（应用数学专业论文）本质强序保持半流的动力学研究.pdf

s e m i 丑o w s y is h a n b e ( h u n a nu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n de n g i n e e r i n g ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o ry it a i s h a n a p r i l ，2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：昂册 日期：z 。f f 年石月力日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密味 ( 请在以上相应方框内打”) 作者签名：励卅 导师签名胁 弋一v 日期：2 d f 年钐月工日 日期：2 d 年钐月力日 i 硕士学位论疋 摘要 本文从两个方面研究了序拓扑空间中关于本质强序保持半流( 简称本质s o p 半流) 和最终本质强单调半流的一些性质一方面，我们给出并证明了有关稳定平 衡点和渐近稳定平衡点存在性的一些结论，将经典s o p 半流的一些已有结果推广 到本质s o p 半流；另一方面，针对本质最终强单调动力系统，在平衡点集具有极小 性或稳定性的条件下，我们获得了全局收敛性结果，将有关最终强单调半流的一些 已有结果推广到本质最终强单调半流 本论文共由三章组成： 第一章绪论中，介绍了本文所考虑的本质强序保持半流的研究背景、意义和研 究现状以及本文的主要研究思路 在第二章中，首先介绍了本质s o p 半流的有关概念和基础知识，获得了正规 序度量空间中本质s o p 半流的一些稳定性结论然后，针对空间正规性要求在实 际中的应用范围的局限性，我们通过在强序b a n a c h 空间中引入序范数及由它诱导 的新的序拓扑空间( 正规空间) ，建立了一般强序b a n a c h 空间与正规空间之间的联 系，推广了已得到的正规空间的相关结论最后，给出了本质s o p 半流平衡点集有 限的一个充分条件，并举例说明解半流解析的条件是必不可少的 在第三章中，结合已有文献关于本质s o p 半流提出的本质强单调半流和最终 本质强单调半流等相关概念的研究思想，我们简单介绍了平衡点集具有极小性的 概念，获得了本质强单调动力系统在平衡点集具有极小性或稳定性的条件下的全 局收敛性，补充和完善了已有文献的相应结论 关键词：本质s o p 半流；本质强单调半流；( 渐近) 稳定平衡点；全局收敛性 h 硕士学位论文 a b s tr a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d ys e v e r a lp r o p e r t i e so ne s s e n t i a l l ys t r o n g l yo r d e r - p r e s e r v i n gs e m i f l o w s ( e s s e n t i a l l ys o ps e m i f l o w sf o rs h o r t ) a n de v e n t u a l l ye s s e n t i a l l y s t r o n g l ym o n o t o n es e h l i f o w so ft h eo r d e r e dm e t r i cs p a c ef r o mt w oa s p e c t s o nt h e o n eh a n d ，w ep r e s e n ta n dp r o v es o m er e s u l t sf o rt h ee x i s t e n c eo fas t a b l ee q u i l i b r i u m a n da na s y m p t o t i c a l l ys t a b l ee q u i l i b r i u m w h i c he x t e n ds o m ep r e v i o u sr e s u l t so ns o p s e m i f o w st oe s s e n t i a l l ys o ps e m i f o w s o nt h eo t h e rh a n d ，f o rt h ee v e n t u a l l ye s s e