（基础数学专业论文）banach值函数henstock积分与常微分方程不连续系统.pdf

摘要 本文采用h e n s t o c k 积分理论主要讨论了以下几个问题首先给出h e n s t o c k 积分理论 中的基本定义和引理，然后给出b a n a c h 值函数h e n s t o c k 积分性质的有关定理，通过性质 定理讨论h e n s t o c k 积分与h e n s t o c k - p e t t i s 积分的关系，以及h e n s t o c k d u n f o r d 积分存在的 充要条件；给出了b a n a c h 值函数强h e n s t o c k 积分原函数的完全刻画；讨论t b a n a c h 空间 等度h e n s t o c k 可积函数列的性质定理，给出y b a n a e h 空间h e n s t o c k 可积函数列的一系列 收敛定理；最后，讨论常微分方程广义解的整体存在性定理，解对参数的依赖性定理及解 的唯一性定理 1 1 a b s t r a c t t h e p a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h ef o l l o w i n gq u e s t i o n su s i n gw i t ht h et h e o r yo fh e n - s t o c ki n t e g r a l t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nh e n s t o e ki n t e g r a la n dh e n s t o c k - p e t t i si n t e g r a l b yt h ep r o p e r t i e so fh e n s t o c ki n t e g r a lo fb a n a c h v a l u e df u n c t i o n si sf o u n d e d ，a n dn e c e s s a i ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fh c n s t o c k - d u n f o r di n t e g r a li sd i s c u s s e d s o m ec o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ep r i m i t i v e so fas t r o n gh e n s t o c ki n t e g r a b l er u n e - t i o ni nb a n a c hs p a c ea r eg i v e n t h ep r o p e r t i e so fh e n s t o c k e q u i i n t e g r a b i l i t yo fb a n a e h ， v a l u e df u n c t i o n sa r ed i c c u s s e d ，a n ds o m ec o n v e r g e n c et h e o r e m so ft h eh e n s t o c ki n t e g r a l o fb a n a c h - v a l u e df u n c t i o n sa r eg i v e n l a s t l y ，t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dc o n t i n u o u s d e p e n d e n c eo nap r a m e t e rt h e o r e m sf o rd i f f e r e n t i a le q n a t i o na r e p r o v e d 1 l l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 签各翌! 