1 2 ) 由上可知，类型i i 网络关于拓扑结构的同步化能力可以用对应的耦合矩阵a 的 特征值比率入入2 来刻画。入入2 值越小，类型i i 网络的同步化能力越强。 类型i i l 网络，对应的同步化区域为空集s 3 = 垂。对于任意的耦合强度 和耦合矩阵，这类网络都无法实现同步。 同步判据i 和i i 中的q 1 和o l 2 的值可通过数值计算确定。下面一章我们将 证明所研究的三层中心网络属于类型i i 网络。 一1 6 一 4 多层中心网络的同步 现实世界中的网络往往具有层级结构，如我们国家的领导机构，从国务院 到各部委再到地方各级政府，从上到下分为许多层次，而且层与层之间以及各 层内部都有着不同的关系，为此我们研究具有多层中心网络的各种性质。在复 杂网络的研究过程中，对聚类网络和等级网络的模型特征及其动力学行为已经 取得了大量的研究进展 1 3 ，4 1 1 。最近，文献 1 0 ，l1 1 中用线性稳定性分析的方法分 别研究了多中心( 即一层中心) 和两层中心网络的同步问题，但现实世界中除了 一层和两层中心的网络外，大多数网络都具有更多的层次，因此有必要对多层 中心网络进行更进一步的研究。 4 1 多层中心网络介绍 在构造多层中心网络之前，我们先看一下星型网络，星型网络也可称作单 层中心( 多中心) 网络，这类网络有一层中心节点。图4 1 给出了两种不同类型的 单层中心网络和一个两层中心网络的例子。对于图中的单层中心网络，一种是 在一个具有个节点的网络中，只有一个中心点，其余的点都和这个中心点相 连，但是它们之间没有边相连；另一种是在一个具有个节点的多中心网络， 其中k 个中心节点之间两两相连，且每个中心节点与钆个不同的非中心节点相 连，非中心节点之间没有边直接相连，此外，任两个中心节点没有公共的非中 心节点与之相连，所以在此网络中共有n = k ( n + 1 ) 个节点。图4 1 ( c ) 考虑的 ( a ) 图4 1图( a ) 给出了一个n = 9 的单中心星型网络例子，其中有核的圈表示中心点： 图( b ) 给出了一个k = 4 ：竹= 1 的多中心网络例子，其中有核的圈表示中心点：图( c ) 给 出了一个两层中心网络例子，其中圆圈表示非中心节点 是一种具有个节点的两层中心网络，设一层中心节点与二层中心节点数分别 为七1 、k 2 ，非中心节点数为礼。在这种网络中，一层中心之间互相连接；每个 一层中心都与每个二层中心节点相连，但二层中心之间没有边相连；同时，每 1 7 4 多层中心网络的同步 个二层中心都有礼个不同的非中心节点与之相连，且任何两个二层中心没有共 同的非中心节点与之相连：所有的非中心节点间没有边相连。这样网络的节点 总数n = k 1 + k 2 + n k 2 。对于以上网络模型的介绍及同步问题【1o 1 1 】已经做出了 很好的结果，在此不再赘述。 现在我们考虑一类含有n 个节点的三层中心网络，f l c 表示第一层中 心节点，s l c 、t l c 和n c 分别表示第二层中心、第三层中心节点和非中心 节点。这三层中心的个数分别为m 1 ，仇2 和m 3 ，连接在第三层中心上的非中 心节点的个数为n k ( k = 1 ，2 ，m 3 ) 。在这种网络中，所有的f l c 节点之间 都有边相连，所有的s l c 节点都与每个f l c 节点相连，所有的t l c 节点都 与每