（控制理论与控制工程专业论文）基于fpga技术的多涡卷混沌信号发生器的研究.pdf

摘要 摘要 多涡卷混沌与超混沌吸引子是近年来混沌研究领域的一个热点课题，在信息 科学、保密通信和其它工程领域有较好的应用前景。在目前国内外的许多相关文 献中，主要是报道用分立元件设计模拟电路来产生模拟混沌信号，而有关用现代 数字信号处理技术来研究和实现连续混沌系统的报道却很少。 本论文首先在第一章总体上介绍了本课题的研究背景和研究历程，并在第二 章具体地解释了混沌的一些基本概念。由于本论文所论述的混沌信号发生器是基 于f p g a 平台的，所以在第三章我们简要地介绍了f p g a 的基本概念和f p g a 开 发中所用到的一系列软件开发平台。最后，在深入了解现阶段国内外相关学术文 献的基础上，用第四章和第五章两个章节重点地介绍了一种基于f p g a 平台的混 沌信号发生器的软硬件设计方法。本方法可以产生混沌保密通信系统所需要的各 种混沌信号。 众所周知，现代数字信号处理技术都是针对离散数字系统的。为了用f p g a 技术产生混沌信号，我们提出对连续混沌系统进行离散化处理和变量比例变换的 新方法，从而使离散化后的混沌系统便于f p g a 的实现。在此基础上，本文主要 以网格状j e r k 混沌系统为典型实例，给出了用现代f p g a 技术产生网格状多涡卷 j e r k 混沌吸引子和其它典型混沌吸引子的实验结果。 需要强调的是，这种基于f p g a 的数字设计方法可以推广到l o r e n z 系统、 c h e r t 系统、l n 系统、c h u a 系统等其它的一些连续混沌系统中，因而具有一般的 通用性。本文的创新点在于提出了一种将连续混沌系统离散化的方法，并在此理 论基础上用f p g a 平台完成了混沌信号发生器的设计。 关键词：连续混沌系统；离散混沌系统；多涡卷混沌吸引子；f p g a 实现 本课题得到了国家自然科学基金“一类广义j e r k 系统与广义多折叠环面系统及 其应用研究”( 批准号：6 0 5 7 2 0 7 3 ) 、广东省自然科学基金“多涡卷混沌与超混沌 吸引子及其在保密通信中的应用”( 批准号：3 2 4 6 9 ) 、广东省自然科学基金“一类 新型网格状混沌吸引子及用于混沌通信调制技术研究”( 批准号：5 0 0 1 8 1 8 ) 和广 州市科技计划项目“一类新型混沌产生器及用于混沌无线通信调制技术研究”( 批 准号：2 0 0 4 j 1 c 0 2 9 1 ) 的资助。 奎三些奎兰三兰堡：! 兰堡丝三 a b s t r a c t r e c e n t l y , r e s e a r c h e r si nt h ec h a o ss c i e n c ef i e l dh a v eg r a d u a l l yf o c u s e do nt h e m u l t i s c r o l la n dl a y p e rc h a o t i ca t t r a c t o r s ，w h i c hw i l lh a v ep r o m i s i n ga p p l i c a t i o n p r o s p e c ti ni n f o r m a t i o ns c i e n c e $ e c b r ec o m m u n i c a t i o na n do t h e re n g i n e e r i n gm e d a n dn o w , i ti sa l w a y sr e p o r t e di nr e f e r e n c e dl i t e r a t u r et h a tm a n yk i n d so fc o n t i n u o u s c h a o t i cs y s t e ma r ef u l f i l l e db ys e p a r a t ea n a l o g yc i r c u i td e v i c e b u tv e r yf e wo ft h e m a 托r e s e a r c h e da n dr e a l i z e db ym o d e md i s c r e t es i g n a lp r o c e s sm e t h o d a tf i f s t - w eh a v ei n t r o d u c e dt h eb a c k g r o u n da n dt h ec o l l r 辩o fo u rr e s e a r c hw o r k i nc h a p t e r1 ，a n dt h e nw eh a v ee x p l a i n e dt h eb a s i cc o n c e p to fc h a o si nc h a p t e r2 a c c o r d i n g t oo u rd e s i g nm e t h o do f c h a o t i cs i g m ag e n e r a t o r , i ti sn e c e s s a r yt oi n t r o d u c e t h ec o n c e p to ff p