（基础数学专业论文）heisenberg群上一类非线性方程的vmo解.pdf

摘要 本文主要研究了h e i s e n b e r g 群皿“的一个有界开集q 内的齐次d i r i c h l e t 问题： i - d i v a ( x ，x u ) = p 在q 内， 1 u = 0在砌上。 其中“是- - r a d o n 测度，口：酽xr 2 n r 2 ”为满足一些强制性和单调性假设 的c a r a t h d o d o r y i 函数。通过标准光滑化，我们可将测度“转化为一c m 函数，从而 我们可以利用j l e r a y 和j l l i o n s 关于一类非线性单调算子的边值问题解的存在 性定理来证明该问题存在一个属于s o b o l e v 空间岛叮( q ) 的解，再运用能量不等式 和h e i s e n b e r g 群上的一些先验估计，我们证明了该问题存在一个局部b m o 的弱 解u 。进一步的，若“不包含原子，那么u 还是局部v m o 的。 关键词：h e i s e n b e r g 群，d i r i c h l e t ( 目题，v m o 解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h eh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tp r o b l e ma 8f o l l o w s 硝”警省三，篇 i na no p e nb o u n d e d8 e tqo ft h eh e i s e n b e r gg r o u pm ，w h e r e _ 【ii sar a d o n m e a s u r e a n dg ：皿nxr 2 ” r 纽i sac a r a t h d o d o r yf u n c t i o ns a t i s f y i n gs o m e c o e r c i v e n e s sa n dm o n o t o n i c i t ya s s u m p t i o n s w et r a n s f e rt h em e a s u r e “t oa 沪f u n c t i o nv i at h es t a n d a r dm o l l i f i c a t i o n 8 0t h a tw ec a n1 1 8 ej ，l e r a ya n d j l l i o n s se x i s t e n c et h e o r e mo ft h eb o u n d a r yp r o b l e mo fan o n , n e a rm o n o t o n i c o p e r a t o rt op r o v et h ee x i s t e n c eo fas o l u t i o nw h i c hb e l o n g st ot h es o b o l e vs p a c e 品4 ( q ) c o m b i n ga n dt h ee n e r g yi n e q u a l i t ya n ds o m ep r i o re s t i m a t e so nh i s e n - b e r gg r o u p s ，w ef i n a l l yp r o v et h a ts u c hap r o b l e ma d m i t sas o l u t i o n w h i c hi s l o c a l l yb m o i nq f u r t h e r m o r e ，t h es o l u t i o nt 正i sl o c m l yv m oi f “c o n t a i n sn o a t o m s k e y w o r d s ：h e i s e n b e r gg r o u p ，d i r i c h l e tp r o b l e m ，v m os o l u t i o n s 第一章引言 在本文中我们主要研究h e i s e n b e r g 群上一类散度型的非线性算子的齐 次d i r i c h l e t 问题： 小一三0 p 薹恐 ， 缸 = 在a q 上。 