（控制理论与控制工程专业论文）非完整系统若干控制问题的研究.pdf

摘要 非完整约束广泛存在于轮式移动机器人、柔性机械手、人造卫星、航天飞机等系 统中。非完整约束的存在使得这些系统更加难以控制，但是其可控性的特点又使得对 其控制问题的研究和工程实现更具挑战性。因此，对非完整系统的控制问题的研究具 有重要的理论意义和广阔的应用前景。 本文针对运动规划、镇定和轨迹跟踪三方面的问题，对非完整系统的控制作了较 广泛和深入的研究，主要内容有： 1 以非完整链式系统为对象，研究了运动规划问题。首先提出了一种基于b a n g - b a n g 控制的切换策略设计方法，利用此方法得到的切换策略能在有限的时间内，经过 控制输入的有限次切换，使得非完整单链系统从有界的初始状态运动到终止状态。然 后，针对传统b a n g - b a n g 控制下，控制输入的剧烈变化对系统造成的不利影响，又提 出了一种柔化b a n g - b a n g 控制设计方法，这种方法减小t b a n g b a n g 控制输入的变化幅 度。最后将柔化b a n g - b a n g 控制的设计方法推广到非完整多链系统，实现了非完整多 链系统的运动规划。 2 以非完整链式系统和一类不能化为链式标准型的非完整系统为对象，研究了镇 定控制问题。首先针对非完整单链系统提出了一种基于不变流形，迭代求解控制律的 方法，利用此方法设计了非连续时不变反馈控制律，同时得到了在该控制律作用下， n 维非完整单链系统各状态的解析解。然后将此方法扩展到带有m + 1 个输入的m 链非完 整系统，解决了此类系统的局部反馈镇定问题。最后针对一类不能化为链式标准型的 非完整系统，提出了非连续时不变反馈控制律和时变连续反馈控制律，分别实现了其 局部和全局的反馈镇定控制，并针对系统中参数不确定的情况，设计了两种自适应反 馈控制律，即自适应非连续时不变控制律和白适应连续时变控制律，实现了此类系统 存在不确定参数时的反馈镇定控制。 3 以两类轮式机器人为对象，研究了非完整系统的轨迹跟踪控制问题。首先通过 对一类几何中心与轮轴中心不重合的移动机器人跟踪控制的研究，应用l y a p u n o v 直接 法和b a r b a l a t 弓l 理证明了其全局渐近跟踪控制律的存在性，并构造出轨迹跟踪控制 律，用此跟踪控制律实现了目标输入定常和时变时，对同结构目标机器人的全局渐近 跟踪。然后通过对四轮移动机器人的跟踪控制的研究，应用b a c k s t e p p i n g 方法和 l y a p u n o v 理论证明了此类系统渐近跟踪控制律的存在性，并导出了反馈跟踪控制律。 最后通过仿真实验验证了所设计的反馈跟踪控制律的控制性能。 4 通过对一个实际轮式移动机器人系统的控制，验证了以上提出的几种控制方法 的控制性能，通过实验结果，分析了所提方法在鲁棒性等方面的不足。提出了一些改 进的意见和方法，并对进一步的研究作了展望。 关键词：非完整系统，运动规划，镇定控制，轨迹跟踪，轮式机器人 a b s t r a c t n o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t se x i s ti nw h e e l e dm o b u er o b o t s ，f l e x i b l em a n i p u l a t o r s ， a r t i f i c i a ls a t e l l i t e s a i r c r a f t se t c t h e s es y s t e m s 戤o f t e nc o n t r o l l e dd i f f i c u l t l y w i t h n o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t s h o w e v e r , i t sc o n t r o l l a b i l i t ym a k e si tc h a l l e n g i n gt h a tt h e r e s e a r c ha n dr e a l i z a t i o nt ot h ec o n t r o lp r o b l e mo ft h e s en o n h o l o n o m i cs y s t e m s a st h e r e s u l t s ，i ti si m p o r t a n ti nb o t ht h e o r ya n de n g i n e e r i n gt h a tt h ec o n t r o lo fn o n h o l o n o m i c s y s t e mi ss t u d i e dd e e p l y a i m e da tt h r e ec o n l r o lp r o b l e m so f n o n h o l o n o m i cs y s t e m , s u e h 鹪m o t i o np l a n n i n g s t a b i l i z a t i o na n dt r a j e c t o r yi r a c k i n g 。