（应用数学专业论文）一类粘性扩散方程的整体解的存在性.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 本文研究了一类粘性扩散方程 娶一户譬：鲥( “) + d i v b ( “) ，( 圳g a t a t 、1 。、。 “i = 0 ， ( z ，t ) ea q ( o ，t ) l 缸勋= ， 工q ( 卜1 ) ( 卜2 ) ( 1 - 3 ) q 是有界区域，且其边界在r ”内光滑，p 0 为粘性系数a ( s ) 为连续可 导且a ( j ) 0 ，s ( s ) = ( 一( s ) ) 。矿( j ) 为局部l i p s c h i t z 连续的向量值函数我 们利用特征函数方法和积分估计方法讨论了方程整体解的存在性和解在满足 一定条件时的有限时间爆破的性质最后讨论了解的唯一性 关键词：粘性扩散方程；整体解；存在性；爆破；唯一性 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yav i s c o u sd i f f u s i o ne q u a t i o n 詈一j d 等= 蚴) + d i v b ( 吐( 列) q ( 1 - 1 ) “l a n = 0 ，( 而f ) 6 q x ( o ，t ) ( 1 2 ) = b ( 磅， ，q ( 1 3 ) w h e r e 口i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r yi n r ”p 20 t h e v i s c o s i t yc o e f f i c i e n t ，一( j ) ac o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n o nrw i t ha ( s ) 0 ，占( s ) = ( 彳0 ) ) ，a n d 矿0 ) al o c a l l yl i p s c h i t z c o n t i n u o u sv e c t o r v a l u e df u n c t i o n b yu s i n ge i g e n f u n c t i o nm e t h o da n d i n t e g r a le s t i m a t em e t h o dw eo b t a i nt h eg l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o fs o l u t i o n s ，a n dw h e nt h en o n l i n e a rt e r m so ft h ee q u a t i o ns a t i s f ys o m e o t h e rc o n d i t i o n st h es o l u t i o n sb l o wu di nf i n i t et i m e k e y w o r d s ：v i s c o u sd i f f u s i o ne q u a t i o mg l o b a ls o l u t i o n s ；e x i s t e n c e ： b l o w u p ；u n i q u e n e s s 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用己在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 储( 签礼鳖 日期：潮年( 月知日 第一章绪论 非线性偏微分方程对于物理、化学、生物化学、工程科学、数理经济等 现实世界的应用有着实际意义，在过去的几十年里，随着各个领域研究的需要， 非线性抛物方程也得到了广泛的研究和发展例如化学反应理论，量子力学以 及流体力学领域的实际问题的研究推动了偏微分方程的爆破理论的发展；而 空气动力学等领域的研究也促进了边界层方程的有限时间奇性的理论研究； 具退化和奇性的非线性抛物方程则来源于自然界中广泛存在的扩散现象 1 1 非线性发展方程及其初值问题 本文所讨论的一类粘性扩算方程是非线性发展方程的一个分支，故对其 的讨论是在非线性发展方程的讨论范畴内的，因此在绪论中我们主要对非线 性发展方程作简明的介绍 发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，又称演化方程或进化方程，广义地说， 是包含时间参数t 的许多重要的数学物理偏微分方程的统称在物理、力学或 其他自然科学中用来描述随时间而演变的状态或过程狭义地说，它是指可以 用半群方法化为一个b a n a c h 