（固体力学专业论文）隐式梯度模型在结构三维损伤数值模拟中的应用.pdf

隐式梯度模型在结构三维损伤数值模拟中的应用摘要本文简单总结了损伤力学产生的背景及其基本理论，介绍了几种混凝土的局部损伤模型和非局部损伤模型，并分析了这两类模型的不同点及应用前景。为了克服局部损伤模型在数值模拟中存在的网格敏感性与病态局部化问题，在推导非局部模型的基本公式和控制方程时考虑了材料的内部尺度值，并引入了高阶变形梯度项，推导出了隐式梯度模型的基本公式及其有限元离散的控制方程，并将其有效应用于有限元求解程序中。文章重点讨论了求解过程中插值形函数的选取原则，提出了含裂缝混凝土板裂尖应变场奇异性的处理方法，即用线性外插法求解裂尖应变场。编制了有限元程序，并用该程序对平面应力状态下含裂缝板件的损伤和受集中载荷简支梁的三维损伤进行了数值模拟。分析了上两类构件在三种网格下的载荷位移曲线、及损伤分布云图和材料的损伤演变曲线。结果表明，隐式梯度模型可以很好地模拟混凝土材料的三维损伤特性，并且其损伤分布和承载力峰值对于网格的细化不敏感，解决了网格依赖性和零能量损耗问题。关键词：有限元；损伤理论；网格依赖性；非局部等价应变；隐式梯度模型；数值外插法n u m e r i c a ls i m u l a t i o na n di t sa p p l i c a t i o no fi m p l i c i tg r a d i e n tm o d e li nt h r e e - - d i m e n s i o n a ld a m a g ea b s t r a c ti nt h i sp a p e r , t h ep r o c r e a n tb a c k g r o u n da n db a s i ct h e o r yo fd a m a g em e c h a n i c sw a ss u m m a r i z e d ，s e v e r a lk i n d so fl o c a ld a m a g em o d e la n dn o n l o c a ld a m a g em o d e lo fc o n c r e t ew e r ei n t r o d u e e d ，a n dt h e i rd i f f e r e n t i a la n da p p l i e df o r e g r o u n dw a sa n a l y s e d t h em i c r os t r u c t u r ec r i t e r i o nw a sc o n s i d e r e da n dt h eh i g h o r d e rd i s t o r t i o ng r a d si t e r n sw a si n t r o d u c e dw h e nt h eb a s i cf o r m u l aa n dm a n i p u l a t i v ee q u a t i o no fn o n l o e a ld a m a g em o d e lw a sd e d u c t e ds oa st oo v e r c o m em e s h d e p e n d e n c ea n ds i c kl o c a l i z a t i o ni nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h eb a s i cf o r m u l aa n dm a n i p u l a t i v ee q u a t i o no fi m p l i c i tg r a d i e n td a m a g em o d e lw e r ed e d u c t e d ，a n dw e r ea p p l i e dt of i n i t ee l e m e n tc o m p u t a t i o np r o g r a m t h ed e f i n i n gp r i n c i p l eo ft h ei n t e r p o l a t i o n sf u n c t i o n sw a sd i s c u s s e de m p h a t i c a l l yi nt h ec o m p u t a t i o np r o c e s si nt h i sp a p e r ，t h es i n g u l a r i t yf o rt h es t r a i nf i e l da tt h ec r a c kt i po fc o n c r e t eb oa r dw i t hc r a c kw a ss t u d i e d ，a n dt h en u m e r i c a le x t r a p o l a t e dm e t h o dw a sa p p l i e da tt h ec r a c kt i p t h ed a m a g eo fc o n c r e t ep l a t ew i t hc r a c ko fp l a n e - s t r e s sa n dt h r e e d i m