i tw a ss t u d i e dd e e p l ya n db r o a d l y a n di tm a i n l y i n c l u d e sa sf o l l o w i n g ： 1 a i m e da tt h en o n h o l o n o m i cc h a i n e ds y s t e m , t h em o t i o np l a n a m gp r o b l e mi ss t u d i e d f i r s t l y , am e t h o db a s e do nb a n g - b a n gc o n t r o li sp r o p o s e dt od e s i g nas w i t c h i n gs t r a t e g y 砧es t r a t e g y , w h i c hi so b t a i n e dt h r o u g ht h ep r o p o s e dm e t h o d , c a nn l a k ee v e r ys t a t eo ft h e s i n g l ec h a i n e ds y s t e mm o v ef r o mt h ei n i t i a lv a l u et ot h et e r m i n a lv a l u ea f t e rt h ef i n i t et i m e a n dt h ef i n i t es w i t c h e s a n dt h e n , a i m e da tt h ea c u t ec h a n g eb e “v e e nt h ec o n t r o li n p u t si n t h et r a d i t i o n a lb a n g - b a n gc o n t r o l ，am e t h o db a s e do nt h es m o o t hb a n g - b a n gi sp r o p o s e d n ”s c o p eo fc o n t r o li n p u t si sd e c r e a s e du s i n gt h i sm e t h o d f i n a l l y , t h em e t h o db a s e do n s m o o t hb a n g - b a n gc o n t r o li se x t e n d e dt om c h a i n e ds y s t e mw i t hm + lc o n t r o lm p u t s ，a n d t h em o t i o np l a n n i n go f t h i sc l a s so f n o n h o l o n o m i cs y s t e mi sr e a l i z e & 2 a i m e da tn o n h o l o n o m i cc h a i n e ds y s t e m sa n dak i n do fn o n h o l o n o m i cs y s t e m s , w h i c hc a n tb em m s f o r m e di n t oc h a i n e ds y s t e m , t h es t a b i l i z a t i o np r o b l e mi ss t u d i e d f i r s t l y , a ni t e r a f i v em e t h o db a s e do ni n v a r i a n tm a n i f o r mi sp r o p o s e dt od e s i g naf e e d b a c k s t a b i l i z a t i o nc o n t r o l l e r a n dt h r o u g ht h i sm e t h o d , ad i s c o n t i n u o u st i m e - i n v a r i a n tc o n t r o l l a w a n dt h ea n a l y t i cr e s u l t so ft h ec h a i n e ds y s t e m 雠o b t a i n e d a n dt h e nt h i sm e t h o di s e x t e n d e dt om u l t i - c h a i n e ds y s t e mw i t hm + lc o n t r o li n p u t sa