（基础数学专业论文）hilbert空间上非局部随机微分方程的解的存在性.pdf

摘要 本文我们将研究h i l b e r t 空间中带有非局部初始条件的半线性随机微分方程的m i l d 解的存在性在第一章我们将简单介绍此类问题的背景以及前人的一些工作和成果第二 章中我们将讨论带有初始条件“( o ) = g ( u ) + 铂的随机微分方程趾7 ( ) = a u ( t ) + f ( 仳) ( t ) + 乐g ( 牡) ( s ) d ( s ) 的解的存在性，其中a ：d ( a ) c 丑一日是g 半群t ( t ) 的无穷小生 成元，g ，f 都是紧算子，这一章主要讨论g 是紧映射的情况，然后运用不动点定理，来 证明方程的m i l d 解存在性第三章我们将讨论带有初始条件缸( o ) = g ( u ) + 的随机微 分方程d u ( t ) = a u ( t ) d t + l ( t ，u ( t ) ) d w ( t ) 的解的存在性在本章中算子a 生成紧g 半 群t ( t ) ，是c a r a t h d o d o r y 映射，我们将在g 弱于紧性条件下考虑解的存在性 关键词：紧半群；随机微分方程；不动点定理；维纳过程 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a rs t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n l o c a li n i t i a lc o n d i t i o n si nh i l b e r ts p a c e s i nt h ef i r s tc h a p t e r w ew i l li n t r o d u c es o l l l ew o r kw h i c hf l x ei n v e s t i g a t eb yo t h e ra u t h o r s t h e ni ns e c o n d c h a p t e rw ew i l lc o n s i d e rt h es t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n su 0 ) = a u ( t ) + f ( u ) ( z ) + j ：c ( u ) ( s ) d w ( 8 ) w i t ht h ei n i t i a lc o n d i t i o nu ( 0 ) = 夕( 乱) + u o ，h e r ea ：d ( a ) ch h g e n e r a t e sac o - s e m i g r o u po nh a n dg fa r ea l lc o m p a c tf u n c t i o n s i nt h i sc h a p t e rg i sac o m p a c tf u n c t i o n i nt h et h i r dc h a p t e rw ew i l lc o n s i d e rt h es t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nd u ( t ) = a u ( t ) d t + f ( t ，u ( t ) ) d w ( t ) w i t ht h ei n i t i a lc o n d i t i o nu ( 0 ) = g ( u ) + u o b u ti nt h i sc h a p t e rgw i l l l o s et h e c o m p a c t n e s s k e yw o r d s ：c o m p a c ts e m i g r o u p ；s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；矗x e dp o i n tt h e o r e m ； w i e n e rp r o c e s s 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：盟日期；型! ：! ：! 