空间中的抽象常微分方程的c a u c h y 问题来处理 的那些数学物理方程波动方程、热传导方程、反映扩散方程、k d v 方程、流 体动力学方程组等等以及由这些方程通过适当的方式耦合起来的种种耦合方 程组，都属于发展方程的范畴 对线性发展方程来说，只要初值适当光滑，其c a u c h y 问题的解也必具有 适当的光滑性，而且在整个半空间t 0 上是整体存在的但对于非线性发展 方程，情况就根本不同了一般地，非线性发展方程的c a u c h y 问题的整体古典 解通常只能在时间，的一个局部范围存在，即使对充分光滑甚至还充分小的 初值也是如此：相应地，解在有限时间内失去正规性，而产生奇性，或者说，解 哈尔滨工程大学硕士学位论文 或解的某些导数的：模当t 一“t 。为有限) 时它趋于无穷这一现象称为解 的爆破( b l o w u p ) 因此非线性发展方程的古典解的整体存在性一般是无法保 证的这是区别于线性发展方程的一个重要的特点但初始条件的厶模相当 小时，则又可得到它的整体解由此我们可以看到，对非线性发展方程而言， 考虑下面两方面的问题是相辅相成的 ( 一) 在何种条件下，所考察的非线性发展方程的定解问题( 包括c a u c h y 问题，各种混合初边值问题及自由边界问题等) 存在着唯一的整体古典解并 在此基础上研究解的整体性态，特别是当f 寸。时的渐进性态 ( 二) 在何种条件下，所考察的非线性发展方程的定解问题不存在整体古 典解，而必在有限时间内发生爆破现象并在此基础上深入考察解在爆破点的 性态，例如究竟是解的本身还是解的某一阶导数首先发生爆破。解在爆破点的 奇性特征以及爆破点集的性质等等 研究这两方面的意义是很明显的对一些重要的数学物理方程的解的整 体性态( 例如解的稳定性等) 的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以 解的整体存在性为前提另一方面，如果发现解会在有限时间内爆破，而这种 爆破的性态不是相应的物理模型所允许的，就反过来说明所归结的数学模型 有问题，而必须加以修改：如果这种爆破的性态是相应的物理模型所允许的， 由于相应的物理过程决不会终止于某一时刻，必定要继续发展，我们就必须在 一个更广的函数类中来考察问题的解( 例如空气动力学方程组，就要考虑到出 现激波的可能性，而在包含间断性的函数类中求解) 1 2 解的存在性和爆破及相关问题 粘性扩散方程的“整体( g l o b a l ) ”和“局部( 1 0 c a l ) ”解是指解在整个半 空间f 0 或在0 点的右侧某个有限区间存在对于线性方程来说，例如热传导 方程，只要初值适当光滑，其初值问题的解也必具有适当的光滑性，而且对于 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 t 0 解是整体存在的，但对非线性方程来说情况则不同，一般地，非线性抛物 方程初值问题的整体古典解通常只能在时间f 的一个局部范围中存在，即使 对于充分光滑的初值也是如此：相应地，解的爆破( b l o w u p ) 有时也指代“整体 不存在性”即“解的最大区间是有界的”尽管后者的概念在某种意义下更宽 泛一些。是指解在有限时间内回失去正则性，产生奇性( 解本身或某些导数趋 于无穷) 偏微分方程的基本问题之一是研究各种初边值问题的解的存在性，而退 化的和其它奇性的方程一般都不具有古典解，函数空间的引入为求解初边值 问题提供了有效的途径研究这类方程的第一步就是选取适合于方程特点的 函数空间来定义广义解，在远为广泛的函数类中寻求方程的解，比直接求古典 解容易的多如果在这样选取的函数空间中，解不仅是存在的而且是唯一的， 那么这就是一个理想的函数空间在得到弱解后，在进一步讨论这些解是否具 有更高的光滑性，是否也是古典解，这就是所谓的正则性问题无论是从理论 上还是从应用上总是希望能找到使解唯一的最弱的函数空间，同样也希望知 道解最好的正则性如何，函数空间的选取还用于对各种逼近问题作必要的先 验估计，也是进一步研究解的性质的基础研究解的整体存在性的意义是非常 明显的，对一些重要的方程的解的整体性态( 例如解的稳定性等) 的研究以及 有关的数值求解方法的讨论，都要以解的整体存在性为前提 解的爆破理论首先是在上世纪四、五十年代s e m e n o v 链式反应，绝热燃烧 和爆炸理论的研究中提出的自七十年代起，随着气体动力学、激光核聚变和 燃烧等领域的深入研究，非线性发展方程解的爆炸理论引起了研究者的极大 兴趣解在有限时刻爆破是指解或其某些导数的某种范数在有限时间变成无 界的，经典意义下的爆破是指逐点爆破现在仍然没有完整的一般化理论，但 是对于各类特定的模型都有了许多相应的研究和绪论，现今爆破理论仍然是 一个有发展空间的课题最典型的爆破模型是 哈尔滨工程大学硕士学位论文 珥一“= “，z r ，f 0 u ( x ，0 ) = z 钿( 工) ，x r ” ( 1 - 2 1 ) ( 1 - 2 2 ) 2 0 世纪6 0 年代，f u j i t a 对这个模型做了开创性的工作，其中p l ，为n 维l a p l a c e 算子他的兴趣在于非负解对于固定的时间r 在无穷远处的衰减性， 从而初值是非负的，且非线性项有定义，他证明了如下结果：定理( f ) p c ( n ) = 1 + 二n 。 ( a ) 如果l 0 时间的存 在性和f 0 后某个有限区间的存在性在一般的文献中，用“爆破”来指“全 局非存在性”，即表示“解的极大存在区间是有限的”而“有限时间爆破” 意指解或解的导数在有限时间内，在某个范数意义下变成无界事实上，古典 意义下的爆破是指“逐点爆破”，即解在空间区域的某点处无界( 如果区域是 无界的，可能也包括无穷远处的点) 让我们回到问题( 卜2 1 ) 一( 卜2 2 ) 在这之后，关于此结果有了进一步研究 首先当不存在整体解时，解实际上是逐点爆破的其次，人们的兴趣在于具有 很小初值的情形实际上l e v i n e 在 1 2 中证明了只要初值u o ( x ) 很大，满足 4 击b 炒拟v 以小) ) 1 2 血 v ，= 茜去人寺 积盘，积” 1 3 特征函数方法 眩： s ， f ；。，亮 厶“，厶是妒+ a 妒= 0 ，纠= 0 的特征值，一定存在 t o 厶1 1 “n 其中厶2 旁 证明要证明上式只需就厂a ( q ) 来证，因这点一经做到再通过一道极 限程序就能得到要证明的结果，取厂q ( q ) 使在r ( q ) 中 ，= 黟善= 一l i m 靠a f j ，( 1 - 1 2 川 将代入上面的不等式，然后取极限，由范数的连续性便可得到引理证明 现设厂础( c o ，作以直径为d 边长的正方形 r ：口，而b lu = 1 , 2 ，a ，疗) 将q 包含在内，并认为在外面为零，于是因为 m ) = r , c a x t 9 故根据s c h w a r t z 不等式有 将上式两边在q 上积分得 胖帅，r 矧2 出 l i f 2 d x o 厶 o ，p o ，故五 o - 将等吉f 2 4 ) 两仂从0 剥t 朝分得 ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) j 和i r 2 + p i v 盯) 凼+ 五i ( 1 l u = l 5 + p 陬1 1 2 ) d s a 0 将上式展开可得 l 陋。1 1 2 + p l l v “。2 一( 0 “。( 石，o ) 1 1 2 + p l l v “。( 工，o ) 1 1 2 ) + 五j ( 1 l u 。2 + p i i v 。0 2 ) d s o 由以i - 证明可得 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i 卜。0 2 + p l l v # 。j 1 2 “，( 工，0 ) 1 1 2 + p l l v 。( 工，0 ) 1 1 2 f 0 由( 2 - 2 ) ，( 2 - 3 ) 可知 i k ，( x ，0 ) 1 1 2 + p l l v “。o ，0 ) 1 1 2 对所有界 从而可得 。 1 2 + d r j 2 三0 _ t o ，c 。厶 c 哈尔滨工程大学硕士学位论文 并驯0 2 + p l l v o 0 则问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的整体解u ( x ，) 存在： ：i m 。( 1 l “1 1 2 + p f f v “n = 佃( 2 - s ) 证明类似定理1 中证明，假设u ( x ，) 为问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的整体强解，将 ( 卜1 ) 式两边同乘“并在q 上积分得 i l 刘d “np i i v u l l 2 ) = ( 一z 训v “f 2 冲 由条件( 日) 我们得到 i i 剥d “n p l l v u l l 2 ) c 。i i v “1 1 2 一c l w i i ( 2 - 9 ) 类似于定理2 3 中的证明， i l v u l l 2 = 而1 附i i + 去p i l v u i l 2 由p o i n c d r e 不等式给出的0 v 1 1 2 厶2 由上式我们可得到 酬1 2 焉刊m 忡i i 将其代入( 2 - 9 ) 我们得到 知m 酬2 ) 2 ( c o 一争击吖i i + 刺1 2 ) c z 一 由( 2 1 0 ) 式和i l u o l l 2 + p l l v “。