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d es i t t e r 空间具有有界g a u s s 像的平均曲率流 基础数学专业 研究生陈伟指导教师郑柬 摘要：假设f ：m s 寸”是d es i t t e r 空间s 豺”中的完备的类空子流形， 并且具有有界曲率和有界g a u s s 像，我们证明了当n 1 ，一时，平均曲率流 方程 j 墨f ( z ，t ) = h ( x ，) 【f ( z ，0 ) = f ( z ) 有光滑解 关键词：d es i t t e r 空间，类空子流形，g a u s s 像 m e a nc u r v a t u r ef l o ww i t hb o u n d e dg a u s si m a g ei nd e s i t t e rs p a c e m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n tc h e nw e i s u p e r v i s o rz h e n gq u a n a b s t r a c t ：l e t f ：mq s 碧”b eas p a c e - l i k ec o m p l e t em - s u b m a n i f o l dw h i c h h a sb o u n d e dc u r v a t u r ea n db o u n d e dg a u s si m a g e ，i nt h ec a s en 1 ，t h e nt h e e v o l u t i o ne q u a t i o no fm e a nc u r v a t u r ef l o w h a sl o n gt i m es m o o t hs o l u t i o n f 岳f ( z ，t ) = 日( 茹，t ) 1f o i 0 ) = f ( z ) k e y w o r d ：d es i t t e rs p a c e ，s p a c e - l i k es u b m a n i f o l d ，g a u s si m a g e 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特j 3 , j n 以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四j i i 大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。 导雌 作淄 二零零七年五月十日 致谢 本文是在我的导师郑泉副教授的悉心指导下完成的，在 此表示深深的感谢衷心感谢在这三年期间，导师郑泉副教 授给于我的无限关心、鼓励、教诲和帮助 感谢三年以来所有关心、支持和帮助我j 顿利完成学业的 李安民，赵国松，贾方，陈柏辉，王宝富，李福波几位老师，以及 许瑞伟，盛利两位师兄和杨宝莹师姐他们在学业上的指导我 也特别感谢我的朋友，同学和家人，感谢他们多年以来在精神 或物质上的理解和支持使得我可以顺利完成学业。 第一章引论 忻元龙教授在文献1 中证明了如下结论 假设f ：m l 对”是l o r e n t z 空间中的完备n 维类空子流形且具有有界 曲率和有界g a u s s 像，则当t o o 时，平均曲率流方程 爰f ，t ) = h ( x , t ) ，f 。，o ) = f ( 。) 有光滑解 我们则是在此基础上，把l o r e n t z 空间推广到d es i t t e r 空间中，得到下面的 结论 假设f ：m 一跗”是d es i t t e r 空间的完备n 维类空子流形且具有有界 曲率和有界g a u s s 像，则当n 1 ，t o 。时，平均曲率流方程 丢f ( z ，t ) = 日( 为味f ( z ，o ) = f ( z ) 有光滑解 o ，口 第二章基础知识 以下我们约定0 a ，b ，c ，t l + m ；1 ，j ，k ，l ，n ；n + 1 设p + + 1 是n + m + 1 维l o r e n t z 空间，定义内积为 d es i t t e r 空间记为 ：= x o y o + x i y l 一z d 妇， z = ( z o ，晶。