n - t i a u ys t r o n g l ym o n o t o n ed y n a m i c a ls y s t e m s ，g l o b a lc o n v e r g e n c ei so b t m n e du n d e rt h e c o n d i t i o no ft h es e to fe q u i l i b r i u mp o i n t sp o s s e s s i n gm i n i m a lo rs t a b l ep r o p e r t y , w h i c h e x t e n ds o m ep r e v i o u sr e s u l t so ne v e n t u a l l ys t r o n g l ym o n o t o n es e m i f o w st oe v e n t u a l l y e s s e n t i a l l ys t r o n g l ym o n o t o n es e m i f t o w s t h i st h e s i si sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eb a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c ea n dc u r r e n ts i t u a t i o no fe s s e n t i a l l ys t r o n g l yo r d e r - p r e s e r v i n gs e m i f l o w sw ec o n s i d e ra r eb r i e f yr e v i e w e d f u r t h e r - m o r e ，w es i m p l yi n t r o d u c et h em a i nr e s e a r c ht h i n g k i n gi nt h i st h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h er e l a t e dd e f i n i t i o na n db a s i sk n o w l e d g eo fe s s e n t i a l l y s o ps e m i f l o w sa r ef i r s t l yi n t r o d u c e d a n dt h e nw ep r e s e n ts o m es t a b i l i t yp r o p e r t i e so f e s s e n t i a l l ys o ps e m i f l o w si nn o r m a l l yo r d e r e ds p a c e s t h e nf o rt h el i m i t a t i o no ft h e r e q u i r e m e n to fn o r m a l i t yi np r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，b yi n t r o d u c i n gt h en o t i o no fo r d e r n o r ma n dt h en e wo r d e r e dt o p o l o g ys p a c ei n d u c e db yt h eo r d e rn o r m ，t h es t r o n g l y o r d e r e db a n a c hs p a c eb e c o m ea s s o c i a t e dw i t ht h en o r m a ls p a c e i nt h i sw a y , t h e r e s u l t sw eh a v eg o tc a ng e n e r a l i z e dt os t r o n g l yo r d e r e db a n a c hs p a c e a tt h el a s to f t h i sc h a p t e r ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n st oe n s u r ef i n i