（光学工程专业论文）基于有限元法的重型载货车车架轻量化研究.pdf

基于有限元法的重型载货车车架轻量化研究 摘要 运用有限元法对某重型载货车车架进行了静、动态特性分析，并结合试验 对比分析，表明本文所建立的有限元模型合理，基本反映了车架实际情况。通 过对灵敏部件的板厚修改，完成了该车架的结构参数轻量化设计。通过本课题 的研究，主要成果如下： ( 1 ) 运用h y p e r m e s h 建立基于板壳单元的车架结构有限元模型，并对车架结 构建模中的关键部位进行了模拟，载荷、约束问题进行了处理。 ( 2 ) 通过电测试验验证了有限元模型的准确性，并为有限元分析提供了实践 依据。 ( 3 ) 对车架结构的静态特性进行计算和分析，包括弯曲工况和扭转工况。 结果表明该车架具有较好的强度和刚度特性，且存在一定的优化空间。 ( 4 ) 进行模态分析，得到了该车架结构的固有频率和阵型。结果表明该车架 结构固有频率能有效避开各种激励源频率，避免发生共振的现象。 ( 5 ) 建立车架结构优化模型，通过对灵敏部件的板厚修改，在保证刚度和强 度的前提下，较好的达到了轻量化的目的。 本文的研究说明有限元法和h y p e r w o r k s 软件为车架结构分析和轻量化设 计提供了良好的基础理论及方法，对企业在重型车架的设计、检验、改造和优 化等方面具有一定的参考价值和指导意义。 关键词：车架；有限元法：静力分析；模态分析；轻量化 l i g h t w e i g h to fh e a v y - d u t yt r u c kf r a m e b a s e do nt h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o d a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , s t a t i ca n dd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i so ft h eh e a v y d u t y t r u c kf r a m ew a sc a r r i e do u tu s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h r o u g hac o m b i n a t i o no f e x p e r i m e n t s t h er e s u l t ss h o w e dt h a tt h ef i n i t ee l e m e n tm o d e lr e f l e c t e dt h ea c t u a l s i t u a t i o ni nt h ef r a m e w i t ht h et h i c k n e s so ft h es e n s i t i v ec o m p o n e n t sb e i n g m o d i f i e d ，t h es t r u c t u r a lp a r a m e t e r so ft h ef r a m el i g h t w e i g h td e s i g ni sc o m p l e t e d t h r o u g ht h et o p i c s ，t h em a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ： ( 1 ) c e l l - b a s e ds h e l l f i n i t ee l e m e n tm o d e lo ft h ef r a m es t r u c t u r ew a s e s t a b l i s h e du s i n gh y p e r m e s h k e yp o s i t i o n sh a db e e ns i m u l a t e di nt h ef r a m e s t r u c t u r ea n dl o a d s 、c o n s t r a i n t sh a db e e nd e a l tw i t h ( 2 ) t h es t r a i nt e s t s w e r ed o n ea n di t s u p p l i e dt h e e v i d e n c eo ft h ef i n i t e e l e m e n ta n a l y s i st op r o v et h ep r e c i s i o no ft h em o d e l ( 3 ) s t a t i cp r o p e r t i e so ft h ef r a m es t r u c t u r ew e r ec a l c u l a t e da n da n a l y z e d ， i n c l u d i