（控制理论与控制工程专业论文）混沌预测在混沌控制中的应用.pdf

里型兰垫查查兰堕! ：兰丝堡兰一一! 堕曼 d 2 3 j摘要 近年来，“混沌的控制”作为一个新的研究方向，“正开始在控制理论科学中形 成巨大的影响”。，在本论文中，作者将混沌预测与混沌控制相结合，利用相空间重构 得到混沌系统的预测值，从而使混沌系统的状态较快地进入其不稳定不动点的邻域。 论文主要分四个部分。 i 在第一章，首先对混沌理论的发展作了一个介绍。u 匝过对l o g i s t i c 映射随着参数 的变化而发生的其不动点分叉现象的讨论，使我们对混沌的产生过程有了直观的理 解。基于确定性混沌与随机过程具有一定的相似性，本文介绍了混沌的判定方法。 另外，从l o r e n z 系统中还可了解到正反馈的存在是混沌系统的一个普遍特征。最后， 叙述了当前混沌理论的主要应用领域。 瞳过例举水箱系统，表明混沌现象不仅广泛出现在自然现象之中，而且在控制 系统中也普遍存在。) 在第二章，详细介绍了由输入、采样周期、系统的初值、反馈 延迟、动态系统优化等原因，而可能引起系统出现混沌现象。 愠然混沌现象类似于随机过程，但它毕竟是一个确定性过程，具有分数维、最 大l y a p u n o v 指数等特性。通过对混沌序列的预测能力的研究，知道虽然混沌时间序 列不具有如平稳过程、周期过程和拟周期过程那样的长期可预测性，但也不是完全 没有预测能力。在有限的时间范围内，也可以对混沌序列作出较精确的预测夕在第 三章中，主要介绍了混沌预测的相空间重构算法。( 它的基本思想是，某一分量的运 动包含了整个系统的运动的特性。通过重构混沌吸引子，可以求得某个分量的最大 l y a p u n o v 指数，进而对混沌序列进行短期预报。本文作者对相空间重构算法做了大 量的仿真实验，发现它是非常有效的。另外，我们在本章末尾还简要介绍了混沌预 测的全局算法和神经网络法。) 在第四章中，首先叙述了当前主要的混沌控制方法，如o g y 、o p f 、反馈法、p y r a g a s 法、非线性法、自适应法等方法。供中，o g y 法是一个重要的方法，许多混沌控制 方法都是源自o g y 的参数微扰的概念。这些控制方法的基本思想是，当混沌系统的 状态运动到不稳定不动点附近时，通过对参数的微小变化、改变不动点附近的曲线 斜率、引入微小扰动量等方法，可使混沌系统逐渐稳定在它的不动点上。这一思想 是利用了混沌系统的自遍历性，也就是说，混沌系统的状态可以遍历它的吸引子空 间。不足的是，这个遍历过程是很漫长的，从而导致了混沌的控制过程很长。针对 这个问题，考虑到混沌预测的优点，作者提出了混沌预测与混沌控制相结合的方法。 本方法利用相空间重构，根据当前的状态值x 。，得到混沌序列的预测值戈。，进而 i j 璺型堂垫查查堂堡二! 堂些丝兰! ! 里 通过控制量= x ，一j 川，使混沌系统剃= f ( z 。) 很快的进入其不稳定不动点x ， 的邻域。在仿真实验中，可以看到这个方法大大加快了混沌系统的控制过程。此外， 作者还对o g y 方法作了改进，从而实现了将一个混沌系统控制到其吸引子空间的任 意位置。同样地，由于预测方法的应用，也加快了稳定过程。仿真研究表明混沌预 测结合混沌控制的方法是非常有效的。 最后，在附录中，简要介绍了作者在研究生期间所发表的论文和工作情况。、 关键词：吸引子，不动点，混沌，控制系统，混沌预测，混沌控制，相空间重构 o g y 控制方法 1 1 1 ! 里型兰垫查叁堂堡：! 堂些丝苎型塑里坠堡 a b s t r a c t n o w a d a y s ，c o n t r o l l i n gc h a o s ，w h i c hb e c o m e s an e wr e s e a r c ha r e a ，s t a r t st om a k ea g r e a te f f e c t o nc o n t r o lt h e o r i e s i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o ru t i l i z e st h ec h a o sp r e d i c t i o n m e t h o d sf o rc o n t r o l l i n gc h a o s t h i st h e s i sc o n s i s t so f f o u rp a r t s i nm e c h a p t e r1 t h ed e v e l o p m e n t o ft h ec h a o st h e o r i e si sp r e s e n t e d b yd i s c u s s i n gt h e b i f o r k e dp r o c e s so ft h ef i x e dp o i n tb yc h a n g i n gt h ep a r a m e t e ro fl o g i s t i cs y s t e m ，w el e a r n 也a th o wt h ec h a o si sp r o d u c e d b a s e do nt h ec h a o si ss