e n s i o n a ld a m a g eo ft h r e ec u r v e db e e m sw e r es i m u l a t e d t h ec u r v eo fl o a d d i s p l a c e m e n ta n dn e p h o g r a mo fd a m a g ed i s t r i b u t i n gw i t ht h r e em e s hw e r eg a i n e d ，a n dt h ec u r v eo fd a m a g ee v o l v e m e n tw a sa n a l y s e d n u m e r i c a lc a l c u l a t i o ns h o wt h a tt h ei m p l i c i tg r a d i e n tm o d e lc a ns i m u l a t ec o m m e n d a b l yt h es p e c i a l i t yo fd a m a g ef o rc o n c r e t e ，a n di t sd i s t r i b u t i n go fd a m a g ea n dc a r r y i n gc a p a c i t yi sn os e n s i t i v i t yt om e s h d i m i n i s h e d t h ep a t h o l o g i c a lm e s h d e p e n d e n c ea n dz e r oe n e r g yc o n s u m i n ga r eo v e r c o m e k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n t ；t h e o r yo fd a m a g e ；m e s hd e p e n d e n c e ；n o n l o c a le q u i v a l e n ts t r a i n ；t h ei m p l i c i tg r a d i e n tm o d e l ；t h en u m e r i c a le x t r a p o l a t e dm e t h o d插图清单图2 1 连续体损伤8图2 2m a z a r s 损伤模型。1 l图2 3l o l a n d 损伤模型12图2 4 分段线性损伤模型1 2图2 5 分段曲线损伤模型1 3图2 6 双线性损伤模型1 3图2 7 指数函数损伤模型1 4图3 1 对不规则的微结构的加权平均法2 0图4 1 线弹性断裂问题2 8图4 2 占一，关系图2 8图4 3 裂尖g 一，关系图3 0图5 1 损伤计算程序框图3 2图5 2i 型穿透裂纹的受拉伸板受拉伸板3 3图5 3 混凝土材料应力应变曲线3 4图5 4 载荷位移曲线3 4图5 5 损伤演变曲线3 4图5 6 载荷为0 6 2 8 l 洲的损伤云图。3 5图5 7 载荷为0 4 81k n 的损伤云图35图5 8 载荷为0 0 8 6 k n 的损伤云图3 5图5 9 平面模型中受集中力作用的梁的结构简图3 6图5 1 0 平面模型中梁的载荷作用简图3 6图5 1 1 三维模型中受集中力作用的梁的结构简图3 7图5 1 2 三维模型中集中力的两种加载方式简图3 7图5 13 三种网格下的损伤演变曲线3 8图5 1 4 三种网格下的载荷位移曲线3 8图5 15 载荷为1 0 6 k n 的损伤云图。3 9图5 1 6 载荷为0 8 6 k n 的损伤云图3 9图5 17 载荷为o 8 4 k n 的损伤云图3 9图5 1 8 梁的横截面的损伤云图4 0图5 19 梁的损伤分布曲线4 0图5 2 0 两种加载方式下的载荷位移曲线4 0图5 2 l 点载荷时横截面损伤分布云图。4 1图5 2 2 面载荷时横截面损伤分布云图。4 1图5 2 3 点载荷时纵截面损伤分布云图。4 1图5 2 4 面载荷时纵截面损伤分布云图4 1图5 2 5 点载荷时纵截面损伤分布曲线。4 1图5 2 6 面载荷时纵截面损伤分布曲线。4 1独创性声名本人声明所呈现的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成就成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包括为获得合肥工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名：桫字日期：叶年中月加日学位论文版本使用授权书本学位论文作者完全了解金魍工些太堂有关保留，使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件或磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权合肥工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复印手段保存，汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：斗戤么签字日期：矽d 降甲月谰学位论文作者毕业后去向：工作单位：通讯地址：导师签名：签字电话：邮编：日期：啦木翻拍1 气。