（基础数学专业论文）cn中全纯函数组零点集的讨论.pdf

复旦大学硕士毕业论文 摘要 本文主要是研究多变量全纯函数组零点集在局部的表示。w e i e r s t r a s 8 预备 定理和w e i e r s t r a s s 除法定理为我们精全纯函数零点问题化为多项式零点问题提 供了方法，文中从这两个定理出发，得到了将全纯函数化为多项式的余式公式。 结合多项式的特征列理论，以及吴文俊提出的求解多项式方程组扩充特征列的 吴方法。我们给出了伊中全纯函数组特征列及扩充特征列的概念，以及如何从 一组全纯函数经过有限次的线性变换和运算得到扩充特征列，并在此基础上得 到了g n 中全纯函数组零点集的一个新的局部表示。文中最后对n = 2 的情形做 了具体的说明。 关键词：吴方法；特征列；扩充特征列；全纯函数；w e i e r s t r a s s 多项式。 复旦大学硕士毕业论文 a b s t r a c t 2 i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h el o c a lr e p r e s e n t a t i o nf o rz e r o sd e t e r m i n e db yas y s t e mo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n sb yt h ew e i e r s t r a s sp r e p a r et h e o r e ma n dt h ew e i e r s t r a s sd i v i s i o n t h e o r e m ，w ec a l lo b t a i nt h er e m a i n d e rf o r m u l aw h i c hc a nt r a n s f o r mt h ez e r o so fah o l o m o r p h i c f u n c t i o nt ot h ez e r o so fap o l y n o m i “u s e i n gt h et h e o r yo fc h a r a c t e r i s t i cs e r i e s f o rp o l y n o m i a l sa n dw um e t h o dw h i c hi su s e dt os o l v et h ee x t e n d e dc h a r a c t e r i s t i cs e to fas y s t e mo f p o l y n o m i a l s w eg i v et h ec o n c e p to ft h ec h a r a c t e r i s t i cs e t a n dt h ee x t e n d e dc h a r a c t e r i s t i cs e to f a s y s t e mo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si ng ”t h e nw ed e s c r i b eh o wt oc o m p u t et h ee x t e n d e dc h a r a c t e r i s t i cs e to fas y s t e mo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s ，a n dg i v ean e wl o c a lr e p r e s e n t a t i o nf o rz e r o s d e t e r m i n e db yas y s t e mo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s f i n a l l y lw e d i s c r i b et h ec a s eo fn = 2 i nd e t a i l k e y w o r d s ： w u m e t h o d ；c h a r a c t e r i s t i cs e t ；e x t e n d e d c h a r a c t e r t s t i cs e t ；h o l o m o r p h i c f u n c t i o n ； w e i e r s t r a s sp o l y n o m i a l 。 