（应用数学专业论文）基于几类效用函数的最优投资问题.pdf

摘要 最优投资问题是是金融经济学资产定价和风险管理等问题的基础上世纪7 0 年 代，默顿使用随机最优控制方法开创了连续时间投资组合理论随后鞅和凸对偶方 法成为又一解决最优投资问题的重要方法，k r a m k o v 和s c h a c h e r m a y e r 在2 0 0 3 年 证明了该方法下满足效用函数和优化模型的一个充要条件本文在此基础上研究 了几类常用效用函数的最优投资问题，得出完全市场情况下单个投资者和多个投 资者的最优解 一单个投资者情形 1 对数效用函数：v ( x ) = j 佗 ) ，最优解： 豆耻卜葡j 砸盂闩再两 2 指数效用函数：v ( x ) = 一e x p ( - t x ) 7 o ，最优解： 贾( z u ) = 计u 吖- 盯p b ( t , u ) 3 幂效用函数：v ( x ) = 号，7 0 ， 最优解： 殳( t ，u ) = z + 生掣b ( z u ) 关键词：效用最大化；鞅；鞍点；凸对偶 a b s t r a c t o p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e mi st h eb a s i so ff i n a n c i a le c o n o m i c sa s s e tp r i c i n g a n dr i s km a n a g e m e n t k r a m k o va n ds c h a c h e r m a y e r ( 2 0 0 3 ) s h o w e dt h a tan e c e s - s 奶ra n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no nb o t h ，t h eu t i l i t yf u n c t i o na n dt h em a r k e t i nt h i s p a p e r ，a c c o r d i n gt ot h er e s u l to fk r a m k o va n ds c h a c h e r m a y e r ( 2 0 0 3 ) ，c h o s et h r e e t y p e so fu t i l i t yf u n c t i o na n dg i v eaf u l lm a r k e tm o d e lu n d e rt h eo p t i m a li n v e s t m e n t ， a r r i v ea tt h eo p t i m a ls o l u t i o nw i t hi n d i v i d u a li n v e s t o r sa n dan u m b e ro fi n v e s t o r s ： o n ei n v e s t o r 1 l o g a r i t h m i cu t i l i t yf u n c t i o n ：u ( z ) = i n ( x ) ，o p t i m a ls o l u t i o n ： x ( 互u ) = e x p ( 一u - 口p b ( 正u ) 一 ( u - 。p ) 2 2 i n d e xo fu t i l i t yf u n c t i o n ：u ( x ) = 一e ) ( p ( 一7 z ) 一y 0 , o p t i m a ls o l u t i o n ： 又( 正u ) = 计u 吖- 盯p b ( t , u ) 3 p o w e ru t i l i t yf u n c t i o n ：u ( z ) = 等，y 0 ， o p t i m a ls o l u t i o n ： x ( eu ) = z + ( ，y l + 他) ( 弘一p ) 一y 1 陀盯 b ( 正u ) ) k e yw o r d s ：u t i l i t ym a x i m i z a t i o n ；m a r t i n g a l e ；s a d d l ep o i n t ；c o n v e xd u a l i t y i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：乡z 廖顾 学位论文版权使用授权书 日期：) 口矿年月日 ， 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华 中师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：乡z 孚歹乏 导师签名：气苫协 ! 