（应用数学专业论文）关于多项式函数与置换多项式的研究.pdf

四川大学博士学位论文 关于置换多项式和多项式函数的研究 应用数学专业 博士研究生蒋剑军指导教师孙琦教授 摘要 本文主要讨论了有限交换环上的多项式函数和置换多项式，得到了一系列 的结果。 首先，我们讨论了剩余类环z 向2 z 上的多元奇异置换多项式，得到了两个 结果：一是得n t 奇异的多元多项式成为环z ；。z 上的置换多项式的一个充要 条件，二是得到了一类典型的多元奇异置换多项式。这两个结果将张起帆等人 的相关结果推广到了一般情形。 然后，我们讨论一般有限交换环上关于多项式函数的两个基本问题：多项 式函数的判别问题和多项式函数的个数问题。对前者我们给予了完整的回答， 所得结果是k e m p n e r 、张起帆等人相关结果的一般性推广i 对后者我们给出了 多项式函数和置换多项式两者个数之间的一个一般关系式。此外，我们还将某 些结果推广到了多元的情形。 最后，我们将整数环z 上的p - a d i c 展开式推广到了整系数多项式环z 旧 上的j - a d i c 展开式。一方面，这个结果有其理论上的意义：另一方面，利用 j - a d i c 展开式可给出环z p - z 的非平凡的化零多项式( 这在k 理论中有着重 要的应用) ，而且在计算环z 肋“z 上的多项式函数的个数等领域有其应用。 关键词有限交换环置换多项式多项式函数j - a d i c 展开式 一t 一 四川大学博士学位论文 r e s e a r c ho np o l y n o m i a lf u n c t i o n sa n dp e r m u t a t i o np o l y n o m i a l s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：j i a n gj i a n j u ns u p e r v i s o r ：s u nq i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a k ei n v e s t i g a t i o n so np o l y n o m i a lf u n c t i o n sa n dp e r m u t a t i o n p o l y n o m i a l so v e rf i n i t ec o m m u t a t i v er i n g sa n ds e v e r a lr e s u l t sa r eo b t a i n e d ， f i r s t l y ，w ed i s c u s ss i n g u l a rp e r m u t a t i o np o l y n o m i a l si ns e v e r a lv a r i a b l e so v e rt h e r i n gz ；za n dt w or e s u l t sa r eo b t a i n e d ：o n ei sas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n f o ras i n g u l a rp o l y n o m i a li n 几v a r i a b l e st ob eap e r m u t a t i o np o l y n o m i a lo v e rz ；。zi s o b t a i n e d ；a n dt h eo t h e ri sac l a s so fc l a s s i cs i n g u l a rp e r m u t a t i o np o l y n o m i a li ns e v e r a l v a r i a b l e sa r es h o w n t h e s et w or e s u l t sg e n e r a l i z et h er e l a t i v eo n e so fq z h a n g ，c t c ， t og e n e r a lc a s e s s e c o n d l y ，s o m ed i s c u s s i o n sa r eg i v e nt ot h et w ob a s i cp r o b l e m so np o l y n o m i a l f u n c t i o n so v e rf i n i t ec o m m u t a t i v er i n gr w h e nd o e saf u n c t i o no v e rrb e c o m ea p o l y n o m i a lo n e ? w h a ti st h en u m b e ro fp o l y n