g aa n dt h es o f b v a r ed e v e l o p m e n tt o o l si nc h a p t e r 3 ，w h i c hf p g a d e s i g nr e q u i r e s f i n a l l y , b a s e do nt h ei n - d e p t hi n v e s t i g a t i o no fr e l a t i o n a ld a t u m , t h i s p a p e rp r e s e n t san e ww a y t oa c h i e v et h ec h a o t i cs i g n a lg e n e r a t o rd e s i g no i lt h ef p g a p l a t f o r mi n l a s tt w oc h a p t e r s t h i sm e t h o dc a l lh e l pu st og e n e r a t em a n yk i n d so f c h a o t i cs i g n a lw h i c hw en e e df o rc h a o t i cs e c u r ec o m m u n i c a t i o ns y s t e m i ti sw e l lk n o w nt h a tm o d e md i s c r e t es i 即| a lp r o c e s st e c h n o l o g ya i m sa td i s c r e t e s y s t e m i no r d e rt og e n e r a t ec h a o t i cs i g n a lb yf p g a , w ep r o p o s eu na p p r o p r i a t e d i s c r e t ea n dv a r i a b l ep r o p o r t i o nt r a n s f o r m a t i o nt oc o z w e r tt h ec o n t i n u o u sc h a o t i c s y s t e m si n t od i s c r e t ec h a o t i cs y s t e m s ，w h i c hi sa p p r o p r i a t ef o rf p g ap r o c e s s i n g a c c o r d i n gt ot h i sm a t ht r a n s f o r m a t i o n , w et a k et h eg r i d j e r kc h a o t i cs y s t e ma sa l l e x a m p l et oe x p l a i nh o w t or e a l i z et h eg r i dj c r kc h a o t i cs y s t e ma n do t h e rt y p i c a lc h a o t i c s y s t e m sb yu s i n gt h ef p g at e c l l i l o l o g yt h a tw eh a v em e n t i o n e da b o v e t h e e x p e r i m e n t a lr e s u l to f c h a o t i cs y s t e mh a sb e e ns h o w n i nt h ee n do f t h i sp a p e r i tm u s tb ee m p h a s i z e dt h a tt h i sf p g ad e s i g nw a yc o u l da l s ob eu s e dt od e s i g n l o r e ns y s t e m , c h e ns y s t e m , l ns y s t e m , c h u as y s t e m , m c ks y s t e ma n do t h e r c o n t i n u o u sc h a o t i cs y s t e me x c e p tf o r 鲥dj e r kc h a o t i cs y s t e m s ow ec o u l dc o n c l u d e t h a tt h i sf p g ad e s i g nm e t h o di sar e l a t i v eu n i v e r s a ld e s i g nw a y g e n e r a l l y , i ti s c r e a t i v et oh a v em e n t i o n e dt h e a p p r o p r i a t e d i s c r e t ea n dv a r i a b l e p r o p o r t i o n t r a n s f o r m a t i o n a n db a s e do i lt h i st h e o r y , w eh a v