2 o 我们得到 丢( 2 + , , l l v u 0 2 ) o 与 1 2 + p f i v “j f 2 0 ，v f o 定义口( f ) = 1 2 + p i l 甲“1 1 2 ：再由( 2 1 0 ) 得到 e ：鲁砘 旯= z c c 。一砉，再， 1 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i n 口a ( ( 。t ) ) z ，口( f ) 口( 。) p m ，r 。 因此我们得到 2 + p l l v “1 1 2 ( 2 + p l l v “1 1 2 ) e “ f 0 因此( 2 - 8 ) 式得证 2 3 本章小结 ，本章在开始首先给出了在证明过程中需要用到的基本不等式及其证明，以 使读者在阅读本章内容时不会产生困难，接着应用特征函数法和积分估计方 法讨论了问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的整体弱解的存在性与解的渐近性质，并给出证 明 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第三章解的b l o w u p 3 1 相关引理及其证明 定义若函数f ：r 4 _ r 满足f ( r x + ( 1 一r ) y ) v ( x ) + ( 1 一r ) f ( y ) 对所有的工，y r 4 和任意0 r 1 ，则函数厂为凸的 且 引理3 1 ( y 。u n g 不等式) 令1 p ，g o ) pg 引理3 2 ( h o l d e r 不等式) 如果l b g 2 使得一彳 ) l v “1 2 - c o l v ：, v u r ， v u r ”和l u o i l 2 + ：l l v u 。1 1 2 o ；则问题( 1 1 ) - ( 1 3 ) 的强解在有限时间内即 0 ( o ) ，厅( 5 ) 一厶彳( s ) 是变量5 的突函数 ( i i i ) 若s 口( o ) ，h ( s ) - & x ( s ) 0 ( i v ) f = ，而d s 1 恒m ) d x = 1 ，o ) = h 一 扩矿h 一一卜 ，1 “ p 仉 k盟w rl 馘 于是以依赖参数占的 - ，。( x ，y ) = 万1 八了x - y j ，( 占 o ) 为核的积分算于 以伊( x ) = l j 。( 工，_ y ) 妒) 砂 = 古k 水，仁孑胁渺 即称为以_ ，为母核的磨光算子，并称( 工) = 以妒( z ) 为妒( 石) 的以f 为半径的均 值函数q 表示r l 维欧氏空间r ”中的开域 由母核，( x ) 的性质可见，如果用q 。表示q 中到边界的距离大于占的点组 成的开子集，则有 上止( 工，y ) d y = 1 o q 。) l i j 。( z ，y ) 1 砂1 ( x e q ) 阮( x ，y ) d x 1 抄q ) 引理4 2 磨光算子于占斗0 时趋于单位算子，又若q 有界，则当 妒c ( _ ) 时 忆妒一叱- ) 2 s 。u p l j r 伊一叫寸o ，占寸o + 证明首先证明后一部分，由，。( z ，y ) d y = 1 o q 。) 我们有 ，。妒一妒= f ，。( 工，y ) ( 妒( y ) 一妒( x ) ) 砂 2l 。；l ( w ) ( 伊o ) 一妒( 工) ) 砂( 工q ) 于此假定已将妒( 工) 连续延拓到西外以成c ( r 一) 中一( 有界) 连续函数。例如 ( 不失一般性设原来p 是实值的并f io 缈i 当z c ( 五) ) 贴，= 翟b 需k 孬 函数p 是距离函数再由止( z ，y ) d y = 1 o q ；) 于，的非负性，以及伊在空 间r ”的任一有界部分的一致连续性，于占一0 + 时 i ，。妒一叫l 。j t ( x , y ) l p ( y ) 一妒( x ) 1 砂 s u p i 伊( 膏) 一烈y ) f 0 ( x q ) l y - x x e l 2 。 。 现证明第一部分，首先若f o c o ( r ”) 则由以上证明即可证明定理成立， 因c 彳( 胄“) 在( q ) 中稠密，故对于任一矿l p ( d ) 恒存在c o ( 尺“) 能使 物一鲕8 任意小，因而由不等式 j i j c q ，一妒虬以矿一忆+ l l j , 9 0 一0 ，+ 修一， - - - v , 妒。