（应用数学专业论文）中立型积分微分系统非局部问题解的存在性.pdf

a u t h o r ：y a ng a o a p m ，2 0 1 1 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文 6 ， u ( u ) = j 了u ( u ，z t 汩( z ) 如，z 和d 分别表示恒等算子和微分算子，( ) = 伊附表示 关于u 的n 次微分 又如，t e r m a n 提出神经元网络也满足以下积分微分方程： jt ，t t = ，( u ，锄) + q 厶, x c x y ) 日( t i ) 一o ) d y ， 、她：叼( 牡，加) 因此，近年来越来越多的数学家、物理学家以及工程师研究这类系统解的存在性、正则 性、稳定性和能控性问题，详见文献【l 】- 【7 】，【1 0 】。 1 3 1 一【3 1 】，【3 4 】， 3 5 1 ，【3 7 】- 【3 9 】 华东师范大学硕士论文引言 较早出现的一类典型的积分微分方程是： 矿( t ) + e 2 ( t 叫( s ) d s = e 篮； 妒( o ) = 0 ，( o ) = 1 对这类积分微分方程的研究较为困难，早期人们对这类方程的研究仅仅停留在数值解的探讨 上。而对积分微分方程的基本理论方面的研究很少 对在中子迁移理论中出现的非线性积分微分方程的研究。可以认为是对积分微分方程的 基本理论研究的开端研究这类方程的重要方法就是将其化为b a n a c h 空间x 中如下形式的 积分微分方程： ，。) = a ( t 净 ) + r b 一s ) z 。) d s + y ) ， i z ( o ) = x 0 x ，t 0 1 9 8 2 年，g r i m m e r 等人在文献【1 8 。1 9 ，2 0 l 中研究了这类积分微分方程预解算子的存在性 和弱解的存在性，并通过预解算子表示出解的形式 九十年代初期，b y s z e w s k i 等人提出并开始研究非局部c a u e h y 问题正如文献【3 】及其所 附的参考文献中指出的那样，许多情形下，非局部条件z ( o ) + 夕( z ) = x 0 比局部条件z ( o ) = x , o 更能精确地描述物体运动状态文献【3 】和【8 】及其参考文献中讨论了非局部条件在不同领 域中应用的重要性例如，在文献【8 】中，为了描述在一个透明管中少量气体的扩散现象，方 程的初始条件中引入了下述式子 夕o ) = q z ( 南) 其中，q ，i = 0 ，1 ，p 是给定的常数且0 t o t l 知 a 在这种情况下，方程初始 状态还与在岛，i = 0 ，1 ，p 处的状态值有关联，从而更客观的描述了这一物理过程因而研 究非局部c a u c h y 问题不仅具有重要的理论价值也具有很强的现实意义到目前为止有关微 分方程非局部c a u c h y 问题解( 温和解、强解、古典解) 的存在性、唯一性、稳定性等已有 不少成果，详见文献【1 ，3 ，5 ，6 ，8 ，1 1 ，1 2 ，1 6 ，2 5 ，3 0 , 3 1 ，3 9 l i n 和l i u ( 见文献【2 7 】) 在b a n a c h 空间中研究了如下一类具有非局部条件的半线性积分 微分方程： ，邶) = 州卅f o t f ( t - s ) u 酬+ 胞俐，。t 耋正 i ( o ) + g l ，t p ，让 1 ) ，让( 知) ) = t l o ， 华东师范大学硕士论文引言 ，否df ( ，t t ) = 胛( t ，魄) + t b o s ) f ( s ，) 幽+ g ( t ，t t ) ，t 。， i 牡( o ) = 妒留， ，面d 。( t ，盈) = a 。( t ，砘) + t f 一s ) 。( ，忍) d s + ，( t ，玩) ，t 【0 ，明， iz ( o ) = 咖2 穷 j 蕊d 阶) 州锄) ) 】= a 阳+ t f ( h ) 如) 叫+ 小，碱z 。