（应用数学专业论文）指数型功能梯度材料的十字裂纹问题.pdf

摘要 功能梯度材料是一种不均匀材料，此材料的本构方程不同于均匀弹性材料中的本构方程，由 于这个因素，给有关问题的求解增加了难度在研究功能梯度材料平面断裂问题时，通常分析两种 类型的裂纹，即垂直于梯度方向或平行于梯度方向的裂纹本文考虑了功能梯度材料中既含有垂直 于梯度方向的裂纹义含有平行于梯度方向的平面裂纹问题 本文共分为五章，第一章概括介绍了功能梯度材料的发展和研究现状第二章通过指数型功 能梯度材料的基本方程，利用极坐标变换，给出了指数型功能梯度材料的应力场通解形式第三章 研究了指数型功能梯度材料矩形板内含一不相交的十字裂纹受均匀双向拉伸力的问题，先将上述 十字裂纹问题分解为两个子问题，即裂纹平行予梯度方向和裂纹垂直于梯度方向时，受到拉伸力 的情况，再利用应力场通解的形式和边界条件，分别给出了裂纹尖端的应力场的形式以及裂纹尖 端应力强度因子的表达形式第四章采用了功能梯度材料中裂纹问题的数值解法，即利用f o u r i e r 变换将所研究的问题转化为奇异积分方程，并利用数值解法求解了奇异积分方程，得到裂尖的应 力强度冈子讨论了材料参数，裂纹尺寸等对裂纹尖端应力强度因子的影响第五章是结论与展 望 关键词：功能梯度材料，十字裂纹，f o u r i e r 变换，奇异积分方程，应力强度因子 a b s t r c t t h ef u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a li sas o r to fi n h o m o g e n e o u sm a t e r i a l i t sc o n s t i t u t i v ee q u a t i o ni s d i f f e r e n tf r o mt h o s eo ft h eh o m o g e n e o u sm e d i a b e c a u s eo ft h i sf a c t o r , s o l v i n gt h ee q u a t i o n so n f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a li sv e r yd i f f i c u l t w h e nt h ep r o b l e r no ft h ep l a n ef r a c t u r ei nt h ef g mi s s t u d i e d g e n e r a l l yt h ec r a c ko fp a r a l l e lo rp e r p e n d i c u l a rt ot h eg r a d i e n td i r e c t i o ni so n l yc o n s i d e r e d 1 1 1 e s o l v i n go fp l a n ep r o b l e mi n c l u d e dc o n c u r r e n t l yt h ec r a c ko fp a r a l l e la n dp e r p e n d i c u l a rt ot h eg r a d i e n t d i r e c t i o ni sc o n s i d e r e di nt h i st h e m e t h e r ea r ef i v ec h a p t e r si nt h ep a p e r 1 1 1 ed e v e l o p m e n to ff u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a li si n t r o d u c e d i nt h ef w s tc h a p t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h eg e n e r a ls o l u t i o no ft h es t r e s sf i e l di nt h ep l a n eo ft h e f u n c t i o n a u yg r a d e dm a t e r i a l sw i t he x p o n e n t i a lt y p ei sg i v e nb yi m p l e m e n tp o l a rc o o r d i n a t et r a n s f o r mt o t h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o no ft h ef g m n ep r o b l e mo ft h ec r u c i f o r mc r a c kw i t h o u ti n t e r s e c t i o n sw h i c hi s s u b j e c tt ot h eb i l a t e r a ld r a w i n