（基础数学专业论文）almost+flat+manifolds.pdf

摘要 本文是对g r o m o v 的几乎平坦流形定理的证明的综述本文以年春季学 期戎小春教授于首都师范大学讲授。在黎曼流形上的收敛和坍塌理论”的课 程为基础，简要回顾了这一研究方向的基本定义与定理，并侧重整理了关于 几乎平坦流形的证明 m g r o m o v ( 【5 】) 首先证明了：任意一个几乎平坦的流形都存在个有限覆盖 微分同胚于幂零李群模去它的离散子群随后p b u s e r 和h k a r c h e r ( 7 ) 给出了 此定理的更多的证明细节e a r u h ) 给出了更强的结论：任意个几乎平 坦的流形都微分同胚于伪幂零流形戎小春教授在他未公开的讲义( 【l 】) 中给 出了关于这个定理新的改进证明，但仍缺少平行的平坦联络部分的证明本文 主要是用e a r u b 和g h a n a a t 的方法补上了缺少的部分证明另外作为综述， 也叙述了戎小春教授给出的证明细节 关键词几乎平坦流形g r o m o v - h a u s d o r g 距离f u k a y a 纤维定理质 量中心 a b s t r a c t 4 t h i 8t h e s i si 8b a s e do l lt h ec o u r 。c o n v e r g e n c ea n dc o l l a p s i n gt h e o r yi nr i e m a n i a n g e o m e t r y p r o f r o n gt a u g h ti nt h es p r i n g m e s t e ro f2 0 0 6a tc a p i t a ln o r m a lu n i v e r s i t y t h ea u t h o rf i r s tb r i e f l yr e v i wb a s i cd e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m sr e l a t e dt ot h i st h e s i sa n dm a i n l y f o c u so nt h ew h o l ep r o o fo fg r o m o v 8a l m o s tf l a tm a n i f o l d st h e o r e m m g r o m o v ( 5 1f i r s tp r o v e dt h a ta n ya l m o s tf l a tm a n i f o l dh a saf i n i t ec o v e r i n gw h i c hi s d i f f e o m o r p h i ct on i l p o t e n tl i eg r o u pm o d u l ai t sd i s c r e t es u b g r o u p p b u s e ra n dh k m r c h e r ( 研) g w et h em o r ed e t a i l so ft h i sp r o o fl a t e r t h e ne a r l 血( 【6 】) p r o v e das t o n g e rv e r s i o no fa b o v e t h e o r e m ：a n ya l m o s tf i a tm a n i f o l di sd i f f e o m o r p h i ct oa ni n f r a n i l m a n i f o l d p r o f r o n gp r o p o s e d a n w p r o o f i n h i s u n p u b l i s h e d l e c t u r e n o t e s b u ts t i l l h a d t h e p a r o f f l a t c o n n e c t i o n w i t h p a r a l l e l t o r s i o nu n f i n i s h e d i nt h i st h e s i st h ea u t h o rw i l lg i v et h er e m a i n e dp a r to ft h ep r o o fw h i c hu s 铝 t h em e t h o d so fe a r u ba n dg h a n a a t t h ea u t h o rw i na l e og i v et h ed e t a i l so fp r o f r o n g e p r o o f k e yw o r d s a l m o s tf i a tm a n i f o l d s ，g r o m o v - h a u s d o r f fd i s t a n c e ，f u k a y a sf i b r a t i o nt h e o - r e m ，c e n t e ro fm a s s 2 0 0 7 年首都师范大学硕士论文 首都师范大学学位论文原创性声明 2 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 日期棒g 瞄日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位论文作者签名 日期扣7 年幻锄 2 0 0 7 年首都师范大学硕士论文 1 c h a p t e r0a l m o s tf l a tm a n i f o l dt h e o r e ma n di t sh i s t o r y i nt h i sc h a p t e rw ew i l ls t a t et h ea l m o s tf l a tm a n i f o l dt h e o r e mw h i c hw i l lb ep