（固体力学专业论文）薄板中圆形弹性夹杂对弯曲波的散射与动应力集中.pdf

嗡尔滨1 襁学颟一 ：譬侥论文 撼要 撵蘸薄稷维稔在靛天、簸空、潦麓叛麓术建筑缭褥孛经常瀵舞，z 藤 没计经挂婺求在薄板中填加圆形弹性夹杂，出于哭杂的存在，在弹性薄檄中 餐攘蘸弯蕊渡籍会度宝囊絷戆嚣瓣袋蒙，譬蘩哭杂瀑运懿砖鏖鸯分毒。薄蔽 弯越波豹散射与动应力集中，它随接关臻剁工程中薄板结构的使用寿命。 薄蔽黪鏖鸯繁孛楚越，囊予工程土鹣羹要强，一塞煞是a 辩磷究游夔 点。对于应力蕊中阐遂，入们采取了大蹩的方法对其研究。 n 、l 。汝s 蟪e l i s i 撑i h 等支掇窭熬方浚b 经娥功遮辫决了薄羧野孔熬蛰瘟力集审 问题。耷睦螽波的淑射及劝虑力集中不商予静力闯黼。为j 磁，在姆年代，翘 黢魁等a 瘸簧交麟数注娥秘遗群决了薄投器强弱潮建力繁巾迥爨。 采端簸交蘧爨法，对古有髂蔑夹杂漪薄霰中蘑应力集中阕麓逶嚣亨麟 究。因此，该问题的解答可归结为对一嫩 无穷代数方程纵蛔求孵问题，并可 零麓截鞣霄辍顼戆方法瓣菸遽嚣键簿。传为葵秘，泠塞了禽质参数瑟嚣掰黪 性夹杂黔遮( 应力熬中处) 的勘应力集中系数的绪聚。并谶行了讨论。 菠键词：薄板；阐澎弹幢夹杂；动应力纂中；霓磷函数法i 弯随波艴散瓣 哈尔滨r 程夫学硕j ：学位泛文 a b s t r a c t t h et h i np l a t es t r u c t u r eo f t e nu s e di na e r o s p a c e ，a v i a t i o n ，s h i p p i n ga n dc i v i l c o n s t r u c t i o nf a c i l i t i e s i no r d e rt o s a t i s f yt h ee n g i n e e r i n gd e s i g n i n g ，c i r c u l a r e l a s t i ci n c l u s i o ni sp o p u l a ri nt h ep l a t e s o ，w h e nt h ef l e x u r a lw a v ei n c i d e n c e s ，t h e b e n d i n gm o r n e n tw i l lc h a n g ei na n o t h e rw a y t h es c a t t e r i n go ft h ef l e x u r a l a n d s t r e s sc o n c e n t r a t i o nw i l la p p e a r ，w h i c hm a y d a m a g et h ep l a t e s t h ep r o b l e mo fe l a s t i cw a v em o t i o na n dd y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o ni n i n f i n i t ep l a t e s ，b e c a u s eo f i t se n g i n e e r i n gi m p o r t a n c e ，h a sb e e no n eo f t h es u b j e c t s o fm a n yi n v e s t i g a t o r s an u m b e ro fa n a l y t i cm e t h o d sw e r ee s t a b l i s h e df o rt h e i n v e s t i g a t i o no fs t r e s sc o n c e n t r a t i o n t h ep r o b l e mo fs t a t i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o no n t h e 甜g eo fa na r b i t r a r yc u t o u tc a nb es o l v e db ym u s k h e l i s h v i l i sm e t h o d s c a t t e r i n go ff l e x u r a lw a v e sa n dd y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o ni np l a t ea r e d i i t e r e n tf r o ms t a t i cs t r e s sp r o b l e m i nl9 8 0 s l i ud ks o l v e dt h ed y n a m i cs t r e s s c o n c e n t r a t i o n si nt h ep l a t e sw i t ht h ec o m p l e xv a r i a b l em e t h o d i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h ec o m p l e xv a r i a b l em e t h o d ，a na n a l y t i cm e t h o dt o s o l v ed y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o ni nt h ep l a t ew i t hc i r c u l a re l a s t i ci n c l u s i o ni s o b t a i n e d t h e r e f o r e 。