遂日期：翌! ，尘 关于论文使用授权的说明 本人完全w 解i ! ! i i i n 范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名 翌翟盈日期 签名：、节煎导师签名：，均矿臣阢 日期 五，_ 口r 岑 l j l 日l j 吾 自n e w t o n 和l e i b n i z 建立微积分学基本理论以来，积分理论的研究已经历了三百多 年的历史，逐步形成以r i e m a n n 积分和l e b e s g e 积分为中心的现代积分理论众所周知， l e b e s g u e 积分是绝对型积分，虽然l e b e s g u e 积分较p d e m a n n 积分更为广泛，但l e b e s g u e 积 分却不如r i e m a n n 积分那样自然和易于理解故l e b e s g u e 积分出现后，就有许多人寻 求它的进一步扩展上世纪初，在三角级数和微分方程研究中，为了处理问题的需要， 以d e n j o y 和p e r r o n 为首的数学家分别建立t d e n j o y 积分和p e r r o n 积分理论，它们均不同 于l e b e s g u e 积分但都包含t l e b e s g u e 积分，是非绝对积分d e n j o y 积分是用原函数定义 的积分，而p e r r o n 积分是发展p d e m a n n 积分的d a r b o u x 理论用上下积分的方法定义的一 种积分虽然d e n j o y 积分和p e r r o n 积分的定义形式不同，但在二十年代初，人们证明了 狭义d e n j o y 积分和p e r n 积分是等价的系统介绍这两种理论的是著名数学家s s a k s 的 专著 但由于它们的定义都过于复杂，以及未能建立好的收敛 定理等原因，使这两种积分都未能普及于是寻求兼有定义叙述简单，内容广泛，性质 完善的新型积分显得非常重要到了五十年代后期，英国数学家h e n s t o c k 和捷克数学 家k u r s w e i l 分别用r i e m a r m 和的形式定义了他们的积分虽然他们的出发点不同，引 入积分的形式也不同，但体现的思想却是相同的因此人们称之为h e n s t o c k - k u r s w e i l 积 分，也称为h e n s t o c k 积分，本文简称为h e n s t o c k 积分后来经研究发现这种积分其实 与狭义d e n j o y 积分和p e r r o n 积分是等价的，于是发现了三种不同形式的非绝对型积分 而h e l l s t o c k 积分的定义形式简单又有一定的应用背景，经过四十多年的研究后，逐步形成 一套系统的积分理论 4 1 1 5 n 在l e b e s g _ l e 积分出现后，数学家们将l e b e s g u e 积分理论和l 珏e m a n n 积分理论 推广至l j b a n a c h 空间，开始研究b a n a c h 值函数的积分b o c h n e r 积分，p e t t i s 积分 和d u n f o r d 积分是l e b e s g u e 积分在b a n a c h 空_ 问的推广专著【1 】中讨论t b o c h n e r 积分 和p e t t i s 积分d h f r e m l i n ，r a g o r d o n 等人在文 9 【1 0 】 1 l 】 1 3 】【1 8 中讨论了b a n a c h 值函 1 前百 数的m c s h a n e 积分及其收敛定理，m e s h a n e 积分与p e t t i s 积分的关系等后来人们又讨论 高维空i 司b a n a e h 值函数积分，k u r s w e i l 等人在文【1 4 3 一 t 6 1 e o 讨论了高维空_ n b a n a c h 值函 数m e s h a n e $ 鼢，及与p e t t i s 积分的关系等s s c a o 在文【7 1 8 】中利用h e i l s t o e k 积分的思想 和方法首次引入t b a n a e h 值函数h e n s t o c k 积分，讨论其某些砉u 等性质，并指出h e n s t o c k b | 理在b a n a c h 空间是不成立的文【1 2 2 3 j 对b a n a c h 值函数h e n s t o c k p , 分也作了讨论本文 采用h e n s t o c k 积分理论，对以下几个问题做了作了讨论 d e n j o y 积分是l e b e s g u e 积分的扩展，i 而b o c l m e r 积分，p e t t i s 积分丰n d u n f o r d 积分 是l e b e s g u e 积分在b a n a c h 空间的推广因此，r ag o r d o n 在文【l7 】中给出了这三种积分 的d e n j o y 型扩张，目 1 d e n j o y - b o c h n e r 积分，d e n j o y p e t t i s 移q 分n i d e n j o y - d u n f o r d 积, 分，并 讨论了其关系文【1 9 】【1 7 】进一步讨论这三种积分且给出了其收敛定理在文f 2 1 1 