口瓴s ，删d s ) ， iz ( o ) = 知一口 l ，如，知，z ( ) ) ， i d z c t ) - g c t ，x t ) - ai s ( t ) + f ：f ( t - 咖( s ) d s d t + h ( t ，m r ) t i t + ，兢) 幽，t = 【0 ，刁， a x ( t k ) = 厶( 现。) ，k = 1 ，2 ，m ， l z ( o ) = i 男 华东师范大学硕士论文 引言 1 2本文主要工作 本文主要研究b 撇h 空间咒中如下一类具有非局部条件的中立性积分微分系统温和 解、强解以及严格解的存在性， j 面d 州扣m ) ) + 删= o 即- s ) 肌嘶m ) ) ，唧m ( 1 ) iz ( o ) + g ( z ) = x o ， 其中一a 是x 中一个解析半群的无穷小生成元，b c t ) 是映b a n a c h 空间五到自身的闭线性 算子，对f ，g ，h 1 ，h 2 的要求稍后给出 本文的出发点是使获得结果应用于如下系统： 晏卜( ，z ) + ，o ，z ( t ，z ) ，瓦0z ( t ，z ) ) = 面0 2z ( t ，z ) + z 6 一s ) 面0 2z ( s ，z ) 如 + g o 徘，矾昙砸，z ) ) ，。z “。冬t 正 z ( t ，0 ) = z ( t ，7 r ) = 0 ，t f 0 ，卅， 名( o ，z ) + 壹扛) z m ，z ) ：翔 ) ，o z 丌， 其中t 7 r ，p 是一个正整数，o t o t 1 o 紧的情况下通过考虑系统( 1 ) 的逼近系统( 1 0 ) 解的存在性 证明了系统( 1 ) 温和解的存在性在文献【2 5 】中，作者在预解算子( n c t ) ) 。 o 紧而且非局部条 件q 是全连续算子的情况下讨论了积分微分方程解的存在性本文借助文献【1 6 】的思想和 方法，考虑系统( 1 ) 的逼近系统： j 爰k ( t ) + f ( ，z ( - ( t ) ) ) 】+ 止( t ) = t b 一s ) z ( s ) d 8 + g ( 乞z ( ( 啪) ，t 【0 ，刀， iz ( o ) - i - r ( 三) 9 ( z ) = x o 其中g 是连续函数，此时我们看到该逼近系统的非局部条件r ( 击) 9 ) 已经是紧的，故可直接 利用凝聚算子不动点原理证明其解的存在性，进而通过极限方法给出了系统( 1 ) 温和解的 存在性，所获得的结论推广或发展了这一方向已有的结果 第四节，在假设b a m c h 空间x 是自反的前提下，利用其自反性及预解算子r c t ) 的性质， 在函数f ，g 和9 仅仅满足i i p s e h i t z 条件的情况下证明了温和解的l i p s e h i t z 性，从而获得了 其几乎处处可微性这里指出，我们所需要的条件对于解的正则性而言是较弱的 第五节，利用文献【1 1 ，1 2 】的思想和方法，在f 和g 二阶连续可微且关于第二变元满足局 部l i p s c h i t z 条件下利用g r o n w a l l 引理证明了系统( 1 ) 严格解的存在性 第六节，为了说明所获得结果的应用，作为一个例子，考虑下列积分微分系统： 晏 c 拈，+ z 霄口c 可( z 。血枷，+ 血( 南z c 咖，) ) 叫= 昙z c 扯， + t b ( t s ) 昙z ( s ，功d s + c c 纰 咖扯，瓦0z ( 柚) ) ) ，。z 7 r ，。t e z ( t ，0 ) = z ( t ，7 r ) = 0 ，t 【0 ，r l ， 枷) + 善( 桃，功= z o ( z ) ，o z 甄 ( 2 ) 其中t 7 r ，p 是一个正整数，0 t o 1 1 知 o 的无穷小生成元y 是由o c a ) 按照图范数l l y l l y = i i a u l l + i l y l l ，翟d ( 舢生成的 b a n a c h 空间令0 p ( a ) c a 的预解集) ，则可以定义分数幂算子个，0 q 1 ，显然它是其 定义域d ( 小) 上的闭线性算子子空间d ( 小) 