o m i a lf u n c t i o n so v e r 兄? w eg i v ea c o m p l e t ea n s w e rt ot h ef o r m e ra n do u r r e s u l ti sag e n e r a l i z a t i o no ft h er e l a t i v eo n e so f k e m p n e ra n dq z h a n g ，e t c a sf o rt h el a u e lw eo b t a i nar e l a t i o nb e t w e e nt h en u m b e r o fp o l y n o m i a lf u n c t i o n sa n dt h a to fp e r m u t a t i o np o l y n o m i a l so v e rr a d d i t i o n a l l y w e g e n e r m i z es o m er e s u l t st ot h ec a s et h a tf u n c t i o n sa l ei ns e v e r a lv a r i a b l e s f i n a l l y ，w eg e n e r a l i z et h ep a d i ce x p a n s i o no fa ni n t e g e rt ot h ed a d i ce x p a n s i o n o fap o l y n o m i a li nt h er i n gz 时t h i se x p a n s i o nn o to n l yh a st h e o r e t i cs e n s e ，b u t a l s oi sa p p l i e dt os u c ha r e a sa so b t a i n i n gn o n t r i v i a la n n i h i l a t i n gp o l y n o m i a l so ft h e r i n gz p z ( t h i sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nk - t h e o r y ) a n dc o m p u t i n gt h en u m b e ro f p o l y n o m i a lf u n c t i o n so v e rt h er i n gz vo z ，e t c k e yw o r d s ：f i n i t ec o m m u t a t i v er i n g ，p e r m u t a t i o np o l y n o m i a l s ，p o l y n o m i a lf u n c t i o n s ，j a d i ce x p a n s i o n ， i i 四川大学博士学位论文 刖舌 早在1 8 0 1 年，g a u s s 在其名著算术探讨( d i s q u i s i t i o n sa r i t h m e t i c a e ) 中 对完全剩余系进行研究时就有了置换多项式概念的萌芽。自1 8 6 3 年h e r m i t e 首先研究置换多项式的一般理论以来，经过早期的d i c k s o n 、c a r l i t z 、n 6 b a u e r 等及当代的n i e d e r r e i t e r 、孙琦、万大庆、张起帆、l e n s t r a 、f r i s h 等学者的努 力，置换多项式理论已从有限域到一般有限交换环，从单变元到多变元，从 置换一个域或环的元素到置换一个域或环上的矩阵( 见 1 6 , 5 3 ) ，发展为数论的 个枝繁叶茂的分支。至1 9 9 1 年，关于置换多项式理论的成果主要收集在专 著 1 1 , 2 3 , 4 0 , 4 1 , 4 3 及里。1 9 9 0 年以后，关于置换多项式理论的成果则体现为 代数数论、算术代数几何等数学分支的一些最新成果引入到置换多项式的研究 中使得关于置换多项式的若干著名猜想得以解决，例如：1 9 9 0 年，c o h e n 2 1 1 解决了c h o w l a 和z a s s e n h a u s 于1 9 6 8 年提出的一个著名猜想；1 9 9 4 年，f r i e d g u r a l n i c k s a x l 证明了著名的c a r l i t z 猜想；1 9 9 5 年，l e n s t r a 证明了比 c a r f i t z 猜想更广泛的w a n ( 万大庆) 猜想1 5 4 】i2 0 0 3 年，张起帆f 5 6 j 部分地回答 了n i e d e r r e i t e r 提出的一个公开问题：等等。 