二! 一竺里i 二 本人已经认真阅读c a l l s 高校学位论文全文数据厍发布苹程”，i 司葸将本人 的学位论文提交”c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按”章程” 中的规定享受相关权益。同意论文提交后滞后：口半年；口一年；口；年发布。 作者签名：乡z 多多灸导师签名：z ia 日期：吵年石月j 日日期：a 坼产( ) 月、 日 f | 第一节引言 金融数学是一门用数学的理论和方法来定量研究金融问题的学科，主要研究风 险管理和效用最优化最优投资问题是微观金融学的重要内容之一是金融经济学 资产定价和风险管理等问题的基础最优投资模型建立了虚拟经济( 证券) 与实体 经济( 储蓄) 相联系的纽带，对实现投资和储蓄的动态平衡具有很强的指导意义 随着概率论和随机过程理论等近代数学理论的发展和应用，用随机数学方法研究 和解决最优投资问题已成为数理金融学中定量研究的热门之一 在上世纪7 0 年代，m e r t o n 开创了崭新的连续时间投资消费组合理论随着鞅及 对偶理论等一大批数学理论相继应用于金融理论的研究之中，金融资产的投资组 合理论得到了空前的发展同时，投资组合与最优消费决策理论的产生使得鞅及对 偶理论真正进入到投资领域 使用随机最优控制方法，m e r t o n ( 1 9 6 9 ，1 9 7 1 ) 导出了优化问题中价值函数的非 线性偏微分方程( 贝尔曼方程) ，并且得出了效用函数为幂函数和1 一e 班形式的对数 函数时方程的解在同样模型假设下，k a r a t z a s 等推广了m e r t o n 的结果：对投资者 的一般性效用函数得到解析解 随机最优控制方法中的贝尔曼方程是基于马尔科夫状态过程假设的另外一 种解决最优投资问题的方法，避免了马尔科夫资产价格的假设，是基于对偶特征组 合使用了一套鞅方法在鞅测度唯一的完全市场情形，p l i s k a ( 1 9 8 6 ) ，c o x 和h u a n g ( 1 9 8 9 ，1 9 9 1 ) ，k a r a t z a s ( 1 9 8 7 ) 用鞅方法进行了研究结果表明，最优组合下的终止 时刻财富的边际效用，在相差一个常数的情形下，和鞅测度的密度相等这个重要 结果使得经典的阿罗德布鲁一阶有限概率空间模型下的最优投资理论得到延伸 在复杂的不完全市场，h e 和p e a r s o n 研究了离散时问有限概率空间模型随后他们 又研究了连续时问扩散模型，与此同时k a r a t z a s ，l e h o c z k y ，s h r e v e ，x u 也进行了相关 研究在不完全市场，中心问题是解决对偶变量问题以及利用凸对偶理论找原始问 题的解结果表明，在离散时间有限概率空间模型，对偶问题的解通常是一个鞅测 度但对于连续时间解就不一定是鞅测度 为了简化鞅和凸对偶方法建立的最优投资模型，k r a m k o v 和s c h a c h e r - m a y e r 在1 9 9 9 至u 2 0 0 3 年期间研究了在一般的不完全市场情形下满足效用函数以 及市场独立所需要的最少条件，得出效用函数的渐近弹性严格小于1 就能满足模型 需要随后k r a m k o v 和s c h a c h e r m a y e r 在2 0 0 3 年证明了满足效用函数和最优化模 型的一个充要条件，即优化问题乱( o ) 的对偶函数v ( y ) 函数值有限，使得最优投资模 型得到简化x i a 在2 0 0 4 年研究了多个人的最优投资问题，主要是在k r a m k o v 和 s c h a e h e r m a y e r 研究的基础上讨论帕累托最优问题，得出了帕累托最优问题的等价 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 条件 本文在前人研究的基础上讨论几类常用效用函数的最优投资问题，得出完全市 场情况下单个投资者和多个投资者的最优解 一单个投资者情形 1 对数效用函数：u ( z ) = h ( z ) ，最优解： 州跏卜面乏獗高1 丽y 2 指数效用函数：v ( z ) = 一e x p ( - - t x ) ，y o ，最优解： 贾( 正u ) = 蚪等b ( z u ) 3 幂效用函数：v ( z ) = - 4 ，y 0 ， 最优解：。 