n dmc h a i n s , a n dt h el o c a l s t a b i l i z a t i o no ft h ec l a s so fs y s t e m si ss o l v e d f i n a l l y , a i m e d 瞰ac l a s so fn o n h o l o n o m i c s y s t e m , w h i c hc a n tb et r a n s f o r m e di n t oc h a i n e df o r m , t h ed i s c o n t i n u o u st i m e - i n v a t i a n t f e e d b a c kc o n t r o ll a wa n dt h ec o n t i n u o u st i m e - v a r i a n tf e e d b a c kc o n u o ll a w a l ep r o p o s e dt o s o l v et h el o c a la n dg l o b a ls t a b i l i z 砒i o no ft h i sc l a s so fs y s t e m s a n da i m e d 砒t h es y s t e m w i t ht h eu n c e r t a i np a r a m e t e r s , u s i n gt h e 却t i v em e t h o d , t w ok i n d so fa d a p t i v ec o n t r o l l a wa r ed e s i g n e d , t h a ti sa d a p t i v ed i s c o n t i n u o u st i m e - i n v a r i a n tc o n t r o ll a wa n da d a p t i v e c o n t i n u o u sc o n t r o ll a w a n dt h es t a b i l i z a t i o no ft h i ss y s t e mw i t ht h eu n c e r t a i np a r a m e t e r s i sr e a l i z e d i 3 a i m e d 砒t w ok i n d so fw h e e l e dm o b i l er o b o t s ，t h et r a j e c t o r i e s 仃a c k i n gp r o b l e mo f n o n h o l o n o m i cs y s t e mi ss t u d i e d f i r s t l y ，a i m e d 缸ak i n do f w h e e l e dm o b i l er o b o tw i t ht w o w h e e l s w h i c h sg e o m e t r i c a lc e n t e ra n dt h ec 朗t e ro fw h e e l sa x l ed o n tc o n c i d e ，t h ee x i t s o ft h eg l o b a lt r a c k i n gc o n t r o l l e ri sp r o v e dt h r o u g hl y a p u n o vd i r e c tm e t h o da n dt h e b a r b a i a tl e m m a , a tt h es a n et i m e ，at r a j e c t o r i e st r a c k i n gc o n t r o ll a wi sc o n s t r u c t e d a n di t i sr e a l i z e dt h a tt h er o b o tw i t ht h es a m es t r u c t u r eu n d e rt h ec o n s t a n ti n p u t sa n dt h e t i m e - v a r i a n ti n p u t si st r a c k e d a n dt h e n , a i m e da tt h et r a j e c t o r i e st r a c k i n gc o n t r o lo ft h e f o u r - w h e e l e dm o b i l er o b o t , i ti sp r o v e dt h a tt l l e r ee x i s t sat r a c k i n gc o n t r o ll a wt h r o u g h l y a p u n o vt h e o r ya n db a c k s t e p p