第一章引言 由于定义在。点一个邻域上的任何一个单变量全纯函数，都可以写成f ( z ) = ( z n ) 西( 。) ，其中西( z ) 是a 点一个邻域上恒不为零的全纯函数，k 为一个非负整数。因此非 平凡的单变量全纯函数的零点是孤立的，由此可知，单变量全纯函数的局部性质容易得出。 对于多变量的全纯函数，我们先看下面一个简单的例子 例1 0 1 对于一个两自变量的全纯函数f ( z 。，z 2 ) = z 1 。2 ，在零点的一个邻域内我们很容易知道： z e r o ( f ( z l ，z 2 ) ) = z l = 0 ，z 2 g ) mz 2 = 0 ，z l c ) 有上面的例子我们很容易知道，多变量的全纯函数的零点不再孤立，因此其局部性质 就变得非常的复杂。传统上都是从“理想”出发，利用抽象代数中局部环理论来进行这方面 的研究。 多项式的特征列概念的提出，特别是吴文俊提出的求多项式方程组扩充特征列的吴方 法，为我们研究零点集提供了一种新的途径。与传统的研究方法类似的是，我们都是利用 w e i e r s t r a s s 预备定理和w e i e r s t r a s s 除法定理，将全纯函数组化为伪多项式组进行讨论； 与传统的研究方法不同的是，我们在吴文俊关于多项式理论的基础上，提出了g ”中全纯 函数组扩充特征列的概念，并给出了如何从一组全纯函数经过有限次的线性变换和运算得 到扩充特征列，由此得出了g “中全纯函数组零点集的局部表示，为进行多变量全纯函数 局部性质的研究提供了一种瓶的方法。 本文第二章提供了一些预备知识，主要是多项式特征列理论以及吴文俊提出的关于求 多项式方程组扩充特征列的吴方法。第三章提出了e ”中全纯函数组扩充特征列的概念， 并给出了如何从一组全纯函数经过有限次的线性变换和运算得到扩充特征列。第四章利用 全纯函数组的特征列，得到了a “中全纯函数组零点集的一个新的局部表示；并对n = 2 的情形进行了具体的讨论。 4 第二章多项式组理论 本章我们主要给出有关多项式组特征列的知识，介绍了吴文俊关于代数方程组求解的 理论，为我们讨论全纯函数组特征列做准备 2 1多项式的零点及余式公式 记是特征为零的数域，k z ”。，】是耳上以z 。，z n 为变元的多顷式环。对 z 1 ，定义如下的半序：卸_ z 2 - 4 、 - z j 是，的有效变元( 即，k m ，勺 k l ，z j l 】) ，则： c l a s s ( f ) = j ；c d e g ( f ) = d e g ( ，) 定义2 1 2 ( 多项式的序) ，1 ，2 k k l ，z 。j 。称a 足若： c l a s s ( f 1 ) c l a s s ( f ：) ，或者 2 ，c l a s s ( f 1 ) = c l a s s ( f , 2 ) ，且c d 印( f 1 ) d 8 9 ( ，2 ) 注：若c l a s s ( f 1 ) = c l a s s ( f 2 ) ，且c d e g ( f 1 ) a 详= d 叼( ，2 ) ，则称f l 一，2 对多项式f 耳【z l ，】，若c l a s s ( f ) = j ，c d e g ( f ) = d ，则厂可以写成 ，= 如( z 。，勺一) 巧+ 厶- z ，一z 3 - ) 孝一1 + + 如( 2 ：，勺一，) ( 2 1 ) 其中 ( z ，一1 ) k ，勺一1 】( 2 = 0 ，1 ，d ) 5 复旦大学硕士毕业论文 定义2 1 3 ( 多项式的初式) 给定多项式，k z l ，z 。】，若c l a z s ( y ) = j ，c d e g ( y ) = d ，则f 的初式定义为 方程2 中出现的i d ( z l ，刁一1 ) ，记为： ，n ( ，) = 厶( ，白一1 ) 6 对于多项式方程组f s = ，记z e r o ( f s ) 为f s 的全体零点。记g s = 是另一组给定的多项式，z e r o ( f s ) 中的零点使每一个g j ，j = 1 ，2 ，r 都 不为零者，其全体记为z e r o ( f s g s ) 。 