ef u l f i l l e dt h em u l t i - s c r o l lc h a o t i c s i g n a lg e n e r a t o rb yu s i n gf p g a k e y w o r 出：c o n t i n u o u sc h a o t i cs y s t e m , d i s c r e t ec h a o t i cs y s t e m , m u l t i - s c r o l l h y p e r c h a o t i ca t t r a c t o r , f p g ar e a l i z a t i o n p r o j e c ts u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( g r a n tn o 6 0 5 7 2 0 7 3 ) ，t h en a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f g u a n g d o n gp r o v i n c e ( g r a n tn o 3 2 4 6 9 ， 5 0 0 1 8 1 8 ) a n dt h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g yp r o g r a mo fg u a n g z h o uc i t y ( g r a n tn o 2 0 0 4 j 1 - c 0 2 9 1 ) i i i 三童三些查兰三兰竺兰兰堡丝圣 独创性声明 秉承学校的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导师 的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注 和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包含本 人或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的，论 文成果归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担切相关责任，特此声明。 指导教师签字高霭投 论文作者签字：自巨点孤 知1 年r 月1 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 混沌是当今世界的前沿课题，它揭示了自然界和人类社会中普遍存在的复杂 性：有序与无序的统一，确定性与概率性的统一，大大开拓了人们的视野，加深 了对客观世界的认识。混沌的发现，乃是继二十世纪相对论与量子力学之后的第 三次物理学大革命，这场革命正在冲击和改变着几乎所有的科学和技术领域，向 我们提出了巨大的挑战【l 】。 混沌科学首先向我们提出这样一个带有根本性质的问题：人们是生活在一个 确定性的宇宙中，还是生活在一个概率性的宇宙中? 这是科学家和哲学家们长期 以来所探讨的一个对世界带有根本性看法的重要问题，但一直未能得到完满的解 决。混沌理论正在缩小这两个对立描述体系之间的鸿沟：混沌是确定性系统的内 在随机性，是确定性与概率性辩证统一的世界。混沌运动乃是自然界中的一种基 本的运动形态之一【旧。 正如日本著名统计物理学家久保在1 9 7 8 年指出：“在非平衡非线性的研究 中混沌问题揭示了新的一页。黄国一个国家科学机构把混沌问题列为当代科学研 究的前景之一。混沌科学最热心的倡导者美国海军部官员s h l e s i n g e r 说：“2 0 世 纪科学界将永远铭记的只有三件事：相对论、量子力学与混沌。物理学家f o r d 认 为，混沌是2 0 世纪物理学第三次最大的革命，与前两次革命相似，混沌也与相 对论及量子力学一样冲破了牛顿力学的教规。与牛顿力学的应用经受相对论和量 子力学革命性的突破有所不同，这次革命的实质就是在于混沌是直接作用于研究 人们所感知的真实宇宙，是在人类本身的尺度大小差不多的对象中所发生的过程， 人们研究混沌时所探索的目标就处在日常生活经验和这个世界的真实图像之一。 通过对混沌较深层次的研究，人们发现混沌是可控制和同步的。这一历史性 的重大发现将使混沌应用于通信领域成为可能，导致y - - 十一世纪的一种全新的 通信方式混沌同步通信，引起通信理论与技术的一次新的大革命。从混沌理 论的产生与形成到混沌的控制与应用这一历史发展进程充分说明：混沌科学正在 改变人们以往的思维模式，丰富和发展了人们的自然观和认识论 2 - 4 1 。 广东工业大学工学硕十学位论文 1 2 国内外混沌保密通信研究的现状 1 9 9 0 年美国海军实验室的两位学者c a r r o l l 和p e c o r a 首先在电路实验中发 现了混沌同步，并立即提出了从实验上利用混沌同步进行秘密通讯及信息处理的 可能方案。这既是令人吃惊的，又是引人入胜的发现，因为混沌行为的最大特点 就是，运动轨线对初始条件具有高度的敏感性，所以以前认为在实验室内重构相 同的完全同步的混沌系统简直是不可能的事情。但是，混沌同步的发现冲破了这 个禁锢，打开了新天地，具有诱人的应用发展前景1 5 6 1 。 