p 瑚弓多伽致谢本文是在导师杨伯源教授的悉心指导下完成的，从论文开题到定稿，从论文中各章内容的安排及详略，无一不浸透着导师的的心血和智慧，导师在百忙之中拨冗指教并几易其稿，学生深为导师严谨务实的治学态度，高深的学术造诣、灵活宽广的科研思路、学术上的严格要求所折服。这三年来的学习经历，导师正值的为人作风、忘我的工作态度、高度的责任心、热情诚恳的优秀品质都给作者留下了很深的印象，并将使作者受益终生。在论文最后，向导师及其家人致以衷心的感谢和美好的祝愿! 祝愿老师身体健康，合家幸福!感谢汪忠明老师自始至终帮助本文的选题和研究，耐心细致地帮助解决程序中出现的问题，给了我很多启发，于百忙之中关心论文的进度，帮助拓宽我的论文思路，在此表示衷心感谢!感谢巫绪涛副教授、李和平教授、牛忠荣教授、盛宏玉教授在我学习上遇到困难的时候，不惜牺牲自己的时间，给了我很多的指导和帮助! 你们严谨的治学态度和平易近人的优良品格都是我学习的榜样! 谢谢你们!感谢在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家!感谢师兄张伟、孙善飞、师姐林欣，同窗代仁强、李耀、徐宏波、林正祥、程嫒媛、边燕飞、涂漫燕，室友刘雯、刘东平这三年来带给我许多快乐，学习上给予我很多帮助! 谢谢你们!感谢力学系的诸位老师对我学业上的帮助和鼓励! 谢谢你们! 祝愿你们工作顺利，万事j i n , t 二, !感谢我的父母对我的培养、教育和对我多年的学生涯给予的大力支持与鼓励，感谢哥哥姐姐们对我的关爱、呵护和帮助，感谢外甥、外甥女、小侄子，给我带来很多的欢乐，是你们让我感到亲情无价! 祝愿你们身体健康，永远平平安安! 感谢我的男朋友在我学习和生活上给与我的鼓励与支持，在我灰心沮丧时，给予我的安慰和帮助，祝愿你工作顺利，永远快乐!作者：牛晓玉2 0 0 9 年4 月第一章绪论1 1 引言混凝土是现代建筑工程中应用最为广泛的材料之一。长期以来，人们对混凝土材料和构件宏观力学性能的劣化直至破坏全过程的机理、本构关系、力学模型和计算方法都非常重视，进行了大量的研究，取得了许多成果，形成了一整套混凝土结构的分析和设计方法。而混凝土无论在先天形成过程中还是在后天使用过程中都会不可避免地存在微缺陷或微裂纹，这些微缺陷或微裂纹又由于一系列的外界因素影响扩展为宏观裂纹而影响其力学性能。这与传统的强度理论假设材料处处连续相悖。1 9 6 1 年，m f k a p l a n i i i t l 】首先将断裂力学概念应用于混凝土上。此后，大量的科研学者进行了实验、理论研究，逐渐形成了研究混凝土裂纹稳定性的方法，就是混凝土断裂力学。该学科从实际材料和结构中存在裂纹的客观事实出发，认为裂纹在连续体中造成间断，冲破了传统强度理论的局限性。断裂力学的发展，使得在研究混凝土的破坏机制和宏观裂纹的稳定性方面有了长足的发展。它通过研究混凝土裂缝尖端的位移场、应力场、能量释放率g 等来研究带裂纹结构或构件的强度、刚度和稳定性，分析裂纹扩展规律，以建立宏观裂纹起裂、稳定扩展和失稳扩展的判据，来判断损伤区裂纹是否稳定，进而指导实施控制和防止结构断裂破坏的措施【2 】。最开始出现的是线弹性断裂力学，但它忽略了混凝土断裂破坏的非均匀性，难以描述混凝土内部结构的极端复杂性及其与断裂过程的关系。根据混凝土的变形特点，人们提出了许多宏观断裂模型来模拟混凝土过程的非线性。在有限元数值分析中人们提出了分离裂缝模型和弥散裂缝模型，来模拟混凝土受拉开裂后所形成的裂缝。此后，在这两个模型的基础上，人们又发展提出了虚拟裂纹模型、钝化裂纹带模型和其他一些非局部化的模型。但是，混凝土断裂力学还有其局限性。断裂力学研究的对象是带宏观裂纹体，但由于成型工艺和养护条件等原因，在承受荷载之前就会在内部或其表面产生微小的缺陷，它们并不能简化为一个或几个宏观裂缝。在一定的外部因素( 荷载、温度变化以及腐蚀等) 作用下，这些缺陷就要不断地扩展、合并，最终形成宏观裂纹，宏观裂纹继续发展将导致构件或结构的断裂破坏。这些过程主要发生在产生宏观裂纹之前，占了结构寿命的大部分，约8 0 左右。即便可以假设成一个或者几个宏观裂纹，但在它的附近存在一个“损伤区”，这个损伤区可能完全改变裂纹附近的应力、应变特性。许多研究【3 】己经证明了混凝土的破坏是其内部开裂的微裂纹逐渐发展的结果，断裂力学无法分析宏观裂纹出现以前材料中微缺陷或微裂纹的形成及其发展对材料力学性能的影响，而且许多微裂纹的存在并不能简化为宏观裂纹，同样也不能描述裂缝尖端的劣化状况，这是断裂力学理论本身的局限性。对于混凝土来说，要研究其受力后的变形和破坏过程，不但要研究已存在裂纹( 例如断裂力学试件中的预制裂纹) 的扩展规律，而且要研究新裂纹萌生、扩展以及裂纹间的贯通机制。所以要想真正描述混凝土材料及其结构的某些特性和现象，分析结构的使用寿命和安全可靠性等，就必需研究其内部微缺陷的演化规律，这样便出现了损伤力学。损伤力学主要是在连续介质力学和热力学的基础上，用固体力学方法，研究材料细微裂隙的扩展和含有细微空隙材料性质，以及材料在变形过程中损伤的演化发展直到破坏的力学过程的一门新学科。它的产生从某种程度上弥补了断裂力学的这种不足。人们考虑到当宏观裂纹出现以后，材料的损伤对裂纹尖端附近及其它区域的应力和应变都有影响。