乡 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 签名导师签名校啉趔 社嗍：划 第一章引言 随机微分积分方程在社会，物理，生物和工程应用中扮演着越来越重要的角色近 几年来，已经有很多学者对随机微分方程的解的存在性，惟一性，稳定性和其它一些性 质作了细致的研究 有限维欧氏空间和无穷维抽象空间中的随机微分方程都已经得到广泛的关注，关于 有限维的情况大家可以参考文献【l l j 和( 2 6 j ，而无限维中的情况可以参看文献( 1 4 】和 c 17 1 对于如下的随机微分包含； d u ( t ) - a u ( t ) d t 十( t ，乱( t ) ) 疵+ g ( t ，u ( t ) ) d b ( t ) , 4 0 ) = t o k r e e 的文献 2 l 】通过不动点定理证明了此微分包含的解的存在性，而p e t t e r s s o n 的文献f 2 5 j 则利用逐次逼近理论证明了它的解的存在性 a h m e d 在文献【2 】中对如下的非线性随机微分包含进行了研究t 砒一a u d t + f ( t ，u ) d t + 盯( t ，u ) d w 乱( 0 ) = u o a h m e d 运用半群理论以及b a n a c h 不动点定理证明了此微分包含的解的存在性 最近b a l a z u b r a m a n i a r n 在文献 8 中研究了如下的泛函微分包含的解的存在性： 如( z ) f ( t ，i t t ) d t + g ( t ，u t ) d b ( t ) u ( t ) = ( t ) 这里g 是多值映射，b ( t ) t o 是布朗运动，咖( t ) 则是与b ( t ) 独立的随机变量他运用 k a k u t a n i 不动点定理( 【1 4 】) 证明了此微分包含的解的存在性 在文献 8 】中，b a l a s u b r a m a n i a m 还研究了如下的延时微分包含； d u ( t ) a u ( t ) + ，( u ( p ( t ) ) ) 】d z + 盯( 乱( 7 - ( t ) ) ) d b ( t ) ，t t ，= 【0 ，卅，t 0 钍0 ) = ( d ，t 矗= 【一r ，o 】 这里是，_ o 可测的，a 是强连续半群的无穷小生成元p ，r ： 0 ，o 。】一 一r ，o 。】，r 0 是延时函数然后他运用不动点定理和半群理论证明了此微分包含的解的存在性 1 东南大学硕士学位论文 k a c k 和m c k i b b e n 在文献【l5 】中讨论了如下带非局部初值条件的随机微分方程： 乱( t ) = a 钍。) + f ( u ) ( t ) + tg ( u ) ( s ) d w 7 ( 5 ) u ( o ) = 9 ( 让) + u o 2 其中a ：d ( ac 日一日是线性算子，f ：g ( i o ，卅；h ) 一妒( 【o ，t h l 2 ( q ；h ) ) ，g ： c ( 【o ，刀；h ) 一e ( o ，司；l 2 ( q ；b l ( k ，日) ) ) ，g ：c ( 【o ，邳；h ) 一l 3 ( q ；日) ，w 是k 值的维 纳过程，其协方差矩阵为q ，咖是厂。可测得并且与w 独立的h 值随机变量，这里日 是h i l b e r t 空闻。k 是b a n a c h 空闻 在文献 1 2 】中讨论了a 是紧半群的无穷小生成元， f ，g ，g 满足震荡性条件，即t ( 1 ) 存在正常数e l ，c 2 ，使得0f ( u ) i i l ，sc 1i i 乱i i 。+ c 2 ( 2 ) 存在正常数d 1 ，d 2 ，使得i ia ( u ) 1 1 。sd l0 乱l i 。+ d 2 ( ) ( 3 ) 存在正常数e 1 ，e 2 ，使得i ig ( u ) i i l 3 - - e l0ui l 。+ e 2 的情况下此方程的解的存在性而在本文的第二章中我们将继续研究此方程的m i l d 解的 存在性我们将把算子a 的条件减弱为某个g 半群的无穷小生成元，但我们假设g ，f 都是紧算子同样的我们仍然运用不动点定理和半群理论证明此方程的m i l d 解的存在 性 在本文的第三章中我们将文献 2 8 】中的非局部微分方程推广到随机的情形下： d u ( t ) = a u ( t ) d t + f ( t ，钍( t ) ) d ( t ) ，t i ，a e d u ( o ) = g ( u ) + u o ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中i = 【o ，1 1 ，a 仅是g 半群t ( t ) 的无穷小生成元，：i x d c ( 【o ，卅；l 2 ( q ；b l ( k ；日) ) ) 是给定映射，w 是k 值的维纳过程，其协方差矩阵为q ，咖是r o 可测的h 值的随 机变量，且“o 与是无关的，g ：c ( o ，刀；h ) 一瑶( q ；日) ，在本章中我们将假设g 不 是紧的，而通过定义集合岔( 历莉f 研) 为列紧集来证明次方程的m i l d 解的存在性 为了叙述问题的方便，我们先引入一些记号和定义 在本文中，日，表示实可分的h i l b e r t 空间，其上的范数为0 | | 胃和i | i l ， b l ( k ；h ) 表示从k 到日的所有由界线性算子构成的空间( 当h = k 时，可简单的表 示为b l ( h ) ) 设x ，y 是b a n a c h 空间，c ( x ；y ) 表示从x 到y 上的连续映射构成的 空间同时驴( o ，卅；x ) 表示在【0 ，刀上p 一次可积的x 值函数构成的空间 令( q ，厂，p ) 表示一个完备的概率空间。一个r 可测的函数g ：n 一日称为日值 东南大学硕士学位论文 3 的随机变量，同时随机变量集s = g ( ；面) ：q 一日10st t ) 称为随机过程 l 2 ( q ；h ) 表示由所有强可测的，平方可积的h 值随机变量构成的b a n a c h 空间其 上的范数为l | g ( ) i | l 2 n ；日) = ( ei | g ( ；面) 幢) ；，这里e 表示期望，即e ( g ) = 矗9 ( 面) d p l 2 ( n ；h ) 的一个重要子集为瑶( n ；日) = ，l 2 ( q ；日) ：，是r o 可测的 ，接着我们定 义空间c ( 【o ，霉；曩) 为集合 移c ( i o ，习；l 2 ( f l ；日) ) ：移是f t 适应的) ，显然此空间为 b a n a c h 空间，其上的范数为0vi i o = s u p o r ( e0v ( t ) i | h 2 ，z 1 定义1 1 ( 维纳过程) 实可分的h i l b e r t 空间日上的随机过程 彤( t ) ：t o ) 称为维纳过程是指对任意的 t 0 满足； ( i ) w ( t ) 有连续路径并且有独立增量， ( i i ) w ( t ) l 2 ( n ；h ) 并且e ( w ( t ) ) = 0 ， ( i i i ) 再钞( w ( t ) 一( s ) ) = ( t s ，这里的q b l ( k ；h ) 并且是非负核算子 定义1 2 ( m i l d 解) 一个r t 适应的随机过程u ：【0 ，卅一日称为方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的m i l d 解是指u ( t ) 是 可测的并且对任意的t 【0 ，v l ，岳i l “( s ) 幢d s t o on s 【p 】，且对任意的0 t t ， 下式满足： f t u ( t ) = t ( t ) u o + t ( t ) g ( u ) + t 一s ) ，( s ，钍( s ) ) d 7 ( s ) ，o s 【p 】 ( 1 3 ) 定理1 3 ( 【1 9 】) 设g p ( 日，y ) ，并且对p 2 ，满足j 孑eg ( t ) i d t o ) ； ( 2 ) f ：c ( o ，卵；h ) 一驴( 【o ，卅；l 2 ( q ；日) ) 是连续映射，并且存在正常数c l ，c 2 ，使 得对任意的缸c ( 【o ，刁；日) ，0f ( u ) | | p sc li i 钍i i 。+ c 2 ； ( 3 ) g ：c ( o ，卅；h ) 一c ( 【o ，卅；l 2 ( n ；b l ( k ，打) ) ) 是连续映射，并且存在正常数 d ，d z ，使得对任意的u c ( 【o ，卅；日) ，i ia ( u ) i | 。d li i u i | 。+ 如( ) ； ( 4 ) g ：g ( 【o ，卅；h ) 一瑶( q ；h ) 是紧连续映射，并且存在正常数e l ，e 2 ，使得对任 意的“e ( 【o ，t l ；日) ，l i9 ( u ) i i l g e 10 让i 。