给 出t p e t t i s 积分s n d u n f o r d 积分的r i e m a n n 型扩张n l h e n s t o c k - p e t t i s 积分和h e n s t o d c _ d u n f o r d 积分，讨论了这两种积分的性质并证明了关了：它们的h a r n a e k 扩张定理及收 敛定理在本文的第二部分讨论了这两种新型积分- 与b a n a c h 值函数h e n s t o c k 积分之间的 关系以及h e n s t o c k d u n f o r d 积分存在的充要条件 对非绝对积分的研究许多体现在原函数上，对实值函数而言，a c c 和a c g t 函 数是可导或近似可导的 4 】，但在b a n a c h 空间中耍埘空间作一定的限制，才能做 至t j a c g i 1 a c g + 函数的可导性 2 2 】t 所以b a n a c h 空间积分原函数的刻画是很困难的 h e n s t o e k 曾在文 2 3 】中总结出，运用内部变差的概念，将得出一种新的可导性理论，而这一 可导性理论是不依赖于v i t a l i 覆盖定理的，在h e n s t o c k 这种思想的指导下，文【2 6 利用强导 数及内部变差去刻画l e b e s g u e 积分和b o c h n e r 积分本文在此基础上给出t b a n a c h 值函 数强h e n s t o c k 积分原函数的完全刻画 关于收敛定理的研究是h e n s t o c k 积分理论研究中的基本问题，实值函数h e n s t o c k 可 积函数列已有一系列的收敛定理 4 】 5 】 2 7 】_ l o r a ai p a r e d e s 年n c h e wt u a n $ e n g 在 文( 2 8 j 对b a n a c h 值函数强h e n s t o c k 积分支配收敛定理作了讨论，k u r s w e i l s n s c h w a b i k 在 文【2 9 】讨论了高维空i 司b a n a e h 值函数m c s h a n e 积分的等度可积性及v i t a l i 收敛定理的 等价性b a n a e h 值函数h e n s t o c k 积分收敛定理虽然在文f 2 8 1 等中有讨论，但与实值函 2 前言 数h e n s t o c k 积分相比显得有些欠缺本文在此基础上对b a n a c h 值等度h e n s t o c k p - i 积函数 列的性质及收敛定理作了进一步的讨论 不管是绝对积分还是非绝对积分，它们都是处理问题的工具，所以在积分的研究过 程始终伴随着应用h e n s t o c k 积分是处理高度振动函数的有利工具本文在文 3 0 】- 【3 4 】的 基础上利用h e n s t o c k 积分对常微分方程不连续系统广义解的整体存在性解对参数的依 赖性及解的唯一性定理做了讨论 本文包括四部分内容：第一部分作为预备，引述了本文所要涉及到的基本定义 及定理：第二部分首先给出了b a n a c h 值函数h e n s t o c k 积分性质定理，在此基础上讨 论h e n s t o c k 积分与h e n s t o c k - p e t t i s 积分的关系及h e n s t o c k - d u n f o r d 积分存在的充要条 件；第三部分给出t b a n a c h 值函数强h e n s t o c k 积分原函数的完全刻画；第四部分给出 了b a n a c h 空间等度h e n s t o c k 可积函数列的性质及收敛定理；第五部分利用收敛定理讨论 了常微分方程广义解的整体存在性，解对参数的依赖性及解的唯一性定理 3 1 基本定义及引理 本文中x 表示b a n ”h 空间，叫 为x 中的范数x 为x 的共轭空间，口( x 。) 是x + 空 间中的单位球x ”为x + 的共轭空间【a ，6 】是r 中的紧区间，【凸，6 】上的一个划分 为区间点对的集合，记为d = i t h ，t 】，6 ) 銎l ，其中n = t o t l ，t 。= b ， h6 】= u ：，- 1 1 t t 】为了方便，用 t l l ”】表示典型区间，f 表示相应区间 u ，”j 的点， i e d = ( 陋，u 】，f ) ) 定义1 1 | 4 】【5 i f 6 1 设d = ( “，u j ，) ) 是【n ，h i 上的一个分法，若存在 o ，h i 上的正函数d ， 使阻，口1c 托一6 ( ) ， + 6 ( ) ) ，则称d 为乒精细m c s h a n e 划分若f 阻：7 9 】c ( f 一6 ( ) ，+ j ( f ) ) ，则称d ：勾5 - 精细划分 定义1 2 1 7 1 1 1 2 4 j ，函数，：b ，b 】一x 称为m c s m e ( 或珏e n 8 t o c k ) 可积，如果存在z x ，对任e 0 ，存在k q 上的正函数6 ，对【，6 】的任何扛精细m c s h a n e ( 或6 一精细) 划 分d = ( ( 阻，口1 ，) ) ，有 ) f f f ) ( v u ) 一z f 0 ，存在f 。