（基础数学专业论文）estermann问题的推广.pdf

山东大学硕士学位论文 e s t e r m a n n 问题的推广 赵树法 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 1 9 3 7 年，e s t e r m a n n 1 证明了方程 p l + p 2 + m 2 = n 解数的渐进公式，其中p l ，p 2 是素数，而m 是正整数 2 0 0 3 年，r a k h m o n o v 2 在更严格的条件下重新研究了这个问题并得到一个 渐进公式，这个更严格的条件是上述方程中的三个被加数几乎相等r a k h m o n o v 在证明e s t e r m a n n 定理的过程中用到小区间上素变数三角和的估计( 见 3 | 【4 】) 与特殊三角和的估计展涛 5 关于小区间上密度定理的结果在该定理的证明 中起了很重要的作用 1 9 3 8 年，h u a 【6 把这个问题推广到素变数的情形，证明了每一个大奇数 都可以表为两个素数与一个素数的k 次方的和1 9 9 4 年，l i u 8 】在其博士论 文中在p l ，p 2 与p ；几乎相等的条件下改进了h u n 的这个结果 在这篇论文中，我们研究方程 p 1 + p 2 + m 。= n 当充分大时在p 1 ，p 2 与m 2 几乎相等的条件下解的情况，其中k 是一个大于 1 的正整数我们得到此方程解数的渐近公式，从而推广了r a k h m o n o v 2 】的结 果我们要证明的定理如下： 足理设是一个充分大正整数，k 是一个大亍1 且固定的目然数，u 是一个常数，i ( n ，h ) 定义为n 表示成两个素数p l ，p 2 与一个正整数m 的k 次方的和且满足条件 p i - - 可n | 日，i = 1 ，2 ，i 仇一百n i 日 的表法的个数那么，对于h n 1 1 2 c g 2 + 1 ，c = l o g n ，下列渐进公式成立： 删= 篇+ 。( 焉) ， 山东大学硕士学位论文 其中 删，2 翠( t + ( 多) 。南) ，( 苦) 。峭，敲 在定理的证明过毽中，我们意要以f 藤个命题祁一个引理 命题0 1 对实数t ，定义1 i t i i = m i n ( t ，1 一 t ) ) 设d = a q + a ，( a ，q ) = 1 ，窜r ，l i 1 q r ，r 1 0 k ( 2 k l 一1 ) y x 2 2 ：y z ，以及 fk a q x “1 一i k k q x “1 m k q x “1 so 5 ； m = 【k a q x “1 + ll k a q * “1 k a q x n l ) 0 5 则下面关系式成立： 弛高泸eg ( a n k x - y r 关键词：e s t e r m a n n 问题，圆法，素数，高斯和 山东大学硕士学位论文 g e n e r a l i z a t i o no fe s t e r m a n n s t e r n a r yp r o b l e m z h a os h u f a ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t i n1 9 3 7 ，e s t e r m a n n 1 】p r o v e da na s y m p t o t i cf o r m u l af o rt h en u m b e ro fs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n p 1 + p 2 + m 2 = n ， w h e r e p l ，p 2a r ep r i m e sa n dm i sap o s i t i v ei n t e g e r i n2 0 0 3 ，r a k h m o n o v 2 】s t u d i e dt h i sp r o b l e mu n d e rm o r er i g i dc o n d i t i o n s ， n a m e l y , w h e nt h es u m m a n d sa r ea l m o s te q u a l ，a n do b t a i n e da na s y m p t o t i c f o r m u l a t h ee s t i m a t i o n ( s e e 【3 4 ) o ft r i g o n o m e t r i cs u m so v e rp r i m e si ns h o r ti n t e r v a l s t o g e t h e rw i t he s t i m a t e so fs p e c i a lt r i g o n o m e t r i cs u m sy i e l d sap r o o f o fe s t e r