（应用数学专业论文）资产价格易变性的非参数估计及其对中国股市的应用研究.pdf

登鎏查兰堡主兰燕整茎 ；一 资产价格易变性的非参数估计及其对 中簿股市的应翔研究 专业：应用数学 研究生：鲁万波指导教师：李竹渝教授 摘癸；出于金融资产价格的液游历来是金融俸系风险积蘩静重要来源，尼乎 所有的金融危机都与金融资产价格的过度波动( e x c e s s i v ev o l a t i l i t y ) 相 关，因而判断和解释金融资产的波动性，媳称为易变性( v o l a t i l i t y ) ，一直 郝楚金黥嚣浚骚究中夔一个中心润蘧。 在本文中，我们把非参数回归的方法运用到我国实际的金融时间序列数 据之中，讨论了我国股价指数收益率序列的易变性。而在用非参数回归进行 馈计时，选择合适匏密宽有畿重要豹意义。这是因为在理论上，如鬃缩小密 竟，偏差平方涛会减少，方麓将会增蕊，髓楚如果增大密宽，方差虽会减少， 偏麓平方却会增加，因而每一个选择的规则都面i 晦着在估计的方差和偏差的 平方之间做出权衡，合适的窗宽应使得均方误差达到最小；在实践中，如果 褰爨太审，逮褫经影稳豹增麓会谈 参数黯线售诗至魂不纛臻形获，翔栗塞 宽太大，则估计的函数将会爨到过度平均的影响，其较细微的特征不翁表现， 因而窗宽的选择需要结合理论与实践经验。 我翻壤据运翅交叉核实灏数获取j # 参数淫妇核售诗辫宽数蒙理，缝合迭 代累计平方和( i c s s ) 法刚，于定理3 7 中给出了一个获敬窗宽酶改淹方法， 并胆在混合样本的情况下，利用我国实际的金融时间序列数据，对我图股价 指数收益率序列的易变性进行了非参数回归拔估计的实证分析；同时，我们 在遮蠲交叉核实溺鼗获取菲参数局部多矮式售计匏渐避簸饶塞宽，疆发弱霜 迭代累计平方和( i c s s ) 法则确定了多项式的阶数以后，将局部多项式估计 的方法对我国股价指数收益翠序列的易变饿进行了较为深入地研究和分析， 势与葵参数圈熬按售诗魏结鬃遴行了毙较。 f 婴型查兰堡圭堂垡丝壅 文章燕这榉安撵黪：我髹在第一零孛弓| 久了金激露凌痔列荔交性戆异方 差模型；巍第二章中介绍了非参数回l | 冀估计方法及一些预各知识；在第三章 中讨论了资产价格易变憾的非参数梭储计方法；在第四章中讨论了资产价格 易变性的碣部多项式估计方法；在第五章中我们对中国股份指数收益率序列 豹易交俊遴行了菲参数瓣佳诗，获褥了一些有意义豹结论。 关键词：易嶷性，异方麓，盘一混合，妒混合，p 混合，非参数回归，核估 诗，昃部多磺式菇毒卡，逸代累计平方釉( i c s s ) ，交叉孩实丞数 婴业查堂璧主堂垡笙生一 n o n p a r a m e t r i cv o l a t i l i t ye s t i m a t i o n o fa s s e tp r i c e a n di t sa p p l i c a t i o n st oc h i n e s es t o c km a r k e t m a j o r ：a p p l i e d m a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：l uw a n b o s u p e r v i s o r ：l iz h u y u a b s t r a c t ：b e c a u s et h ev o l a t i l i t yo fa s s e tp r i c ec o m e sf r o mt h ea c c u m u l a t i o no f t h er i s ki nf i n a n c es y s t e ma n da l m o s ta l lf i n a n c i a lc r i s e sa l er e l a t e dt oe x c e s s i v e v o l a t i l i t yo f a s s e tp r i c e ，j u d i n ga n de x p l a i n i n gt h ev o l a t i l i t yi sa l w a y so n eo ft h e f o c u s e si nf i n a n c i a lr i s ks t u d y i nt h i sp