+ 。) ，y = ( y o ，鲰+ 。) s ? m = x l x l “+ m + 1 ， = r 2 ) 设：s ”一冗：臂“是位置矢量，记f ：m s ”是d es i t t e r 空间的类空 子流形) 、贝4r ：舰一s 甜”是d es i t t e r 空间的一族类空子流形，在m 中点附近 选取局部正交标架 e 一) 使得 = 6 玎， = 一6 叩， = 如 成立 设 w 4 ) 是 e ) 的共轭标架，则他们满足下面的方程组 悟d z 三雌w a e b a 抛d w ；三鸳篇 其中联络形式满足砒+ 硼= o ，叫+ 耐= o ，w 7 一以= o ，”g 一醒= 0 外微分 = 0 和 = 0 得到 磁= 一r 蝴= w o r 2 第3 页 将这些形式限制到s 寸“上，则有w o = 0 ，从而s 2 ”的结构方程为 id w “= 心n + r n 0 a w 8 础鲁= ；n + 。r n 嵋a ”g + 础 i 础 = 铲1 日a g d w c a w d ， 由于叫a 限制在m 上为零，从而m 的结构方程为 誓 叫a ，嵋+ 嵋= 0 e w i a 时+ 哆 ；碍h 驴a w i 。= ，= 啄 定义 b = h i w o w jo e 口 为子流形m 在d es i t t e r 空间中的第二基本形式，它的模为 吲= g 矾矿h q 碥g a o ， i i b 表示i b i 的绝对值，记 h = ：e 。 为子流形的平均曲率向量场 第三章b o c h n e r 型公式 命题1 设= 碍，m 是d es i t t e r 空间的类空子流形，则有 ；a i b l 2 = 一( v h ：) 2 一 蟛+ c ( 蜕) 2 一c n ( 吩) 2 + 一( 恨喂一啄碾) ( 蟛晦一崂 5 ) 一s 知 ( 3 1 ) 证明t 从文献1 2 j 有 = 垠u _ i l 嚣+ ( 一嘲p 硪+ 2 磕喂一魄碍+ 2 哟蝎 + ( 鼹+ 嘲k + 2 磉 ) h 5 一( h m ； 乞 & + 2 h k r 。h k 。, h , 。n ：一九 ：) 蝎 一( 景。 曼 毛+ 鲁 曼k ) ： 这里我们的 嚣是如下定义的 峰= z k 从 再由k g e d = c ( 以c 如d 一6 d 如g ) ，其中c = 矗我们可以得到 蜴= h k 。k l j h l a j c ：+ c 6 k k h l 。j h i ：+ 2 c 蜴 一2 c h 嚣+ 2 c h , 3 h , 3 2 c 螺一，h a 侧h 3w h 3 i 、。妇a 一2 a m 屹喝 ：+ k 喝九弓 + 嵋+ h aw h a h w b w , a = 段蚶 嚣一c ( 嚣) 2 + c 佗( 嚣) 2 一 + ( 垛喂一咏蜈) ( 蝴碍一啄z 碣) + 蹄， 从而得到 i b l 2 = 一( 吕) 2 = 一2 ( v ) 2 2 嗡蟛 = 一2 ( v ；) 2 2 款巧+ 2 c ( 螺) 2 2 饥( ) 2 + 2 一2 ( 垛曝一啄h & ) ( 鳎呜一啄z 3 ) 一2 岛 4 第5 页 从而结论成立口 命题2 当n 1 时，如下不等式成立 ；( 面d a ) l l b i l 2 一；i i b i l 4 其中l i b i l 2 表示i , u 1 2 的绝对值 ( 3 2 ) 证明：对任意固定点2 7 0 ，在其附近选取局部正交标架场k ，e 。使得 v 。e j f 。= 0 ，则有 d 9 b 出 d = 2 = 2 = 2 = 2 ( v o 一 ) = 一2 ，( 3 3 ) 这里我们利用g l j 鲰= 醒，我们有 警= 矿 在固定点x o 处，( 锄) 是单位矩阵，则代入( 3 4 ) 得到 百d g i k 0 = 2 蜴 = 一2 蝎o , ，。幻a ，。t f k 毋 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 第6 页 下面我们在z 。处计算警， 咝=一下ddt d t d 2 一瓦 d 2 一矿 = 一 一 = 一 一 一 = 一 一 一( 瓦 一 ) 一 = 一 一 + 一 ：一 一 + 曝嵫毋 一屹 ( 3 6 ) 代入( 3 6 ) ，我们有下式 ，最( 一 一 + ，蠕 毳饰 一坛 ) 一 h 。g 一 + 喂椎协一h o h l 。j 一 h 嚣一 ，喝 + 嚣 丧月i c ( 螺) 2 一 蟛 + ( 3 7 ) 最后一项是用到了o t 和p 分别对称和半对称性质 = | i | = 吩 盟出 第7 页 由于警= 0 ，代入( 3 5 ) 和( 3 7 ) 有 一d l b l 2 ：堕! 