贾( t ，u ) = z + 鱼生掣b ( e u ) 本文共分为五个部分： 第一节介绍了最优投资问题产生的背景和研究意义 第二节介绍有关最优投资问题的一些基本概念和定理 第三节探讨了完全市场、不完全市场以及多个投资者情形下解的存在性，并介 绍了k r a m k o v 和s c h a c h e r m a y e r 关于解的存在性定理 第四节建立了简化的完全市场模型，在单个人情形，分别求出了对数效用函数、 指数效用函数、幂效用函数所对应的最优投资问题的解；在多个人情形，求出了两 个投资者在指数效用函数下所对应的最优解 第五节对本文所做工作进行总结 2 2 1金融市场 第二节基本概念及模型 假设( q ，p ) 为一个完备的概率空问，( 兀) 0 0 ，设： c ( z ) = g l o ( q ，尹，p ) ：0 g x ra 8 x 爿( z ) ) 根据效用函数u 的单调性，i h - j 题( 2 2 ) 等价于 m a x e 【u ( 9 ) 】，9 c ( z ) ( 2 3 ) 4 根据【1 2 】，有 g c ( x ) 兮g 0d s 和砸“翻$ 对任意q q i ( 2 4 ) 所以问题( 2 3 ) 等价于 2 5无套利 ，m 。ze 阢) 】 、夕s q q s u p 溉e q mg ( 2 5 ) 假如在一个市场中，人们可以身无分文入市，通过资产的买卖( 允许卖空或借 贷) 能够保证不欠债且有正概率的机会获得盈利，此时我们称市场存在套利机会 如果市场不存在套利机会，则称市场无套利用数学语言表示为： 一个可行的策略口( ) 对应的价值过程y 口( t ) 满足y 日( o ) = 0 和y 9 ( r ) 0 q 8 以及p l y p ( t ) 0 】 0 ，则称l ：i ( t ) 在市场( x ( ) 【o ，卅是无套利的 市场是无套利的等价于q f d c 仍，( 参见【3 】) 若q z 。有唯一元素，则称市场是 完全的，否则称市场是不完全的 2 6鞅 设，为定义在同一概率空间( q ，p ) 上的随机变量序列令舅，易，为 属于莎的盯域序列 ( k ，玩) ，他= 1 ，2 ， 称为鞅，如果对于任意的n ，它满足以 下四个条件： ( 1 ) 玩c 瓦+ 1 ； ( 2 ) 为玩可测； ( 3 ) e ( i k i ) o o ； ( 4 ) e ( + 1 i 玩) = ，以概率1 成立 若序列 ( k ，玩) ，仃= 1 ，2 ，) 满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，且将条件( 4 ) 换成e ( + l 器) ，则 ( k ，玩) ，n = 1 ，2 ，) 称其为上鞅 2 7鞍点 在微分方程中，沿着某一方向是稳定的，另一条方向是不稳定的奇点，叫做鞍 5 2 8重要定理 定理1 ( 【3 】) 市场 x ( t ) ) t i o ，卅无套利等价于存在一个劈上的概率测度q 与概 率测度p 等价并且标准化价格过程 又两) t i o ，q 在q 下是一个( 局部) 鞅 定理2 ( 3 】) 假设存在一个过程u ( ，u ) y m ( o ，t ) ，使得x ( ，u ) = ( x l ( t ，u ) ， ，x n ( t ，u ) ) 满足： 仃( ，u ) 让0 ，u ) = p ( t ，u ) 一p ( t ，u ) x ( 亡，o j ) ( 2 6 ) 以及e e x p ( ；j ：；lu 2 ( t ，w ) d t ) 】 0a s 且( 艾，蓟是己的一个鞍点，则对任意a 0 和g 0 口s 有： e 【u ( 9 ) 】一支( e q 夕】一z ) se 【u ( ) 】一入( e q 列一z ) e 【u ( ) 】一入( e q 【翻一z ) ， 由此得到： fe q 圃= z 【e 【u ( 9 ) 】e u ( ) 】当g 0n s 和沁【夕】= z ， 可以验证 是问题( 3 1 ) 的解 下面我们考虑：鞍点是否存在? 如果存在，鞍点是什么? 从上面的讨论我们看到，( a ，们是鞍点当且仅当： fe q 蓟= z 【e u ( 9 ) 】一a ( e q 【9 】一z ) e 【u ( ) 】一入( e q 【蓟一z ) 对任意g 0n 5 等价于： fe q 【列= z te 【h a 剖d q 0 0 矗 暑 u 的对偶函数y 定义为： y ( 可) = s u p u ( x ) 一z 秒】，y 0 王 0 7 根据【1 2 】，v 是一个连续可微，严格降，严格凸的函数，满足： v 7 ( o ) = 一o o ，v ( o o ) = 0 v ( o ) = u ( o o ) ，y ( o o ) = u ( o ) 且 u ( 茁) 2 掣i n f u y ( ! ) + z 可】，辱 o 设，是函数u 的逆函数，有，= 一，( o ) = o o ，i ( o o ) = o 则u ( z ) 的最大值在 z = ， ) 时达到即： v ( u ) = 矿( ，( y ) ) 一y 1 ( y ) ( 3 4 ) 对任意给定的爻，设 爹刨爻翁 ( 3 5 ) 这时我们可以得到不等式( 3 3 ) 因此，当a o 满足： e 【器砸私一 ( 3 6 ) 即e q 】= z 时不等式( 3 3 ) 成立且( 爻， ) 是l 的一个鞍点， 是问题( 3 1 ) 的解 一 因此在完全市场我们有下面结论：如果市场是完全的且q f 们= q ) ，当爻是方 程( 3 6 ) 的解，那么( 3 5 ) 式定义的 是问题( 3 1 ) 的解且 是投资者的最优终止时刻财 富 3 2不完全市场 对于不完全市场，由于存在多个等价鞅测度q q l d c ，为了解决问题( 3 2 ) ，我 们需要考虑下面优化问题： j 讹乩q 艚) 娟。) 