gf o r c ei nt h er e c t a n g u l a re x p o n e n t i a lt y p ef g m i ss t u d i e d 1 1 1 i sp r o b l e m i sf i r s t l yd i s a s s e m b l e dt w os u b - p r o b l e m s ，t h ep a r a l l e la n dp e r p e n d i c u l a rt ot h eg r a d i e n td i r e c t i o nc r a c k s i ss u b j e c tt ot h eu n i a x i a ll o a d t h es t r e s sf i e l da n dt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ro fc r a c kt i pi sg i v e nb y g e n e r a ls o l u t i o no ft h es t r e s sf i e l da n db o u n d a r yc o n d i t i o n s i nt h ef o u r t hc h a p t e r , t h en u m e r i c a l c a l c u l a t i o no ft h ep l a n ef r a c t u r ei nt h ef g mi sa d o p t e d b yu s i n gf o u r i e rt r a n s f o r mt h ep r o b l e mi s t r a n s l a t e di n t os i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n t h es i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o ni ss o l v e db yn u m e r i c a lm e t h o d 场es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ro fc r a c kt i pi sg i v e n 砀ei n f l u e n c e st os t r e s si n t e n s i t yf a c t o ro nm a t e r i a l p a r a m e t e r s t h es i z eo fc r a c ka n dt h es i z eo fs t r e s sa r ed i s c u s s e d 1 1 l ef i f t hc h a p t e ri sc o n c l u s i o na n d p r o s p e c t k e yw o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ，c r u c i f o r mc r a c k ，f o u r i o rt r a n s f o r m ，s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n ， s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r h 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 研究生签名： f ， 力歹玩 f 时间：山矽彳年歹月z 谬日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 时间：寻习年乡月砀日 时间：么研年歹月z 秀日 应吖 莎y 7 y粥冬 第一章引言 1 1 功能梯度材料( f g m ) 简介 1 1 1 功能梯度材料的特点 复合材料已在工程中得到广泛应用，然而传统的复合材料，由于由两种或两种以上的不同均匀 材料结合在一起而存在明显的界面，因此材料的物性参数如弹性模量、热膨胀系数在该处不匹配， 从而使得界面容易成为失效的源泉，界面设计也就成为复合材料设计的重要课题另一方面随着现 代科学技术的进步，超音速航天飞机、超音速民用交通、现代航天飞行器以及下一代电力系统装置 都对材料的设计与应用提出了瓶的要求例如航天飞机的发展就面临许多技术问题，特别在先进隔 热材料方面，通常使用的陶瓷复合材料弥散强化陶瓷，已经无法承受由于航天飞行环境中极端的温 度梯度引起的高热应力为了解决这类问题，日本材料学家新野正之、平井敏雄和渡边龙三等在2 0 世纪8 0 年代中后期提山了功能梯度材料( f g m ) 的概念此概念提出后，引起世界各国的广泛兴趣和 关注，日本已将其列入日本科学厅资助的重点研究项目，德国、法国、俄罗斯等欧洲发达国家相继 开展f g m 的研究t 作；1 9 9 3 年美国国家标准技术研究所开始开发以超高温耐热氧化保护涂层为目 标的大型功能梯度材料的研究项目：同时，中国政府也把f g m 的研究列入国家高新技术的“8 6 3 ” 计划随着f g m 的研究和发展，其应用不再局限于宇航工业，已扩展到核能源、电子材料、光学工 程、化学t 业、生物医学。