其中肛为一l d o n 测度，n 是h e i s e n b e r g 群中的一有界开集，x 乱表示水平梯度( 定 义见第二节) 。o ( z ，f ) ：qxr 印一r 2 “为一c 缸a t h 幻d o r y 函数，并且满足下列假 设： ( 强制性) ：对任意的r h ， m 有：d ( z ，f ) f o o 对几乎处处 的z q 均成立旧= 2 n + 2 是h e i s e n b e r g i 群的齐次维数) ，并且o ( 茁，0 ) = 0 。 2 ( 增长性) ：存在常数k20 ，使得对任意的f r 2 ”有i n ( z ，) i k ( 1 + 蚓口_ 1 ) 对几乎处处的z q 均成立。 3 ( 单调性) ：存在常数6 使得对几乎处处的卫n 和任意的 ，7 r 2 “均有： ( o ( z ，f ) 一n 扛，叩) ) 德一刁) 2j 悖一卵p 对于线性情形：n ( z ，f ) = f ，( 1 1 ) 中的算子就是h n q b k o h n l a p l a c e 算子 的实部。很多数学家已经研究了( 1 | 1 ) ( 右边为一可微函数) 的局部正则性理 论：f o l l a n d 矛f l s t e i n ，“利用基本解和奇异积分的理论证明了扩估计和l i p s c h i t z l 占 计；不借助于奇异积分理论，k o h n ( 【1 f j 】以及其中的参考文献) 利用能量不等式、 次椭圆估计以及分部积分得到了估计。 当a 为拟线性算子并且满足一致椭圆条件时，l u c ac a p o g n a 】利用k o h n 的 方法证明了边值问题( 1 1 1 的弱解的梯度的e o 正则性，并且将该结果推广到 t c a r n o t 群中】。 当a 为非线性算子，并且只满足如上的一些比较弱的条件时，我们现在还 无法证明解的g n 正则性。利用j 女；盏g 知j l ，l i o n s 1 中关于一类非线性单调算子 的边值问题解的存在性定理，我们证明了该d i r i c h l e t 问题的属于- s o b o l e v 空间的 解的存在性。运用能量不等式( c 嘈出o p p 0 1 i 估计) 和一些先验估计我们还得到解 第一章引言 2 的更好的性质，而不仅仅是属于s o b o l e v 空间。这便是本文的主要目的。另外 研究该类方程的正则性对于h e i s e n b e r g 群上的拟共形映射的研究有着重要的意 义，如果得到了解的正则性则能得到相应的拟共形映射的正则性。因此就能得 到拟共形映射的更多性质。比如l u c ac a p o g n a ( 】推论1 2 ) 证明了当a ( x ，f ) = 口_ 2 f ，( 1 1 ) 为齐次，并且存在一个正常数k 使得m _ 1 j x u l m 0 0 时， 弱解札是光滑的。利用这一结论，他得到t h e i s e n b e r g 群上的所有1 一拟共形映 射( 【1 ：j 】推论1 4 ) ，i l1 则将该结论推广到了c a r n o t 群。 我们的主要结论是下面这个定理： 定理1 1 若p 为一r o d o 墒4 度，o 满足上述假设，那么对任意的1 口 q ，边值 问题p 砂薛在一个解u 品4 ( q ) ，使得u 在q 中是局部删d 的若p 不包含原子， 那么t 匝是局部v m o 的 其e e s l , 。( q ) 是h e i s e n b e r 群中的s o b o l e v 空间( 具体定义见第二节) ，s 告9 ( q ) 为 空间胪9 ( q ) 中具有紧支集的c ”函数在s 鼍9 ( q ) 中的闭包。 