命题2 1 1 ( 伪除法) 记，g k z l ，- - ，z n ，c l a s s ( f ) = j ，1 j ： h ( ，) o g = q ，+ r( 22 ) 其中d e g ( r ) 1 ，0 c l a s s ( y 1 _ ) c t a s s ( i a ) c t a s s ( i ，) sn ，且五对厶( 1sjsi ) 是 约化的 注1 ：由升列的定义可以知道，数域k 中的任一非零常数构成一类特殊的升列，称其为矛 盾升列。稍微广泛些，如果把多项式f k z t ，南- 1 ) 御，z 。 视为在环k ( z 一，z r - - 1 ) k 中的多项式，则k ( 轧一，z r - 1 ) 中的任一非零多项式亦可称为矛盾的升列。 注2 ：升列f s 中至多由n 个元素。定义f s = k z 1 ，z 。1 的维数 为几一r ，记为d i m ( f s l = n r 。 由升列的定义可以知道对于升列f s 都对应于一个n + 1 维的向量，定义一个映射： t y p e ：一族升列( uo 。) ”+ 1 复旦大学硕士毕业论文 其中0 ( 3 定义为一个比任何整数都大的数。v0 i 墨n ，向量的第i 个元素定义如下： 丁p e ( f s ) 【z 】： g d e 9 ( 9 ) ，3 9 f s , 5 “。 。 。e 。8 3 ( 9 ) 2 。 l 。， o t h e r w i s e 命题2 1 2 ( 余式公式) 给定一升列f s = k z 1 ，- 一， ，考虑任一多项式g k z l ， ， 对升列f s 求余。可以得到一列多项式g o ，g l ，一，g , - = g ，使得v 1 冬i r ，jq ： k z ，z 。 ，jq 。n 使得下面的公式成立： 礼( ， ) “肌= 区 + 肌一1 7 其中a ：是上式满足的最小的值，g i l 关于五是约化的，这样保证了上述一列多项式的唯 一性，而且g 。一l 关于 ， + l ，r 是约化的综合上面的式子我们可以得到下面的余式 公式： r ，礼( ) “s n ( d 一1 ) 。r - ，n ( ) “g = q i a + 9 0 ( 23 ) i = 1 公式2 3 称为多项式9 对升列f s 求余的余式公式，其中的g o 称为多项式g 对升列 f s 的余式，记为r e m ( g ，f s ) 。余式舶是唯一的，而且关于 ，厶，r 是约化的。因此 我们称多项式g 关于升列f s 是约化的，如果g = r e m ( g ，f s ) 对于升列f s ，记： m ( f s ) = g k z l ， ：r e m ( g ，f s ) = 0 ) 从余式公式可以看出把余式g o 加入多项式组 9 ， ，2 ， ) ，其零点没有变化，即 z e r o ( g ， ，2 ，r ) = z e r o ( g ， ，厶，一， ，卯) 另一方面还可以看出，如果可以判定各个初式不能为零，则在条件i n ( i x ) 0 ，t n ( f , ) o 之下，从 = ，2 一= 0 和g o = 0 可以推出g = 0 ，此时有： z e r o ( g ，f 。，一， ) n ( ) ，一，n ( 矗) ) ) = z e r o ( g o ，- ，一，矗 ，n ( ，) ，n ( 矗) ) ) 即在各个初式不为零的前提下，可以在多项式中以卯替换g ，而保持零点不变。这一简单 而重要的事实，在吴方法求解多项式方程组扩充特征列中要多次用到。 复旦大学硕士毕业论文 2 2 多项式组的特征列 定义2 2 1 ( 升列的序) 给定两个升列f s = ，g s = 。称f s 一 g s ，若 下面的两个条件之一满足： 存在一个指标ism i n r ，s ) ，使得 v1sj s 且v 1 j 曼s ，j g j 注1 ：如果r = s 且v1 j s ， f s g s 矗一卯，则称f s 与g s 有相同的秩，记为 注2 ：由于。f s _ g s 当且仅当t y p e ( f s ) 0 ，使得： 岛i ， v i = 1 ，- - ，r ， r e m ( j ，9 = 0 ， v j = 1 ，一，8 注1 ：与特征列不同。g = ( 1 ) 可以推出= ( f ) = ( 1 ) ；但反之则不成立。