+ e 2 成立的情形下，微分方程( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的m i l d 解的存在性 在本章中我们将把假设条件( 1 ) 减弱为a 仅是某个c 0 半群的无穷小生成元，而 eg 是紧映射并且依旧满足振荡性条件的情形下，证明微分方程( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的m i l d 解 仍然存在 在本章的证明中我们将用到不动点定理1 4 ，线性算子半群理论以及抽象空间中随 机微分方程的一些基本结果和方法，其中会用到的定义和性质可以参阅文献【2 2 】，【1 6 】， 1 0 】，【7 以及其后的参考文献 首先我们定义方程( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的m i l d 解 定义2 1 ：一个rc 适应的随机过程钍： 0 ，卅一称为方程( 2 1 ) 一( 2 2 ) 在【0 ，t 】上的 m i l d 解，是指如果对任意的t 0 ，卅，u ( t ) 是可测的，f i l l ( s ) 幅d s 0 ； ( 岛) ：f ：e ( 【o ，刁；h ) 一驴( i o ，习；驴( q ；日) ) 是紧连续映射，并且存在正常数 c 1 ，c 2 ，使得对任意的钍c ( 【o ，卅；h ) ，0f ( u ) i p c l0 乱i i 。+ c 2 ； ( 风) ：g ：c ( o ，明；h ) 一c ( o ，卅；l 2 ( q ；b l ( k ，日) ) ) 是紧连续映射，并且存在正常 数d 1 ，d 2 ，使得对任意的社c ( 【0 ，t i ；日刈g ) i l 铅。d ，| iui i 。+ d 2 ( ) ； ( 凰) ：g ：c ( 【o ，印；h ) 一瑶( q ；h ) 是紧连续映射，并且存在正常数e l ，e 2 ，使得对 任意的钍c ( 【o ，刀；日) ，0g ( “) i k e l0u 乳- i - e 2 ； ( 风) ：怕蝇【屈1 + t 孚c 1 + 河j 3 u 喜1 d 1 】 1 定理2 , 2 如假设( h 1 ) 一( 王毛) 都成立，且u o 瑶( q ；日) ，则方程( 1 1 ) 在【o ，t 】上至 少有一个m i l d 解 证明； 定义解映射j ：g ( 【o ，t i ；h ) 一c ( 【o ，t i ；h ) ： ，t ( j 也) ( t ) = s ( t ) ( ( 乱) 十u o ) 4 - s o s ) f ( u ) ( s ) d 8 j 0 ，t，8 + f s ( s r ) g ( 扎) ) d m p ) d s ，0 t s t 由( 凰) 以及m i n k o w s k i 不等式得： ( ej j 厂。s ( t - sj j 刍) ；t ；1 s ( ts ) f ( u ) ( s ) d s1 鸩( 坼i jui j 。4 - j lf ( o ) i l l ，)( ej j j j 刍) ；t ；m ，( 靠i jui j 。 j lf ( o )，) j 0 由此式得，v u c ( 【0 ，邪；日) ，j ： s ( t s ) f ( u ) ( s ) d s c ( 【o ，卸；打) ，同样，v u ，g ( “) ( s ) b l ( k ；h ) ，并且由假设条件知9 ( “) 4 - u o 瑶( n ；h ) ，所以如文献【2 中的证明一样得到 j 是可定义的 下面我们通过定理1 4 来证明j 有不动点 东南大学硕士学位论文 第一步：j 是连续映射 设 ) 县1 c ( o ，刀；h ) 且一v ( n o o ) 则 j ( t k ) 一t ，( 口) i i ：= s u p ( e0s ( t ) ( 夕( t h ) 一9 ( ”) ) + s 0 一s ) ( f ( t k ) ( s ) 一f ( ) ( s ) ) d s ) + z 加一) ( g ( 删- g ( 州砌嘶) d s 1 1 备) 曼3s u pel is ( t ) ( 9 ( 1 k ) 一g ( f ) ) l i 备 + s u pei i s ( t s ) ( f ( t h ) ( s ) 一f ) ( s ) ) d s | | 备 + 。翌导e i l z z 。