（基础数学专业论文）delocalized解析挠率和对称双线性挠率.pdf

鲁 t 、屯，l 南开大学学位论文电子版授权使用协议 ( 请将此协议书装订于论文首页) 论文p e i 呦如e a 硒棚寺钇名扣7 寺榔，又钹1 1 q 疵奄 系本人在 南开大学工作和学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩。 f 本人系本作品的唯一作者( 第一作者) ，即著作权人。现本人同意将本作品收 录于“南开大学博硕士学位论文全文数据库”。本人承诺：已提交的学位论文电子 版与印刷版论文的内容一致，如因不同而引起学术声誉上的损失由本人自负。 本人完全了解g 直五丕堂图立焦羞王堡叠：焦旦堂僮途塞的筻理查选! 同意 南开大学图书馆在下述范围内免费使用本人作品的电子版： 本作品呈交当年，在校园网上提供论文目录检索、文摘浏览以及论文全文部分 浏览服务( 论文前1 6 页) 。公开级学位论文全文电子版于提交1 年后，在校园网上允 许读者浏览并下载全文。 _4*，0 ，一麓薹j yl i l l l l l1 t i i i i i l l t111 1 1 1u i y 17 9 8 3 14 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 ，f ， 学位论文作者签名：葫亍嗯， 硼矿年f 月7 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 摘要 摘要 假设m 是一个黎曼闭流形，f 是m 上的酉的平坦丛，则我们有r e i d e m e i s t e r 挠 率。如果h ( m ，f ) = 0 ，则r e i d e m e i s t e r 挠率是一个实数。如果h ( m ，f ) 0 ，则 我们可以在d e t h + ( m ，f ) 上定义r e i d e m e i s t e r 度量。它们都是拓扑不变量，而且是第 一个同胚不变而不是同伦不变的拓扑不变量。在1 9 7 1 年，r a y 和s i n g e r l ；- 有没有解 析定义的挠率，并且他们定义了著名的解析挠率。他们证明了这个解析挠率不依赖 于m 的黎曼度量，所以他们猜测解析挠率等于r e i d e m e i s t e r 挠率。后来这个猜测分 别独立地被c h e e g e r 和m i i l l e r 证明。在1 9 9 2 年，b i s m u t 和张把它推广到一般的平坦丛 的情形。因为这篇论文的工作都是在b i s m u t 和张的框架进行的，所以下面我们回忆 一下b i s m u t 一张定理。 假设e 是一个有限维的向量空间，则定义d e t e = a 瑚x e 假设( 驴，a ) 是一个有 限维的上链复形 0 _ c 1 _ 俨一_ 俨一0 则我们定义 设 和 则我们有经典同构 d e t ( c ，a ) = o ( d e t c ) 。r i - - - 0 h + ( 矿，a ) = 0 h ( 矿，a ) ， i = o d e t h + ( 伊，a ) = o ( 矿，a ) i = o d e t ( c ，a ) 竺d e t h + ( 矿，a ) 对于( m ，f ) ，假设，：m _ r 是一个m o r s e i 函数，并且9 t m 使得一x = 一v ，满 足s m a l e 条件。设b = z m ；x ( x ) = o ) ，则我们有t h o m - s m a l e 复形( 驴( u ，f ) ，a ) ， 其中 ( u ，f ) =o w u ( z ) 】。足 x e b ，i n d ) = t 则由同构 d e t h + ( m ，f ) 垒d e t h + ( c + ( u ，f ) ，a ) 竺d e t ( c + ( u ，f ) ，0 ) 我们从驴( u ，f ) 的度量得到一个d e t h 。( m ，f ) 上的度量，记为i ii i 兰翟( m f ) 并且称之为d e t h ( m ，f ) _ j ：的r a y - s i n g e r 度量。 设 e ( f , g f ) = t r ( 9 f ) 一1 v f g f 和x + 矽( t m ，v t m ) 为m a t h a i q u i l l e n 流的拉回。则对于m i l n o r 度量$ f l r a y - s i n g e r 度 量我们有 定理i ( b i s m u t 一张，a s t d s i q u e ，1 9 9 2 ) l 昭( i i 鬻) 2 _ 一厶吧n 删c t 即t 气 设7 r ：砑_ m 是一个覆盖，则我们可以把f ，g t m ，g f ，v f 和m o r s e 函数提升 到j 耻。在2 0 0 5 年，张伟平教授把上面的定理完全推广到l 2 的情形。下面我们写下 他的定理。 定理i i ( 张，t o p o l o g y , 2 0 0 5 ) l o s 塑警 = 三厶昭n 删( t m , v t m ) 本文通过对b i s m u t z h a n g 关于r a y s i n g e r 解析挠率的方法的研究，我们得到 了解析挠率方面的一些新结果 在【3 l 】中，通过考虑覆盖群中的共轭类，l o t t 引进了d e l o c a l i z e d 迹的概念，然后 他定义和研究了一些解析定义的d e l o c a l i z e dl 2 不变量，例女l d e l o c a l i z e dl 2 - b e t t i 数，d e l o c a l i z e dl 2 _ 解析挠率在本文的第一章，综合原始i 驹b i s m u t z h a n g 方法( 1 2 】， 【1 3 ) 和它的l 2 的推广( 【5 0 】) ，我们定义了d e l o c a l i z e dl 2 一组合挠率，并且得到了关于 它的c h e e g e r - m i i l l e r 型定理 摘要 i i i 本文的第二章是我和张伟平教授的一个合作的工作最近，b u r g h e l e a 和h a l l e r ( 【1 4 】，【1 5 ) 对于具有非退化对称双线性型的平坦丛定义了复值的解析挠率，并且提 出了这个复值解析挠率和w u r a e v 挠率的关系的猜测在第二章中，我们把【1 2 】中 的结果推广到了复值解析挠率的情形作为这个的推论，我们彻底解决了 b u r g h e l e