，b l 上的正函数6 ，对陋，6 j 的任何乒精细部分划分d = ( 【札，”】，) ) ，肯 ( d ) 叭f ) ( ”一“) 一f ( “，u ) i i 0 ，使得对a ，h i 上任意有限个互不重叠区间 y m ，饥】，地，仇e ) ，有s u p e j i f ( v , ) 一f o k ) i l m ( b ) 称函数f 在e 上a e 的，如果对任e 0 ，存在d 0 ，使得对【口，6 上任意有限瓦不重 叠区间列 h ， l ，j i e ) ，当 l 地一地i 0 ，存在6 0 使得对b ，6 j 上任意有限瓦不重 叠区间列 心；，地】，“，v i ) 当e 。h 一嘶j 5 ，有e u ( f ；m i ，仇1 ) 0 ，对【n ，6 j 上 任意j 一精细划分d = ( 【u ，”】，) ，有 i i ( d ) 瓜) ( ”一u ) 一( 日) ：i i s 故对任意的x + ，有 p b f 。玳) 扣一u ) 一茁+ ( ( 日) 删 ，b i i x i i i i ( d ) 瓜) o 一乱) 一( 日) 川 o , t 。，6 j ，使得对k ，b i d ：i f ： 意5 一精细划分d = ( 心，v t ，) ) ，有 ) 瓜) ( 一“) 一( 日) 州 s 故对任意的矿x ，有 l ( d ) 球) 扣一“) 一r ( ( 日) 矧 s 闭l 对任意子区间c 【a ，6 】，( 日p ) 上，= ( 日) 正f - y 即，在f 0 16 】上h e n s t o c k _ p e t t i s 可积 引理2 2 1 x 是弱序列完备空间，若函数，：阻b 】一x 在kb j z h e n s t o c k - p e t t i s u 司 ：f ：r ， 则存在闭集列 马) ，使l 屡。蜀= e o ，6 1 且，在每个岛 ：p c t t i s n 积 证明：令f ( t ) = c ，f ( t ) = e ，蛾恬+ f 在b j ：a c g 4 ，由引理23 2 ，故对任意 的z + x ，存在闭集列 毋) ，【o ，6 】= u 邑，f n ：每个马上a o 的，由【4 ，定理3 。3 1 0 l ， 一f 在每个易上y b + 的，再由 5 ，l e m m a 6 18 j 可知r ，在历上l e b e 8 9 u e 可积下证对任意 的可测集e c 马，丘f x ，分两步来证 8 2h e n s t o c k 积分，h e n s t o c k - p e t t i s 积分及h e n s t o c k - d u n f o r d 积分 第一步若e 为闭集，由引理1 i ，矿，在每个e 上y b 的且，u ( 矿，1h ，吐】) 。 u c f ，反) = h 印一e ，由实值h e n s t o c k 积分h n a r k 扩张原理，：f i - c 日) f f 州邛) f b 州肼喜产， 因x 不含c 0 空间，由b e s s a g e p e l c z y 定理，墨1 ( 日) 口，无条件收敛，设收敛到知x 再 记z ( 。，6 ) = ( h p ) r f x ， a b a 一日p ) z 6 ，) z 4 ( 喜( 明f ，) = z + ( z ( 。酚z o ) 骶以t f x e x ， 第二步，若e 为可测集，则存在闭集列 e 。) 甚1 ，使 凰c 巩+ 1 ce ，使f e 日，i 0 ，取口= ，存在， 当n n ，； q ，即l e 、丑j l n 时，有e j i e i i e 蜘i 叩 矿( z 皿。一z 肌。) j = i r ，一x f l = e f i l h ；一| 一 e j + l h 。矿t = i 矿，一 。+ ，l l x f i + j x f l 0 ，存在正整数及 9 2h e n s t o c k 积分，h e n s t o c k p e t t i s 积分及h e n s t o c k - d u n f o r d 积分 正函数d ，使对kb l - ：任意j 一精细划分_ d = ( u ， 】，f ) ) 及m ，n n ，有 i t ( d ) 厶( ) 扣一u ) 一( d ) 厶洲”u ) 1 1 0 ，存在n ，使m n v 时， | | e 7 = 。