】。戳。岫卜引 ( 3 7 ) 19 0 0 s p 一7 如果爻 o ，芗0n 5 和( 爻， ) 是一个l 的鞍点，即对任意a 0 以及g 0 凸s 有 e u ( 9 ) 】一x ( y u pe q b 】一z ) q 均d c 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s e 【u ( ) 】一x ( s u pe q 固一z ) q h “ e u ( 蓟】一a ( s u pe q 围一z ) ， q 与h ” 由此得到 f s u pe q 圄= z 2 账 i e 【u ( 夕) 】e 【u ( ) 】当g 0n s 和s u pe q 【9 】z ， 、 q 铀o o 可以验证歹是问题( 2 5 ) 的解 推得( x ，蓟是三的一个鞍点当且仅当 ie 【( 夕) 】一a ( j 霉e q 【夕j z ) e u ( ) j 一艾( s u pe q 【 】一z ) 对任意g 0o s q q l 卵。q q 卯 等价于 f s u pe o 同：z j q q k 1q 酞叩一爻釉越叩( ) 一爻器列对任意芝孙矗。暑 根据( 3 8 ) ，我们需要考虑下面极大极小问题： m a 。x 。q i n q l o c fe 矿( 夕) 一 面d q 0 0 9 j ( 3 9 ) d 占q q l o c 。、， d p j 、。7 对于一个给定的a 0 若( 觅面) 是问题( 3 9 ) 的一个鞍点，我们有 跏s u p i n fe ) 一艾霸口 o 口d q 曲o c d p d l = q q l i n f s 。u p e ( 9 ) 一 - 面d q a 引 q q l o c 口 o ”7 d p “ = 鲫s u p e ) 翻 = 即( 动一爻器翻 这样亨满足不等式( 3 8 ) 进一步，若 蚴s u p 。e q 虿 = 泌。e 【面d q ，( 器) 】z q q l o c q q l 。 d fd f 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 我们有 亨叫爻 得到( 爻， ) 是l 的一个鞍点，萝是问题( 2 5 ) 的解，且是投资者初始财富为z 的关 于效用函数u 的最优终止时刻财富 3 3 最优解存在性定理 在一般情况下，问题( 3 9 ) 的鞍点( 龟，劲不存在，因为集合 舞：q q l o 。 在 依概率收敛的情况下是不封闭的为了弥补q l 集合的不足，我们引入了下面的非 负半鞅集合( 参见【1 】) ： y = ( y 0 ：碥= 1x y 是上鞅对任意x ( 1 ) ) 观察得1 x 0 ) ，所以任何y y 是一个上鞅还可以观察到集合y 包含了所 有q 9 的密度过程设 d = ( g l o ( ( q ，y ，p ) ) ：0 g 坼口s y y ) 然后由【1 】中的性质3 1 ，c ( z ) 和d ( z ) 都是凸集而且在概率收敛意义下是封闭的 并且c ( z ) 和口( z ) 存在如下对偶关系： g c ( x ) 营g20 口s 和e b 纠z 对任意h d h v ( x ) 甘h 0a s 和e y h 】。对任意g c ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 根据式( 3 1 0 ) ，( 3 2 ) 中不完全市场的q q f d c 可以被口代替，而且目标限制等价于 s u p h e 口e g h 】。这样，问题( 2 5 ) 可以转化为： g ， 凹_ 0aesfu和；翟su。pe b 卅z 0 口 埏i n u fe u ( g ) - 爻g h ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 问题( 3 1 4 ) 就是要找出鞍点( 五) ，即 9 岩呈。1 i l i n 。fe p ( 9 ) 一勋纠2 i n 。