一口 o l l ，+ 2 1 f 伊一吼忆 足见定理成立 推论4 3 如厂p ( q ) ，l p 0 ，则 加，；古七 我们称，为标准磨光算子，且函数以为c ”并且满足 j ：j , d x = 1 4 3 共轭算子 定理4 4 ( 表现定理) 如，( ，) 是h i l b e r t 空间日上一有界线性范函，则存在 唯一g h 使得 l ( f ) = ( f ，g ) ( 4 - 1 ) 并且 删= s u p i ，( 力i = i g i | ( = 1 ) ( 4 2 ) 证明考虑，的零空间= 们，( 力- - o ，由，是线性连续范函可知是日 的一线性闭子空间，如果是全空间，则，( 力= 0 ，这时取g = 0 即可，并且只 有这样才能使( 4 1 ) 式成立，如果n 不是全空间，则n 1 中有非零元素厶设 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( o ) ：自然口0 ，取铂：五，则，( g 。：1 ) 于是，对于任何厂显然成立 -口 = f z ( f ) g 。， 五= ，( 厂) g o n 1 故 盯，g o ) = ( i + ，g 。) = ( 正，g 。) = u g 。陬门 因此，若取g 2 岛h g j 则( 4 1 ) 式成立，存在性得证 现证明唯一性， 如g = g l 和g = g ：都能使( 4 1 ) 式成立，则v f h 有 ( 厂，g l 9 2 ) = 0 特别地= g 。一扔将代入则得到 g i 9 2 = 0 接下来我们证明( 4 - 2 ) 式 首先由s c h w a r z 不等式得 = s u p l ( f , g ) h i g l i ( 1 l l l = 1 ) 其次机o 则如果钌2 面便有 = l ，u ，g ) i = l l g l l 故 l i g l j - 1 | ，1 i 定理得证 定义 设r 是h i l b e r t 空间h i _ 日2 的一有界线性变换，则 ( 可，g ) ( 厂h ，g h 2 ) 有界，且存在唯一确定的日2 一日i 的有界线性变换 、 丁使得 ( 可，g ) = t g ) 可h i ，g h 2 这样的变换丁称为r 的共轭 定理4 5 ( 口r ) = 口r ，( 五互) - - r l 瓦，t “= r ， i i - - i l r l l 证明前三条由定义直接可以得到，现证明最后一条： 从 ( t + g ，t g ) = ( t t g ，g ) 护硼9 0 蔓删p g i 得到 旷g l l - f j l l l g l f 即 旷1 1 0 ，我们定义算子兀具有如下形式 l ：r ( q ) - o z h 2 ( q ) n 础，g _ y ， 上式y = l g 由d i r i c h l e t 问题 一a y + z y = g ，x q ， y = 0 x 触 确定，则l 为自共轭算子 证明我们只需要证明 以础= g t p g d x ，g r ( q ) 成立即可 由d i r i c h l e t 问题，我们假设 哈尔滨工程大学硕士学位论文 一缈+ = g ，x g y = 0 j m 和 则有 和 我们由 一缈+ 矽= x q ， 多= 0 ， 工a q y = l g 多= r , y 1 ；f g d x2 ；( - 班砌地 ( 4 - 3 ) 2 量( 一a p y + _ “) y ) a x 由格林公式我们有 1 ；- - a p y a 芏= 一a 眦 将上式代入( 4 - 3 ) 式得 上( 一劬+ # y p ) a x = ( 一缈+ ) 如 2 上鹦肚 定理得证 推论4 8 如上定义的自共轭算子可与求导顺序互换即 t 0 ( t , 0 0 ) = l ( 争( 4 - 4 )t 刮一百j 证明假设 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 一“+ p “= 妒， x q ， “= 0 x m 则 “= l 伊 ( 4 4 ) 式左边得 型：塑 8 t8 t 假设 锄 a 则 础+ = 鲁，x 咄 v = 0 x 弛 则( 4 - 4 ) 右边得 l 掣o t ) = v 即左边等于右边，因此命题得证 推论4 9 自共轭算子可与算子顺序互换即 乙妒= l ( 妒) 推论4 1 0 由自共轭算子的定义我们可得到以下估计 0 l g k 。，c ou g l l m ， 上式中c o 为仅依赖于肺q 的常数 4 4 解的唯一性 定理4 1 1 方程( 卜1 ) 一( 卜3 ) 最多存在一个广义解 证明设1 1 ) 2 是方程( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的两个解，记z = 越l u2 ， v = a ( u ) 一a ( u 2 ) h = 占( 蚝) 一b ( u 2 ) “为初边值问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的广义解。 