（应用数学专业论文）细胞神经网络的长时期动力学性质分析.pdf

细胞神经网络的长时期动力学性质分析 摘要 细胞神经网络的应用领域越来越广泛，有些应用要求模型有多个平衡点且网 络是完全稳定的，即每一个解都能收敛到某个平衡点，有些应用要求模型对每一 个外部输入都存在惟一的、全局渐近稳定的平衡点，特别是有全局指数稳定的平 衡点，还有些应用需要模型具有复杂的动力学性质，如分岔周期解、混沌吸引子 等。因此，本学位论文主要研究细胞神经网络模型的平衡点的存在性及个数、全局 指数稳定性、完全稳定性、极限环的存在性和分支等。全文共分四章： 第一章介绍细胞神经网络的发展历史及其研究现状和发展趋势、本文研究的 细胞神经网络模型与概念、研究内容和意义以及本文中要用到的矩阵理论知识等。 第二章利用不动点理论、不等式、矩阵理论和l y a p u n o v 泛函等理论和分析方 法分别获得了关于具有离散时滞的标准型细胞神经网络模型、分布时滞的标准细 胞神经网络模型和具有一般输出函数的时滞细胞神经网络模型的全局指数稳定性 的充分条件。这些条件中有些是全新的，有些改进了现有文献中的结果。我们获得 的结论对细胞神经网络用于最优控制、方程的求解等是很有用的，能保证网络按 指数速度收敛到平衡点 第三章通过构造适当的l y a p u n o v 泛函，使用输出函数的分段线性和一些特 殊的分析技巧分别获得了具有常时滞和变时滞标准细胞神经网络模型的不同的完 全稳定性条件，改进了一些已有结果。在细胞神经网络的完全稳定性分析中，由于 存在一定的难度，在一些现有文献中，其证明的分析或推导过程或多或少存在严 密性问题( 或漏洞) ，本文中的证明过程弥补了那些漏洞，使证明较为严格。在现 有的文献中还没有讨论变时滞细胞神经网络模型的完全稳定性的，本文中关于变 时滞细胞神经网络模型的完全稳定性结果是一个全新的工作。 第四章通过把模块参数作为分支变量，讨论了一维细胞神经网络模型的完全 稳定性、全局指数稳定性、极限环的存在性、分支以及平衡点的存在性及个数等动 力学性质，这些结论表明细胞神经网络具有丰富的动力学性质，完全可以用细胞 神经网络处理复杂问题。 关键词；细胞神经网络；完全稳定性；全局指数稳定性；极限环；平衡点；分支 l y a p u n o v 泛函；输出函数 i i 博士学位论文 a b s t r a c t t h e r e g i o no fc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s a p p l i c a t i o n s i sm o r ea n dm o r ew i d e 。i n s o m ea p p l i c a t i o n sw h e r et h em o d e lo fc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r kp o s s e s s e sm a n y e q u i l i b r i u mp o i n t ，i ti se s s e n t i a lt h a tt h en e t w o r ki n v o l v e di sc o m p l e t e l ys t a b l ei nt h e s e n s et h a te v e r yt r a j e c t o r yc o n v e r g e st os o m ee q u i l i b r i u mp o i n t i ns o m ea p p l i c a - t i o n s ，i ti sd e s i r a b l et h a tt h em o d e lp o s s e s s e sau n i q u ea n dg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l y s t a b l ee q u i l i b r i u mp o i n tf o re v e r ye x t e r n a li n p u t ，e s p e c i a l l yp o s s e s s e sg l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b l ee q u i l i b r i u mp o i n t i ns o m ea p p l i c a t i o n s ，t h em o d e ln e c e s s a r i l y p o s s e s s e sc o m p l e xd y n