s ( s 一下) ( g ( ( r ) ) 一g ( ) ( 下) ) 础( 丁) d s i i 备 = 3 ( 1 】+ 2 + 厶3 ) 其中 h i = s u p o s t re l is 0 ) ( 9 ( ) 一9 ( ) ) i i 备舰09 ( ) 一9 ( 口) i l i 3 我们利用h o l d e r 不等式得到： 。= s u pei l s 0 一s ) ( f ( u 。) ( s ) 一f ( ) ( s ) ) d si i 备 0 s s 1 j 0 s u pe ( ( i ls ( t s ) ( f ( 协。) ( s ) 一f 和) ( s ) ) 1 1 2d s ) ( 1 d s ) ) 2 o s s 1 j 0j 0 r t t a 露ei if ) ( s ) 一f ( u ) ( s ) 幢d s t i 以8f ( 钉。) 一f ) ) l l p 筑琊t 宁 = 露丁宁l f ) 一f ) ( ”) 怯( n ；日) 7 最后，由【1 9 】中的命题1 9 和h o l d e r 不等式，我们得到存在常数c ( 仅依赖于 p ，t r ( q ) ，t ) ，使得： 东南大学硕士学位论文 8 3 = s u pei i ls ( s r ) ( g ( 珥。( 7 _ ) ) 一g 扣) ( 1 - ) ) c m ( r ) d so 备 0 tj o j 0 f t，s s u pe ( i i s ( s r ) ( g ( ( 丁) ) 一g p ) ( r ) ) 口h u ( 1 - ) i i 片d s ) 2 u s s 1 j 0j 0 ts u pe ( 0 s ( s 一1 一) ( g ( t k ( 丁) ) 一g ( t ，) ( 丁) ) 6 汕( 下) 1 1 2d s ) o t t 3 0j o r s u pei i l s ( s 一7 - ) ( g ( t h ( 丁) ) 一g 扣) ( r ) ) d 伽( r ) 】1 2d s j oo s t t , o 曼t c ei is ( s 一7 ) ( g ( t h ( 丁) ) 一g ( ) ( r ) ) 1 1 2d r d s j 0j 0 e tr t t c 露 i ig ( 珥。( f ) ) 一g ( 钉) ( 下) 1 1 2 ：( n ；b l ( k ；j = r ) ) d r d s p c 孵| ig ( ( 7 - ) ) 一g ( t ，) ( r ) l i 。 由h ，g ，f 的连续性知 l 一0 ，1 1 2 0 ，1 1 3 0 ，则j 是连续映射 第二步；集合f ( ，) 是有界的 设 ( j ) ，则： i ia ui i 。= s u p ( ei i ( ，“) ( t ) 惰2j z 1 s u p 娟【( e s ( t ) b ( 锃) + 乱。) 1 1 2 月，：1 + ( 昱i i - s ( t - s ) f ( 让) ( 。) d sl l 备) l o 曼2 j 0 + ( 圳z o 跗刊g ( 酬丁) 幽( 帕肼】 = 4 3 ( 4 1 + 场+ 岛3 ) 接下来我们分别估计如，场，如3 首先： 厶1 = s u p ( ei is 0 ) ( 9 ( 扎) + u o ) 1 1 2 h ，z 1 o s t s 7 。 且以( ei ig ( 乱) + u o 幢) m 。( 2 e i ig ( u ) l i 备+ 2 e8 乱o l l 备) 舰( 、2l i9 ( u ) 怯+ 、2i i 札。峨) 、2 以( e 1 | i 0 。+ e 2 + i i “oi i t s ) 东南大学硕士学位论文 其次； 最后来估计 j 2 2 = s u p ( e i i s ( t s ) f ( u ) ( s ) d s | i h 2 ，z 1 0 tj o ss u p ( e ( 7i is 0 一s ) f ( u ) ( s ) d s0d s ) 2 ) o s t tj o 旭( r ( e | | f ( 乱) ( s ) 惜2 ，z 1 s 舰t 5 ( l if ( u ) ( s ) 嵫出) ； 以i if ( 让) 怯t 孚 sa ( c 1l l 移0 。+ c 2 ) r 宁 ，一 j 五= s u p ( e s ( s r ) g ( ) ( r ) d 埘( 1 - ) d s l 备) ) o s t tj oj o ，f，f ss u p ( e ( 0 s ( s t ) c ( u ) ( v ) d w ( r ) 0 片) 2 ) o t t , i oi o s ( 丁z r 陋i if f s ( s 叫g ( r ) 咖p ) i t 。