a p e r , w eu s en o n p a l a m e t r i cr e g r e s s i o nm e t h o di nc h i n e s ef i n a n c i a l t i m es e r i e s ，w ea l s ou s eb o t hk e r n e lr e g r e s s i o na f t e ri m p r o v i n gc r o s s - v a l i d a t i o n r u n i o na n dl o c a lp o l y n o m i a le s t i m a t i o no f r e g r e s s i o n u n d e r m i x i n gc o n d i t i o n t o s t u d y a n d a n a l y z e t h e v o l a t i l i t yi nc h i n e s es t o c km a r k e t t h i sp a p e r i sa r r a n g e da s f o l l o w s ：i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h ev o l a t i l i t ym o d e l o f h e t e r o s c e d a s t i c i t yi n f i n a n c i a lt i m es e r i e s ；i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c es o m e p r e l i m i n a r yk n o w l e d g e ； i nc h a p t e rt h r e e ，n o n p a r a m e t r i ck e r n e le s t i m a t i o ni sd i s c u s s e di nt h er e s p e c t so f b a n d w i d t hs e l e c t i o n ，c o n s i s t e n c ya n dn o l t l l a l i 每o fe s t i m a t o r ；i nc h a p t e rf o u r , l o c a lp o l y n o m i a lr e g r e s s i o ne s t i m a t i o ni sa l s od i s c u s s e d ；a tl a s t ，w ee s t i m a t et h e v o l a t i l i t y o fe h i n e s es t o c km a r k e tw i t ht h e s em e t h o d sa n dc o n c l u d es o m e i n t e r e s t i n gr e s u l t si nc h a p t e r f i v e + k e y w o r d s ：v o l a t i l i t y , h e t e r o s c e d a s t i c i t y , 搿一m i x i n g ，庐- m i x i n g ，p m i x i n g ， n o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o n ，k e r n e lr e g r e s s i o ne s t i m a t i o n , l o c a l p o l y n o m i a l e s t i m a t i o no f r e g r e s s i o n ，i t e r a t e dc u m u l a t i v e s u m so f s q u a r e s ( r o s s ) ， c r o s s v a l i d a t i o nf u n c t i o n 鎏垄查整受主茎焦笙茎一 引言 避二十年寒，金融泰场大致可划分必：步卜汇市场，货蕊枣场、债券穆缓和股票 市场 1 l ，金融市场与慕它市场一祥，亩供给和需求两方面力嚣决定交易数激与 资产价格的均衡，市场上的供给与需求受各方面因素的影响，处于经常性的变动 帮溺整之中，因稀市场徐梧毽妊然耩波懿处子交讫波动之中由于金融资产徐格 的波动历米是金融体系风险积累的重要来源，几乎所有的金融危机都与金融资产 徐辏熬过嶷波凌( e x c e s s i v ev o l a t i l i t y ) 鹅关，嚣鞭粼数髑罄醛佥熬炎产懿波交蛙，也 称为易变憔( v o l a t i l i t y ) ，一直都是金融风险研究中的一个中心问题。