a m i c a lb e h a v i o u r e g ib i f u r c a t i o na n dc h a o s t h i st h e s i s m a i n l ys t u d i e st h ee x i s t e n c ea n dn u m b e ro fe q u i l i b r i u mp o i n t s ，t h ec o m p l e t es t a ， b i l i t y , g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , t h ee x i s t e n c eo fl i m i tc y c l e sa n db i f u r c a t i o n so f c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r km o d e l s 。t h i st h e s i sc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s 。 i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r y ，s o m em o d e l sa n dd e f i n i t i o n so f c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw h i c hw i l lb es t u d i e di nt h i st h e s i s ，m a t r i xt h e o r yu s e di n t h i st h e s i sa r eb r i e f l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gf i x e dp o i n tt h e o r y , i n e q u a l i t i e s ，m a t r i xt h e o r ya n d l y a p u n o vf u n c t i o n a l s ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya r e o b t a l n e do nm o d e l so fs t a n d a r dd e l a y e dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s c r e t ed e 1 a y s ，m o d e l so fs t a n d a r dd e l a y e dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y s ， m o d e l so fd e l a y e dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t hg e n e r a lo u t p u tf u n c t i o n sr e s p e c - t i v e l y t h e s er e s u l t sa r ev e r yi m p o r t a n ti ns o m ea p p l i c a t i o n so fc e l l u l a rn e u r a l n e t w o r k s ，a st h e ye n s u r et h a tc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sc o n v e r g et ot h eu n i q u eb y e x p o n e n t i a ls p e e d ， i nc h a p t e r3 ，b yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l sa n du s i n gt h ee s s e n c e o ft h ep i e c e w i s el i n e a r i t yo ft h eo u t p u tf u n c t i o na n da n a l y 8 i sm e t h o d s s u 侬c i e n t c o n d i t i o n so ft h ec o m p l e t es t a b i l i t ya r