i ：程等领域 功能梯度材料的研究开发最早始于1 9 8 7 年日本科学技术厅的一项“关于开发缓和热应力的 功能梯度材料的基础技术研究”计划i lj 所谓功能梯度材料是根据使用要求，选择使用两种不同性能 的材料，采j j 先进的材料复合技术，使中间的组成和结构连续早梯度变化，内部不存在明显的界面， 从而使材料的性质羽l 功能沿厚度方向也早梯度变化的一种新型复合材料也就是材料组分在一定 的空间方向上连续变化的一种复合材料由丁功能梯度材料的这种特点，冈此它能有效地克服传统 复合材料的不足1 2 1 止如e r d o g a n 在其论文【3 1 中指出的与传统复合材料相比功能梯度材料有如下优 势： 1 ) 将功能梯度材料川作界面层米连接不相容的两种，可以人人地提高粘结强度；2 ) 将功能梯度 材料用作涂层和界面层可以减小残余应力和热应力：3 ) 将功能梯度材料j j 作涂层和界面层可以消 除连接材料中界面交义点以及应力自由端点的应力奇异性；4 ) h 功能梯度材料代替传统的均匀材 料涂层既可以增强连接强度也可以减小裂纹驱动力 功能梯度材料的组成特点从材料的组成方式看，功能梯度材料可分为金属陶瓷、金属非金属、 陶瓷陶瓷、陶瓷月e 金属和非金属塑料等多种结合方式从组成变化看。功能梯度材料可分为：功能 梯度整体型( 组成从一侧到另一侧早梯度渐变的结构材料) ，功能梯皮涂覆型( 在基体材料上形成组 成渐变的涂层) 和功能梯度连接型( 粘结两个基体间的接缝旱梯度变化) 【4 】冈在制备过程中，选取了 两种或儿种不同性质的材料，连续地控制材料的微观组成、结构和空隙形态与结合方式，使界面的 成分和组织鼍连续性变化，因而材料内部热应力得以人人缓和，对高温侧壁采刚耐热性好的陶瓷材 料，低温侧壁使用导热和强度好的金属材料在金属与陶瓷中间的梯度过渡层里，其耐热性能、机械 性能等呈连续变化，热应力在材料两端均很小，使其成为可在高温环境下应用的新型耐热材料 1 1 2 功能梯度材料发展前景 功能梯度材料自产生以来，得到了长足的发展以材料设计为核心，开发各种尺寸、形状复杂的 功能梯度材料，进一步拓展其应用领域随着组元设计多样化的发展，组元成分的选择也更加合理 梯度材料的设计也将向着多组元设计、更为经济和更为实用的制备方向不断发展制备方法也将进 一步得以丰富从设计上分析，随着非均质材料的组成结构性能体系的深入研究，以及连续介质理论， 量子理论及微观结构模型的不断完善，将建立起比较完备的功能梯度材料数据系统人们从具体要 求出发，假设不同的组分及其分布，在合适的物理、化学模型构建下，进行优化设计，最终获得满足具 体要求的最佳材料组合及空间梯度分布 1 2 功能梯度材料研究现状 在工程应用中，需要对外因素作用下的功能梯度材料结构进行力学行为分析一般基于 k i r c h h o 雕设的经典板壳理论以及其它各种考虑横向剪切变形的修正理论对于研究板壳问题的 全局反应，如挠度、屈曲载荷和自振频率等是适宜的【5 】与均匀材料不同的是，功能梯度材料是一种 复合材料，其物性参数是空间坐标的函数因此，在求解功能梯度材料结构的宏观力学响应前必须首 先确定结构在空间内变化的物性值传统上对非均匀介质中材料性质梯度的描述方法人致有两类 分别为细观力学方法( 作为近似的解决方法) 和假没一个组分材料体积比的变化函数( 设定成分分 布函数) 传统的细观力学分析方法首先引入一个代表性体积单元，它可以表征材料的宏观特性在 每一个这样的单元内，组分材料及其微结构为均匀分布，然而对于功能梯度材料，很难找到这样一个 代表性单元，那么将传统的细观力学模型直接应用丁此材料中缺乏理论依据假设一个组分材料体 积比的变化函数在对功能梯度材料的研究中应川较多下面简要介绍一一1 - 近儿年来对功能梯度材 料的物理性能参数按这两种方法的研究概况 1 2 1 功能梯度材料物理性能参数的研究概况 一、功能梯度材料细观力学方法的研究概况 1 、混合律模型：最简单的是基于v o i g r - 等应变假设的线性混合律，l e e 和e r d o g a n 【6 】 f u k u l 等a m 以及m a r k w o n h 和s a u n d e 一8 l 用该法分析了功能梯度材料的热弹性参数；g i a 皿a k o p o u l 等人【9 】则用它 来研究了功能梯度材料的弹塑性参数由于功能梯度材料各组分材料体积率变化范同大 ( o 1 0 0 ) ，该方法显得比较粗糙，但使用方便 2 、改进的混合律模型：w i l l i a i n s o n 和l d r a k e 等人【1 0 1 【川采h j 这种方法分析了陶瓷金属功能梯度 材料的弹性模量和泊松比，该方法形式多种多样 3 、m o r i - t a n a k a 方法1 1 2 1 ：此方法原本用于颗粒增强复合材料，s u m i 和s u g a n o 用这种方法求得 了功能梯度材料的等效材料参数 4 、自恰模型 2 z u i k e r t l 4 认为自恰模型使用方便，可以用于分析功能梯度材料；r e i t e r i t s 】利用有限元法对功能 梯度材料进行细观应力分析后指出，当功能梯度材料中存在明显的连续基体时，用m o r i t a n a k a 方 法可以得到较好的结果。