f9 0 s u p e 【u ( 夕) 一勋纠 = s u pe ( u ( 9 ) 一a g h j g 之0 口s = e 【u ( ) 一a 钏 根据上面的等式，有 爹= i ( a h ) (3151 1 5 ) 92 【3 ) 进一步，若 s u pe ( 爹危) = z ，t e ，s u pe ( 1 ( a h ) h ) = z ， 可得( 爻， ) 是l 的一个鞍点，且爹是问题( 2 5 ) 的解关于左，由 邶i n f 剑s u p z v ( g ) 一确2 脚i n fe v ( a h ) = e i v ( 一a h ) 这里五是下面对偶问题的解： m i ne v ( a h ) 】对任意h d 在【1 】中证明了该解的存在性，萝和五的关系由( 3 a s ) 给出这里的爻= “( z ) ，因为： 乱( z ) ：= s u pe ( 矿( 婚) 】= e 【u ( 珏) j = e 【u ( ，( ：沥) ) 】 z j “7 ( z ) = e 阿( ，( 筋) ) 1 = e 【( ，( 兢) ) 】= e 【筋) j = e f 器) j = 爻 对任意的z 0 和y 0 ，定义 u ( x ) ：= s u ps u ( x t ) 】 ( 3 1 6 ) x e x ( z ) 口( z ) # y i n y fe v ( y x t ) ( 3 1 7 ) 定理3 1 ( 最优解存在性定理) 若对任意的y 0 有t ，( ! ，) 0 ，存在个唯一的殳x ( x ) 是问题( 3 a 6 ) 的解 ， ( 2 ) 函数”是一个严格降，严格凸和在( 0 ，。) 连续可微的有限值函数并且对 所有的掣 0 ，存在一个唯一的9 y 是问题( 3 1 7 ) 的解， 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 3 ) 函数札和函数 有如下对偶关系： u ( y ) 2 骝心( z ) 一z 胡，让( z ) = i n f v ( y ) g t l + z ! ，】 喾 0 进一步，若z o ，y = 札7 ( z ) 我们有如下关系：薪= j ( 可霹) ( 4 ) 函数u 有如下表达式： 咖) = q 致e m 器) 】 ( 3 1 8 ) 3 4多个投资者的最优解 x i a ( 2 0 0 4 ) 研究了不完全市场上多个投资者的效用最大化问题，主要用到了 最优解存在性定理以及与合作理论相关的概念，得出了帕累托最优的等价条件具 体如下： 假设1 有孔( 2 ) 个投资者，用指标集 l ，扎 表示投资者i 拥有初始资金 z i 0 ，且对应一个关于财富过程的效用函数阢：( 0 ，o 。) 一( 一，o o ) 假设2 一 阢是一个连续可微，严格增，在( 0 ，o o ) 上严格凹的函数，且满足i n a d a 条件： ( o ) ：= l i m 1 0 “( z ) = 。，彰( ) ：= l i r a = 。“( z ) = 0 用五表示的转置，则厶= 一以及厶( o ) = 。o ，厶( ) = 0 关于阢的对偶函数定义 为： k ( y ) = s u p u , ( z ) 一x y ，y 0 z 0 对于单个投资者，目标是使他的( 折现) 财富过程的期望效用达到最大即： u i ( x i ) = s u pe 阢( 坼) 】， z i 0 x x ( z ) 关于u i ( 兢) 的对偶函数表示为： 忱( 玑) 2 薅e 【k ( 玑翰) 】，纺 0 假设3 对任意的l i 礼，y 0 ，有q ( ! ) o ( 3 2 1 ) i = l q l 1 3 可以看出( z ) 满足效用函数的性质 定理3 2 在上面假设1 4 下，一个( 己，己，蠢) a ( z ) 是帕累托最优的，当且仅 当存在一个口 满足： u i f f , ) ：挈对任瓤 其中又是在效用函数下， m a x e 【( 坼) 】对任意x 疋( z ) 的解 证明：在上述假设下，由【5 】可得( 鑫，鑫，己) a ) 是帕累托最优解等价于： m 口z e 【( x i ) 】对任意x x ( x ) ( 3 2 2 ) 句题( 3 2 2 ) 转化为： f m a xe 【( 夕) 】 1g 0 凸s 和s u pe g h 】z 其中口定义如同( 3 1 1 ) ，我们根据拉格朗日乘子方法，考虑如下不含目标限制的问 题： f m a xl ( 入，g ) ：= e 【( 9 ) 】一a ( s u p e g h 】一z ) t 夕。s 。 设k 是的对偶函数 k ( y ) = s u p 【( z ) 一x y 】对任意y 0 下面我们定义两个函数： 札。