i m i l a rw i t ht h es t o c h a s t i cp r o c e s s ，i t i si m p o r t a n tf o ru st ok n o wh o wt oi d e n t i f yac h a o t i cs e r i e s m o r e o v e r , b yal o r e n zs y s t e m w el e a r nt h a tt h ep o s i t i v ef c e d b a c ke x i s t si nt h ec h a o ss y s t e m s f i n a l l y , a u t h o ri n t r o d u c e s t h em a i n a p p l i c a t i o n so f c h a o s t h e o r i e s t h ec h a o si ss e e nn o to n l yi nt h en a t u r e ，b u ta l s oi nt h ec o n t r o ls y s t e m s t h es e c o n d c h a p t e ri n t r o d u c e si nd e t a i lt h a tt h ei n p u t ，t h es a m p l i n gt i m e ，t h ei n i t i a ls t a t u s ，t h ed e l a y t i m eo ff e e d b a c k ，a n dt h eo p t i m i z a t i o n ，e t c ，c a np r o b a b l yb r i n go u tc h a o s aw a t e rt a n k c o n t r o ls y s t e ms h o w su sar e a lc h a o t i c p h e n o m e n o n e v e n t h o u g hc h a o sh a ss o m es i m i l a r i t i e sw i t h t h es t o c h a s t i cp r o c e s s ，i ti sac e r t a i n t y p r o c e s sa f t e ra l l ，w h i c hh a sf r a c t i o n a ld i m e n s i o n ，m a x i m a ll y a p u n o ve x p o n e n t ，e t c b y s t u d y i n gt h ep r e d i c t a b i l i t yo f t h ec h a o t i ct i m es e r i e s ，w ek n o wt h a t ，a l t h o u g ht h ec h a o t i c s e r i e si sn o tl i k et h es t a b l ep r o c e s s ，t h ep e r i o d i cp r o c e s s ，t h ei m i t a t i n gp e r i o d i cp r o c e s s ， w h i c hh a st h el o n g t e r mp r e d i c t a b i l i t y , t h e yd on o th a v en op r e d i c t a b i l i t y i nal i m i t e dt i m e ， i ti sp o s s i b l et om a k e p r e c i s ep r e d i c t i o nf o rt h ec h a o t i cs y s t e m s t h e t h i r dc h a p t e rp r e s e n t s t h ep h a s e - s p a c er e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m ，w h i c h i sb a s e do nt h a t ，t h em o t i o no fa n y c o m p o n e n t f o ra s y s t e m c o n t a i n st h e g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c so ft h e s y s t e m b y r e c o n s t r u c t i n gt h ec h a o sa t t r a c t o r ，w e c a n g e tt h em a x i m a ll y a p u n o ve x p o n e n t ，t h e np r e d i c t t h ec h a o t i cs e r i e s f r o mt h ee x a m p l e s ，w ek n o wt h a tt h ep h a s e - s p a c er e c o n s t r u c t i o nm e t h o d i sv e r yu s e f u l i na d d i t i o n ，t h i st h e s i sb r i e f l yi n t r o d u c e st h ew h o l ea l g o r i t h ma n dt h en e u r a l n e t w o r ka l g o r i t h m i nt h ef o u r t hc h a p t e r , m a n yc h a o sc o n t r o lm e t h o d s ，s u c ha so o y , o p f , p y r a g a s m e t h o d ，f e e d b a c km e t h o d ，n o n l i n e a rm e t h o d ，a d a p t a t i o nm e t h o d ，e t c ，a r ep r e s e n t e d t h e o g yi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm e t h o d s m a n yo t h e rm e t h o d st a k et h ep a r a m e t e r - p e r t u r b e dc o n c e p tf r o mt h eo g ym e t h o d t h u s ，t h e s em e t h o d sg r a d u a l l y s t a b i l i z et h e c h a o t i cm o v e m e n tb yp e r t u r b i n gt h ep a r a m e t e r s ，c h a n g i n gt h es l o p eo ft h eu n s t a b l ef i x e d 璺型堂茎查盔堂堡：! 堂丝堡皇垒兰墅坠竺! p o j n t ，u s i n gp e r t u r b i n gq u a n t i t i e s ，e t c ，w h e nt h e s t a t ev a r i a b l e sm o v ei n t ot h en e i g h b o r h o o d o ft i l ef i x e dp o i n t a l lt h e s em e t h o d su t i l i z et h ec h a o t i cs y s t e m s e r g o d i c i t y ，w h i c hm e a i q s t h a t ，t h es t a t ev a r i a b l e s c a nr e a c ha n yp o i n ti nt h e i ra t t r a c t o rs p a c e a c c o r d i n gt ot h i s p r o b l e m ，t h ea u t h o rp r e s e n t st h em e t h o do f t h ec o m b i n a t i o nc h a o sp r e d i c t i o nw i t hc h a o s c o n t r o l u s i n ga d v a n t a g eo fc h a o sp r e d i c t i o n b yu s i n g t h e p h a s e s p a c e r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d ，t h em e t h o dg e t st h ep r e d i c t i o nq u a n t i t y n + lf r o mx ，t h e np r o d u c e t h ec o n t r o l q u a n t i t y ”= x ，- x l ，a n dn n a ym a k e t h es t a t ev a r i a b l e so fx l = f ( x h ) m o v ei n t o t i l en e i g h b o r h o o do ft h eu n s t a b l ef i x e dp o i n t x ，q u i c k l y t h es i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h e r e s u l t sa r ev e r yg o o d m o r e o v e r , t h ea u t h o ri m p r o v e st h eo g y m e t h o d ，w h i c hc a ns t a b i l i z e t h es t a t ev a r i a b l e so fac h a o t i cs y s t e mt oa n yp o i n ti