在欧式空间的情形下，v i n c e n z of e r o n e 和n i c o l an l s c o 在【1 j 】中证明了相同 的结论，我们的结论是它的一个推广。由于h e i s e n b e r g 群的向量场具有左不 变性，欧式空间情形下的很多泛函的方法只需一些简单的变化就可以应用 至l j h e i s e n b e r g 群的情形下。 本文的结构如下： 第一部分介绍了h e i s e n b e r g 群的一些基本知识以及一些将要用到的定理和 不等式。 第二部分将j l e r a y 和j l l i o n s t 1 中关于一类非线性单调算子的边值问题解 的存在性定理推广到- j h e i s e n b e r g 群上：我们证明了对于一般的算子a ：u a ( ) ，当它是从岛。( q ) 到其对偶空间s 1 一( q ) 的有界算子，并且满足一些强制 性，单调性，连续性的条件时，( 1 1 ) 问题( 肛替换成s - 1 ( q ) 中的函数) 存在一个 属于岛9 ( q ) 的弱解。 第三部分我们考虑p 为一般的有界测度时的d i r i c h l e t 问题( 1 _ 1 ) ，利用第二 部分的结论，我们用s - 1 一( q ) n l l ( q ) 中的一函数列来逼近p ，从而证明了对任 意的1sq o ，u = ( z ，y ，t ) “ 左平移定义为： o = 删，u ， 酽 对m 中的任意一点p = ( z ，y ，) ，我们定义它的齐次模忆0 = ( ( 王2 + y 2 ) 2 + t 2 ) 1 4 ， 这个模是齐次的是说它在膨胀作用下是齐次的( 0 以刚= 口l l ，v 矗a ，p 皿“) 。由这个模导出的“中任意两点p ，v 2 _ 间的h e i 8 e n b e r g 距离为 d ( p ，) = 】| p 一1 我们用日( p ) 表示在该距离意义下”中以p 为球心，r 为半径的球。和欧式空间 不一样的是p 具有一齐次维数q = 2 n + 2 ，使得n 中半径为r 的球的体积等价 于r 0 。 2 2 关于h e i s e n b e r g 群的一些空间及定理 定义2 1 ( s o b o l e v 空间) 令q 为p 中的一开集，k n ，1 p o o ，定义s o b o l e v 空 间s 9 ( q ) 为： s 蛔( q ) = u l x 。牡妒( q ) ，i o i 埘， 1 p o o s o b o l e v 空间的范数定义为： l i 乱l i s - ，c n ，= ( j i 三“x 。u “。，) ； h k 记诺9 ( q ) 为s 如( q ) 中具有紧支集的c 。函数在伊，一( q ) 中的闭包，s 一2 一( q ) 为露( n ) 的 对偶空间。类似于欧式空间，我们有以下的s o b 0 1 e v 嵌入定理( h 或者h ) 和p o i n c a r 6 不 等式( 17 】或者h ) ： 定理2 1 ( s o b o l e v 嵌入定理) 令q 是皿叫，的一个有界区域，q = 加+ 2 为咿的齐 次维数，1 p ，q 0 ，使得 i m i l 。( n ) c l l u l l s k , p ( n ) 第二章预备知识 6 当口 0 ，使得下列不等式成立： ( l u 一 1 1 , b l 吲( q 刊出) o 呻) 秭s 阱( i x u l p d x ) 1 p j b ，j b ， 其中耳是q 中的球，让c 。( 耳) 是有界的，矗表示在球研上的积分平均，即： 厶m 肛南厶m 定义2 2 ( l i p s c h i t z 空间) 令q 为皿”中的一开集，记b ( q ) 为q 上有界连续函数全 体，定义q 的l i p 8 c h i t z 空间r 。( q ) ，0 a o 有铲一( q ) c 如一。( q ) 若，s 9 ( q ) ，且球玩( ) ( 。) ，玩扣，f ) ( y ) 都在q 内，o u o z h e nl u ( 【n 】定理1 1 ) 证 明了下面这个定理： 定理2 4 若，s p ( q ) ，且球玩( ) ( 。) ，玩( ) ( 可) 都在q 内，则对q 的所有紧子 集脯： 。