型竖堡塑! d t d t = 一警朔帽一百d g 7 1 ，i k 蝇 一扩警浅一扩9 j l 警喝 = 一2 百d 9 i k ；一2 警蟛 = 一2 c ( ，曝) 2 + 2 ，唱 + 2 ( 3 8 ) 再由【3 1 ) 和( 3 8 ) 可以得到 ；( 磊d 一) i i b i l 2 = 一互1 ( 五d a ) ( i b i ) 2 = 一( v h s ) 2 + 2 c ( h g ) 2 一c 佗( ) 2 一岛 一( 坛唤一h j k h i “k ) ( h , , h j “t 一啄 2 ) ， 而由c a u c h y 不等式知 躅i ( 鼠) 2 加n 因此可以得到 ；( 面d a ) i i b i l 2 = 一( v h 嚣) 2 + 2 c ( 2 一刚喝) 2 一：i i b i l 4 一( 坛唤一垛曝) ( 媚呜一吩 2 ) 由于( 鳃艰一，峨h 曩) ( 弼碍一h 夤h g ) 0 ，且d es i t t e r 空间中的截面曲率 c = 专 0 ，所以当n 1 时，2 c ( 螺) 2 m ( ) 2 成立，即 ；( 磊d a ) i i b i l 2 一；l i b 0 4 从而结论成立口 第四章主要定理证明 下面为了证明我们的结果，首先给出一些必要准备 定义m 的g a u s s 映射为7 ：m g 。+ 1 m ，它将m 上任意一点3 7 映成其切 空间t = m 与位置矢量生成的n + 1 维平面。在z 点附近选择l 豺1 + ”中的局部 正规标架场e o e n + 。，其中e 1 e 。是切于m 的，e n + l e 。+ 。是m 在s n m 的法向量场，e o 是单位位置矢量 此时我们把d es i t t e r 空间放到硪1 + ”中考虑，则d es i t t e r 空间的子流形 m 自然的扩充为l 黔1 ”中的一个n + 1 维的类空子流形m d ，r 】，记为m ， 其中峨r 】的参数是p , p 表示l 豺1 + ”中的径向半径，记= e o ，笛j 面是m 单位 切向量在这种情况下，f ：m l 嚣1 + ”为l o r e n t z 空间中的n + 1 维完备的 类空子流形，记彳：m g 。+ 1 ，。为g a u s s 映射，则若m 的g a u s s 像有界，m 的 g a u s s 像也有界 因为g a u s s 映射是将m 上任意一点z 映成其切空间正m 与位置矢量生成 的n + 1 维平面，所以g a u s s 映射可以表示为 利用文献 1 】的方法有 ，y ：p e l e n e 0 d ( e l a ae n ae o ) = d e l a ae n ae o + + e 1 a a d e n ae o + e l a ae n a d e o = ? e 。a ae 。+ + e l a a t 嫒e a + e l a ae n a 蝣 = 孵e 。i e m = e l a 。ae i - 1 ae a ae i + l ar ae n ae 0 ，i = 0 ，1 ，r n ， 显然是g n + 1 ，。的切空间上的自然基底，所以g r a s s m a n n 流形的度量可以写 8 第9 页 为 同时得到 d s 2 = ( ”? ) 2 r w ? = 唱，其中= 0 定义g a u s s 映射的张量场为 r ( 7 ) = 8 孟 2 吆i = 吩o + 嗡i e 耐 g a u s s 映射的能量为 e ( ，y ) = ( h ；) 2 习1 ，哂。1 ) 2 + ；( ：) 2 = ；i l b l i 2 其中e ( 7 ) 的定义与【1 】是一致的，这里我们约定v e ；h = 吆；e 。i ，则我们有如下结 论 卸( ) d 亡 ae n ( t ) ae 0 ( ) ) ， ae n ( t ) ae o ( t ) ) + ae n ( t ) ae 0 ( t ) ) + 1 ， j 三【e 1 、g 1 ， 丽( 8 1 绁e。()e。(t)dt 1 。、，。、， a 瓦h a ae 。( t ) ae 0 ( t ) ) = 筹( e l a - ae n 删) + 扣a a v e i h a aeng g e 0 ) + 丢( e 1 0 ) a e 0 ) e 。( t ) ae o ( t ) ) x g = 筹( e l a ae n e 0 ) + ， e l a a v e ：h a ae n a eog ( t ) ) 、9， 一嚷( e 。( t ) e 。