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2 0 0 7 年首都师范大学硕士论文 摘要 3 本文以0 6 年秋季学期戎小春教授于首都师范大学组织的。正曲率，对 称群穰拓扑”的讨论滚上掇告的一些爽容为慕础，簿溪露顾了其中一耢究 方向的基本定义与定理，并侧重整理了关于正曲率流形基本群的一些的结 果。隧时，作者对讨论班上所提出的问题进行了进一步翡探究。 本文主要证明的结论是：定理a ( m y e r s 定理的逆问题) ：“任意一个 有限群可作为某一个正r i c c i 醵率闭漉形的基本群”戎小春教授在他来公 开的讲义中提出了关予这个定理证明梗概，在本文中作者通道群扩张的方 法，对该定理进行了究整的证明；定理b ：“设m 是一个具有正截面曲率 的闭流形，环群t k ( k 1 ) 等躐地作用予m 上，毋是m 上的个等距映射， 且与小可交换，则妒保持个? 一的圆轨道”该定理是戎小春教授关于等 距环群作用于正曲率流形研究中的一个重要终栗。戴结果建立了交换李群 作用与正曲率流形基本群的关系在文章【1 2 】中，戎小春教授证明了流 彤维数是奇数的情形，著指出了维数是偶数豹情形定理亦成窥。本文孛将 给出该定理的一个统一证明定理c ，d 和e 也是讲义【1 1l 和文章i1 2 】 中关于正益率流形基本群戆霎要结果。作为研究报告，我们也将绘出这三 个定理的详细证明。 关键词正曲率基本群等距环群一作甩 2 0 0 7 年首都师范太学硕士论史4 a b s t r a c t t h i st h e s i si sb a s e do np a r t so ft h er e p o r ti nt h es e m i n a ro f 。p o s i t i v ec u r v a t u r e s y m m e t r ya n dt o p o l o g y ”i nt h ef a l ls e m e s t e ro f2 0 0 6a tc a p i t a ln o r m a lu n i v e x s i t y w ef i r s t b r i e f l yr e v i e wb a s i cn o t i o n sa n dt h e o r e m sr e l a t e dt ot a x i st h e s i s t h e nw ew i l lc o l l e c ts o m e r e s u l t so n 。f u n d a m e n t a lg r o u po fp o s i t i v e l yc u r v e dm a n i f o l d s ”a n dmw i l li n v e s t i g a t e s o m ep r o b l e m sa x o s e 。 t h em a i nr e s u l t si nt h i st h e s i sa e ：t h e o r e m sa ( t h ei n v e r s ep r o b l e mo ft h em y e r s s t h e o r e m ) ： “a n yf i n i t eg r o u pc a nb et h ef u n d a m e n t a lg r o u po fs o m ec l o s e dm a n i f o l do f p o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e ”p r o f e s s o rx i a o c h t mr o n gh a ss k e t c h e dap r o o f i nh i su n p u b l i s h e d l e c t u r en o t e s h e r ew eu s et h em e t h o do f g r o u p se x t e n s i o nt og i v ead e t a i l e dp r o o f ；t h e o r e m s b ：。l e tmb eac l o s e dm a n i f o l do fp o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r eo nw h i c hat o r u st k 碑1 ) a c t si s o m e t r i c a l l y i f 乒i sa l li s o m e t r yo nm c o m m u t i n gw i t ht h ep a c t i o n ，t h e n p r e s e r v e s s o m et k o r b i tw h i c hi sac i r c l e 。”t h i 8t h e o r e mi sab a s i cr e s u l to n。i s o m e t r i ct k a c t i o no n p o s i t i v e l yc u r v e dm a n i f o l d s ”，w h i c he s t a b l i s ha sab r i d g eb e t w e e na ni s o m e t r i ct o r u sg r o u p a c t i o no nam a n i f o l dw i t hp o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r ea n di t sf u n d a m e n t a lg r o u p p r o f e s s o r r o n gg a v eap r o o ff o ro d dd i m e n s i o ne a s ei n 【1 2 a n da s s e r t e dt h a tt h et h e o r e ms t i l lh e m si n e v e nd i m e n s i o n s f t h o u g he v e n - d i m e n s i o n a lc a s em a yn o tb en e e d e da sl o n ga 8f u n d a