n gb e n d i n g ，t o r s i o n t h er e s u l t ss h o w e dt h a tt h ef r a m eh a dg o o ds t r e n g t h a n ds t i f f n e s sp r o p e r t i e s ，a n dt h e r ew a sac e r t a i ns p a c eo p t i m i z a t i o n ( 4 ) t h r o u g ht h em o d a lb e i n ga n a l y z e d ，t h en a t u r a lf r e q u e n c i e sa n df o r m a t i o n o ft h ef r a m es t r u c t u r ew a sg o t t e n t h er e s u l t ss h o w e dt h a tt h ef r a m es t r u c t u r ec o u l d e f f e c t i v e l ya v o i dt h en a t u r a lf r e q u e n c yo ft h ev a r i o u se x c i t a t i o ns o u r c ef r e q u e n c y ， t h e na v o i d e dr e s o n a n c ep h e n o m e n a ( 5 ) t h er e s u l t ss h o w e dt h a ti nt h ec a s eo fg u a r a n t e e dc e r t a i nr i g i d i t ya n d i n t e n s i t y , b ye s t a b l i s h i n gs t r u c t u r eo p t i m i z a t i o nm o d e lo ft h ef r a m ea n dc h a n g i n g t h et h i c k n e s so fs e n s i t i v ep a n e l s ，l i g h t w e i g h to ft h ef r a m ec o u l db ea c h i e v e d t h i ss t u d ys h o w e dt h a tt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dh y p e r w o r k ss o f t w a r e f o rs t r u c t u r a la n a l y s i sa n dl i g h t w e i g h tf r a m ed e s i g np r o v i d e dag o o db a s i sf o rt h e t h e o r ya n dm e t h o d s i th a dv a l u ea n ds i g n i f i c a n c ei nt h eh e a v y d u t yf r a m ed e s i g n ， i n s p e c t i o n ，t r a n s f o r m a t i o na n do p t i m i z a t i o n k e yw o r d s ：f r a m e ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；s t a t i ca n a l y s i s ；m o d a la n a l y s i s ； l i g h t w e i g h t 插图清单 图2 1 有限元分析的基本流程一8 图2 2 薄板的坐标和应力分量9 图2 3 薄板中面内力9 图2 - 4 四截面四面体单元1 1 图2 5 梁单元1 5 图2 - 6 车架坐标系1 6 图2 7 车架的装配模型1 7 图2 8 刚性梁和弹簧单元组合模拟悬架模型1 9 图2 9 矩形截面梁模拟悬架模型1 9 图2 1 0 悬架的简化模型2 l 图2 1 1 板簧与吊耳的连接2 1 图2 1 2 整车的悬架模拟。2 1 图2 1 3 车架整体有限元模型。