i n gm e t h o d a n dat r a c k i n gc o n t r o ll a wi sc o n s t n l c t e 也 f i n a l l y , t h ep e r f o r m a n c eo ft h ep r o p o s e dc o n t r o ll a wi s s h o w nt h r o u g has i m u l a t e d e x p e r i m e n t 4 s o m ec o n t r o lp e d 缸m 锄c e $ o fs e v e r a lp r o p o s e dc o n t r o ll a wa r ev e r i f i e dt l o u g h s o m ee x p e r i m e n t sw i t ha l la c t u a lw h e e l e dm o b n er o b o ts y s t e m t h r o u g ht h ee x p e r i m e n t r e s u l t s s o m es h o r t c o m i n g si nt h er o b u s ta ma n a l y z e d a n dt h e n , a i m e da tt h e s e s h o r t c o m i n g s , s 蚴ei m p r o v i n gs u g g e s t i o n sa n dm e t h o d s a r ep r o p o s e d , a n ds o m er e s e a r c h a r e a si nt h ef u t u r ea r e p r o s p e c t e d k e y w o r d s ：n o n h o l o n o m i cs y s t e m , m o t i o np h n n i n g , s m b i l i z a f i o n t r a j e c t o r i e st r a c k i n g , 晒e e l e dm o b i l er o b o t s 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：垄睦2 。孓年8 月皤日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：套陛2 耐年8 月f g 日 南京理工大学博十学位论文 非完整系统若干拧制问题的研究 1 引言 1 1 非完整系统的起源及研究近况 近年来，随着移动机器人技术和航天技术的发展，非完整系统的控制问题越来越 受到了世界各国学者的关注。由于这类系统的约束方程中总是包含带有微分项，且不 可积的非完整约束方程，故而将其称之为非完整系统。相对于完整约束给系统控制带 来的问题而言，非完整约束使得系统更加难以控制，但是其可控性的特点又使其研究 更有挑战性，针对这一领域，本论文主要研究了这类系统的运动规划、反馈镇定和轨 迹跟踪问题。 。非完整”来自于法文的“n o n h o l o n o m i c ”一词，与“完整”( h o l o n o m i c ) 都是 用于描述系统约束方程特性的，起初它们都属于分析力学的范畴。在分析力学里，对 非完整系统的研究已有大约一百多年的历史了，在这期间，世界各国的学者深入地研 究了非完整系统动力学模型的构造和特点。随着控制理论的发展和工程实践的需要， 近二十年来，非完整系统的控制问题越来越受到各国控制界学者的关注，其研究内容 也得到了较大开阔和发展。 在工程实践中，存在着很多非完整系统，造成这种现象的原因是多方面的【1 】，有 些是由于对象本身的运动特点所造成的，如作纯滚动、无滑动运动的圆球，在冰面上 滑动的冰刀等 2 1 ；也有些是出于实际情况的考虑而人为添加的，如柔性的机械手闭； 还有一部分是由欠驱动所造成的，如在太空中运行的卫星m 和航天飞机叫1 等。这些 系统都有一个共同的特征：受到非完整约束方程的约束，即这类系统的约束方程中至 少包含一个带有微分项的、不可积的约束方程。这个特征可以从下面几个实例中看到： 例1 1 两轮驱动的移动小车 图1 i 两轮驱动小车示意图 i 引占博士论文 其中：b 为小车的宽度，2 r 为小车的轮径，占为小车相对于水平轴的夹角，c 为 小车的几何中心，其坐标( 葺y ) 为小车在坐标系x o y 中的位置，与小车和水平轴的 夹角0 一起，构成了小车的位姿向量( 珊矿，l ，为小车的线速度，o j 为小车的转动角 速度。 由运动学原理可知，该车的运动受到如下约束方程的约束： 童s i n s - p c o s o = o ( 1 1 ) 例1 2 纯滚动的圆球州 z 码 图1 2 纯滚动的圆球 其中：c 为圆球中心，其坐标为 力，品只伊为球体按z - y - z 依次旋转后得到的三 个e l l l e r 角，即坐标系x y z 首先绕z 轴旋转口度，得到新的坐标系x l y l z l ，z 轴和z l 轴重合，然后绕y 1 轴旋转e 度，得到坐标系x 2 y 2 2 2 ，y j 轴和y 2 轴重合，最后绕z 2 轴旋转伊度，得到x 3 y 3 2 3 ，砀轴和z 3 轴重合。