ni t sa t t r a c t o rs p a c e s i m i l a r l y ，b yu s i n g t h ep r e d i c t i o na l g o r i t h m ，t h i sp r o c e s sc a na l s ob eq u i c k e n e d t h es i m u l a t i o n ss h o wu st h a t t h i sm e t h o di su s e f u i t h ea p p e n d i xb r i e f l yl i s t st h ep a p e r sa n dw o r k sd o n eb ya u t h o rd u r i n gt h eg r a d u a t e y e a r s k e yw o r d s ：a t t r a c t o r , f i x e dp o i n t ，c h a o s ，c o n t r o ls y s t e m s ，c h a o sp r e d i c t i o n ，c h a o sc o n t r o l ， p h a s e s p a c er e c o n t r u c t i o na l g o r i t h m s ，o g ym e t h o d v 曼型兰垫查盔堂堡! ：兰丝堡兰 ! ! 坠 致谢 在完成本论文的过程中，得到了众多的帮助，这里谨向他们表示作 者最诚挚的谢意i 首先要向我的导师薛福珍教授致以衷心的感谢l 在本科生和研究生 期间，我在薛老师的关怀和指导下，科研和工作能力得到了很大的提高。 薛老师渊博的理论知识、严谨的治学态度和一丝不苟的工作作风给我留 下了深刻的印象。 同时，衷心感谢庞国仲教授l 多年以来，他在工作和生活上的关心 和鼓励让我深深感激。并向张玉斌老师在日常工作中给予我的大量帮助 表示深深感谢。 感谢本实验室的同学：田栋、胡京华、林万荣、景银地、罗超、林 盛荣、文锋、唐焱、等等。他们为实验室的发展都贡献了自己的一份力 量。 感谢相处多年的同学：周斌、石海健、夏冰、高飞、郭永刚等，他 们陪伴着我的成长和进步1 同时，也向9 8 1 0 的全体研究生道一声“再见”。 在八年的科大生活中，从各位老师、同学那里不仅学到了宝贵的理 论知识和实践经验，还学到了很多为人处事的道理，这将使我终身受益。 在临近毕业之际，我对母校中国科学技术大学表示最深的谢意! 最后衷心感谢我的父母和家人，他们给了我最大的支持1 第一章混沌基本理论 1 1 绪论 近来，流传着一则比喻叫做“蝴蝶效应” 膀，就有可能在下个月变为北京的一场风暴。 明了一个现象，这就是混沌( c h a o s ) 。 1 ，说：今天有一只蝴蝶在合肥扇动翅 这则比喻虽然过分夸张，却生动的说 混沌是一个相当古老的词汇，庄子日：中央之帝为混沌。人们通常把盘古开天 地之前宇宙的状态描述为混沌。然而。如今人们又赋予了它新的科学内涵。 本世纪初的1 9 0 3 年，美国数学家d h 1 o i n c a r e 在科学与方法一书中提出了 p o i n c a r e 猜想，他把动力学系统和拓扑学两大领域结合起来，指出了混沌存在的可能 性，从而成为世界上最先了解存在混沌可能性的人。 1 9 5 4 年，前苏联概率论大师a e k o l m o g o r o v 在探索概率起源过程中注意到了哈 密尔顿函数中微小变化时条件周期运动的保持。该思想为如下结论奠定了基础，即 不仅耗散系统有混沌，而且保守系统也有混沌。 从6 0 年代开始，人们开始探索科学上的那些莫测之谜，使混沌科学得到了飞速 的发展。 1 9 6 3 年，l o r e n z 在大气科学杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指 出在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就 是非周期性与不可预见性之间的联系。他还认为一串事件可能有一个l 临界点，在这 一点上，小的变化可以放大为大的变化。而混沌的意思就是这些点无处不在。这些 研究清楚地描述了“对初始条件的敏感性”这一混沌的基本性态。这就是本文开始 提到的蝴蝶效应。因此，可以说，是天气预报和气象学的研究叩开了混沌科学的大 门，反过来，混沌学的研究，又为气象学研究提供了崭新的方法。 7 0 年代，科学家们开始考虑在许许多多不同种类的不规则之间的联系。生理学 家发现，在人类的心脏中存在着混沌现象，这其中有惊人的有序性。生态学家在探 索着树蛾群体的减少与增多的规律。经济学家研究股票价格上升下降的数据，尝试 求出一种全新的分析方法。对于事物发展的内部规律的探求，则直接把人们引向自 然界云彩的形状、雷电的径迹、血管在显微镜下所见的交叉缠绕、星星在银河 中的集簇等等。 因此，7 0 年代是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。在这一时间，作为一门新 的科学混沌学正式诞生。科学家们对混沌作了大量的研究与发展。 1 9 7 0 年，美国科学史家t s k u h n 的科学革命的结构一书出版，对混沌理论 的发展起到了推波助澜的作用。 ! 里型兰垫查查兰堕! ! 兰垡堡塞墨二兰塑苎墨奎! ! 坠 1 9 7 1 年，法国物理学家r u e l l 和荷兰数学家t a k e n s 为耗散系统引入了“奇怪吸 引子”这一概念i 2 i 。 1 9 7 5 年，中国学者李天岩和美国数学家y o r k e 在 a m e r i c a m a t h e m a t i c s ) ) 杂志 上发表了“周期三意味着混沌”的著名文章，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程。 1 9 7 6 年，美国生物学家r m a y 在自然杂志上发表了“具有极复杂的动力学 的简单数学模型”一文，它向人们表明了混沌理论的惊人信息：简单的确定论数学 模型竟然也可以产生看似随机的行为。 1 9 7 7 年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。 1 9 7 8 年，美国物理学家m j f e i g e n b a u m 在统计物理学杂志上发表了关于普 适性的文章“一类非线性变换的定量的普适性”，轰动世界。正是普适性的研究使混 沌学确定起自己坚固的地位。 到8 0 年代，混沌科学又得到进一步发展。 1 9 8 0 年，美国数学家b m a n d e l b r o t 用计算机绘出了第一张m a n d e l b r o t 集的图象， 这是一张五彩缤纷、绚丽无比的混沌图象。后来，德国的p r i t c h t e r 教授和h p e i l g e n 教授共同研究分形流域的边界，作出了精美绝伦的混沌图象，使混沌图象成为精致 的艺术品，拓展了混沌科学的一个重要应用领域。从那时起，m a n d e l b r o t 集成了混沌 的一个公认标志。 1 9 8 3 年，加拿大物理学家l g l a s s 在物理学杂志上发表著名文章“计算奇异 吸引子的奇异程度”，开创了全世界计算时间序列维数的热潮。 1 9 8 4 年，中国著名的混沌科学家郝柏林编辑的混沌一书在新加坡出版，为 混沌科学的发展起到了一定的推动作用。 1 9 8 6 年，中国第一届混沌会议在桂林召开，中国科学家徐京华是全世界第一个 提出三种神经细胞的复合网络，并证明它存在混沌。 到了9 0 年代，混沌科学与其它科学相互渗透。无论是在生物学、生理学、心理 学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学、还是天文学、气象学、经济学、甚 至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。混沌在现代科学技术中起着十 分重要的作用正如混沌科学的倡导者之一，美国海军部官员m s h l e s i n g e r 所说，“2 0 世纪科学将永远铭记的只有三件事，那就是相对论、量子力学和混沌”。第一次混沌 国际会议主持人之一，物理学家i f o r d 认为混沌就是2 0 世纪物理学第三次最大的革 命。与前两次革命相似，混沌也与相对论及量子力学一样冲破了牛顿力学的教规。 他说：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想：量子力学则消除了关于可控测量 过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想。” 从本质上讲，混沌是直接研究我们所看得见摸得着的宇宙，以及在人类本身的 尺度大小差不多的对象中发生的过程，所有日常生活经验与这个世界的真实图象都 中国科学技术大学硕士学位论文 第一章混沌基本理论 是我们研究混沌时所探索的目标。因此，混沌是一种关于过程的科学而不是关于状 态的科学，是关于演化的科学而不是关于存在的科学。今天的科学认为，混沌在自 然界中普遍存在。一只上翘的香烟，烟纹袅袅涡卷；在风中旗帜前后拍动；滴水的 自来水龙头，水滴的花样由稳态变为随机；在气候的变化中。在飞行中的飞机的性 态中，在高速公路上汽车拥挤的性态中，在地下油管内油流动性态中，都会出现混 沌。在非线性光学器件、非线性电路、三体问题、地球磁场的方向运动、非线性控 制系统、化学反应系统、人的脑电图、生态系统中的种群变化、生物学中的细胞生 成、经济系统等等，都存在或可能产生混沌现象。可以这么说，混沌无处不在。这 些性态都遵循着同一条新发现的定律或同一类新发现的定律1 3 i 。 混沌中蕴含着有序，有序的过程也可能出现混池。大自然就是如此纵横交错。 如此复杂，包含着无穷的奥妙。因此，对混沌科学的进一步研究将使我们对大自然 增加更深刻的理解。 那么，混沌到底是什么呢? 让我们先从一个古老的数学问题谈起，即g ( x ) ：0 的 求解问题。 1 2 不动点和刀周期点 定义1 2 1 不动点( t r e d p o i n t ) 令，( j ) 是月啼矗的一个映射，如果月，且有： f ( x o ) = z 。，则称：为厂( z ) 不动点。 根据此定义，则方程的求解问题就可以转化为一个求占( z ) + x 的不动点问题。 推论1 2 1 如果为，( x ) 的不动点，则x o 也是，1 ( x ) 的不动点。