2 2 图3 1 非电量电测法的测试系统框图2 3 图3 2 粘接式应交片2 4 图3 3 电阻丝式应变片的应变效应2 5 图3 - 4 轴向和横向的应变的定义2 5 图3 5 直流惠斯登电桥2 7 图3 6 直流电桥的连接方式2 9 图3 7 试验设备及样车31 图3 8 右侧纵梁测点布置情况3 2 图3 9 左侧纵梁测点布置情况3 2 图3 1 0 纵横梁测点布置情况3 2 图3 1 1 车架有限元模型3 3 图4 1 动力总成和驾驶室总成的加载3 7 图4 2 蓄电池的加载3 7 图4 3 油箱的加载3 8 图4 4 各胎的加载3 8 图4 5 车架载荷分布图3 8 图4 6 满载弯曲工况边界条件3 9 图4 7 车架在弯曲工况下等效应力分布图3 9 图4 8 车架在弯曲工况下变形分布图3 9 图4 - 9 满载扭转工况边界条件4 0 图4 1 0 车架在扭转工况下的变形分布图4 0 图4 1 1 车架在扭转工况下的等效应力分布图4 0 图5 1 车架的模态分析模型4 6 图5 2 第一阶模态振型图4 6 图5 3 第二阶模态振型图4 6 图5 4 第三阶模态振型图4 6 图5 5 第四阶模态振型图4 6 图5 6 第五阶模态振型图4 7 图5 7 第六阶模态振型图4 7 图5 8 第七阶模态振型图4 7 图5 - 9 第八阶模态振型图4 7 表格清单 表2 1 车架坐标系1 6 表2 2 车架尺寸1 6 表2 3 车架材料属性1 7 表2 - 4 前、后悬架的相关参数2 0 表3 1 整车质量参数3 0 表3 2 主要试验仪器3 1 表3 3 车架载荷分布3 2 表3 4 静态应变试验结果与有限元分析结果对比3 4 表4 1 车架载荷分布3 7 表5 1 车架各阶频率4 7 表6 1 各构件的板厚5 2 表6 2 灵敏度分析及其比值5 2 表6 3 货车主要部件板厚修改前后对比5 3 表6 - 4 优化前后车架各主要参数对比5 4 独创性声明 本人声明所星交的学位论文是本人在导师指导r f 进行的研究l ：作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得 盒坦工业丕堂 或其他教育机构的学位或证1 _ 5 而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已往论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签字：向婚签字醐：刎f ，年午月夥日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些太堂 有关保留、使用学何论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 ； = ，允许论文被布阅或借阅。本人 授权 金趱王些盘堂 可以将学何论文的全部或部分论文内容编入有天数据库进i 了检 索，可以采用影印、缩印或扫描笱复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：彳匆砌 签字日期：加加年午月易日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 引币虢亏 签字日期：勿f 口 电话： 邮编： 铀f 也 年中月琴曰 致谢 岁月如梭! 转眼之间研究生生活即将过去，回顾过去，有太多的感恩。 首先感谢我尊敬的导师张代胜教授，感谢张老师在研究生学习期间对生活 上、学习上无微不至的关怀，是张老师深厚的学术功底、严谨的治学态度指导 我完成研究生学习，他的高尚的人格品质和豁达宽广的胸襟使我受益终生，是 我一生学习的榜样。 感谢陈朝阳教授、谭继锦副教授、尹安东副教授在学习上给予的指导和帮 助，感谢徐建中老师、王荣贵老师、杨伟华老师、温千虹老师在项目完成期间 给予的指导和帮助。在研究生阶段的学习中，从各位老师学习到的丰富的理论 知识和扎实的实践能力将是我今后工作中的宝贵财富，各位老师锲而不舍的钻 研精神和对人生对事业真诚和严谨的态度，将是我人生道路上的指路明灯。 感谢我的亲人和朋友，特别是我的父母，是他们不仅给予我物质上的支持， 更多的给我精神上的鼓励，使我能顺利完成研究生的学习，在我迷茫的时候是 他们给我支持和抚慰，在我收获成绩的时候是他们与我一起分享喜悦，鼓励我 不断进步。 最后感谢我的同学林伟、李传博、储昭淼、王晓利、姚伟、蒋成武、孙立 君、陈娜、柏林、刘魏娜、朱清君、阮小波、邝坤阳、杨杨等，是他们陪伴我 度过美好的研究生生活，感谢他们在几年里给予我的关心和帮助。 把最真的感谢送给所有关心我、爱护我的人! 作者：何丽君 2 0 1 0 年4 月 第一章绪论 1 1 引言 由于汽车工业具有很强的产业关联度，因而被视为一个国家经济发展水平 的重要标志【l 】。随着我国汽车产业自主创新能力的快速发展，产业国际竞争力 有了明显提高。2 0 0 7 年一汽解放j 6 重型载货车和东风1 5 t 级高机动性越野车 的成功开发，标志着我国重型载货车和越野车开发能力的重大突破，具备了从 零部件到整车的完整试制能力，掌握了关键总成的核心技术，并建立了规范的 开发体系和开发流程，对我国汽车工业提升自主创新能力具有非常重要的意义。 随着汽车市场竞争的加剧，车架结构设计应同时满足的要求越来越多，而 与此同时车架开发的周期却在不断缩短，计算机辅助工程分析技术逐渐被各大 汽车公司重视起来。利用计算机辅助工程进行汽车车架轻量化设计的目的是在 确保车架强度和刚度的前提下，减轻车架的质量，达到降低整车的整备质量、改 善汽车有关性能的目的。 1 2 研究背景 现今，高校、企业和科研单位都广泛采用了将有限元技术用于汽车分析设 计中的方法。