认为合理的方法应该将损伤耦合到本构方程中进行分析和计算。事实上，在材料的破坏过程中，往往同时存在损伤( 分布缺陷) 和裂纹( 奇异缺陷) ，而且在裂纹尖端附近的材料必然具有更严重的分布缺陷，其材料力学性质必然与裂纹尖端远处不同。因此，为了更切合实际，就必须把损伤力学与断裂力学结合起来，来研究材料的整个破坏过程，研究固体的破坏过程，研究材料的损伤过程。部分学者将这些微缺陷和微空隙的力学作用理解为一个连续变量场即损伤场，并由此来研究微空隙和微缺陷的发展规律，进而研究带有微缺陷的材料或者结构的力学特性和强度特性。它不仅描述含有大量微缺陷的材料的性质，而且也研究直到出现宏观裂纹以前的整个过程。1 2 损伤理论及混凝土损伤研究现状1 2 1 损伤理论发展史损伤就是指在单调加载或重复加载下由于材料的微缺陷( 如微裂纹和孔隙)的发展而导致其内粘聚力的进展性减弱，材料性能逐渐劣化并导致体积单元破坏的现象。材料的缺陷可根据其几何形态分成点缺陷( 空位，杂质原子等) 、线缺陷( 位错) 、面缺陷( 滑移平面和裂纹) 以及体缺陷( 孔隙和空洞) 等。损伤力学就是研究材料微缺陷扩展的一门学科，是固体力学的一个分支，产生于实际工程对基础学科的需求。1 9 5 8 年，k a e h a n o v t 4 】在研究金属蠕变过程中，为了反映材料内部的缺陷，第一个引入损伤的概念，并提出了“连续性因子”和“有效应力”的概念。尽管当时他并没有进一步深入下去，但他提出的概念形成了现在损伤力学的基本概念。其后r a b o t n o v t 5 】为之推广，于1 9 6 3 年又引入了“损伤因子”的概念，奠定了损伤力学的基础。到7 0 年代，英国学者勒基( l e c k i e ) 旧j和瑞典学者赫尔特( h u l t ) t 7 】等各国学者相继采用连续介质力学的方法，把损伤因子作为一种场变量引入，称为损伤变量，而逐渐形成了连续损伤力学的框架和基础。法国学者l e m a i t r e 8 】将连续介质力学和热力学结合起来研究了损伤对金属的弹性和塑性的影响。后来，瑞典的h u l t 、英国的l e c k i e 研究了损伤和蠕变的耦合作用。还有k r a j c i n o v i c 【9 1 、s i d o r o 群1 0 】等学者的工作为损伤理论的形成和发展做了重要的贡献。1 9 8 1 年7 月，欧洲力学协会委托勒梅特在法国卡尚召开了2第一次命名为“损伤力学”的国际学术讨论会。会上交流的3 3 篇论文还只涉及到何谓损伤、如何测量损伤和怎样运用损伤概念等问题。同年我国固体力学学报刊登了有关损伤理论的译文【l l 】。1 9 8 2 年11 月在美国召开了第二次关于损伤力学的国际学术讨论会。同年我国学者在黄山召开了第一次全国损伤力学学术讨论会。l9 8 6 年6 月在法国召开了断裂的局部方法国际学术讨论会，其中一些论文论述了通过局部方法将损伤理论用于裂纹计算，使损伤理论用于结构计算向前推进了一步。此后近2 0 年，损伤理论蓬勃发展，在宏观唯象学理论框架和材料损伤本构行为的复杂连续介质描述等方面都有了较为成熟的研究成果【1 2 15 1 。1 2 2 材料损伤的研究方法连续介质损伤理论研究的对象是含有连续分布缺陷的变形固体，研究的主要目的是确定损伤连续场变量的演化规律这就决定了损伤力学的研究方法是连续系统力学体系下的手段和方法，如连续介质力学和研究耗散过程的不可逆热力学。但是由于损伤场的形成实质上是材料细微观的变异，因此要了解损伤的成因和其微结构形态和特征，又必须使用细观理论和材料学的方法。因此损伤的研究方法大致可以分四种：宏观方法、细观方法、微观方法、统计学方法，另外宏、细、微观相结合的方法也相继产生并得到发展。1 宏观方法宏观方法也称唯象学方法。它是从材料的宏观现象出发并模拟宏观的力学行为。方法的核心是在本构关系中引入损伤变量，采用带有损伤变量的本构关系来真实的描述受损材料的宏观力学行为。这种方法的基础是连续介质力学和不可逆热力学。由于损伤的机制不同和用来描述损伤场的变量不同，从而有可能得到不同的描述损伤演化的方程。宏观方法由于是从宏观现象出发并模拟宏观力学行为，所以方程及其参数的确定往往是半经验半理论的，其研究的结果也可直接的用来分析实际情况，有明确的物理意义。该方法的缺点是不能从细、微观结构层次上弄清楚损伤的形态和变化，但是这种方法考虑的因素相对简单，便于建立方程，可以满足工程需要。2 微观方法主要从微观的角度来研究材料微结构( 微裂纹和微孔洞) 的形态和变化及其对材料宏观力学性能的影响。研究损伤演变的物理机制，对建立宏观唯象学的力学模型是十分必要的。我们可以使用微观观察的现象来帮助解释损伤演变过程对宏观力学行为的影响。3 细观方法根据研究的目的，选择适当尺寸的构元，对于构元可以看作均匀介质，而整体材料是不均匀的，通过获得构元的损伤特性来解释材料或者结构的宏观破坏机制。34 统计学方法这种方法是用统计学理论来研究结构或者材料中的损伤。在损伤的初期，微裂纹、微空洞等缺陷是随机性的。这一阶段，损伤变量场可以抽象为一个具随机性特征的场变量。因此可以用细观方法研究个体微缺陷，再用统计学方法归纳出损伤场变量。本文采用的是宏观方法，这里介绍一下这种方法的研究过程。宏观方法大致分为四个阶段：( 1 ) 选择合适的损伤变量。描述材料中损伤状态的场变量称为损伤变量，它属于本构理论中的内部状态变量。