对任意的c ”( q t ) 中的测试函数妒，当x 弛或f = t 时满足妒( 石，) = 0 ，我们 在( 1 1 ) 式两边同乘妒并在g 上积分可得 见考脚一距p 警础= 儿嘶) 删+ 儿舢删 上式得 o l x d u 一蜓础= j l ，鲋 ) 伊d x d t + 眶舢( “) 砸砌 左边由分步积分公式可得 l 出，聊( t t ) d x 一“唰毛o ) d x 一眼詈砌一m ，聊( 妒) 出 + 肚纵x ) 伊( o ) d x + 儿脚鲁撇 由硌杯公式刚得 一州咖( 五o ) d x 一世警栅+ 膨姒咖( x ，o ) d x + 皿舢詈栅 右边由格林公式可得 疃鳓) a f a d x d t + l 占似) v 础d t 移项便可得到 一l u o ( z ) 妒( z ，o ) c +u 。( x ) 矿( x ，o ) ( 抚 = 蜓“( ，一出) 詈拗+ s ta ( “) a o d x d t + 蜓b ( 妒v 1 9 0 d x d t 将m ，“：代入上积分等式，并将两等式相减可得下式 见州一) 詈拗十尬舭西一厦v 础- o 2 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 注意到 f 【，z ( ，一肚) 鲁出面= f c ，( ，一班弦鲁蚴 并用l 妒代替伊我们可得到 l ，( ，一声) z 警栅+ 6 够妒拗一f c ，v l 妒拗 = f c ，( ，- 加) l z 鲁拗+ l ，v 蝇妒刊拗+ 皿( 击岍乃妒棚 = f c ，一( ，一肚) 警伊捌+ f c ，( 码v v ) 妒出面+ f l 乙( m v h ) 垆出加 = 0 由于妒是任意的，我们可得到 ( ，侧竽鹕吲删 ( ，一p ) 等 = 卢l v v + l ( d 柚) 做如下假设 若证明 则由以下事实 乳( ，) = ( ，一肚现z ( x ，) z ( z ，) 出 ! 姥g 一( f ) = 0 ，口卫t ( o ，丁) 邑( ，) = ( ，一肚乃z l z 一l z ) 出 = 0 l z i l 2 + ( 1 + 卢f ) l j v 乃z 8 2 + p 忪l z 8 2 我们可得到对任意f ( 0 ，r ) ，当寸0 ， 由上式我们可得 乇= ( 。，) 一0 ，l z ( ，r ) 一0 ，在r ( q ) 中， z ( 。，) = l z ( 。，f ) 一l z ( ，) 一0 ，加 r ( q ) ， 哈尔滨工程大学硕士学位论文 注意到以是标准磨光算子，我们得到 旦d t 上( ，一加以( 以z ) j ：d x = 2 量( ，一肚) 昙。( 以z ) 以础 = 2 “( 卜肚) ( 昙乙z ) j ，z d x = 2 ，。 乙v v + t 。( d i v h ) ) j , z d x 将上面的等式从0 到r 积分，我们得到 ( ，一户) l ( 以z ( x ，f ) ) 以z ( x , t ) d x = e ( ，一p a ) l ( j , z ( z ，o ) ) 以：( x , o ) d x + 2 见，。乙v v + t u ( d i v h ) ) j , z d x d s 令f j0 并注意到z ( x ，0 ) = 0 ，我们有 乱( f ) = 2 见旧v - - v + t , , ( d i v h ) ) z d x d s 因为z 为有界的，a ( s ) 为连续可导且( j ) 为局部l i p s c h i t z 连续，则存在两个 正的常数m 。和m 。使得如下估计成立 i v i m 。怫俐- 0 为粘性系数，4 ( s ) 为在r 上连续可导的函数，并且 a ( s ) 0 ，b ( s ) = ( 彳( j ) ) ，矿( s ) 为l i p s c h i t z 连续的向量值函数 1 首先利用特征函数方法和积分估计方法对问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 整体弱解 的存在性和满足一定条件下整体强解的渐进性质进行了研究 2 接着讨论了问题( 1 1 ) - ( 1 3 ) 整体强解在满足一定条件时的有限时间 爆破的性质 3 最后利用磨光算子和特征函数方法讨论了解的唯一性 对非线性发展方程的解的整体存在性与爆破的研究，已经有了很多可喜 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的结果，并已经发展了不少有效的处理方法但由于发展方程包含的范围十分 广泛，非线性的具体特点又多种多样，不少结果往往只是针对某一特定的物理 模型，对某一类具体方程的定解问题而得到的因此对于非线性发展方程的解 的存在性及相关非线性问题还有待于我们进一步的研究和探讨 参考文献 h b r u z i sa n dm g