由于有限元通用程序简单易用，精度高，其结果已成为汽车产品 设计和性能分析的可靠依据。有限元分析已成为汽车设计的重要环节之一，如 对产品的强度，疲劳【2 】，振动【3 】，噪音【4 】等问题进行分析计算，可以提高设计 质量，缩短开发周期，降低开发成本，真正形成自主开发产品的能力。 伴随着结构设计向着轻量化方向的发展，运用优化设计来提高产品竞争力 的方法已被提上了日程。汽车车架是汽车结构的重要组成部分之一，设计出重 量轻且各方面性能均能达到相关要求的车架结构是一项重要的工作。传统的车 架结构设计采用类比的思想来进行经验设计，设计出的车架结构除个别部位的 应力水平较高外，大部分部件的应力水平都较低，其强度富余较大。随着c a e 技术的发展，运用有限元分析进行车架结构设计得到了广泛应用。采用有限元 法对车架强度、刚度等进行分析，能够设计出既满足强度和刚度的要求，质量 又轻的车架。这不仅节省了原材料，降低了生产成本，燃油消耗，还有利于环 保。此外，运用有限元法进行分析设计，可以节省开支，缩短开发周期，提高 精度。 本文以某公司重型载货车车架为研究对象，通过建立车架结构有限元模型， 对多工况分析、模态分析以及基于灵敏度分析的优化问题等进行研究和探讨。 1 3 研究目的和意义 1 3 1 有利于改善汽车的性能【5 】 由于汽车轻量化对节能问题有较大的作用，国际各汽车制造商都在考虑如 何减轻车身的质量。另外，从驾驶方面考虑，汽车轻量化后加速性能提高，稳 定性有所改善；从安全性方面考虑，碰撞时惯性小，制动距离减小。 汽车的轻量化设计技术已经成为目前汽车研究领域的热点之一。 1 3 2 有助于提高汽车设计水平【5 】 要想实现汽车的轻量化，不运用当前最先进的技术进行设计、分析是不可 能实现的。结构设计中的有限元法是近几十年发展起来的新的技术和计算方法， 可以解决以往许多手工计算无法解决的问题，从而带来巨大的经济效益和社会 效益。其表现主要有： 1 ) 运用有限元法对车架进行辅助分析可提高车架开发、设计、分析和制 造的效率及车架的性能。 2 ) 车架在各种载荷作用下，会发生弯曲、偏心扭转和整体扭转等变形。 有限元法能够综合考虑汽车的复杂受力及变形情况，解决传统的车架 设计过程中所遇到的一系列问题。 3 ) 利用有限元法进行模态分析，了解车架结构的动态特性，从而在设计 上避免车架出现共振的现象。 4 ) 通过对车架结构的优化设计，在保证车架性能的前提下充分节省材料、 减小车架的重量，对降低车架的成本具有重要的意义。 因此，有限元法已经成为现代汽车设计的重要工具之一。在汽车产品更新 速度快，安全性以及舒适性要求越来越高的今天，对于提高汽车产品的质量、 降低产品开发以及生产制造成本，提高汽车产品在市场上的竞争力具有重要的 意义。 1 4 有限元法在国内外汽车方面的应用和发展概况 1 4 1 有限元分析的国内外概况 1 9 7 0 年，美国宇航局有限元结构分析程序n a s t r a n 的引入，标志着以有限元 分析为基础的汽车结构设计与分析的普及开始。1 9 7 7 年，通用汽车公司率先在 车架开发中应用了分析与试验验证结合的方法。利用有限元法，先对结构进行 动静态分析及碰撞模拟，然后用试验对结果进行证明。随着计算机技术的迅猛 发展，用于工程分析的软硬件也有了较大的变化【6 1 。从工作站和超大型计算机， 发展到现在的普通微机，一些通用化、商业化的有限元分析软件也相继出现并 日趋完善。目前在世界各大汽车公司广泛使用的分析软件有：h y p e r w o r k s ， n a s t r a n ，a n s y s ，i - d e a s ，d y n a ，a b a q u s 等。有限元分析软硬件的发展使其 2 应用领域进一步的扩大。 经过三十多年的积累、发展，国外许多汽车公司已经建立了高性能的计算 机辅助工程分析系统，形成了完整的设计、分析方法以及仿真程序，并应用到 了汽车设计的多个方面，如车架局部结构的静态强度、刚度分析【7 1 ，耐久性分 析【8 】，塑性变形分析【9 1 ，复合材料分析【l o , 1 1 1 ：整车及零部件的模态分析【12 1 ，振动 噪声分析1 3 , 1 4 】，车辆模拟碰撞分析【15 1 ，空气动力特性分析【1 6 1 ，优化分析【1 7 】等。 分析贯穿汽车结构设计整个过程，模型细化度不断提高，并具有强大的二次开 发能力。 国内的车架开发工作与国外相比起步较晚，有限元法在结构的强度和刚度 分析方面应用的较多，而对于车身结构或部件的各项性能指标进行系统分析及 优化的实例却不多，同时结构分析方面的数据积累也不够完善。因此，这就要 求我们在有限元建模方面更需要多加研究，积累更多的分析数据和试验数据， 从而建立相应的工程分析规范。 