a 和h a l l e r 的猜测 关键词：d e l o c a l i z e d 迹d e l o c a l i z e d 二2 解析挠率d e l o c a l i z e dl 2 一组合挠率 对称双线性型c h e e g e r - m i i l l e r 定理b i s m u t z h a n g 定理w i t t e n 形变d u h a m e l 原理 t o r s i o n t h e ya l s os h o w e dt h a tt h i sa n a l y t i ct o r s i o ni sn o td e p e n d e n to ft h er i e - m a n n i a nm e t r i co nm s ot h e yc o n j e c t u r e dt h a ti te q u a l st h er e i d e m e i s t e rt o r s i o n t h i sc o n j e c t u r ew a sl a t e rp r o v e db yc h e e g e ra n dm i i l l e r i n1 9 9 2 ，b i s m u ta n dz h a n g g e n e r a l i z e di tt ot h ec a s eo fg e n e r a lf l a tb u n d l e s i n c et h ew o r ko ft h i st h e s i si su n d e r t h ef r a m e w o r ko fb i s m u t z h a n g ，s ow er e c a l lt h eb i s m u t z h a n gt h e o r e ma sf o l l o w s l e teb eaf i n i t ev e c t o rs p a c e ，w ed e f i n ed e t e = 人1 嗽e l e t ( c 。，a ) b eaf i n i t e c o c h a i nc o m p l e x 0 一c o _ c 1 _ 一伊_ 0 t h e nw ed e f i n e a n d d e t ( c 。，a ) = o ( d e t ) 叫 i = 0 n h ( 矿，a ) = 0 h ( 矿，a ) ， i = 0 n d e t h ( 矿，a ) = oh ( c + ，a ) t h e nw eh a v et h ec a n o n i c a li s o m o r p h i s m i = 0 d e t ( c 。，a ) 兰d e t h ( 矿，a ) n o wf o rt h e ( m ，f ) ，l e t ，：m rb eam o r s ef u n c t i o n ，a n dg t ms u c ht h a t x = 一v ，s a t i s f i e st h es m a l ec o n d i t i o n l e tb = z m ；x ( x ) = o ) t h e nw e h a v et h et h o m s m a l ec o m p l e x ( c + ( w u ，f ) ，a ) w i t h ( u ，f ) =0【u ( z ) 】+ 圆b x e b ，i n d ( x ) = i a b s t r a c t t h e nb yt h ec a n o n i c a li s o m o r p h i s m d e t h ( m ，f ) 兰d e t h + ( c + ( u ，f ) ，a ) 型d e t ( c 。( u ，f ) ，0 ) v w eg e tam e t r i co nt h ed e t e r m i n el i n eo fh ( m ，f ) f r o mt h em e t r i co fc + ( u ，f ) ， w ec a l li tt h em i l n o rm e t r i ca n dd e n o t ei tb y 躲( 邶) o nt h eo t h e rh a n d ，t h er i e m a n n i a nm e t r i cg t ma n dt h eh e r m i t i a nm e t r i cg f d e f i n eai n n e rp r o d u c to nt h ed e r h 锄c o m p l e x 。( q + ( m ，f ) ，扩) l e td r b et h e a d j o i n to p e r a t o ro fd r l e td = d r + d f ，t h e nb yt h eh o d g et h e o r y , t h e nw eh a v ea m e t r i co nd e t h ( m ，f ) i n d u c e df r o mq + ( m ，f ) w bc a l li tt h el 2 - m e t r i ca n dd e n o t e i tb y i 鐾日吖m ，f ) l e tp ：q + ( m ，f ) 一k e r d 2a n dp 上：q ( m ，f ) _ ( k e r d 2 ) 上f o r s ca n dr e s d i m m 2 w eh a v e p ( s ) = 一n 。 