第八章第3节实际问题与二元一次方程组.doc

年 级初一学 科数学版 本人教新课标版课程标题第八章第3节实际问题与二元一次方程组编稿老师巩建兵一校林卉二校黄楠审核王百玲一、学习目标： 1、会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解； 2、通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，体会数学化的过程，提高用数学分析和解决实际问题的能力。二、重点、难点：重点：掌握列二元一次方程组解应用题的步骤。难点：将实际情景中的数量关系抽取出来，找准题目中的等量关系。三、考点分析：利用二元一次方程组解决实际问题是历届中考重点考查的内容，常见题型有填空题、选择题和解答题，属中低档题，主要考查学生的综合能力和解决实际问题的能力。 1、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程来解容易得多。列方程组解应用题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解。 2、列二元一次方程组解决实际问题的常用方法（1）数量较多的问题常用列表的方式分析数量关系，因为利用表格可清楚地反映数量之间的关系，从而达到少设未知数，减少计算量的目的。解应用题时，有这样一种规律：如果少设未知数，那么思路复杂，计算简单；如果多设未知数，那么思路简单，计算复杂。我们应根据具体的题目选择所设未知数的个数。（2）借助“线段图”分析复杂的行程问题，列二元一次方程组解行程问题的常见类型有两种，一是速度已知，这种类型的特征是速度已知，时间和路程以相等关系的形式给出，我们可以根据时间关系或路程关系来列出二元一次方程组；二是时间已知，路程和速度以相等关系的形式给出，这时我们可以根据路程和速度列出二元一次方程组。例：从甲地到乙地全程3.3千米，一段上坡、一段平路、一段下坡，如果保持上坡每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡每小时行5千米，那么从甲地到乙地需行51分钟，从乙地到甲地需行53.4分钟，求甲地到乙地的上坡、下坡和平路的路程各是多少千米？这个问题中的数量关系较为复杂，可借助表格分析：上坡平路下坡从甲地到乙地路程速度345时间从乙地到甲地路程速度543时间借助线段图来分析更直观。知识点一：常见的应用题类型 例1：今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路分析：1）题意分析：解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁。2）解题思路：今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程。解答过程：设父亲现在x岁，儿子y岁，根据题意得：，解得。答：父亲现在30岁，儿子6岁。解题后的思考：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。 例2：某人用24000元买进甲，乙两种股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时卖出，共获利1350元，试问该人买进的甲，乙两种股票各是多少元？思路分析：1）题意分析：此人在这次炒股中购进两种股票，共花费24000元，一种赚钱，一种赔钱，最终获利1350元。2）解题思路：本题的数量关系较为明显，根据甲、乙两种股票的购进总价和获利总数列方程。解答过程：设买进时甲股票共x元，乙股票共y元，则，解得。答：该人买进15000元甲种股票，9000元乙种股票。解题后的思考：分析获利情况时有两种方法（以本题为例）：15%x10%y1350；（115%）x（110%）y240001350。是利用了甲股票的利润乙股票的利润（负数）总利润；是利用了两种股票的卖出价格买进价格总利润。其中在形式上要简单一些。 例3：“悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行八百，风速多少才称雄？”诗歌大意：孙悟空顺风去查妖精的行踪，仅用4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了800里，问风速是多少？思路分析：1）题意分析：已知量有四个：顺风4分钟行1000里，逆风4分钟行800里；未知量有四个：顺风速度、无风速度、逆风速度、风速。2）解题思路：根据顺风行程和逆风行程这两个数量关系列方程组。解答过程：设悟空在无风时的行走速度为x里/分，风速为y里/分，则悟空顺风行走的速度为（xy）里/分，逆风行走的速度为（xy）里/分。根据题意得，解得y25（里/分）。答：风速是25里/分。解题后的思考：这是一道行程问题，顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速。 例4：如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路分析：1）题意分析：这个长方形由8块地砖拼成，大长方形的长和宽由小长方形地砖的长和宽组成。2）解题思路：大长方形的长由两个小长方形的长组成，也可认为由一个小长方形的长和三个小长方形的宽组成；大长方形的宽由一个小长方形的长和一个小长方形的宽组成。根据这两个相等关系列方程。解答过程：设长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，则，解得。答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm。解题后的思考：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。 例5：某人要在规定的时间内开车由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离。思路分析：1）题意分析：本题是一道常见的行程问题，关键是弄清等量关系及迟到24分钟与提前24分钟的含义。2）解题思路：不同的行驶速度对应不同的到达时间，可根据时间关系列方程组。解答过程：设从甲地到乙地的距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间为t小时，根据题意得：。解得。答：甲地到乙地的距离为120千米。