在x 中稠并且范数按如下方式定义 0 2 0 a = i i a a z l l ，2 d ( a 口) 为书写方便，把空间( d ( 俨) ，1 1 i i 口) 记为k ，则对每一个0 q 1 ，五是一个b a n a e h 空间， 且当0 0 使得 i i r ( t ) l l n 和i i a r ( t ) l l 害，o t t , 0 a 1 ( 5 ) 本文我们假设预解算子( r ( t ) ) t o 是解析的进一步，我们要求对任给0 o l 1 ，小与n ( t ) 可交换，即， a 口r ( t ) = n c o x 尽管文献【5 ，2 5 1 中利用了俨与n c t ) 的可交换性，但一般来说，这种交换性是不成立的本 文指出这种交换是可实现的事实上，令b ( t s ) = b ( t s ) a 其中6 ( t ) 是定义在( o ，+ ) 上 的一个标量函数，则，线性系统( 3 ) 变为 净m a x 归r b ( t - s ) a x ( s ) d s ， 旧 i z ( o ) = a g o x 如果对系统( 6 ) 给出如下限定条件， 1 ，) a 在x 上生成一个解析半群特别地 a 1 = a c ：l a r 9 a i ( 7 r 2 ) + 矗) ，0 o 时，6 ( t ) 的h p l a c , e 变换6 ( 入) 绝对收敛 2 ，) 存在a = 入c ：i a r g , 入i ( 丌2 ) + 如) ，0 0 使得 | i g ( 轧z - ) - c ( t 2 ，勋) i i 0 时常r ( t ) 一致连续 定理3 2 假设( 日1 ) ，( 岛) ，( 竭) ，( 暖) ，( 日5 ) 成立且 耻m o o n + 1 ) + 等+ 孚) + 百c 。, t 1 - 脉1 - ( 8 ) 解的存在性 因此 s u pix l c 8 ) 一劫( s ) 0 a + n , 2s u pix 1 ( 8 ) 一z 2 ( s ) i i a o 5 t 0 o t + 。s u 。p ti i z - ( s ) 一现( s ) 1 1 口+ 万1t 芦c 1 一口。9 s u p ti i z l ( s ) 一z 2 ( s ) 1 1 口 + 等龇峰s u 圹pi i 如h ) 1 1 + 百c a t l _ n , 厶。剖州旷以) 1 1 l ic p x l ) ( t ) 一( p x 2 ) ( t ) l l c ( n m o l o + 如+ + 丢p q 一口+ 导妄尬+ 百c , , t 1 - l 。) 忙。( s ) 一以s ) 1 1 c ， 由( 8 ) ，对所有x l ，x 2 c ( f 0 ，刀，咒) 有 i l p x a n 2 i i c 岛l l x l x 2 1 1 0 又因为岛 1 ，所以尸是压缩映射由b a n a c h 压缩原理得p 在g ( 【0 ，t i ，墨) 有唯一一个 不动点，而该不动点就是系统( 1 ) 的温和解 1 0 华东师范大学硕士论文 温和解的存在性 耻n m o + + 孚+ 鲁尬) + n ( n ) 七，其中t ( 七) 表示t 华东师范大学硕士论文 温和解的存在性 依赖于七然而，另一方面，有 k i i ( q x 七) c t ) l l a 忙) 卜+ f ( 0 ，枷- ( 0 ) ) ) 一r ( 拟地+ i i 邢，玩( ) ) l i 口 + l l z 2 冗( t s ) 卜f ( s ，z 七( 7 l ( s ) ) ) 一z 。