m a n n s t h e o r e mw i t ha l m o s te q u a ls u m m a n d s z h a nt a o sr e s u l t s 【5 a b o u tt h ed e n s i t y t h e o r e m si ns h o r tr e c t a n g l e so ft h ec r i t i c a ls t r i pp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i nt h e p r o o f i n1 9 3 8 ，h u a 【6 s t u d i e dt h ep r o b l e mu n d e rt h ec o n d i t i o no fp r i m ev a r i a b l e s a n dp r o v e dt h a te a c hl a r g eo d di n t e g e rc a nb ew r i t t e na st h es u mo ft w op r i m e sa n d ak t h - p o w e ro fap r i m e i n1 9 9 4 ，l i u 8 】i m p r o v e dh u a sr e s u l tu n d e rm o r er i g i d c o n d i t o n ，n a m e l y , w h e nt h es u m m a n d sa r ea l m o s te q u a l i nh i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n i nt h i sp a p e rw ea r ea b l et og e n e r a l i z er a k h m o n o v sr e s u l t sb ys h o w i n gt h a t e v e r ys u f f i c i e n t l yl a r g ep o s i t i v ei n t e g e rn i st h es u mo ft w op r i m e sa n dt 、h ek t h - p o w e ro fan a t u r a ln u m b e rw h i c ha r ea l m o s te q u a l w es h a l lp r o v et h ef o l l o w i n g t h e o r e m t h e o r e m s u p p o s et h a tn i sas u 师c i e n t l yl a r g ep o s i t i v ei n t e g e r , ki sa 豇e d n a t u r a ln u m b e rm o r et h a no n e ，ci sac o n s , t a n tt ob es p e c i f i e dl a t e r , a n di ( n ，h ) i s t h en u m b e ro fr e p r e s e n t a t i o n snb yt h es u mo ft w op r i m e sp l ，p 2a n dt h ek t h - p o w e r 山东大学硕士学位论文 o fap o s i t i v ei n t e g e rms a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n s i p i - - i n i 日，i= 1 ，2 ，m k _ i n i 日 t h e n ，如rh n 1 1 2 2 c g 2 + 1 ，c = l o gn ，t h ef o l l o w i n ga s y m p t o t i cf o r m u l ai s v a l i d w h e r e 州= 器+ 。( 州，= ( ，+ ( 若) 。p 、， -。一1 ) 2 n 1 1 k 3 ( 现s d e f i n e db y ( i no r d e rt op r o v et h et h e o r e m ，w es h a l lu s et w op r o p o s i t i o n sa n dal e m m aa s f o l l o w s ： p r o p o s i t i o n0 4 f o rr e a ln u m b e rt ，d e f i n el i t i = m i n ( t ，1 一_ t ) s u p p o s e t h a ta = a q + 入，( 口，q ) = 1 ，q 7 - ，j a i 1 q r ，7 - 1 0 k ( 2 一1 1 ) y x 一2 ，y z ， a n d r m = l k a q x 一i i k a q x 2 1mi f k a q x 枉1 ) o 5 ； k a q x 一1 + i i k a q x 一1i i ， i f k a q x 2 _ 1 ) 0 5 t h e nt h ef o l l o w i n gr e l a t i o nh o l d ： w h e r e t ( q 隅沪e ( q = 詈q - 1 x - - y n x v = 0e ( 号掣 、 ，y ( a ；z ， 7 ( a ；z ，y ) + 0 ( g ) ， = 1e ( a ( z 一他y ) 一竺墨兰言! 