应该指出，关于置换多项式的讨论，迄今仍以元情形居多，对多元置换 多项式，也多限于有限域上的研究，而剩余类环上的多元置换多项式，前人的 研究成果则相对较少。对于有限交换环上的多项式函数的研究成果也己一元为 主，多元情形并不多见。本文则以多元为主，首先对剩余类环上的( 奇异的) 多 元置换多项式进行了有着一定深度的讨论，然后讨论了一般有限交换环上的多 项式函数的判别问题。 设z 为整数环，m ，n z 且m l ，n 0 。又设，( 。1 ，z 。) 为一整系数 礼元多项式。若对任给a z ，同余式 ( z l ，t 一，。) 三口( m o dm ) 恰有m ”1 个解模m ，则称，为模m 的一个n 元置换多项式( 简记为p p ) ，或 四川大学博士学位论文 称为环z m z 上的p p 。如果整数组( a 圹，a 。) z 竹满足同余式组 a f 善三0 ( m o dp ) ，i = 1 ，礼， u x i 则称( n h 一，o 。) 为多项式f 模p 的奇点，这里阮o _ q z ( 有时也用厶。) 表示f 对孔 的偏导数。有奇点的多项式称为奇异多项式。 当n = 1 时，n s b a u e r 【4 6 】得到了如下结果： 设m = 兀釜1 p ：。为m 的标准分解式，f 1 为一整数。则 ( i ) ，) 为模m 的p p 当且仅当，扛) 为模硅的p p ，i = 1 ，一，s ； ( i i ) ，( 。) 为模p 。的p p 当且仅当，( z ) 为模p 的非奇异的p p 。 n 6 b a u e r 的上述结果把模仇的一元置换多项式简化到模p 的情形。人们自 然要问如下 问题1 1 对多元置换多项式是否有类似结果呢? 孙琦和万大庆d 2 1 证明了：j ( i ) 可推广到多元的情形，而l ( i i ) 则不能，原 因是z m z 上有奇异的多元置换多项式。从此开始了对z m z 上奇异的多元置 换多项式的研究。首先作此尝试的是张起帆，他在文 1 3 】中得到了奇异的二元 多项式成为模p 。的置换多项式的一个充要条件，并给出了一类典型的二元奇异 置换多项式，即得到了如下两个结果： 2 设，( z ，y ) z ky 。若，的所有奇点满足 11 言厶。兰厶9 三；丘，三0 ( m o dp ) ， 则，是模p ( f 2 ) 的p p 当且仅当，是模p 2 的p p ，且下述同余式组无解： 厶三0 ( m o dp 2 ) ，矗兰0 ( m o dp 2 ) 3 设，( z ，y ) = ，1 ( z ，) + p a ( x ，) ，f 1 ，f 2 z x ，y 。贝0 2 一 四j i 大学博士学位论文 ( i ) ，为模p 2 的p p 当且仅当 ，2 构成模p 的正交组； ( i i ) ，为模p4 ( 1 2 ) 的p p 当且仅当，为模p 2 的p p ，且下列同余式组 无解： f p - 1 面0 5 + 瓦0 1 2 = 。( r o o dp ) ，f l p - 1 百o f l + 筹兰。( m o dp ) 作为结果珀推论，张起帆给出了一个是模p 2 的但不是模p 3 的p p 。这些 结果表明，多元置换多项式比一元置换多项式要复杂得多。 胡永忠试图把张起帆的上述结果推广到一般n ( n 2 ) 元的情形，但都只取 得了部分成功，详见文献【2 和 3 1 。 由于结果2 、结果3 的特殊性及胡永忠对这两个结果推广的不完全成功，人 们自然要问如下 问题1 2 在一般礼( 礼 1 ) 元的情形，能否得到一个充分必要条件，使得 结果2 是它的特例? 能否得到一类典型的礼元奇异多项式，使得结果3 是它的特 例，并且包含了结果l ( i i ) ? 在第一章我们解决了这些问题，得到了如下两个较为深刻的结果： 定理1 6 设u ，n 为正整数满足2 礼 2 u ) 的p p 的充要条件 +u 2 一一 一 心 矿 d 川岫 四川大学博士学位论文 是，为模p 2 “的p p 且下述同余式组无解 厶，；0 ( r o o dp u + 1 ) ，i = 1 ，一，v t 定理1 7 设，是一个具有如下形式的礼元整系数多项式 ，( z l ，茁。) = 筇“( z 1 ，z 。) + p 开( 茁1 ，z 。) + + p u a ( x l ，z 。) 其中u ，札满足0 u i t + 1 时，为模p2 ( 1 让+ 1 ) 的尸尸的一个充分条件是，为 模p “+ 1 的p p 且下述同余式组无解： 摇。1 差+ 1 。1 差卜+ 罄三。( m o d p ) ，i = b 一，n ( i i i ) 当n = + 1 时，( i i ) 中充分条件同时也是必要的，即 ，为模p ( f u + 1 ) 的p p 当且仅当，为模p u + 1 的p 尸且( i i ) 中同余式组无 解。 