n ( d 2 ) - 8 p 上 i sh o l o m o r p h i ca n de x t e n dt ot h ew h o l ec o m p l e xp l a n e i np a r t i c u l a r ，i ti sh o l o m o r - p h i ca ts = 0 t h e nw ed e f i n e r s ) _ j 恺e 印( 1o o ( 0 ) ) ， a n dc a l li tt h er a y - s i n g e rm e t r i co nt h ed e t e r m i n a n tl i n eo fh + ( m ，f ) o ( f , g f ) = t r ( 9 f ) 一1 v f g f a n dx 妒( t m ，v t m ) b et h ep u l l - b a c ko ft h em a t h a i q u i l l e nc u r r e n t t h e nf o rt h e a b s 亡r a c t nt h er a y s i n g e ra n a l y t i c i n 【3 1 】，b yc o n s i d e r i n gt h ec o n j u g a c yc l a s so ft h ec o v e r i n gg r o u p ，l o t ti n t r o d u c e d t h ed e l o c a l i z e dt r a c ea n db yt h i s h ed e f i n e da n ds t u d i e dc e r t a i na n a l y t i c a l l yd e f i n e d d e l o c a l i z e dl 2 i n v a r i a n t ，s u c ha st h ed e l o c a l i z e dl 2b e t t in u m b e r s ，t h ed e l o c a l i z e d l 。a n a l y t i ct o r s i o n i nc h a p t e r1o ft h i st h e s i s c o m b i n i n gt h eo r i g i n a lb i s m u t z h a n gm e t h o d ( 【1 2 】，【1 3 ) a n di t sl 2 - e x t e n s i o ni n 5 0 ，w ed e f i n e dt h ed e l o c a l i z e d l 2 - c o m b i n a t o r i a lt o r s i o na n dg e tt h ec h e e g e r m i i l l e rt y p et h e o r e mb e t w e e nt h e m c h a p t e r2o ft h i st h e s i si saj o i n tw o r kw i t hp r o f e s s o rw e i p i n gz h a n g r e - c e n t l y , b u r g h e l e aa n dh a i l e r ( 【1 4 】， 1 5 ) d e f i n e dac o m p l e xv a l u e da n a l y t i ct o r s i o n a s s o c i a t e dt oan o n d e g e n e r a t es y m m e t r i cb i l i n e a rf o r mo na 丑a tv e c t o rb u n d l eo v e r a na r b i t r a r yd i m e n s i o n a lm a n i f o l da n dm a k ea ne x p l i c i tc o n j e c t u r eb e t w e e nt h i s g e n e r a l i z e da n a l y t i ct o r s i o na n dt h et u r a e vt o r s i o n i nc h a p t e r2 ，w eg e n e r a l i z e t h er e s u l ti nf 1 2 1t ot h ec o m p l e xv a l u e dc a s e a sac o n s e q u e n c e ，w ep r o v e dt h e b u r g h e l e a - h a l l e rc o n j e c t u r ei ni t sf u l lg e n e r a l i t y k e y w o r d s ：d e l o c a l i z e dt r a c e d e l o c a l i z e dl 2 - a n a l y t i ct o r s i o n d e l o c a l i z e d l 2 - c o m b i n a t o r i a lt o r s i o n s y m m e t r i cb i l i n e a rf o r m c h e e g e r m i i l l e rt h e o r e m b i s m u t z h a n gt h e o r e m w i t t e nd e f o r m a t i o n d u h a m e lp r i n c i p a l c o n t e n t s c o n t e n t s i c h a p t e r1 ac h e e g e r - m i i l l e rt h e o r e mf o rd e l o c a l i z e da n a l y t i c t o r s i o n 】【 1 1 i n t r o d u c t i o n 】 1 ，2 d e l o c a l i z e dt r a c e ：1 1 3 d e l o c a l i z e dl 2 一c o m b i n a t o r i a lt o r s i o n 3 】4 d e l o c a l i z e dl 2 - a n a l y t i ct o r s i o n 5 1 5 ac h e e g e r - m f i l l e rt h e o r e mf o rd e l o c a l i z e da n a l y t i ct o r s i o n 1 0 1 6 ac l o s e d1 - f o r mo n 聪r + 1 0 1 7 w i t t e nd e f o r m a t i o na n dap r o o fo ft h e o r e m1 5 1 1 2 1 8 p r o o f so ft h e o r e m1 7 4a n dp r o p o s i t i o n1 7 1 3 2 2 1 9 p r o o f so ft h e o r e m s1 7 5a n d1 7 6 2 6 1 1 0 p r o o f so ft h e o r e m s1 7 7a n d1 7 8 2 8 1 1 1 