t h es o l u t i o no ft h ep r o b l e mc a l lb er e d u c e dt oas e r i e so f a l g e b r a i ce q u a t i o n sa n ds o l v e dn u m e r i c a l l yb yt r u n c a t i n gt h ef i n i t et e r m so ft h e i n f i n i t ea l g e b r a i ce q u a t i o n s ，a se x a m p l e s ，n u m e r i c a lr e s u l t sf o rd y n a m i cm o m e n t f a c t o r so fp l a t e sw i t hc i r c u l a re l a s t i ci n c l u s i o na r e p r e s e n t e du n d e rd i f f e r e n t c o n d i t i o n sa n ds o m ed i s c u s s i o n sa b o u ti n f l u e n c eo fd i f f e r e n tp a r a m e t e r sw h e r et h e d y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o r sh a v eb e e nm a d e k e yw o r d s ：t h et h i np l a t es t r u c t u r e ，c i r c u l a re l a s t i ci n c l u s i o n ，d y n a m i cs t r e s s c o n c e n t r a t i o n ，c o m p l e xv a r i a b l em e t h o d ，t h es c a t t e r i n go f t h ef l e x u r a tw a v e 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指 导下，南作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据 和文献等的引硝已在文中指出，并与参考文献相对应。 除文中已经注明引溺麓内容外，本沦文不包含任何其继 个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人完全意识到本声嗡的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：赵盎墨 日期：叻彭f 弓月3 日 哈尔滨i ：稃大学硕七学位论文 第l 章绪论 1 1 板蠢力学的基零翔设 l t l - l 摄尧麓定义和分类 简单地说，板壳是平板和壳体的总称。它们是日常生活和= i ：穰结构中最 蘩觅懿兹钵，与每个人黪堡活籀关与久类貔生存紧密专纂莲，投壳甄然在入类 生滔中占有如此突 融的地位，所以它是佳褥我们认识、去研究的。 尽管物体予变蠢纯具有各糖各棒的形式，氇是，楣当多麴物4 ；= 粼弱予捉： 件、平板和壳体。大家都知道，杆件是材料力学研究的主蘩对象。这种物体 形状特别篱錾，它豹长度要陡攮囱躐薅数尺寸大褥多，乎扳郡壳体比抒舞凝 复杂一些，港抒 孛的横囱截蕊的宽陵尺寸增期后新形成的物体。抉句话醌， 一个物体如果当它的厚度比其余两个方向尺寸在数艇级上小得多，这样的物 体裁跫警板戏壳诲。 平板和壳体又是如何区分昵，为此，我们先引入中面和厚度的概念。 中霞就建平分物体簿囊熬分巽嚣。器痰裁是在中錾主佟法线丽被耪体穗 伞外表露所戳割豹t “段氏度，若物体的中两是一块平露( 办称中平隧) ，我们 缓嚣此物体为孚叛；若物钵的中馥怒一块戴溪( 办称中熬薅) ，我们镁穆此物 体为壳体。 存实际情援中，大多数投毒属于薄板翻薄壳范瞬。狳了按述方法分类 终，还有其它分类方法。按中面的形状避行分类。 ( 1 ) 对于平板，可分为 1 ) 露影乎薮中西的闰器是菡溺翡平校稼为圆澎乎援，简稼戮投。 2 ) 矩形平扳中面的周界是矩形的平板称为矩形平板，或简称矩形板。 3 ) 杂形乎薮审瑟豹蹋要是其它形状懿平投稼为杂彩乎羲，或麓豫杂形 板。 1 1 2 摄亮钓特点稻应瀑 由材料力学的学习可知，梁主髅受弯矩作用。对平板而苦，它主要受弯 瑟囊力( 毽孝蠢取l 遗奄短嚣援惫) 传翅。壳喜錾娥主要靠熬| 薹i 内戆内匆( 毅囊法自力 和剪力) 来承载。