本部分将综述迄今已发现的混沌同步的几种类型及其基本原理。目前，混沌 保密通信技术大致分为三大类m 嘲： 第一类是直接利用混沌进行秘密通信，将加密系统的密钥设置为混沌系统的 参数，而将明文设置为混沌系统的初始条件，或者不改变混沌系统的参数，而将 加密系统的密钥设置为混沌系统的部分初始条件，将明文设置成混沌系统的另一 部分初始条件，之后经过密码学中类似于f e i s t e l 网络的多次迭代来实现明文和 密钥的充分混和扩散。 第二类是利用同步的混沌进行秘密通信，这种设计思路特别适合用于用混 沌系统对模拟信号的加密传输，易于用电路硬件实现，做法是在发送端应用混 沌信号调制待加密的信号，并把经过调制的信号一起在通信信道上传输，这种 信道上的信号类似于噪声信号，使得窃听着无法识别，而在接收端，应用混沌 自同步技术，去除混沌信号，检出有用信号，即完成了收发双方的保密通信。 第三类是混沌数字编码的异步通信，将混沌系统作为伪随机序列发生器， 其中混沌系统由离散混沌系统或经过离散化的连续混沌系统构成，这种由混沌 系统产生的伪随机序列与明文进行异或操作，所得输出即为密文阴。 其中第二类的混沌同步通信是当前国际上研究的一大热点，正在成为发展高 新技术的一个新领域，到目前为止，己经提出和发展了同步混沌通信的三大保密 技术：混沌掩盖、混沌调制和混沌键控技术。这些也是目前混沌保密通信研究中竞 争最为激烈的、迅速发展中的三项新技术。值得一提的是，近年来也提出了无需 同步的混沌掩盖、混沌键控、混沌调制技术1 8 】【9 】。 不论采用哪种保密通信技术，首先要解决的问题是信号源的实现，即混沌信 2 号器的设计。 1 3 本课题研究背景和研究的经历 禹思敏老师在近十年里潜心于多涡卷混沌吸引子和混沌保密通信学术领域的 研究，取得了丰硕的研究成果，并得到了国内外知名学者和专家的高度评价。禹 老师在多涡卷混沌吸引子研究方面的特长就是能通过搭建传统的模拟电路来产生 多方向多涡卷混沌吸引子。禹老师用模拟电路产生的多涡卷混沌吸引子不仅在数 量上领先于国际先进水平，而且十分的饱满和美观。其中部分成果甚至得到了国 际知名学者，蔡式电路之父蔡少棠教授的首肯。作为禹老师的学生，我们为之感 到无比的自豪。到2 0 0 4 年，招入我们这一届研究生时，禹老师希望能够突破以往 产生混沌吸引子的传统方法，不再使用电容，电感，电阻，集成运放，模拟乘法 器等分离模拟器件来搭建混沌电路，而改用现代的可编程集成电路的设计方法来 产生混沌吸引子。因为传统的模拟电路搭建过程比较复杂，而且极易受外界因素 ( 如温度) 的影响，而且由于是手工制作，万一出现问题不易查错和维护。有鉴 于此，禹老师希望混沌电路能从面包板上走下来，走到一块完全集成的芯片中。 从此本课题的研究方向就基本确定下来了。 有人曾经说过，人总是习惯做自己熟悉的事情。在做研究时，当你长时间用 某一种研究方法研究某一课题的时候，想跳出原来的思维架构并不是一件很容易 的事。所以，在探索用新的方法来产生混沌吸引子的道路上，我们很自然的就想 到了使用模拟可编程技术。毕竟。我们已经长时间习惯地在模拟电路这个平台上 工作，自然地想到用模拟电路来搭建研究者和混沌之间沟通的桥梁。在日后的调 研和试验中，模拟可编程的想法被验证是一件没有实际意义的“形象工程”，其实 是换汤不换药。 无巧不成书，通过研究l a t t i c e 公司一系列的模拟可编程器件的性能，我们 逐渐发现此类产品的一个致命弱点。该公司生产的模拟可编程器件中集成的运算 放大器数量太少，就连我们研究最基本的需要都无法满足。而且，虽然它是可编 程的器件，但是其在编程的灵活性上远远不够。再加之其芯片采购的难度相当之 大，所以这条路在研究之初的一个多月内就被基本否定掉了。然而，随着而来的 就是极度沮丧和迷茫了，混沌电路的集成化的道路到底能不能走得通? 禹老师和 广东工业大学工学硕士学位论文 我们既着急，却又在积极地思索。几天后，禹老师忽然一大早打电话叫我去他家， 说是已经将连续的混沌状态方程化成了离散的差分方程，并且已经通过了m a t l a b 的仿真实验。这是我们研究历程上一次重大而且具有转折意义的发现，它为后来 的研究打下了坚实的理论基础。在以后的实验中证明这种方法可以使用到我们所 有了解的混沌系统中，是一种具有普适性的方法。 有了这个离散化的法宝，以下的工作就是要如何在f p g a 中实现了。在研究过 程中我尝试了关于的f p g a 的几乎所有设计方法，但是每种方法都因为其自身的固 有缺陷而暂时搁浅。研究又一次进入到一个艰难的关口，似乎又到了一个山穷水 尽的地步。科学研究过程是一个从量变到质变的过程，只要研究者主观上能够百 折不饶，坚持不懈，事情往往就会在最没有希望的时候悄然发生转机。我当时想， 既然不同的方法都遇到了困难，那么能不能在这些方法之间建立起一座桥梁，让 他们优势互补呢? 我选取两种自己感觉最为有效的方法试了试，竟然很快达到了 实验目标。我用d s p b u i l d e r 先建立起混沌系统的模型，然后用工具将模型文件转 换成硬件描述语言的文件。在掌握整个硬件描述语言文件的基础上，根据需要对 h d l 源文件做必要的修改，从而可以方便地驱动开发板外围的d a 芯片和其他外围 设备。