eg i v e no nm o d e l so fs t a n d a r dc e l l u l a rn e u r a l n e t w o r k sw i t hc o n s t a n da n dv a r i a b l ed e l a y sr e s p e c t i v e l y b yc h o o s i n gt e m p l a t ep a r a m e t e r sa sb i f u r c a t i o np a r a m e t e r s ，c h a p t e r4d i s c u s s e st h eg l o b a ld y n a m i c a lb e h a v i o u ro f1 - dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r km o d e l s ，i n - c l u d i n gt h en u m b e ro fe q u i l i b r i u mp o i n t s ，t h ec o m p l e t es t a b h i t y , t h eg l o b a le x p o - n e n t i a ls t a b i l i t y , t h ee x i s t e n c eo fl i m i tc y c l e sa n db i f u r c a t i o n t h e s er e s u l t st e l lu s t h a tc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sp o s s e s s er i c hd y n a m i c a lb e h a v i o u r ，a n dc a nb eu s e d t os o l v et h ec o m p l e xp r o b l e m s 。 i i i 细胞神经网络的长时期动力学性质分析 k e yw o r d s ：c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k ，c o m p l e t es t a b i l i t y , g l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t y , l i m i tc y c l e ，e q u i l i b r i u mp o i n t ，b i f u r c a t i o n ，l y a p u n o vf u n c t i o n a l ，o u t p u t f u n c t i o n i v 博士学位论文 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所里交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究艨散 褥鹣磅究成果。除了文中特别加以标注弓| 周豹遗容外，本论文不包含饪褥葵 氇个人或集嚣已经发表或撰写瓣藏浆俸鑫。对本文戆 舞究敲出嚣要燹献鹣个 人帮集体，t 筠已在文中懿餮确方式舔礁。本入完全意谈弱本声爨豹法德趱莱 幽本入承担。 作者签名 鳞 日期：钳月鸳日 学位论文版权使用授权书 本学位论文终者完全了籀擎校露荧保赘、傻竭学拉论文熬藏定，嗣懑学 校僚鍪势囊嚣家毒关郝露或瓤槐送交谂文熬复窝箨秘毫子黢，允诲论文羧凌 瓣耧借麓。本人授权潮南大学碍淤将本学位论文翡全帮或部分肉容编入祷必 数撂库避行检索，可戬采用影印、缭辫或捆攒等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，谯年解密后适用本授权书。 2 、不保密嬲。 ( 谤褒激上榻皮方摇走打“4 ”) 作者签名： 释师签名： 醚簇：刎钳月哆蠢 隧潮：名铲月哆匿 博i 学位论文 第l 章绪论 1 1细胞神经网络研究简介 人工神经雨络是近二千年采发展檄为迅速的一门逡缘学释，冀藩静楚依掇久 弦豹工终枧理刳逡出魈完戏或模拟大臃复杂蟹能游动的智能机器。终为对人类智 能研究的麓要组成部分，它已成为神经科学、脑科学、心理学、认知科学、计算机 科学、数灌科学等共黼关心的焦点。 人工糖经嬲络的研究始予二卡墩鳃嫂十年代，1 9 4 3 每心理学家m c c u l l o c h 和 数学家p i t t s 1 】合作在b u l l m a t h b i o p h y s + 上发表的一篇文章建立了神缀元 的数学模毽( 称为m p 模穗) ，心理学家h e b b 予1 9 4 9 年提出翡学习鬣律【2 】“棒 经元之耀的连接是可以变化鲢，遁过刺激使耪经竞的连接加强”等建点了摊经网络 研究的基础，并在后来的符种神经网络模型的建囊中起了重要的作用。