由予扳壳潮有豁! ”：缀结构( 凝是缀结构) 瓣特性，耋餐轻， 耗材瓣少，| 鹫嚣是挽良数结誊鼋擒髂，不汉被，4 一泛地应嗣在筹辨工程结构避， 而髓在自然界和f 常生活中也常常碰见。 哈尔滨工程人学硕士学位论文 在地球表面上，有绵延的高山、交错的深谷、星罗棋布的岛屿。这种复 杂奇特的地质形态，正是地壳这个巨大壳体在外力作用下发生变形的结果。 目前，有人用薄壳失稳理论来研究。 在自然界里，乌卵、蚌壳、植物种子、花瓣等部里壳形，这是经过长期 自然选择形成的，是以最少的材料造成的坚强结构。 人们通过与自然的斗争，逐渐认识到板壳结构的优越性，因而在现代工 程部门中，广泛地应用它们。下面，简单叙述一一下应用情况。 ( 1 ) 航天i ：程 千百年来，人们对宇宙飞行就有着浓厚兴趣，渴望着去宇宙飞行。我国 就有嫦娥奔月的美丽故事，驰名中外，脍炙人口。为实现这一理想，我们的 祖先早在公元l o o o 年便发明了火箭，开辟了通向空间的第一条通路。 今天，科学技术的巨手已经填平了理想与现实的鸿沟。1 9 7 0 年，我国第 一颗重达1 7 3 妇的人造地球卫星飞上了天空。美国则于1 9 6 9 年用阿波罗1 1 号飞船将两名宇航员送上了月球，在月球上第一次留下了人类的足迹。 在进行这些宇宙飞行时，使用了火箭、人造地球卫星和宇宙飞船。它们 的外壳是壳体，一些部件，如火箭尾翼、太阳能翼板等是平板。 ( 2 ) 海洋工程 除了上天以外，下海是人们长期以来所关注的另一重要领域。可以毫不 夸张地说，下深海比登月还要困难。 世界最深的海洋是太平洋西部的马里亚纳海沟，最深处达l1 5 2 1m 。大 家知道，水深每增加1 0 m ，就增加静水压力9 8 正确的压强。所以，在那里， 静水压力高达1 1 2 9 8 2 4 k p a 。换句话说，一指甲盖大小的面积要承担1 1 2 0 8 n 的力。在这样巨大的压力下，一般东西的抵挡不住，只好被压成一块肉饼。 经过艰辛的历程，人类终于在1 9 6 0 年，借助于用圆球形壳体制造的深海潜水 器才到达了那里。 海洋占地球表面的十分之七以上，蕴藏着许多宝贵的资源。仅以各种矿 物为例，如果把这些矿物均匀地铺在整个地球的陆地面积上，其厚度可达 2 0 0 m 。近年来，海洋的研究与开发越来越受到各国的重视。十多年来，各 国建成了许多海上石油平台和水下实验室。平台的主体就是一块平板。水下 实验库则是用壳体形式建造。最近，有的国家正计划在6 0 0 0 m 深处设海底基 地。这种海底基地就是水下城市，它不像陆地上的高楼大厦而是一种用直径 2 4 4 3 6 6 m 的许多钢质圆球形壳体构成并固定于海底的建筑物。 ( 3 ) 建筑工程 哈尔滨r 程大学硕士学位论文 板壳在建筑工程中，更具有特殊的意义。门、楼板、墙壁、地基是平板 一座宽敞、无障碍的大跨度建筑物，如会议厅、展览馆、体育馆、工厂车间、 剧场、车库、飞机库等则以壳体屋盖为最好。 在旧社会，我国自己没有设计过大型壳体建筑。直到新中国成立以后， 壳体结构才开始采用，并得到迅速发展。许多工厂4 车间和民用住宅采用圆柱 壳形屋盖，较大的跨度达3 3 m 。使用双曲扁壳屋盖情况较多，如北京火车站 大厅和北京网球馆，其中网球馆底面尺寸为4 2 m x 4 2 m 。 在国外，最大的圆球形屋盖大约要算是美国的宾夕法尼亚州的大会堂， 其平面赢径达到1 2 6 6 m 。 在水工建筑和地下建筑工程中，板壳也起着极大的作用。例如，水坝闸 门多为平板或扁壳形状。 ( 4 ) 容器制造工程 石油、石油化学、化学、原子能动力工程是发展国民经济的重要物质基 础，具有举足轻重的地位，与提高人民生活水平关系极大。在这些工程中， 容器制造占有相当大的比重。诸如贮罐、锅炉、反应器、热交换器等设备， 都属于容器范围。它们的外壳是壳体，一些部件是平板。以固定式热交换器 为例，它的筒体是圆柱形壳体，封头是球形壳体，管板和折流板是带孔的圆 形平板。目前国外制造的这种换热器，压力可高达8 2 m p a ，温度达1 5 0 0 ， 直径达到1 2 0 c m ，管板重量可超过2 0 t 。显然，设计制造时是相当困难的。 同时，对热交换器的需求又极大，以石油、化工厂的装备为例，在总重量 中，热交换器要占4 0 。随着近年工厂规模大型化，容器也是日趋大型化， 长度达1 0 0 卅，直径达2 0 m ，重量达到1 2 0 0 t 。而且，高压和超高压容器产 品越来越多，其内压力达到前所未有的程度，有时已达到5 3 9 4 m p a 。显然， 设计制造这些产品不仅涉及到制造的难易，成本的高低，而且，关系到人民 生活和国家财产的安全。过去，由于容器没有严格按照板壳力学设计，因而 产生严重事故的实例不少。例如，在4 0 年代，美国俄亥俄州一一台直径1 7 3 m 的球形容器，虽然内压力还不到5 0 k p a ，但破坏时竟造成1 2 8 人死亡、6 8 0 万美元的巨大损失。 ( 5 ) 交通运输工业 交通运输工业是国民经济的命脉，各种运输工具和设备都离不开板壳结 构形式。琶机、轮船、火车和汽车的外壳以及桥梁的空心桥墩等都是壳体， 轮船甲板、火车和汽车底板、飞机场跑道、公路路面、桥墩顶平台等都是平 板。