t e n e s so ft h es e to fe q u i l i b r i u mp o i n t s a r ee s t a b l i s h e d f u r t h e r m o r e ，s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ei m p o r t a n c eo f a n a l y s i so ns o l u t i o ns e m i f o w s i nt h et h i r dc h a p t e r ，c o m b i n i n gw i t ht h es t u d yi d e ag i v e nb yc u r r e n tr e f e r e n c e s w h i c hp r o v i d et h ec o n c e p to fe s s e n t i a l l ys t r o n g l ym o n o t o n es e m i f l o w sa n de v e n t u a l l y e s s e n t i a l l ys t r o n g l ym o n o t o n es e m i f l o w sr e l a t e dt oe s s e n t i a l l ys o ps e m i f l o w s ，w eb r i e f y i n t r o d u c et h en o t i o no ft h es e to fe q u i l i b r i u mp o i n t sw h i c hp o s s e s sam i n i m a lp r o p e r t y , o b t a i nas e r i e so fc o n s e q u e n c e so fe s s e n t i a l l ys t r o n g l ym o n o t o n ed y n a m i c a ls y s t e m s w h o s es e to fe q u i l i b r i u mp o i n t sp o s s e s sam i n i m a lp r o p e r t yo rs t a b i l i t y t h a ti nt u r n o b t a i n sg l o b a lc o n v e r g e n c eo ft h es y s t e m s ，c o m p l e m e n t sa n dc o m p l e t e st h er e l a t e d r e s u l t so fp r e v i o u sd o c u m e n t s 本质强序保持半流的动力学研究 k e yw o r d s ：e s s e n t i a l l ys o ps e m i f l o w s ；e s s e n t i a l l ys t r o n g l ym o n o t o n es e m i f l o w s ； ( a s y m p t o t i c a l l y ) s t a b l ee q u i l i b r i u m ；g l o b a lc o n v e r g e n c e i i i 硕十学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要 a b s t r a c t 第1 章绪论1 1 1 研究背景和意义1 1 2 问题的提出和研究现状3 1 3 本文的主要工作4 第2 章本质强序保持半流的( 渐近) 稳定平衡点7 2 1 引言7 2 2 本质s o p 半流7 2 3 ( 渐近) 稳定平衡点的存在性8 2 4 平衡点集的有限性1 7 2 5 应用举例2 1 第3 章本质强单调动力系统的全局收敛性2 4 3 1 引言2 4 3 2 最终本质强单调半流2 4 3 3 主要收敛结果2 5 3 4 应用举例3 0 结论3 2 参考文献3 4 致谢3 7 i v 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 研究背景和意义 自从k a m k ef 1 1 和m i i l l e r 【2 1 2 发现常微分方程的比较原理以来，单调方法在微 分方程中的应用已有近8 