+ 。( m ) ，e 。f l l o 及每个j ，存在o a t ) 0 ，岛+ l ( t ) 0 ( t ) ，t i a ，6 】，使对 o ，6 】上 任岛一精细m c s h a n e 划分p ，= ( 阻， j ，) ) ，一定有 舨q ) ，州趴一旷( 日) 上，劂l 竹) ，有 t l ( d ) 厶( q 如一u ) 一( d ) 厶( ) 0 一n = | | ( d ) ，x 马( ) 扣一u ) 一( d ) ，x 与( ) ( ”一”川 j = lj = l l i ，戮。) 触( 烈护u ) - ( m ) f 。, 1 l l 圳j 萎，( m ) 上，f l l 蠢+ | | ( m ) 止f l l j = n + l “j = n + 1 o q g 0 ，使对【n ，酬上任西一精细m c s h a n e 划分 功= ( 皿，v ，) ) ，有 ) ，x 马( f ) ( v - u ) 一( m ) zf x e j i i 0 ，使对l n 6 】上任而一精细划分d o = ( 心，u 】，) ) 及仇i n n o ，有 i i ( d o ) ( 一) 一( d 。) ( 一u ) | | n l 时， ii(m)j马fh3j= n + j a i ) ，每个a 在k 6 】上h e n s t o c k 可积且( h ) r 厶= 1 ( m ) 丘，当m l ， 姒z 6 川哪胁卜l l 妻矧_ , l m ) ，f 岛卜；r n ( 奶助 刮| ，萎，) 厶州f 0 ，吏x j i a ，即二任如一精细划分d 。= ( 【，u j ，f ) ) ，一定有 f f ( 玩) 腻m 一旷( 日) za l l0 3 - 取= m a x ( 0 ，1 ) ，令巩= u 墨。巨及风= 晶，n n ，因最瓦不相交，所以凰与峨 ( n n ) 也瓦不相交且蜘u ( u 。k ) = i n ，” 2h e n s t o c k 积h e n s t o c k p e t t i s 4 9 分及h e n s t o c k d u n f o r d 积分 定义函数d 【a ，b 一( 0 + ) 如f ： 6 ”m 雠) ，酬 酬洲) 。鼬 l m l n 南( t ) ，6 1 ( ) ，如( t ) ，矗( t ) ) t f t t n 设d = ( h 乩 ) ) 足 nb 上t t ：o 一精细划分，则一定是矗一精细划分 当l n n 时，有 眦d ) ( ) ( ”一“) 一( h ) j ( f d l | j v 时，有 i i ( d ) 厶( ) ( ”一u ) 一( h ) l l ) 厶( 蛳一u ) 一( d ) ，( f ) 扣一u ) j | + i i ( d ) ，( 一u ) 一( 日) 侧 + i i ( h ) 羽1l 。| 忒 = + | f n t h ll 。h o 使 o + ：i i 矿一七洲 p ) c a 蔷，对任矿x + 且l l x + i i 0 令 b ，吐h 是有限区问列，q ，d f e n x _ , ，则 莓印z + c = 掣莩。( 赢肘十蹦一蹦如矧) 掣 车坩( 南“训“”啦磕b 如 必2 m 因此，f z ，e e n “上是y 日南由定义2 3 2 ， f z + ，z 。x + ) 在k6 】上致y b g i i ) 证明：设完全集e c k ，6 】，由i ) 可知存在子区间f c ，d l c f 0 ，“c ，d e ，e n i d , 田p ，使对任意z + x + ，f 矿在e n f c l 4 上v b + 由引理1 1 ， f z 在- e n c , a j = v b j i “j ( f z + ；f c ，哦j ) o o u ( q ，吐) ：陋，6 j e 由f 1 7 ，引理3 0 1 _ 叮 知，f 矿在e n f c ，d 】上a g 的结合i u ( f z + ；bd i 】) o ：t 【a ，6 】，使得对【n6 】上任( 卜精 细部分划分d = ( 【u ，”】，) ) ，有 ( d ) ) ( ”一u ) 一f ( 叩) i l ； 则对【。，6 】上任意d 一精细部分划分d = ( 阻， 】，f ) ) ，( “：叫，) en ，有 ( d ) l ”一“ 0 ，t h6 】，使得对任缸，6 1 上靠一精细部分划分口。= ( 【u ，u j ，f ) ，( 【u ；”】) i 、t ，。