在通过了m o d e l s i m 和q u a r t u si i 两个工具里进行时序仿真和编译配置后， 将程序下载到硬件平台中就可以在示波器上看到漂亮的混沌吸引子的相图了。它 可爱地就像一个刚出生的宝宝，顿时心中一种从来无曾体会的成就感油然而生。 鲁迅先生说过，“这世上本没有路，走的人多了，也就成了路”。路是靠人走 出来的，当自己看不到前方的路时，我们就应该有勇气为自己，为后人趟出一条 前进的路。我很高心靠自己的双脚趟出了一条道。孟子也说过：“君子性非异也， 善假与物也”，很多情况下，工具和条件都摆在自己面前，如果真想成为人才的话， 就要善于运用他们来达到自己的目标。 1 4 本课题的主要研究内容 我们实验室所从事的大课题方向是做成一套在实验室条件下完全可行的混沌 无线保密通信系统。课题初衷是通过d s p 和f p g a 两种平台来分别实现。我个人主 要是负责f p g a 平台上的混沌保密通信系统实现。另外还有其他同学在d s p 平台上 做着不懈的努力。其系统的基本框图i - i 所示。 4 第一章绪论 在f p g a 平台上实现混沌保密通信系统的课题中，首要的任务是能够在f p g a 芯片中产生符合通信系统要求的混沌信号，即完成图卜1 发端混淹模块和收端混 沌模块的设计。而本文通篇也就是在讨论如何在f p g a 的平台上产生混沌信号的问 题。在以后的章节中我们会总结出一种在f p g a 平台上具有普适性的方法来产生各 种各样不同的混沌信号，并且以网格状j e r k 混沌系统为主要例子来具体地阐述这 种e d a 设计方法。 图1 - 1 混沌掩盖通信原理框图 f i g 1 - lt h ec o m m u n i c a t i o nb l o c kd i a g r a mo f c h a o t i cm a s k 本文最大的特色在于突破以前用模拟电路产生混沌吸引子的传统方法，提出 一种基于f p g 平台和e d a 开发工具来产生混沌吸引子的新方法，并完成了混沌信 号发生器的软硬件设计，实验结果完全达到预期目标。 1 5 小结 本章作为整篇学位论文的开篇，从混沌整个研究范围引出了本文所涉及的论 题。介绍了本课题研究的学科背景和研发的心路历程。阐述了本文的研究内容， 并指出本论文所涉及的研究内容在整个混沌保密通信系统大项目中的位置和作 用。 广东工业大学工学硕士学位论文 2 1 混沌的由来 第二章混沌的基本理论 混沌是非线性科学中十分活跃的研究领域。1 9 世纪末，法国伟大的数学家 庞加莱( h p o i n c a r e ，1 8 5 4 - 1 9 1 2 ) 在研究三体问题时首先发现了混沌。他在研究 是否能从数学上证明太阳系的稳定性问题时，发现即使只有三个星体的模型，仍 然产生了明显的随机结果。1 9 0 3 年，庞加莱在他的科学与方法一书中提出了 庞加莱猜想。他把动力学系统和拓扑学有机的结合起来，并提出三体问题在一定 范围内其解是随机的。1 9 5 4 年，前苏联概率论大师科尔莫哥洛夫( k o l m o g o r o v ) ， 在探索概率起源的过程中发表了哈密顿( h a m i l t o n ) 函数中微小变化是条件周 期运动的保持一文，这一文章是i ( a m 定理的雏形。此文思想为混沌发生之初， 在保守系统中如何产生混沌提供了理论参考。这为早期明确不仅耗散系统中有混 沌，而且保守系统中也有混沌的理论打下了坚实的基础【5 】。 美国气象学家e l o r e n z 的研究工作使得混沌现象得到了更为普遍的关注。 六十年代初，e l o r e n z 发现大气运动中的混沌现象，称之为蝴蝶效应( 对初始条 件的高度敏感性，失之毫厘，差之千里，天气长期不可预测) 。1 9 6 1 年冬，洛仑 兹通过计算他的大气仿真模型发现了混沌系统对初始条件具有高度敏感性这一重 要事实。1 9 6 3 年，l o r e n z 在著名论文确定性的非周期流中指出，在三阶非线 性自治系统中可能出现混乱解。1 9 7 9 年，他在华盛顿科学进步协会的一次大会报 告中把这种现象取名为“蝴蝶效应”。对初始条件的高度敏感性使得两个混沌系 统只要存在初始条件的微小差异，将导致其轨道演化很快变得互不相关。换言之， 混沌系统的状态长期不可预测，即所谓的“差之毫厘，失之千里”，天气预报就 是一个非常典型的例子嘲。 七十年代中期，混沌科学正式创立，混沌英文一词( c h a o s ) 正式出现在科技 文献中。1 9 7 5 年1 2 月，美国马里兰大学的数学家李天岩和他的导师约克在美 国数学月刊发表了他们题为“周期3 意味着混沌”的文章，从此，混沌( c h a o s ) 6 第二章混沌的基本理论 一词成为了非线性动力学中的一个学术术语【9 】。 2 2 混沌的定义 混沌学产生于本世纪的八十年代初期，它的提出使当今世界的科学研究出现 了相当的改观。然而在对混沌研究的近半个世纪中，人们至今没有得出一个通用 的严格的数学定义。其中一个重要原因就是混沌系统行为确实非常复杂，不同研 究领域从不同的角度理解会得出不一样的内涵。 在数学上常用的定义包括：d e v a n e y 意义下的混沌【”，离散动力学系统( 映射) 的l i - y o r k e 意义下的混沌圆( 高维空间中有相应的m a r o t t o 定理) 和连续动力学系 统的s m a l e 马蹄意义下的混沌【3 】。