1 4 2 结构优化发展概况 优化设计是2 0 世纪6 0 年代初期在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的 新技术，是根据最优化原理和方法综合各方面的因素，以人机结合方式或“自 动探索方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条 件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。其设计原则是最优设计，i 设计手段是 电子计算机及计算程序：设计方法是采用最优化数学方法【1 8 】。 目前，国内对汽车结构件的设计与研究，己从主要是依靠经验设计发展到 应用有限元方法进行静强度计算【1 9 】和模态分析阶段【2 0 , 2 1 】，但尚未能进行像汽车 整车和主要零部件的参数确定和选择那样广泛的应用优化设计方法。汽车结构 参数优化设计仍是汽车工业近些年的重要研究领域。 现代汽车设计中，由于实际的汽车强度更加依赖于汽车振动及随机载荷响 应。只有通过结构动态分析，才能进一步提高汽车结构强度设计水平。汽车结 构动态分析技术已经进入实用化阶段。 汽车结构有限元分析的应用主要体现在【2 2 】： 1 ) 结构的强度、刚度和稳定性分析； 2 ) 结构件或零部件的优化设计； 3 ) 结构的模态分析、瞬态分析、谐响应分析和响应谱分析； 4 ) 结构的疲劳分析； 5 ) 概率有限元的应用； 6 ) 声学设计，用来评价乘员所感受到的噪声，并对它进行控制； 7 ) 车身的空气动力学计算； 8 ) 碰撞历程的仿真分析和乘员安全保护分析，从而提高汽车结构的被动 安全性。 现今，对汽车结构设计提出了更多的要求，展现出许多新的特点。在产品 开发过程中，在要求有限元精确建模和产品精细设计的同时，需要更多的考虑 非线性效应；通过有限寿命设计，使产品轻量化；通过整车非线性系统分析， 更加注重结构的变形效应。 1 5 本文研究内容 本文主要研究重型载货车车架结构的建模，静动态特性分析以及结构优化， 具体有以下几个方面： 1 ) 在充分调研的基础上，建立重型载货车车架结构分析模型。 2 ) 通过前期所做的静态电测试验，对有限元模型进行验证。 3 ) 运用重型载货车车架有限元模型，对载货车车架进行弯曲工况和扭转 工况的静态分析。 4 ) 运用载货车车架有限元模型，对载货车车架进行模态分析，探讨其动 态性能。 5 ) 分析车架结构件对车架质量、柔度系数的影响程度，同时探讨了利用 灵敏度法的有效性。 6 ) 基于灵敏度分析，取对柔度系数灵敏度与质量灵敏度比值的绝对值较 小部件和纵梁的板厚为设计变量，以车架轻量化为目标进行优化设计。 1 6 本章小结 本章介绍了本课题选题的研究背景、目的和意义，国内外在有限元分析方 面的研究现状，说明了本文的研究内容，为后续章节做了整体的概括。随着有 限元理论及优化方法的不断发展，基于有限元方法的重型载货车车架分析及优 化设计将会越来越显示其重要性。 4 第二章基于板壳单元的车架结构有限元建模 2 1 引言 有限元分析【2 2 五4 】( f e a ，f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ) 的基本思想是利用数 学近似的方法对真实的物理系统进行模拟，通过离散化的手段，将连续体划分 成有限个离散的小单元体，从而用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实 物理系统，达到简化问题并获得近似解的目的。 鉴于汽车结构几何形状复杂，结构间的连接关系多种多样，并且常具有非 线性的特点，很难用传统的解析方法求出其精确解，因此借助于有限元分析技 术来获得满足工程要求的数值解是十分必要的。又由于有限单元的网格划分灵 活方便，且能够适应各种复杂几何形状，处理不同的边界条件和连接关系。因 而，在汽车工程领域，有限元方法被广泛地应用在汽车结构的强度分析、刚度 分析、振动和噪声分析、结构优化设计和碰撞仿真分析等方面。目前各大汽车 公司以及研究机构都普遍采用有限元分析软件来建立汽车有限元模型，进行静 动态分析，完成结构的优化设计等方面的工作。 2 。2 静力分析有限元法理论 2 2 1 线弹性静力学问题【2 5 - 2 6 1 线弹性体的静力分析问题是整个结构有限元分析的基础。主要完成以下几 个方面的步骤： 1 ) 结构的离散化 它是有限元分析的第一步，同时也是有限元方法的基础。在这一步中，要 把分析的工程结构划分成有限个单元体组成的计算模型。即将离散后的单元根 据一定的原则，在节点位置连接起来，组成用以代替原来结构的单元的集合体。 2 ) 选择位移模式 为了能用节点位移来表示单元内任何一点的位移、应力和应变，首先假定 单元内任意一点的位移是坐标的某种简单函数，称之为位移函数，即： 厂) = 【】 t ) ( 2 - 1 、 式中： 厂 ：表示单元内任意一点的位移列向量； 娩 ：表示单元的节点位移列向量； 【n 】：表示形状函数矩阵。 