解题后的思考：行程问题的基本关系式是路程速度时间。此类问题易错在列方程组时时间单位不统一。 例6：某城市为了缓解缺水状况，实施了一项引水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲、乙两个施工队，工期50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队速度不变，乙队每天也比原来多修0.4千米，结果如期完成工程。问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？思路分析：1）题意分析：计划和实际工期都是50天，工程总量都是200千米。实际施工时工程被分成三部分：前30天，中间10天，后10天。这三个时间段甲队和乙队的施工速度有所不同。2）解题思路：数量关系如下表，可根据工程总量是200千米列方程组。时间段前30天中间10天后10天速度（和）xyx0.6（x0.6）（y0.4）工作量解答过程：设原计划甲队每天修x千米，乙队每天修y千米，由题意可得，解得。答：甲队原计划每天修2.4千米，乙队原计划每天修1.6千米。解题后的思考：本题是一道工程问题，等量关系有两个：（1）两施工队的原速度和；（2）总工程量。两个未知数也很明显。 例7：现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是37，乙种酒精溶液的酒精与水的比是41，今要得到酒精与水的比为32的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路分析：1）题意分析：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和50；（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比混合后溶液所含纯酒精与水的比。2）解题思路：上述关系都可以用来列方程组，但应选择较简单的数量关系。解答过程：解法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg和y kg，依题意，有解这个方程组得。答：甲取20kg，乙取30kg。解法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x kg和5y kg，则甲种酒精溶液含水7x kg，乙种酒精溶液含水y kg，根据题意，得，解得。10x20，5y30。答：甲取20kg，乙取30kg。解题后的思考：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。小结：列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数，如例3和例5分别增设了无风速度x和规定时间t，用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了。知识点二：方案设计型问题 例8：已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，某市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台。请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。思路分析：1）题意分析：本题是一道方案设计型问题，由于电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，而东坡中学只计划购进两种不同型号的电脑，所以购买方案有三种：选择A型和B型、选择A型和C型、选择B型和C型。2）解题思路：设计购买方案的关键是如何从A、B、C三种型号中挑选出两种，使台数为36台、且100500元钱全部用完。应对购买的三种方案进行分类讨论，然后再选择符合条件的解。解答过程：设从该电脑公司购进A型电脑x台，购进B型电脑y台，购进C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑：（1）只购进A型电脑和B型电脑，依题意可列方程组，解得（不合题意，应舍去）。（2）只购进A型电脑和C型电脑，依题意列方程组，解得。（3）只购进B型电脑和C型电脑，依题意可列方程组，解得。答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台。解题后的思考：本题对进货的要求是“购进其中两种不同型号的电脑”，由于电脑公司提供了三种型号的电脑，故有三种不同的购货方案，应分类讨论。所求结论必须符合题意，即电脑台数不能为小数、分数。小结：“方案优化与设计”类型的题目逐渐成为热点考题，尤其是运用二元一次方程组求解的试题更为常见。这类题目的特点比较突出，需要分类讨论不同的方案，选择满足某种要求的或是最优的方案。难点在于要求解的量不明显，其实，要求解的量恰恰是隐藏在“方案”中。如例8，怎样从A、B、C三种型号的电脑中挑选出两种，使台数为36台且100500元钱全部用完呢？就是求购买不同型号的电脑的台数。明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键。常遇到的几类应用题及其基本关系如下：行程问题：基本关系式为：速度时间路程；工程问题：基本关系式为：工作效率工作时间工作总量，计划数量超额百分数超额数量，计划数量实际完成百分数实际数量；浓度问题：基本关系式为：溶液百分比浓度溶质，各种混合物重量之和混合后的总重量，混合前纯净物重量混合后纯净物重量，混合物重量含纯净物的百分数纯净物的重量；航行问题：基本关系式为：静水速度水速顺水速度，静水速度水速逆水速度；等。三元一次方程组解法举例（8.4）一、预习新知 1、三元一次方程组的解法。 2、方程组的解法总结。二、预习点拨探究与反思探究任务一：三元一次方程组及其解法【反思】（1）什么是三元一次方程组？ （2）怎样解三元一次方程组探究任务二：方程组的解法【反思】（1）解方程组的基本思想是什么？ （2）解方程组除了代入消元法和加减消元法，你还知道其他方法吗？（答题时间：60分钟）一、选择题。1. 某班共有学生49人。一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半。