p r o o f so ft h e o r e m s1 7 9 ，1 7 1 0 ，1 7 1 1a n d1 7 1 2 2 8 c h a p t e r2 ac h e e g e r - m f i l l e rt h e o r e mf o rs y m m e t r i cb i l i n e a r t o r s i o n s 3 3 2 1 i n t r o d u c t i o n 3 3 2 2 s y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s i o n sa s s o c i a t e dt ot h ed er h 锄a n dt h o m - s m a l e c o m p l e x e s 3 5 2 3 c o m p a r i s o nb e t w e e nt h er a y - s i n g e ra n dm i l n o rs y m m e t r i cb i l i n e a r t o r s i o n s 4 1 2 4 a s y m p t o t i c so ft h es y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s i o no ft h ew i t t e nc o m p l e x 5 0 2 5 p r o o fo ft h e o r e m2 3 4 5 8 2 6 p r o o fo ft h e o r e m2 3 6 5 9 2 7 p r o o fo ft h e o r e m2 3 7 6 3 c o n t e n t s 6 7 6 9 7 9 c h a p t e r1 a + c h e e g e r m f i l l e rt h e o r e mf o r d e l o c a l i z e da n a l y t i ct o r s i o n 1 1i n t r o d u c t i o n l e tfb eau n i t a r y 丑a tv e c t o rb u n d l eo nac l o s e dr i e m a n n i a nm a n i f o l dm i nf 4 1 ，r a ya n ds i n g e rd e f i n e da na n a l y t i ct o r s i o na s s o c i a t e dt o ( m ，f ) a n d p r o v e dt h a ti td o e sn o td e p e n do nt h er i e m a n n i a nm e t r i co nm m o r e o v e r t h e y c o n j e c t u r e dt h a tt h i sa n a l y t i ct o r s i o nc o i n c i d e sw i t ht h ec l a s s i c a lr e i d e m e i s t e r t o r s i o nd e f i n e du s i n gat r i a n g u l a t i o no nm ( c f 3 6 1 ) t h i sc o n j e c t u r ew a sl a t e r p r o v e di nt h ec e l e b r a t e dp a p e r so fc h e e g e ri17 1a n dm f i l l e r 3 7 1 l a t e r ，m f i l l e r g e n e r a l i z e dt h i sr e s u l ti n1 3 8 it ot h ec a s ew h e r efi sau n i m o d u l a r 丑a tv e c t o r b u n d l eo nm i nf 1 2 1 ，b i s m u ta n dz h a n gr e f o r m u l a t e dt h ea b o v ec h e e g e r - m f i l l e rt h e o r e ma sa ne q u a l i t yb e t w e e nt h er e i d e m e i s t e ra n dr a y - s i n g e rm e t r i c s d e f i n e do nt h ed e t e r m i n a n to fc o h o m o l o 肼a n dp r o v e da ne x t e n s i o no fi tt ot h e c a s eo fg e n e r a lf l a tv e c t o rb u n d l eo v e rm i nf 1 2 1i tm a k e su s eo fad e f o r m a t i o n b ym o r s ef u n c t i o n si n t r o d u c e db yw i t t e nf 4 9 1o nt h ed ef u l a i nc o m p l e x t h e e q u i v a x i a n ta n db o u n d a r yc a s e sw e r ep r o v e db yl o t t - r o t h e n b e r g 【3 2 ，l f i c k 3 3 ， b i s m u t z h a n g 1 3 1a n dv i s h i k 4 8 1 i n 1 9 1 ，f 3 0 1a n d 3 4 ，c a r e y , l o t ta n dm a t h a if i r s ti n t r o d u c e d t h el 2 一 t o r s i o n s ，u n d e rt h ea s s u m p t i o n st h a tt h el 2b e t t in u m b e r sv a n i s ha n dt h a t c e r t a i n “d e t e r m i n a n tc l a s sc o n d i t i o n i ss a t i s f i e d i n 4 1 ，b u r g h e l e a ，f r i e d l a