0 年的研究历史在上世纪八十年，美国著名数学家h i r s c h 教授以动力系统的观点，采用单调方法研究合作或竞争系统的动力学性质，由此创 立了单调动力系统的理论框架作为单调方法与动力学观点相结合产物的单调动 力系统，是将有序的初始状态变化为有序状态的一类动力系统 近年来，研究单调动力系统所得到的各种意义下的稳定性和收敛性结论已得 到了广泛的应用例如，h i r s c h 【3 】深入研究了合作且不可约的常微分方程的动力学 性质，获得了在测度意义下这类系统“绝大多数”列紧轨线收敛到平衡态集的著名结 论这一理论随后被推广到强有序空间上的强单调动力系统，相关结论参见【4 ，5 】由 于强单调半流要求状态空间必须是强有序的，这部分约束了h i r s c h 的理论在泛函 微分方程、反应扩散方程以及时滞反应扩散方程中的应用范围幸运的是，m a t a n o 6 ，7 1 在研究半线性抛物型偏微分方程之时，提出了强序保持半流( 简称s o p 半流) 概 念，这一概念的最大益处是不要求状态空间是强有序的，并可以获得类似h i r s c h 的 通有收敛结论，即“绝大多数”轨线收敛到平衡态集s m i t h 和t h i e m e 【8 】进一步推广 了m a t a n o 的s o p 半流的概念，在一定紧性条件( 但弱于m a t a n o 紧性条件) 下，表明 存在状态空问的开稠子集的轨线是拟收敛的，即拟收敛点集包含了一个开稠子集 在进一步光滑性及单调性条件下，可以获得开稠子集上的轨线是收敛到平衡点而 非平衡点子集 9 】当u 一极限集在状态空间中有上、下确界时，h i r s c h 和s m i t h 【1 0 】 指出能去掉s m i t h 和t m e m e 8 】附加的紧性条件，并可简化s m i t h 和t h i e m e 8 ，9 】 的证明过程，仍然可以得到s m i t h 和t h i e m e 的通有拟收敛原理 为了将单调动力系统理论更为有效的应用于泛函微分方程和偏泛函微分方程 之中，y i 和h u a n gf 1 1 1 3 】提出了本质s o p 半流的概念，建立了通有拟收敛原理， 并指出在应用到某些时滞微分方程系统和时滞反应扩散系统时，不再要求状态空 间适当选取和技术性“点火”假设为了获得通有收敛原理，y i 和h u a n g 改进了经 典的k r e i n - r u t m a n 定理，并采用s m i t h 和t m e m e 【9 】有关结论来研究光滑的本质 s o p 半流的通有收敛原理 h i r s c h 【5 】5 通过定义序范数( 弱于原来的范数) ，引入一个新的拓扑空问，由此提 出了序稳定性和渐近序稳定性概念在假设状态空间中每个点都能从上方被序列 逼近且能从下方被序列逼近的条件下，证明了强单调半流的半序稳定性蕴含拟收 敛性，也提出了“绝大多数 点是序稳定点( 渐近序稳定点) 的充分条件如同h i r s c h 一1 一 本质强枣保持半流的动力学研究 的结论一样，s m i t h 和t h i e m e 【8 】也证明了s o p 半流的稳定性蕴含拟收敛性之 后，y i 和h u a n g 证明了这一结论同样适用于本质s o p 半流 因此，现有文献研究成果表明( 本质) s o p 半流的稳定点必为拟收敛点，即稳定 点的u 一极限集由平衡点构成在一定的紧性条件下，当平衡点集是紧集时，h i r s c h 5 】证明了强单调半流存在序稳定平衡点，更进一步，如果平衡点集还是有限的，那 么存在渐近序稳定平衡点类似h i r s c h 5 】的结论，h i r s c h 和s m i t h 1 4 】提出了s o p 半流的稳定平衡点存在的充分条件( 但比h i r s c h 【5 】5 条件弱) 进一步，在假设平衡点 集e ( 或e 的某个闭子集) 是紧的，且e 的极大全序子集是有限的条件下，给出了 渐近稳定平衡点存在的充分条件，从而推广了h i r s c h 5 】的理论 在较强保序程度下，虽然动力系统的“绝大多数”轨线收敛到平衡态，但是这类 动力系统的例外轨线的动力学行为仍然可以是复杂的例如，s m a l e 构造【1 5 】指出 了一类特殊的合作或竞争系统可具有任意复杂的动力学行为，从而表明单调动力系 统的全局收敛结果一般而言是不成立的这就促使人们提出各种条件来确保其它 例外轨线的收敛性例如，毗配f 1 6 】和黜百c 17 】分别引入“子线性”和“不变的d - 超 