r o s e n b l a t 于1 9 5 7 肇设计发展了m - p 模蛩，首次提交并设计籁裕出了著名的多屡感麓器， 以模拟动物秘人脑的感知翻学习跳能，使人工神经网络扶理论和工程实现进入第 一狄研究高潮，但m i n 8 k y 和p a p e r t 在1 9 6 9 年出版的感知器1 3 l 一书中从数 学土证裙感麓器不髓实褒努域澎辑阕鞭露键粹经瓣貉瓣研究麓终一度浚默，麓靛 阗仍有一些学糟坚持麓对神经瞬终豹研究，如g r o s s b e r g 在1 9 6 9 举提出了自邋应 共振的a r r 模型，f u k u s h i m a 和w e r b o s 分别予1 9 8 0 年提出了神经认知网络 瑾论，k o h o n e n 在1 9 8 4 牮提爨彳蠢缀织浚象理论著对联怒存储器送行了磋究， a m a r i 则致力于神经网络数学理论的研究。所有这些具有开奄4 性的研究成果嫩然 在当时并朱产生影响，但为神经i 两络此后的发展蕤定了理论藏础。 真正带来神经鼹络研究兴盛辩期懿是囊耪辏联学家h o p f i e t d 予1 9 8 2 牟稻1 9 8 4 年发表在美国料学院院刊上的两篇举世瞩目的论文 4 ，5 】，h o p t i e l d 在其论文中提 出了仿人脑的神经网络楱溅，即箸名的h o p f i e l d 模型，邋过弓l 入广义能量函数和使 熏l a s a l l e 不交覆理给密了鼹络豹稳是性熬期撂，并绘攘了爨络翦泡子彀路实褒， 为隈络的实现和应用找到了理论依据，同时开拓了神经网络用于联想记忆和优化 计算的新用途，从此，动态反馈牢审经网络受涮广滋的关注和研究，融设计出专厢的 硬律电路。久王犍经耀络疆究兴盛慰期熬裂来迄缮夔予h o p f i e l d 糖毽爨各：毯讲学 鼓励有才牮的科学家、数学家和科技人员加入神经网络的研究行列。与h o p f i e l d 几 乎蔺时，以r u m e n l h a r t 和m c c h e l l a n d 为蓠的十多入缀成的并行分布处理( p d p ) 爵瓷枣缎黠默舻到j 麴熹维线性浃射耀蕃錾馈礤终f 霹b p 躅络) 投戆挽他选 择实现了映射的逼近，从而使人工神经网络的研究进入了一个新的高潮时期。 著名的神疑生街试验等模黧的计算机模拟表明，瓷电佼和电流在福警长度酶 细胞神经阿络的长时期动力学性质分析 轴突上保持均匀的空间箝制条件时，用周期性脉冲刺激乌贼的区轴突，神经元具有 复杂的动力学行为，不仅可能有吸引的不动点，还可能有吸引的极限环和混沌吸 引子。这个重要的实验进一步揭示了神经元的非线性动力学的复杂性。1 9 8 7 年， 在美国圣地亚哥召开了第一届国际神经网络学术会议，与会者1 6 0 0 余人，宣告了 国际神经网络协会正式成立。g r o s s b e r g 称这是世界上发展最快的协会，会上不 但宣告了神经网络计算科学的诞生，而且还展示了有关公司、大学所开发的神经 网络计算机方面的产品和芯片，掀起了人类研究和开发应用神经网络的热潮，自 此后，每年都召开神经网络的国际性和地区性会议，促进神经网络的研制、开发和 应用。正是在这种背景下，科学家们提出了许多具备不同信息处理能力的人工神 经网络及模型，应用于信息处理、模式识别、优化控制、辅助决策、人工智能、计 算机技术等领域 细胞神经网络( c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k 简记为c n n ) 就是由c h u a 和y a n g 6 】 于1 9 8 8 年提出的神经网络模型之一，与一般神经网络一样，它是一个大规模非线 性模拟系统，它除继承了细胞自动机的特点：细胞神经元之间的连接是局部的( 从 而使细胞神经网络的每一个模块的连接线少，便于实现大规模集成电路) 之外，还 具有输出信号函数是分段线性的( 能高速并行处理( 计算) ，提高运行速度，具有双 值输出) 和信号处理是连续定时的等特点由于这些，使细胞神经网络的应用非常 广泛，并且其新的应用领域在不断地发现，从1 9 9 1 年开始每两年召开一次的关于 细胞神经网络理论及应用研究的大规模国际会议，至今已召开了八次，自从1 9 8 8 年细胞神经网络提出以来，在模型的改进和一般化及其数学理论研究、模块设计、 应用及开发等方面得到了迅速的发展 因在生物神经网络中，存在几类时滞，如细胞时滞、传递时滞及突触时滞等， 而在人工神经网络中，也存在信号传递时滞，因此，r o s k a 和c h u a 7 在细胞神经 网络中引入线性时滞模块和非线性模块，得到了非线性时滞细胞神经网络。