例如： f = ( 一十2 x + 1 ，x y 2 + y 2 + z ) q ky 】，容易知道f 是( f ) 的一个扩充特征列。但是由 1 = ( y 4 + 2 y 2 + 1 ) ( z 2 + 2 x + 1 ) 一( x y 2 + y 2 + 。+ 2 ) ( z y 2 + y 2 + 。) ( f ) 可以知道( f ) = ( 1 ) 。因此反之不成立。 注2 ：特征列一定是扩充特征列，但扩充特征列则不一定是特征列。 对一个多项式组，定义e j = n k z l ， 。记b s 是从每一个，( 如果非空) 中取出关于z j 次数最低的多项式组成的e 的一个子集如果b s 是一个升列，则称b s 是 的一个基列。显然，如果r e m ( p b s ) = 0 ，v p ，则b s 就是e 的一个扩充特征列。 吴方法就是利用上述思想，从一组多项式方程出发，按一机械化算法，经过有限步运 算，找到该多项式方程组的扩充特征列，并在此基础上给出了多项式方程组的零点集的表 示。在将此方法推广到全纯函数组的过程中，主要用到如下三个命题。( 证明见f 2 ) 命题2 3 1 ( 吴文俊) 对于给定的多项式组p s = p 1 ，p m ) ，r ( z 1 ，一，z 。) k z l ，钿】i = 1 ，7 n 。 存在一机械化算法，经过有限步运算之后，我们可以得到另外一个多项式组e ，使得有 一个基列c s ，或者是的扩充特征列，或者是一个矛盾列，并且 p s c ，z e r o ( p s ) = z e r o ( 2 ) 则如果c s 是非矛盾，1 l ，g s 是p s 扩充特征列， 得到矛盾的基列意味着z e r o ( p s ) 是空集。通常情况下，p s 的扩充特征列c s 有如 复旦大学硕士毕业论文 下的一般形式 ，之r ，2 r + 1 ， ，z r ) z r + 1 ， ，z 。) z n 一1 ) ( 2 4 ) lc l ( z i ，。，珥，2 叶1 ) 命题2 3 2 ( 吴文俊) 设p s = 尸1 ，p 2 ，一，p m 的扩充特征列c s = c i ，一，g ) 。记厶为q 的初式 i = i i 厶厶，则 z e r o ( p s i ) = z e r o ( c s i ) ，z e r o ( p s ) = z e r o ( c $ i ) uz e r o ( p s ，) l ( ) 从这个命题可以看出多项式组的零点集与其扩充特征列零点集之间的密切关系。实际 上，多项式组的零点集完全由其扩充特征列( 包括扩充特征列中各多项式的初式) 的零点 集所确定。 对于多项式组 p s ，j ) ，我们有可以得到其扩充特征列，有上面的命题2 32 ，可以建 立多项式组 p s ，) 零点集的结构。如此反复进行下去，得到多项式组零点集的分解定理。 命题2 3 3 ( 吴文俊) 设p s = p 1 ，p 2 ，p m ) ，c s l ，c s i 是一系列扩充特征列乃 是扩充特征列c & 中个多项式的初式的乘积p s 的零点集可完全分解为这一系列扩充特 征列的零点集之并，即为： z e r o ( p s ) = z e r o ( c s l a ) u - uz e r o ( c s j l , ) 注：命题2 3 2 和命题2 3 3 给出了多项式组零点集的构造性描述。由命题中的式子 都是等式可知，应用一系列扩充特征列的零点完全刻画了多项式组的零点，理论上保证了 多项式组零点集的完整分解。 p q q 第三章全纯函数组的特征列 本章首先给出了将全纯函数化为多项式的余式公式；第二节从理想的角度讨论全纯函 数组的特征列；最后一节从一组全出函数组出发，利用吴方法，给出了全纯函数组扩充特 征列的概念和求法。 约定：不加说明的情形下，原点是文中出现的全纯函数的一个零点。 。= ( z 一，z 。) 我们记 3 1全纯函数的零点及余式公式 o = ( o ，一，o ) ，是定义在。一个邻域上的全纯函数，称，在。关于是正则的，如果f ( o ) = 0 ， 且f ( 6 ，z n ) 作为的函数在原点的一个邻域上不恒等于零如果，关于是正则的，则 存在一个非负整数忌和一个全纯函数咖( ) ，( o ) 0 使得f ( o ，z n ) = z ：( 磊) 称为_ 厂关 于的正则度。 