否则应该采用自恰模型 二、假设一种组分材料体积比的变化函数 这种方法多采用幂函数型和指数函数型来表示某相成分的体积比含量。分别为幂函数型和指 数函数型对于指数函数型，e r d o g a i l 【1 6 1 、j i n 和n o d a t l 7 1 等均曾用该模型分析过功能梯度材料的热、 力学行为对于幂函数型：赵希淑【1 8 】曾采用幂函数模型，对梯度材料在机械载荷作用下的裂纹问题 进行了理论及数值分析；r e d d y 和c h i n 【l9 】在对板和圆柱的分析中。分别使用了两种幂函数模型幂函 数型和指数函数型这类连续性模型，均将功能梯度材料视为性能连续变化的非均匀材料，这类模型 由于忽略了细观结构的影响，误差较大，但是使用较为方便 除上面两种较常用的方法之外还有另一种为分层均匀化模型：对于板壳结构的物性参数，一般 仅沿厚度方向变化，因此可以假定功能梯度材料的物性参数沿厚度方向为分片均匀的，采用分层均 匀化可以直接利用原有层合板壳结构的分析方法进行求解，但当分层数很大时，求解的计算量也会 变得很大，这样计算工作既繁琐又容易导致数值误差t a n i g a w a 、a r a k i 币l l l s h i g u r o t 2 0 】等人用该方法分 析功能梯度材料的热弹性力学行为 1 2 2 功能梯度结构宏观力学响应研究的最新进展 一、功能梯度材料结构的热弹塑性问题 在1 9 9 8 年以前，有关功能梯度材料结构力学响应的研究，集中于讨论住各种稳态或瞬态温度场 中功能梯度材料结构的热弹塑性应力应变分析 对丁稳态温度场中f g m 结构的热应力分析 n o d a 和t s u i i 【2 1 】利刚简单的混合律得剑材料参数仅 沿厚度方向变化的规律。研究了一维稳态温度场中由陶瓷z r 压和金属t i 一6 a i 一4 v 合成的功能梯度 材料板在上。卜表面处于应力自由状态时的温度分布和席力分布，同时讨论了体积含量对温度分布 和应力分布的影响c h e n g 平l l b a t r a l 2 2 采蚪t m o r i t a n a k a 法计算功能梯度材料物性参数，基丁三维线弹 性理论运刚渐进展开法给出了_ 维稳态温度场中周边i 州支椭圆形极应力与位移的解析解r e d d y 和c h i n l 2 3 考虑材料性能的温度相关性，求解了一维定常温度场中板的热弯曲和圆柱壳的热应 力o b a t a 年l l n o d a l 2 4 j 假设功能梯度材料空心圆柱壳和空心球壳的热传导率沿壳体厚度方向变化，讨 论了一维稳态温度场中这两种壳体结构的热传导及其热应力问题 关丁瞬态温度场 f g m 结构的动态热应力分析，由于材料参数的1 f 均匀性，热传导方程和热弹 性方稃均是变系数的，再加上含有时间变鼙和p 喷性项，在问题求解时会遇剑更多的数学方面的困难 冈此，现有的少量研究f ：作几乎都对模型进行了简化，采用了线性和小变形假设【25 | 考虑到功能梯 度复合材料的材料参数一般沿厚度方向变化t a n i g a w a 等提出了层合板模型【2 0 1 即将原结构沿厚度 划分为许多层，假设每一层的材料为均匀的，由此将各层的原变系数控制方程转变为常系数偏微分 方稃后，即可利片j 边界条件及各层间的界面连续条件进行求解运用该方法，他们相继讨论了板的一 维瞬态热应力问题及其材料体积含量的优化、板在上表面部分区域加热源时的热致弯曲问题和空 心球壳三维瞬态热应力等一系列问题2 6 1 【2 7 】；r e d d y 雨i 一一。 2 8 1 2 0 0 1 年直接从弹性力学的观点出发， 分析了功能梯度板的热弹性变形问题 3 二、热机械载荷作用下功能梯度材料结构的弯曲和屈曲问题 弯曲和屈曲问题是板壳结构分析中最基本的问题之一并且最近两年来，f g m 结构在机械载荷 和温度载荷共同作用下的力学响应分析日益受到人们的重视 从现有的资料来看近几年国内、外研究人员已在f g m 梁、板结构弯曲、屈曲领域开展了许多 重要的研究工作传统的结构分析方法如级数展开法渐进展开法、r a y l e i g h 法、g a l e r k i n 法以及 有限元等各种数值方法在该领域的研究中都得到了应用和发展f g m 结构宏观力学行为方面的研究， 已经取得了很多新的研究成果但是，仍然缺少实验研究结果 1 3 功能梯度材料的研究方法 在设计功能梯度材料时，需要处理断裂破坏这一重要课题，这是因为在材料成型以及随后的使 用过程中都有可能出现大量的微裂纹，这些微裂纹的扩展及合并会进一步产生一些主裂纹这些缺 陷影响着材料的使用寿命并有可能带米安全隐患所以，功能梯度材料的断裂力学问题成为重要的 