曲面”条件研究了强单调离散半群的全局收敛性在“子线性 的条件下，j i a n g 【1 8 】 研究了单调离散动力系统( 不要求强单调性) 的全局收敛性，z h a o 1 9 】研究了斜积 半流的全局收敛性，将全局收敛的结论应用到概周期动力系统其它在“子线性型 条件下的相关结果可参见 2 0 一2 2 s m i l l i e 2 3 研究了一类三对角合作与竞争常微 分方程系统的全局收敛性之后，在进一步光滑性的假设条件下，s m i t hf 2 4 】将其全 局收敛性结果推广到周期型合作与竞争常微分方程系统中m i e r c z y f i s k i 【2 5 】通过引 入“首次积分”的条件讨论了严格自治合作常微分方程系统的动力学行为，并获得了 全局收敛性的结论在“首次积分”存在的条件下，t a n g 【2 6 】研究了严格非自治合作 常微分方程系统的全局收敛性之后，j i a n g 2 7 将t a n g 【2 6 】的结果推广到了周期 型非自治合作常微分方程系统之中其它条件下的相关结果课参见f 2 s - 3 2 文【5 ，3 3 】指出当平衡点集没有聚点或者平衡点集全有序时，拟收敛点都是收敛 点，也就是说此时通有拟收敛性蕴含通有收敛性文 5 ，3 3 ，3 4 1 还指出当平衡点至多 只有两个时，例外轨线也收敛到平衡态，即是全局收敛的w | u1 3 5 】指出某些具体 应用中的数学模型，其平衡点集是有聚点的且不是全有序的例如：泛函微分方程 圣( 亡) = - ( x ( t ) ) - i - f ( x ( t r ) ) 豪麓。三咄 ( 1 1 ) 硕f j ：学位论文 其中q 形是有界且光滑的，a 是二阶一致椭圆微分算子，9 ：q r 舻一r 是局部l i p s c h i t z 连续且对比q ，v c r 有g ( x ，c ，0 ) = 0 此时拟收敛性除了有 界性以外不能告诉我们任何渐近性质为了得到这类动力系统收敛的条件，w u 3 5 】 通过引入一个连续函数，定义了平衡点集极小性，并获得了最终强单调动力系统的 全局收敛性结果 上述抽象结果的应用详见 9 ，3 3 ，3 6 - - 4 1 正是在这种背景下，本文对本质s o p 半流和最终本质强单调半流进行研究在 全面了解这两类半流已有的理论研究基础上，通过对比与经典s o p 半流和最终强 单调半流的区别和联系，获得了本质s o p 半流稳定平衡点和渐近稳定平衡点存在 的充分条件，也得到了平衡点集具有极小性或稳定性的最终本质强单调半流的全 局收敛性结果 1 2问题的提出和研究现状 由于强单调半流和s o p 半流存在验证“点火”假设的困难，这极大程度上约束 了这些理论在泛函微分方程或偏泛函微分方程中的应用范围为此，y i 和h u a n g 【1 2 ，1 3 】提出了本质s o p 半流的概念，为了描述本质s o p 半流的定义，他们首先引 入了记号“ ，：z 一 y 当且仅当z y 且圣幻( z ) 西t 。( y ) 称西是本质s o p 半流 是指，圣是x 上的单调半流，且对比，y x ，z 0 及开子集u 和y ， 使得z 阢y v 及c n ( u ) c r o ( v ) 成立通过修正s m i t h 和t h i e m e 【8 】中关于 s o p 半流极限集二分性和序列极限集三分性原理的证明，y i 和h u a n g 证明了本质 s o p 半流仍然具有相应的极限集二分性和序列极限集三分性原理，并由此获得了 一系列重要结果同时，【1 1 ，1 2 】也改进了经典k r e i n - r u t m a n 定理 4 2 】，为应用上带 来了极大的方便，也为后期研究本质s o p 半流提供了理论基础 然而，对于本质s o p 半流的研究还不是很多，有关本质s o p 半流的理论并没 有经典s o p 半流那么完善 在经典s o p 半流的假设下，h i r s c h 和s m i t hf 1 4 ，3 7 】研究了正规序度量空间中 稳定或渐近稳定的轨线存在的充分条件同时，对于一般的强序b a n a c h 空间，通过 引入一个较弱的范数序范数，相对于序范数所诱导的新的拓扑序拓扑而言 的拓扑空间是正规空间，且新拓扑空间序拓扑空间中相应的半流仍然是连续且 s o p 的这样，有关正规空间的结论就能应用到一般的强序b a n a c h 空间h i r s c h 和 s m i t h 【1 4 ，3 7 还给出了s o p 半流稳定平衡点和渐近稳定平衡点存在的充分条件 这些结论激发了我们考虑对y i 和h u a n g 意义下本质s o p 半流性质的进一步思 考：本质s o p 半流是否也有类似的结论呢? 