b ( s 一丁) f ( 丁，z 七( ( r ) ) ) 打+ g ( s ，z 七( ( s ) ) ) d s i i a i i i z 0 0 口+ ( 七+ 1 ) + ns u pi i g ( x ) l l qi + m o l o ( k + 1 ) lz e s ,j + ! l i 介一卢r o s ) a 芦f ( s ，z 七( 7 1 1 ( s ) ) ) l l ad s + z i i a r ( t s ) ozl i b ( s 一下) f h “h ( 7 - ) ) ) l ld r d s + 上鲰( s ) d s t一，t 【i l x o l l a + l o + 1 ) + n l k + m o l o ( k 十1 ) + 孚础+ 1 ) + 鲁m 1 础+ 1 ) + 知汕 在不等式两边同时除以k 并令k _ o o ，取极限可得 ( n m o + + 孕+ 鲁m ) + n ( n l 刊扎 这与题设( 9 ) 矛盾因此，存在正实数毛使得q n 风玩 第二步：接下来证明吼在凤上有一个不动点为此，令q n = 仉1 + 锄，其中骗1 ，q 们 在凤上分别按如下方式定义， 对0 t z ( q n l x ) c t ) = r ) f ( o ，z ( l ( o ) ) ) 一f ( t ，z ( l ) ) ) + r 一s ) a f ( s ，z ( 1 ( s ) ) ) d 3 ， ，暑 j 0 ( q 以z ) ( t ) = r ( t ) 知一冗( 三) 夕任) + z 冗 一s ) g ( s ，z ( i 1 2 ( s ) ) ) d s z r o s ) z 。口( s 一丁) f 竹，z ( 九，( 丁) ) ) d r d s ， 以下证明q n l 压缩而且紧 华东师范大学硕士论文温和解的存在性 为了证明q n l 是压缩的，任取x l ，x 2 玩，则对每一个t f 0 ，t 1 ，有 i l ( q 住1 z l 卅) 一【q 1 x 2 ) c t ) l l a i i r ( t ) a 一口渺f ( o ，z 1 ( 1 ( o ) ) ) 一a p f ( 0 ，z 2 ( 1 ( o ) ) ) l l q + j j a 一口i jj i a 卢f ( t ，z 1 ( ( 力) ) 一a 卢f c t ，z 2 ( 旭( t ) ) ) | j a + ta i - o r ( 汹) 朋f ( s ，州喇) ) 一f ( s ，以) ) 】d s l l t l 华东师范大学硕士论文温和解的存在性 并且 0 足够小，则 i l ( 钒2 z ) ( t z ) 一( z ) ( ，) i i a i i ( r i 妫一肌c ) 冗( 扣地 + l iz 缸r ( 乞一s ) 上。b ( s 一丁) f ( r , z ( h l ( r ) ) ) 打d s z “冗( t - 一s ) z 。b ( s 一下) f ( lz ( - ( 丁) ) ) 打d s l | + i i z 红r ( t 2 一s ) g c s ，z ( ，切( s ) ) ) 幽一z 厶冗 一s ) g ( s ，z c h i c s ) ) ) d s i i 口 i i r c t 2 ) 一r c t l ) l l 【i l x o l l a + n i i g c x ) l l 口】 + i r ( t 2 一s ) 一r ( h s ) 0 i i b ( s r ) f ( r ，x c h l c r ) ) ) l l a 打d s + i i r c h s ) 一r ( t l s ) l l ! i i s ( s r ) f ( r , x ( h 1 c r ) ) ) l l nd r d s + 删盹_ s ) 肛盹m 小) ) ) 打卜 + i i r c t 2 一s ) 一r ( t l s ) l ll i g ( 8 ，z ( ( s ) ) ) i l 口凼 + i i r c h s ) 一r ( t l s ) l | i i g c 8 ，z ( k ( s ) ) ) 0 口d s + i r c t 2 一s ) g ( s ，z ( i 1 2 ( s ) ) ) 忆幽 注意到l i g c 8 ，z ( 2 ( s ) ) ) 忆鲰( s ) 并且鲰( s ) l 1 ，又根据条件( 日o ) ，( r ( 亡) ) t o 的紧以 及小( r ( t ) ) t 0 关于t 一致算子拓朴连续，可得对任意z 最。