c r a n d a l l u n i q u e n e s so fs o l u t i o n so ft h e i n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o r u ，一伊( “) = 0fm a t h p u r e se ta p p l 1 9 7 9 ( 5 8 ) 1 5 3 1 6 3 g d o n ga n dq y e o nt h eu n i q u e n e s so fn o n l i n e a rd e g e n e r a t e p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，c h i n e s ea n n a l so fm a t h 31 9 8 2 ( 3 ) 2 7 9 2 8 4 z w ua n dj y i n ，s o m ep r o p e r t i e so ff u n c t i o n si nb 以a n dt h e i r a p p l i c a t i o n st ot h eu n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rd e g e n e r a t e q u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，n o r t h e a s t e r nm a t h y 5 1 9 8 9 ( 4 ) 1 5 3 1 6 5 j y i n ，o nt h eu n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo fb vs o l u t i o n sf o r n o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n 。c o m m p d e1 5 ( 1 2 ) 1 9 9 0 1 6 7 1 1 6 8 3 n o v i c k - c o h e na n d r l p e g o ，s t a b l ep a t t e r n si nav i s c o u s d i f f u s i o ne q u a t i o n 。t r a n s a m e r m a t h s u e 1 9 9 1 ( 3 2 4 ) 3 3 1 3 5 1 6 p j c h e na n dm e g u r t i n o nat h e o r yo f h e a tc o n d u c t i o n i n v o l v i n gt w ot e m p e r a t u r e s ，z a n g e w m a t h p h y s 1 9 6 8 ( 1 9 ) ， 6 1 4 6 2 7 7 8 9 1 0 r e s h o w a l t e ra n d t w t i n g p s e u d o p a r a b o l i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s l a mj m a t h a n a l 1 9 7 0 ( 1 ) ，卜2 6 r q u i n t a n i l l a ， u n i q u e n e s s i ne x t e r i o rd o m a i n sf o rt h e g e n e r a l i z e d h e a t c o n d u c t i o n ，a p p lm a t h l e t t 1 5 ( 4 ) 2 0 0 2 ， 4 7 3 - 4 7 9 c 0 h o r g a n ，a n t i - p l a n e s h e a rd e f o r m a t i o n si n1 i n e a ra n d n o n l i n e a rs o l i dm e c h a n i c s ，s i a mr e v i e w l 9 9 5 ( 3 7 ) 5 3 - 8 1 d d j o s e p h ，m r e n a r d ya n dj s a u t ，h y p e r b 0 1 i c i t ya n dc h a n g e o ft y p ei nt h ef l o wo fv i s c o e l a s t i cf l u i d s ，a r e h r a t i o n a lm e c h a n a l 1 9 8 5 ( 8 7 ) ，2 1 3 - 2 5 1 3 6 蚴 嘲 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 1 h l a m b ，h y d r o d n a m i c s ，d o v e r 。