对于一般的强序b a n a c h 空间中的本质 s o p 半流，在其序拓扑空间中相应的半流是否也仍然是本质s o p 的呢? 我们有理 一3 一 本质强宁保持半流的动力学研究 由期待本质s o p 半流和经典s o p 半流一样，在一定条件下，也存在稳定平衡点甚 至渐近稳定平衡点 我们知道单调动力系统有很强的收敛到平衡态的趋势h i r s c h 【5 1 5 指出，若b a , - n a c h 空间中每一个点都能从上方或从下方被序列逼近，且每一个正半轨都是列紧 的，那么强单调动力系统的“绝大多数”轨线渐近于平衡态集，即“绝大多数”点是拟 收敛点所以当平衡点集没有聚点或者平衡点集全有序时，“绝大多数”点是收敛点 然而，就连已被作为种群增长，疫病传播，股票资本动力学等模型而被广泛研究的 系统： 圣( t ) = - s ( z ( t ) ) + ， ( t r ) ) 在没有额外限制条件时，其生成的动力系统的平衡点集也是存在聚点的，此时通有 拟收敛性不蕴含通有收敛性为了研究这类动力系统的收敛性，w uf 3 5 】给出了极小 性的概念，即：设m 是e 的闭子集，u 是x 的正不变子集，称m 关于u 具有极小 性，是指存在连续函数e ：u m n u ，使得：( 1 ) 对v x u ，有z e ( x ) 耳- i n t x + ； ( 2 ) 若y m ，且y z ，那么y e ) 并获得了b a n a c h 空间中最终强单调动力 系统的全局收敛性结果如同h i r s c hf 5 】意义下的强单调半流一样，y i 和h u a n g 指 出对于b a n a c h 空间中的本质s o p 半流，若每一个点都能本质上从上方或从下方 被序列逼近，且每一个正半轨都是列紧的，那么“绝大多数”点也是拟收敛点这些 就激发我们思考：结合w u 、y i 和h u a n g 的思想，在b a n a c h 空间中，若类似本质 s o p 半流概念定义一种最终强单调半流的推广形式最终本质强单调半流，当 它的平衡点集也具有极小性时，全局收敛性的结果是否仍然成立呢? 若圣是定义在强序b a n a c h 空间上的强单调半流，h i r s c h 【5 】获得了半序稳定 或序稳定轨线存在的充分条件，证明了若每一个轨线都能从上方或从下方被序列 逼近，且每一个正半轨都是列紧的，那么所有半稳定点都是拟收敛点容易验证当 西是最终强单调半流时，结论仍然成立在此基础上，w u 研究了具有稳定平衡态的 最终强单调半流的全局收敛性，即如果所有平衡点都是稳定点，那么所有轨线都是 收敛的由此我们考虑：如果类似y i 和h u a n g 本质s o p 半流的概念定义最终强单 调半流的一种推广形式，称本质最终强单调半流，那么这些结论是否仍然成立呢? 本文通过修正并补充上述作者的论证，回答了上述问题，证明了类似的相应结 果，并由此获得一系列有意义的结果 1 3 本文的主要工作 本文采用y i 和h u a n g 1 3 】的本质s o p 半流概念，能去掉选取适当状态空间 的步骤及“点火”假设在充分了解本质s o p 半流已有理论【1 1 - 1 3 ，4 3 】基础上，结合 h i r s c h 和s m i t h 【1 4 ，3 7 ，w u 【3 5 】的思想得到一些新的理论，改进了后两个著作的某 一4 一 硕士学位论文 些结果，使这些结果能有更广泛的应用本文的主要研究内容包括： 一、修正了文 1 4 】有关s o p 半流稳定性的一些结论，以及s o p 半流稳定平衡 点和渐近稳定平衡点存在的充分条件，表明了这些结论在本质s o p 半流条件下仍 然成立，并且能够通过修正文【1 4 】相应的证明过程来证明 二、类似文【1 3 】的本质s o p 半流概念，提出了本质强单调半流和最终本质强 单调半流的概念；通过修正了w - u 有关平衡点集具有极小性或稳定性的最终强单 调半流的全局收敛性结果，表明这些收敛结果在最终本质强单调半流条件下仍然 成立，并且能够通过修正w u 相应的证明过程来证明 本文主要做了以下工作： ( 1 ) 针对正规序度量空间中的本质s o p 半流，获得了稳定平衡点和渐近稳定平 衡点存在的一个充分条件，推广了h i r s c h 和s m i t h 1 4 1 的结果，并通过修正h i r s c h 