研究方向和研究热点对该问题的研究主要有两种方法，即解析方法和数值计算方法解析的方法可 以用来研究部分功能梯度材料中的裂纹问题但由于解析方法对研究对象的几何形状和加载条件 要求的严格性，使其很难广泛应用于一般的功能梯度材料中的裂纹问题的研究中而数值方法作为 一种研究手段克服了解析方法的缺陷，现已经广泛的应用到裂纹问题的研究中数值计算方法中比 较常用的是有限元方法，无单元法，边界元法和基于广义k e l v i n 解的边界元法等 1 4 十字裂纹问题的研究现状 对有关均匀材料的十字裂纹问题，t h e o c a r i s p s 和i o a k m i d i s n i 【2 9 j 利川l o b a t t o c h e b y s h e v 方法 求解奇异积分方释，比较了这种方法平l l g a u s s c h e b y s h e v 方法，指出利川l o b a t t o c h e b y s h e v 方法计算 奇异积分方程精度更高，计算更简便，为了验证这一观点给出了无限人各向同性弹性平面上含等臂 十字裂纹问题的算例，利川此算例对比了l o b a t t o c h e b y s h e v 方法币l l g a u s s c h e b y s h e v 方法d e 和 p a t r a l 3 0 1 考虑了止交各向异性弹性平面的十字裂纹问题，考虑了两种不同边界条件_ 卜问题的求解陈 宜周1 3 l j 给出均匀材料中十字裂纹问题的数值解法r o o k e 、s n e d d o n , z & s t a l l y b r a s s t 3 2 1 利州积分变换方 法求解了无限人各向同性弹性介质中含筲臂十字裂纹问题的解，利用此方法s n e d d o n _ j f l l d a s 3 3 】研究 了同一介质中两臂不等的十字裂纹问题t h e o c a f i s e s 币l l l o a k m i d i s n i 【3 4 】则采川不同方法研究了无 限大各向同性弹性介质中含一不等臂十字裂纹，当裂纹面受剑剪麻力或剪切力时的问题利刖 m u s k h e l i s h v i l i 复势法将问题转化为求解两个实c a u c h y 核奇异积分方程，再利刚g a u s s l e g e n d r e 或 l o b a t t o c h e b y s h e v 数值方法将方程转化为求解两个线性方程组，通过求解方样组给出了裂尖应力 强度冈子的数值解d a v i de l t i o t t t 3 5 1 等对在求解弹性材料中十字裂纹问题引出的第二类积分方程的 解法进行了讨论d a s 年l l d e b n a t h l 3 6 1 考虑了无限人正交各向异性弹性体十字裂纹的平面应变静态问 题，将问题转化为求解一对含c a u c h y 核的奇异积分方稃纽，给出了在均匀外载荷下的应力强度冈子 和裂纹能的表达式，并且给出了硼环氧树脂复合材料的数值算例d e 年l l p a t r a1 3 7 】研究了无限大各向 异性弹性体含十字裂纹的热弹性问题，考虑了裂纹儿何性质及给定压力下裂纹张开与热应力和位 移场之间的关系，将问题转化为? 卜平面内的混合边值问题，并且给出了两种不同情况下问题的解有 4 关功能梯度材料中含十字裂纹问题的研究目前尚未有具体的论文发表 1 5 本文的主要工作 本文以指数型功能梯度材料为模型，取弹性模量为坐标y 的指数函数，利用指数型功能梯度材 料的基本方程并引入a 时应力函数，给出了指数型功能梯度材料的四阶偏微分方程，利用极坐标变 换及变量分离求解偏微分方程，从而给出偏微分方程的解，进一步给出了指数型功能梯度材料的应 力场通解此方法由刘俊俏等【3 8 j 首次提出，但文中有若干错误，本文经过详细推导，重新给出了应力 场的通解形式并利用通解的形式，进而考虑指数型功能梯度材料板内含一十字裂纹的问题给出了 板内十字裂纹在受到均匀双向拉伸力的情况下，裂纹尖端应力场及裂纹尖端应力强度因子的形式 为了得到裂纹尖端的应力强度因子与裂纹尺寸及材料性质的具体关系，本文第二部分利用f o u r i e r 变换，将问题转化为奇异积分方程求解裂纹问题的常规做法，对此十字裂纹问题进行了进一步的考 虑，并得到十字裂纹尖端应力强度因子与裂纹尺寸，材料性质之间的关系 本文主要包括五个部分： 第一章主要叙述了功能梯度材料研究进展及十字裂纹问题的研究情况 第二章讨论了指数型功能梯度材料的应力场通解，给出了其应力场通解形式 第三章叙述了利用应力场通解求解十字裂纹尖端应力场的过程，给出了应力强度因子的形式 第四章为了解决指数型功能梯度材料十字裂纹尖端应力强度冈子与材料性质，裂纹尺寸的关 系，利用傅立叶变换并引入位错密度函数，将问题分解为裂纹乖直于梯度方向和裂纹平行于梯度方 向的情况，给出了两种情况卜应力强度冈子的表达式及数值计算过程，并最终利用此结果分析了材 料参数，裂纹尺寸对裂纹尖端应力强度冈子的影响 第五章为结论和展望 5 第二章指数型功能梯度材料平面问题的应力场通解 2 1 基本方程 假设功能梯度材料的弹性模量和泊松比都是位置坐标y 的函数 e = e o e 乃， u = v o ( 1 + s y ) e 肋 其中e o 、是材料参数，、s 是材料的梯度系数 ( 2 - 1 ) 平面问题中，不计体力情况，弹性体内的应力状态是由三个应力分量q 、q 和所确定的，满足 平衡条件 f a 盯， l 百 1 监 【a x 8 t 。 