关于有限交换环上的多项式函数，虽然对它的系统研究比有限交换环上的 置换多项式理论出现稍晚一些，但后者依然是前者的一部分。对有限交换环上 多项式函数的讨论，主要集中在两个基本问题上。 设a 是个一般的有限交换环，a x 是a 上的多项式环。a 到其自身的 一个映射称之为a 上的一个函数。设y 为a 上的一个函数，若存在a z 1 中的 多项式，( z ) ，使得对a 中的任一元口。有v ( a ) = ，( a ) ，则称y 为一个多项式函 数。若a x 】中的多项式p ( z ) 诱导出a 上的一个】一1 映射，则称p 知) 为a 上 的个置换多项式。 对于有限交换环以上的多项式函数，引起众多学者兴趣的问题主要有两 个，个是a 上的函数满足什么条件时成为一个多项式函数? 另一个是a 上 一4 一 四川大学博士学位论文 有多少个多项式函数? 第二个问题还包含一个子问题，即a 上等价的置换多项 式类有多少个? 这两个问题都可约化到有限交换局部环r 上讨论。 对于第个问题，对某些特殊的有限交换局部环，如当r = z p z 时，k e m p n e r 【3 7 】、c a r l i t z 【1 8 】、r o s e n b e r 9 1 4 8 1 等学者证明或重证了下述结果： 4 设，是一个环z p z 上的函数，则，是一个多项式函数的充要条件是 存在z p z 上的f 个函数，o ， ，f 一1 ，满足任给3 7 ，sez ，有 ，( z + p s ) 三1 0 ( 3 7 ) + f , ( x ) p s + - + 一1 扛) ( p s ) 。1( r o o dp ) 当r = 口7 r d 时，张起帆1 5 7 1 得到了下述结果： 5 设口是一个p - a d i c 整数环，其中p 不分歧，f 是环d p 。d 上的 个函数。则，为一个多项式函数的充要条件是存在v p 。口上的? 个函数 ，o ， ，f 一，满足任给z ，口，有 ，如+ p s ) 三，o ( z ) + f 1 ( z ) p s + - + ，i 一1 扛) ( p s ) 卜1( r n o dp 。) 受到张起帆对结果5 的证明的启发，蒋剑军、彭国华、孙琦与张起帆本人 一起，在本文第二章得到并证明了 定理2 9 设r 是一个有限交换局部环，其极大理想为m ，且是使得等 式m = 0 成立的最小正整数，是r 上的个函数。则，是多项式函数的充 要条件是存在个r 上的函数，o ， ，一1 ，使得对任意的3 7 r 及任意 的8 m ，有 ，( z + s ) = ，0 ( z ) + ( 。) s + - + f u 一1 0 ) s 。一1 定理2 9 大大地推广了k e m p n e r 、张起帆等人的相关结果，也彻底解决了 一般有限交换环上的一个函数何时成为多项式函数的问题。 对于第二个问题，我们给出了一般有限交换环上的多项式函数的个数与置 一5 一 四川大学博士学位论文 换多项式的个数之间的一个关系式，从而只需考虑r 上多项式函数的个数问 题。 对于数的级数形式的展开，众所周知，任给整数m z ，m 可表为如下形 式且表达式唯一： m = a o4 - a l p + 0 2 矿+ t - + o n p “+ - 一，0 冬n tsp 一1 ，i = 0 ，1 ，2 后来由于完备化的需要和理想的因式分解的困难性而导致的局部化思想的 出现，使得上述展开式有了越来越多的推广。本文第三章将z 上整数的p - a d i c 表示给出了另一种形式的推广，即将它推广到了z 旧上，得到了 定理3 1 任给f ( x ) z m ，f ( x ) 有如下形式的展开式且展开式唯一： ( x ) = ( z ) + 巩( z ) j + 巩( 。) j 2 + + 巩( z ) j “+ 其中砜( 。) z i x ，j “= 沙，p ”1 ( x p z ) ，( x p 一。) n 】( z 州是一 个给定的n + 1 维向量，l k 扛) = 让。扛) ，u l 扛) ，“。( 。) 】( z 陋 ) n ”，而 ( z ) j 4 = ：o p ”2 ( x p z ) i u 。( z ) 则是两个礼+ 1 维向量的内积。 定理3 1 一方面有其理论上的意义，另一方面利用j a d i c 展开式我们可 给出环z p “z 非平凡的化零多项式( 这在k 理论中有重要的应用) ，而且在计 算剩余类环上多项式函数和置换多项式的个数等领域也有着重要的应用。 6 一 四川大学博士学位论文 第一章剩余类环上的多元置换多项式 有限交换环上的置换多项式理论是一个在组合、图论、编码学、密码 学等领域有着广泛应用的数论分支。早在1 8 0 1 年，g a u s s 研究完全剩余系 就有了有限交换环上置换多项式概念的萌芽。1 8 6 3 年h e r m i t e 首先研究黄 换多项式的一般理论，之后许多数学家对这一理论产生了浓厚的兴趣， 做出了重要的贡献。