，。s u 耳p ，。1 - ：! ：! ! ： ! i j ! 兰s i f x l l c ，( n ) ( 2 2 ) 其中p = k 一： 0 。 第三章解的存在性 在这一节中我们将【 】中关于散度型非线性算子弱解存在性的结果推广 到h e i s e n b e r g 群上。令v 为自反并且可分的b a n a c h 空间，例如r ，c v ，为其对偶 空间，记i i ( i i 为y ( ) 的模k t ，v ，记( ，口) 为它们的内积。先来 看【( 】中的定理1 ： 定理3 1 设 一a ( ) 为y 一的有界算子，并且在蹦所有有限维子空间上 在为弱连续x i 殳a 在如下意义下为强制的： j 牲眢一 ( 3 ，) 。 l 7 剧在以下假设一，二下，a 是映上的： 假设一：a 俐为单调的，即m ( a ( 缸) 一a ( 口) ，u 一 ) o ( u ，口y ) 假设二：存在y x y y 7 的有界算子：( ，口) 一a ( u ，v ) a t 得y u y 有a 似，u ) ： a ( u ) ，并且满足以下三个条件： 俐口“砂关于避续及单调少v u k 口+ 4 ( 凹，口) 是y y 弱连续的， & r e ( a ( u ，“) 一a o , ，口) ，“一口) 0 ，缸，口v 例口似，砂关于t 硅续，：设在肿弱收敛于u ，且( u 。，u n ) 一a ( ，让) ，一 缸) 一o ，月, l v v v a ( ， ) 在v 中弱收敛到a ( 札，口) f 缈似似砂，t 关于避续，放u n 在y 中弱收敛于u ，且a ( ， ) 在v 中弱收敛 到口：则 ( ， ) ，u 。) 一( 口7 ，让) 下面我们利用这个定理来证明一类散度型非线性方程解的存在性。 我们考虑v ：为s o b o l e v 空i e s l p ( q ) 的情形，其中q 为正n 中的有界开集，1 p 。由s o b o l e v 嵌入定理知道s 台9 ( q ) 紧嵌入到护( q ) 。 注2 对于一般的s o b o l e v 空间s “，( q ) ，我们可以简单证明它是个自反 的b a n a c h 空间。 第三章解的存在性8 给定整数n 1 ，记( n ，m ) 为满足i a i m 的多重指标q = ( a l ，q 。) 的个 数。对于1 p o 。，令 n l ；v ( 1 2 ) = 驴( q ) j = l 对j 【品中的元素u = ( u 1 ，u n ) 定义范数： 忆舯，= n p m a x l j _ n 彩p 1 三：0 00 = 显然碍( q ) 是一个b a n a c h 空间，并且当1 p o o 时可分，当1sp 时自反 而且是一致凸的。 假设n 个多重指标n 以某种方式顺次排列起来，因此对于每一个t s m ，9 ( q ) ，它可以与一个f a p u = ( x u ，x o t ，x 让) ，在上品( q ) 中有明确定 义的向量联系起来。因为j j p “0 瑶= 肛j j 卵，f n ) ，所以p 是矿”( n ) 到碥( q ) 的 一个子空间i 矿的等距同构。又因为p 。( q ) ，所以是上品( q ) 的闭子空间，因此 当1 p 时可分，当1 p m ，m 0 曲 x p町玛 h 硝 = 吣 x z “ ”成 第三章解的存在性1 0 为了证明该定理，我们需要下面这个引理( 该引理是m 中的引理3 2 ) ： 引理3 3 设9 ( z ) l q ( q ) ，序列鼽( z ) l q ( f 1 ) ，且f 1 鼽( z ) 1 1 l - ( n ) sc ，其中1 m 有：o ( z ，f 姥o 蚓对几乎处处的z q 均成立，并 且a ( x ，0 ) = 0 。 ( i i i ) 存在( q ) = p l ( p 一1 ) ) 中的一个函数6 ( z ) 和常数k 0 ，使得对任意 的f p 有l a ( x ，) i k ( b ( x ) + i 引r 1 ) 对几乎处处的o q 均成立。 ( i v ) 存在三个常数s ，7 ，k 和函数d 使得s 2 ，d 三1 ( q ) ，7 ( s 1 ) p 一 1 ) q c q 一1 ) ，k 0 ，并且对几乎处处的正q 和任意的，7 衅”均有 ( a ( x ，) 一o ，7 ) ) 幢一1 ) 2 ( 1 f l ( x ，q ) ) i 一叩i 。， 和0 p ( 。，叩) k ( 扩- 1 ) + 悖r + 蚓1 ) 成立。 满足这些假设的一个例子就是函数a ( x ，) = l 引”2 f ( p 如假设( i i ) d p j j b 样) ， 当p 2 时取8 = p ，1 = 0 ，当p 2 一i l q ，所以7 ( q ( q 一1 ) ) 0 1 ) 。相应的算子a u = - - a q u = 一d i v ( i x u l o 一2 x u l 。 函数u 称为问题( 4 1 ) 的弱解，如果它满足： u 锑1 ( q ) ，n ( ，x u ) l k ( q ) ， 并且怕c 吕。有：d ( 第，x u ) x v = ( ，口) ( 4 2 ) 边值问题( 4 1 ) 解的存在性的证明可以分为三步。我们首先证明当f s - 1 一( q ) 时存在唯一的弱解，然后对l “恬a ( n ) 进行估计，其中l 冬q ( q ( q 一 第四章 解的逼近 1 3 1 ) ) 一1 ) ，该估计只依赖于q ，o l ，i i i l l - ( n ) 。最后对于任意的函数，m ( q ) ， 取s 吐一( q ) 中收敛到，的一函数列( 厶) 来逼近。逼近的关键在于得到序列( x ) 的 几乎处处收敛性，其中“。是，= 厶时边值问题( 4 1 ) 的弱解。 该节的主要定理如下： 定理4 1 令函数n 满足假设倒一一叫，肘( q ) ，那么对所有的1 q 礼 一他 s n s t l , + 1 n s n - 4 - 1 一礼s 竹 一n 一1 s - - 7 i , s 一n 1 则在b n 上妒( ) 1 ，所以有 i x u l d x 曼c 1 ( 4 6 ) 对任意的g 0 ，利用离散型的h s l d e r 不等式得： 壹小卵q n = n o 。u ” = c 2 ) 枷嚏c 南。) “9 志r 。吖， 伽 伽 州 州 、) n ，_ 、 m 印 嗄厂k 。一。一 第四章解的逼近 1 5 再对( 4 5 ) 式( 凡取n o ) 运用h 6 l d e r 不等式可得： 厶。胁雌( 厶。( 胁n a ) ”i i 加- - q ) p ( 郴炉加l q i 加 综合这两个估计可得 上附= c k ，+ k ，恻4 妒训矿q * ( p - q ，加溪赤) 咖卅 其中c 3 = m i q i ，c 4 = c 叮9 i q i 廿一口) p 。 由s o b o l e v 嵌入定理( 2 1 ) 可知i m i l , - c a ) c l i x 让i i l 一( n ) ，所以 ：州。) c 。( n 驴圳训扩咖( 壹丽) 价) ( 4 8 ) 注意到2 1 q p sq ，对p 分两种情况讨论： 当p = q 时，矿0 一g ) p = g ，q 一q ) q = q 4 ，故( 4 8 ) 求和符号中的数 列收敛，那么选取适当的n o 使得i i u i i l 。( n ) c b ，根据( 4 7 ) 就有 l i x u i i l 。( n ) 0 7 引理得证。 当p q 时，因为1s 口 ( q ( q 一1 ) ) p 一1 ) ，所以矿妇一g ) p 1 ，故( 4 8 ) 求和符号中的数列收敛，对于l l u l l 帮- - q ) p ， 若l u l l 21 ，则l 一。加忆l ! t t ：x ( 4 8 ) 并取适当的珊可得u 0 ：矿c 8 ； 若i l u 0 s - - e s e 8 - - e 妒( “。