其中， ，p 0 ) = 厂( ( j ) ) a 矿 证明略。 定义1 2 2聊- 周期点 如果，m ( ) = z 。，且，“j ( x 。) ，。( ， n ，( 6 ) cb ( 否则口或 b 是一个不动点) ，故得g ( 。) o ，g ( 6 ) 0 ，从中值定理得知在m b 之间有一个c 值，使 g ( c ) = 0 ，所以，( c ) = c ，口 c b ， 生里型堂垫查查堂堡! 堂垡丝壅 一苎二皇塑苎苎奎型生 定理1 2 2 若，：卜，是一个连续可微映射jp 是一个使l 厂( p l o 使i s ( x m a l ，x 【p s ，p + s 】，从中值定 理得知f ，( j ) 一p i = i f ( x ) 一( p w 彳卜一p l 0 使厂( x ) e u ，则称p 是一个排斥子。 引理1 2 1 ”若，是两个闭区间，i c j ，而且还有，( ，) 3 j ，则在，中有不 动点。 证明略。 定义1 2 5 设一。，爿i i ”，以是”个闭区间，且( 4 ) ) 4 。i = o ，”一1 ，则至少有4 。 的一个子区间j o 映上a ，在a 上有一子区问映上a ：，故有一个子区间j c 厶有 f ( j ) c a i , f 2 ( 以) = a ：，继续下去，我们可以得到一个套区间序列，顺序的映入4 ， 从而有一点x a o ，对所有f 有。( x ) a ，称f ( a ，) 覆盖了以。 定理1 2 3s a r k o v s k i 定理h 1 设，：r 辛r 是连续的，有一个周期3 的周期点， 则，有所有其它周期的周期点。 证明 设a , b ，c r 且设厂( 口) = 6 ，( 6 ) = c ，厂( c ) = a ，并不妨设a b c 。设，o = 【口，6 】， ，。= 6 ，c 】，注意到有f ( 1 0 ) 3 ，且f ( 1 。) ) i o u z 。，同时，因为，。c ，0 u ，l ，根据引理1 ，得 到，中有，的一个不动点。并且，有f2 ( ，。) ) ，。u ，。c f 。u ，根据引理1 ，故，。中 有r ：的一个不动点，容易看出，在这些点中至少有一个点具有周期2 。 归纳法：一种区间套序列a o ，a 一，a 。c ，使a o = 小由于( ，1 ) 3 ，故有一个子 区间a ，c a 。，使得f ( a ) = a o = ，继续下去，我们就找到一个子区间4 一：c a 。使 i ( a 。) = a 。，则有”2 ( 彳。) = a o = ，现在，因为f ( z ，) 3 l o ，故有一个子区间 a 。c a 。使，”( 4 。) = ，。最后，因为f ( z 。) 3 ，有厂。( 一。) 3 ，所以厂”( 爿。) 覆盖 了a 。所以得知，”在a 。有个不动点p 。我们可以肯定p 是一个周期”的点：因 为p 的首h 一2 次迭代落在，。中，而第h 一1 次迭代在，n 中，而且第”次迭代再出现p ， 生旦型堂垫查盔堂塑! ：堂丝堡塞 一j 生兰生j 墅塑墅! ! 坠 若，“( p ) 落在，。的内部，则容易看出p 是一个周期h 的点；若，“( p ) 落在，。的边界上， 则。：3 。现在只研究n ，3 的情况，故属于前一论述的结果。 此定理有个重要的结论，即后文中将要提到的“周期三意味着混沌”。 1 3 分支过程 分支与混沌有着密切的关系。常见的分支有：p i t c h f o r k 分支，h o p f 分支，f l i p 分支，e x p l o s i v e 分支等。下面通过讨论一个生长模型的倍周期分支( 即p i t c h f o r k 分 支) 来逐步了解混沌。 定义1 3 1 生长模型( 亦称l o g i s t i c 映射) 某种物种的存活数既与现时的总数 有正比关系，而又受到总数的影响，其模型为： e ( x ) = r x ( 1 一工) 0 r 4 ，0 s 工s 1( 1 3 - 1 ) 其中，参数r 是非线性参数。f a x ) 的不动点随着，的变化，其稳定性也产生不同。 ( 1 ) 当o r i ，在【o ，l 】范围内，c ( x ) 有不动点x = o ，并且由于c ( 圳= ，s 1 ，所 以它是一个稳定的不动点。参见图l - l ( a ) 。 ( 2 ) 当1 ， 3 ，e o ) 在【o ，l 】范围内，有两个不动点z l = 0 屯一1 1 ，其中0 是不稳 定的，l 一三是稳定的。因为，任何x 。o ， 经过迭代都会收敛于卜土，而0 虽是不动 ， 点，但不稳定。所以，1 一! 称为吸引子，0 称为排斥子。参见图1 - 1 ( b ) 。 r 当r ：3 时，e ( 1 一马：一1 ，不动点稳定性遭到破坏。 ( 3 ) 当3 ， 3 后，不动点l 一! 失稳，化为了两个2 周期点。此时，从初值x 。开始，迭 代过程将出现二阶循环即“睾砘。这两个2 周期点都是稳定的。参见图1 1 ( c ) 。 ( 4 ) 当1 + 否 r c 3 5 4 4 时，将出现四周期点，例如取，= 3 5 ，则四周期点为 生旦型堂茎查查堂堡主堂丝堡兰 一一羔【二墨l 塑塑塑! ! ! 竺 0 3 8 2 8 - 9 0 8 2 6 9 t上 0 8 7 5 04 - - 0 5 0 0 9 参见图1 - 1 ( d ) 。 