注1 ：如果，在原点的一个邻域内不恒等于零，则若，关于不是正则的，我们可 以做一个简单的缭| 生变换，使得，关于是正则的。即任何一个非平凡的全纯函数，在 做一个线性变换的情况下都可以做到关于正则。 注2 ：如果 ，厶是在原点一个邻域上不恒等于零的一组全纯函数，则在适当的 坐标变换下，可以使得，1 1 一，厶在原点关于都是正则的 定义3 1 1 ( w e i e r s t r a s s 多项式) 在原点一个邻域上的关于的多项式 p ( z ) = 2 ：+ a k - 1 ( 二) z ：一1 + + o o ( j ) 称为w e i e r s t r a s s 多项式，如果( j ) 是o 一个邻域上的全纯函数且8 ( o ) = o 。 命题3 1 1 ( w e i e r s t r a s s 预备定理) 如果，是关于在原点阶正则的全纯函数，则存在唯一的关于的k 阶w e i e ，s t r o , s s 多项式妒使得f = h p 其中h ( o ) 0 。 1 1 复旦大学硕士毕业论文 由w e i e r s t r a s s 预备定理，我们可以将一个全纯函数在原点一个邻域内的零点用一个 w e i e r s t r a s s 多项式的在该邻域内零点来描述。这为我们在局部将全纯函数化为多项式提供 了理论基础，是的我们有可能用多项式的理论来研究全纯函数组的零点集的结构。 命题3 1 2 ( w e i e r s t r a s s 除法定理) 如果p 是一个关于的阶w e i e r s t r a s s 多项式，则在原点一个邻域上的任何一个 全纯函数都可以唯一的写成 f = h p + r 其中h 原点一个邻域上的全纯函数；r 是一个关于的多项式，且次数 ，系数是在 0 的一个邻域上关于j 的全纯函数。 由w e i e r s t r a s s 除法定理，我们可以知道在原点的一个邻域上： z e r o ( f ，l ，) = z e r o ( a ，r ) 1 2 上面两个命题的具体证明见【3 或 4 。 记哆为在原点一个邻域上关于z l ，的全纯函数环，马 z j + 1 ，训是关于 z ，_ 一一，卸的多项式，其系数是在原点一个邻域关于z ，g ，的全纯函数。显然我们有： 。j z j - k l ，。 c 岛b 十1 ，动+ i j f n 如果全纯函数，o j z j + 1 ) i 一，1 ，则称，为伪多项式。 给定h s = h i ，- ， ( n - r c 研b 1 1 ， _ 如果对每一个k ，h k q 磊+ 1 ，z r t - k + i 都是关于z 。一t + 1 的w e i e r s t r a s s 多项式，则称h s 是一个三角化的w e i e r s t r a s s 多项式列。 记h s = h i ， ( 。一，) ) 是给定的一个三角化w e i e r s t r a s s 多项式列考虑任何一个 全纯函数f ( z ) 对h s 求余。首先f ( z ) 对h l 求余，由w e i e r s t r a s s 除法定理可知：，= q 。h 1 + r 1 ，其中q l 是一个全纯函数，蜀是一个关于的多项式，系数是关于( 。一，z 。一) 的全纯函数，并且d e g 。r 1 d e g 。h i 。接着，r 1 对九2 求余得到余式r 2 依次下去， 凰对+ 。求余得到余式r k + ，具体计算过程可写为： ，( g l ，一，) = q l ( z ) h l ( z 1 ，t 一，4 ) k + l ，- 一， + r 1 ( 。1 ，- ，一1 ) z 。 f g l ( 卸，r ，z n 一1 ) = q 2 ( z ) h 2 ( z l ，一，z r ) 协+ l ，- 一，一1 + r 2 ( z l ，一，z n - - 2 ) z n - l ， 复旦大学硕士毕业论文 r 。一，一l ( z l ，- ，z r + 1 ) z t + 2 ，一，z 。】= q t t - - t ( z ) ? l - - rz l ，- 一，4 ) 珥+ 1 + p ( z l ，- ，并) z t + 1 ， 然后从最后一个式子倒推回去，我们可以得到： ，= q l h i + t + q 。一，危。