e u l e r 角风只中和球心坐标础一起构成 了该球的位姿向量( t 皿醴9 ) t ，在研究中该系统模型常被看作球形卫星的简化模型。 由运动学原理可知，在纯滚动的情况下，该球受到如下约束方程的约束： “口( 驴c 0 8 口血臼一? 血口) - 0l( 1 2 ) 夕+ 口( 驴s i n 口如护+ 口c o s 口) = oj 其中：a 为球的半径。 从上述两个典型的非完整系统的约束方程( 1 1 ) 、( 1 2 ) 可以看出：这些约束方 程都是带有微分项的、不可积的约束方程。 2 南京理= r = 大学博 学位论文1 r 完整系统若千控制问题的研究 目前。非完整系统的控制问题研究的主要内容包括对象模型的建立与变换【川l 、 运动规划【9 10 t 1 ”、镇定控制 2 9 , 4 0 , 4 9 、跟踪控制娜捌和优化控制【s 1 1 2 3 1 等方面。在研究中， 这些方面不是孤立的，而是相辅相成的，比如，优化控制的研究通常包括轨迹优化、 优化跟踪、控制器参数优化、镇定控制中包含了平衡点镇定和轨迹镇定等方面，轨迹 镇定的研究方法也常常被跟踪控制所采用i 1 0 9 ，等等。针对这些方面，下面简要介绍 一下非完整系统控制问题的研究近况。 1 1 1 非完整系统模型的建立和变换 近年来，对非完整系统模型的研究，主要从两个方面出发，即非完整系统的运动 学模型和动力学模型1 1 1 4 t 1 捌。有些动力学模型是由运动学模型扩展而来的，如幂式 系统的动力学扩展模型嘲等。一部分非完整系统的运动学模型可以表示为如下的无漂 系统1 l ： 只= 叶1 毒：芝g v ( z , y ) y j n 3 j - l j 其中：陟1 沈，：l ，动，z + 胡t 为系统的状态向量，y = d ，l 扰，j 钥7 为系统掰 维的基向量，z = 口l ，靠胡7 为系统捍咖维的构造向量，2 胛 月，卢l ，2 ，一嗍， 产l ，2 ，m ；当氍亿y ) 只与基向量y 相关而和构造向量g 无关时，该运动学模型称为： c a p l y g i n 模型叫9 7 6 1 0 5 1 0 6 ( 有时也称c h a p l y g i n 模型1 0 7 1 0 。1 ) ，如下面的三维非完整系 统就是一个c a p l y g i a 系统： 毒2 嘲1 舅= m ( 1 4 ) 兜= 心j 当对系统( i 3 ) 进行 i = 奶d g i g m b | = z ，m + l i n ig p - l 歹i 垃s 孵，琏，翻 、g 卸净j 坶s | t t 妪j s m l 岛( x 蹈( w ) ，j ，件盥勤，毪励 变换后，系统( 1 3 ) 可以表示为更一般的无漂系统形式： i 引言博 论文 毫= 邑( i m ( 1 5 ) - f 其中：i = 缸l 抛， ) 7 是n 维的状态向量，u = ( 蜥，地，) t 代表m 维的系统输入 向量，酥x ) 代表以x 为自变量的函数，2 m n ，净1 ，2 ，一，j = 1 , 2 ，m ； 并且w a l s h 和b u s h n e l l 【7 1 证明了如果由该系统各光滑线性独立的输入向量场 g “x ) ，k = l ，2 ，m 所张成的分布存在一组基可表示为： f o = ( a g 。，粥) + 蹦( ，溉) 1 2 ( 1 6 ) n = ( i ) ( a 甑，魏) ，( 1 s ，s 月t ) s 2 的形式，并且所有的分布q = 妒硎 吃z ，以厶：o 豇g ，o 呵n - l 都是对合的， 即在一个n 维空间的开集u c 中有常数维，同时g 0 l 在开集u 中的维数等于n - l ， 则在此开集u 中存在一个反馈变换：z - - - o ( x ) ，邛( x k 使得该非完整系统可转换为 链式系统f 】4 j - z o 铂z l o = qz 2 0 - - - 1 , 2 三_ o = = ，m 2 一，。v 02 ：2 ：”2 一- ，* 。1 0( 1 7 ) ： 三l m 炳1 ) 三地句2 她椭 三= z 卅t 一i ) 1 7 0 系统( 1 7 ) 称为带有m + 1 个输入的m 链系统，简称为链式系统，并且当m = l 时，该系统称为单链系统。实际上有很多非完整系统的运动学模型可以转换成链式系 统的形式【1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 ，这使得很多非完整系统的控制问题都直接针对链式系统来研究 1 0 9 , 1 2 1 1 2 3 。同时w a l s h 和b u s h n e l l 证明了所有的链式系统都可以转换至幂式系统 7 l ： 上 4 i 2 u em o 。