3 ) 分析单元的力学特征 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单 元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹 性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度 矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。 通过弹性力学的几何方程，导出用节点位移表示出来的单元应变： s = 切 = 【d i b i 6 。 r 2 3 、 通过虚功方程建立起作用在单元上的节点载荷和节点位移之间的关系式， 即单元的刚度方程，从而导出单元的刚度矩阵： 化 _ 疋】( 疋 ( 2 - 4 ) 【k 。】- i 【例。 d b l d v ( 2 - 5 ) ， 式中： 【k 】：表示单元刚度矩阵； ) ：表示等效节点荷载列向量。 4 ) 计算等效节点荷载 对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元中的。与实 际的连续体不同的是，连续弹性体经过离散化以后，假定力是通过节点从一个 单元传递到另外一个单元。因而，作用在单元上的各种力，包括集中力、作用 在单元边界上的表面力、以及体积力，都需要等效的移置到节点上去，从而形 成等效节点荷载。也就是说，在计算等效节点载荷时，是用等效的节点力代替 原来所有作用在单元上的力。 5 ) 整体分析及边界条件的处理 利用结构的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来， 形成整体的有限元方程。 通过单元平衡方程建立起了单元节点力与节点位移之间的关系。将每个单 元建立起来的单元平衡方程，集合起来，从而可以建立整个结构的平衡方程和 总体刚度矩阵： 【k 】 艿) = 尸( 2 6 ) 式中： 【k 】：表示全结构的总体刚度矩阵； 8 1 ：表示全结构的节点位移列向量； 尸) ：表示全结构的等效节点荷载列向量。 由于总刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆阵，为了求解整体平衡方程，必须 消除刚体位移，引入位移约束条件。从力学角度来看，进行边界条件约束处理， 消除结构由于外力作用而产生的刚体位移，使刚度矩阵从半正定阵成为正定阵， 使解具有唯一性。 6 6 ) 求解结构平衡方程、计算单元应力 结构的平衡方程是一个线性代数方程，并且是由以总体刚度矩阵为系数而 组成的。通过解这个方程组可以求得未知的节点位移。从而根据式( 2 3 ) ，通 过节点位移求出单元的应力。 2 2 2 有限单元法求解的收敛准贝u 1 2 2 , 2 7 1 这种人为假定的位移模式，其位移函数的好坏直接影响着计算工作的繁简 程度和计算结果的精度。所以，位移函数的选定是有限单元法的一个关键步骤。 理论和实践证明，虽然人为假定的位移函数一般只能近似地描述实际连续体的 位移状态，但假定的位移函数满足一定的条件时，随着单元尺寸的逐步缩小， 就可使计算的结果收敛于精确解。这些条件是【2 2 】： 1 ) 位移函数应能反映单元的刚体位移。 因为任何结构在外力作用下各个单元的位移总是由两部分组成的：部分 是由于单元本身的形变引起的弹性位移；另一部分是与本单元的形变无关的、 而由其他单元发生了形变而连带引起的刚体位移。因此，位移函数中应包含与 坐标无关的常数项，以反映单元的刚体移动，同时还要有相应的项以反映刚体 的转动。 2 ) 位移函数应能反映单元的常量应变。 因为每个单元的应变一般总可认为包含着两部分：其中的一部分应变的值 不随坐标而变，是各点相同的，称之为常量应变，此时单元处于均匀状态；另 一部分应变的值随坐标而变，是各点不同的，即所谓变量应变。因此，整个单 元的应变是在单元的常量应变基础上再迭加上单元的变量应变。显然，当单元 的尺寸取的较小时，单元中各点的应变趋于相等，即单元的应变趋近于某一常 量。此时，常量应变就成为单元应变的主要部分，因此位移函数必须反映常量 应变。 3 ) 位移函数应能保证单元内部及相邻单元之间位移的连续性。 因为实际的连续体在变形前后都是连续的，而代替它的由许多单元离散而 成的组合体在变形后也应当连续，不应出现裂纹或相互嵌入现象。应当指出， 在某些问题中，如板、壳问题，要做到相邻单元公共边界上全部位移分量都协 调是困难的，只能做到部分位移协调。计算的实践证明，这样的位移函数是许 可的。 上述三个条件就是选择位移函数时所应遵循的原则。前两个条件是收敛于 精确解的必要条件，加上第三个才构成有限元解的充分条件。 有限元分析的流程【z 引如图2 1 所示： 7 输入 上 单元分析 上 组集整体方程 j 求解整体方程 j 计算其他结果 上 输出 图2 1 有限元分析的基本流程 2 3 有限元单元理论 为了进行重型载货汽车的静、动态有限元分析，针对其车架的结构特点， 本文采用了h y p e r w o r k s 软件【2 9 1 单元库中的板壳单元、实体单元、梁单元等进 行车架的有限元建模。下面简单介绍一下这几种单元。 2 3 1 薄板弯曲基本理论 3 0 l 板是工程结构中常见的一种结构。