目前，飞机的速度己达到3 5 2 3 k m h ，约为普通音速的三倍多，飞机的 哈尔滨：i = 程大学硕二l 二学位论文 e 行高度达到3 5 2 4 0 m ，起飞重量达到3 7 3 t 。例如，美国波音7 4 7 重型远程 运输机，一次能装载1 0 6 t 重的人员和物资。这种飞机的尺寸很大，机翼的两 端距离是5 9 6 4 m ，飞机长度是7 0 5 1 m ，飞机高度是1 9 3 3 m 。轮船就更为 可观了，目前世界上最大的轮船大约要算法国的贝拉姆亚号油轮，其甲板和 轮船底垂直高度为3 6 m ，长度4 0 0 m ，宽度6 3 m ，一次能载运5 4 1 0 0 t 石油。 由于这些运输工具既要速度高，几何尺寸大，载运人员和物资多，又要自重 轻，稳定灵活，安全可靠，所以设计制造特别困难，而板壳力学将为设计制 造人员提供有力的帮助。 ( 6 ) 精密仪器工业 精密仪器工业的发展程度是体现一个国家科学技术发展水平的重要标准 之。在航天、航海、石化、原子能等许多工程中，广泛使用着各种各样使 用弹性元件的精密仪器，这些弹性元件大多采用平板、波纹板、扁壳制成， 它们是仪器的核心部分。它们在自动化生产中的作用犹如人的眼睛和耳朵等 感觉器官，它把环境及其变化感受出来，发出信号，由控制系统进行控制。 ( 7 ) 军事工程 板壳在军事工程中更是大显身手。军舰、潜水艇、飞机、导弹、坦克、 炮弹、地雷和碉堡的外壳或部件都与板壳紧密相关。如何将这些兵器和防御 工事设计得符合军事要求，板壳力学必将是一个重要工具。 除了前述领域外，在其它工种以至体育运动、日常生活中，我们还可以 举出许多例子，为避免繁冗，就不一列举了。总起来说，做为构件，板壳 具有极大的优越性和重要性，在人类征服自然的进程中，立下了特殊的功勋。 因此，对于广大力学工作者和工程设计人员说来，掌握一定的板壳力学，必 将为我们国家实现社会主义的四个现代化发挥更大的作用。 1 1 3 研究板壳力学的目的 板壳力学是固体力学中最有现实意义的分支之是研究平板和壳体在 外力作用下所产生的应力和变形的一门科学。 在外力作用下，板壳发生了变形。但是，板壳不是无限制地变形下去， 而且在外力卸去后，板壳能消除由外力所引起的变形。这说明，板壳本身有 抵抗外力的能力。按照习惯用法，我们将外力称为荷载，将板壳本身抵抗外 力的能力称为板壳的求载能力。于是， 一方面，荷载馊板壳产生变形，并有 使它破坏的趋势；另一方面，板壳的承载能力有抵抗变形和破坏的能力。 荷载与承载能力之间的关系，经常表现为f 面i 种形式： 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( 1 ) 板壳在荷载作用下，可能发生破坏。若将板壳抵抗破坏的能力叫做板 壳的强度，则进行工程设计时，必须保证板壳具有足够的强度。这时，就是 所谓强度问题。 ( 2 ) 在荷载作用f ，板壳虽然有足够的强度，不致发生破坏，但变形过大， 会影响正常工作。若将板壳抵抗变形的能力叫做板壳的刚度，则进行工程设 计时，必须保证板壳具有足够的刚度，使变形的数值不超过工程所允许的范 围。这时，就是所谓刚度问题。 ( 3 ) 在荷载作用下，板壳有时会象材料力学中所讨论的压杆一样，突然变 弯，丧失保持原来平衡状态的能力，即丧失稳定性。因此，在进行工程设计 时，还必须保证板壳具有足够的稳定性。这时，就是所谓稳定问题。 归结起来，处理好荷载与板壳承载能力之间的关系，进行板壳强度刚度 和稳定性计算，以使板壳设计得既安全又经济，这就是研究板壳力学这门科 学的目的。 当然，在实际情况中，强度、刚度和稳定问题大都不是同时出现的，因 此，只需考虑其中一种或两种即可。 一个设计优良的板壳结构必须是最经济地使用材料而在使用时又是安全 的。可是，这两个要求又是互相矛盾的。如果偏重了安全，势必增加材料， 或者采用优质材料。如果偏重了经济，则又易造成破坏，引起生命财产的损 失。板壳力学提供了解决这个矛盾的原则和方法，反过来，这一矛盾又促使 板壳力学不断向前发展。 最后，需要指出，我们所涉及的荷载都是慢慢地由零增加到一定值后就 保持不变或变动得不显著的荷载，这种荷载叫静荷载。例如，屋顶的雪载板 壳本身的重量( 又叫做自重) ，船身所受的水压力等就是静荷载。在这种荷载 作用下，板壳不会发生振动，在承载过程中始终处于平衡状态。 1 1 4 研究板壳力学的基本方法 研究板壳力学与研究材料力学、弹性力学一样都使用类似的方法，即包 括观察、实验、假设和理论四个过程。这样的过程是科学长期发展的结果。 人类在征服自然和改造自然的斗争中，逐渐观察到板壳的受力特性。生 产发展的需要，又促使人们去概括、总结这方面的科学实验。所得结果，经 过反复的循环以后，板壳力学才有了自己的形式。 下面，我们来谈谈板壳力学到底使用了哪些假设。板壳的形式干变万化， 组成它们的材料也是多种多样，既有金属，也有非金属。要想找出它们受力 哈尔滨工程大学硕士学位论文 特性的一般规律，首先就必须把复杂的现象加以简化和概括，进行科学的抽 象，抓住主要，抛开那些非本质的次要因素。经过长期的摸索，人们提出了 些基本假设。在薄板和薄壳的前提下，这些假设是： ( 1 ) 假设板壳是均匀的、连续的，并且是各向同性的 所谓板壳是均匀的，是指物质在板壳所占有的整个空间处都是一样的， 因此板壳内部各点的物理性质相同。