q - - = j = 砂 仃v + d o = 0 o ( 2 - 2 ) 弹性体内三个应变分量、0 、由位移m 、，( “、，为沿鼠y 方向的位移分量) 确定 a ” a “锄加 巳2 瓦s ，2 瓦2 瓦+ 丽 在平面应力状态下，应力和应变之间的关系为 占，= i 1 ( 盯，一。仃，) ，占，= i 1 ( 仃，一u 盯，) 相容关系为 引入a i r y 应力函数f ( x ，y ) 如下 a 2 f a 2 f q 2 矿 q 。可 这样( 2 - 1 ) 自然满足，由上述定义 ( 2 3 ) ，铲掣f 叫 ( 2 - 4 ) a 2 f 一丽 占，= 否1 、一，一一，e 。1 p 归，【- i ( 3 p 2 y f ：- - v o ( 1 + e y ) e # ya 0 2 x f ： j 6 ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) 盟叻 = 堕掰 + 监矿 则爹= 去 _ 肛嘞等打励爹一s 万0 2 f 一叫切，丽0 2 fj 得等= 去眈一矿o z f 一2 缈缈爹一2 s 嵩一o + 刚为+ e 一励雾， 同理q = 专 警一u 等 _ 去p 警一哪坳，等 则等= * 励窘吲，一缈，器 得0 矿2 0 p y * 励万0 4 f 一刚两0 4 f 由定义= 竿= 2 由定义= 半= 则誓= 护刚 器 黼0 苏2 f f 砂x y = 云缈乃w ，而0 3 f + - a y + u o ( 1 + e y ， ) 翥 将上述结果带入( 2 5 ) 式可得到- 卜面的结果 f 1 2 e - b y0 砂2 _ _ _ f f 。一2 肛嘶箩仃缈等一2 占嵩一们切，为仃缈等一唧切，寿 一f l e - p ，出0 3 。f 歹如s 丽0 3 f 咄两0 4 f 也”叫嚣 舢f 1 2 e - p y 0 砂2 f 。一2 肛1 窘+ 筹m 呐( 万0 4 f + 可( a 4 f ) + 2 p 丽0 4 f 0 上式约托以，便可得警+ 2 嚣+ 等聊万0t 百0 2 f + 矿c 3 2 f ，等- o 引入l a p l a c e 算子，则上式可写为下面的形式 矿即，炉2 昙吵即，y ) 】+ 2a 2 f ( x ，j ，) 上面的方程就是指数型功能梯度材料的四阶偏微分方程 7 砂2 = o ( 2 - 7 ) 2 2 偏微分方程的求解 下面讨论方程( 2 - 7 ) 的具体求解 首先令 f ( 工，y ) = e x p ( 譬y ) 矿( x ，y ) 然后代入到方程( 2 7 ) 中， 根据上述定义洧窘= 唧c 譬y ，万a 4 v 而嘉= 譬e x p c 和警+ 州譬y ，器 则两a 3 f = 夕4 ze x p ( f l zy ) ) 万0 2 v 伽p ( 譬y ) 器+ e x p ( 譬y ) 等 ( 2 - 8 ) 等一f 1 1 6e x l 、2 p y 肌譬州勿万o v + 了3 f 1 2 哪_ _ i f l 川矿0 2 v + 2 f l e x p ( f l 力矿0 3 v + e x l 、2 f l 力等 将上述结果代入( 2 7 ) 式中得下式 即 酬钞警+ e x p c 和孑一譬e 啾钞警 一譬州钞等一p c 铷两0 4 v + 等唧c 钞一o 沿9 ， ( v 2 一等帅川_ o 如卜二阶偏微分方程的解都是方程( 2 - 1 0 ) 的解， ( v 2 一争y ) _ 0 利川极坐标变换v ( x ，y ) = ( r e o s o ，r s i n o ) 及变量分离法，可将( 2 1 1 ) 的解写为 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) n 胁 ( 争+ ( 纠 q c o s 面+ c 2 s m 恻 协 其中( 譬) 和k ( 譬) 是第二类和第一类纯虚宗鼙的b e s s e l 函数，按如卜形式定义 8 上式中 k ( 争玎压( f 争 k c 链箸学 删争薹彘c 爷 ( 其中r 是r 一函数) 在( 2 1 2 ) 式中a 、口、q 、c 2 、五是任意常数 因此方程( 2 - 1 0 ) 可以写为( v 2 一等) 2 矿( 工，y ) = ( v 2 一等) y ( ，9 ) ，即为下式 ( v 2 一了2 ) y ) = 哳，9 ) 将( 2 - 1 2 ) 式代入( 2 - 1 6 ) 即可得下式 ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) ( v 2 一p 2m 川- 彳kf f ( - 譬) + ( 纠x 和s 肋+ 印n 函 ( 2 - 利川分离变量，设 因为 y ( r ，0 ) = p ( r ) q ( o ) ， ( v 2 一百p 2 ) m ，y ) = v 2 v ( 训) 一等m ，y ) 由极坐标变换和变量分离，即y 宰( ，秒) = 以，) q ( 伊) ，= ：7 i 歹， 利州复合函数求偏导法则可得以下结果 广 v 2 v ( x , 力= i l o ro x ov*(r,o)ooi,00o x + 1 毋 砂 秒= a r c t g y ( 2 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) 曼竺：! 