( z ) ：= s u pe ( 坼) 】 x e x ( z ) ( 可) 2 删i n fe v q ( y y t ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 贝j j ( 3 2 4 ) 是( 3 2 3 ) 的对偶问题可以证明u q 是一个效用函数，且对所有的q ，y o 有v q ( y ) o ：o v ( y ) 0 ( z ) = ，y 唧( 邓) 弓) = 一专1 n ( 毒) ( 4 1 5 ) 其中j 为( z ) 的逆函数，根据( 4 1 5 ) 可得： y ( ! ，) = u ( 砌) ) 一i c v ) v 号y ( 秒) = _ 孑y + ( 善) ( ) = e 【y ( 面d q ) 】 由于： 蚀( u ) = e x p ( 一# 盯- p b ( t , w ) 一壶( 字) 2 t ) d p ( u ) 将( 4 1 8 ) 代入( 4 1 7 ) 有： 比) = e 卜孑y 面d q + 孑y 面d ql n ( 考器) 】 计算得： u ( y ) = 一孑y 【卜l n ( 考) + 互l i 了# - p ) 2 卅 从( 4 2 0 ) - - 3 以看出，对任葸y o 有口( 可) o o 根据足理3 1 日j 知最优1 详仔征 由f 4 2 0 1 式得： 一 u b ) 一 l n ( 琴) + 互il 了p , - - p ) 2 卅 记 7 ( z ) 的逆函数为 ( z ) ，则： 伽( z ) = ，y e x p ( ，y z + 互l i 了# - p ) 2 丁) 由定理3 1 可得： 让( z ) = u ( 叫( 一z ) ) + z w ( - z ) = 一e x p ( 一，y z + 互li 了# - p ) 2 t ) o ( z ) = ，y e x p ( 邓+ 三( 字) 2 t ) 根据( 3 1 8 ) 有： 3 幂效用函数 ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 又( z u ) = 地d n q 旷) = z + 害b ( e u ) ( 4 2 4 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 设效用函数为砂( z ) = 等，其中，y o 有u ( 可) o ，最优解： 殳( 正u ) = 甜u 1 - 盯p b ( t , u ) 3 幂效用函数：u ( x ) = 等，y 0 ， 最优解： 殳( u ) = z + 鱼尘掣b ( 正u ) 本文主要考虑的是完全市场投资问题，进一步的研究可以考虑不完全市场情 形另外，我们选取的效用函数是常见的几类，还可以深入讨论反映投资者对风险 不同偏好的效用函数 由于不完全市场的等价鞅测度不唯一，我们可以考虑基于效用最大化意义下的 等价鞅测度及最优投资问题 2 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【l jk r a m k o v ，d a n ds c h a c h e r m a y e r ，w ( 1 9 9 9 ) ：t h ea s y m p t o t i ce l a s t i c i t yo f u t i l i t yf u n c t i o n sa n do p t i m a li n v e s t m e n ti ni n c o m p l e t em a r k e t s ，a n n a p p l p r o b a b 9 ，9 0 4 - 9 5 0 【2 】k r a m k o v ，d a n ds c h a c h e r m a y e r ，w ( 2 0 0 3 ) ：n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i - t i o n si nt h ep r o b l e mo fo p t i m a li n v e s t m e n ti ni n c o m p l e t em a r k e t s ，a n n a p p l p r o b 1 3 ，1 5 0 4 - 1 5 1 6 【3 】o k s e n d a l ，b ( 2 0 0 3 ) s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s p r i n g e r 【4 】k a r a t z a s ，i ，l e h o c z k y , j p ，s h r e v e ，s e a n dx u ，g l ( 1 9 9 1 ) ：m a r t i n g a l e a n dd u a l i t ym e t h o d sf o ru t