y 2 0 = u 2) 2 1 0 im l ；，碱y 2 1 = y o u 2 1 2 ) b 舻知凡如= 如心= 缸) 2 ( 1 8 ) l砰扣r 码= 扣户r k = 岳p 南京理t 大学博十学位论文 北完整系统若千柠制问恿的研究 而对于某些系统，由于环境和驱动装置的影响，其运动学模型的控制输入，往往 不易于直接施加至受控系统，比如在地面材质多变环境中运动的机器人等，仅研究其 运动学模型是不够的。这时就需要从系统的动力学模型出发，研究各控制输入和状态 的关系。为了降低难度，经常通过在运动学模型( 1 5 ) 上进行动力学扩展得到系统 的动力学模型，简化后可以表示为如下的形式【1 】： m1 i - - 擎 ( 1 9 ) ，dr 77 嘭= q 】 其中：f 地而) t 是以维的状态向量，v = ( v 1 ，屹，) t 代表m 维的中间向量， u = ( u 2 r , ，甜代表m 维的系统输入向量，g 舡) 代表以x 为自变量的行维函数向量， 2 m 称为余分布q 。 定义2 5 ：当存在一组光滑的且线性独立的向量场g ，( q ) ，产1 z , n - k ，使得对于所有 的f 和，都满足，( 0 3 。g ，( 0 3 = 0 ，则称由向量场g ( q ) 张成的分布零化了余分布q ， 或称为零化约束，( q 垃= o 的分布。 通常情况下，判断一个约束是否为非完整约束，主要依据如下两个定理： 引理2 1 嗍：一组光滑的p f a 伍趾约束是可积的当且仅当其零化约束的分布是对 合的。 引理2 2 【舛】( f r o b e n i u s ) ；一个规则分布是可积的当且仅当它是对合的。 例2 t 考察例1 1 中的两轮驱动的移动小车，其约束方程为s i n 8 一p e o s o = o ，由 、 该约束方程可知：构成该方程的峨( q ) = l s i n o - e o s oo l 是光滑的，由其张成的余分 布为：f 2 - - s p a n 。) ，经计算，存在一组光滑的且线性独立的向量场g ，( c o ，u = 1 力，其 中：g l = 【c 目s i n oo t ，= 【0 01 】t ，对于所有的i 和_ ，都满足 ，( q ) g ，( q ) = 0 所以由向量场g ，( q ) 张成的分布a = s p a n 蜀，9 2 ) 是零化约束q ( q ) l = o 的分布。但 如果取“q ) = 【c o s 口s i n o0 1 t e a ，g ( q ) 4 0 0l 】t ，则 【f g 】蛐= 馨鲁= l s 自a o c o s 8 0 1 t 龃成立 因此由引理2 1 和2 2 - - i 女n 分布是不可积的，也就是说约束j s i n 口一p e o s o = o 是 1 3 2 幕础知识博十论文 2 2 非完整系统模型的建立 首先，根据系统的p f a f f i a n 约束方程，求出矩阵a ( q ) 零空间的一组基，记为以q ) ， j = l , 2 ，朋，使得a ( q ) g a q ) = o ；研为基的个数，当n 同2 七时，称该非完整系统为完全 其中：q 气钔，q 2 ，矶) t 为系统的n 维广义状态向量，扩加，地，) t 为系统的 射引子 4 ， 1 4 圈2 2 四轮驱动小车的示意图 其中：，为小车前轮与后轮轮轴中心之间的距离，曰为小车相对于水平轴的夹角， 南京理t 大学博p 学位论文 非完整系统若干控制问题的研究 9 为小车前轮与前进方向的夹角，c 为小车的几何中心，其坐标( 玉y ) 为小车在坐标 系x o y 中的位置，与0 和矿一起，构成了小车的位姿向量伉卫鼠伊) t ， ，为小车的线 速度。 由运动学原理可知，该车在运动时受到如下约束方程的约束： 量s m ( e + 力一p e o s ( “尹) 一坩c o s 妒2 0i ( 2 5 ) 3 c s i n o - p e o s o = o j 并由此可得其约束矩阵：a ( q ) ：i8 洫妒+ 咖- c 够+ 咖一，c 吣缈o l并由此可得其约束矩阵：a ( q ) = i l s i n o s 曰0 o j 可求得如下向量是该约束矩阵零空间的基： g i = l c o s os i n 0 半0 1 7 ，9 2 = i o 0 01 t ； 则由以上基向量可得系统的运动学模型为： 俐 也。 由上述非完整系统的运动学模型( 2 4 ) ，( 2 6 ) 可以看到，通常这些模型都可表 示为如下的形式： 由= g ，( q ) “， ( 2 7 ) 2 3 主要引理 上一节介绍了非完整系统运动学模型的推导。为了便于下面章节中若干重要定理 的证明，本节给出这些证明中所需要的几个主要引理。由于相关文献已给出这些引理 的详细证明，考虑篇幅原因，此处对这些引理的证明从略。 引理2 3 t 9 习( b 砷a l 砒引理) ：如果当卜+ 时，可导函数贝f ) 有一个有限的极限值，而 且厂o ) 是一致连续的，则当卜+ o 。