塑一0 0i ( 2 删) 0 0 砂j ， 其中掣兰+ _ o v * f ( r , t 9 ) i c 3 0 ：p , q x + 胁外鲤) ：尸，q c 刚一塑尸幽n 9 8 ra xa 9 a xr 、 、 r 。 r 所以 9 0 2 v _ * _ ( j r 一, o ) ：( f q c 。s9 一型丝尸s i n 秒) ： o r ：( p q c 。s 口+ 型孥p q ，s i n 9 4 - 万t , q ，s i n 秒) c 。s 臼 ，。， + 4 万f q c o s o - 尸，q s i i l 口一五- - p q s i n 0 - 巫艘 c o s 0 ) ( - s i n 0 ) rrr ：，q 耐舛粤坦鲕锣0 0 s 臼一2 塑，g 由p 0 0 s 钟1 p , q s i n 2 0 + 要刃，甜秒+ 粤甩s j l l 秒0 0 s 秒 广rr广r ( 2 - 2 1 ) 同理 0 2 v i * ( 厂r , o 一) ：( 尸qs i no + , j ，- 万p 。c o so ，, ， 咖。 ， ：p q g m 2 9 一粤彤s i i l o e o s o + 2 巫尸g s i l l 口e o s o + 1 p q c o s 2 0 + 罢脚耐弘- 5 历- p g s i n 9 c o s 护 rrrfi ( 2 - 2 2 ) 2 3 应力场通解形式的推导 由上面的计算结果可知( 铲一等) 矿术化d = 朋+ 吾尸q + 吾趔一等坦( 2 - 2 3 ) 而( v 2 一等) 矿嗥( ，l ，口) = p q ，代入( 2 - 2 3 ) 约去q 可得 p + 昙尸一( 等+ 拳) p = a x a ( - 譬) + 尉岳( 譬) ( 其中q = 一g ，由q 的表达式可得) 令p = 职片= ( 譬) + ( 争代入上热推出 彳s + 2 和+ 矿+ 三( 帮+ 节) 一呼+ e , s r = 曰厂 比较两端的项，可得 ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 碍 = s 日 1 一厂 + 巧 m 2 ，l + 一 s 日 即 s 。+ c 2 筹+ 吾，s = - 令z = s 7上式可写为如下形式 ( 2 - 2 6 ) z + c 2 筹+ 吾，z = t c 2 2 7 ， 这样方程( 2 2 5 ) 就转化为一阶线性微分方程，方程( 2 - 2 7 ) 的解为 z ：( 鲁帆1 j 弘p ir 士d r - l - q ) = - - 1 - - - 。庙胁蚓。c 3 为髓 倍2 8 ) 砰r 即 所以 s = l ( 1 哥4 r d r + c 渺 片， p ：r s ：呕 l l 母4 陆+ c m r 日， 4 若将上式中各项记为= n 万r d r + c 3，彬：一( 一砌+ c 3 沙 丘r q = qc o s 劢+ c 2s i n 面，g = 一q s i nx f a o + c 2c o s f 2 0 由上述形式，, - - i 矢h p = q l w 。： w ： p l 9r 利用上述结果，应力分量可表示为( 其中f ( x ，j ，) = f ( ，9 ) = e x p ( 譬s i n o ) p q ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) 巳= 警= e x p ( 譬s i n 印曰彬q 】= r = 【e x p ( 譬s i n p ) 日彬观瓦o r + 【e x p ( 譬s i n 曰形观警咒 - e x p ( 譬s i n 目) 耳彬q c 。s 秒+ 吾e x 仪譬s i n o 片卜万4 q c o s 9 一巫re x 讲丝2 s i n 秒) 8 彬q ls i n 巩 = 州等s i i l d 耳7 嘶q c o s 29 + ! 州等s i i l 回f 去暖q 0 0 s z 秒一塑吲譬如d 耳嘲s i l l 秒0 0 s 9 z厂z ： rz 弓州譬如州嘲血2p 一吉如回彬q 耐p 七如以一矿4 耳噬q 瞄2 9 + 州譬如d 艘c o s 2 秒一等州譬s i i l 印膏弓彬q 豳口。o s 口+ 吉吲譬如回露弓w z q s i n z p + 等鹋如绷如触越r 雄2 酬嘲如觚越g 雄z 茹硝嘲如触p 一；e x p ( 譬s i n 钾彬q s i n 2o + 7 以e x p t 一5 - s m 们形鲫s 伊 = 酬譬s 删f 嘲c o s 2o + c 。