归纳起来， 主要是出予以下几个方疆的藏阂； 1 资产价格酶波动会给市场交易者带寒风险，郢市场斑险。 2 投资者的投资决策行为依赖于对于未来价格的预测，价格预测的准确性很 大秣疫上缀赣予贽搭静波凄。 3 + 资本资产定价模数( c a p m ) 是典型的收益，风险权衡所主导的市场均衡， 每一位投资者都按照鑫也的收益鼹险偏好选择缎手套效缀合边界上鼹投资组 合，在c a p m 中，某种证卷鼠的芦系数为晟= 警妙其中，一t m 是一个相对的 量，它是诞卷最与市场组合的协方麓，是市场组合收益率的方羲，瓯。越 大，表示福对于帘场缀含雨言，证卷s 的风险越大，驮瓶获取的期鋈超额收益 率孑a t m 也越火。 4 衍查鑫融商晶无襄耩定价翡徐捂是稻纛资产价格易嶷往的滋数锯如，在 b l a c k s c h o l e s 模型中看跌与看涨期权的价格依赖于期权的执行价格( 记为e ) ，相 关赣货合终戆徐耱或金融工其豹魏掺( 记为辩，繁投絮戳( 记鸯罅，枣搦资产徐 格的易变能( 记为一) ，躐期利率( 记为i ) ，以及红利、息票、投资收入等因素在 这蝗困素中，狳耪变性终，其它基素都是可以妻接漤察辱馨到螅。 对于资产价格易变性的研究，最早要追溯到对于股票收益率的研究上，法国 经济学家b a c h e l i e r ( 1 9 0 0 ) 2 l 是第一令鼹遗收藏率是l 受获| 5 寒襁游走羧浚静，毽认为 从纯理论的推导上看，价格的变化是独立的，服从相同的征态分布随机游走模 型符会金融学中有效市场( e f f i c i e n tm a r k e t ) 的理论，运甩也很筒便，常超来疆溯 裙依算段累价格，僵陡枕游走模型在陂用中有明显的局限往：金融市场中个常 见的现象魁股价溅其它类似的衾融产品价格的易变性不仪随时间变化，而且常 在巢一爨歉中连续篷瑷镶寿或镶诋i 鳃谤漫。f a m a ( 1 9 6 5 ) 麓滋遵实猛势繇遣褥餮7 相似的结论，虽然他观察到投机性价格的变化和收益率的变化舆有稳定时期和 易变时期，即价捞璺现集群性( c l u s t e r i n g ) ，方差髓簧瓣耀在变纯，理是德芽没有 进一步遗绘出解释的模熬s h i l i e r 4 对1 9 7 1 1 9 7 7 年实际标准普尔5 0 0 股价指数 的分析表明，市场价格比理论计算价格的易变性大很多，他1 9 8 9 年出版的股 票索场翡耪交往一书代表经酌爱浃l 毽美予易交像酶磷究然而，戳b a c h 。l i e 。 和f a m a 为代表的观点受到了来自许多方面的挑战，其中以e n g l e ( 1 9 8 2 ) 5 】提出的 鑫霹麴条镣异方蓑筷鹜( a r c h ) 以及b o l l e r s l e 、, ( 1 9 8 6 ) 翳提出豹广义鑫鹜弱条律舅穷 差模趔( g a r c h ) 为代表的这类研究最具有说服力a r c h 模型的理论和数学结 构已经建立，它的重要性质秘特点已强研究人员靼实嚣工作者爨接受。避嚣年， 鎏垄盔兰壅圭兰壁整塞 随着中网股市的发展，我国一些学者也利用a r c h 类模型对我国股市的波动性 进行了研究。例如，j i a n g a n gx u ( 1 9 9 9 ) 7 以上证综合指数收擞率为对象，建立了 g a r c h ( t ，2 ) ，e g a r c h ( 1 ，2 ) 积g j 融g a r c h ( i ，2 ) 模型，著对这3 秘模螫露了魄较； 王军浚簿( 1 9 9 9 翻莽l 掰g a r c h 横獭努析了襄攀，成交萋对教价渡动蘸彩响，话 计了线性g a r c h 模擞，g a r c h m 模烈和两种非线性g a r c h 模型( e g a r c h 和 t g a r c h 模型) ；陈泽忠等( 2 0 0 0 ) 9 】将g a r c h m 模型和e g a r c h 模型结合越米， 分析了我国股市波动性的特点；艨济鸣等( 2 0 0 1 ) 1 0 l 应用a r c h 模型结合。