刎； t ( z 1 ( co t e 忪( s 叫g ( 州r ) 1 1 2 打) 删 纠g 弛z o ( e i i 即叫g ) 1 1 删 叫咖( z t z 丁( d 1 北+ d 2 ( 叫2 批乒 t g ；必( 2 t 2 l l 锃l l c + 2 tl id 21 1 2 ) t c ( j ，d 1 u 虬+ j t i l 出h 因此我们可以得到 ai uj c _ 怕尥( 讵( e 1i i | | 。+ e 2 + l i 咖i i l 3 ) + ( q | f “i f 。+ c 2 ) 丁孚+ t c ；( v 互t d l i 让忆+ 讵丁 f id 2f f ) ) 9 东南大学硕士学位论文 因为a 1 并且由( 风) 我们得到l l vl i 。s ，7 ，这里叩是与 和入无关的常数，所以 f ( j ) 是有界集 第三步：j 是紧映射 设所； 口c ( 【o ，t i ；h ) ：i i 札0 。sr ) 1 0 1 。由g 是紧映射知， 9 ( 仳) ：钍j ) 是列紧集，所以存在有限的e m 。网 d ( u 。 】；n1 ，使得 g ( u ) ：”坼) cu l - l b ( 9 ( 。) ， 毛) 那么对任意的”坼，存在 v i ，满足i i9 ( “) 一g ( u i ) l i 瑶 m ：，则i is ( 。) g c u ) 一s ( m u dh l ls ( 。) i i i ig ( 札) 一g ( u d1 1 cu l 。b ( s ( ) 9 似) ，) ，所以 s ( ) 9 ( ) ；牡k 4 是列紧集 2 。设1 ( 札) ( t ) = j ： s ( t s ) f ( v ) ( s ) d s 由f 是紧映射知，( f ( 口) ：t ，j 0 ) 是列紧集，所以存在有限的e m t e p 网 f ( ) 銎。) ，使得 f ( 钍) ：乱9 4 cu l 。b ( f ( u i ，e 尥t 孚) ) 那么对任意的 坼， 存在，满足i if ( u ) 一f o oi l l , ( 以t 孚) ，则； 砂( u ) ( ) 一妒，( “；) ) t l ，= ( ei i l ( 乱) ( t ) 一，( 毗) ( t ) 1 1 2 丑，z 1 8 u p ( ei i t s ( t s ) ( f ( 乱) ( s ) 一f ( 。) ( s ) ) d s1 1 2 h ：1 o s t s t j o 耽r 孚i if ( 札) 一f ( u ；) i i p 所以 - ( 札) ( ) ：u k 4 是列紧集 3 。设z ( 让) ( t ) = j ： 露s ( s 一丁) g ( 札) ( f ) d ( r ) d s ，由g 是紧映射知， g ( ) ：u j 0 ) 是列紧集，所以存在有限的e m ，e ，1y j 3 网 g ( 啦) 饕1 ) ，使得 g ( 仳) ：“9 4 c u ：1b ( g ( 让。) ，e l 蟊c j li j 3 ) ，那么对任意的k ，存在u t ，使得 则 g ( 钍) 一g ( u 。) il l , , e ( 耽c ；t 2 ) 东南大学硕士学位论文 妒2 ( 仳) ( ) 一咖2 ( “i ) ( ) i i = ( eo s ( s f ) ( g ( 札) ( r ) 一g ( u i ) ( t ) ) d w ( r ) d si l h 2 ，z 1 ( s u pe0 s ( s r ) ( g ( 札) f ) 一a ( u t ) ( 丁) ) 托( r ) i i 刍d s ) ，1 y ，1 j oo s s 0 ，当lt l t 21 k 时，l l ( s ( 1 ) 一s ( t 2 ) ) ( 夕池) + 札o ) l i ，取 = m a x e 墨1 ，贝9 如1 | | ( s ( t 1 ) 一s ( t 2 ) ) 川g ( u ) 一9 ( u ) 0 + e + ，所以当t 1 ，t 2 时，厶，在坼上是一致收敛到0 的 东南大学硕士学位论文 厶。= 驯小即，叫一即。叫) 脚) ( 踟s 幢 =e o z “( s 。一s ) 一s ( t z s ) ) ( f ( 乱：) ( s ) 一f ( “) ( s ) ) d s + z “( s 。