物理和工程上常用的混沌判据是其有界性并存 在正的l y a p u n o v 指数或正的信息熵。一般认为，混沌具有如下一些主要特征：确 定性、有界性、对初值的极端敏感性、长期不可预测性、l y a p u n o v 正的最大 l y a p u n o v 指数、无限宽频功率谱和遍历性等。 1 9 8 9 年d e v a n e yrl 给出了混沌的一种定义： 设( x ，p ) 是一个紧致的度量空间。一个连续映射，：x 寸j 称为x 上的混沌， 如果： 1 ) f 在j 上拓扑传递的； 2 ) 厂的周期点在x 中稠密； 3 ) ，具有对初始条件的敏感依耐性。 其中，具有对初值敏感依耐性是指3 8 0 ，使垤置及x 的邻域，总 3 y n ( x ) 及行o 使p ( ，”( x ) ”o ，) ) 艿。而，在x 上拓扑传递是指v u 和v 的开集，且【，和v c x ，3 k o ，使广( u ) n v o 。 上述混沌定义的三个条件具有深刻的含义。因为对初值的敏感依耐性，所以 混沌系统是不可预测的。因为拓扑传递性，则系统不能被细分或不能被分解为两 个在，下相互不影响的子系统( 两个不变的开子集合) 。然而，在这混乱性态当 中，毕竟有规律性的成分，即稠密的周期点【9 】。 混沌一词最先是由t l i 和j a y o r k 提出。1 9 7 5 年，他们在美国数字月刊 上发表了“周期3 意味着混沌”的文章，并给出了混沌的一种数学定义，现称为 m - y o r k 定理。l i y o r k 定义是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发 7 广东1 = 业大学t 学硕士学位论文 进行定义的，该定义可描述如下： l i y o r k 定理：设f ( x ，a ) 是【口，6 】上的连续自映射，若f ( x ，d 有3 周期点， 则对任何正整数，f ( x ，a ) 有玎周期点。 混沌定义( l i - y o r k ) ： 连续映射或点映射f ：【口，b x r 一【口，6 】，( x ，a ) 寸f ( x ，五) 称为是混沌的，如果 x n + 1 = f ( ，d ，陋，b 】 ( 1 ) 存在一切周期的周期点。 ( 2 ) 存在不可数子集s a a ，加，s 不含周期点，使得 l i m i n f i f ”( x ，j t ) - f ”( y ，旯) l = 0 ，x ，) ，墨x ) ， ! i 恶m s u p f ”( 薯五) 一，”( y ，五 0 ，善，ye s ，工j ， l i m i i i f l f ”( x ，五) 一f ”( y ，五m = o ，x s ，p 为周期点 此定义和前两个极限说明子集的点x s 相当集中而又相当分散，第三个极限 说明子集不会趋于任意点。这一定理本身只预言了非周期轨道的存在，并不管这 些非周期点的集合是否具有非零测度，也不管哪个周期是稳定的。因此，l i - y o r k 定义的缺陷在于集合s 的勒贝格测度有可能为0 ，此时混沌是不可预测的 9 1 根据上述定理和定义，对于闭区间，上的连续函数f ( 毛a ) ，如果存在一个周 期为3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。该 定义准确地刻画出了混沌运动的几个主要特征： ( 1 ) 存在可数无穷多个稳定的周期轨道； ( 2 ) 存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道； ( 3 ) 至少存在一个不稳定的非周期轨道。 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现为对初值的敏感依耐性， 或对小扰动的极端敏感性。精确地放在一个小山顶上的球是不稳定状态的一个例 子，任何方向的随机偏离都会使它永远脱离这个状态。对于不稳定的周期轨道， 如果系统严格地处于其上，则它会永远地留在这条轨道上。但由于相对这条轨道 的极小偏差是随时间指数地增长的，系统将会很快离开此轨道。在一个具有无穷 多不稳定周期规道的集合上，这种不稳定性使得这些周期轨道不可能被观察到， 8 第二章混沌的基本理论 人们所看到的是一种奇怪的似乎随机的跳动，称之为混沌轨道。这种轨道有的机 会靠近某一特定的不稳定周期轨道，并且近似地在这个周期轨道附近保持几个周 期，然后很快离开【l 川。 理论上研究混沌的目的是多方面的，主要是要揭示混沌的本质，刻画它的基 本特征，了解它的动力性态，并力求对它加以控制和利用使之为人类服务。近年 来大量的研究工作表明，混沌和工程技术联系越来越紧，它在生物工程，力学工 程，电子工程，化学工程，信息工程，计算机工程，应用数学和实验物理等领域 中都存在着广泛的应用前景【4 】。 2 3 混沌的基本特征 混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动状态，出现在某些耗散系统， 不可积h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中。它有时被描述成具有无穷大 周期的周期运动或貌似随机的运动等，与其它复杂现象相区别，混沌运动又有着 自己独有的特征。