时，厂( f ) 一o 引理2 4 1 9 5 , t 0 9 ( b a r b a l a t 扩展引理) ：如果当卜+ 时，可导函数灭力趋近于某个有限 的常数，且其导数f ( o 可表示如下两项之和：第一项趋近于零，第二项一致连续， 2 基础知识 博士论文 则当产一时，( f ) 一o 。 引理2 5 1 9 5 】：对于线性时变系统： i = i a l + a 2 j i ( 2 8 ) 若a l 为稳定阵，a 2 ( 力满足( 1 ) l i m a 2 ( t ) = 0 ；( 2 ) j l 卜驴l 防 ，则线性时变系统( 2 8 ) 全局指数稳定。 1 6 南京理工大学博十学位论文 前完整系统若干控制问题的研究 3 非完整系统的运动规划 3 1 问题描述 规划问题是控制理论中研究的经典问题之一，主要包括轨迹规划和运动规划两个 部分。轨迹规划，通常是指根据对控制对象的位置、速度或加速度的要求，计算出一 条对象状态预期的运动轨迹，所采用方法主要有多项式插值和迭代逼近等，如在解决 一个单关节的机械手的轨迹规划问题时，给定关节的起始角度岛和终止角度易要 求计算出关节平稳运动时的轨迹曰。根据要求可知，为实现单个关节的平稳运动， 轨迹函数0 ( 0 需要满足四个约束条件，其中两个对应于关节的起始角度和终止角度： 0 ( 0 ) = 0 0 ( 3 1 ) e ( q ) = e l ( 3 2 ) 另外两个对应于关节平稳运动时在起点和终点的速度： 文o ) = o ( 3 3 ) 砸，) = o ( 3 4 ) 由上述四个条件，可以唯一确定一个三次多项式： o ( t ) = a o + a l t + a 2 t 2 + ( 3 5 ) 其导数为：砸) = q + 2 吖+ 3 码， ( 3 6 ) 将约束条件( 3 1 ) ( 3 4 ) 代入( 3 5 ) 和( 3 6 ) ，可得到有关系数a o , a l ，a 2 ，a 3 的线性方程组： f 岛= 岛 j 巳。嘞+ 嘶+ 奶+ 奶( 3 7 ) i o = q 0 = o i + 2 嘶+ 3 奶 求解该方程组可得： 卸删，如 o o , ，q 季巳咆) 1 7 3 非完整系统的运动规划 博 论文 由此可得该机械手关节的运动轨迹： 砸) = 岛+ 吾( 够一a o ) t 2 号哆一岛y 3 ( 3 8 ) i | | 由上述轨迹规划过程可知，在轨迹规划中，没有考虑机械手的数学模型和控制输 入对轨迹的影响，仅仅是在给定的起点和终点之间找到了条可行的轨迹。本文中所 研究的运动规划问题与此不同，其不仅要考虑对控制对象起点和终点的要求，而且还 要考虑对象的运动学模型和控制输入。另外运动规划寻求的目标也和轨迹规划不同， 轨迹规划寻求的是控制对象各状态的时间函数，而运动规划寻求的是受控对象控制输 入的时间函数。如针对两轮移动机器人的运动学模型： 时p 1p 。： 醐p i 佃 ( 3 9 ) 其中：瓴n 印7 为机器人的位姿，以研7 为机器人的控制输入； 要求设计一个控制序列，使得机器人首先从初始位姿a ：( 2 ，2 ，0 ) 7 运动到中间位姿 b ；( 2 2 ，梢) t 然后运动到中间位姿c ：( o ，o , , z 4 ) r ，最后运动到终止位姿d ：( o ，0 ，o ) t 。具 体过程如图3 1 所示。 ( a )( b )(c)(d) 图3 1 两轮移动机器人状态变化示意图 根据要求可知，小车的运动可分三段： 第一段：机器人从初始位姿a ：( 2 2 ，o ) t 运动到中间位姿b ：( 2 ，2 ，巧4 ) t 。 由机器人的运动学模型( 3 9 ) 可知，当控制量为：f - o ( m s ) r o = l ( r a d s ) 时，系统 各位姿状态的变化为： f x h = x 。 = ( 3 1 0 ) 【嚷= 吃+ 吐，扣l i 其中：为第一段时间长度； 1 8 南京理t 大学博卜学位论文 非完整系统若千拧制问题的研究 由( 3 1 0 ) 可得：i t l i 气目r 巩) n 只椭一o ) l - - x 4 ( s ) ； 第二段：机器人从中间位姿b ：( 2 2 ，船，4 ) t 运动到中间位姿c ；( o ，o ：- , 4 ) t 。 由机器人的运动学模型( 3 9 ) 可知，当控制量为：v = - - l ( m s ) , a , , - - - o ( r a d s ) 时，系 统各位姿状态的变化为： 纛：麓朝 限m 幺= 岛 其中：i 玎2 l 为第二段时间长度； 由( 3 1 1 ) 可得；l 矿i 板i 二5 石孓j 了加_ 2 互( s ) ； 第三段：机器人从中间位姿c ：( o ，o 再4 ) 7 运动到终止位姿d ：( o ，0 ，o ) t 。 