n - d e r ，k a p p e l e ra n dm c d o n a l dp r o v e dt h ee q u a l i t yb e t w e e nt h el 2 一r e i d e m e i s t e r t o r s i o na n dl z - r a y - s i n g e rt o r s i o nf o ru n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n s u n d e rt h e “d e - t e r m i n a n tc l a s sc o n d i t i o n ”r e c e n t l y , b r a v e r m a n c a r e y , f a r b e ra n dm a t h a i 1 3 ls h o w e dt h a ti fo n ec o n s i d e r st h ee x t e n d e dl 2 - c o h o m o l o g yi nt h es e n s eo f f a r b e r ( c f f 2 1 1 ) i n s t e a do ft h eu s u a l l yu s e dr e d u c e dl 2 - c o h o m o l o g y ，t h e no n e c a na c t u a l l yd e f i n et h el 2 - r e i d e m e i s t e ra n dl 2 | r a y - s i n g e rt o r s i o n s w i t h o u t r e q u i r i n gt h e “d e t e r m i n a n tc l a s sc o n d i t i o n ”a n dp r o v eag e n e r a l i z e dc h e e g e r - m f i l l e rt y p et h e o r e mf o ru n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n s i nf 5 0 1 ，z h a n gp r o v e daf u l l e x t e n s i o no ft h eg e n e r a l i z e dc h e e g e r m 证l l e rt y p et h e o r e mt ot h ec a s eo fi n f i n i t e c o v e r i n gs p a c e s ，w i t h o u tr e q u i r i n gt h e “d e t e r m i n a n tc l a s sc o n d i t i o n ”。i nt h e f r a m e w o r ko f1 3 1b yu s i n gt h eh e a tk e r n e lm e t h o di nf 1 2 1 i n1 3 1 】，b yc o n s i d e r i n gt h ec o n j u g a c yc l a s so ft h ec o v e r i n gg r o u p ，l o t ti n - l d e f i n eac l o s e d1 - f o r mo nr 车r + ，s i m i l a ra si n 【1 2 】a n d 【1 3 i ns e c t i o n7 ，w e r e c a l lt h ew i t t e nd e f o r m a t i o n sa n dp r o v et h em a i nr e s u l tu s i n gt h em e t h o do f b i s m u t z h a n g i ns e c t i o n s8 ，9 ，1 0a n d11 ，w er e s p e c t i v e l yp r o v et h et h e o r e m s w h i c ha r eu s e dt op r o v et h em a i nr e s u l t 1 2d e l o c a l i z e dt r a c e i nt h i ss e c t i o nw er e c a l lt h ed e f i n i t i o na n dm a i np r o p e r t i e so ft h ed e l o c a l i z e d t r a c ei n t r o d u c e di n 3 1 1 l e tm b eac l o s e dr i e m a n n i a nm a n i f o l d l e t7 r ：m - - - 4 mb eag a l o i sr - c o v e r i n go fm e q u i p p e dw i t ht h ep u l l b a c kr i e m a n n i a nm e t r i c w bl e t7 e f a c t o nmo nt h er i g h tb y 墨e d i f f ( m ) l e tcd e n o t et h es e to fc o n j u g a c yc l a s s e s o fr d e f i n i t i o n1 2 1 l e tab et h ec o n v o l u t i o na l g e b r ao fe l e m e n t sa e c 。( m m ) s a t i s f y i n g 1 a ( 而7 ，甜7 ) = 口( 氖，佩7 ) f o ra l l ，y fa n d 2 t h e r ee x i s t sa nr a os u c ht h a ti fd ( 觅，而7 ) r at h e na ( 而，耐) = 0 t h em u l t i p l i c a t i o ni nai sg i v e nb y ( d 6 ) ( 赢，甜) = ， 口( 而，衔) b ( 而，而7 ) d v o l ( 彬) j m g i v e na e aa n d e c ，d e f i n ea e c 。