设薄板厚度为，板面宽为b ，平分板厚 度r 的平面称为中面。弹性力学所研究的板问题可以分为以下三种类型：薄膜 ( t b ( 1 8 0 1 1 0 0 ) ) ；薄板( ( 1 8 0 1 1 0 0 ) t b ( 1 5 1 8 ) ) 。其中薄膜一般认为其抗弯能力很低，处理时将其抗弯刚度设为 零，横向载荷由板面内的轴向力和板面内的剪切力来承担。而厚板则认为其内 部任一点的应力状态与三维物体类似，难以进行简化，有限元分析中一般按三 维问题处理。 在处理如图2 2 所示薄板问题时，可以按照薄板理论将薄板所受载荷分解 为两个分量：一个作用在薄板的中面内。另一个垂直于中面。中面内的载荷， 可以认为沿薄板厚度均匀分布，所以是平面应力问题，按平面应力问题解决。 而垂直于中面的载荷使薄板弯曲，要用板弯曲理论求解。 薄板横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比，可忽略不计。假定等厚度 薄板的材料是各向同性的匀质体，且符合虎克定律。薄板屈曲的临界荷载可通 过求解中性平衡微分方程获得，也可用能量法、变分法和有限元法求解。薄板 的坐标和应力分量如图2 2 所示。 图2 - 2 薄板的坐标和应力分量 计算实际工程的薄板问题时，常采用小挠度理论，并作如下三项基本假设： 1 ) 薄板具有一定的抗弯刚度，其垂直于中面的挠度w 远小于其厚度r ，忽 略弯曲引起的薄膜效应； 2 ) 直法线假设。应力分量仃：、f 。和f ，远小于其余三个应力分量矿。、盯，和 f 前者引起的应变可忽略。因此垂直于中面的直线段，弯曲后仍保 持为无伸缩的直线，并垂直于弹性曲面。 3 ) 薄板弯曲时中面内的各点都没有平行于中面的位移，即为中性层。弯 曲成的弹性曲面在渺面上的投影形状保持不变。 根据假设，薄板弯曲问题可简化为平面应力问题，变形特征可用线性偏微 分方程描述。 图2 - 3 薄板中面内力 考虑薄板中面力以及平行六面体表面由于微弯状态具有的力矩、扭矩和剪 力沿三个坐标轴方向的平衡条件，薄板中面应力如图2 - 3 ，可得到关于薄板屈 曲的三个平衡方程式： 警+ 等+ 以窘+ 2 n 掣缸砂川矿0 2 w = 。 等+ 百a m , , y g = 。 警+ 百o m , , y 一幺= 。 9 ( 2 - 7 ) 为了简化，可进一步将三式组成一式： 等+ 2 酱+ 等+ 喀峨舄+ 以守= 。 仁8 ， 上式包含四个未知量，需考虑几何条件和物理条件，补充三个方程后才能 求解。 分析薄板弯曲时的几何关系，将几何方程中的应变分量用挠度w 表示，代 入物理方程( 广义虎克定律) ，得出用位移分量w 表示应力分量的弹性方程。在 平行六面体的侧面上应力的合力矩就是作用在该侧面上的各个内力矩。于是积 分得出三个力矩一位移方程： m x - - - d c 害+ 斋，c w d v 膨，一。c 拳+ 窘， m 秒一即刊裔 ( 2 9 ) 式中：d = 1 2 ( 1 l - 一为单位宽度板的抗弯刚度，相当于梁的抗弯刚度日。 上式相当于梁的, u 弯2 ) 矩一曲率关系式。将式( 2 9 ) 代入式( 2 - 8 ) ，可得 档+ 2 爵+ 雾 - 也窘+ 砜骞+ m 雾 或仞2 v 2 w = 眠窘+ 巩啬+ 虬n y 矿a 2 w ( 2 - 1 0 ) 出。7 功泖 。咖 式中：v 2 ：为拉普拉斯算子。 上式即为薄板弹性弯曲的微分方程式，是以挠度w 为未知量的四阶常系数 线性偏微分方程。由此可见，薄板弯曲问题的解完全取决于挠度w 的选择。方 程右边项与中面内力有关，如果用薄板单位面积横向荷载g 替换，方程即为薄 板弯曲的弹性曲面微分方程。 2 3 2 四节点四面体单元【3 0 】 图2 - 2 所示为四节点四面体单元示意图，它具有4 个节点，4 个面，每个 节点有3 个方向的位移自由度。其节点编号和节点坐标如图2 4 所示。 l o 图2 - 4 四截面四面体单元 节点编号遵循这样一个顺序：在右手直角坐标系中，应使得右手螺旋按照 f ，j ，m 轮换的转向时，p 在大拇指所指的方向。每个节点有3 个方向的位移 自由度u ，1 ，w ，4 个节点共有1 2 个位移分量。其单元节点位移向量为 万- u ，mw l 砧j巧w j 甜愿 v 而 w m “p1 ，pw p 】 ( 2 1 1 ) l “2 口l + c 9 2 x + 口3 y + 口4 z ，= 口5 + 口6 x + 口7 y + 口s z ( 2 1 2 ) 【w 2 + f z l o x + 9 1 l y + t z l 2 z 其中，口：为1 2 个待定常数。位移函数2 - 1 2 必须在单元节点上满 足节点位移，将节点坐标和节点位移代入上式，可求得待定常数，口：。 再将其代入式2 - 1 2 ，得到用形函数表示的位移函数： i “= m ”f - i - n j ”，+ 二甜埘+ n p u p 1 ，= m ，f + n j l ，+ “1 ，肼- t - n p l ，p ( 2 1 3 ) i w = j w j + n j w j + 心w m + n p w p 写成矩阵形式为： i “ll f 0 0 以0 0 n m 0 0 p 0 0 l 厂= ivh 0 m 00 n j 00 n m 00 n p 0 r = n 8 。 