h a r r e r 和n o s s e k n 于1 9 9 2 年提出了离散时间细胞神经网络。g u z e l i s 和c h u a 9 在细胞 神经网络中引入非线性模块和一般输出函数得到很一般化的细胞神经网络模型。 c h u a 10 】于1 9 9 7 年提出了无外部输入的自控细胞神经网络模型，用来模拟和产生 来自生物、化学、经济、工程、物理等领域的许多图形( p a t t e r nf o r m a t i o n ) 和非 线性波现象。d o g a r u 、c h u a 和h a n g g i 1 1 】为了使细胞神经网络具有更大的功能 和存储能力，把标准细胞神经网络中的三分段线性输出函数改为多分段线性输出 函数得到r t d c n n 模型此外还有高阶细胞神经网络模型【1 2 j ，w t a c n n 模 型【1 3 】，时变细胞神经网络模型 1 4 , 1 5 ，s c c n n 模型 1 6 1 ，以及模糊细胞神经网 络模型 1 1 等。这些细胞神经网络对应的数学模型或是常微分方程、或是时滞微分 方程、或是差分方程( 对应于离散时间模型) 。对这些模型的数学研究主要是讨论 博士学位论文 这些模型的动力学性质。关于细胞神经网络的全局渐近稳定性和指数稳定性、周 期解的存在性的研究也有较为丰富的结果，见文献【1 8 6 2 】。文献f 6 3 7 2 】研究了 饱和域内稳定平衡点的存在性和个数。 对于细胞神经网络的完全稳定性这一重要而又较难的研究领域，所获得的结 果较少，主要有：文献【6 ，7 3 7 5 】证明了当反馈矩阵是对称矩阵时细胞神经网络的 完全稳定性，文献 7 6 】把对称反馈矩阵条件推广到了d 对称反馈矩阵的情形， 文【7 7 】利用单调动力系统理论证明了具有正连接模块的网络是几乎完全稳定的， 这一结论在文献 7 8 】中利用等价变换推广到了大多数严格符号对称的3x3 模块 组成的网络，文献【7 9 ，8 0 】讨论了连通分量探测子的完全稳定性，文献8 1 1 使用解 线性代数方程的迭代技术g a u s ss e i d e l 方法在非奇h 矩阵条件下证明了网 络是完全稳定的。 对于时滞细胞神经网络的完全稳定的研究只有几个结果：文献 8 2 】利用单调 动力系统理论证明了反馈矩阵具有非负非对角元素而时滞反馈矩阵具有非负元素 且它们的和是不可约矩阵时，网络是几乎完全稳定的，文献7 6 ，8 3 - 8 5 1 利用矩阵的 对称性在时滞反馈矩阵及时滞较小的条件下获得了完全稳定性，而t a k a h a s h i s o 再次利用迭代技术给出了使时滞细胞神经网络完全稳定的一个充分条件。此外， 文献 8 7 - 9 6 讨论了极限环的存在性及分支和混沌现象。 细胞神经网络的应用非常广泛，而应用最多的是各种图像的处理。一个图像 处理器把输入的像按所要求的规则变成一个输出像，在图像处理中，输入像或是 单色或是彩色的，由于彩色像可看成是由一些基本原色组合而成的，对每一个原 色分开处理后把这些原色对应的输出组合起来就能得到彩色像的处理。因此只须 讨论单色像，如黑白像的处理。对于黑白像的处理可把色度与数对应起来，通常用 “一1 ”代表白色，“+ 1 ”代表黑色，而介于一1 和+ 1 之间的数代表灰色度，这 就是在标准细胞神经网络中把输出函数取为分段线性函数的原因。关于细胞神经 网络用于图像处理的研究，有手写字体辩认m 】，纺织品瑕疵探测 9 8 , 1 0 2 , 1 0 5 ，像变 薄p o , 9 9 , 1 0 0 ，几何图形的全局连接性问题 1 0 1 ，破坏了的图像的恢复处理p 8 ，1 0 h ， 图像压缩 1 0 3 等方面的应用研究此外，细胞神经网络还应用于模式识别、联想 记忆、方程求解、最优控制和计算机技术等领域对细胞神经网络理论的研究还有 模块设计、电路实现技术等方面 1 2 本文研究的细胞神经网络模型与一些相关概念 细胞神经网络的每一个基本电路单元称为一个细胞( c e l l ) ，其包含有线性电 容、线性电阻、线性和非线性控制电源与独立的电源。在网络中，每一个细胞只与 一3 一 细胞神经网络的长时期动力学性质分析 其最邻近的细胞连接，即邻近的细胞直接相互影响( 作用) ，而由于细胞神经网络 的连续时间动力性的传递作用，没有直接连接的细胞之间也可能有间接的影响。 细胞神经网络的细胞有各种各样的排列方式，其中使用最多的是平面上的矩形排 列。