盟) d u p r o p o s i t i o n0 5 s u p p o s et h a to l = ；+ 事，a ，g ) = 1 ，i o l 1 d e f i n e 丁= t ( a ；z ，) t h e n 丁i c 。g y g ，g ( 吉+ 昙+ l e m m a0 6 4 l e t s ( a ；x ，可) = a ( n ) e ( a n ) ， x - y 1 6 k e yw o r d s ：e s t e r m a n n st e r n a r yp r o b l e m ，c i r c l em e t h o d ，p r i m en u m b e r s ， g a u s ss u m v 2 一危可一z 山东大学硕士学位论文 符号说明 p ，p l ，p 2 ，p 3 ：素数 也( ) ：除数函数 a b ( m o d q )q 0 ，q i ( a b ) ： e ( 。) ： ： c c | 模q 的d i r i c h l e t 特征 g a u s s 和 维合数 l e g e n d r e 符号 l o g n p 2 r r i z 任意小的正数 绝对常数 ，( 。) = 0 ( 9 ( ) ) ：l ，( 。) l c g ( 。) ，e 称为大0 常数 f ( x ) g ( z ) ：，( z ) = o ( 9 ( z ) ) 删批疹踟一 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本论文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：叁捆泣 e l 期：论文作者签名：醚翌丑冱期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名趔嵫导师签名：盥日期：迎楚 i 第一章绪论 1 1e s t e r m a n n 问题的介绍 在1 9 3 7 年，e s t e r m a n n 1 证明了方程 p 1 + 见+ m 2 = n 当充分大时有解，并且给出了解数的渐进公式，其中p t ，p 2 是素数，m 是正 整数这就是著名的e s t e r m a n n 问题这个问题的解决为证明三素数猜想( 也就 是现在的三素数定理) 提供了思想方法，指明了研究方向现在三素数定理虽 然得到证明，可是这个问题及其推广形式长时间以来仍然受到数论工作者的青 睐，不断地有人研究它，充实它的内容 1 9 3 8 年，h u a 【6 】6 把这个问题推广到素变数的情形，证明了每一个大奇数 都可以表为两个素数与一个素数的k 次方的和 1 9 9 4 年，l i u 【8 】在其博士论 文中在p l ，p 2 与矿几乎相等的条件下改进了h u a 的这个结果 2 0 0 3 年，r a k h m o n o v 【2 】在更严格的条件下研究了e s t e r m a n n 问题，具体 的来说，他证明了，当充分大时，下列方程 ， lp l + p 2 + m 2 = ； 慨一譬i h ， = 1 ，2 ； ii m 2 一百n l 日 满足h c 3 ，c = l o g n 条件时有渐进公式r a k h m o n o v 在证明过程中用 到小区间上素变数三角和的估计( 见 3 】，【4 】) 与特殊三角和的估计展涛【5 】关 于小区间上密度定理的结果在该定理的证明中起了很重要的作用 上述问题的处理均用到圆法首先我们简单的介绍一下圆法的思想这个 方法在1 9 1 8 年h a r d y 和r a m a n u j a n 【7 1 的文章中首先出现，并在从1 9 2 0 年开始 h a r d y 和l i t t l e w o o d 发表的一系列的论文中得到系统的发展我们就以g o l d a c h 猜想为例介绍圆法的分析方法 设 t t 为整数，由于积分 1 。( m a ) d 。：f1 _ o j ol0 ， m 0 山东大学硕士学位论文 其中e ( m o ) = e “，所以方程 n = p l + p 2 ，p l ，p 2 3 的解数 。( ) = z 0 1 b 2 ( 。