m e n t a l g r o u p sf i l ee o n o s r a e d ) i nt h i st h e s i s ，w ew i l lg i v eau n i f yp r o o fo ft h et h e o r e mi nb o t ho d d a n de v e nd i m e n s i o n a lc a , s e s t h e o r e mc ，da n dea r ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n so ft h e o r e m s bi ni 1 1 a n d 【1 2 1 ，f o rt h ec o m p l e t e n e s s ，w ew i l ta l s og i v es e l f - c o n t a i n e dp r o o f , i nd e t a i l s k e yw o r d sp o s i t i v ec n r v a t u r e ，f u n d a m e n t a lg r o u p ，i s o m e t r i ct o r u s - a c t i o n 2 0 0 7 年首都师范大学硕士论文 首都师范大学学位论文原创性声明 2 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经 发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明，本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位做作者签名彦懋 日期：0 7 年荫，z 日 ， 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用 于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容 编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文 在解密后适用本规定。 学位论文储签名5 石匙 日期；0 7 年f 月细 2 0 0 7 年首都师范大学硕士论文 c h a p t e r0 i n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t 日，w ew i l li n t r o d u c e8 0 l l en o t i o n sa n db 8 8 i cp r o p e r t i e sw h i 出a r eu s e di n t h i 8t h e s i s w ea l s os t a t et h em a i nr e s u l t 8w h i c hw i l lb ep r o v e di nt h ef 0 1 1 0 w i n gc h a p t e r s t h es t u d yo fm a n i f o l d so fp o s i t i v es e c t i o n a lc u y v 址t t t - eh a sal o n gh i s t o r ya n dp r o d u c e s m a n y b e a u t i f u lr e s u l t st h a tv i eh a v el e a r n tf r o mt h ec l a s s i c a lr i e m a n n i a ng e o m e t r y r e c a l lt h a tw h e nt h es e c t i o n a lc u r v a t u r ei sp o s i t i v e ，t h eg e o d e s i c sf r o maf i x e dp o i n tp s p r e a da p a r tl e s st h a nt h er a y ss tt p m f o re x a m p l e ，o nau n i ts p h e r ea n yt w o g e o d e s i c sf r o m ap o i n tm e e ts tt h ea n t i p o d a lp o i n t t h i sp r o v i d ma ni n t u i t i o nf o rt h ef o l l o w i n gt h e o r e m i n d e e d ，b yt h et e c h n i q u eo fs e c o n dv a r i a t i o nf o r m u l a , mmu g er i o c ic u r v a t u r ec o n d i t i o n i n s t e a do fs e c t i o n a lc u l w s t t t r e t h e o r e m0 1 ( b o n n e t - m y e r s ) l e tm nb eac o m p l e t em a n i f o l do f r i c c ic u r v a t u r er 妃m m i ) 5 o t h e nt h ed i a m e t e r o j i sa tm o s t 急i np a r t i c u l a r , t h ef u n d a m e n t a lg r o u p 取l m ) i sf i n i t e n o t et h a tt h ec o n c l u s i o nt h a tf l ( ) i 8f i n i t e ，b e c a u s et h eu n i v e r s a lc o v e r i n gs p a c e 面 o fm e q u i p p e dw i t hp u l lb a c km e t r i cs a t i s f i e st h es a m ec u r v a t u r ec o n d i t i o n 8 0 面j 8a l s o c o m p a c ta n dt h u sl r l ( m ) i sf