从力学的角度上说损伤变量的选择应考虑如何与宏观力学量建立联系并易于测量。( 2 ) 建立损伤演化方程。材料或者结构内部的损伤是随外界因素( 荷载、温度等) 作用的变化而变化的，选取不同的损伤变量，损伤的演化方程是不一样的。( 3 ) 建立考虑损伤的本构关系。损伤必定引起结构刚度的变化，因此在本构方程里必须体现损伤的影响，即需要建立含有损伤的本构关系。( 4 ) 根据初始条件和边界条件来求解材料的各点应力、应变和损伤值。根据计算得到的损伤值可以判断各点的损伤状态。在损伤值达到临界值时可以认为该体积元破裂了，然后再根据新的损伤分布状态和新的边界条件，再作类似的反复计算，直至达到构件的破坏准则而终止。1 2 3 混凝土损伤研究现状最早将损伤理论用于研究混凝土的是d o u g i l l t l 6 】，他认为混凝土的非线性是由渐进断裂( 损伤发展) 所引起的刚度衰减而造成的，在渐进断裂过程中没有塑性产生，材料均是弹性的，称为弹性断裂，即应力一应变关系在任何时候都服从胡克定律，只是在断裂过程中弹性刚度是变化的。对于材料的力学性能的研究是通过本构关系来实现的。从1 9 8 0 年开始，国内外学者用损伤理论分析混凝土在外荷载作用下的力学性态，分析混凝土结构微裂缝的形成和扩展规律，取得了很多成果，先后建立了混凝土的多种损伤模型。具体有m a z a r s 损伤模型【1 7 】、l o l a n d 损伤模型【l 引、分段线性损伤模型【19 1 、分段曲线损伤模型【2 0 1 、双线性损伤模型( 2 1 1 、s i d o r o f 陨伤模型【2 2 1 、指数损伤模型【2 3 1 、非局部损伤模型等等。m a z a r s 和l e m a i t r e 将自己建立的损伤演化方程应用于一侧开口的c t 型试件，并用有限元数值模拟与电测应变片的测量结果进行了比较，得出有益的结论。李兆霞分析了各种应变率下脆性固体损伤的实验现象，从理论上探讨了材料内部损伤的应变率及其对材料变形响应的影响，用宏细观结合方法建立了考虑损伤的应变率效应的损伤本构模型。除此之外，李兆霞【2 4 艺5 】教授还运用连续介质损伤力学方法分析混凝土的非线性徐变，讨论了徐变损伤的演变规律，认为徐变过程中总损伤应当是加载时4的瞬时损伤和徐变过程中产生的徐变损伤之和，用有效应力概念得到弹性徐变耦合损伤的非线性徐变本构方程。有效的解决了混凝土徐变损伤的分析计算问题。杨廷毅【2 6 】等人在混凝土断裂过程研究中还提出了统计概化微裂缝系模型。杨光松f 27 j 等人曾提出了一种微结构损伤模型，利用微结构的相对变形来描述材料缺陷损伤的影响，且其可以将g p r d e b o i s 模型、k r a j c i n o v i c 模型、k a c h a n o v 模型等目前几种主要损伤模型统一起来，具有较强的实用性，曾利用混凝土材料的单向拉压实验数据得到了验证。李杰【2 8 】等人提出了一类混凝土细观损伤物理模型，用于解释高性能混凝土在本构层次上的细观损伤演化特征。建立了混凝土单轴受拉、单轴受压与双轴拉压组合条件下的随机损伤本构关系模型，并通过试验初步证实了采用随机损伤本构关系反映混凝土受力破坏机理的可行性。河海大学徐道远教授1 2 9 j 曾结合国家自然科学基金项目将损伤力学应用到了混凝土大坝的仿真分析中，并取得了较好的成果。西安交通大学刘华【3o j 等人作了混凝土结构三维损伤开裂破坏过程的有限元分析。n o h s a m t 3 1 l 等人采用了数值方法模拟了预应力混凝土壳结构的使用，损伤演化及失效的过程。张强勇【3 2 j等人采用弹塑性损伤模型对某地下厂房进行了损伤计算并与无损伤弹塑性计算的结果作了比较，两者所得的位移相差高达4 7 5 0 。传统的损伤理论模型虽然能够反映损伤对于材料的性能的影响但由于其本身的缺陷造成数值模拟结果的病态的网格依赖性，其实早在上世纪6 0 年代就发现，导致软化损伤和塑性问题的有限元解并不收敛于实际上的解析解，体现在数值模拟上就是病态的网格依赖性。在数值计算中，随着网格越来越密，局部化区域体积趋于零，耗散能也趋于零，损伤的局部性和损伤场光滑性相矛盾。为了解决这个矛盾，国内外学者进行了广泛而深入的研究，提出了多种基于非局部理论的非局部损伤模型。研究发现，由于损伤的演化过程极其复杂，它强烈依赖于材料的性质和初始损伤的随机性以及载荷和边界条件。c a r m e l i e t 和h e n s 【3 列采用随机方法计及所有的不确定性提出了一个概率非局部损伤模型。它将随机场理论、统计有限元分析和非局部连续损伤模型相结合，引入了两个不同的长度参数( 材料的非局部特征长度和随机场的相关距离) 。他们用这个模型研究了脆性体拉伸实验的尺度效应。赵吉东 3 4 - 3 5 等人研究了岩石类材料应变梯度损伤模型的应用。提出了基于应变梯度的损伤模型，并用于材料的局部化损伤模拟预测中。通过模拟发现该模型对于避免有限元数值方法局部化预测模拟的单元网格依赖性有非常好的效果，其预测的局部化损伤与实际破坏情况非常相近。赵扬锋、潘一山1 3 6 采用基于各向同性应变梯度损伤模型，在平衡方程中引入高阶应力项和损伤内变量，研究了岩石单轴压缩应变梯度损伤模型的局部化带宽，得到了单轴压缩作用下岩石变形局部化带宽的一维解析解，给出了岩石试件局部化带宽公式，并对岩石变形局部化带宽与损伤内变量的关系进行了分析，得出一些有益的结论。