( t ) 酬) 2 去o e a o + ) ， 、 ) ) 吼 0 忙 努董|插董|语 第1 0 页 其中虿= d e t ( g ( e ；，与) ) ，i ，j = 0 ，1 n 假设8 ；是p 点的正交基，则 安：，( 7 ( t ) ) 出 。7 证明：假设任意固定t o 【o ，丁) ，s u p m t 。0 b i l 2 有界，则在m t o 上选取一点列 孤( t o ) ，满足，当k c o 时 i i b i l 2 ( 钆( t o ) ) 一s u pi i b h 2 朋t 0 由o m o r i y a u 极大值原理，当k 充分大时，对比 0 有 i v 0 圳2 i ( z ( t o ) ) ，a i i b i l 2 ( x k ( t o ) ) 1 时 d l i bl 1 2 k 幻) ( a i i b l l 2 一l l l b i l 4 ) b t 。) o 记u 为x k ( t o ) 的开邻域，则上式在u 【t o ，t o + 6 ) 上仍然成立 对充分靠近t o 的t 1 ，存在x k ( t 1 ) ux 托o ，t o + 6 ) 满足x k ( t z ) 流向舰。上的 点y 因此当一o o 时， i i b i l 2 ( 。k ( 1 ) ) 0 m t o 由o m o r i y a u 极大值原理，当k 充分大时，对k 0 有 l v u i ( z k ( t o ) ) ，u ( 巩( t o ) ) 0 ，令u 1 = u s u p m t 。u d ( 一t o ) 一d ，当t = t o ，有 1 9 1 - 6 1 ，t o 。时，平均曲率流方程 爰f ，t ) = 日( z ，) ，f ( z ，o ) = f ( 。) 有光滑解 证明：我们选取e 0 ，e 。是l o r e n t z 空间中类空基底，e 。+ 1 ，e 。+ 。是类时基 底，一= 设f ：舰一l 对1 + ”，记l 豺1 ”到舻+ 1 的投射为p 满足 p ( x o ，矿；。”1 ，矿+ 4 ) = ( 扩，矿) ， 对l 黏1 + ”中与m 相切的向量口= ( o ，v ”， n + 1 ，u m ) 有 i 胛+ ，= i 肝+ 1 = i l 譬+ m + ( m ) 2 i 饼，栅 n 因此p 是一个增距函数，也是一个覆盖映射，由于j p + 1 是单连通的，所有面上 的度量可以表示为( 舻“，d s 2 ) ，其中 d s 2 = 鲰3 商商 在此坐标卡中，恒同映射( 舒+ 1 ，d s 2 ) 一( 舻+ 1 1d s 3 ) 是增距映射，其中( j p + 1 ，d s 3 ) 是标准度量，由于我们这里的度量张量的特征值是相对于厩的度量而言，所以 9 i ；的特征值小于1 ，从而有一致上界 第1 3 页 这里我们选取p 0 是由e o ，e 。张成的，则m 上任意点在g a u s s 映射下的 像p 可以由 = e i + q 。岛，i = 0 ，1 ，n 张成，从而有 歹= i o h a ，n | ， 以及 = = vgqg 下面记c ( 8 ) 为r 到p 的测地线声为弧长，由文献【4 j 我们知c ( 8 ) 可通过 p ( 8 ) 来表示，而p ( s ) 由 屯= q + 誓。q ，i = 0 ，1 ，n ，q = n + 1 ，n + m 张成，其中 2 t a n h ( a o s ) o o t a n h ( a 1 s ) 0 0 t a n h ( a ”8 ) 现在令k = c o s h ( a l s ) ，有 = 1 一。n n 2 ( a ；s ) 2 ；i i 嘲1 ， 因为c j u s s 像有界，所以r 到p 的距离有界，如用r 表示p o 与p 的最大距离， 则我们可得 = d e t ( ) = i i c 0 5 ( a 一) ， i = 0 西面吾面1 ：丽万。 从而我t t i 正n ) jt 三豺1 + ”上完备类空子流形m 的诱导的度量张量的特征值在有 界g a u s s 像一致有下界 相对于m o 的度量，m 和m 的度量矩阵有如下的关系， 护= 矾珏) i = i e o i ”g = 9 2 | l 碍 。：i 第1 4 页 从而5 对”上完备类空子流形m 的度量张量的特征值在有界g a u s s 像一致有 界 注意引理2 ，我们知道平均曲率流方程 差f ，t ) = 日扛，t ) ，f ，o ) = f ( z ) 具有一致抛物性和在短时间间隔上有唯一光滑解尬 再由引理1 对i i b 0 的估计以及文献 5 】可以得到 s u p s , l i v 4 8 0 g ( 仇) ， 其中c ( m ) 依赖于q ，m