和s m i t hf 1 4 】相应的证明过程得以证明 ( 2 ) 对空问正规性的要求极大约束了上述理论在实际中的应用范围，为此，对 于一般的强序b a n a c h 空间，本文采用h i r s c h 和s m i t h 定义的序范数( 弱于原来的 范数) 和由序范数诱导的新的拓扑空间( 正规空间) ，建立了强序b a n a c h 空间和正规 空间之间的联系，并且原强序n & n a c h 空间中的本质s o p 半流也是序范数诱导的 新的空间中的本质s o p 半流这样，前面所得到的有关正规空问的理论就能应用 到一般的强序b a n a c h 空间从而推广了h i r s c h 和s m i t h 的理论结果 ( 3 ) 由于渐近稳定平衡点存在的一个充分条件是平衡点集的一个极大全序子 集非空有限，为保证其有限性，本文的主要工作之一是将j i a n g 阻】关于s o p 半流 推广到本质s o p 半流，并通过结合文【1 1 】改进的k r e i n - r u t m a n 定理修正文【4 4 】相 应结果的证明过程得以证明 ( 4 ) 文【1 l ，1 2 】指出在一定紧性条件下，本质s o p 半流的“绝大多数轨线收敛到 平衡态但是仍然有例外轨线的动力学性质是复杂的，为确保其它轨线的收敛性， 本文采用文【3 5 】平衡点集具有极小性的概念对于本质强单调动力系统，当平衡点 集具有极小性时，获得了其全局收敛性的结果，并通过修正w - u 3 5 】相应结果的证 明过程得以证明 ( 5 ) 对于平衡点集具有稳定性质的本质强单调动力系统，本文也获得了其全局 收敛性结果，并通过修正w u 3 5 相应结果的证明过程得以证明 本文在结构上的安排如下： 第一章是绪论，主要介绍了本文所考虑的本质强序保持半流的研究背景、意义 和研究现状以及本文的主要研究思路 第二章中介绍了本质s o p 半流的有关概念和基础知识，获得了本质s o p 半流 稳定平衡点存在的充分条件，并且在附加某个条件下，得出了渐近稳定平衡点存在 一5 一 本质强序保持半流的动力学研究 的结论 第三章中提出了本质强单调半流和最终本质强单调半流概念，获得了平衡点 集具有极小性或稳定性的本质强单调动力系统的全局收敛性结果 一6 一 硕j j 学位论文 2 1 引言 第2 章本质强序保持半流的 ( 渐近) 稳定平衡点 众所周知，本质s o p 半流的绝大多数列紧轨线是拟收敛的，甚至在进一步的 假设下是收敛的但是如果列紧轨线不是拟收敛的，则文献 1 1 ，1 2 】中有关结论表 明该轨线不是稳定的这一观察激发了我们考虑稳定轨线的存在条件另一方面， 文1 4 1 给出了经典s o p 半流的稳定和渐近稳定轨线存在的充分条件所以我们有 理由期待本质s o p 半流也能和经典s o p 半流一样，存在稳定甚至渐近稳定的轨 线 本章中，我们将给出本质s o p 半流稳定轨线存在的充分条件，并且在附加某 个条件下，得出渐近稳定轨线存在的结论在最后一小节中，我们给出理论结果在 微分方程中的应用 2 2本质s o p 半流 设( x ，d ，) 为序度量空间，这里“口为度量，“”为偏序关系，并且两者具有 相容性，即偏序关系为x x 中的闭子集特别地，若无须指明度量和序关系，则 把( x ，d ，) 简记为x 记z y 当且仅当z y 且z y ，z y 当且仅当存在z 的某个邻域u 和y 的某个邻域y ，使得对v u 以v v v ，都有u 口 设 0 ，使得对v u ，勘x ，妇，y 【缸，口】，都有d ( x ，y ) 圪d ( u ，口) 设西：珥x x 是x 上的半流，即西是连续的且吼( z ) 三圣( z ，t ) 满足： ( 1 ) 对v z x ，有西o ( z ) = z ； ( 2 ) 对v z x ，耽，s 冗l ，有圣t ( 西。( z ) ) = c t + s ( z ) 对v z x ，记o ( z ) 全 西t ( z ) ：t o ) 为z 的轨道；记u ( z ) 全n0 ( 吼( z ) ) 为 z 的u 一极限集，若万两是紧的，则u ( z ) 是非空的、紧的、不变且连通的集合；记 e 全 z x ：饥( z ) = z ) 为半流西的平衡点集 下面我们引用几类不同保序程度的半流的定义： 定义2 2 1 删 ( i ) 称西是单调半流是指对v x ，y x ，且z y ，有吼( z ) 吼( 可) ，其中t 皿； 一7 一 本质强序保持半流的动力学研究 ( i i ) 称西是强单调半流是指对比，y x ，且z 0 ，z ，y x ，那么 z ( 圣，t 0 ) y 当且仅当z y 且垂t 。