王学滨【37 j 基于梯度塑性理论，研究了应变软化阶5段的刚度劣化对剪切带内部的局部应变及相对剪切位移的影响。研究结果表明，考虑了刚度劣化后，剪切带内部的弹塑性剪切应变及位移增加，而局部塑性剪切应变及位移降低。这与岩石局部变形的观测结果在定性上是一致的。燕秀发、戴耀【38 】对功能梯度材料裂纹高阶渐近场进行了研究。他认为功能梯度材料内部常常产生各种形式的裂纹并最终导致材料的破坏，因此有必要研究其断裂问题。通过理论推导及分析，得到功能梯度材料中裂纹尖端应力高阶渐近场的解析式。可以发现，非均匀性对裂纹尖端渐近场结构的影响体现在非奇异项上。在理论上揭示了功能梯度材料中裂纹尖端应力渐近场的结构以及材料的非均匀指数对裂纹尖端渐近场的影响。a i f a n t i s 3 9 】基于各向同性理论提出了梯度依赖塑性理论，在这个模型中a i f a n t i s 弓i 入了梯度系数c ，用来体现局部化特征，该模型能够模拟应变软化引起的局部化，目前被许多学者应用。r o ya b e n g e l e n 4 0 1 等人研究了非局部隐式梯度增强的弹塑性模型的软化特性。提出了改进的软化弹塑性梯度增强方法，兼具非局部模型与梯度模型的双重优点，并成功将其运用到脆性材料和塑性材料中。沈新普【4 卜4 4 】等人基于“能量耗散梯度依赖”原则，提出了基于塑性损伤模型的梯度增强的弹塑性损伤非局部本构模型。该模型是以连续介质力学和不可逆热力学为基础的，在该模型中，采用了三个内变量，即塑性应变、各向同性损伤标量d 以及应变梯度。其中，应变梯度反映了损伤的非局部性质，是梯度依赖的非局部损伤模型。邓守春【4 5 】等人分析了传统连续介质损伤理论的控制方程在损伤过程中的变化特点，证明了二阶隐式应变梯度的控制方程在损伤过程中类型不变，是对传统理论的一种改进。并通过色散实验分析了隐式梯度模型与色散的关系。d eb o r s t 4 6 4 7 1 等人将a i f a n t i s 的梯度依赖模型应用到混凝土标量损伤与塑性耦合的模型中，建立了梯度依赖的损伤塑性耦合模型，并进一步结合面积加权平均非局部理论的思想，提出了隐式的梯度依赖模型。该模型考虑了材料内部尺度值，解决了传统连续介质力学中的网格敏感性问题。李运军【4 8 】和张伟【4 9 】分别运用非局部模型和隐式梯度模型对混凝土的损伤进行数值模拟。模拟结果表明，这两种模型均能很好地消除数值结果的网格依赖性。1 3 本文的研究意义和主要工作损伤力学研究的重点和难点在于怎么用损伤模型来描述含损伤材料的本构方程和损伤演变方程。为解决这一问题，国内外学者进行大量的研究，提出了多种本构模型及损伤演变方程，但由于没有考虑材料的微结构尺度，从而局部损伤增长的奇异性造成零体积下的损伤增长，在使用有限元方法进行应变软化的数值模拟时，模拟结果对网格划分具有依赖性，即零能量损耗问题和网格依赖性问题。进一步研究表明这种数值模拟对网格的依赖性并不是所用的数值方法不当造成的，而是所用的损伤模型的缺点造成的。应用非局部本构模型可较6好的避免对有限元在局部模拟时的网格依赖性，预测出的局部化损伤与实际情况很接近。隐式梯度模型是在非局部模型的基础上发展起来的更为实用的一种模型，能够解决很多工程实际问题。本文在前人研究的基础上，根据损伤的基本理论及国内外各种损伤模型的研究情况，推导了隐式梯度模型的主要公式及控制方程，讨论了模型中非局部项的形函数的选取原则，提出了复杂边界处的应变场的处理方法，编制了混凝土损伤的有限元程序，利用隐式梯度模型重点模拟了受集中载荷作用的梁的三维损伤及含裂缝板件的平面应力状态下的损伤状况。对于同一种结构，对比了多种网格划分下的载荷位移曲线、损伤分布云图及损伤演变曲线。模拟结果表明，隐式梯度模型可以很好的消除网格敏感性及病态的应变局部化所带来的零能量损耗问题，能够准确描述破坏的根本力学机制。通过改变载荷的输入方式，还可以模拟重力坝在水压力及地震荷载作用下的损伤状况。因此本文对于隐式梯度模型在混凝土断裂损伤数值模拟中的应用中的研究有重要的理论意义及工程应用价值。7第二章混凝土材料的损伤基本理论2 1 损伤的基本概念任何结构在制造的过程中，其内部都不可避免地存在一些微缺陷，尤其是混凝土这种非均匀的多相颗粒复合材料。从组成来看，它是由硬化水泥浆、细骨料( 砂) 和粗骨料( 石子) 混合而成，其中粗骨料、细骨料、水泥浆体的组成、分布及结合状态都具有高度的随机性，而且骨料、水泥浆基体及混凝土的力学性能也各不相同，其力学性能指标如强度、弹性模量等也只是在统计意义上才具有相对稳定的数值。在骨料与骨料之间、骨料与浆体之间的结合面为薄弱面，该处常因各种原因产生结合缝，混凝土的破坏首先从这些裂缝开始。又由于水泥浆体本身也不是匀质材料，其中包裹着一些未被水化的水泥颗粒及各种孔隙。在使用过程中，由于外界各种因素( 如荷载、温变、疲劳、环境腐蚀等) 的作用，这些微缺陷将不断发展，形成宏观裂缝，宏观裂缝的继续扩展，导致结构强度降低，最终失去承载力，最终结构完全破坏。这种导致材料和结构力学性能劣化的微观结构的变化就叫做损伤。损伤力学理论就是研究材料内部微缺陷的产生和发展所引起的宏观力学响应及最终导致材料破坏过程和规律的一门学科。该理论认为结构中的损伤使实际的结构材料既不均质也不连续，并且这种不均质和不连续还将随变形过程不断演化。损伤力学就是研究含损伤材料的性质和变形过程中损伤的演化及发展。