这样，组成板壳材料的弹性常数就不随 位置而变化。 所谓板壳是连续的，是指物质充满板壳所占有的整个空间，没有留下任 何空隙。这样，板壳的应力、应变和位移等量都是连续的，因而可以用数学 上的连续函数来表示它们的变化规律。 所谓板壳是各向同性的，是指组成板壳的材料在各个方面具有相同的物 理性质。这样，组成板壳材料的弹性常数就不随方向发生变化。 实际上，组成板壳的材料通常并不满足这一假设。 ( 2 ) 假设板壳是线弹性的 板壳在外力作用下产生变形，卸去外力后，板壳本身能消除由外力所引 起的变形并完全恢复到原来形状，我们将这种特性叫做弹性，同时，我们还 假设应力和应变之间的关系是成正比的，亦即材料服从虎克定律，那么，这 种弹性就叫做线性弹性。 实际上，任何材料都不是线性弹性的。但是，只要外力不超过一定限度， 这一假设就是足够精确的。 ( 3 ) 假设板壳的变形是微小的 所谓板壳的变形是微小的，是指板壳在外力作用下，所产生的位移与其 厚度a 相比要小得多。确切地说，只要板壳最大位移小于厚度9 6 万分之一， 就符合这一要求。利用这一假设所建立的理论为小挠度理论。如果板壳的位 移不是微小的，且与厚度属同阶大小，则为板壳大挠度理论。 事实e ，大多数实际问题都属于板壳小挠度理论的范围。因此，利用小 变形的假设，便使板壳问题的分析和计算大大简化，可以不计板壳尺寸的微 小改变以及外力作用的微小位移，从而仍以该板壳原来的尺寸和形状作为计 算依据。同时，在计算应变时，还可以不计位移导数的二次以上的幂。这样 一来，板壳的基本方程就变成为易于求解的线性微分方程。 1 2 板壳结构开孔应力集中的研究现状 六十年代以来，研究板壳力学问题主要采用分析的方法，如分离变量法 6 哈尔滨t 程大学硕 一学位论文 摄动法，积分方程法等分析方法。七八十年代以来，由于电子计算机及数值 计算技术的发展，使得人们开始解决以前纯解析方法无法解决的问题。 用解析方法求解板壳力学问题的基本途径为：采用算子分解理论，将原 有的板壳基本控制方程化为若干个调和方程，双调和方程及h e l m h o l t z 方程， 原有高阶方程的解可以用这些方程的解组合来构造。 板壳开孔应力集中问题求解的基本方法如下： ( 1 ) 分离变量法对于板壳开孔问题应根据开孔的形状选择适当的坐标 系。空间坐标系有十一种，对于h e l m h o l t z 方程由六种坐标系可进行分离变 量。由于板壳力学问题属于二维问题，孔洞属于二维封闭的边界，故求揭开 孔问题可供分离变量的坐标只有极坐标系，椭圆坐标系。确定远离开孔附近 逐渐衰减的扰动应力状态，可以用来构造偏微分方程的解。尽管分离变量法 能够求解的问题很有限，但它还是为人们研究板壳力学问题提供了一种原则 和方法。 对于平板动力学问题，用算子分解理论将原方程降阶化为几个 h e l m h o l t z 型方程。在二维曲线坐标系中分离变量，利用相应坐标系f 的特 殊函数，如b e s s e l 函数，h a n k e l 函数，m a t h i e u 函数构造方程的解，满足给 定的边界条件从而得到问题的解。 ( 2 ) 摄动法在板壳力学研究中，可以采用壳体曲率参数或开孔长短轴之 比作为摄动参数，使扁壳开孔应力集中问题得到解决。 实际做法是将壳体控制方程中的各函数都展成小参数的幂级数，将各函 数幂级数代入方程，令两边小参数的同次幂相相等，可得一系列求解各阶修 j f 解的微分方程组。这样，原问题的解就化为一系列边值问题解的叠加，满 足边界条件即可求各项系数，使壳体力学问题得到解决。 当级数中取第零项代入控制方程时，可得小参数为零的与原问题接近的 问题，如球壳问题，圆孔问题或平板问题，其方程为齐次方程。将参数的几 次幂代入方程可得一个非齐次方程，方程的左边为迭代序列的第n 次值，而 又变为第n l 值。 ( 3 ) 积分方程法位势理论与展成级数法在求解微分方程中同样起着重 要作用。分离变量法得到的解一般是无穷级数，而积分方程法是以积分方程 有限的形式表示方程的解。 壳体的高阶微分方程，经降阶后得到的h e l m h o l t z 方程，可利用积分方 程法求解。由g r e e n 第二公式可将h e l m h o lt z 方程化为成边界面的面积分和 体积分的总和。使用积分方程法的关键是找到微分方程的g r e e n 函数，在板 哈尔滨_ l 群人学硕士学位论文 壳力学研究中，常采用集中力或弯矩作用下所产生的挠度作为g r e e n 函数。 根据壳体应力一应变状态的位势值，可以得到f r e d h o l m 型积分方程和具有 c a u e h y 型核的奇异积分方程，这些方程可用逐次逼近法求解，使问题得到解 决。 ( 4 ) 积分变换法与分离变量法不同，积分变换法不要求边界条件足齐次 的。不管控制方程是否是齐次的，积分变换同样处理它们，并且在原方程中 可能出现的奇异函数，如阶跃函数，脉冲函数，g r e e n 函数等都可以变成规 则函数。对偏微分方程的实施积分变换，使偏微分方程化成常微分方程。 由于板壳力学中常涉及到特殊函数，如b e s s e l 函数，h a n k e l 函数等， 故在开孔应力集中问题研究中常采用h a n k e l 变换对控制方程实施正变换，然 后求逆变换使问题得到解决。