一个由m 个细胞按m 行列矩形网格排列的二维m n 细胞神经网络 中，称处于第i 行第j 列的细胞为细胞( i ，j ) ，记为c ( i ，j ) ，c ( i ，j ) 的r 一邻域 定义为 r ( i ，j ) = e ( ，f ) ：m a x 引膏一t l ，i f 一引) 墨r ，1 茎m ，1 fs 其中r 是一个正整数。细胞c ( i ，j ) 的状态方程为【6 g 掣2 胃1 嘶+ 赢a i i , k l v y k l + 嘞，k l v k j ( t ) + z i i ，1 i m ，1 j 曼 c ( k ，o e 坼( i j ) 输出方程为 v y q ( t ) = ，( “) ， 1 i 墨m ，1 j 茎n ， 其中v x i j ( t ) 、口蛐( t ) 和 。嵇( t ) 分别是细胞c ( i ，j ) 的状态、输出和输入信号( 或电 压) ，盔f 是偏差电流( 或阐值) ，g 和岛分别是线性电容和电阻，a 甜，“和b 订，捌 分别是反馈算子和控制算子，称a j , q 为自反馈算子，为输出函数，由分段线性 函数f ( o ) = ( 归+ 1 i i p 一1 1 ) 给出。 在状态方程中的反馈算子和控翩算予决定着细胞神经网络的动力学性质。把 反馈算子和控制算子分别按细胞的位置排列成两个( 2 r + 1 ) ( 2 r + 1 ) 矩阵，称为 反馈模块和控制模块，统称为网络的繁殖模块 当每一个细胞的输入是常数时，将细胞按一定的方式重新排成一列，则c n n 的状态方程可写成向量方程t 圣( t ) = 一m 0 ) + a y ( t ) + 牡， ( 1 1 ) 输出方程司写成： 1 y i ( t ) 三，( 戤( t ) ) = 妄( i 观( t ) + 1 l i 瓤( t ) 一1 1 ) ，i = 1 ，2 ，。一，礼， ( 1 2 ) 其中石( t ) 三z = ( z l ，z 2 ，石。) t ( t 表示转置) 和! ，( t ) 三y = ( y x ，抛，) t ， 分别是由状态和输出通过排序得到的n = m n 维向量，分别称为状态和输出向 量，“= ( 1 ，u 2 ) 一，札。) t 是由输入、控制模块和偏差得到的常向量，有时也称为 输入向量，r = d i a g ( r l ，r 。) 是一个正对角矩阵，a = ( 口巧) 。是由反馈模块 一4 博士学位论文 按捺痔方法得到瓣簸阵，圣) 寝示z ( t ) 美予t 的等数。矩阵a 是一个稀艇阵， 妇当反馔模块势空阕不变熬3 3 模块时，冀翡每一学程每一捌至多9 个元素不 为零，这些不戈零懿元素是反竣模块元褰，基a 的黠焦元素全为反馈模块魏中心 元素，即为爨反馈算子；不论按什么联廖萎# 列缨骢，矩阵建是对称的，当鬃佼囊 反馈模块是慰嚣的。 在标准化参数( 恳= c = 1 ) 下，即兄为单位筑阵i ，c n n 的状；蒸方程必 圣( t ) = 一茁( 句+ a y ( t ) + 饥( 1 3 ) 模型( 1 3 ) 怒目前各文献中研究得最多的。 r o s k a 和c h u a 在细胞神经网络中引入线性时滞模块和非线性模块，得到了非 线性时滞细胞神经网络，其状态方程可写为1 7 】 g 旦望铲z 一瓦1 蟮+ ，聂蝴，锄薜( 酾( 或魄静羚 + 嘞，k l ( v 删( ) ，( t ) ) 0 ( ，f ) 坼( i j ) + 为捌v y k r o f ) + 搿毽黼尊一r ) + 弼，1 ism ，l 墨j c ( k ，j ) e 肌( t j ) 磐摸块力线性懿，每个缨腿的糠入是紫数时，逶过对缨腱羹搂，对滞缨熬棒经阚 终( d c n n ) 的状态方程可写为 虚( 亡) = - t x ( t ) + a y ( t ) 十a 秽 r ) + 钍， ( 1 4 ) 其中，搿、y 、r 、a 、让同( 1 1 ) 中，a 7 一( 吗k 一是由时滞反馈模块接排 序方法得到的，称为时滞反馈矩阵，输出方程为( 1 2 ) 。在标准化参数下，即r 为 单位矩阵i ，d c n n 的状态方程为 奎( ) = 一嚣8 ) + a y ( t ) + a y ( t f ) + 珏( 1 5 ) 文献中广泛研究的时滞细胞神经网络模澄是( 1 5 ) 。由于网络电路中放大器的 有限开关速度和电路误羡，在电子神经阴络中的时滞通常是时变的，细胞中的时 滞是连续的1 1 0 6 , 1 0 。因此，d c n n 的状态方程可推广到如下形式； 一5 回q 渤 弼 一 擘 鲰吗 。皿 一 敏 辫 l | l 。