1 9 3 2 1 2 i s h i i ，h ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n db l o w i n gu po fs o l u t i o n so f s o m en o n l i n e a re q u a t i o n s ，j o u r d i f f e q s ，1 9 7 7 ( 2 6 ) ，2 9 1 3 1 9 1 3 3y m e r m o l i c y ，v i n o r k i na n dr j 一b w e t s t h em i n i m i z a t i o n o fs e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n s ：m o l i i f i e r s u b g r a d i e n t s ，s i a mj c o n t r o la n do p t i m i z a t i o n3 3 ( 1 ) 1 9 9 5 ，1 4 9 1 6 7 1 4 d l at o r r e m r o c c am e a nv a l u et h e o r e mf o rc o n t i n u o u sv e c t o r f u n c t i o n sb ys m o o t ha p p r o x i m a t i o n s ，a p p l i e dm a t h e m a t i c sl e t t e r s 2 0 0 4 ( 1 7 ) 7 9 1 7 9 4 1 5 杜心华一类非线性波动方程混合问题整体解的存在唯一性 j 四川 师范大学学报( 自然科学版) ，1 9 9 4 ，1 7 ( 4 ) ：3 5 - 4 2 1 6 杨晗一类非线性热传导方程混合问题整体解的存在唯一性 j 四川i 师范大学学报( 自然科学版) ，1 9 9 5 ，1 8 ( 1 ) ：9 2 - 9 6 1 7 杨从军一类拟线性退化抛物型方程的初边值问题 j 数学学 报，1 9 9 5 ，3 8 ( 1 ) ：1 3 4 1 3 9 1 8 闫春华，刘若慧，张桂霞具阻尼的k l e i n - g o r d o n 方程组的整体解的存 在性 j 天中学刊，2 0 0 1 ，1 6 ( 2 ) ：7 - 8 1 9 李庆霞，谭忠具有耗散和阻尼的k i r c h h o f f 型方程的整体解的存在性 j 厦门大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 2 ，4 1 ( 4 ) ：4 1 8 - 4 2 2 2 0 张宏伟，呼青英具阻尼的k l e i n - g o r d o n 方程组整体解的存在性、衰减 性和爆破性 j 数学理论与应用，2 0 0 2 ，2 2 ( 2 ) ：3 4 - 3 8 ，7 7 2 1 刘亚成半线性热方程整体解的存在性与非存在性 j 数学年 刊，1 8 a ，1 ( 1 9 9 7 ) ：6 5 7 2 2 2 l a d y z e n s k a j a 。0 a ，s o l o n n i k o v ，v a a n du r a l c e v a ，n n 。l i n e a r a n dq u a s i l i n e a re q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p e ，t r a n s l a t i o n so f m a t h e m a t i c a l m o n o g r a p h s ，2 3 ，a m e rm a t h s o c p r o v i d e n c e ， r l 1 9 6 8 2 3 k n o p s ，r j ，l e v i n eh a a n dp a y n el e ，n o n e x i s t e n c ei n s t a b i l i t y 3 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a n d g r o w t h t h e o r e m sf o rs o l u ti o n so fac l a s so fa b s t r a c t n o n l i n e a r e q u a t i o n