随着，的增长，f ( x ) 的周期点个数不断增加。这种一分为二，二分为四的过程 称为p i t c h f o r k 分支。这种分支过程继续下去，当，= 3 5 6 9 9 4 5 6 7 2 时，出现周期为0 0 的解即非周期解，此时进入混沌状态。任何初值的迭代都不收敛于有限的吸引子， l 可以在整个【o ，l 】上游荡。参见图1 1 ( e ) 。任何两个相隔很近的初值经过若干次迭代 后可以相差很远，也可能相差不远，似乎没有规律。参见图1 - l ( o 。 ( a ) 卢几 廿 f 胡， 少 ( e ) 圉1 - 1生长模型的图形 ( c ) 由上所述，参数r 与周期点p 之间有着密切的关系。为了明确地表示这种关系， 我们做一张，一p 关系图，这就是f e i g e n b a u m 图。参见图卜2 。 并且有：在倍周期分支的情况下，r 值越大，系统的稳定平稳状态就越多。 忍i g e n b a u m 图右半部分看起来似乎是随机的图形，但事实上，它是混沌区域。 6 堕型堂垫查查堂堡主堂焦笙塞 兰二兰塑塑茎查矍笙 如果对l o g i s t i c 跌射的倍周期分叉过程作图，以a 代表周期2 ”轨迹的分支点， 则可计算比值：占。；堡二壁吐。f e i g e n b a u m 对瓯序列进行了深入研究，他指出，瓯 。+ l 一。 序列会很快地收敛到一个常数：j = 4 6 6 9 2 0 ，这意味着以向。的逼近速度是几何 级数的。占就是著名的f e i g e n b a u m 常数，它的另一种定义是超稳定点之间的距离。 在数值上，它比分支点之间的距离更容易确定，并且其收敛速度也比以向的收敛 速度更快。 f e i g e n b a u m 发现，对于倍周期级联簇，万是普适常数。只要f ( x ) 为光滑的单峰 函数，具有连续的一阶导数，且在极值点处的二阶导数不为零，则j 的值与函数 厂( 的形式无关。& i g e n b a u m 常数深刻揭示了在各种混沌运动之间存在的有机内在 联系和共性。 1 4 混沌的数学理论和基本性质 混沌现象已经引起了学术界的广泛兴趣，但是作为一个科学术语“混沌”至今 还没有一个公认的普遍适用的定义。被誉为混沌之父的e n l o r e n z 指出，混沌系统 是指敏感依赖于初始条件的内在变化的系统。这里，“内在”是指初始条件的变化不 改变有效常量( 我们把那些在系统演变无干扰时保持不变的量定义为有效常量) 。l i y o r k e 在1 9 7 5 年发表的论文“周期三意味着混沌”的文章中首先提出现代科学意义上 的“混沌”概念并给出了混沌的一种数学定义。在下文中，我们将给出这个定理的 完整表述。r l d c v a n c y 于1 9 8 9 年给出了混沌的一个定义：设矿为一个集合， f ：v v 称为在v 上是混沌的，如果：r 有对初始条件的敏感依赖性：r 是拓扑 传递的；周期点在v 中稠密。下面，让我们了解一下l i y o r k e 定理。 定理1 , 4 1l i y o r k e 定理h 1 设，是一个区间，f ：j _ ，连续，设有一点a j 使得b = ，( 口) ，c = f 2 ( 口) 以及 d = f 3 ( 口) 满足d s a c ，则有： z ：对每一个k ：l ，2 ，在t ，中有f 的一个周期为k 的周期点； l ：有一个不可列集s c j ，s 不含周期点，但满足： ( a ) 对每两个p ，q s ，p q 有 l i m s u p i f ”( p ) 一f ”( q ) 0 ( 1 4 一1 ) ! i m i n f f ”( p ) - f ”( g ) f = o ( 1 4 - 2 ) 生旦型堂垫查茎堂塑主兰垡鲨塞 塑二兰堂芰查翌堡 ( b ) 对每一个p e s 及周期点q j 有 l i m s u p l f ”( p ) 一f ”( g ) j 0 ( 1 4 - 3 ) n 证明见文献【4 】，p 6 3 一p 6 7 。 1 混沌的分类【 如果从控制与应用研究的角度，一般将混沌分为四大类：时间混沌、空间混沌、 时空混沌、功能混沌。若从理论物理的角度，则分为耗散系统的混沌、保守系统的 混沌和量子系统的混沌。耗散与保守系统的混沌又统称经典混沌，一般讨论都是针 对这类混沌。虽然实际系统发生混沌的大多数都属于耗散系统，但是对保守系统中 混沌的研究具有更基本的物理学理论意义。量子混沌是一个充满更多未知因数和充 满争论的问题。 在自然界和人类社会等领域中广泛存在着高维非线性系统，它们可能存在一个 以上的正的l y a p u n o v 指数的混沌行为，人们称之为超混沌。如四维的r 6 s s l e r 系统、 六维的单向耦合的c h u n 电路、六维的l o r e n z 系统、国家经济领域中自由市场、股市 等复杂系统等。 2 。混沌的特征 混沌现象把表面的无序性与内在的规律性巧妙的融为一体，郝柏林院士称之为“混 沌序”。混沌系统具有；内随机性。产生混沌的体系，一般说来，具有整体稳定性， 而局部是不稳定的，这种局部不稳定正是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原 因所在。分形性。