由机器人的运动学模型( 3 9 ) 可知，当控制量为；垆o ( m s ) ，c o - 一l ( r a a s ) 时，系 统各位姿状态的变化为： f 白= k 儿铋 ( 3 1 2 ) 【岛叫，73 j 其中：l q 3 l 为第三段时间长度： 由( 3 1 2 ) 可得：矿l 鼍甜一州m ) ( - 1 ) 吲4 ( s ) ； 总结可得，控制输入函数为： f 【o1 】，串o , t o 卅，7 口 f 川) 钾) 】= 【- 1o 】7 硝哳1 哳1 j 砷7 2 ( 3 】3 ) l 【o - 1 】，f p o 叫，7 1 2 l 蜥1 h 矿h 矿i 】 由| ；仃两章可知，符合条件的非完整系统在适当的变换下，都可转换为非完整链式 标准型，并且在定常输入下，链式系统具有易于积分的特点。本章主要讨论非完整链 式系统的运动规划问题，该问题可具体描述为： 对于给定的非完整单链系统 毛= 乏2 心 毛2 毛 ( 3 1 4 ) 【毛；气t m 其中：f 胁, z 2 ，石i 】t 表示系统的状态向量；= ，地】7 表示系统的控制输入向量。 1 9 3 妒完整系统的运动角! 划 博卜论文 寻求控制算法，使得对于给定的一组起始状态，“和终止状态矿耐，可得到相应 的控制输入时间函数( f ) ，在该控制输入作用下，系统各状态能在有限的时间内从初 始状态运动到终止状态。 针对此问题，本章首先提出了一种基于b a n g - b a n g 控制的切换策略，并给出了一 种在这种b a n g - b a n g 控制作用下切换时刻的计算方法。然后在此基础上，提出了一种 柔化b a n g - b a n g 控制的方法，这种方法取消了b a n g - b a n g 控制中对控制输入的限制， 通过预先给定切换时刻的方法，计算出在各时间间隔内控制输入的大小，使得链式系 统各状态能在给定的时间内，从初始状态运动到终止状态，这种方法克服了b a n g - b a n g 控制中控制量切换较大的缺点，实现起来更加灵活、方便。 最后，将柔化b a n g - b a n g 控制的方法扩展到带有m + 1 个输入的m 链非完整系统 上，解决了此类系统的运动规划问题。 3 2 基于b a n g b a n g 控制思想的切换控制策略的设计 3 2 1 设计方法 首先，受3 1 节中两轮移动机器人运动规划方法的启发，研究在不给定终止时刻 的情况下，利用b a n g b a n g 控制的思想，即系统通过在【lo 】7 和【o 1 】7 两种控制 输入的多次切换，使得系统各状态能在有限的时间内，从初始位置运动到终止位置。 其中最大的切换次数可由如下定理确定； 定理3 1 针对n 维的非完整单链系统( 3 1 4 ) ，假设给定的初始状态和终止状态有界， 则系统的控制输入在【1o 】t 和【o 1 】t 之间最多经过2 ( ”2 ) + 1 次切换，即可使系统 ( 3 1 4 ) 在有限的时间段内，从给定的初始状态运动到终止状态。 证明：首先考虑z f “z ，情况下系统控制输入的切换次数。 ( 1 ) 当z z ，时，令p = r ，z 【0 1 = z l “，假设经过2 ( n 一2 ) 次切换后，系统各 状态从给定的初始位置运动到终止位置，则在起始时刻f 和终止时刻之间可划 分为2 ( n 一2 ) + 1 个时间段，每个时间段的大小为：i 叩1 ，( j - = l , 2 ，2 ( n 一2 ) + 1 ) ，并假设 在各时间段内系统的控制输入为： 在奇数时间段 r ( 2 + 1 ) i ，即 只f 州】，( - - 0 ，1 , 2 ，m - 2 ) 内，u ( 2 + i ) ( 力= 【os g n ( r 2 “1 7 ； 在偶数时间段l 叩偿心i ，即r p l ，1 r 2 ，( - - - 0 ，1 , 2 ，, n - 3 ) 内，u ( 2 晌( 炉：【s g n ( _ 但心) ) o 】7 ； 将_ 【os g n ( 叩( 2 ”1 和u - - - s g n ( v 知+ 2 o r 分别代入系统( 3 1 4 ) ，并积分，得系统 在各f 时刻的状态： z w = f ( z u 一”刀0 1 ) ( 3 1 5 j ) 其中：产1 2 ，2 ( n - 2 ) + l 当卢2 f + l ，( j - - o ，1 , 2 , - - , n - 2 ) 时，系统各状态在f 时刻为： f 甲= 彳川 l 掣= 掣。1 + s g n ( r i 矿i 妒= 矿 = ( 3 1 6 ) w m z i j - ! 粕鲥) 巾7 门i i z p j 蠢力 邯把m s g n ( r u ) 申7 u l ( 3 1 7 ) 卜p + 萨掣 z f o ) + 劢2 墨 = 妒+ 可口+ ” ：爿篁叩口m ) 1 纠妒，+ 日芝叩。”：，_ 例“，z 司d ) f 矿+ 刭d 胁”b ” ，t 2 s o，1 0 t , - j - 4、“， 一3、”2 糌+ 蚝孝孑掣+ 驴静 其中：，7 ”- - - s g n ( r 2 “) 巾7 叫+ 1 l ，( ，= 0 ，1 各怫- 2 ) ， 化简得： 玎口桶= s g 仰2 “) - i 可口+ i ，( i = o ，1 ，2 ，行一3 ( 3 1 8 ) 2 1 3t 1 完整系统的运动规划 博士论文 卜