一) ( o ( z ，x ) 一口( z ，x ) ) ( x 一x ) = ( 厶一厶) 妒( 让。一) j n j n h 1 1j 令i x = 扛q ：i u n 一1 m lse ，因为 1 1 l - ( o ) b ，由假设( i v ) 和( 4 1 1 ) 可推出 厶( 厶一厶) 妒( u n 一) 厶一厶) s 2 扭， 以及纵叫班岫砒肛一xum)jdt厶麦警若笛j d 。p 山，删n ，n “饥， f d i x u - x u m l 5 。s b ， 第四章解的逼近 利用h 6 l d e r 不等式司得 厶i x u ”一x u m i = f d i x u - x u m l i 万卢( z ，x ，x 。) 1 a ( 厶c 茄篆暑笔拇) v 8 ( 加“圳啪。 = ( 厶鬈蠹蒡高) v 5 ( 厶触挑挑8 ) v ，。l 厶雨了磊面丽l 厶烈霸 j ( 圳5 ( 厶雕讹抵5 ) v 一 其e e s , = s 0 1 ) ，由假设( i v ) 知：0 p ( z ，x u 。，x t 。) k ( 扩- 1 扛) 4 - l x u 。l r + i x u 。1 7 ) ，而( 8 1 ) s r s = 1 ，故( 扩- 1 ( z ) ) 7 = d ( z ) l 1 ，又因为r s ，加= r ( s 1 ) 6 1 1 一i 1 ( 4 1 3 ) 因为( 。) 是测度意义 f f 的c a u c h y 列，故存在只依赖于的常数珊，使得当n ，m2 n 0 时有 l x 一x u 。l 1 5 + e 这就证明- j x u 。是l 1 ( q ) 中的c a u c h y 列，因此 x u 。一x u在l 1 ( q ) 意义下 因而x u 。测度& 敛至o x u 。 第四章解的逼近1 9 对任意的1 q ( q ( q 1 ) ) 0 1 ) ，总可以找到一个q 7 使得1 q 矿 v 器7 。( q ) ，r = r ( r 一1 ) 有： x 札) x = ( f ，) 而c 铲c 晶一( q ) ，因此我们的结论要比( 42 ) 强。 第五章v m o 解的存在性 类似于舯，我们来定义h e i s e n b e r g 群上的v m o 空间。 定义5 1 ( b m o 空间) 函数，l l o c ( 俨) 若满足 s u p 千i ，( z ) 一届i 如 0 ，令 町( r ) = s u p 千i ，( z ) 一居i 出， 其中b 是t l 中半径为p 的球。届表示，( z ) 在b 上的积分平均，即 厶= 五m 肛高丘弛 若目( r ) 一o ( r o ) ，则称，y m d ( n ) 。 定义5 3 ( 局部b m o 和局部v m o ) 设钍b m o ( f 2 ) ，其中q 是皿”m 2 ) 中的 一有界开集。若对任意紧嵌入到q 的q 7 ( 即盯c cq ) ，均有u b m o ( f l ，) 则 称u 在q 中是局部b m o 的。类似的我们可以定义局部v m o 。 现在我们考虑p = q 时的边值问题( 4 1 ) ，即 r 抛p 三f 薹罂。 ， 其中p 为一r a d o n 测度，a 满足假设( i ) ，( i i ) ( p = q ) ，以及假设( i i i ) ，( i v ) 的特殊情况， 即下面两个假设： i a ( z ，f ) f k ( 1 + 川o 1 )( 5 2 ) 0 ( z ，f ) 一。( z ，_ ) ) 化一目) 2 圳f 一口尸其中j 为一正常数( 5 3 ) 由上一节的定理( 4 1 ) 可知对任意的1 q ( 边值问题( 5 1 ) 存在一个解u 岛4 ( q ) 。本文的主要定理如下： 第五章v m o 解的存在性 定理5 1 若p 为一冗o d 帆测度，口满足假设倒，一砂佃= 驯，p 砂和仁趴那么对 任意的lsq q ，边值问题陋j 夕存在一个解让砖9 ( q ) ，使得“在q 中是局 部b m o 的若口不包含原子，那么u 还是局部v m o 的 该定理的证明可以分为三步：首先对“进行标准正则化，并把相应的边值问 题分解成一个齐次d i r i c h l e t i h 题和非齐次d i r i c h l e t f 司题，接着证明了这两个问题 解的局部罐口模的一个先验估计以及非齐次d i r i c h l e t 问题解的一个正则性。