r o v e di nt h e f o l l o w i n gc h a p t e r s a n da l s oi n t r o d u c et h eh i s t o r yo ft h et h e o r e m t h e n 玳w i l lg i v ea ne x a m p l e o fa l m o s tf l a tm a n i f o l d f i r s tmi n t r o d u c et w od e f i n i t i o n s d e f i n i t i o n0 1 ( n i l p o t e n tg r o u p ) ag r o u p 妇c a l l e dn i l p o t e n t , 矿t h e r e 话a 劢讹s e 弘e n c e ，g ) g 1 ) ) g k + 1 = 1 ，w h e r e g i = 【g ，g 】a n d g k = l u k 一1 ，g 】 d e f i n i t i o no 2 ( i n f r a - n i l m a n i f o l d ) l e tnb ean i l i m t e n tl i eg r o u p t h e r ee z s i i sac e n n e c t i o 竹do lf nw h i c h 缸i n v a r i a n t 砖n c o n n e c t i o ndi n d u c e s 口c o n n e c t i o no na rw h i c hw ed e n o t eb yt h es a t t l l es y m b 0 1 ( w er e m a r k t h a tdi sn o te q u a l 幻龇l e v i - c i v i t ac o n n e c t i o n ) l e th6 e8f i n i t es u b g r o u po ia u t ( a n , d ) ， 0 1 ew r i t er = ( a ，日) cnka u t ( n ) t h e nw ec a l l 日( a ) 诂a n 钒f h n i l m a n i f o l d t h ea l m o s tf l a tm a n i f o l dt h e o r e mi st h ef i r s tr e s u l to i lc o l l a p s i n gt h e o r yi nr i e m a n n l a n g e o m e t r y , a n di th a sb e c o m eac o r n e r s t o n eo ft h ec o l l a p s i n gt h e o r y i f l s c a et h em e t r i co f a l m o s tf l a tm a n i f o l d ，乳= 芒2 卯，t h e nw eg e tas e q u e n c e ( m ，乳) 竖墨p tw i t hl 。e l 1 h e n c e t h ea l m o s tn a tm a n i f o l dt h e o r e md e s c r i b e st h eg e o m e t r yo fas e q u e n c eo fm a n i f o l d sc o n v e r g e t oap o i n tw i t hs e c t i o n a le n v a t u r eu n i f o r m l yb o u n d e d t h ea l m o s tf l a tm a n i f o l dt h e o r e m l i f i r s tp r o v e db yg r o m o v ( 5 ) i n1 9 7 8 ，t h ep r o o fw a sb r i e f l ya n do n l yh a d1 1p a g e s t h e nb u s e r a n dk a r c h e r ( 【7 】) f o l l o w e dt h em e t h o d so fg r o m o v ，a n dg a v et h em o r ed e t a n so ft h i st h e o r e mi n 1 9 8 1 w h i c hh a d1 4 0p a g e s b u ti ti sa l s oh a r dt or e a d t h e o r e mo 3 ( g r o m o v 【5 1 ，b u s e r k a r c h e r 【7 】) t h e r ee z i s t se ( 帕s u c ht h a t 矿0 , 7 1 , nd i m e n s i o n a lc l o s e dr i e r a a n n i a nm a n i f o l dms a t i s f i e s d i a m z l s e c l ( m ) 0s u c ht h a td g t t ( m m , ”) e ( n ，i o ) ，t h e nt h e r ei sag 1 f i b r a 踟nr a s p , | ：m m _ n w i t hf i b e rc o n n e c t e ds u c ht h a t 以jd ( z ，( ) ) 0 ，l e tr ( 1 ) = 了r l d ( t p ，p ) z ，v p x ) l e t ( x ，r ，p ) ，( y a ，q ) f e 岛，a ne e q u i v a r i a n t p o i n t e dg r o m o v - 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