损伤力学发源于古典的材料力学和断裂力学，同时也是材料力学和断裂力学的发展和补充【5 0 5 4 1 。在损伤的宏观研究方法中，是要在损伤本构模型中引入合适的损伤变量，而材料内存在的损伤( 微缺陷) ，可以看作连续的变量场( 损伤场) ，因而可以用连续介质力学的概念和方法来研究微缺陷的发展及其对材料力学性能的影响。连续性损伤力学的前提是材料的微缺陷能用一系列的连续的损伤变量来描述。如果假定损伤的发展不引起材料的各向异性，局部损伤状况用一个简单的标量形式的损伤变量来描述就够了。对于损伤的各向异性情况，需要用一组损伤变量( 或张量) 来描述。损伤变量d 定义为：0sd 1 ，当d = 0 表示最初的没有损伤的材料，d = 1完全丧失承载力。一般可以表示假设初始损伤为0 。经过一定数量的加载后，材q ( d ：料通常可以分作三个区域，如图2 1 。没有损伤的区域为q o 。在该区域损伤变量仍为初始值d = 0 ，材料保持为初始材料性质。第二个区域为q d ，损伤有一定的发展但没有达到临界值( 0 d 占r、峰值应力之后的材料软化曲线为：1 0仃= e 。b ( 1 4 ) + e x p b t 彳( e - e i ) 式中4 、局一材料拉伸系数。则有m a z a r s 损伤方程。f 0口21 1 - 尘堡二盟一鱼i占e x p b , ( s f ，) 】占占，( 2 1 2 )勺占巳( 2 l3 )对于一般的混凝土材料，取o 7 4 1 0 ，1 0 4 忍 1 0 5 ，0 5x 1 0 _ 4 q 1 5x l o 4 。单轴压缩时：见= 0 - 掣一高占- - 6 f ( 2 1 4 )勺占氏、7其中，占= 止f i 孺= 一瓜q 。对于一般的混凝土材料，取1 o 4 1 5 ，1 0 x 1 0 3 鼠 2 0 x 1 0 3 。材料的软化及损伤演变曲线如m 2 2 。d( a ) 名义应力应变关系( b ) 有效应力应变关系f c l 损伤应变关系2 l o l a n d 模型、l o l a n d 认为应力一应变峰值不呈现尖锐的峰值。在峰值之前，在整个混凝土体中发生微裂纹，但是维持在一个低限度内，峰值之后裂纹在破坏区内不稳定的扩展。l 0 占g ，盯= ，。( ，2 1 7 1le 占r占厂占气、舯石= 南“= 尚棚懒伤方鳓：肚i 巧d o + 州c , 8 p 吲叶)嚣巳( 2 1 8 )dd fd 0( a ) 名义应力应变关系( b ) 有效应力应变关系( c ) 损伤应变关系图2 3l o l a n d 损伤模型其中，d 0 表示材料的初始损伤值，d ，表示峰值应力对应的损伤值。常数c l 、c 2和可以通过边界条件确定。3 分段线性损伤模型该模型认为峰值应力前混凝土材料只有初始损伤且不发展，应力应变关系呈现弹性关系，在峰值应力和极限应力之间，微裂纹剧增，达到极限应力时，微裂纹贯通成为宏观裂纹。应力应变关系呈分段线性变化。仃= e 【勺一c l 一c 2 】( 2 15 )d = l 一三迫【s 厂一c l 一c 2 】( 2 16 )图2 4分段线性损伤模型其中c l 、c 2 是材料常数，对于一般混凝土材料c 1 = 0 8 1 2 ，c 2 = o 2 - - 0 5 ，或为初始损伤。4 分段曲线模型该模型认为应力在峰值应力以前和以后，应力和应变的关系均为曲线关系。利用单轴拉伸下的应力应变全曲线的试验数据可拟合得到损伤方程为州时1 2p 0 )d = 1 4 【g ( 三一1 ) 思+ 三】( s s 厂)( 2 1 9 )毛l毛4 、4 、b 可由边界条件盯i 呵2 町，觏一_ oj ! 导至04 ：警，岛：士o - ，4 ：善小弓尹耻瓦i 铲毒吃和c 2 为曲线参数，取岛= 1 7 ，q = 0 0 0 3 0 多。由计算可知，当s g 厂 0 4 时，材料几乎没有损伤；当0 4 e s ，0 8 时，损伤较小，表明试件内部裂缝开始扩展；当0 8 s s ，1 0 时，损伤较大，表明试件内部有若干裂缝联通直至破坏。图2 5 为该模型的软化和损伤演变曲线。d( a ) 应力应变曲线( b ) 损伤应变曲线图2 5分段曲线损伤模型5 双线性损伤模型为方便工程应用，有学者将应力应变曲线简化为两段直线，f 肚oo 隧o1d ：等要勺占毛is ( 毛一s ，)71则材料的软化及损伤演变曲线如图2 5 。损伤方程为( a ) 应力应变曲线( b ) 损伤应变曲线图2 6 双线性损伤模型1 3( 2 2 0 )d = d o + ( 巧一d o ) 勺)叫叱嚣卜， 一( 嚣卜弛小剖图2 7指数函数损伤模型其中，厂( 占) ：b i 三旦l( 2 2 2 )h s f )岛为初始损伤，d 厂为损伤阀值，s 厂为应力到达盯，时的应变，此时对应的损伤为损伤阀值，毛为d = l 时的极限应变值，刀、c 为曲线常数，可由试验确定。其损伤演变曲线如图2 6 。7 正交各向异性弹性损伤模型前面介绍的损伤模型是建立在将混凝土视为各向同性材料、损伤也是各向同性的基础上的。这种情况下损伤可以作为标量来处理。为了体现混凝土损伤的各向异性，以能量等价原理为基础，人们又提出了一些各向异性损伤模型。具有代表性的这类模型有正交各向异性弹性损伤模型，它是将混凝土作为各向同性弹性材料，其产生的损伤作为各向异性来处理得到的模型。该模型设损伤主轴、应力主轴、应变主轴相互重合，混凝土的初始状态是各向同性线弹性体。