一，+ p 其中p q k + 1 ，】称为全纯函数，对h s 求余的余式，记为r e m ( f h s ) 。很容易 看出 z e r o j ，h s ) = z e r o ( 尸，h s ) 上面的等式意味着在研究零点集的时候，可以用 p ) h s 代替( ，h s 。显然 p ) h s 的零点集比 ，h s 的零点集容易研究 3 2全纯函数组的特征列 1 3 f s = f l ，止， ) k z l ，2 。】是有限个非空的全纯函数组，i = ( f s ) c0 。是 由f s 生成的理想。 定义3 2 1 ( k p r o p e r 基) z 一，z 。是g “中的一组坐标，如果有一个整数0 k t i , 满足： i ，0 n = 0 ； 2 。j l z j ni 包含一个关于z j 的w e i e r s t r a s s 多项式，其中j = r + 1 ，礼。 就称这组基是关于j 的k p r o p e r 基。 下面的命题说明了对于瓯中的任意理想，我们都可以找到一组k p r o p e 7 基。( 证 明见( 4 】) 命题3 2 1 对于任意的理想ic0 。，都可以找到俨中的一组基是关于，的k p r o p e r 基。 定义3 2 2 ( z i m a g e ) 对给定一对理想ic0 。称理想，c0 ，k + l ，一，z 。 ( o r n ) 为，的一个 z i m a g e ，如果在相差一个线性变换下有z e r o ( ) = z e r o ( i ) 。 记为的所有z i m a g e 所组成的集合。 复旦大学硕士毕业论文 1 4 定义3 2 3 ( w 一基列) h sc0 ， 为+ 1 ， ， 是一个三角化的w e i e r s t r a s 8 多项式如果在相差一个线性变 换下有z e r o ( i ) cz e r o ( i - i s ) ，则称h s 是的一个w 一基列。称r 为h s 的秩，记为 秩( 日s ) 引理3 2 。1 对给定一对理想ico 。h sc 略 斗+ 1 ，一，】( o r n ) 是，的一个一基 列，j 中的每一个全纯函数 ，i = 1 ，n 对丑s 求余，所得的非零余式全体记为r s 。 记i = ( h s ，r s ) 是由( h s ，r s ) 生成的理想，则，为，的一个z i m a g e 。 证明：由前面的余式公式可知道，z e r o ( i ，h s ) = z e r o ( r s ，h s ) = z e r o ( i ) 。 h s 是，的一个w 一基列，有z e r o ( i ) cz e r o ( h s ) ，可以推出z e r o ( i ) cz e r o ( h s ，) ； 反过来显然有z e r o ( i ，t t s ) cz e r o ( f s ) 。因此有z e r o ( i ，h s ) = z e r o ( i ) ，即z e r o ( i ) = z e r o ( r s ，h s ) = z e r o ( i ) 。 另一方面，显然有i c0 ，k + 1 ，】( 0 r n ) 所以，为，的一个z i m a g e 。 口 利用多项式特征列的概念，我们可以给出全纯函数组特征列的概念。 定义3 2 4 ( 特征列) 对给定一对理想i c0 。取定它的一组k p r o p e r 基，可以找到的一组w 一基 列h s ，对应的i 的z i m a g e 为i c0 k 【z b + l ，z 。1 。称，的特征列为，的特征列。 注：易知道的扩充特征列即为特征列。因为如果找到矛盾基列就与取得基是k p 7 o p e 7 基矛盾。 本节讨论的特征列我们只讨论了存在性；下节我们将类似于吴方法，从一组全纯函数 出发，讨论全纯函数组的扩充特征列。 3 3 全纯函数组的扩充特征列 类似于理想的情形，对于全纯函数组也给出如下的定义。 给定一全纯函数组f s = ，厶) 。称伪多项式组p s c o r z ，+ h 。， ( o r 礼) 为p s 的一个z - i m a g e ，如果p s 满足在相差一个线性变换下z e r o ( p s ) = z e r o ( f s ) 。 记为f s 的所有z i m a g e 所组成的集合。 复旦大学硕士毕业论文 h s c 。