i n i t e t h ei n v e r s ep r o b l e mt ot h e o r e m0 1i s ：c a ne v e r yf i n i t eg r o u ph et h ef u n d a m e n t a l g r o u p o fs o m ep o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e m a n i f o l d ? t h ef o l l o w i n gr c s u l tg i v e sap o s i t i v ea n s w e r t h e o r e ma g i v e na n yf i n i t eg r o u pr ，t h e r e 妇dc l o s e dm a n i f o l dm o ，p o s i t i v er i c c ic u r v a t u r es u c h t h a t r l ( 肘) 岂r r e m a r k0 2 f r o mt h e o r e ma i ti sn a t u r a lt oa s ki fe v e r yf i n i t eg r o u pc a nb er e a l i z e da st h ef u n - d a m e n t a lg r o u po fs o m ec l o s e dm a n i f o l do fp o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r e ? f r o mt h es y n g e t h e o r e m t h e o r e mo 4 ) ，w ec ms e et h a tt h ea n s w e ri sp o s i t i v ei ne v e nd i m e n s i o n a n d 2 0 0 7 年首都师范大学硕士论文 2 t ；l a i sp r o b l e m 缸s t i l lw i l d l yo p e ni no d dd h n e n 司油s t b ek n o w l e d g ei nt h er e s e a r c ho fp o b i t i v e l yc u r v e dm a n i f o l di ss t i l ll i m i t e d k a r s t e n g r o v ep r o p o di n1 9 9 1t oi n v e s t i g a t et h ec i a 鹧o fp 0 6 i t i v e l yc u r v e dm a n i f o l dw h o s ei s o m e t r y g r o u l a l a r g e o n eo ft h em e a s u r e m e n tf o rt h e 。1 8 r g 。i 8t h es y m m e t r yl - a n ki e ， t h ef b i i io ft h ei s o m e t ；r yg r o u p c l e a r l yml u r e8s y m m e t a yr a n k ki fa n do n l yi fma d m i t , 8 a i s o m e t r i c 一- a e t i o n i nt h el a t e rd l a p t , e ao ft h i st h e s i s ，w ew i l le o u s i d a rt h et l 。, a e t i o no n8c 1 0 6 1 丑l x b i t i v e l y c u r v e dm a n i f o l da n dp r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m1 3 l e t 肘b ede d o s e dm a n i l o ho lp o s i t i v es e c t i o n a lc u r , v a t t j r eo nw h i c hdt o m sp ( 七21 ) a c t 8i s o m e t r i c a l l l l 可i 8 i s o m e t r y0 7 1 肘c o m m u t i n g 椭魄t h e 矿a c t i o n , t h e n 毋p r c s e r o e 8 棚怫c2 啮d r 6 血m 憾曲i soc i r c l e , h 【1 2 r o n gp r o v e dt h et h e o r e mbi no d dd i m e n , s i o nc a a n dh ea s s e r t e dt h a ti n e md i m e n s i o nc t h et h e o r e ms t i l lh o l d w ew i l lg i v et h ed e t a i l so ft h ep r o o fi nb o t h o ft h ec a l a t , e r t h e o r e mbb u i l d sab r i d g eb e t w e e nt h ep 诎陆a n dt h em a n i f o l d 8 f u n d a m e n t a lg r o u p f o ri n s t a n e e ，u s i n gt h i sr e s u l t ，w ec a l lp r o v et h ef o l l o w i n gt h r e et h e o r e m s ( a l s op r o v e db yr o n gi n 【1 1 】a n d 【1 2 ) t od e s c r i b et h ef u n d a m e n t a lg r o t t p 6o fm a n i f o l d st r a d e r f l o r n e t u l ea n ds y m m e t r yg r o u p e2 ”- a c t i o ne o n d i t i o u s t h e o r e mc l e tmb e 口c l o s e dn - m a n i f o l do l p o s i t i s e c t i o n a le “, r v a t u r eo i ln l h i c ht i , a c t si s o m e t r i - e a l l ! 