最后 用s o b o l e v 等不等式和迭代法证明了下面这个局部估计： 毛i u 一让昂p 匆c ( 晏) 驰( 南厶胁p 句+ 胪) 2 刊州) 训争1 1 其中b r ( z ) cq ，0 p r ，1 g q ，o 和c 是只依赖于k ，6 ，q 的正常 数，( 日r ) 表示p 在b 凡的全变差。 先令p 一0 ，再令r 一0 ，即得到u 是局部v m o 的。 证明：令厶( 。) = 矗丹( _ 1 z ) 缸( f ) ，其中z q ，乃( z ) = ，( 白z ) ，p c 铲( b 1 ( o ) ) ，p20 ，厂p ( z ) d ；= 1 。记哟为下列d i r i c h l e t 问题的弱解 埘喜厶品，嚣 a ， 由定理( 4 1 ) 的证明可知：对任意的口 ( n + a ) h o 暑 f b i x u j - x v l i 一( 警。乃i i z - c b 。，) “口l b r i c q a ，。 + ( 跏k k ，僵赤) “ 上。i x u y - x v j i a ( 等i | 厶j l c 日。，) 。7 。i b 凡i c 。一。，q + c ( 咖) ( 监等型) “。o x u j - x v j 悒邶。，舻q 学 第五章v m o 解的存在性 则有： 甜x u ，- x v j 卜( 舢b ，) 吖q 俐( q - q ) q = c ( 川胪刈。，q ( q - 1 ， 证毕! 下面我们来证明d i r i c h l e t 问题( 5 5 ) 的解的一个正则性。 引理5 3 若o 0 ，我们可得： i ( x v j ) , l 。c 5 1 7 7 p + c 6 l ( 一( ) 岛，( 。) ) x ”r 。 j 岛，( z )j b 2 p 0 )j 岛p ( z ) + c 7 i ( x 印) 目j 口十臼 l ( 一( ) 岛，( 。) ) x ”i q 常数q ，j = 1 ，一4 只和q ，k ，o t ，q ，j = 5 ，8 只和q ，k 口，e 。我们可选取y j l l n g 不 等式中的e 使得c r 1 ，又由函数町的取法可得下述c a c c i o p p o l i 估计： 对任意的0 p r 2 有 厶m 胛妇 c 【厶学句+ p q 】( 5 e ) p o i n c a r 不等式可得： i x ( y ) i 。d y 4 0 q ( i x v 3 2 d y ) 2 + 户】， 因此 ( f b , , i x v j ( y ) i q d y ) 1 q c ( 岛，p 骈q 类似与h 的( 6 2 ) 式，我们可以得到下面的反向h 6 l d e r 不等式( 证明见h ( 6 2 ) ) ： 存在只依赖于q ，k ，o 的正常数e ，c 使得对任意的o p r 2 下列估计成 ll x v a y ) l q + s d y c ( 厶i x v j ( y ) i q + r v 。 z ， 由该估计及不等式( 22 ) 可得d ( b 州2 ) ，其中卢= s ( q + e ) ，再由上述两估 第五章v m o 解的存在性 计( 5 6 ) ，( 5 7 ) 可得：对任意的o p n 4 ， - 筹慨s 驯u p 。) ) 一荆l 矿。溉哗铲 c 矿( 厶一。砷l x 屿c ”，i 。+ 。1 “。+ 对 c 矿r 训c 口+ 印( 五。，。砷i x c ”，i q + 5 匆) 1 7 。+ 5 刺c 拈，( s b n 2 ( 。) x v 3 ( y ) q d y + 1 ) 1 俺 证毕! 下面利用这两个引理来证明定理( 5 1 ) 。