，有 ( 环) 陋一u 0 ，存在瓯明上的正函数d ，d ( t ) 矗( t ) ，t 昂，使得对kh i 上任d 一精细部分 划分d = ( h ，】，) ) ，有 ( d ) 叭) ( u 一“) 一f ( “，u ) 【i ； 1 7 3 强h e n s t o c k 积分的原函数 设d = ( 阻，v l ：f ) 是kb l a d - n 细部分划分，且( “，口】，) f k ，记风= d n g m 则d 。是【o ，纠上“一精细部分划分，即( m ：u ，) f k 。由以上两不等式，有 ( d ) i i f ( u ，u ) 恽( d ) f ) 扣一u ) 一f ( u , v ) 1 1 + ( d ) i i $ ( o i l ( v 一“) 0 ，对任意区问【u ，”】，有( h 叫，f ) 是靠精细的且有 i i f ( u 川叫州”圳 0 ，存在矗( t ) 0 ，t 鼠，使得对 n ，6 】上任矗一精细部分划分d 。= “h ”】，f ) ) ， ( f u ，叫，f ) 工1 h ，。，有 ( d n ) j ”一u i o ，存在e 上i e i n 数南，使得对h6 】上任如一精 细部分捌分d o = ( 【u 、川，) ) ，( 皿，观，) r b ，有 ( _ d o ) i i f ( u ，v ) l l 现在定义f 上的正函数d 设 d ( t ) = f ( 。)。隹e lm i n 矗( t ) ，品( t ) ) t e n 则对【n ，6 】上j 一精细部分划分d = ( m ，u 】，) ) j 则d 总能分解为d 和d 。的并，其中 d 。= ( 陋，。】) d n r b ，。 且 = 1 ) d 删f ) ( v - u ) f ( 郴) 1 1 掣 _ 3 强h e n s t o c k 积分的原函数 记d o = u 嚣，j k ，则d n 和d 0 满足上面两不等式，所以 ( d ) i i f ( u ，”) 一豫) 扣一”) 憾( ) i i f ( “，”) 一傩) ( 一“) 1 1 + ( o o ) l l f ( u ，”) 忡( d 。) i i f ( z ) l l l ”一u n = 1 0 ，使得对陋，6 上任意6 一精细划分d = ( 阻，”】， ) ，d = ( f 让，u 】， ) ) 及任意的n n ，有 i i ( d ) ( ) ( u 一乱) 一r ( 。，b ) l l ；， 及 l l ( d ) ( 甄”一u ) 一r ( n ，6 ) i i 综合以上两式得： i i ( d ) 厶p u ) 一( d + ) 矗( f ) ( ”7 一“7 ) | i 0 ，存在正函数d ，使对k6 1 上任意6 一精细划分d = ( hu l ) ) 及任n n i i ( d ) ( f ) ( ”一u ) 一r ( u ，v ) l l 0 ，存在而( t ) 5 ( 0 ，t ，使 对五上任意也一精细划分d f = ( 【吗，t 匀，g ) ，= 1 ，2 ，g ) ，不等式 l l ( d j ) 厶( q i ，、v j l 一呓) 一 8 q ( + 1 ) j 以 对任礼n 成立，其中f = 1 ，2 ，七从而下列和式 k ( d ) 厶俺) 似一地) + ( 毋) ，n ( 髟1 八叶l 一嘭) 表示k 6 】上d 一精细划分d u ( u l ，d f ) 所对应的黎曼和由假设 i i ( d 7 ) ( 一u t ) + ( d 1 ) 厶( 弓i 7 9 1 一吗) 一r ( n ，b ) l l s t = l 因此，由上述两个不等式，得 i ( d ) 魄慨) ( 佻一“；) 一只( 饥，地) l l ( d 7 ) 婚) 似一“z ) + ( d r ) 厶( 苗l 八叶1 一嵋) 一r ( n ，b ) l l 1 = 1 k + l l ( d f ) ( 髟) ( 蟛一呓) 一 i l 0 ，存在” 0 ，使对 0 ，埘中互不重薤的区间 序列 “t ，q ，u t ，q e ) ，当il 一u i | 0 使对i ，胡中有限可不重叠的区间 序列d = u 】) ，当( d ) i 口一u i 时，对任n n ，有 i i ( d ) r ( 让，v ) l l ； 对每个n n 假设邑 = 。e 矗一1 1 1 厶( z 川 味i = 1 2 则l e n “= 0 ，且有 4b a n a c h 值函数h e n s t o c k 积分收敛定理 ! - ! - ：= ：-：；：= = ：! ! ! ! = ! = = = ! = = ! ! = 2 = = 1 2 = = = = = 2 = = = = = ! = = 2 2 2 u t = 1 u ? o 1 玩t = e ，对任日“存在枷 m i n c 2 一i - 1q ) 和开集g n ”使r t c g k 且l g 。l 0 ，使一6 ( ) ，+ d ( ) ) c