1 i it h e r ei s7 1 0 f i n i t ei s o t r o p l l9 r o u p ，t h e n _ ，r l ( m ) 妇c l l c l i e t h e o r e md l e tmb edc l o s e dn m a n i f o l do l p o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r eo nw h i c h a c t si s o m e t r i - 叫b 可女号1 ，t h e n 丌l ( 肘) sc l l c l i e t h e o r e me l e tmb edd o s e dn - m a n o k d ，p o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r ew h i c ha d m i t s mi s o m e t r i ct 1a c t i o n 1 il r l ( m ) h a s 口n i l p o t e n ts u l 3 r o n po li n d e x ，t h e ni th a sdn o r m a l 型! 堇查堑垄墨堂塑堡耋 一 3 c 们s n b g r o u pz ko ，讯d 凹a tm o s t u ( ，n ) ，4c o n s t a n td e p e n d i n 9o n l yo naa n d 仉 t h e o r e m sca n dda r et h em a i nr m t l t si n 【1 2 】t h l l e l l lei ai nf i l e tac o r o l l a r yo fa t h e o r e mi nm ( 哪t h e o r e mo 2 1 ) w em s f r o mt h e o r e met h a tt h ef u n d a m e n t a lg r o u p i sn o tf a rw 帮f r o m c y c l i cg r o u pw h e nm o n l yh a v et 1 a 吐j o n0 1 1t h el m i t i v ee u r v a t t t r e m a n i f o l da n dt h ef u n d a m e n t a lg r o u ph a sbb o u n d e dn i l p o t e n ts u b g r o u p a sar e s e a r c hl e p o l t ， w ew i l l 幽p r e s e n tt h ep r o o fo ft h e s et h r e et h e o r e m s w ew i l lg ob a c kt or e c a l lt w of a m o u l bt h e o r e m si nr i e m a m a i a ng e o l l l e t ! y ，w h i c ha r eu s e d i nt l a e9 r o q ：f fdt h e o r e mb l e m m a0 3 ( w e i n s t e l n ) l e tmb edc l o s e do r i e n t a b l en - m a n i f o l do l p o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r e f o 3 巧体缸e s o e 1 , t h e na n yo r i e n t a t i o nl r r e s e r v i n 9i s o m e t r yi t 删d 角删p o i n t o 3 g ) 封ni so d d , t h e n 黼暂o r i e n t 地i o n 他v e r s i n oi s o m e t r yh a snl b 耐p o i n t t h e o r e m0 4 ( s y n g e ) l e t 埘b edc l o s e dn - m a n i f o l do lp o s i t i v es e c t i o n a lc l m 曲他 ( 0 4 可竹i s 嗍t h e nm i ss i m p 函c o n n e c t e do rn o to v i e n t a b l e i np a r t i c u l a r , 丌1 ( m ) 垒1 o r 历 ( o ，4 ，2 ) i | n 妇o d d , t h e nm i so r i e n t a b l e l e m m a0 3a n dt h e o r e m0 4s h o wt h ed i 疗e r e n 懈b e t w e e ne 、恤a n do d dd i m e n s i o n e a s e 8 o fp o s i t i v es e c t i o n a le u r c o 1 ；t t r em a a i f o l d s s ow h o nw eg i v et h ep r o o fo ft h e o r e mbi n t h e e v d i m e n s i o nc a s e i tw i l lb eal i t t l ed i f f e r e n t ，b e c a u s ew en e e dt oc o n s i d e rw h e t h e rt h e m a n i f o l di so r i e n t a b l eo rn o t n e x t w i l li n t r o d u c ef l o l l l et e r m i n o l o g i e se o n e e r