固定0 p n 8 ，则f h h s l d e r 不等 式，估计( 5 6 ) 和引理( 5 3 ) 得： 3b j x l i 疳电s c,ixlj心”电+ c ! b j x 码一x t 疳电j 邬j b p z ( 厶i x 卯甸v 2 + c 厶i x 哟一x p 咖 2 ( 厶，譬烂句+ ) v 2 + c 厶“卯胆咖 艄护2 ( 五。旷( 咖阳+ j r 。) v 2 + c0 i “错i 扭曲 将叶一( q ) b 。拆分成( 一u j ) + ( 嘶一( u j ) b 。) + ( ( 码) b 。一( ) b 。) ，由h j l d e r 不等 一 一 一 = 一 一 口 y d 0 扛昂q 一 吩 扛k 第五章v m o 解的存在性 式可得： 所以 千l ( u ，) 且。一( q ) b 。l 口d y = i ( 嘶) b 。一( ) 口。l 。 j 日r ( 去厶i 嘶一l 甸口 曼 去( 厶卜卯轳叫口 = 十1 一i o d y ， j b r 厶i x p 咖酽2 ( 吴2 ( 厶l 嘶一( 嘶圳+ 俨) v 2 + 酽，2 ( 厶l 嘶一l 。西j 1 2 + c 厶f i x 一x q p 2 西 对第一项运用p o i n c a r d 不等式，第二项运用s o b o l e v 嵌入定理得： 厶l x 嘶p 妇c ( 晏) 华( 厶i x p 2 句+ 职) + c 厶i x 嘶一x 卯2 句 因此由引理( 5 2 ) 得： 厶p 2 妇纠匀学( 厶阮i 。2 句+ 确+ 刺2 0 f j q 2 ( q ，- n 下面对这个估计式进行迭代。令 ( p ) ：i x u j i 口2 d y ，m ：里坚寻盟， f ( r ) ：l l ，f 川jl q 。( 2 如( q ) - 1 1 j b 。 则该估计可写成： ( p ) 兰c ( 尝) m ( ( r ) + r q ) + c 冗。7 2 f ( r ) 所以对任意的0 r 1 ， ( r r ) sc r “( 毋( r ) + r o ) + c 兄q 2 f ( r ) 塑昱型盟型一 ! ! 对任意的o 0 可 得： 曲( 丁七+ 1 r ) c r ( + 1 ) 7 ( ( 固+ 俨) + c r 譬f ( r ) 7 - 孚( b + 1 1 对任意的0 p 0 ，使得 r k + l r p r k r 因此 妒( p ) ( f 。r ) s c r h 似( 兄) + r 口) + c r 等f ( r ) r g k c ( 鼽+ 俨) + c r 孚f ( 硒( 簧) 孚 = c ( 吴) 7 ( r ) + r 。) + c p 孚f ( r ) 代回原来的估计式我们即得： 厶i x 嘶p 2 句sc ( 晏) 呈学( 厶l x 嘶l q 2 d y + 伊) + 驴一吲瞄q ( 2 剐( q - 1 ) 第五章v m o 解的存在性 不等式两边都除以并对左边运用p o i n c a r 6 不等式后两边平方可得： f , l u j - ( u j ) b p i q d y _ c ( - 吴) ( 南上。i x u d l q 2 d y + 胪2 + a j l i ( b r ) 1 1 ( 5 8 ) 因为在岛口7 2 ( q ) 意义下收敛到u ，由p o i n c a r 6 不等式可得 l pl u - u b , , - ( u j - ( u d ) b p ) l q d y 0 ， 0 办怯( 如) 一川( b r ) 0 一o o ) ， 所以对不等式( 5 8 ) 两边取极限即得： f s , l u - u s ，阳 c ( 扩( 南厶脚p 2 由+ 俨) 2 + c 川( 啷) 帅叫 参考文献 1 】b b o j a r s k ia n dt 1 w a n i e c ，a n n 西t i zf o u n d a t i o n so ft h et h e o r yo fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s 协r 4 a n n