r k _ l ，z 。 是一个三角化的w e i e r s t r a s s 多项式如果在相差一个线性变换 下z e r o ( f s ) cz e r o ( h s ) ，则称h s 是f s 的一个w 一基列。称r 为h s 的秩，记为秩 ( h s ) 同样我们也可以给出类似的引理。 引理3 3 1 f s = ，l ，- 一，m ) 是一给定的全纯函数组。h sc 臼， z 1 ，z d ( o 0 。我们得到了日& 一，= h i ，h 2 ，k 一，) 是 f s 的w 一基列，p r 一，是所对应的f s 的一个z i m a g e ，并且尸岛一，有扩充特征列 h g 记p s = p 晶一，h c = h g h s = 日& 一，定理得证。 b ) 经过n 步后终止。我们得到凰= l ，h 2 ，k ) 是一个三角化的w e i e r s t r a s s 多项式列，其中h j k z l ，。j + 1 1 是关于一，+ l 的w e i e r s t r a s s 多项式，并且有 z e r o ( f s ) cz e r o ( h & ) 容易知道0 是日晶的孤立零点另一方面0 z e r o ( f s ) ，所 以有z e r o ( f s ) = z e r o ( h s ) 。即。是f s 的孤立零点。 口 注：由日5cp s 是一个三角化的w e i e r s t r a s s 多项式列，因此 p s = 矗，f ，日s ) = “ 。一，+ 。，矗一，+ 1 ，矗j “一- 件t + 。l ”, ，；( 。，矗，月1 ) ；( ，：， ，f 1 ) ) 厶既k 扎，麓1 g 【z 外h ，z l 。得到的扩充特征列h c = g l ，g r + 1 ) 有如 下的形式： ，z r ) z r + 1 ， ，z r ) 讳+ 1 ) ，z 。一l 】 ( 31 ) 这是因为由吴方法求解多项式组的扩充特征列，由上述p s 的组成我们可“知道，我们每 扛 e g 复旦大学硕士毕业论文 次取得基列都有如3 ，1 的形式因此最后得到的扩充特征列，即非矛盾的基列也一定有如 3 1 的形式。 定义3 3 1 ( 扩充特征列) 给定一全纯函数组f s = ，一，m ) 。升列h cc0 ，z r + l ，- 一， 称为f s 的扩充 特征列，如果存在p sc 0 ，【z r + 1 ，j 是f s 的一个z i m a g e ，而且h c 满足下面两 个条件： r e m ( h h c ) = 0 ，v h p s ； 2 z e r o ( p s ) cz e r o ( h c ) 从定理33 1 我们可以容易得到下面的结果。 定理3 3 2 f s = ，一，) 是一给定的全纯函数组，0 是其一个公共的零点，则： j 0 是f s 的孤立的零点； 2 经过有限次的线性变换和有限次的运算，我们可以找到一个升列日gco ， 坼+ l ，一，： 是f s 的扩充特征列。 1 7 第四章中全纯函数组的零点集 在这一章中，我们利用上一章给出的( 扩充) 特征列，得到e “中全纯函数组的零点集 的一个局部表示；并重点讨论了n = 2 的情形。 4 1零点集的局部表示 在原点的一个邻域上给定一组全纯函数f s = ，t ( z ) ，m ( z ) ) ，0 是其一个公共的 零点。由定理3 3 2 ，我们可以不妨设h c = c 。，g - r + l 是f s 的扩充特征列， p s 是对应的f s 的z i m a g e 。乃是0 的初式，记i = 如t - 丘。我们可以不妨设 j ( o ) = o ；否则可以找到原点的一个邻域u ，使得z ( z ) 0 ，v z u 。从命题2 32 和 z e r o ( f s ) = z e r o ( p s ) ，我们可以得到下面的定理。 定理4 1 1 f s 是原点一个邻域上的全纯函数组，0 不是f s 的孤立零点。h c 是f s 的 扩充特征列，p s 是所对应的f s 的z i m a g e ，则： z e r o ( f s ：) = z e r o ( p s t ) = z e r o ( h c i ) z e r o ( f s ) = z e r o ( p s ) = z e r o ( h c i ) uz e r o ( p s ，r ) 记日研是p s 的扩充特征列，巧是h c j 中每个多项式初式的乘积。