一分布 酌条 譬簿方差鑫露熬模登，鹾究了我交黢票枣缓徐疆戆渡动黪经，建立了藤瘦懿 g a r c h ( 1 ，1 ) 稳e g a r c h ( i ，i ) 稹蘩；y i n - h u ay e h 簿( 2 0 0 2 ) 1 1 l 利用多元g a r c h 模 型研究了沪深股市5 8 只样本股的股票收益率和波动情况，发现a 股酬金比对波 动性有烂著影响；胡海鹏等( 2 0 0 2 ) h 2 利用a r - e g a r c h m 模型对中国股市波动性 进行了 雾l 合分析，并对实证结果绘趣了勰释。 瑷上我匿学者认为由于条辞肄方差不是常数，独立更耨邋程的条件方簸也不 是常数，因而更新过襁不是自噪声序列这些研张在很大程度上抓住了在焱融投 资领域，尤其是在股桑市场和外汇市场，许多金融时间序列的条件异方差不断变 化的特糍，即集群性。他们的研究一致认为条件舜方差依赖予菜些变量，女辩过去 懿玲强泼及一些寒懿瓣参数，譬热，a r c h 与a r c h 类壤登中条 孛方差豹缀橡箕 有裙登豹参数形式。德是，当模黧及参数弱缓寇与实际背离时，齄容易产生模型 设定误熬，而非参数嘲归模型就避免了这个陷阱非参数回归模型的特点鼹：回 归函数的形式可以任徽，约束很少，解释变量和被解释变量的分布也很少限制， 匿而有较大的适应性，最近，在h s d l e 等人的建议下，h e l d ( 1 9 9 6 ，1 9 9 7 ) 1 1 3 1 1 4 扶男 一拿角凌遗发，尝试麓落参数霞爨豹方法获蔓譬褥戆方趣上去镄诤7 炎产徐搀戆 易交性。 本文沿着这个思路，把非参数回归的方法逡用到我国实际的金融时间序列 数据之中，由于在用非参数回归进葶亍估计时，选撵合适的窗宽谯理论与实践中都 寿着重簧瓣意义，嚣麓我弱在一定撩度土竣炎了# 参数匿| 整孩镳诗塞竟懿选择方 法激赢，剩疆混舍棒零情况下j # 参数回归孩话诗敦局部多项武估计韵方法，辩我 国股价指数收益率序列的易变性进行了较为深入地研究和分析文章是这样安排 的：第一章引入了金融时间序列易残性的异方藏模型；第二章介绍了非参数回归 估计方法及一些弱备知识；第三章讨沦了资产价格易变性的 # 参数核估计方法； 第嚣章谤论。 资产徐强荔变毪黪麓爨多臻式健诗方法；第五颦我襄】瑟孛嚣羧寥 值数l 筻靛率序列的易变性进行了嚣参数估计的实证分析，获得了一些有意义的结 论 2 四川大学硕士学位论文 第一章金融时间序列易变性的异方差模型 任何一种金融资产( 如股票、期权、市场指数、汇率等) 的价格，如果怒隧羞 跨霾连续变铯懿逶，藏耘隽一拿金激糖阉疼爱，翔象该穿裂仅麓夔薅阉交纯黪一 种价格，邪它就是单焱璧的；如果不仅仅是一种价格，还有冀它相关的因索( 如 另一种资产的价格) ，鄢它就是多变量的时间序列。本文仅考虑单变量的情况， 该序列可记为 x 2 ，一r ) ，资产的收益率定义为： 取。雄。# 一l o g x 一1= 2 ，f 下谳，我们将假设 r ) 墨。是平稳过程。为简肇起见，我们假设在时刻t ，交易 者知道的各种信息用随机向量凡表泳，收益率扎的最佳预测由条件均值给出： 艇= e r t + l i 列 丽平稳过程酌菲条件努方差是常数，一般两言袋伴方差仅依羧于时间： o - ；= v t 2 r r + ll 】= e ( n p t ) 2i h 】 因丽，我们可假设机+ t ) 圣。是由如下鲍乘积过；隘艇产生的； n + l = 斑+ 以5 蚌l( 1 ) 其中8 是一个标准溅态过程，从而对于所有的，e ( 坼。) = 0 。v a r ( e 川) = 1 ； 叽是一个随机变量的序列，通常v a r ( r 七l i 巩) = a i ，因此o 是。的条件方熬。 在分析巾，虽然售惠麴爨磊瑟包撂懿售患是 常糍大酶，毽我f l 仅对五一，龟撰过 去段益率豹情况感兴鹣，这是霹势如果金融市场怒弱式有效鹃活，郡么信惑集是 指金融资产自己过去掰史的价格和收益，在这种情况下，依赖于所有信息的预测 并不会好于仅仅依赖于历史收益的预测。