只有少数问题才能实现反演，一般要用数值方 法实现反演。 ( 5 ) 复变函数方法求解弹性波动问题的方法有两个方向，一条是沿着泛 函和算子理论这条理论这条线，如g r e e n 函数法、算子的谱理论；另一条是 沿着复变函数这条线发展到波场理论的保角变换法，如刘殿魁等人提出的复 变函数法，留数法，用以求开孔，波导等复杂的边值问题。 1 9 7 8 年，刘殿魁等人提出了求解二维弹性波散射的复变函数方法。此 法是弹性静力学得复变函数方法的一个推广。尽管由于保角变化后，波动方 程未得到保持，通过引入所谓“域函数”的概念，变换后的方程还是可以数 值求解的。因此，可使用刘等人提出的复变函数方法求解圆柱壳任意形状 开孔的静应力集中问题。 ( 6 ) 边界单元法边界单元方法作为重要的数值方法，近2 0 年来得到了 迅速的发展。边界单元法是在经典的积分方程法的基础上吸取了有限单元法 离散化技术而发展起来的一种偏微分方程的数值解法。它把微分方程的边值 问题归化为边界上的积分方程，而后利用各种离散化技术求解。 积分方程法与边界单元法相比，积分方程法只能用来求解简单的边界形 状及边界条件，而边界单元法适用于任意形状及边界条件的问题。可见，便 解单元法适合于求解板壳开孔应力集中问题。 边界单元法与有限单元法相比，有限单元法采用的是内部区域离散方法， 而边界单元法采用边界面离散的方法。由于它是对现有问题的一种精确解， 故数值求积技术直接应用到边界积分方程中渴望得到较高的精度。 边界单元法的主要优点是将所处理问题的空间维数降低一维。它只需对 边界面进行单元剖分，只要求出边界点上的函数值就可计算区域内任意一点 哈尔滨工程人学硕七学位论文 的解析函数值。这些对于无界区域的问题特别有意义。 基于积分方程表示的边界单元法有两种类型。直接法的未知量有明确的 物理意义，如位移挠度，而问接法采用的未知量是没有明确物理意义的虚拟 量。通过边界归化可以得到非奇异的积分方程或具有c a u c h y 型核的奇异积分 方程。间接法从基本解及位势理论出发可得到第二类f r e d h o l m 积分方程。积 分方程可用迭代法求解。 ( 7 ) 数值解法板壳力学问题最终都导致求解高阶微分方程，尽管分析解 法具有数学模型清晰及求解理论严密的优点，但由于板壳力学方程的复杂性， 能用算子理论降阶后求解的问题并不多。同时，分析解法还受到板壳几何形 状，载荷形式及边界条件种类等限制。因此，有许多板壳开孔应力集中问题 需要用数值法求解，在板壳力学中常用的数值解法有：能量变分法，加权残 值法，优先差分法及有限单元法。 1 3 薄板开孔应力集中问题的研究现状 薄板是一种片面结构，其厚度h 比平面尺寸小很多倍。与板的两表面等 距离的面称为中面，在未受力的自然状态下，板的中面为平面。中面的最小 1 尺寸为1 ，当h f “1 时称为薄板。在通常要求的精度范围内，当h f 0 和 0 ，救。恒大于e 。这两中波 的波速之比仅仅题材料泊松比v 的函数，用单独符号茁来表示 壮e _ _ p p ( 竽) t ( 等z v 声 1 1 ) c s l 一 由v 妒产生的波的速度较快，称为初波( p - 波) ，由v x 妒产生的波称为 次波( s - 波) 。为了用别的物理性质来区分这两种波，考虑位移分解式 u = u 。十娃( 2 1 2 ) 式中已记 娃l = v 妒u 2 = v 妒 ( 2 - 1 3 ) 由上式易知 v 。珏l2 v 。( v 妒) 2 0 ( 2 - 1 4 、 v u 2 = v ( v 妒) = 0 这意昧着，妒对应的波无转动变形，仅有体积变形和剪切变形：妒所对 应的波则仅有剪功变形和转动变形。前者由此又稼为膨胀波、无旋波、压缩 波、纵波、p 波( p r i m a r y 线p r e s s u r ew a v o ) 等名称；后者又被称为旋转波、 等体积波、剪留液、横波、s 波( s h e a r 或s e c o n d a r yw a i v e ) 等。 刚体巾平酾波表示为 珏= a f ( x 珏一。n ( 2 - l ) 或 “户a i f ( x k n k d ) ( 216 ) 喻尔滨l 程人学硕t 学位论文 其中，a 为振幅矢量；f 为任意函数；n 为波强法线，即波的传播方向； o 为波速。将式( 2 15 ) 代入( 2 7 ) 可以看出，只有在 ( 蠢+ ) ( a 拄) # + 一p c 。) a = 0 时，( 2 1 5 ) 式给出的形式才能代表弹性固体中的平面波。 还可疆霞搜移势褥平覆弹髅渡表瑷遗寒，p 渡可霉戏 妒= 妒n f ( r 舸一c p t ) w = 0 相应的位移为 u 。= v 妒= 妒。弹，( r 片一c p t ) ( 2 一i 7 ) ( 2 一1 8 ) 式中撇号表示辩宗量酶微分。 剪切波可写成 妒= 0 】；c ，= 缈og ( ，- 辟一f ) ( 2 - - 1 9 ) 式中，y o 为囊妻于n 的任意露矢量。令p 为费切波的偏振方向的单位矢 黛。于是我们可将妒。写成g t o = 妒op x 撑并将剪切波写成 廖= 0 矿= 妒o ( p x 稃) g p - 乔一e j ) ( 2 - 2 0 ) 式中y n 为标度系数。