前面提及的损伤模型都是建立在l e m a i t r e ( 1 9 7 1 ) 的应变等效性假设的基础上。由于各向异性损伤模型采用这一假设推导得到的有效弹性矩阵是不对称的，因此c o r d e b o i s 和s i d o r o f f ( 1 9 7 9 ) 提出一个能量等效性假设：损伤材料的弹性余能函数与无损材料的余能函数形式相同，只是将应力换成有效应力即可。模型的表达式为：i qll ( 名+ 2 ) ( 1 一q ) 2兄( 1 一d 1 ) ( 1 一岛)旯( 1 一日) ( 1 一岛) i i 毛l 0 2 = l( 名+ 2 ) ( 1 一d 2 ) 2允( 1 一岛) ( 1 一d 3 ) l 岛( 2 2 3 )【吧jls( 见+ 2 ) ( 1 一岛) 2l 【巳j另外还有k r a j c i n o v i c 【9 】损伤模型。在研究三维载荷作用的损伤特性时，要给出三维应力状态时混凝土的损伤变量，仍然较为困难。与m a z a r s 模型类似，只是采用各种不同表达方式的等效应变，以向三维情况推广。1 42 4 2 非局部损伤模型为解决局部理论中出现的数值模拟的网格依赖性和零能量损耗问题。国内外学者先后提出了考虑了材料的尺度参数的非局部模型。1 e r i n g e n 的非局部塑性本构模型【5 5 】上世纪8 0 年代，e r i n g e n 提出了第一个非局部塑性公式，建立了非局部塑性模型。他的非局部塑性理论中，应力可由对局部应力平均化算得，这一模型可由局部模型得到，应力应变关系如下：仃= 三乙( s g 。)( 2 2 4 )其中见为弹性材料刚度；如果见在空间中是常量，则方程等价于盯= 见( s s 口)( 2 2 5 )盯( x ) = id , a ( x ，f ) 占( f ) d f7，一( 2 2 6 )一、一= 见i a ( x ，f ) s ( f ) d f = d e 占( x )v 这是对非局部弹性法则的直接扩展，特征就是对应力或弹性应变进行平均化。2 s t r o e m b e r g 和r i s t i n m a n 对各向同性软化提出的非局部塑性本构模型【5 6 】非局部场 k 与局部场k 有关系，屈服面半径定义如下：1隙功2 南p 吖) d f ( 2 2 7 )积分区域为整个体积b ，口为一个平均值函数，而k ( z ) 代表体元，定义为巧( x ) = i 口( x f ) d f( 2 2 8 )占对于恒局部场k 有f k l = k 。平均值函数口是一个正的函数，在点f = x 处取最大值，同时关于该点对称，并含有一个材料参数，即内部长度。满足这一要求的是o a u s s i a n 钟形曲线p n c x f ) 2 ，pf 2 2 9 )局部长度，决定函数的扩展。3 a i f a n t i s 梯度依赖塑性本构模型【5 7 】在这个模型中，a i f a n t i s 将一个附加系数c 引用到塑性屈服条件厂p 中，即厂p = 孑一i 吧) 一c v 2 7l 0( 2 3 0 )式中孑为等效应力，7 为等效塑性应变，吒( 7 ) 为流动应力，c = c ( - p ) 是梯度系数。s 尸的二阶梯度用来解释一点附近点的位错运动的影响，而参数c 用来体现局部化特征。这个模型能够模拟应变软化引起的局部化。a i f a n t i s 在一系列文章中证明了在局部化过程中高阶应变梯度的关键作用。4 n e d j a r 的各向同性弹塑性梯度损伤本构模型【5 8 】n e d j a r 将损伤变量定义为p ( x ，f ) ，当材料无损伤时，其值为1 ，当材料完全损伤时其值为0 ，这里所定义的损伤变量p ( x ，f ) 可以理解为材料连续的一种度量，即当结构连续性没受到任何破坏时其值为0 。这一模型的基本思想是利用内变量虚功，引入损伤梯度来解释损伤周围的点对其的影响，因此其计算和模拟更加复杂，给出的结果表明该模型的损伤局部化程度不高，不像试验结果中那么明显。梯度损伤模型建立，可得到如下结果 叭够d o “曼。在q 里( 2 3 1 )io n = f ，在孢上、则损伤演化方程为i c 一k v 2 + 让( ) = w - - ”s ( s ) ，在q 里1 七娑一0 在勰上( 2 。2 )lo n式中，o = c ：占为应力应变关系。5 g e e r p a m i n d eb o r s t 梯度依赖各向同性弹塑性损伤本构模型【4 6 。4 7 】g e e r p a m i n d eb o r s t 的模型的屈服条件在有效应力空间中表示为f p = 仃( 彦) 一盯。( 七p ) = 0( 2 3 3 )损伤演化有下列损伤函数控制f d = ；一k d = 0( 2 3 4 )式中的区域加权平均( 非局部) 应变占满足下面的h e l m h o l t z 方程一 一_g c v 2 s = 占( 2 3 5 )应变度量增量d ；= s t 妇。d eb o r s t 等人将a i f a n t i s 的梯度依赖模型应用到混凝土标量损伤与塑性耦合的模型中，建立了梯度依赖的损伤塑性耦合模型，并进一步结合面积加权平均非局部理论的思想，提出了隐式梯度依赖模型。6 r a m a s w a m y a r a v a s 梯度依赖损伤本构模型【5 9