大量的研究表明，混沌的基本特征主要体现在以下几个方面 2 3 1 确定性系统中的内在随机性 线性系统中不会产生混沌运动，只有非线性系统中才会产生混沌运动，而实 际的物理系统在本质上是非线性的，因此，混沌运动是一种基本的运动形态。确 定性系统中的“内在随机性”指的是，一个完全确定性的方程会产生随机解。而高 斯白噪声等随机信号则体现出一种“外在随机性”，它是由随机系统或随机项所引 起的，是一种完全无序或完全无规则的运动，因而体现出一种“外在的随机性”。“内 在随机性”与“外在随机性”在本质上是不同的，噪声等没有任何规律，而混沌仍有 规律可循，存在普适常数等。因此，“内在随机性”与“外在随机性”是区别混沌运 动与随机运动的本质特征l l l l 。 9 广东工业大学工学硕士学位论文 2 3 2 对初始条件的高度敏感性 动力学系统的行为或运动取决于两个因素：一个是系统的运行演化规律，在 数学上就是动力学方程；另一个是系统现在的状态，数学上称为初始条件。对于 一个确定性系统，如果动力学方程和初始条件给定后，这个系统就完全被确定了， 按经典力学的观点，轨道对初值的依赖是不敏感的，这就是说，从两个相邻的初 值引出的两条轨道始终相互按近，彼此在相空间中偕游并行。设f ( x 0 1 代表从初 值出发的轨道，缸为初值的一个小改变量，对应的轨道为妒( + 力，那么， 只要缸足够小，两条轨道的偏离量l o 。+ 缸) 一( x 。) i 也将足够小，即确定性系 统对初值的依赖是不敏感的。但对于混沌系统来说，情况就不一样了，处在混沌 状态的系统，运动轨道将敏感地依赖于初始条件。从两个极其邻近的初值出发的 两条轨道，在短时间内似乎相差不大，但经过较长时间后，必然呈现出显著的差 异来。从长期行为来看，初值的小改变在运动过程中不断被放大，导致轨道发生 巨大偏差，这就是混沌系统长期行为对初值的敏感依赖性。 2 3 3 正的l y a p u n o v 指数 混沌的一个最基本的特征是在有界的条件下对初始条件的高度敏感性，即两 个很靠近的不同初值所产生的两条轨道，随着时间的推移将以指数方式分离， l y a p u n o v 指数就是用来定量描述这一现象的特征量。 设两个具有不同初始值的方程为 卜2 ( 矗! ( 1 - 1 ) 【y 州= f ( y 。) 设其初始值与y 0 2 - n 有一微小误差i 一几i ，经过一次迭代后，可得 m 挑m 叫甜i 由上式可见，系统对初始扰动的敏感程度由圳决定，显然， 值有关。当经过第二次迭代后，我们有 1 0 ， 始 屯 初 q 与 矽一出 第二章混沌的基本理论 l 恐一见i = 降l | 而一咒i = 睦l 剖。| i 而一 由数学归纳法，得第r 1 次迭代后的结果为 ”肿嘲。卜i 由上述分析，可得每次迭代产生的平均分离量为 ( 划 二 ( 1 - 3 ) ( 1 - 4 ) 在混沌系统中，轨道分离的程度通常用l y a p u n o v 指数a 来表示，a 定义为平 均分离量的对数，即 名= 脚三- n ( 睁矧，i - 脚丢萎，n 陶，i c 一s ， 基于l y a p u n o v 指数a ，相空间内初始时刻两点与y o 之间的距离将随时间( 即迭 代次数) 作指数分离，即 l 毛一弗i 刮一y o i e “ ( 卜6 ) 注意到混沌是一种拉伸与折迭的变换，当混沌轨道分离到一定程度后，由于 折迭变换的结果，使得混沌吸引子的轨迹在相空间中是有界的。 轨道的平均收敛性或平均能量发散性的一种度量目前，人们将混沌分为两大 类：低维混沌与超混沌系统，不管它属于哪一类，其基本特征是具有正的李氏指 数，只具有一个正的李氏指数的混沌系统为低维混沌系统，而具有多个正的李氏 指数的混沌系统称之为超混沌系统【1 2 h 1 4 1 。 2 4 通向混沌的道路 我们知道，做研究其实很大程度上是在追求一种对未知事物达到可知，可控， 可用的目标。作为研究混沌的人，最基本的研究目标肯定是要知道如何认识混沌， 如何产生混沌，如何使用混沌。既然我们已经抓住了混沌的许多特征和特点帮助 我们来识别什么样的运动是混沌的，那么我们下一步就是要需要明白如何才能产 广东丁业大学工学硕士学位论文 生出混沌。 系统通过怎样的方式或途径从规则运动过渡到混沌运动，是混沌研究的一个 重大理论课题，目前国际上尚在对其进行研究中，是一个有待于进一步作深入探 讨和发展的理论课题。由于这个问题与混沌的控制和利用密切相关，也具有重大 实际应用价值。 现实世界的非线性系统千差万别，不同类型的系统，不同的具体条件，会以 不同的方式走向混沌。现有的文献认为，通向混沌的道路一般有如下几条：( 1 ) 准周期道路；( 2 ) 倍周期分岔道路；( 3 ) 阵发混沌道路。通向混沌的道路是一个 极为复杂的理论问题，因此，在此只对它们作一个简单的描述和介绍【1 4 】。 2 4 1 准周期道路 这是茹勒和泰肯斯在1 9 7 1 年的论文中首次提出来的，因而又称为茹勒一泰肯 斯道路。混沌可以看作具有无穷多个频率耦合而成的振荡现象，但并不需要像朗 道等人所设想的那样，要在转变过程中逐步激发出无穷多个不同的频率成分并叠 加起来，才会产生混沌。茹勒和泰肯斯发现，只须经过四次分叉，即 平衡态寸周期运动专准周期运动一混沌运动，就可导致混沌，这条道路是科 学界最先发现的一条通向混沌的道路。 