，j v ) e ( 一j i v n ) d n ；( 1 1 ) 方程 n = p a + p 2 + p 3 ，p a ，p 2 ，船3 的解数 r ( ) = 0 1 铲( a ，) e ( 一n a ) 如， ( 1 2 ) 其中 s ( n ，) = e ( 叩) ( 1 3 ) 2 0 ； 关于奇数的g o l d a c h 猜想( 即现在的三素数定理) 就是要证明：对于奇数n 9 有 t ( n 1 0 因此，g o l d a c h 猜想就归结为讨论关系式( 1 1 ) 及( 1 2 ) 中的积分，为此就需要 研究由( 1 3 ) 所确定的以素数为变数的三角和 设q ，r 为两个正数，且满足 考虑f a r e y 数列 并设 以及 1 q t n ；， ( 口，q ) = 1 ， o 。 口，g s q 跏) = q 。- 石1 ，；+ 石1 e 1 = uue ( q ，o ) 1 s q s 口警：普 2 山东大学硕士学位论文 易= 【- 1 r ，1 一l t e 1 可以证明，满足条件 2 q r 时，所有的小区间e ( a ，a ) 是两两不相交的，我们称e - 为主区间，恳为余区 间如果一个即约分数的分母不超过q ，我们就说它的分母是”较小”的，反之 就说是”较大”的如果两个点之间的距离不超过( q r ) ，我们就说是”较近” 的显然，当a e - 时，它就和一分母”较小”的即约分数”接近”可以证 明当a 易时，它就一定和一分母”较大”的即约分数”接近”这样，利用 f a r e y 数列就把积分区间【一；，1 一i 1 】分成了圆法所要求的两个部分e t ，e 2 因 而，我们有 d ( v ) ：。5 铲( a ，) e ( 一n 。) d a ：d 1 + d 2 ， j 一圭 其中 d i = s 2 ( q ，) e ( 一n a ) d a ，i = 1 ，2 ； j 昂 以及 丁( | v ) = 1 - ! s a ( n ，| ) 。( 一n 。) d 口d = 五+ 疋， j 一工 其中 正= s 3 ( o ，) e ( 一n a ) d a ，t = 1 ，2 j 最 圆法就是要计算出d i ( n ) 及t i ( n ) ，并证明它们分别为d ( n ) 及t ( n ) 的主项， 而d 2 ( ) 及疋( ) 分别可以作为余项而忽略不计 从三素数定理的证明可以看出，圆法是十分强有力的工具，它不但能证明 猜想的正确性，而且还能进一步得到表为奇素数之和的表法个数的渐近公式， 这是至今别的方法很难做到的因此圆法的发明与应用，对研究g o l d a c h 猜想 及解析数论做出至为重要的贡献 值得注意的是，r a k h m o n o v 和l i u 在使用圆法时把主区间而又分成两个 部分e n 和e 1 2 ( 具体见第三章的前叙部分) ，其中日t 对应的积分出主项。e 1 2 对应的积分与岛一样出余项a a k h l n o i l o v 和l i u 如此处理，更显示出圆法应 用的技巧性与灵活性 3 山东大学硕士学位论文 1 2本文的主要结果 在这篇论文中，我们研究方程 p 1 + p 2 + m = n 当充分大时在p 1 ，现与m 几乎相等的条件下解的情况，其中自是一个大于 1 的正整数我们得到了一个渐近公式，从而推广了r a k h m o n o v 的结果我们 要证明的定理如下- 定理设是一个充分大正整数，是一个大于1 的固定的自然数，c 是一个常数，f ( ，日) 定义为表示成两个素数p l , 仇与一个正整数m 的 次方的和且满足条件 j p l - - i n i 风f = 1 ，2 ，m k - - 了n i 日do 的表法的个数那么，对于h n 1 1 2 c 纠2 ”，c = l o g n ，下列渐进公式成立t 州，日) = 硒3 a 稀( n ) h 2 + 。( 丽n 2 ) ， 其中 删，= 耳( - + ( 多) 。南) ，( 警) 。螂舣 本定理的证明综合运用了圆法的各种技术，推广了r a k h i n o n o v 【2 】的结果 值得注意的是，指数和的估计在一般的情况下，即3 时与= 2 时有着本 质的不同尽管如此，我们的结果在= 2 时与r a k h m o n o v 【2 的一致 4 第二章三角和的估计 三角和的估计是数论中重要的基本问题之一它在一些著名经典问题，比 如g o l d b a e h 问题，w a r i n g - g o l d b a e h 问题的研究中有着广泛的应用 2 1非线性三角和的估计 本节研究非线性三角和 t ( m x ，) = e ( a n ) x - y n z 的渐进性质我们主要有两个结果 引理2 1 设，( z ) 是实函数，在【0 ，6 】上有连续单调的导数，且 i ，7 ( z ) l 6 1 则 e ( m ) ) _ f8 ( m ) ) 如+ d ( 丁与) a n 0 5 则下面关系式成立， 嘶= 。一薹了= ；q - 1 e(华)-y(,x；z,yv-。 ) + d 一v n s z 、7 其中 ，( a ；z ，”) = z 1e ( a ( x - - u y ) 一竺丛兰言二业) d u 5 山东大学硕士学位论文 证明百先我们有 r ( a ；训) = e ( n 扩) = e ( ( a q + a ) ( 班+ r ) ) 2 霎e ( 等) 平叶卜 因为m 是整数，所以 啦忍沪霎e ( 等) 熹早e c a ( q t + r ) k - m t ， 令f c t ) = a + r ) 一m t 根据m 的定义，有 i ，讹) i = i k a q ( q t + r ) 扣1 一m i | k ) w ( q t + r ) 一1 一k a q x 一1 i + i i k a q x 。1 0 ， k l a l q ( 。一1 0 一) 一1 ) + 0 5 注意到l l q r 以及r l o k ( 2 一1 ) y x ，我们有 i 厂( t ) i 主兰竺二二掣+ 。s ；掣+ 。s 2 可晚+ 0 5 根据二项式定理，我们有 一i一1 ( 一1 ) 。1 ( i 1 ) ( ：) ( 一1 ) ”1 ( j 1 ) ( ：) 。1 j ，7 ( ) j s 兰 面砭墨j 可+ o 5 = 竺生面百再j 丁+ o ，5 ( j 1 ) ，一1 面i = 两i + o 5 2 面河南+ 0 5 = o 6 根据引理2 1 ，我们得到 8 ( m m ) 一m r ) = 。垃8 d ( a t + r ) l m t ) d r + o ( 1 ) ! = | l = 型z - - 口 令u = 三= 产，我们有 。一毫，( m m 卜m t ) = ；j ( 1e ( 卜竿 寄 噬早 、 + d ( 1 ) 6 山东大学硕士学位论文 因此 r ( q ；z ，y ) = ( 一计一f f 。( x 掣) 。 7 ( a ；z ，y ) + o ( q ) = ；萎q - 1e ( 宰) m 卅。 口 为了得到第二个结果，我们需要下面一些引理 引理2 3 设z 1 ，1s 嗣口为实数，我们有 l y n 0 以及整数p 1 ，下面不等式成立， 三pm m 南) e ( 导+ ) c 上述两个引理的证明可在 1 0 】中找到 引理2 5 设k 1 和r 0 均为整数，也( n ) 是除数函数，即表示n 表为 k 个正整数的乘积的不同表法( 次序不同算作不同的表法) 的个数如果z 2 ， 0 y z 则 ( 1 ) 掣( 1 0 9 x ) o( 2 ) ( 。) 卵o g 。厂一 1 s “o z - y n s = 证明类似于【1 1 】中第三章引理2 的证明t n 引理2 6 在引理2 4 的条件以及引理2 5 的部分条件下，我们有 耋嘶) m i n 而) ( 卯口毛+ 卯埘p + ( m ) ) ( 1 0 9 q u p f 证明根据引理2 4 和引理2 5 ，利用c a u c h y 不等式可以推出 对一个实系数多项式s ( n ) ，定义 ( ，伽) ；地) = ，+ 地) 一，( n ) ， 7 。 口 e、 z 竺 一口 + 一g 、j一一 咝。细r ， e 参瘥 山东大学硕士学位论文 ( ，( n ) ；1 ，- jj 坼) = ( ( ，( n ) ；v l ，一1 ) ；蚱) tf 若f ( n ) 的首项系数为卢扩，则- o - ， ( ，) ；n ，一1 ) = 魄，一，一1 ( 七! p 竹+ 7 ) ， 其中，y 是某个实数，进一步还有 ( ，) ；n ，) = k ! v l ，蚱p 引理2 7 设0 1 及t = 丁( o ；击，) 约定峋= 0 则 1 7 1 2 1 ，n 一h0 1 蜥一l 。l i $ 一n 一l l r _ 1 l e ( ( ，m ) ；n ，一，蚌一，) ) n f x - l t + l 证明我们用数学归纳法证明当r = 2 时。 丁2 = e ( a ( n k ) ) = e ( ( ，( n ) ，d ) ) 交换求和顺序，我们有 铲= e ( ( ，( n ) ，回) 一，螂$ 一x - 口 y n 姆z = y + e ( ( 砌) ，d ) ) + e ( ( ，( n ) ，d ) ) o d y z - y n z - d一 d 0 z - l 一d n z = + e ( ( ，( n ) ，d ) ) + e ( a ( f ( n + d ) ，一d ) ) o d y x - - y n x do d t ”，则关系式( 2 2 ) 对c = 8 3 ，b ；2 1 6 成立 定义小区间上素变数线性三角和如下t s ( a ；x , y ) _ 蜘) e ( 叫，n 2 ；“( 叫) _ 1 1 嘉，1 g n 2 y 2 ，胁( c - 1 ) c e x p ( 1 0 9 z ) 0 7 6 ，f 曩，_ i l c ，q 则下面的关系式 鼬沪而# ( q ) 百s i n r a y e ( a g 一；) ) + 。