当如一t l _ 0 时有 i i c q ，1 2 x ) c t 2 ) 一( q 2 x ) c t l ) l l a 一0 同理，可以证明函数族 q 1 2 z ，。鼠) 在t = 0 处也等度连 续因此_ 【( q 吡z ) ( ) ，z 风c ( 【0 ，卅，咒) 等度连续 现在，证明对固定的【0 ，卵，集合 ( q 。2 x ) c t ) ，z 风) 在k 中相对紧 若t = 0 ，( q 帕z ) ( o ) = z o r ( 击) 夕( 。) ，显然9 扛) 在玩中有界，因此在= 0 时成立 若t ( o ，卅，0 q 0 f ， l l 口 + i i f ( t ，( 1 ( t ) ) ) 一f ( o ，( j l l ( o ) ) ) 0 o t _ 0u n i f o r m l ya st 一0 ， 1 8 华东师范大学硕士论文 温和解的存在性 由d ( o ) = 知一r ( 击) 9 ) ：d ) ：。相对紧以及a 一卢的紧性得集合d c ( 【0 ，卅，墨) 在t = 0 处等度连续，假设当n o o 时_ 矿c ( 【0 ，卅，墨) 由定义3 1 解的表达式，有 ( t ) = r c t ) i x 0 + f ( o ，( l ( o ) ) ) 一r ( 云冶( ) l f c t ，( 7 1 1 ( t ) ) ) + z o tr ( t s ) 【a f ( s ，z n c 7 l ( s ) ) ) 一z 。b ( s 一丁) f ( r ，( ( r ) ) ) + g ( s ，( ( s ) ) ) d s ， 0 t z 当n _ 时在两边同时取极限，得 矿 ) = r ( t ) + f ( 0 ，矿( 危1 ( o ) ) ) 一夕0 ) 】一f ( ，矿( ，1 1 ( t ) ) ) + f o tr ( t s ) 卜( s ，矿( ( s ) ) ) 一z 。b ( s 一丁) f h 矿( - ( 丁) ) ) + g ( s ，矿( 7 1 2 ( s ) ) ) 凼， t 【o ，刁，这说明系统( 1 ) 有一个温和解矿( t ) 1 9 华东师范大学硕士论文强解的存在性 4 强解的存在性 首先给出系统( 1 ) 强解的定义 定义4 1 函数z ( ) c ( 【0 ，卅；五) 被称之为系统( 1 ) 的强解，如果 ( i ) z 在x 中关于t 【o ，卅几乎处处可微，并且，l 1 ( 【0 ，刀，x ) ； ( 埘z 在( o t l 上几乎处处满足 丢陋( t ) + f ( 亡，z ( ( 啪) 】+ 止( t ) = b 一s ) z ( s ) d s + g ( t ，z ( 也( 功) 和 z ( o ) + g ( x ) = x o 定理4 2 令x 是一个自反的b a n a c h 空间，假设系统( 1 ) 满足条件( 凰) 一( 飓) ，( 瞒) 和 ( 日二) ，f ( 【o ，邪咒) d ( a ) ，函数a f ( o ，) ：k x 映有界集到有界集并且下列条件成 立： ( 日6 ) x o d 似) ，g ( x ) d 似) ； ( 胁) 存在常数0 1 1 ，如1 ，使得i l 鬼- ( t ) 一7 l l | 厶忙一_ i ，i = 1 ，2 ； ( 风) m ：= ( + 丢q 一卢矿+ 兰尬) z 。+ 导妄工。1 2 1 ( 1 - ) 则，系统( 1 ) 在【0 ，卅上有一个强解 证明令p 是定理3 2 中所定义的算子对某个正常数七和足够大的口考虑集合 磁= z c ( 【0 ，卅，k ) ：i i z i i c 七，i i z ( t ) 一z ( s ) i i 口i t - s i ，s 【o ，卅) 显然磁是一个 非空的闭凸集接下来证明p 在磁上有一个不动点由引理3 4 的证明易知对任意z 磁， 有 i i c p x ) ( t 2 ) 一( n ) 0 1 ) 0 工。l 如一1 1 1 ，如，t l 【0 ，t 1 一f o t l r ( t 一s ) z 。