我们工科的学生在做电路实验时往往可以发现一下实验结果：我们把示波器 打到相图档的时候，可以看到正弦信号的相图轨迹是一个闭合的圆圈。因为正弦 信号是一个周期的信号，所以他的相图轨迹是闭合的。然而混沌信号却会有很大 的区别，他的相图轨迹在示波器上时永远不会闭合的，但是却在一定显示区域内 不停的运动。他不是周期运动，但却有着相对稳定的运动规律。混沌领域种把混 沌的这种特性叫做“类周期运动”。在图2 5 我们可以直观的看到这种混沌运动相 图0 1 h 1 6 1 。 2 4 2 倍周期分岔道路 这条道路是由一批科学家共同发现的，由于费根鲍姆的贡献最出色，有时称 第二章混沌的基本理论 为费根鲍姆道路，其具体过程是：平衡态，1 周期运动，2 周期运动，4 周期运 动，2 “周期运动，混沌运动。 著名的蔡氏电路就是从倍周期分岔进入混沌的，其分岔图如图2 - 1 所示，所 对应的1 周期、2 周期、4 周期、混沌态的相图分别如图2 - 1 至2 4 所示。在调节 电路参数的过程中发现原来电路的平衡点失去了平稳，通过h o p f 分叉形成一个稳 定的极限环( 周期1 ) ，而后者渐渐失去稳定性而演变成两个稳定的极限环( 周期 2 ) 。再继续调节参数发现，周期2 极限环失稳，周期4 极限环出现，然后8 周期， 1 6 周期周期在不停继续加倍，但分叉点和参数之间隔却以几何级数减少，经过 不断分叉后周期变得无限长2 一，即标志着混沌现象的出现【1 f l 阚。 一 试搀黧鬻 口 图2 - 1 蔡氏电路从倍周期分岔进入混沌的分岔图 f i g 2 1t h eb i f u r c a t i o n 群蜘o f c h u a sc i r c u i t 2 4 3 阵发混沌道路 曼尼维勒和博莫于8 0 年代初首次明确描述过的一种通向混沌的可能途径，又 称为曼尼维勒一博莫道路。其实，洛仑兹在他的大气模型中已经见过这种现象。 此外，科学家r 梅在1 9 7 6 年的文章中讨论过一维映射中的切分叉，就一维映射 而言，在临近发生切分叉现象时，系统行为时而周期，时而混沌，表现为一种阵 发性，故得其名1 9 】刚。 广东工业大学工学硕士学位论文 图2 - 21 周期运动相图 f i g 2 - 2p h a s ed i a g r a mo f 2 - p e r i o d 图2 - 44 周期运动相图 f i g 2 - 4p h a s ed i a g r a mo f 4 - p e t i o d 2 5 奇异吸引子 图2 - 32 周期运动相图 f i g 2 - 3p h a s ed i a g r a mo f 2 - p e r i o d 图2 - 5 混沌运动相图 f i g 2 - 5p h a s ed i a g r a m o f c h a o t i ca t t r a c t o r 也称“随机吸引子”或者“混沌吸引子”，它是相空间无穷多个点的集合。这 些点对应于系统的混沌状态，是一种抽象的数学对象，常常隐藏在混沌现象的背 后，借助于计算机可描绘出它的图形，是一类具有无限嵌套层次的自相似几何结 构，是一种分形。 由于耗散系统的相空间容积式收缩的，所以玎维耗散系统的稳定运动将位于 一个小于栉维的曲面上，粗略的说，这个曲面就是吸引子。直观的看图2 5 就是 一个混沌吸引子【1 3 h 1 6 1 。 s m a l e 认为，奇怪吸引子映射首先应是均匀双曲形的。其次，奇怪吸引子的 任意领域中都应有周期轨道。奇怪吸引子是轨道不稳定和耗散系统容积收缩两种 1 4 第二章混沌的基本理论 系统内在性质同时发生的现象，轨道不稳定性使轨道局部分离；而耗散性使相空 间收缩到低维表面上，它表现为结构“紊乱”的吸引子，奇怪吸引子有以下几个 重要特征。 ( i ) 对初始条件有非常敏感的依赖性。在初始时刻奇怪吸引子从两个非常接 近的点出发的两条运动轨道，最终必然会以指数的形式相互分离。定量的讲，它 必然存在正的l y a p u n o v 指数。当然，由于它是吸引子，它也必然有负的l y a p u n o v 指数。 ( 2 ) 它的功率谱是一个宽谱。此时系统中已被激发出无穷多个特征频率。 ( 3 ) 系统中存在有马蹄。即系统在运动过程中存在有拉伸和折叠现象，马蹄 的存在意味着双曲不动点的存在，也就意味着不稳定现象的存在。 ( 4 ) 它有非常奇特的拓扑结构和几何形式。它是具有无穷多层次自相似结构 的几何维数加非整数的一个集合体1 1 7 1 - 1 引。 2 6 小结 本章从整体上介绍了关于混沌的基本概念，如混沌的定义，通向混沌的三条道 路等。希望借此能给读者一个关于混沌比较直观的概念。其实，混沌就是一种运 动，我们所要研究的就是该运动的规律和特点。在本章最后，特别地说明了一下 混沌吸引子，因为无论是产生混沌信号也好，研究混沌运动的机理也好都需要从 混沌吸引子来入手，所以用f p g a 来产生混沌吸引子是本毕业论文的最终目的。 在本文最后一章里，我们将给出了各种各样混沌系统f p g a 的实验结果，并以吸 引子的表现方式展现给读者。 广东工业大学工学硕士学位论文 第三章现代f p g a 设计技术 3 1f p g a 的基本概念 f p g a 技术是现代e d a 技术的一种，f p g a ( f i e l dp r o g r a 哪e dg a t em r