如1 8 9 6 年，d i c k s o n l 2 2 1 在他的博士论文中给出了第 一类非平凡的置换多项式一一d i c k s o n 多项式，还有万大庆、孙琦、张起 帆、c a f l i t z 、n i e d e r r e i t e r 、n s b a u e r 、l i d l 等国内外知名的学者在该领域硕果累 累，而且新成果仍层出不穷( 见1 1 4 , 3 9 , 4 2 , 4 7 , 5 7 , 5 8 1 ) 。在该理论的1 4 0 多年的发展历 程中，代数数论、代数几何、p a d i c 数域及p - a d i c 分析等数学分支的观点和方 法不断的被引入到置换多项式的研究中，使得该理论已成为现代数学中与数 论、代数、几何及组合学有着紧密联系的一朵奇葩。因此，置换多项式的研究 有着十分深刻的理论意义。不仅如此，自1 9 8 4 年l i d l 及m u l l e r 将其引入到公 开密钥体制之后，置换多项式还在信息安全领域有着广泛的应用前景，置换多 项式理论在此阶段也得到了迅速的发展。因此，置换多项式的研究又有着实际 的意义。 应该指出，在置换多项式丰富的成果中，大部分讨论的是一元的情形，关 于多元置换多项式，特别是环z m z 上的多元置换多项式，前人的研究成果还 相对较少，当然关于环z m z 上的多元奇异置换多项式的研究成果就更少了。 本章对环z m z 上的多元奇异罱换多项式作了有着一定深度的讨论。在第二章 中我们将对般有限交换环上的多元奇异置换多项式进行一定程度上的讨论。 1 1 引言 首先回顾一下剩余类环z m z 上置换多项式的概念。 设z 为整数环，m ，n 是两个正整数且m 1 。又设f ( x l ，z 。) 为一整 一7 一 四川i 大学博士学位论文 系数扎元多项式。若对任给a z ，同余式 ，( z 一，z 。) ；a ( m o dm ) 恰有m ”1 个解模m ，则称，为模m 的一个n 元置换多项式( 简记为p p ) ，或 称为环z l m z 上的p p 。 更一般地，设f l ( x 1 ，z 。) ，a ( x ，z 。) 为女( n ) 个整系数礼元多 项式。若对任给a l j - ，a k z ，同余式组 ( x l ，一，。n ) 三a l ( r o o dm ) ( z ，。) ea k ( m o dm ) 恰有m “一个解模m ，则称f l ，a 构成模m 的个正交组，或称为环z m z 上的一个正交组。关于置换多项式及正交组的详细知识请见1 或【4 ”。 如果存在凡元整数组( o 圹一，a 。) z 几满足同余式组 差三o t o o d p ) ，n 则称( a l ，o n ) 为，模p 的奇点，这里瑟( 有时也用厶，) 表示，对毛的偏导 数。有奇点的多项式称为( 模p ) 奇异多项式，否则称为( 模p ) 非奇异多项式。 当n = 1 时，即对于一元置换多项式的情形，n 6 b a u e r 4 6 证明了下述结 果： 定理1 1 ( j ) 设m = 兀：。d 为m 的标准分解式，则，( z ) 为模m 的p p 当且仅当f ( x ) 为模p j ，的p p ，i = 1 ，s ； ( i i ) 设整数f l ，则，( z ) 为模p 的p p 当且仅当，( z ) 为模p 非奇异 四川大学博士学位论文 n o b a u e r 的上述定理把模m 的一元置换多项式简化到了模p 的情形。人们 自然要问如下 问题1 1对多元置换多项式是否有自然的类比昵? 有许多学者对此问题进行了探索。孙琦和万大庆h 2 证明了：n o b a u e r 的上 述结果( i ) 可推广到多元的情形，而( i i ) 则不能。具体地说，如果f ( x h ，z 。) 为一模p 非奇异的p p ，则，( z 1 ，z 。) 是一个模p 的p p ，反过来则不成 立。他们给出了一个二元多项式的例子，( z ，y ) = 妒+ p y ，它是一个模p 奇异 的p p ，且对任意整数f l ，也是一个模p 的p p 。因此，对于多元尸尸，特 别是多元模p 奇异的p p ，比一元的情形要复杂得多。由此拉开了对环z 肋2 z 上的多元奇异p p 研究的序幕。 首先作此尝试的是张起帆，他在文【”】中对z x 1 中奇异的二元多项式进行 了深刻的讨论，得到了一个二元奇异多项式成为环z p2 7 , 上置换多项式的充要 条件，即得到了如下结果： 定理1 2 设f 为一整数且f 2 ，( z ，y ) z ky 。若，( z ，y ) 的所有奇点 满足同余式组 言厶z 三厶，兰；凡v 三0 ( m o dp ) ， 则，( 茁，y ) 是模p 的p p 当且仅当，( z ，y ) 是模p 2 的p p ，且下述同余式组无 解： 厶三0 ( m o d p 2 ) ，矗三0 ( r o o dp 2 ) 然后构造了一类典型的二元奇异置换多项式，即 定理1 3 设，( z ，y ) = f l ( x ，9 p + p f 2 ( x ，) ，f t ( x ，) ， ( 上，y ) z 陋，9 ，? 