( m ) b y a ( 赢) = 口( 研，而) 一r l e m m a1 2 2 f d ra l l r a ( 而y ) = a ( 僦) t h u sa = 矿口 f o rau n i q u e 口 c o o ( m ) d e f i n i t i o n1 2 3 d e f i n et r ：a cb y t r ( 口) = 厶口 加1 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 1 3 d e l o c a l i z e d 口一c o m b i n a t o r i a lt o r s i o n l e m m a1 2 4 f o ra l la ，b a ， t r ( a b ) = t r ( 6 口) 3 ( 1 2 5 ) a si n 【3 1 ，w ew i l ln e e dt w os l i g h te x t e n s i o n so ft h ea l g e b r aa f i r s t ，l e te b eah e r m i t i a nv e c t o rb u n d l eo nm p u te = 7 r + e f o ri 1 ，2 ) ，l e t7 r b e t h ep r o j e c t i o nf r o mm montot h ei t hf a c t o r o fm l e tab et h ec o n v o l u t i o n a l g e b r ao fe l e m e n t sa c o o ( m m ，7 r ：e07 r ；e ) s a t i s f y i n gt h et w oc o n d i t i o n s o fd e f i n i t i o n1 2 1 e q u a t i o n ( 1 2 2 ) n o ws h o u l db ei n t e r p r e t e da s a ( 赢) = t r ( ( 硝o ) ( 赢，而) ) = t r ( 7 + a ( 而，y ，而) ) ， ( 1 2 6 ) 1 一r w h e r e - y + a ( 而7 ，而) e n d ( e 佩) n e x t ，w ec a nr e p l a c ec o n d i t i o n2o fd e f i n i t i o n 1 2 1b yt h ew e a k e ra s s u m p t i o nt h a t f o r 舳 0 d ( 端s r 莓i n ( 狮，而，) l o o ( 1 2 7 ) t h ea b o v ec o n d i t i o ni se s s e n t i a l l ya n l c o n d i t i o no naw i t hr e s p e c tt or t h e n w ea g a i nh a v eac o n v o l u t i o na l g e b r aa n dl e m m a2 4i ss t i l lv a l i d 1 3d e l o c a l i z e dl 2 c o m b i n a t o r i a lt o r s i o n l e t 嚣：m mb eag a l o i sf - c o v e r i n go fac l o s e ds m o o t hm a n i f o l dm 、w i t h d i m m = n l e t ( f v f ) b eac o m p l e xf l a tv e c t o rb u n d l eo v e rmc a r r y i n gt h e f i a tc o n n e c t i o nv f l e tg fb eah e r m i t i a nm e t r i co nf l e t ( 乒，v f ) d e n o t et h e n a t u r a l l yl i f t e df l a tv e c t o rb u n d l eo v e rm o b t a i n e da st h ep u l l b a c ko f ( f v f ) t h r o u g ht h ec o v e r i n gm a p7 r l e tg b et h en a t u r a l l yl i f t e dh e r m i t i a nm e t r i c o nj ； l e t ( f ，v p ) b et h ed u a lc o m p l e xf l a tv e c t o rb u n d l eo f ( f v f ) c a r r y i n g t h ef l a tc o n n e c t i o nv f l e t ，b et h ed u a lm e t r i co nf + l e t ( 弘，v f ) a n dg j “d e n o t et h ec o r r e s p o n d i n gl i f t e do b j e c t so nm l e t ，：m _ rb e am o r s ef u n c t i o no nm l e tg t mb ear i e m a n n i a nm e t r i co nt ms u c ht h a t t h ec o r r e s p o n d i n gg r a d i e n tv e c t o rf i e l d x = 一v ，f ( t m ) s a t i s f i e st h e s m a l et r a n s v e r s a l i t yc o n d i t i o n s ( c f 4 5 】) ，t h a ti s ，t h eu n s t a b l ec e l l s ( o f x ) i n t e r s e c tt r a n s v e r s a l l yw i t ht h es t a b l ec e l l s l e t 芦( r e s p g t m ) d e n o t et h el i f t e d m o r s ef u n c t i o no f ，o nm ( r e s p t i f f e dr i e m a n n i a nm e t r i co nt m ) t h e n t h ec o r r e s p o n d i n