l w j 【- 0 0 n l 00 m 00 以0 0 n p j 式中，n ；为单元形函数矩阵，其中 f = 专( 叩+ 6 i x 怕j ，+ 纠 。乩加，p ) ( 2 - 1 5 ) a i ，b i ，c f 和d 1 分别为： 铲睡y j 卦 q = 引引 1 y = 二 6 x |y iz t x iy j z l x my mz m 石户y pz p ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 将位移函数代入几何方程式，得到： s = b a t = b 一乃吃一屏p 。 ( 2 1 8 ) 式中，b 为应变矩阵，其中任意一项子矩阵的各元素为： 1 b ，2 = 6 y b l 00 0 qd i o0d q 岛0 0 d lc f d i 0 b l ( f = f ，m ，p )(2-19m ) u = i ，p j l) 可以看出，应变矩阵中个元素都是常数，只与单元节点坐标有关。因此单 元中的应变也必为常量。与平面三角形单元一样，四面体单元也是常应变单元。 单元的应力为： 占= d b 8 8 = s 万。= 墨一s j & s p 】占 ( 2 - 2 0 ) 式中，s 为应力矩阵，其中任意一项子矩阵为 墨= d b i = 6 矿a _ _ 2 3 其中： b i a , c ，彳l d t 彳l b eq4 t 彳l c i4c ld e 彳2 c i 彳2 b l 0 0 么2 d j , 4 c 彳2 面0彳2 b e 1 2 ( f = f ，j ，m ，p ) ( 2 2 1 ) 乃乃 儿 乃雌 即 =uhuhu = = ， 班 珥 彳t = 上1 - , a ，么：= 互1 i - 而2 , u ，么，= 殒i e ( 1 而- , u ) 显然，单元中的应力也为常量。 单元刚度矩阵为 七。= 胪r d b d v ( 2 2 2 ) 由于b 、d 都是常数，二者都可以提到积分号以外，因此单元刚度矩阵可表 示为： k 。= b7 d b v( 2 - 2 3 ) 其中，y = f d x d y d z ，为单元的体积。将应变矩阵式( 2 1 9 ) 和弹性矩阵式 ( 2 - 2 1 ) 及单元表达式( 2 - 1 7 ) 代入上式，可得单元刚度矩阵的子块形式表达式： 七。= 一 ， 一 一 一 一 礁 一七二 一 一 ( 2 - 2 4 ) k = b j d b v ib r b s + a 2 ( c ，c ，+ d ，d s ) a , b ，c ，+ 4 c ，b ，4 6 ，c ，+ a 2 d ，以 i = 詈i a , c ，阢+ 彳2 b c r c ，+ 彳2 ( 6 ，以+ d ，d ，)a , c 一+ a 2 d l 。l4 d ，d s + a 2 b r b sa 1 4 哝+ a 2 q t , i r a , + a 2 ( q 巳+ b r b s ) j 2 3 3 梁单元【3 0 】 如图2 5 所示，等截面二节点梁单元，节点位移为挠度和转角，节点力为 剪力和弯矩。单元每个节点有两个自由度，单元形状函数应是三次多项式： v ( x ) = 口l + 口2 x + o t 3 x 2 + o r 4 x 3 ( 2 2 6 ) 由单元两端点的条件：x = 0 ，y = _ ，p = 幺；x = ，y = ，口= q ，可解除4 个待定 系数，将位于模式写出标准形函数，则有 y ( 功= 舫。( 2 2 7 ) 式中： n = 【ln 2n 3n 4 】 其中： l = u 3 3 1 x 2 + 2 x 3 ) ，3 n 2 = 1 2 x - 2 1 x 2 + x 3 ) ，2 n 3 = ( 3 1 x 2 - 2 x 3 ) t 3 4 = 一( i x 2 一x 3 ) z 2 按梁单元的受力状态，其节点力向量为 节点位移向量为 f 。= qm ，q jm e 万。= 幺y ，巳 7 ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 式中，q 为剪力；m 为弯矩；秒为转角，0 ；华；y 为挠度。按照梁的平面 d x 弯曲公式： 占一y 可d 2 v ，口= 西一归窘占2 一y i 磊r 口2 占s2 一班左7 由式( 2 - 1 ) 和1 可得单元弯曲应变和应力： s = b 6 e仃= e 8 = e b 6 t = s 6 。 ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) 其中，应变矩阵： b = 【bb 马b 4 砉【1 2 x 卅t ( 6 x 卅) 一( 1 2 x 一6 0 1 ( 6 卜2 0 1 ( 2 - 3