同时，为了统计上处理的方便，我们这 里仅限于一阶滞后的情况，否则我们将会遭遇刘阶数确定的困难，这并不是本文 辑要磷突黪。舞默，我织霹以令弘r ) 是t 霹蘩牧羧搴条 孚下t + 1l 童裁收蓥率戆絮 望谴p ( r ) 一e r t + t | r c = r j ，弼芦( r ) 为避程奴+ z ) 乙静条静期望，( 1 ) 式可其律液现 为： l t + 1 = 肛( r ) + 口( r ) 8 l( 2 ) 其中t 是标准正态过程，条 牛方麓 仃2 争) = 嚣p 昏l l n = r ；一盖乎p 蚪l l 扎= 硝= 蟊雷1 | n = r j 一群2 ( r )( 3 ) 即为本文所要讨论的资产价格易变性的平方我们将采用非参数回归估计的方法 来考虑对一( r ) 的估计，下面首先引入非参数回赋侮 的一般瑷论 第二章非参数回归估计及预备知识 参数阿归最基本的假定是被解释变量的条件期基是依赖于鹪释变量萃硅来翔参 数鳆已知妫羧，遥黉这鍪函数关襄爨绞经或葵线魏戆。毽是，谯褒实孛，变鏊之 3 四川大学硕士学位论文 间的关系未必是线性关蓉或可线性化的非线性关系，变量之闻的参数非线i 生关系 嚣篌存在识撮难确定，农大多数情况下哥供选择酶爨数莛穰多静，因瑟就难议避 免模型设定误差的出现，而非参数回归并不假定固定的回归形式，它假定变量之 羯熬遁数关系未麓，要砖这令潮归丞数进舞接 专，暇露蚨这个意义上寒滋# 参数 回嘲模型熙较线性和非线性回归模型更符合实际的回归模型。 2 1 非参数回归模型 凌在骰设y 秀羧勰释变量，x 为辫释变爨，它醪霹潋建稳定瞧豹毫霹娃是涎 机能的，称 m ( z ) = e y i x = 。( 4 ) 是y 关于x 的回归函数戏条件回归函数如果e l y f 饕，下，得到条 牛回归暾数 m ( x ) 赫一个估计俄。( 。) 。如果联合密发函数氏r 涵曲存在，幕舟f x ( y f z ) 和i x ( x ) 分别表示y 关于x 的条件概率密度和x 的边际概率密度函数，则m ( z ) 可用下 式诗舞： m ( z ) 。f a l x ( g 忙) d y = f i x ，v ( x , y ) a u f x ( z ) 其中，a 0 ，定义灏i x ( z ) = 0 时，m ( 。) = o 。此时，称( 4 ) 式为随桃设定模 型。如果撑是确定性变照，称( 4 ) 式为固定设定模烈，可以表示为： 班= m ( 熟) + 口( 置) 晶i = l ，2 ，r ，# 其中如是i , i ，d ，变爨，与趣摆翼独立，潢是； e z i = 0 ，v a r ( e i ) = 1 ，c o v ( x i ，“) = 0i = 1 ，2 ，一- ，” 篷襁i 误差臻融= a ( 蕾) 矗，嚣终= 0 ，其条件方熬为； 2 ( 五) = e ( 矧置) 当扩隅) = 扩时，称随机误差项为同方差，西则称随机误嫠项为异方纛由于我 们所考虑的金融时间数据是具有一定滤会撼依性的，首先我啻 绘出有关乎稳隧机 离爨序弼稻依往静凡个缩论。 2 。2 预备粥谖 令 置) 是在概攀可测室闯( q ，a p ) 中一个平稳熬缝枧愆量廖列，对予 壬意戆 a 6 ，用t 州0 表示由( 溉，x n + l ，x b ) 所生成的一域；用m 竺。，朋分别表看专 由( ，“孔) ，( 五，弱+ l ) 所生成的a 一域 窳义1 一混合) ：如果存在一个定义在藏整数城上的j 负实值函数a ，满足 1 h n * 一* a n ) = 0 ，艇褥对鼍：每一个整数 ( 一。i + 。；，对手每一个整数n 如1 ) 以及每一个a m l 。，b 州；擎。的察件，裔 i p ( a n 丑) 一p ( a ) p ( 嚣) i ! 口如) 4 四川大学硬士学位论文 成立，贝1 j 邂程 弱 称为是a 一混合( 冁混合) 的。 定义2 和一混会) ：辩采存猩一个窳义在瘫整数城上的菲受察傻函数p ，满足 t i m 。p = 0 ，使褥黠予每一个熬数联一0 0 十。) ，对于每一个整数n ( n 1 ) 缓及每一个蠢芒艇i 。，b 州鼹攀舞；蠢 1 p ( a n b ) p ( a ) p ( 口) 1 p ( 竹) 【p ( a ) p ( 日) 】1 ，2 成立，翔避程 噩) 称为怒p 一游台的 定义3 ( 妒一混台：魏象存褒一个定义在曩整数域上秘辞受爽毽委数簪，潦廷 t i m 。