为 一整数满足f 2 。则 ( i ) ，为模p 2 的p p 当且仅当，1 ，丘构成模p 的正交组； ( i i ) ，为模p 的p p 当且仅当，为模矿的p p ，且下述同余式组无解： 疗一1 碧+ 警三。( m o dp ) ，f p - 1 , 百o f l + 筹兰。( r o o dp ) 一9 四川大学博士学位论文 作为定理1 3 的推论，张起帆给出了一个二元奇异多项式，( z ，y ) = x p 2 + p y p ，它是模p 2 的但不是模p 3 的p p 。另外，很容易看出，孙琦和万大庆给出 的例子，( z ，y ) = , t p + p y 是定理1 3 的特殊情形。张起帆的上述两个结果可以 视为n o b a u e r 的结果( i i ) 在某种意义上的推广。 胡永忠和张起帆在文【2 】中、胡永忠在文 3 1 中，分别试图把张起帆的上述 结果推广到一般n ( n 2 ) 元多项式的情形，但只取得了部分成功。他们得到的 相应的两个结果是 定理1 4 设f = o ，1 ，2 ，p 一1 ) ，f 为一整数满足f 2 。又设多项式 ，( z h 一，z 。) z za ，x 。 模p 奇异，且任给a z ，同余式 ，( z ，x 。) 兰o ( m o dp ) 在f “中的所有解均为模p 的奇点且满足同余式组 ；厶。兰厶，。三o ( m 。dp ) ，1 i n ，1 茎j 2 。则 ( i ) f 为模p 2 的p p 当且仅当f l ，f 2 构成模p 的正交组； ( i j ) ，为模p 的p p 的充分条件是，为模p 2 的p p ，且下列同余式组无 解： f p - 1 差+ 差三。( m o d p ) 沁”一 容易看出，定理1 5 ( 0 完全推广了定理l 3 ( i ) ，而定理1 2 和定理1 5 ( i i ) 则 四川大学博士学位论文 没能成功推广张起帆相应的结果。 作为定理15 的推论，我们在此处给出一个n 元奇异多项式 f ( x 1 x 2 ，z 。) = z ：+ p ( z ；+ + z ：) ，它是模p 2 的但不是模p 3 的p p 。这 是因为，不难验证，f l = z 7 ，2 = z l + + z ：构成模p 的正交组，从而由定 理】5 ( i ) 知，我们给出的论断为真。容易看出，张起帆给出的多项式z ，2 + p y p 是我们此处给出的多项式当n = 2 的情形。 对定理1 2 和定理1 - 3 推广的不完全成功使得人们自然要问如下 问题1 2 在一般礼( 礼 1 ) 元的情形，能否得到一个充分必要条件，使得 定理1 2 是它的特例? 能否得到一类典型的n 元奇异多项式，使得定理13 是 它的特例，并且包含了定理1 1 ( i i ) ? 本章我们解决了这些问题。我们的结果大部分放在第二节，另一部分则放 在了第三节中。除定理1 1 ( i ) 以外的上述所有结果都是我们所得结果的特殊情 形( 对于定理l - 1 ( i ) ，我们将在第二章将其推广到一般有限交换环上) 。 1 2 主要结果 在叙述我们的主要结果前，先引入一个定义。 定义1 1 设多项式，( z 一，z 。) z x 一，z 。 ，k 为一整数满足k 1 。若有( a 1 ，一，a 。) z “满足同余式组 厶。( a l ，a 。) 三0 ( m o d p “) ，i = 1 ，礼 但对于某个i o ( 1 茎i o n ) ，有 厶。( a l ，n n ) 0 ( m o dp 蚪1 ) 则我们称( a l ，a 。) 为多项式( x 一，z 。) 模p 的，c 阶奇点。 关于环z p 。z 上奇异的多元置换多项式，我们得到了如下两个较为深劾的 结果： 四川大学博士学位论文 定理1 6 设“，n 为正整数满足2s 几u + 1 ，( 。一，茁。) 1 5 x 1 ，z 。 为一整系数n 元多项式。又设任一整数组( a h ，a 。) z ” 皆为f ( x 1 ) 一，z 。) 模p 的奇点，且满足同余式组 丘，兰0 ( r o o dp “) ，i = 1 ，- - 南，举三。 11 ，南。! a z 1 a o ! n 一。 ( 1 2 j ) 乱+ 1 ；( 1 2 2 ) 其中( 1 2 2 ) 式对所有的满足下述条件的n 元整数组( h 一，) 成立：20 且墨。女，= 。则，为模p ( f 2 u ) 的p p 的充要条件是，为模p 2 u 的p p 且 同余式组( 1 2 3 ) 无解： 丘。三0 ( m o dp u + 1 ) ，i = 1 ，一，礼 ( 1 2 3 ) 定理1 7 设f 是一个具有如下形式的礼元整系数多项式 ，( z 一，z 。) = 筇。