n i n gl i eg r o u p 6a n di s o m e t r i cg r o u p a c t i o n s w h i d lw i l lb el 蒯i nt h ep r o o f i nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s m o s to ft h er e s u l t si nt h e f o l l o w i n go f t h i se b a p t e rc a nb em a i n l yf o u n di n 【1 1 1a n d 【n 1 l e l l f l l l n a0 5 l e tgb edc o m p a c tl i e 矿 o u p l e tvd e n o t e 班el e v i - c i v i t ac o n n e c t i o no l 口b i - i n v a r i a n t 2 0 0 7 年首牟师范大学硕士论文4 m e t r i c ，) o ng f o ra n yl 哦i n v a r i a n t6 枷8x 。y , za n dw t h e | d l m l * n 9h o l d 似五j ，t h er i e m a n n i a n n ，d h ”t e n s o r , ( r ( x ，y ) z , w ) = ( i x ，y 1 ，【互w 1 ) 似五矽t h e s e c t i o n a lc t 啦酬x y ) = 愕评 n e x t ，w er e v i e w8 0 m ep r o p e r t i e sf r o mt r a a d o r m a t i o ng r o u pt h e o r y d e f i n i t i o n0 6 ( g - a c t i o n s ) l e tgb eal i eg r o u p ag - a c t i o no nam a n i f o l di s8s m o o t hm a p “：g x m - * ms u c h t h a tf o ra n yg l ，驰ga n dx e m ( 0 6 1 ) p ( 9 2 ，p ( g l ，z ) ) = p ( 9 2 g t ，甸 ( 0 6 2 ) p ( e ，。) = zw h e r eei st h ei d e n t i t ye l e m e n to fg am a n i f o l da d m i t t i n gag - a c t i o n 函c a l l e dd 仇伽f 砌f o re a c hg g ，b y ( 0 6 1 ) a n d ( 0 6 2 ) t h em a p ，蜥= p 缸) ：m m ，i sad i f f c o m o r p h i s m ag - a c t i o nj 8c l d l e de f f e c t i v e ，i f p g = i d mi m p l i e st h a tg = e l e t ，( g ) = be g ，= i d m t h e nj ( g ) i s8d o s e dn o r m a l s u b g r o u po fga n dt h el i eg r o u pa 1 ( a ) ，a c t se f f e c t i v e l yo nm h e n c e , w i t h o u tt h el o s so f g e n e t a l i t yw ec a l la l w a y sc o n s i d e ra ne f f e c t i v eg - a c t i o n as u b s e ta m ，i sc a l l e dg - i n v a r i a n t ，i fg ( 锄af o ra l lg g f o rz m ，t h e s m a l l e s tg - i n v a r i a n ts u b s e tc o n t a i n i n g 霉，g ( $ ) = 9 ( 善) ig g ，i sc a l l e dt h eg - o r b i ta t 霉 t h es u b g r o u p ，i = g ( z ) g9 ( z ) = = 。 j 8c a l l e dt h ei s o t r o p yg r o u pa tz 掣= g ( z ) ， t h e nq = 9 岛g l e ，a i lp o i n t si nag - o r b i th a v ec o n j u g a t ei s o t r o p yg r o u p s a no r b i tg ( z ) j 8c a l l e dp r m c 甸嘁i fg - o r b i t 8i s o t r o p yg r o u pi 8t r i v i a l w ec a l lt w op o i n t si nm a r ee q u i v a l e n t ，i ft h e ya r ei nt h es a j n eo r b i t t h es e to ft h e e q u i w l e n tc l a s s e si sc a l l e do r b i t 印峨d e n o t e db yx = m a t h et o p o l o g yo nx i sg i v e n b ya s s 删n g 驴cxo p e ni fp - 1 ( _ ) j sa no p e ns u b s e to fm t h eo r b rp r o j e c t i o nm a p ， m - + m i g ，i sac o n t i n u o u sm a p i fm = g ( z ) ，t h e nw es a yt h a tg a c t st m n s i t i e l po nm am a pb e ! t w c e nt w og - 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