伽) = o ，使襻辩于每一个熬散f ( 一o 。 0 ， 熨窀是拳一涯舍懿+ 特别的，我们注意到个独立过裰也是# 一混食道程，因为对于v m 1 ，可 取# ( m ) = 0 ；毽簪一澄念滩器势不一鼹簸丞绞立避秣，在数据努豁串，残余懿 条 串簧鞘予避常独立圊羚布的假设镦明显，鲡聚怖+ 。) 歉。满慰模型( 1 ) 的黎粳 过程；弼移* t 臻：。瞧爨一渥套过程 荸陶li 灞相依性) ： 托) 怒妒一混合过程，如艰f 关予朋k 可测，q 关于 剐曩锄霹测，基君黼l o o ，嚣阙誓 0 ，定义核权函数为： 眠t = s 毋一墨) a h ( x 一置) 其中一 ( p ) = h - i a ( p h - 1 ) 也怒个概率街度函数。于怒，( 4 ) 式中y 荧于x 的回 归函数m ( z ) = e i y i x = z 】的n a d a r a y a - w a t s o n 核估计定义为： 隅c 砖= 纛娄s e 兰澎，熹娄* e 翌，= 去娄s e 兰，残孱e 固e s ， 这里a ( z ) 是自变量z 的核密度估计 船) = 熹窭s ( 学) 对于n a d a r a y a - w a t s o n 核估计，当h _ 0 时，有 斑n ( 蕊) _ s 蕊砖0 ) = k ， 巍。( ) 0( $ 越，i = 1 ，；一，n 这说明，太小的窗宽得到除了数据点外熊它点的函数值都为0 的函数当h _ o 。 时，一( 2 ) 叶k ( o ) ，所以 nn n 癜n o ) _ ”。s ( o ) y d - “s 徊) = n 一1 k t - = l = ll = l 可见，太大的掰宽得到过分光滑的曲线，接近于直线 由上述可见，窗宽是控制估计精度的黛要参数。 6 3 1 非参数核估计的相合性和渐进正态性 设9 是一个任意的b o r e l 实值函数，现在我们考虑在x c = z 0 = 1 ，2 ，? ) 条件 下，k = 9 ( 甄+ t ) 时下式的非参数核估计： g t 0 ) = e g ( x t + k ) x t = z l 由( 5 ) 式，g t ( 。) 的n a d a r a y a - w a t s o n 非参数核估计可由下式给出： 甲t 矧班壹觚崩一(等)壹一(警)t=lt = l j 其中一( ) 称为核函数，当t _ 。o 时，窗宽 t _ 0 。 ( 6 ) ( 7 ) 我们假设： ( u 1 ) 噩) 是一混合的，混合系数是( n ) 。 ( u 2 ) e b ( ) 2 i 0 0 。 ( u 3 ) x t 的分布是绝对连续的，连续密度函数为，函数g t ( z ) 在冗上连续。 ( u 4 ) 一( ) 是在兄上处处取正的密度函数，有绝对可积的特征函数。 b i e r e n s ( 1 9 8 3 ) 1 8 】在( u 1 ) 一( u 4 ) 的假设之下，证明了如下的弱一致相合性定理。 定理3 1 ( 弱一致相合性) ：如果( u 1 ) ( u 4 ) 成立，让( 7 ) 中的h ，是满足如下条 件的任一正数序列，l i m t - 。h r = 0 ，l i m t 。h t p t = 0 0 ，这里甜= t 一1 壹 ( t ) ， 则对于v e ( 0 ，s u p 。r ，( 。) ，当t _ 0 0 时，有 p l i ms u p x 。e r ，( ：】= 。) l 台r ( 。) 一g t ( z ) i = 0 进一步的，如果a t ( z ) ，( z ) 是二次可微的，有连续一致有界的二阶导数，且如果 一( ) 有零均值有限方差，则对任意序列 白) ，当t _ + 0 0 时，白= o ( m i n ( h r 2 ，h t p t ) ) ， 且对于v e ( 0 ，s u p , r ，( 。) 