若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（ ）A. B. C. D. 2. 某校春季运动会比赛中，八年级（1）班和（5）班的竞技实力相当。关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班的得分比为65；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分。若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）A. B. C. D. 3. 已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数。若设甲、乙两数分别为x、y，则可得方程组为（ ）A. B. C. D. 4. 一辆汽车从A地出发，向东行驶，途中要经过十字路口B，规定在某一时间内，若车速为每小时60km，就能驶过B处2km；若每小时行驶50km，就差3km才能到达B处，设A、B间的距离为x km，规定的时间为y h，则可列出方程组是（ ）A. B. C. D. 5. 一艘船顺水航行45km，需要3h，逆水航行65km，需要5h，若设船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，则x、y的值为（ ）A. x13，y2B. x14，y1C. x15，y1D. x14，y2 6. 甲、乙两个工程队各有员工80人，100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队的，则甲、乙两队各分到（ ）人。A. 50，40B. 35，54C. 28，62D. 20，70 *7. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文。已知某种加密规则为：明文a、b对应的密文为a2b、2a。例如，明文1、2对应的密文是3、4。当接收方收到密文是1、7时，解密得到的明文是（ ）A. 1，1B. 1，3C. 3，1D. 1，1 *8. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息估算，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ）A. 106cmB. 110cmC. 114cmD. 116cm二、填空题。 9. 质量分数为6%的盐水x克与质量分数为8%的盐水y克，混合后其中含盐_克。 10. 如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量为_g。 11. 古题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。”那么有_间房，有_位客人。 *12. 小明去郊游，早上9时下车，先走平路，然后登山，到山顶又沿原路返回到下车处，此时正好是下午2时，若他走平路时每小时走4千米，爬山时每小时走3千米，下山时每小时走6千米，则小明从上午到下午一共走了_千米。 *13. 王刚的妈妈去银行用两种方式存了20000元钱，一种利率为4%，另一种为3%，到期后共得利息（扣税20%后）576元，则王刚的妈妈用两种方式分别存了_钱。 *14. 如下图所示，高速公路上，一辆长为4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长为12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追赶到超越卡车，需要花费的时间约是_秒（结果保留整数）。三、解答题。 15. 戴着红凉帽的若干女生与戴着白凉帽的若干男生同租一游船在公园划船，一女生说：“我看到船上红、白两种帽子一样多。”一男生说：“我看到的红帽子是白帽子的2倍”。请问：该船上男、女生各几人？ 16. A、B两地相距500千米，甲、乙两车由两地相向而行。若同时出发则5小时后相遇；若乙先出发5小时，则甲出发3小时后两车相遇。求甲、乙两车的速度。 *17. 师傅对徒弟说：“我像你这样大时，你才4岁。将来当你像我这样大时，我已经是52岁的老人了”。问师傅和徒弟现在的年龄各是多少？ *18. 某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动。下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元。”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元。”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满。”根据以上对话，解答下列问题：（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？四、拓广探索。*19. 2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订。下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格。球迷小李用8000元作为预订下表中比赛项目门票的资金。（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票共10张，问男篮门票和乒乓球门票各可订多少张？（2）小李想用全部资金预订男篮、足球和乒乓球三种门票共10张，他的想法能实现吗？请说明理由。比赛项目票价（元/场）男篮1000足球800乒乓球500一、选择题： 1. D 2. D 3. B 4. A 5. B 解析：根据题意可得，解得。 6. C 解析：本题属于劳动分配问题，设甲队分到x人，乙队分到y人，由题意中的等量关系：被分配人数为90；分配后甲队人数是乙队的。可列二元一次方程组：，解得，故选C。7. C 解析：由题意得，解得，所以解密得到的明文是3，1。8. A 解析：设只放一个纸杯的高度为xcm，增加一个纸杯时高度增加ycm，则，解得。把100个纸杯叠放在一起时，高度为799106（cm）。二、填空题： 9. （6%x8%y） 解析：解本题只需弄清溶质、溶剂、溶液三者关系即可，溶质质量分数溶液。10. 20 解析：设每块巧克力的质量是xg，每个果冻的质量是yg，则，解得。11. 8，63 解析：设房间有x间，客人有y人，则，解得。12.