b ( s 一下) f ( 丁，z ( ( 丁) ) ) 打d s 0 + 讹- s ) g ( s ，如( s ) 眦一小m _ s ) g ( s ，z c h i c s ) ) ) 幽0 l l r c t ，) 一冗( 1 ) 】+ f ( 0 ，z ( l ( o ) ) ) 一9 缸) 】0 + i i a 一口一a i i i i f c t 2 ，z ( ，1 1 ( t 2 ) ) ) 一f l ，z ( 九l l j c l ) ) ) i i a 卵 + i if ? a t 一s ) + a f ( s + t 2 - t l , z ( t ( s + t 屹- t 1 ) ) ) 一f ( s ，z ( 7 l - ( s ) ) ) 】d s + z 0 t 2 - t ta x _ o _ , , r ( 如_ s ) a 脚f ( s m 1 ( s ) ) ) 凼l | + ( 如一s ) a 纠。口f ( s ，z ( ，l l ( s ) ) ) 凼| i + i i o , t - 一s ) z 。b ( s 一下) 【f ( r + t 2 - t x , x ( | l - ( r + t a - t 1 ) ) ) 一f ( r ，z ( - ( 丁) ) ) 】打幽 + z h 聊- ) ， 。t 2 - t , b ( s + 如- - t l - - 7 ) 即，m ( 丁) ) ) 打d s + j a t 2 - t r ( 如一s ) 厂。b ( s r ) f ( r ，z ( ( 丁) ) ) d r d si d0d 0ii + 1 1 o 1 , t - 一s ) 【g ( s + t 2 - - t l , x ( 圯( s + 如一t ) ) ) 一g ( 3 ，z ( k ( s ) ) ) 】幽 + z o t - t r ( 卜s ) g “北( s ) ) ) d sli 2 1 华东师范大学硕士论文 强解的存在性 因为 = 峪耶) + f ( 吣陬( 0 ) ) ) _ 咖酬 = i lr 2 一冗 ，a b + f c o ，z c c 。，一夕 ， + f o r ( t - s ) b b 州吣m 州z ， 十j l 【n i i a z o + f ( o ，z ( 1 ( o ) ) ) 一夕( z ) 】i | + n m l t i i x o + f ( o ，2 ( l ( o ) ) ) 一g ( x ) l l 口】i t a t 1l i i p z ( t 2 ) 一p x ( h ) l i i n i i ax o + f ( o ，z ( 1 ( o ) ) ) 一夕( z ) 】l l + n m i t i i x o + f ( o ，z ( _ 7 1 1 ( o ) ) ) 一g ( z ) l l a 】l t a t l l + i i a - - f l - - a l l z o l t 2 一i l l + m o l o l z l l 如一1 i + 赤岛母n 矿+ q z o l t 2 一t l l + 去a 一口t 芦l o l f 1j 岛一t l i + 万毛a 一卢一a 厶1 ( 七+ 1 ) 1 t g 托一瑶托i + 7 a n m l l l l o l t 2 一t l l + = i m l l o l 4 1 1 i t 2 一t l l + 2 n m l l o t ( k + 1 ) 1 t 2 一l i + 删三l i t 2 一t l l + 竿百工l f 如i 易“i + n ( k + 1 ) l t 2 咱i ( 伊+ ( + 丢q 一芦矿+ 啬尬) z + 导等l t 如 r ) i 如一吼i 其中c 是与l 。