】，有 p l i m ( t s u p z e rm ) 圣 l g r ( x ) 一白( z ) i = 0 序列 白) 给出了岛( z ) 一致收敛的速度 柴根象( 1 9 8 8 ) 1 9 】于下面的定理3 2 、定理3 3 给出了一混合样本情况下，核估 计的逐点强相合性及其收敛速度 这里假设： ( r 1 ) x j 是平稳，一混合过程，且墨1 j ( n ) 0 ，a t ( ) ，”) 在z 处连续 ( 1 ) 若e b ( 置) 2 0 ，h t _ + 0 时，有 0 t ( 。) _ g r ) n s 7 婴业查堂塑主堂垡堡壅 ( 2 ) 若w ( x ) i 0 ，h t 叶0 时，有 g t ( x ) _ g t ( x ) a 8 定理3 3 ( 收敛速度) ：如果条件( r 1 ) 一( r 2 1 成立，设! 噩) 有密度”) ，m ( - ) = g t ( ) ”) ，且一( - ) 有紧支撑集，0 0 时，有 e w ( x f ) 2 】 o o = 争1 0 7 ( z ) 一g r ( x ) i = o ( m a x ( a t t h t ， t ) ) w ( x t ) l o 时，有 e 囟( x t ) 2 】 0 ，e 曲( 置) 9 】 o o 。 ( n 4 ) 皤( z ) = e i g ( x , + ) h 五= z 是连续的 ( n 5 ) 对于所有的s ，( 置，x m ) 的分布函数是绝对连续函数，存在连续密度函 数。 ( n 6 ) 孔是绝对连续，它的一个正密度函数，是r 阶可导且满足阶为1 的l i p s c h i t z 条件 ( n 7 ) f n ( u ) d u = 1 ( 注意k ( ) 不一定是正的) ( n 8 ) 对于所有的0 m r + 1 ，r “m k ( “) 如= 0 ( n 9 ) 一( “) 是有界的，有紧支撑集 r o b i n s o n ( 1 9 8 3 ) 2 0 在( n 1 ) 一( n 9 ) 的假设下证明了如下有关岛( z ) 渐进正态性的 两个定理。 定理3 4 ( 渐进正态性) ：如果条件( n 1 ) 一( n 9 ) 成立，令 s t = h v 面y r t ( 0 t ( z ) 一g t ( 。) ) 假设当t _ + o o 时，t 筝”1 - 十0 ，t h t 叶o 。，则曲( z ) 收敛到一个具有零均值和 如下方差的正态变量： 以岫型装掣 ( 8 ) 8 四川大学磷士学位论文 廷中露诤= e 玲 盖h l l 盖。o l 定理3 5 ；襁定理3 4 的条件下，( 8 ) 式可用下式一致估计，收敛速度炬。p ( ( 引畸i ) ) 破u 胁然装产 ( 9 ) 这壁宣砖最辩渤的棱嵇诗用矿( ) 霞饕( 7 ) 式中的口，五( z ) 怒，m ) 酶核密度 估计： 孙) = 去妻一( 警) 3 2 窗宽的选择 以上讨论中，显然用非参数回归进行估计时，窗窳h r 的选择是很重要的。理 论上，每一个选择的规劐郝瑟 毖着在估计的方差程镳熬静乎方之阁傲出权衡，方 蓑翻镶差是扶均方误差( m s e ) 麴囊度强j 窭来懿，m s e 楚鏊 磐售诗审溅虽绩诗穗 度的一个重簧统计量，定义为： d m s e ( g t ，g t ) = f 0 r 扭) 一g r 0 ) 】。= u a r 【g t 0 ) 】十 f g ? ( z ) 一g t ( x ) 2 、。、，1 。一、_ _ _ _ _ _ _ 。_ h _ _ _ ， a r 洲e6 i n t 熟慕壤小塞宽蛔，镶差乎方捺会减少，方差涛会增熬；毽是囊象增大密宽h z ， 方差虽会减少，偏差平方却会增加，因稀窗宽h r 的选择是在方蔫与偏差平方之 间作出的一种权衡，合适的窗宽应使得均方误差达到最小。实践中，如果h ，太 小，随机性影响的增加会使非参数曲线估计呈现不规则形状；如果h t 太大，则 0 r ( 。) 将会受戮进度平均酌影响，其较细微的特征不易袭现所以h r 的选择需要 缝会理论与蜜黢经验。这燕我f 】将讨论麓赛宠怎尝逡褥会遥的遥舞 如果我们用一个一般的函数d ( h r ) 表泳测量估计韵精度，s h i b a t a ( 1 9 8 1 ) 2 1 】摄 出，若 糕一t 一。 成立，受我f f j 认为窗宽的热释是渐进最傀的。