，一s ) 一s ( t 。一s ) ) f ( u ；) ( s ) d so 备 同样，由f 的紧性我们可以得到j 3 2 在j 上是一致收敛到0 的 k = e i i 詹s ( t 2 一s ) f ( u ) ( s ) d s 幅 缸= ei | j 0j ：s ( s r ) a ( u ) ( r ) d w ( t ) d s0 备 显然，当t 1 一t 2 时，k ，如在坼上是一致收敛到o 的 所以，映有界集到等度连续集由a r z e l a - a s c o l i 定理知l ，是紧映射 最后由以上三步骤得到，满足定理1 4 的条件，则，有不动点，并且此不动点就是 我们所要求的方程的m i l d 解 第三章9 满足非紧性条件下的情形 在本章我们讨论如下的微分方程： d u ( t ) = a u ( t ) d t + s ( t ，钍( t ) ) ( “矿8 ) ，t i ，口e d u ( o ) = g ( u ) + u o ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中j = 1 0 ，7 ，】，a 是g 半群t ( t ) 的无穷小生成元，：l x h e ( i o ，刁；l 2 ( n ；b l ( k ；日) ) ) 是给定映射w 是k 值的维纳过程，其协方差矩阵为q ，锄是r o 可测的h 值的随 机变量，且伽与w 是独立的，g ：c ( 0 ，卅；h ) 一瑶( n ；h ) 是给定映射，这里的g 不 是紧映射 在文献 2 8 】中作者在如下的假设条件下讨论了在非随机情形下方程( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的 m i l d 解的存在性t ( 1 ) ：a 是紧半群t ( t ) 的无穷小生成元； ( 2 ) ：1 。，( ，) 满足c a r a t h d o d 们 y s 条件，即对a e t o ，刀，f ( t ，) 是连续的；对 任意的“d ，( ，u ) 是可测的 2 。存在函数a l ( 【o ，t i ，r + ) 以及非降函数1 1 ：r + 一r + 使得对所有的i t d 和 a e ，t 0 ，司，满足l lf ( t ，钍) i - - - 8 ( ) n ( i i 钍| i ) ( 3 ) ：l 。g ：d 一日是连续的 2 。存在非降函数a ：r + 一舻使得对所有的似d ，g 满足| ig ( u ) 1 1 2 0 ，集合夕( 历而f 耳) 是列紧集 在本章中我们将讨论随机微分方程( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的m i l d 解的存在性 3 1 主要结论 在这节我们将首先给出本章的主要结论，而结论的证明将放在下一节 首先我们定义如下的解映射f ：c ( 【0 ，卅；h ) 一g ( o ，卅；日) ： ( p 就) ( t ) = ，秘) u o + t 。) 夕( 锃) + rt ( t s ) ，( s ，铭( s ) ) d w ( s ) 对任意的t 0 ，卅成立显然当f 有不动点u 时方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的m i l d 解存在，且钍 1 3 东南大学硕士学位论文 1 4 就是其m i l d 解 我们定义b r 为球 u c ( 【o ，司；h ) ；j | “i i c r ) ，以及0t ( t ) l i b l 0 ，集合酾- - v f b , 是列紧集 我们首先给出以下的定理 定理3 1 当假设( 只4 ) ，( 毋) ，( 凰) ，( 日) 满足时，则当下面的不等式( 3 3 ) 成 立时，方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 至少存在一个m i l d 解： t 吣) d s l i m s u 。p j 0 生甓掣 ( 3 3 ) r _ + + v l ，“l 7j 接下来我们给出假设( 乃) t ( 日，) ：1 。g ：( 【o ，t l ；h ) ，l i 一h 是连续的， 2 。存在非降函数a ：r + 一j 矿使得对所有的u h ，g 满足0g ( u ) 1 1 2 。