( z 一，z 。) + p 开一1x h 一，z 。) + + p “ ( z h 一，z 。) 其中让，n 满足0 茎u 乱+ 1 时，为模p2 ( f u + 1 ) 的p p 的一个充分条件是，为 模p ”1 的_ p p 且同余式组( 1 2 4 ) 无解： 菇。l - 差+ 开一差+ + 瓦o l 兰。( r o o dp ) ，i ：1 ) ( 1 2 4 ) ( i i i ) 当礼= “+ 1 时，( i i ) 中充分条件同时也是必要的，即 ，为模p 。( 1 u + 1 ) 的p p 当且仅当f 为模矿+ 1 的p p 且( 1 2 4 ) 无解。 从定理1 7 我们可得如下推论： 一1 2 2 | | 一十“ p d0 m 恤 四川大学博士学位论文 推论1 1 对任意正整数札 1 ，u 元多项式z 3 。+ p z ：+ ，+ p u - 1 z p 。一1 是模p “的但不是模p ”1 的尸p 。 1 3 若干引理及其证明 在上述定理的证明中我们将用到如下一些引理，这些引理本身在置换多项 式理论中也有着重要的意义。在下述引理中，记号fs | 表示有限集合s 中元 素的个数，f = o ，1 ，2 ，p 一1 ) 。 引理1 1 m 1 设s i m ，s ( x 1 ，一，z 。) z 陋1 ，- ，x 。 。如果，为模m 的 p p ，则r 为模s 的p p 。 引理1 2 设，( z 一，z 。) z x 1 ，一，z 。 ，a z ；k ，“为正整数且k u 。又设a ，b 分别代表同余式( 1 3 1 ) 和( 1 3 ，2 ) 的解集 f ( a l ，- ，a 。) 三a ( r o o dp ) ，0 a 。p 1 ，i = 1 ，一，礼；( 1 3 1 ) ，( 8 l ，- ，。) 兰a( r o o dp k + “) ，0s 盘：sp 专+ 。一t ，i = 1 ，n ( 1 3 2 ) 若任一整数组( b 一，b 。) 都满足同余式组 厶。( b x ，k ) 三0 ( m o d 矿) ，i = 1 ，佗 则( i ) b = ( n l + l s ；1 p k - 1 + ，, a n + 翠1 砖“p k - l + ，) i ( 圹，。) a n b ，8 f 只1 i 兰n ，1sj “ ； ( i i ) b i = p ”i a n b i 。 i i n 易知b 中每个元素都具有如下形式 ( 。- + ，s ；d p 。一1 + ，, a n + ，s 严p k - l + j ) 其中( 。1 ，一，o 。) a ，s ? 只1 i n ，1 冬js u 。 1 3 四川大学博士学位论文 由 。( a 一，a 。) 三0 ( r o o dp u ) ，i = 1 ，n ，及t a y l o r 公式可得 从而我们得到 f ( a l + 譬，s ；1 矿一1 + ， 三，( 0 h 一，。) 十丘。( t = 1 三，( 。h 一，a 。) ( m o d p ”) 。+ 翠】s ；n p “切) 。) ；：1 s 5 。p k - l + ， ，( 。l + 釜l s 5 1 p b h 。，n 。+ 釜1 s ；“p k - l + ) 兰。 ( m 。dp m ) f ( a l ，n 。) 兰o ( m o d 矿“) ， 所以就有 ( n 1 + 1 1 p h + ，- , a n + ；1 “p 枉1 + ) b 甘( n 一，o 。) b 即b = ( 。1 + 1 砖”p _ 1 + ，o 。+ 等1 s 少p 2 1 ) i ( 0 1 ，一，。) 4 n b ，s y 只1 is 礼，1sj “ 。这就证明了引理2 的( i ) 。 又对任意的( n 1 1 ，。n ) ，( 6 一，k ) a n b 及任意的s 肄t ，f ，显然 有 ( n 1 + l 1 p 扣1 ，- 三( 6 1 + 釜l t ；1 p “， 铮q = 吼，= t y ，i = 1 o 。+ l s ；n n p 。1 吖) ，b 。+ l t p p k - l + ) ( r o o dp k + “) n ，j = 1 ，札 而由任一( a l ，n 。) a n b 可导出矿“个不同的( 1 3 2 ) 式的解，所以结 合( i ) ，我们得到b i = p “i a n b i 。这就证明了引理2 的( i i ) 。 一 引理1 3 设，( z 一，z 。) z 陋一，。 为一整系数多项式，且任一整 1 4 四川大学博士学位论文 数组( a h 一，a 。) 舻皆为，模p 的阶奇点，且满足同余式组 ；厶m - l 一- = 0 ( m 。d 矿) ， = ”一，礼；1 i 0 ，有a p “1 ；b p “1 ( r o o dp ) ； ( i i ) 如果对某一正整数，有a p “1 三矿。( m o dp 2 ) ，则n 三b ( m o dp ) 。 