( z ) 圣幻( 可) 若无混淆，也用“_ 代替“一 ( 垂，t o ) ” 这一记号“- ”源于文 1 3 】，稍有不同于文【1 1 ，1 2 】中相关记号的含义，但对于文【1 3 1 意义下的本质s o p 半流，不难发现文【1 1 ，1 2 】中结论仍然成立设a ，b x ，记 a j e 7 当且仪当对比a ，v y b ，都有z 0 ，使得c t o ( x ) 西( 可) 本章中，除非有其它明确说明，否则总假定圣是度量空间x 上的本质s o p 半 流，并且所有轨线都有紧的闭包设z x ，记d i a m z 全s u pd ( x ，可) z ，y e z 2 3 ( 渐近) 稳定平衡点的存在性 设z x ，记： ) ，+ ( z ) = 秒x ：y z ) 】l ( z ) = z ) 】芒( z ) = 可x ：y z ) 点? ) ，+ ( z ) = x ：y 卜z ) e x _ ( x ) = y x ：y 0 ，都存在z 的邻域 u x ，使得d i a m 西t ( u ) 0 ，都存在2 的邻 域u x ，使得当t 0 时，有d i a m ( un 墨 ) ) e ( d i a m ( un 汇p ) ) e ) ，我们 记外( ) 为上方( 下方) 稳定点集 定义2 8 2 1 4 1 设z x ，称u y yy 为z 的吸引域，其中 全 y x ：y 是z 的开邻域，且 l md i a m c t ( v ) = o 设z x ，称z 是渐近稳定点是指z 的吸引域非空，即存在z 的开邻域y x ，使得扣l i m o 。d i a m 圣t ( y ) = 0 ，我们记a 为渐近稳定点集；称点z 是上方( 下方) 渐 近稳定点是指，存在z 的开邻域v x ，使得l i m d i a m 西t ( yn 墨( z ) ) = o ( 或 扣l i m d i 。仇吼( yn 咒( z ) ) = o ) ，我们记a p ( a 一) 为上方( 下方) 渐近稳定点集 定义2 3 3 1 1 , 1 2 】设z x ，z n x ，n 0 ，称序列 z n ) 巽1 从下方( 上方) 本 质逼近z 是指z n e 汇( x ) ( z n e 耳( x ) ) 且恕z n = z ，此时也称点z x 可 从下方( 上方) 被序列 耳= z x ：存在序列( z n ) 器1 从上方本质逼近z ) 定理2 3 1设x 是正规序度量空间 ( a ) 若存在序列 黯e 咒p ) ( ) 甚l e 耳( z ) ) ，且熙2z ，使得 l i ms u p d ( 圣t ( z ) ，圣t ( ) ) = 0 ，那么z s 一( z s ：+ ) ； ( b ) 若z s + ns 一且z b + nb 一，贝uz s ； ( c ) 若z 4 na 一且z b + nb 一，则z a ； ( d ) 若a b ，且u ( n ) = u ( 6 ) ，那么a a + ，b a 一，从而当a ( 或b ) 为平衡点 时，可获得上方渐近稳定( 或下方渐近稳定) 的平衡点的存在性； ( e ) 若a z 一 b ，那么z a ，并且z 的吸引域包含m = 可x ：a o 知存在m 0 ，对v t 0 ，有d ( 屯 ) ，吼( ) ) 0 ，对耽矿，都有屯( ) 电( u ) 从而由西的 单调性知对任意的让un 耳( z ) 及亡矿，有吼( ) 吼( 牡) 西t ) 由x 的正 一9 一 本质强序保持半流的动力学研究 规性知对v t t 。，有d c 圣t c u ) ，吼c x ) ) k d ( 吼( z ) ，吼( ) ) 0 及z 的邻域kcu ，使得西( ( 亡一，t + 况) n 【0 ，t + 】y t ) c 反( 吼( z ) ) 全 y x ：d ( 西t ) ，y ) 0 ，使得对v y 耳u 灶，当d ( y ，z ) 6 时，有 d ( 西t ( 可) ，屯 ) ) 0 ，使得d ( u k ，z ) 6 且d ( v k ，z ) 6 ，从而 对v t 0 ，有 d ( 圣t ( 缸七) ，雪t ( z ) ) e ，d ( 西t ( ) ，西t ( z ) ) e 又因为乱七 0 ，由l i m 让n = l i mv n = z 知存在k 0 及t 0 ，使得 扎蠡，v k v ，且当t t 时，有 d ( 西t ( u