a ( i iu1 1 ) 显然( 日，) 兮( h g ) 而且当假设( 玩) ，( 乃) 成立时我们可以得到( 日，) 兮( h ) ， 所以我们得到以下结果： 定理3 2 当假设条件( 日口，) ，( 王“) ，( 毋) 以及( 3 3 ) 式成立时，方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 至少存在一个m i l d 解 下面我们给出如下的假设( 日，) ； ( 日，) ：，：g ( o ，刁；h ) 一c ( 【o ，卅；l 2 ( q ；b l ( k ；日) ) ) 是紧的 定理3 3 当假设条件( 日，) ，( 日) 以及( 3 3 ) 式成立时，方程( l 1 ) 一( 1 2 ) 至少存在一 个m i l d 解 另mcc ( 0 ，刀；h ) 和0 0 ，使 得9 ( m j ) 是g ( m ) 的e 网 推论3 4 当假设( k ) ，( h i ) ，( 殇) 和( 日) 成立，且( 3 3 ) 满足时，方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 至少存在一个m i l d 解 最后我们将讨论以下两个特殊的初值情况 第一类， u ( o ) = 伽+ g l ( u 1 ) 1 5 其中对让h ，以及对固定的0 ，y 6 ，当【o ，6 一，y 】时，( t ) = u 0 + ；当 t 陋一，y ，纠时，乱，0 ) = 让( 6 ) 第二类； ( o ) = 蕾o + 9 2 ( t l ，一，t p ；u ( 1 ) ，乱( t p ) ) 这里0 t 1 0 使得 f ：耳一b r 是连续的 证明：设一t i ，则对所有的t 【o 刀： 1 6 e 0 ( f 钍。( ) 一( f u ) ( t ) ) i 刍 s u pef fr o ) 9 ( u 。) 一t ( t ) g ( u ) + t o s ) ( ，o ，u n ( s ) ) 一，( s ，u ( s ) ) ) 讲矿( s ) f f 备 0 s t s yj 0 2s u pe0 t ( t ) ( 9 ( ) 一9 ( u ) ) 幢 0 s f s l ， + 2s u pe o t 一s ) ( ，o ，。( s ) ) 一，( s ，u ( s ) ) ) d 佴7 ( s ) l l 备 u 三s 1j o ，t 2 2 ”9 ( t 如) 一9 ( “) j j 磊+ 2 ( t r w ) s u p ei it ( t s ) ( ，( s ，t k ( s ) ) 一，( s ，“( s ) ) ) j j 刍d s ” o s t s t j o 2 2i i9 ( 。) 一9 ( u ) | | 磊+ 2 n 2 ( t r w ) s u p 0 ，( s ，乱。( s ) ) 一，( s ，札( s ) ) 0 乞。d s ” o o , f b ，是等度连续的，且f 厨( t ) 是列紧集 证明：对任意的e 0 ，存在6 0 ，使得： fa ( s l d s 1 8 ( t r w ! ) n e i i ( r ) 其中jc 0 ，t i ，m ( g ) 6 对任意的0 0 ，t ( t ) 是等度连续的，所以对所有的t 聩和t ( o ，卅 。l i m i ft ( t + h ) 一r ( t ) | | 2e09 ( 札) + u oi l 备= 0 n + u ，t d l i m 6 ( t r w ) 妨一圳2 上。一s ) 1 1 2 l 馋，珏( s ) ) d s = o 是一致收敛的所以我们得到对所有的“辟，当h o 时，0f u ( t + ) 一f u ( t ) i l 。一o 是一致收敛的，即f b r 是等度连续的 对任意的e 0 ，令( e 札) ( ) = t ( t ) u o + t ( t ) g ( u ) + 露一t ( t s ) f ( s ，u ( s ) ) d w ( s ) ， 则对所有的t 0 ，e 耳( ) 是列紧的并且t ，t e f ff 。u ( t ) 一f u ( t ) 刍se | i r 0 一s ) ，0 ，u ( s ) ) d w ( s ) l l 备 j t e 一一 ( t r w ) el i ? 0 8 ) f ( s ，t ( s ) ) 1 | 备d ssn 2 ( r ) a ( s ) d s 1 8 即对所有的t 0 ，f b