由p sc 研k + h 一，z 。 ，我们知道h c ic0 ，b + l l ，】，这也说明巧。r 【z r + ，磊 ，由 命题2 3 。3 ，我们可以得到 z e r o ( f s ) = z e r o ( h c t ) u r uz e r d ( 日g q ) uz e r v ( p s ，j ：，写) h 口cp ，【并十h - ，】，舅0 ， 对 p s ，巧，町) ，有下面两种情形： 砭( o ) 0 ，则 z e r o ( f s ) = z e r o ( h c q ) t 3 uz e r o ( h 研) 坛( 0 ) = 0 ，我们找到了一个矛盾的基列。 8 复旦大学硕士毕业论文 取f s = p s ，匕，e ) 。运用定理33 1 ，我们可以得到一个三角化的w e i e r s t r a s s 多项式列曰s k = t 九m h ，九，+ 1 ，h k ) ( k r e ) ，i = 1 ，b ，日qco i z i + 1 ，1 ，使得 z e r o ( f s ) = z e r o ( h c ；1 耳1 ) u uz e r o ( h c r ：暇) uz e r o ( h c i 2 华) u u z e r o ( h c i 2 七) u z e r o ( h c ：i s ；。) u uz e r o ( h 曜啦) u o ) 注如果嗽( o ) 0 ，则： z e r o ( f s ) = z e r o ( h c ：1 碍) u u z e r o ( h c 2 j r 2 ) u u z e r o ( h c 2 1 呢) u z 钟。嘤g 毪 3 u z e r o ( h c 。x ；) u uz e r o ( h c ：, ) 6 4 2 = 2 的情形 本节只考虑两个自变量的全纯函数组 记f s = ( z l ，z 2 ) ，2 ( z - ，z 2 ) ，厶( 钆z 2 ) ) 是( o ，o ) 的一个邻域上的全纯函数组。不 妨设f i ( z l ，z 2 ) 关于魂正则，由w e i e r s t r a s s 预备定理可知，我们可以找到一个关于z 2 的 k v e i e r s t r a s s 多项式h ( z 1 ) 【z 2 】，使得z e r o ( h ( z , ) z 2 ) = z e r o ( a ( z i ，z 2 ) ) 。记h s = h ( z l ，z 2 ) ) 是一个三角化的w e i e r s t r a s s 多项式列并且z e r o ( f s ) cz e r o ( h s ) ，则h s 是f s 一个 w 一基列，p s = p 1z 1 ) k ，风( z 1 ) k 】) 是所对应的f s 的一个z i m a g e 。在命题 2 3 1 用o l 代替k ，利用计算多项式特征列的吴方法，可以得到如下两种情况。 复旦大学硕士毕业论文 1 从p s 出发，经过有限次的运算，可以得到一个多项式 g ( z 1 ) z 2 = h ( z lz 5 + 五一1z 1 ) z 1 + - + s o ( z 1 ) 使得r e m ( p j ( z l ，z 2 ) ，c ( z l ，2 2 ) ) = 0 vj = 1 ，2 ，k 由于0 至多是五( = t ) 的孤立零点。因此在0 点的某个邻域内，除去0 外，可以得 到厶0 。由定理4 1 1 可知：z e r o ( p s ) = z e r o ( g ( z 1 ，动) ) 。又因为c ( o ，0 ) = 0 ，所 以在零点的某个邻域内我们都有z e r o ( p s ) = z e r o ( c ( z ，z 2 ) ) ； 2 从p s 出发，经过有限次的运算，我们得到了一个矛盾的基列，即得到了一个关于z - 的全纯函数s ( z 1 ) ，使得z e r o ( p s ) cz e r o ( h ( z l ，z 2 ) ，( z - ) ) 。由此可得( 0 ，o ) 是p s 的孤立零点 由上面的讨论，对于n = 2 有下面的定理。 定理4 2 1 f s = ( z l ，z