( 可y l b + a ，z ) ) 成立，其中z = l o g z ，b 是固定的绝对的非负常数，并且 f ( g ，z ) = f 8 x p ( 一1 。9 4 1 。g z ) ， 1 g 。：； l 1 ，i f 口 1 6 第三章定理的证明 现在我们用圆法来证明这个定理不失一般性，我们取h = k n l 1 2 c 。，2 令q = c c ，r = 是和e = 卜- ，1 一； ，则 i ( n ，h ) = 研( a ；n ，h ) t i ( a ；n ，h ) e ( - a n ) d a ， s l ( a ；n ，日) = e ( 印) ，t l ( a ；n ，日) =e ( a 扩) h o - n a l _ xi n - - n 1 3 1 x 由有理数逼近实数的d i r i c h l e t 定理，对任意一个口e ，都能表示成 ”；，( 叫) “，1 口l 嘉 ( 3 1 ) 容易看出在表达式( 3 1 ) 中0 a q 一1 成立，从而n = 0 当且仅当q = 1 e 1 表示满足条件q q 时a 的集合，e 2 = o e - 集合局是由不相交的闭区间 组成的我们把集合蜀分成下面两部分； 置。= 。：a 历，i n 一；l 等) ，且：= a ：。马，等 l n 一；i 刍) 分别用 l ，此和如表示在集合臣l ，晶。和易上的积分，则 i ( n ，h ) = 1 1 1 + 五2 + 厶， 其中第一项1 1 1 出i ( n ，h ) 的渐近公式的主项，而j 1 2 和2 出余项，我们将在 下面3 节中分别计算并估计它们从而完成定理的证明 3 1积分 l 的计算 根据积分五1 的定义，我们有 1 = 研缸；，日) 正( a ；，日) e ( 一a n ) d a = j ( n ，口) ， 。8 1 1 口s 。( 孟器l ，c n ，曲= 以l ；伊伊研( ；+ a ；，日) 死( ；+ a ；，日) e ( 一( ；+ - ) ) d n 山东大学硕士学位论文 下面我们把s 1 ( d ；n ，h ) 表示成关于s 似；n ，日) 的式子，则 从而 s - ( ；+ a ；，片) 2 b 一州e 。j ；e ( ( ：+ 0p ) 5 和囊舯e ( ( p ) 删，譬一日 p 譬+ _ i = r 、77 毋f 竺+ a ；，圩1 ： q( 1 0 9 ( 鲁) ) - i s ( ； i n + 日，2 h + ( 。s ( 警) ) 一1 譬一片囊譬+ 打( t 。s 鲁 ) ) e( ( ；+ a ) p ) 一( 。s ( 警) ) 一1 譬一岢囊譬+ 日a c n ，e ( ( ；+ a ) n ) + d ( 1 ) ， 疰惹上式石边的第一项与第三项相等我们把上式右边的笫二项与第三项重新 组合并看成余项，从而有 ( m 日) = ( 魄( 鲁) ) s ( ；i n 仙。日) + 。( c 一1 譬一。囊譬+ 日j 1 0 s 鲁一1 0 s ，j ) 、 + 。：- t e 一；等+ 口( 1 0 9 p ) j + 。l 岛( ；+ x ；，日) = ( 。s ( 鲁) ) 一1 s ( ；+ a ；- n 可+ 日，z 日) 十。( c “日( t 唱i n 乩s ( 鲁一0 ) ) + 。( 丢暑崦0 ， 从而有 山东大学硕士学位论文 s l f ! + a i 】日1 ： 口 我们得到 岛( ：诎邶) = 根据引理2 9 ，我们得到 蜀( ；邶) 对上述等式两边平方并注意到 从而有 令 我们知道 船1 s i n 2 7 广r a h e l p ( g ) 7 r a h 。日) 。日) ( 1 0 s ( 譬) ) 一而# ( q ) 一s i n 2 7 l a h e ( 等) + o ( he x p ( 一l 0 9 4c ) ) ( 等) l 锵一s i n 2 r a h 2 r a h e ( 鲨3 ) i z 日e 妒( 口)。r 。 ( 邶) = ( o s ( 苦) ) 。2 锚笮 + 0 ( 日2 唧( 一l 0 9 4c ) ) ( 警士日) 1 肚= 丁( q ： ( 百n ) ( 了n ) e ( 掣) m ( 士等) v = ( 鲁) 蛳( 士筹+ 。( 罴) ) ”土赤+ 0 ( h 2 n t k - 2 ) 1 4 _、，、争渤_ 。r o 剿心吒磊 4厂r1何圹卟磊 姑p 卫_ 愧 玎一 弋旷 矿口e 垒m i = 矿 茁 如果令 那么 山东大学硕士学位论文 m = ( 舻，皿= 赤 ( n 虿士日) v = m 士巩+ 。