由( 2 一1 9 ) 式中的势求得位移矢量 龌= v 矿= 矿o p ，( r 摊一c p t ) ，叠n2 0 ( 2 2 1 ) 2 3 弹性薄板弯曲的基本理论 弹性乎扳结构广泛威蠲于航空、航天、舰船、建、化工容器等工樱结 构中，因此人们非常关注在外部躐荷作用下，平板结构的应力分布及强度问 题。 2 3 1 薄板的定义及基本假设 由两个平行平面和与其垂直的柱面所限制的物体，当乎行面间的距离远 小于其他方向的尺寸时，称为薄板，否剐称为厚缀。在蔽壳力学中通常以其 中丽作为研究对象。平板可按其各种特征进午_ l 二分类，如按中面形状可分为矩 哈尔滨上程人学硕_ t 学位论文 形板，圆形板，无限大板；按边爨条件特征可分为楚支扳，围支扳，弹憋支 撑板，自由边界板。本文将研究无限夫，开孔边界为自由：啦界条件板的横向 弯曲问题。 平较承受的载赞有三稀形式：1 侉j 孬于中齑睫的载衙；2 垂瞧于中两漪 横向载荷；3 ，内载荷与侧向载荷的共同作用。 在攮螽蘅载俸爝下，产生豹燕薄叛中溪靛横疯弯馥润题，叛懿变形主要 是弯曲变形。由于曲率的改变，板的弯曲变形往往还伴随潜扭转变形的发生， 鄹有扭搴熬存在。 平板弯曲波动也是弹性体的种波动，本应满足弹性动力学基本方程， 是一葶中三维问题。可是，对于薄板可以采用一系列反映主要力学特性的篾化 缎设，是三维问越将为二维问题，以便问题的分析求解。 从平板弹性理论的发展历史餐，有两种研究平板方法。一种鼹吼c a u c h y 及p o i s s i o n 为代表的平投数学弹性理论，勇一耱蹩班k i r c h h o f f 获l o v e 为 代寝的 程薄板理论。 弹性薄板横良弯蠢凌秘豹k i r c b l o f f l o v e 慕本缓设撵下： ( 1 ) 赢法线假设：垂赢与中面的直线在变形后仍为直线，并保持与中丽垂 直。 ( 2 ) 板中面的备平行屡间变形时不相互挤压，即忽略沿中面垂蕊方向的法 向应力。 ( 3 ) 薄板弯蓝辩，平板中面不发生西肉变形，即中瑟内无律缩裁剪切交形。 ( 4 ) 平板弯曲波动时，只计入横向波动的质量惯性力，而略去其转动力矩。 尽管对于平援麓角隅缝，开魏闻蘧、缀动阉趱，懿秘理论有辩会弓l 慈一 定的误差，可是，工程实践及计算表明，工程薄板理论的分析结果具有足够 熬精确寝。 值得注意的是，从变形角度看= y ，。= 0 ，但从平衡条件看，r 。，f ，= 唯 静限值存在，此时可认为翦切刚度为无穷大。假设( 4 ) 的涵义为横向弯曲波动 惯性力难比于板脬，而转动惯性力矩正比于截面转动惯性矩，即厚度的三次 方。因此对予褶对厚度缀小的薄板茈顷假设是可以成立静。 2 3 2 薄板弯曲波动的基本方程 在直角坐标系中，内力矩用中面挠度表示如下： 哈尔滨r 程人学颂l j 学位论文 ( 2 2 2 ) 蚝= 掰，= 。( 1 一护) 赢0 2 w 弯鼓威力势量子单经内力矩的关系式为： mzm ，z 2 亍q 3 亍 2 _ 2 3 ) ，：，；m y 1 p ? i 式中，为中筒单位长度的截面对中面轴线的。隘性矩，= 笙1 2 。 由内力矩的表达式可着毒，o x ，玎，都与坐标z 成正院，在缀翡表露弯 赣应力与夔应力静绝对馕达到最大值。 板的动力平衡是指变形后的位置而亩的。取微小分离体后，根据z 方向 的力平德祭 牛，可得z 方向的平獬方程式： 警+ 育o q ”竹尸一矿0 2 w = 。 ( 2 _ 2 4 ) 僦洲d f 将徽，、分离体上翁有力薅中蘸线驳短，摄蠢力矩之稻为零的乎簿条黪鼍 得下式： 攀+ 擎一幺：。( 2 - 2 5 ) o x c r y 同理，经取妖及力矩为零的乎擞条件埘得下式： 堕+ 监一q ：o ( 2 - - 2 6 ) o y 0 x 。 板的三个动力平衡方程式中含有5 令未知量，所醴它楚静不定润题。蠲 变形儿何方程，物理方程作为补充方程，建立位移法的糕本控制方程。经推 谨仡篱螽，可褥薄板毒叠蓦波动静麓本控制方程磐f ： d 等十：。翥+ 。雾+ 肋娑0 t = a 协 玉4苏：劫2西4 二 柳一矿期一影 十 + 魏矿魏妒 切 l l l 织 戤 喻尔滨f 1 程入学硕士学位论文 式中，d 为薄板的弯髓别度，d = e h 3 1 2 0 ”2 ) ；e ，u 分别为薄板的 弹性模量和泊松眈；p 、h 分剐为薄板的密度和厚度；f 为时间；q 为横向载 荷，做自| ! j ：j 波动，驭口= 0 。 方程( 1 ) 的稳态解3 可以写藏： w ( x ，y ，f ) = 强b y ) + w 2 ( 戈，y ) e “ ( 2 2 8 ) 其中，w 2 分别满足h e l m h o l t z 方程和修正的h e l m h o l t z 方程，即： v + k z ) = 0 , ( v 2 - k 2 ) w 2 胡= 棚、謦 2 9 ) 其中，强表示良波速吩= k ( d 2 b p ) 2 传播兹弯趋渡，藤表示在传攘过 程中衰减的弯曲波，c o 为弯曲波的圆频率。 式中，p 为乎板酶密度；g 为耩囱载簿。 