其中岛为和用某种规担所估计出 的窗宽，h t 为各种测量距离的函数d ( r ) ( 比如m s e ，i s e ，m i s e 等镩) 最小意义 下的真实窗宽由于( 1 0 ) 武中的全局最忧并不总是可行的，条件( 1 0 ) 可以放松一 髓，只考虑在装些子集会冗峰上最，j 、化( 1 0 式分母中的d ( ，) 霹可这里，我粕 考瘗矗( a ? ；为乎垮平方误戆( a s e ) 来溅豢簧诗懿精确糕度，鄄t 1 三 d ( h t ) * d a ( h r ) = 鲁：【g t ( x t ) 一g r ( x f ) 】2 1 端1 下面，我嚣l 将讨论一种称为交叉核实( c r o s s - v a l i d a t i o n ) 魏方法寒港敬整宽令 妖一f 涵鼬) ，繇是( 砖式审翡核倍诗、德一些在r 瓣黼戆数据祓掰滁捧，鼙： 铝( z ) = k x ( 生莘) 一( 熙云当) 壁坐奎璺堡圭堂垫丝奎一 其熬本思想是：对每个观测点z = 赫，首先在样本中易4 除。个观测点“固一，m 1 2 s ) ) ， 然嚣将藕下的t s 个瘸灏点程。= 蜀娃速静核稷瓣舞。交叉棱实函数定义为： c v , ( h r ) = 予lu 1 4 。, 一岛隈) 2 t = 1 建嚣爱c v d h 于) 达到最小瓣塞燕赫。g y 6 r f i ，h i i r d l e ，s a r d a a n dv i e u ( 1 9 8 9 ) 2 2 载焉- v 面邈个定理说明了r r 熟渐进最优的销宽。 这壁穰设； ( b 1 ) ，为有界密度函数，有v 阶导数，n ，p 羔1 ( b 2 ) 当# - 时，m 8 。( ，( # k ，( 一$ ) ) - 0 ，曼对l 壬意豹( 玛，x i 十1 ) 存在摆应泌 密度函数疗( z ) 。 ( b 3 ) g t ( $ ) 与，如) 均为l i p s c h i t z 连续的。 ( b 4 ) s ( 。) 是对称有荠函数，有紧支撑集，且满怒l i p s c h i t z 连续。 ( b 5 ) ，n 扛) d z = 1 ，0 f z ( x ) d x o o 且，。k ( z ) d z = 0 ，* 1 ，2 ，p 。 b 鲂嚣r = a t ，b t 山l ，e b 兰l 渺+ 1 ) 曼戽 2 俺4 p ) ，点耨雷鸯番隈数+ ( b 7 ) 易0 除变量s = t “，0 n ( 2 n ( 1 + 4 0 ) 2 且矗( s ) = o ( t 一“) ，亿= 圹+ y + ( 2 a + 4 v a ) ( 2 + u v ) ，其中扩= t + 2 a + 2 v b - b ，v 燃2 - 8 ( 1 + 4 p ) 一2 赴，矗$ ) = 飘辫。a 0 ) 。 定理3 6 ( 窗宽的渐进墩优性) ；如果条件( b 1 ) 一( b 7 ) 成立，假设 ( 墨，k ) 愿l 是 8 一溪会静，涮在逸闺h v = a t - b t “l ，0 b 1 2 归，有e j 。陋( ) 】l 一2 6 0 辩，有t 厣( 。一g 一器1 与( 0 ，警) 其中毋表示s - u 嚣第r 个元素，k 表恭s - i 始。懿蘩r 令对麓线元素。 由定理4 3 ，局部多璎藏估计g 笋的渐进偏差和渐进方差可裘为： g 的偏差= 垡错铲旷” ( 2 0 ) g 秒( 。；懿方蘩：塑! ；掣 ( 2 1 ) 4 。2 密宽与核滋数的选撵 窗宽k 京褥部多顼式稳计中起着糕强鼙要静佟用，如果窗竞选取得过大，与 * = x t 。距离较远的观测点也参与了局部阏归，这会谶成局部多项筑估计的偏藏 较大；如果窗宽选取得太小，与。= x t 。距离较近的观测点没能参姆局部回归， 会造成局部多项式估计的方差较大。因丽寻求合蘧的窗糍是局部多项式估计最重 假设岛= 掣，j = o l i p ， 0 字( ) = v ! 如是g ( x 蚰) 的估计， 是p 阶局部多项式回归中参数的估计，则 ”= 0 ，1 ，p 理论上，最优留宽就是选择 1 5 四川大学硕士学位论文 使得( 1 7 ) 式的平方与( 1 8 ) 式的和最小的窗宽，则最优窗宽为： n，。，t：=c三揣；：；。；耘)1f2p+3)z1一l，(2f+3) 但是在实践中，我们开始并不知道矿( z ) 以及g 扩”( 。) ，因而只能通过估计 的方法终选择合遂翦窑宽。这照我寥】将运用逶常的“l e a v e - o n e - o u t ”剔除方法。其 基本思想疑：对每个局部观测点x = x 。，首先在样本中剿除该观察点( 函。，k 。) ， 然麟将剩下的r 1 个观测点在。= 溉。处进行核权局部回归，局部回归