麒叩 0 憾 一 十 = 嚣 细胞棒经网络豹长对期动力学性质分拼 其中，如 0 ，蠕，毪r 1 势常数；r j ( t ) 为连续函数，登0 曼甸( 辞r ，r 为 莱令正誊数； r 01 + k i j ( t s ) 蛳( s ) d s l + 啦，t 芝o ， = 1 ，2 ，仲， ( 1 7 ) 0 - - 0 0 厂锨啪刚，厂矿确 o ，移 0 ，使对满是任意耪始条件簪c 瓣瓣。( o ，妨，都有 l i x ( o ，簪) ( ) m i i i i ，e 一“，0 ， 煎l j 称茹4 是垒褥播数稳定静。 对于由其有无限时滞的泛函微分方稷描述的模型( 1 7 ) ，其解的初始条件定义 为 黝= x ( o ) = 簪( 8 ) ，一 0 0 ， 其中毋四g ( ( 一o o ，o 】，船) ，b c ( ( - o o ，0 1 ，舻) 表示映( 一o 。，o 】到j p 的有舆连续向 量爱数所成的b a n a c h 空闼，簿记势b c ，其黧数为1 1 0 t l 。= s u pl l ( 参) 虬设 0 0 0 ，使对满足任意初始条件西b c 的解z ( o ，妒) ( t ) ，都有 1 1 4 0 ，毋) 0 ) hsm l l 西t i 。e 一”，t 0 ， 则称茹+ 是全局指数稳定的。 对一个缨胞棒经熙络模型，若存在楱一垒羯掺数稳定平衡点，剃称j 琏：模鼙为 全局指数稳定的；若每一个群都收绶到菜个平衡点，粥称诧模漤为完全稳定的。 一7 一 细施神经硒络的长时期动力学性质分析 1 3 研究内容及意义 在细胞享申经网终的众多废熙中，有些应用，熟在缨腿害串经耀络的最早最广泛 戆图像处理秘模式识别应耀中，因网络静主要佟焉是把一个输入像转交为一个稻 纛酶输踟像，这个输出像( 或模i 釉对波予一个稳定平衡点，这时也要求网络有双 值输出，即要求细胞神经网络模型具有多个平衡点，特别要求有饱和域内的平衡 点且每条轨线都收敛到平衡点，也麟题组胞神经网络是完全稳定的。在缨媳挂经 啜络躯另外一些应用中，妇最佳控剿、方程黪求解等，要求对每个外部输久群， 网络都有憔一鹃全局渐遥稳定平衡赢，特捌蛾，为了摇快褥络运行速度，就要求丽 络是金箱指数稳定韵因缩臆神经阏络也是模拟人脑工作机理的，也有必要分析 其复杂的动力学性质，如极限环的存在性、分支和潞沌等现象，对应予细胞神经网 络的不瞪应用领域，要求拨述其数学模型憋微分方程系统应具有不同的幼力学性 质。 尽管细胞神经网络的应用范阿在不断地扩大，网络的电路设计文献不断涌现， 但由于细胞神经网络的输出函数是分段线性硒数面不具有光滑性，现有的动力系 统方法与理论很多都不姥妻接应熙，加上缨胞神经阙终( 特别是攀时涝熬情形) 是 常复杂鹅大溉模嚣线性微分凄力系统，所l ：走给研究工佟带来丁徭多函难，致使 关于缅施神经黼络模型的动力学往质研究至今所获结皋不多，还主要集中在全局 渐近稳定性这一方面。丽对阿络模蛩的完全稳定性与复杂动力学设质，由于缺少 好的方法，所获缕果很少，特别对予缨胞摊经网络模型的完全稳定性这一重要性 质，只对很特殊螅反馈矩黪有些绩暴，基这些结果墩来之不易，摇肆便是茬对称反 馈矩阵这一菲常哿刻要求能条件下缩稳神经网络酶完全稳定往的证鞠扶1 9 8 8 年 c h u a 开始直蓟2 0 0 1 年f 0 r t i 和t e s i 才完成，经历了十多年。 此外，一维缏胞神经燃络( 特男是连邋分璧探测予) 褒图像压缩变薄，图形辩 认等方露骞独到黪应用，避过分析模块参数对一维妻罄鼹摔经网络模型的动力学性 潢筋影桶，髓确定出不同模块的细稔神经网络适用于不葡的甭途是非常羹要的， 这方面的研究也很少，只有t h i r a n 和s e t t i + 6 , 9 5 、s a n d r e 珊8 j 等在这方面作了 点开龟q 性的工作。 本文运攫将动力系统意数分析、不动轰臻沦、不等式、簸阵理论、l y a p u n o v 函数( 泛蟊) 方法等瑾论裙绪合的方法，讨论细胞神经闭络模氆的平衡点存在位及 个数、全局指数稳定性、完全稳寇性、极限环的存在性及分支等，即：在第二章讨 论模弛( 1 4 ) 。( 1 8 ) 的全局攒数稳定性，在第三章讨论模型( 1 1 ) 一( 1 6 ) 的完全稳定 性，投第四章讨论一维缨胞神经网络模型毂乎鬻点的存在性及个数、极限环妁存在 性及分支等。这些研究工作既因丰富了动力系统酶理论、其有羹要懿理论价值， 一8 一 撵学键论文 又因从理论上为毒孛经生物学的研究秘人工摊经爵络的毫路实现与疲掰技术z 于筝者 提供一些霹靠静依据露具有墼要的瘦蔫价健。 1 4预备知识一矩阵理论 为了本文后面的需要，我们这里介绍一些矩阵理论知识。 设a = ( o 妤) 。是一个n n 实矩阵。 定义i i 若a 的所有姆诬值舆露负( 基) 实部，则髂硅势受稳定( 正稳定) 。 