s ，2o ( 2 一舻彳丢嘎q 一 印 万s i n 2 伊 厂 耳嘶g + s i n 2 0 f f w i q ， 一竽曰弓畛学曰弓嘎州姗2 秒+ 学棚一竽聊 q = e x p ( 了p rs m 坝爿7 阳c o s 2o + c 。s ，20 ( 2 一舻彳一；彬q 一 压s i n 2 口 r 爿彤q + 塑塑耳彬q ， 一竽曰。；峨半片；哆g + p , q c o s 20 学嗍一竽聊 ( 2 3 3 ) 同理 吒= 等= 【e x p ( 譬s i n 印片彬q 刍= e x p ( 譬s i n p ) 鼻彬鲫万o r + e x p ( 譬s i n 臼) 只彬观爹巧 = f 1 2 4e x p ( - 譬s i n d 日彬q + i l ，哪_ 了p r s 峋_ w 蛐臼+ 罢州譬s i n 圆q s i n 秒 + 雩州譬s i i l o ) e , w , q , c o s p + 譬州譬s i n 州彬q s i n 臼+ 州譬如印f w q s i n z 秒 + ! 州等s i l l 州矿4 q s i l l zp + 鱼州譬如州嘲s i n 秒0 0 s 秒+ ! 州等s i l l 州嘲0 0 s z 口 ，zr zr_ z 1 2 + 吉舛，呼如曰庐4 磁q o o s 招+ 罢q ，( 譬豳叫弓嘭蛐秒+ 吾唧- ( 譬如啾- 耳嘎q 萄午p + e x p ( - 譬s i n o ) p , q s i n 2 秒+ 等州譬血一喔q 如萼鹋幽刃黝如 + 亟2 r 踯犀2 z r如懒o o s 口+ 譬。鸸血功耳懈n 秒o o s 钟等唧粤如蜊弓彬q 血p o o s pr己r三 一吾e x p ( 譬s i n 秒) 8 彬q c o s 2 口一7 4 - t 哪i p rs i n 目) 耳q s i n 秒c 0 s 护 = 硭2 渊删芝4 一竽州例一串+ 棚牮一譬掣) + p 啊秒+ 朔( 半一穹掣) + 8 q s i n 2 州噬q 竿+ 彬g 学 + 片卜砉嘲半+ 等) 协3 4 ， 同上= 一瓦0 2 瓦f = 1 e x p ( 譬s i n 目) 鼻彬q 】刍 ： e x p ( 譬s i n 秒) 日彤纠：i o r + e x p ( 譬s i n 9 ) 日彬观掣) ? zo xz o x 。 一 竽e x p ( - 譬s i n 眦彬q + e x p ( - 譬s i n 州联姗目+ 州譬枷) 片彬鸟胁口 + 竽e x p ( 譬s i n 眦彬q + e x p ( 譬s i n 们彬砌】( - 半 ：【一e x 烈等s i n 秒) 耳q c o s 9 一! e x 烈等s i n 口) 彳1 - 万4 彬q c o s 口+ 塑e x p ( 譬s i n 秒) 彳磁qs i n 印， zrzrz 。 = 2 州堡2s i n 州嘲。o s 秒一s i n 叫嘲s i n 秒o o s p 弓如剜噬9 如矽o o s 口 一孚唧呼s i i l d 耳晰go o s 2 口+ 吾州譬s i n d 耳嘲血9 0 0 s 目+ 吉唧( 譬如功牟弓彬q s i i l 2 przrzrz 一拿2 r 铱廷zs i n 卅弓噬秒 州譬如印一妒耳彬q s i l l 融矽一吲譬s i n 功昂拗p o o s 9 一等咖删+ 等鹋如国朔o o s 招+ 譬鹋如d 黝如秒 + 孚鹋酬啦甜秒+ 巫r 2 拦- , ，v , , 2 一1 。嘲s i n 2 口号茹卿如臼譬口 即得勺= 一酬譬血d f q 咖口c o s p + 耳烈譬c o s p s i n 0 厂e o s 0 ) + 耳嘭q 塑号塑 1 4 + 曰啦丁2 s i n o c o s 0 一棚( 巫笋+ 地2 r ) + 艟s i i l 护o o s 口+ 争) 耳噬q 血秒c o s 口 + 嘭喏训一丁s i n 2 0 + 丁f 2 c o s t ，广学恻 3 5 ， 以上三式( 2 3 3 ) 一( 2 - 3 5 ) 即为在极坐标系下，指数型功能梯度材料应力场的通解 通过上述推导可以看到，文中假设功能梯度材料的弹性模量与泊松比都是坐标v 的函数，引 入应力函数，将功能梯度材料平面问题的基本方程转化为四阶偏微分方程( 上述问题当梯度系数 为0 时，就是双调和方程，也就是一般弹性材料平面问题的应力函数求解方程) 通过求解功能梯 度材料的四阶偏微分方程，利用极坐标变换，经过推导给出了功能梯度材料应力场的通解形式， 这一过程从理论上探讨了一种求解功能梯度材料平面弹性问题的方法，是一种尝试性的工作。对 于具体的问题，理论上可以通过上面给出的府力场分量的基本表达形式米进行讨论，具体方法是 将边界条件代入应力分量的表达式中，确定其中的任意常数，从而得到具体问题的应力场通解形 式 1 4 第三章指数型功能梯度材料十字裂纹问题的应力场通解 3 1 问题的描述和转化 这一章当中，将采用第二章当中推导出的通解形式，来考虑指数