和z 磁无关的常数由( 1 1 ) ，只要l 足够大( 壬瓷) 就有l i p x ( t 2 ) 一 p x ( h ) l is 口i t , 一t 1 1 因此，p 在磁上有一个不动点z ，而该不动点就是系统( 1 ) 的温和解 解 华东师范大学硕士论文 强解的存在性 对这个温和解z ( ) ，令 f ( t ) = r c t ) i x o + f ( 0 ，z ( 1 ( o ) ) ) 一9 ( z ) 】， p ( t ) = 冗o s ) a f ( s ，z ( 7 1 1 ( s ) ) ) d s ， g ( t ) = t r ( t s ) z 。b ( s 一丁) f ( l z ( 7 l - ( r ) ) ) d r d s ， ，( t ) = 冗 一s ) g ( s ，z ( k ( s ) ) ) d s 则，根据假设条件，易得它们在x 中都是i , i p s c h i 仃连续由z 在【0 ，卅是l i p s c h i t z 连 续并且x 是自反的b a n a c h 空间，得到z ( ) 关于t ( o ，明在x 中几乎处处可微并且 ( - ) 工1 ( 【0 ，刀，x ) 同理可得，( t ) ，p c t ) ，g ( t ) ，r ( t ) 也具有这些性质另一方面，( 见文献【1 1 】) ， 有，( t ) ，p c t ) ，q ( o ，r ( t ) d ( a ) ，并且 f ( t ) = n c t ) 2 7 0 + f ( 0 ，z 【危1 ( o ) ) ) 一9 ( z ) j = 一r ( t ) a2 7 0 + f ( 0 ，z ( ，l l ( o ) ) ) 一9 ( z ) 】+ r 一5 ) b ( s ) + f ( 0 ，z ( 1 ( o ) ) ) 一9 ( z ) 】d s ，( ) = a f ( t ，z ( 1 ( t ) ) ) + r c t s ) a f 0 ，z ( l ( s ) ) ) d s p t = a f ( t ，z ( 1 ( t ) ) ) 一a r 一s ) a f o ，z ( 1 ( s ) ) ) 凼 ，o + 厂r 扣。r ( t - s - r ) b ( 丁) a f ( 舭( 。( s ) ) ) d r 如， j 0 j 0 g c t ) ：厂b ( t - s ) f ( s ，z ( 。( s ) ) ) d s + 厂尼 一s ) 厂。b ( 8 - - t ) f nz ( 1 ( 7 ) ) ) 打幽 j oj oj 0 = z b 一s ) f ( s ，z ( ( s ) ) ) d s t r ( t s ) a z 。b ( s 一丁) f ( 丁，z ( 7 l t ( 丁) ) ) d r d s + f o ti f - r ( t - - 3 - - 牡) 脚) f 耶叫竹“下) ) ) d r d u d s r ，( t ) = g ( t ，z ( ( t ) ) ) + n c t s ) g 0 ，z ( 忆( s ) ) ) 凼 t t = g ( t ，z ( ( t ) ) ) 一r 一s ) a g ( s ，z ( ( s ) ) ) d s - ，o ，zt t - - a + il r ( t - s r ) b ( r ) g ( r x ( h _ 2 ( r ) ) ) d r d s j 0 j 0 + rb c t 一3 ) z 。冗( s 一丁) g z m ( 丁) ) ) 打出+ g ( t ，z ( 啪) = 一止+ z 即- 3 ) 小) 出+ g 心z ( 啪) ) ) 这表明z ( ) 是系统( 1 ) 的一个强解证毕 华东师范大学硕士论文 严格解的存在性 严格解的存在性 在这一部分，利用g r o n w a h 引理给出系统( 1 ) 严格解的存在性结果 定义5 1 函数z ( ) ：【0 ，卅_ d ( 小) 被称之为系统( 1 ) 的严格解，如果： ( i ) z ( - ) + f ( ，z ( 1 ( ) ) ) c 1 ( 【0 ，卅，咒) nc ( 【0 ，卸，五) ； ( i i ) 对t 【0 ，列，z ( ) 满足系统( 1 ) 首先给出如下假设： ( 月- 9 ) f g 1 ( 【0 ，卅五；x ) ，并且偏导数d 1 f ( ，) 和d 2 f ( - ，- ) 关于第二变元满足局部 l i p s c h i t z 条件另外，f ( 【o ，t i ，五) d ( a ) 连续可微 ( 研o ) g c 1 ( 【0 ，卅五；x ) ，并且偏导数d 1 g ( ，) 和现g ( ，) 关于第二变元满足局部 l i p s c h i t z 条件 ( 研1 ) 1 ( ) 和k ( ) 在【o ，明上连续可微并且对t 【0 ，t i ，鬼( t ) t 令i 磁l = s u p o 【o ，卵l h ：c t ) l ，其中i = 1 ，2 定理s 2 假设( 研) ，( 玛) ，( 刀1 9 ) ，( 凰o ) 和( 研1 ) 成立此外，g ：c ( 【o ，卅，k ) _ x 连续可 微令z ( ) 是系统( 1 ) 的温和解如果z ( o ) + f ( o ，z ( o ) ) d ( a ) ，则z ( ) 是系统( 1 ) 的严格解 证明令z ( ) 是系统( 1 ) 的温和解这个解我们可以通过定理3 2 或3 3 获得则利用严 格压缩原理，存在唯一一个函数y 使得： y ( t ) = r ) - a x o - g ( z ) + f ( o ，z ( o ) ) + 日( o ，z ( o ) ) ) + z r 一s ) b ( s ) i 知一9 ( z ) + f ( 。，z ( 。) ) l 如 其中 s ) ) + d 2 h ( s ， f ，z c ，l ，c 亡，! ，c ，c ， - c t ， ， ，t h ( t ，z ) ) = a f ( t ，z ( 1 0 ) ) ) 一b ( t s ) f ( s ，z ( l ( s ) ) ) d s + g ( s ，z ( ，如( s ) ) ) ，0 ( 1 2 ) 烈 仇 + h ” 1、i， 仇 p。l 1 - ，川l h s 飞 q 双 一 ， “ ，l p 取 ， t ，一 广厶p 十 一 严格解的存在性 个函数z ( ) ，l z c t ) = x o 一9 ( z ) + 耖( s ) 幽t 【0 ，卅 ，0 t 【0 ，卅，它表明z ( t ) 就是系统e q ( 1 ) 的严格解由箩( t ) 的表达式， 一z f d 耶，删s m + 现耶舳m c ，怕，卜 = r 一冗c s ，a 知一夕。，+ f ，z ， + z 。r c s r ，b c r ， 知一夕 ，+ f ，z c 。， 打) d s + z z 。冗。一r ，p ，日c l z c r ，+ 岛日c l z c 丁，y c 丁， 打如 一z i d t 耶舳，+ 伤耶，删s 啪删枷郴，卜 = z 踯，卜叫卅邢删， d s + f o t r 即，删出 + z z 。r 。一下，p 日z c 打，+ 现日c 丁，z c 丁，秒c f ) 打d s z 2 卜 删枷，+ 玩耶，州s m 删s ，郴，卜 = 冗c t ，p 。一9 c z ，+ f c 。，z c 。， - x o + 9 c z ，一f c 。，z c 。，+ f o t r c s ，日c 。，z c 。，d 3 + z 2 z 。冗c s r ，卜日c 丁，z c 丁，+ 玩日c lz c r ，c 丁， 打幽 一z d t 耶舳，+ 现耶矾m c 喇，怕， 幽， 在性 ( 1 3 ) ( 1 4 ) z 。兄c s ，日c 。，z c 。，d s = z ：t ss ，日c s ，z ? ，幽 。匀 一z r ( s 一下) d - 日( ，z ( r ) ) + 占1 2 日( 兀名( 丁) ) 秒( r ) d r 幽、1 j 华东师范大学硕士论文 由于z ( o ) = z ( o ) ，把( 1 4 ) 和( 1 5 ) 代入( 1 3 ) 得 严格解的存在性 a c t s ) 日( s ，z ( s ) ) d s 因此 z c t ，一z c t ，= r c t , x ( h l ( o ) ) - f c t , z c h l c t ，) + f o 。a ( t - s ) ( 日。，z 。，一日c