定义1 2 若存在一个菠对是矩黪d 捷d a + a t d 是正定懿( 菲受定酶) ， 则称矗辫l y a p u n o v 对角稳定( l y a p u n o v 对角半稳定) 。 定义1 3若对任意正对角矩阵d ，d a 麓正稳定的，砌称a 为d 一稳定 的。 寇义1 4 设a 的非对角元素是非正的，而对角元索是非负的，若它的所有 特征值具有非负实部，则称a 为m 一矩阵；若它的所有特摄值具有正实部，则称 4 为非奇m 一矩阵。 定义1 5设a 凑委对建蠢素，a 的比较短阵c = ( 岛) 定义戈：赫= 穗“ 及= 8 珏k i j ，若它的比较艇黪g 是 # 奇( 奇) 掰一矩阵，剜称a 为菲奇 f 奇) 鼙一矩阵。 意义1 6 若存在正对角矩阵d d i a g ( d l ，如) 使 吗嘞魂f 盘“i ，= 1 ，2 ，扎 壹酬渊川2 j = l d 掣一 ) 或呜 8 玎悼= l ，l ， 则称a 是拟对角列和( 行和) 控制的。 定理1 1若a 是l y a p u n o v 对角稳定的，则a 是d 稳定的。 定理1 2j 鸯h 一矩阵和非奄m 一矩降郝是l y a p u n o v 对焦稳寇矩阵。 定理1 3设a 是 # 毒拄一矩阵，烈存在杰对建嫩阵d = d i a g ( d 1 ，南) 使d a 是严格对焦梦l 释控糕静或a d 是严格对角行和控制韵，郢 n 专嘞 非巧 ， l i 吩 尊 酗 一 妻一 呦 略 或 细施神经两络的长时期韵力学性质分析 上述的这些定义及定理的证明可参见文献f 1 0 9 ，1 1 0 】和专著【1 1 1 ，1 1 2 】， 关于吖一矩阵更多的性质参见 17 】。 一王o 博士学位论文 第2 章全局指数稳定性分析 当细胞神经网络厢来解决最优控制或求解方程等问题时，要求对每一个外部 输入，网络都存在倦一酌、全局渐近稳定的平衡点，特勇0 地遥要求每条孰线能较快 魄收敛蓟平衡煮，郢要求这个平衡点是全两指数稳定的。本章嗣用特殊稳怒矩阵 稚擒遭l y a p u n o v 爵敦裁泛函懿方法，分剐在第一节讨论其有离散对滞的细胞神 经爨络模型翡指数稳定性，在第二节讨论具有分布时滞的细施神经闽络模黧的指 数稳定性，在第三繁讨论一般缨憨神经阚络模黧的指数稳定往。 2 。l 具离散时滞的细胞神经网络模型的全蜀指数稳定性 考虑具有离散时滞的标准型细臌神经瞰络模型 n 魏( ) = - r i x d 0 + 芝：。d 鳓( 茚+ 芝二略聊0 一) j = lj = l + 蛾，t 0 ，i 一1 ，2 ，张，( 2 1 ) 其中，n o ，嘞，哂，钍l 和功0 均为常数( i ，j = 1 ，2 ，n ) ，输出函数为分段 线性函数，邵 热( ) = ，( 溉( ) ) = 熹( b t ( ) + 1 l l 戤( ) 一1 t ) ，i = 1 , 2 ，珏， 二 记r = d i a g ( r i ，) ，a 一( 8 村k 。为反馈艇阵，a 7 = ( 略) 。为时滞反馈 矩阵，茹= ( 茁l j 一，) ? 为状态向量，y = ( y l ，珈) f 为输出向照，u f “1 ，姐。) 2 为外部输入商藿 关予模鼙( 2 1 ) 静全局渐遥稳定柽帮蓿数稳定毪，已有一些文献作了研究，文 献 2 l 一3 3 讨论了当秘= 1 ，= r ( 毛j = 1 ，2 ，霸) 这一特辣祷穗下模螯( 2 1 ) 的 全局潺遁稳定性；瑟文羧f 3 4 ，3 5 】讨论了当= 1 ( i = l ，2 ，释) 对，模登( 2 1 ) 舱垒局攒数稳定性，在文献【3 5 】孛，稷设条 孛 1 一a j j l 吲 ( 1 峨i f + 蚓) ，j = l 州2 一，札 i = 1 ，i # ， 或 1 一一蚓 + 蚓) ，i l 州2 一，犯 揣l ，诤0 成立，则( 2 1 ) 存在懦一企局指数稳定平衡点。 细胞神经网络的长时期动力学性质分析 在文献【3 4 j 中，稷设条件 。 躜国删) + 蟛1 t t a 引x5 萎n ( 蚓城 ) )2 躜留b 圳刊删j + 蟛引萎鲤小嘲) 成立，则模型( 2 1 ) 存在惟一全局指数稳定平衡点。 在这节，我们将给出模型( 2 1 ) 的一个新的全周指数稳定的充分条件，为此 先律些准备工作。因为输出函数是分段线性的，闲此玑( t ) 相对于t 程某嫫点是不 可导豹，僵其右浮数存在，搿氨( t ) 表示肌( t ) 的右导数，由输出函数的表示可得 l 玑( 亡+ h ) 一挑( 亡) l x d t + h ) 一g l ( t ) 1 遮过诗算霹毒譬虢药毂套蹲数先 姒扣凛迎学= 0 ， 滔 茁( ) i 1 时， 宕i 警献t ) f 0 时，有 i t y ( g ( 。，) ( t ) ) i