( h 2 n i k - 。) ( 3 2 ) 根据关系式( 3 2 ) ，我们得到 噩c a ；，日，= ? ( a ；( 等+ 日i l k ( 鲁+ 日) v 一( 等一日) 1 忙) = t ( q ；l + h 1 ，2 日j ) + 0 ( 日2 n 1 肛一2 ) ( 3 3 ) 因为 所以有 蜘( 1 + 研) “i 坐掣 研一1 ( + 鬻) “1 百丽j 7 广 1 7 n i l 肛11 s 3 1 - 1 k k n l - 1 k i 互 m = k a q ( n l + 皿) 一1 士0 g ( 1 + h t ) 一1 l f = 0 因此对t ( a ；1 + 日1 ，2 巩) 应用命题2 2 ，我们得到 噩( ：+ a ；，日) 2 石t 荔笔而s ( 口，7 ( a ；m + 玩，。皿， + o ( q ) + o ( h 2 n 1 “) ， 其中 m 沪0 1 小卜训汕，即川= 薹e ( 等) 在这儿s ( a ，q ) 就是所谓的高斯和这样对，( o ，q ) 我们得到 l ( a ，q ) = ( k s ( 等) )2 蒂蒜跗础( 一警) 胁渺仙， ( 3 4 ) 山东大学硕士学位论文 其中 邢卜k 群 州孚m + 赤一t 赤) 。一协 s ) 1 2 ( 口+ 口2 j v 一2 + h q - i n _ 一1 忡，g ) i l l 2 唧( _ 1 0 9 4 c ) ) ( 日2 c 一2q + z 2 量一2 ) + h 亡一l 口一 日2 e x p ( 一l 0 9 4 c ) ) 日，1 c 2 日q + 日3 一2 + 日2 毒一1 c 2 唧( 一l 0 9 4 ：) 日2 一1 c 一3 0 对积分f ( t ) 做积分变量替换，有 邢卜如群 其中 州孚+ ( ( 譬) m = 丝7 f 五1 0 ，g ( u ) 单调以及b ( u ) l m 则下面估计成立t z 6 咖) e ( m 灿等 2 0 山东大学硕士学位论文 证明见 9 】 口 如果n e 1 2 ，则 a = ；n ( 叫) 1 等 l a i 1 矿1 s 口 q 在这种情况下我们估计五( n ；h ) 根据关系式( 3 3 ) 和命题2 2 ，并注意到若 d e 1 2 和日= k n l 一击c 譬，则m = k a q ( n 1 + f 五) 一1 士i i k a q ( n l + h 1 ) 一1 1 1 = 0 ， 所以 蜀( ；+ a ； 日) 熹愀。，q ) 7 ( a ；l + 甄，2 历) l + 剧- 1 c _ ， 其中 7 ( a ；l + 风，2 h 1 ) = e ( , k ( n 1 + h 1 2 h l u ) 。) d u ， 我们用引理3 1 来估计积分7 ( 凡l + h 1 ，2 历) 取( t ) = ( 1 + h 1 2 h l u ) ， 并注意到 i ，7 ( t ) l = 2 k i a i h l ( l + h i 一2 h i t ) 。一1 2 k h l i a i ( n 1 一日1 ) 一1 两h 咿字c 2 ， 这样我们得到 正( ；+ a ；n ，日) 日。4 c ， 从而 z ：。m 。a x 。i t l ( o r ；n , h ) l z 0 11 & ( 。；，日) 1 2 d 。日2 一1 c 一3 2 1 参考文献 【1】1 te s t e r m a n n ，p r o o it h a te v e r yl a r g ei n t e g e ri st h e $ u mo ft w op r i m e sa n das q u a r e ， p r o c l o n d o nm a t h s o c ，i i ( 1 9 3 7 ) ，5 0 1 5 0 6 【2 】z k h r a k h m o n o v ，e s t e r m a n n st e r n a r yp r o b l e mw i t ha l m o s te q u a ls u m m a n d s ， m a t h e m a t i c a ln o t e s ，v o l ，7 4 ，1 1 0 4 ，2 0 0 3 ，p p5 3 4 - 5 4 2 ( 9 ) 【3 】zk h 1 h k h l 2 1 0 l l o v ，t h em e a nv a l u e so t h ec h e b y s h e vf u n c t i o n 讥s h o r tf f t t e r o a l s ， m p r o c o ，t h ei n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c ec u r r e n tp r o b l e m s 讥m a t h e m a t i c sa n d m e c h a n i c sd e d i c a t e dt ot h e1 7 9 t ha n n i v e r s a r yo ，p l c h e b y s h e v 陋r u s s i 酬， m o s c o ws t a t eu n i v ，m o s c o w ，1 9 9 6 ，p p 1 2 5 1 8 9 4 z k h r a 削l l i i l