i l i t ym a x i m i z a t i o ni ni n c o m p l e t em a r k e t s ，s i a mj c o n t r o p t i m 2 9 ，7 0 2 7 3 0 【5 】x i a ，j a n dy a h ，j a ( 2 0 0 0 a ) ：m a r t i n g a l em e a s u r em e t h o df o re x p e c t e du t i l i t y m a x i m i z a t i o na n dv a l u a t i o ni ni n c o m p l e t em a r k e t s ，u n p u b l i s h e d 【6 】6b i s m u t ，j m ( 1 9 7 3 ) c o n j u g a t ec o n v e xf u n c t i o n si no p t i m a ls t o c h a s t i cc o n t r 0 1 j - m a t h a n a l a p p l 4 43 8 4 4 0 4 【7 】k r a m k o v ，d o ( 1 9 9 6 ) o p t i o n a ld e c o m p o s i t i o no fs u p e r m a r t i n g a l e sa n dh e d g i n gc o n t i n g e n tc l a i m si ni n c o m p l e t es e c u r i t ym a r k e t s p r o b a b i l i t yt h e o r yr e - l a t e df i e l d s1 0 54 5 9 4 7 9 8 】k a r a t z a s ，i l e h o c z k y , j p ，s h r e v e ，s e a n dx u ，g l ( 1 9 9 1 ) m a r t i n g a l e a n dd u a l i t ym e t h o d sf o ru t i l i t ym a x i m i s a t i o ni na l li n c o m p l e t em a r k e t s i a m j c o n t r o lo p t i m 2 97 0 2 7 3 0 【9 】9m e r t o n ，r c ( 1 9 6 9 ) l i f e t i m ep o r t f o l i os e l e c t i o nu n d e ru n c e r t a i n t y ：t h e c o n t i n u o u s - t i m ec a s e r e v e c o n o m s t a t i s t 5 12 4 7 2 5 7 【1 0 】m e r t o n ，r c ( 1 9 7 1 ) o p t i m u mc o n s u m p t i o na n dp o r t f o l i or u l e si na c o n t i n u o u s t i m em o d e l j e c o n o m t h e o r y33 7 3 4 1 3 【1 1 】m e r t o n ，r c ( 1 9 9 0 ) c o n t i n u o u s t i m ef i n a n c e b l a c k w e l l ，c a m b r i d g e 【1 2 】r o c k a f e l l a r ，r t ( 1 9 7 0 ) c o n v e xa n 出s i s p r i n c e t o nu n i v p r e s s 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 1 3 】e 1k a r o u i ，n a n dq u e n e z ，m c ( 1 9 9 5 ) ：d y n a m i cp r o g r a m m i n ga n dp r i c i n go f c o n t i n g e n tc l a i m si na ni n c o m p l e t em a r k e t ，s i a mj c o n t o p t 1 9 9 53 3 ，2 9 - 6 6 【1 4 jf o l l m e r ，h a n dk a b a n o v ，y u m ( 1 9 9 8 ) ：o p t i o n a ld e c o m p o s i t i o nt