由极嫩标和直角坐标系的关系： x = r e o s o ；y = r s i n 0 2 = x 2 + y z ；0 = a r c t a n ( 2 珈) x 求得； 竺：苎：s 0 ：竺：曼：s i n 0 赢r 毋 7 塑：一一y s i n 0 ：a 0 x c o s o 鑫尹r r 2r 旦。旦堡+ 旦塑。c 。口旦一s i n 口曼旦 旦o x 。旦o r 堡o x + 旦0 0 翌0 x ：s i n 口旦o r 十c 。s 口三r 旦0 0 ( 2 3 1 ) 旦。旦堡+ 旦翌：s i n 口旦十c o s 口三旦 砖甜谚a 8 劬 研r8 0 因此，在极坐标中，薄板弯矩和横向剪力嘲可以写成： 2 4 m , , = - d u v 2 w 娟叼) 窘| ，一十俨一( 卜u ) 窘l m r o = - d ( h ) 瓣辫q 一扣固驴一拶吾未( v 2 w ) s 。) t = g + 焉0 0 等。，v 2 = 毒+ ；昙专著加警 2 3 3 薄板的边界条件 薄板耷馥波动淘题是鞠阶偏微分方稷。蘑解轿法求解缀豹弯辫凌葫方程 问题，归结为寻找这样的函数，既要满足基本控制方程，又要在板的周围满 是蒺些力瓣或蕴移瓣逮雾条俘。校兹每个边上只熬渍是嚣令逮赛祭转。 在板的弯曲理论中，内力及内力矩分量有三种，即弯矩，扭矩，剪力； 使穆分量煮嚣静，靼挠度，转惫。扳的边爨条件主要有如下，己秘： ( i ) 阐定边界条件 它是由几何变形麓，即位移和转角构成的边界条件。 恻翅在固定逮h 煮w = 0 ，竺= 0 。 静 ( 2 ) 简曼边界条件 它是指在简支边h 各点的挠度为零，而且平板可绕 铰雅耋出转动。f l ；l 予在边赛上懿挠度帮弯缒为零，霞魏它毽括了力蕊形式稿 位移形式的边界条件 地m = - d o v 2 州t 叫窘i * o ( 3 ) 自由边界条件它蹙由一赡边界力构成的边界条件，这样，自由边界 上要求满足 耻吡= q 弓等= o 式中，宅争是与分布= l 飘矩的横向剪力。 ( 4 ) 贪有弹挂夹杂鹃薄板熬边赛条 譬它也是 圭 一些边器力搀成麴边爨蘩 件，要求满足w ，0 ，m 。，分别运矮。 2 4 本章小结 本奄首先讨论的暴弹性动力学的基本概念和教本理论，固体中的波的基 喻尔滨工稽大学硕士学位论文 本概念，薄板弯曲理论的磷窥方法和基本思路，为下章的研究打下理论基 褚j 。 哈尔滨上糕人学硕士学位论文 第3 章薄板中的圆形弹，壤夹杂对弯曲波的散射 3 。i 闫戆的表述 动应力集中问题是固体力学中的重要研究课题，特别是在航空航天、建 筑警方囊，茬工程设诗中，为满足菜穆王程蔫要不霹逮惫蜒在蔽巍绩穆上开 各种各样的孔，并进行适当的处理，以满足强度的需要。关于弹性夹杂的薄 扳，在工程中熬瘦用更为广泛。下濯是当蠢弯曲波入射时，薄板的基本模燮： 入射弯曲波 沤 穷 鞠3 。l 含圆形弹性夹杂蕊薄板摸懿 3 2 薄板中弹性夹杂所激发的散射波 3 2 1 薄板中的波场 由上鞠赝示，板内的弯凿波场可分为满个区： ( 一) 对于第1 个区内，可以这样分析： ( 1 ) 入射波的设定： 妇上胬所示，设有一稳态弯赫波，国乎稷瑟无穷运楚入射，其入莉方淘 与x 轴成0 度角。入射波可记为 w ( o ；w n e “ ( 3 - 1 ) 当入射到魏主图疑示含袁半径为群熬强形弹性夹杂熬薄扳瓣，在笺数 坐标中，可以写成级数： 。一广媾l z | ) 南) 4 e “ ( 3 2 ) n = 一 l f 其中： l ( ) 为n 阶第一类b e s s e l 函数。 喻尔浜i 程人学破t 学位论文 ( 2 ) 散射波的设定：均匀、连续、各向阉性的薄板中由单个孔洞所引趣的 散射波，利用复变函数法可以写为 ”= r 焉磷”( k l z 睁致糍1 ( 政协豫j 】“ ( 3 3 ) 其中：目，( ) 为n 阶第一类h a n k e l 聪数，a 。为待定的系数，尉”( f ) 为” 阶变型的( 或虚宗擅) 的h a n k e l 函数，鼠为待定的系数。位移函数与时 润豹接赣关系为e “”，故娃写为 w 8 = 艺，( 叫1 ( k l = i ) + 鼠叫 ) t 6 1 “ ( 3 6 ) 其中：以( ) 为n 阶第一类b e s s e l 函数，c 为待定的系数， ( i ) 为h 阶 变型的( 或虚宗量) 的b e s s e l 函数，n 为特定的系数。位移函数与时间 的依赖关系为e - ”，故可良写为 彬= ，( e 矗 女功+ d o s ：( i k l z | 1 ) 秀】e - ( 3 7 ) 3 , 2 2 内力方程 对于这类问繇的分桥，首先爱获薄投弯益理论入手，在第二肇中，薄叛 的内力方程： 一。h 十( 1 叫斜m o o = - d 卜_ ( 1 叫割 m r o = - o ( t u ) 昙( ；嚣) ，g * p 昙( v 2 w ) ，g 一。嘉( v 2 w ) ( 3 - 8 ， 巧= g 十i 1 等= 三o r 2 毒杀+ 砉鲁班雾 将位移表达式( 3 5 ) 和( 3 7 ) 代入薄板的内力方程，刈1 得到用波函数表示 w 外、决_ 【十碱兀芋皂埘r 早位m j 己 的武力方程： ( i ) 区：可得到如下表达式 譬2 击登卜t 驴州霄描小霄j m ：一脚。上i z l - 尹 t t z ( x ) ( 青、氏m 沁) 宙_ 弘n m