系统运动轨迹在相空间的几何形态可用分形来描述。普适性。 常常提到的普适性有两种，即结构的普适性和测度的普适性。著名的f e i g e n b a u m 常 数即是这种普适性的反映。 可以看出，混沌系统具有三个明显地特征： ( 1 ) 对初始条件具有敏感的依赖性； ( 2 ) 是非周期的； ( 3 ) 存在着奇异吸引子： 第一个特征意味着，混沌是不可预测的。在初始状态，两个相互接近的轨迹会随 着时间的推移，越来越分开。混沌的程度可以用l y a p u n o v 指数来度量。 因为混沌是非周期的，所以它不能被细分或不能被分解为两个互不影响的子系 统。然而，在混沌系统中，毕竟存在有规律的成分，即奇异吸引子。奇异吸引子介 绍见1 5 节。 混沌是一种非周期的动力学过程。看似无序，杂乱无章，却隐藏着丰富的内涵， 如奇异吸引子、分支、窗口等。因此，可以说混沌中蕴涵着有序，而决不仅仅是一 里型兰垫查叁堂堡! ：堂堡垒塞 笙二雯塑堕苎j ! ! ! 坠 个无从控制的随机过程。从f e i g e n b a u m 图可以看出。用一个简单的、且不含有任何 随机成分的数学方程，就能产生令人十分惊奇的混沌现象。这说明了随机和有序之 间也具有某种联系。 那么混沌与随机有什么区别呢? 混沌貌似随机，但随机过程是由噪声引起的，而 混沌是由确定性的物理规律这个内在特性引起的。 目前，在描述混沌现象时，我们常常见到l y a p u n o v 指数、熵、标度指标、功率 谱指数、分数维等。下面，我们简要介绍一下这些特征量。 定义1 4 1 l y a p u n o v 指数它是描述动力系统状态演变的一个量化指标，是量 度该系统相空间中邻近轨线之间的发散速率，或者说是刻划解对初值敏感程度的， 是混沌解性态的定量标志。 ( 1 ) 一维的l y a p u n o v 指数 五= j p ( x ) i n ，( x ) 陋 ( 1 ，4 4 ) 或a = f p ( x ) 1 0 9 ：i i 7 ( x 她 ( 1 4 - 5 ) 其中，p ( j ) = ! 鳃i 1 磊n - i 占。一而) 。对于三o g i s t i c i t 映射，它的l y a p “”。v 指数如图l - 3 所示。 ( 2 ) 高维的l y a p u n o v 指数( 亦称l y a p u n o v 谱) 一般地，l y a p u n o v 指数与相空间维数一致，则第i 个l y a p u n o v 指数为 = 峨扣锱， 其中p l ( ，) 是第f 个轴的增加速率。具体算法见文献【3 】( p 8 8 p 9 2 ) 。 主旦型堂垫查= ；苎堂堡：! 兰垡丝壅笪二兰望垫墨查型生 通常，在三维连续耗散系统中，描述奇异吸引子的l y a p u n o v 谱可能类型为：( + ， 0 ，一) 描述奇异吸引子，( 0 ，0 ，一) 描述二个环面，( o ，一，一) 描述极限环，而( 一， ，一) 描述不动点。在四维系统中，存在三种不同类型的奇异吸引子，其l y a p u n o v 谱的类型分别为( + ，+ ，0 ，一) ，( + ，0 ，一，一) 和( + 0 ，0 ，) 。 定理1 4 2 在h 维离散系统中，存在n 个l y a p u n o v 指数五，i = l ，2 ，m 如果其 中最大的丑 0 ，则系统一定存在混沌。 证明见文献 3 ( p 9 1 9 2 ) 。 定义1 4 2 测度熵，又称k 熵( k s 熵) | s l 。是信息损失率的平均值。k 熵是一个 好的特征量，它能区别规则运动、混沌运动与随机运动。对于规则运动，k = 0 ；在 随机系统中，k = m ；若系统表现为确定性混沌运动，k 是一个正值。至于拓扑熵， 是一种几何概念，给出了轨道的数目随轨道长度指数增长的量度。 定义1 4 3 功率谱指数它是刻划系统的能量的定量标志，反映混沌态能量的 变化。 信号的功率谱 s ( ) = i i ( 珊) 1 2 ( 1 4 7 ) 其中， 覃( | ) = l i m l _ r 却f x ( “d t ( 1 4 - 8 ) 是信号x ( ，) 的f o u r i e r 变换。对于多重周期运动，功率谱仅仅由相应频谱的分立谱线 组成；而对于完全非周期的混沌运动，功率谱的形式是主要位于低频段的很宽的连 续谱，具有噪声谱的特征。 定义1 4 4 不变概率密度 对于一维不可逆映射x 。f ( x 。) ，吸引子的不变概率密度( 不变分布函数) p ( x ) 定义为 p ( 加憋i 1 善n - i 占( z 一，( x 。) ) 如果求得吸引子在状态空间( 设为单位线段) 上的不变分布p ( x ) ， ( 状态的某一函数) g ( x ) 的长时间平均值可以化为对不变分布的平均 ：翌i 1 萎n - ig ( 引= ：翌i i 荟n - i g 【( 砌】= l ：g ( x ) p ( z ) 出 ( 1 4 9 ) 则任何力学量 m 舡 ( 主里型堂垫查查堂堡主堂些堡塞 一j 塾二兰望鎏苎查! ! 坠 对于一般的一维不可逆映射，p ( x ) 常数。仅仅对于充分混沌的运动，户( x ) 才 是连续的光滑函数。对于一般的混沌运动，i 口( x ) 是不光滑甚至是不连续的，具有奇 异结构和无限层次嵌