这是初等数论中熟知的性质，见n 或【4 5 l 。 引理1 5 对任意正整数u 及f ，u + 1 元多项式 z 矿4 - j ，贯+ + p “z 。 是模p 。的p 尸。 证明分两种情形证明：l = u + 1 及f i t - t - 2 。为了证明多项式 z 矿+ p z r l + + p u z 。 为模p “+ 1 的p p ，我们建立一个从f “+ 1 到z p + 1 z 的映射 砂： f “+ 1 _ z p ”1 z ( b o ，b l ，t ，6 。) _ 妒( 6 0 ，6 l ，一，6 。) = 醅。+ p 昭”1 + + p u 6 。( r o o dp u + 1 ) 下面我们证明妒是单射，从而由f “+ 1 及z p “+ 1 z 均为有相同元素个数的有限 集得砂是单满射。 一1 7 四川大学博士学位论文 即 任给( a o ，a 1 ，) ( b o ，b ，b 。) f ”1 ，设 砂( 。o ，a 1 一，a 。) = 妒( 6 0 ，b 一，b 。) 0 3 。+ p 。 p 1 + - + p u 。三酷。+ p 嵋“+ + 矿k ( m o dp u + 1 )( 1 3 6 ) 由( 1 3 6 ) 式得n 3 “三6 吕。( m o dp ) ，从而o o 兰b o ( m o dp ) ，这就得到q 。 b o 。将此式代入( 1 3 6 ) ，则得 。 + + p “一1 乜。三醒一1 + + p “一1 b 。( m o dp u ) ( 1 3 7 ) 若u 1 ，( 1 3 7 ) 取模p ，同理可得n l = b l 。依此继续下去，即可得 ( o 。，0 1 ，- ，a 。) = ( b o ，b l 这就证明了妒为单射，从而也是满射。 由砂是单满射知，任给z ，有且仅有一个a o ，0 1 ，o 。) f “，使 得 碥“+ p n ：“- 。+ + p “血。兰o ( m o dp “十1 ) ( 1 3 8 ) 而对任意s ；2 f0s i s 札，1 j u ，由引理1 4 ，结合( i - 3 8 ) 式，可得 ( n 。+ e 釜1 s p 矿) 矿+ p ( n t + 翠1 砖1 矿) 扩1 + 叶p “( 钆+ l s p 矿) 三。3 。+ p n p 1 + - - + p “血。三。( m o d p “十1 ) ( i 3 9 ) 一1 8 型业盔兰堕主堂焦鲨塞 ( 1 ，39 ) 式表明同余式( 1 3 1 0 ) z g ”+ p z 。+ + p 。z 。三o ( m o dp “十1 ) ( 1 3 1 0 ) 共有p ”“+ 1 个解。由n 的任意性知，瑞。+ p z 一2 + + p u 。为模p “+ 1 的p p 。 从而由引理l ，1 知，瑶”+ 触 ”1 + + p u z 。为模p ( fsu + 1 ) 的p p 。 下面我们证明f2 “十2 的情形。设l = u + 1 + k ，k 1 。任给n z ，设 ( 6 0 ，b l ，6 “) 为同余式( 1 3 - 1 0 ) 在f “+ 1 中的那个解，则对任意的s ? f ，i = 0 ，u ，j = 1 ，一，u - t - ，有 + p “b 。+ 州u + k s ；矿) 三p 2 醪+ 矿+ 1 ( s p + ，f “) + + p u + ( s + ，l “) 三。( m 。dp u + ，+ * ) i = 0 铮s p + ，f 。+ p ( s ! “+ 4 0 ) + + p k - 1 ( s + ，l u ) 兰a - e i l = 甭0f c - ( m o dp k ) 2 再广 其中巧哪0 = 1 ，) 为s ：( 0 曼i u ，01f j ，( 2 ，i ) ( j ，札) 1 的多项式。 从而得以s = 0 ，札，j = 1 ，) 为未知量的方程( 1 3 1 1 ) 在f 中有且 仅有p 2 “个解。而s ，1 ( i = 0 ，札，j = + 1 ，：七+ 札) 则可在f 中随意选 取，所以同余式 。g 。+ p z 。+ + p “z 。三o ( m o dp “十l + ) 有且仅有矿“+ 1 + 个解，由的任意性知端“+ p z 一1 + + 矿z 。是模矿+ 1 + 的p p 。 这就完成了引理1 5 的证明。 引理1 6 9 1 设 ， z 交组，且对任意一组整数n = ， 一】9 一 z n 】，1 h n 是模p 的正 a n ) 秽，均有其j a c o b i 矩阵 + 一 矿 、 妒 勺 t l 时产 + b ，、 p + 矿 、l， 护 0 小 t l 叶! l p 一 + u ， 四川大学博士学位论文 j ( n ) = ( 势( o ) ) 1 一 2 ，有，为p r u 的p p 。而对于定理中给定 的正整数2 ，总存在正整数7 0 使得f 墨r o 牡，从而