（信号与信息处理专业论文）基于多小波变换的脉象信号识别的研究.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 脉诊是中医的重要组成部分，它具有简便、无创、无痛的特点，受到了中钋 人士的关注和赞赏。但是，传统的脉诊方法缺少定量分析，主观性较大，没有一 个客观的标准，这使得脉诊的发展与应用受到了极大的限制。脉象含有人体健康 状况的丰富信息，随着现代科技的不断发展，利用现代信号处理方法对采集到的 脉象信号进行分析和处理以得到所需要的信息，对实现脉诊的客观化和信息化具 有十分重要的意义。 多小波变换是在小波变换理论的基础上发展而来的。小波的对称性、正交性、 短支撑性和高阶消失矩等性质在应用小波变换处理信号中具有十分重要的意义。 然而，除了h a r r t j , 波外，实系数单小波不能同时满足这些条件，使得小波的应用受 到了制约。而多小波却可以同时具有这些性质，能够进一步提高信号处理的能力， 具有广阔的应用前景。本文将多小波变换引入脉象信号处理中，阐述了多小波变 换的基本概念和基本理论，利用多小波分析方法提取特征参数，用于海洛因吸毒 者和健康正常人之问的脉象信号识别。 本文采用多小波变换的方法对3 0 例脉象信号( 1 5 例海洛因吸毒者和1 5 例健康正 常人) 进行了分析处理。在对脉象信号进行3 层多小波分解后，用如下2 种方法提取 脉象信号的特征向量，并用于2 类脉象信号的识别：( 1 ) 计算各频带上每一维信号 的能量，选取特征向量，藉此找出了识别海洛因吸毒者与健康人脉象信号的方法。 基于该方法，仅有正常人z 0 2 和z 15 被误检；( 2 ) 计算各频带上每一维分解系数的近 似熵，并选取用于识别的特征向量。应用此方法，仅仅正常人z 1 5 被误检，其余都 可以被! 确识别。 本文还对脉象信号进行了多小波包分析，并进行特征提取。首先对脉象信号 进行3 层多小波包分解，然后计算各子带分解系数的系数熵，并选取特征向量。据 此，3 0 例脉象信号全部予以正确识别。 最后，本文对支持向量机的基本思想进行了分析和阐述。在对脉象信号进行 特征提取的基础上，利用支持向量机对1 5 例健康正常人和1 5 例海洛因吸毒者进行 分类识别，取得了较好的分类效果。 关键词：脉象信号，多小波变换，特征提取，模式识别，支持向量机 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t t h eh u m a n p u l s ed i a g n o s i si sa ni m p o r t a n tp a r to ft r a d i t i o n a lc h i n e s em e d i c i n e i t h a ss i m p l e ，n o n i n v a s i v ea n dp a i n l e s sc h a r a c t e r i s t i c s t h e r e f o r e ，i ti sc o n c e r n e da n d a p p r e c i a t e da th o m ea n da b r o a d h o w e v e r , t h et r a d i t i o n a lp u l s ei d e n t i f i c a t i o nm e t h o d d o e sn o te s t a b l i s hau n i f i e do b j e c t i v es t a n d a r d ，w h i c hr e s t r i c t st h ea p p l i c a t i o na n d d e v e l o p m e n to fp u l s ed i a g n o s i s s oi t i s i m p o r t a n tt oe x t r a c ta n da n a l y z et h ep u l s e s i g n a lo b j e c t i v e l ya n da c c u r a t e l yb ym o d e mt e c h n o l o g ya n dm e t h o d s ，w h i c hh a s i m p o r t a n tm e a n i n gf o rr e a l i z i n gt h eo b j e c t i f i c a t i o no fp u l s ed i a g n o s i s m u l t i w a v e l e ti san e wd e v e l o p m e n to fw a v e l e tt h e o r y a sw ea l lk n o w , t h e s y m m e t r y , o r t h o g o n a l i t y , s h o r ts u p p o r ta n dh i g ho r d e rv a n i s hm o m e n t s a r ev e r y i m p o r t a n tn a t u r eo ft h es i g n a lp r o c e s s i n g i na d d i t i o nt ot h eh a r rw a v e l e t ，h o w e v e r , t h e r e a lc o e f f i c i e n to fas i n g l ew a v e l e tc a nn o th a v ea l lo ft h e s ep r o p e r t i e s ，w h i c hl i m i t st h e a p p l i c a t i o no ft h ew a v e l e t t h em u l t i w a v e l e tc a nh a v e a l lo ft h e s ep r o p e r t i e s ，a n d t h e r e f o r eh a sb r o a da p p l i c a t i o np r o s p e c t s t h em u l t i w a v e l e tt r a n s f o r mi si n t r o d u c e dt o t h ep u l s es i g n a lp r o c e s s i n gi nt h i sp a p e r , a n di t sb a s i cc o n c e p t sa n dt h e o r yi sd e s c r i b e d f e a t u r e sc a nb ee x t r a c t e db ya n a l y z i n gt h ep u l s es i g n a l st h r o u g ht h em u l t i w a v e l e t t r a n s f o r l t lm e t h o d ，w h i c hc a ne f f e c t i v e l yi d e n t i f yd i f f e r e n c e sb e t w e e nh e r o i na d d i c t sa n d h e a l t h yi n d i v i d u a l s i nt h jsp a p e r , w ea n a l y z ep u l s es i g n a l so f15h e r o i na d d i c t sa n d15h e a l t h yp e r s o n s u s i n gt h em u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i so f t h em u l t i w a v e l e tt r a n s f o r m a f t e rt h ep u l s es i g n a l s a r ed e c o m p o s e di n t ot h r e el e v e l st h r o u g ht h em u l t i w a v e l e tt r a n s f o r mm e t h o d ，t h e f o l l o w i n gt w oi d e n t i f i c a t i o nm e t h o d sa r eu s e dt od i s t i n g u i s h ：( 1 ) t h es i g n a le n e r g yo f e a c hd i m e n s i o nf o re a c hf r e q u e n c yb a n di sc a l c u l a t e d ，a n dt h ef e a t u r ev e c t o ri ss e l e c t e d ， t h e nw ec a nf i n do u tt h es i g n i f i c a n td i f f e r e n c eb e t w e e nt h eh e r o i na d d i c t sa n dt h e h e a l t h yp e r s o n s z 0 2a n dz 15a r em i s j u d g e db yt h i sm e t h o d ；( 2 ) t h ea p p r o x i m a t e e n t r o p yo f t h ed e c o m p o s i t i o nc o e f f i c i e n t so fe a c hd i m e n s i o nf o re a c hf r e q u e n c yb a n di s c a l c u l a t e d ，a n dt h e nt h ef e a t u r ev e c t o ri ss e l e c t e d b yt h i sm e t h o d ，z 1 5i sm i s j u d g e d t h i sp a p e ra l s ou s e st h em u l t i w a v e l e tp a c k e tt oa n a l y z et h ep u l s es i g n a l s t h e p u l s es i g n a li sf i r s t l yd e c o m p o s e di n t os e v e r a ls u b - s i g n a l st h r o u g ht h em u l t i w a v e l e t p a c k e tt r a n s f o r m ，a n dt h e nt h e c o e f f i c i e n te n t r o p yo ft h es u b b a n dd e c o m p o s i t i o n c o e f f i c i e n t si sc a l c u l a t e d f i n a l l y , t h ef e a t u r ev e c t o ri ss e l e c t e d b a s e do nt h e s es t e p s ，15 h e r o i na d c l i c t sa n d15h e a l t h yp e r s o n sa r ea l lc o r r e c t l yi d e n t i f i e d i i 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a tl a s t ，t h eb a s i cc o n c e p ta n dt h e o r yo ft h e s u p p o r tv e c t o rm a c h i n e ( s v m ) i s d i s c u s s e di nt h i sp a p e r o nt h eb a s i so ft h ef e a t u r ee x t r a c t i o no ft h ep u l s es i g n a l s ，t h e s u p p o r ty e c t o rm a c h i n en e t w o r ki su s e dt oi d e n t i f yt h e 3 0p u l s es i g n a l s ( 15h e r o i n a d d i c t sa n d15h e a l t h yp e o p l e s ) ，a n dd e s i r e dc l a s s i f i c a t i o nr e s u l t sa r ea c h i e v e d k e y w o r d s ：h u m a np u l s es i g n a l ，m u l t i w a v e l e tt r a n s f o r m ，f e a t u r ee x t r a c t i o n ，p a t t e r n r e c o g n i t i o n ，s u p p o r tv e c t o rm a c h i n e ( s v m ) i i i 重庆大学硕士学位论文1 绪论 1 绪论 1 1 课题的研究意义 脉诊：黾中医诊断学的精华之一，是我国传统医学中最具特色、独有的诊断技 术。经过几个世纪的不断发展，中医脉诊形成了一整套的理论体系。脉象指的是 脉搏的形象和动态，它在一定程度上反映人体气血的运行状态，脏腑生理与病理 的改变，是观察人体内功能变化的一个重要渠道【1 】。脉诊是医生以手指触摸病人有 关动脉探：i 贝! j 脉搏搏动的情况，根据脉学理论，了解人体的健康状况。因而脉诊对 病情的判断和病症的识别具有非常重要的意义。 中医脉诊简便、无创，这些优势使其在医疗领域具有重要地位。然而，中医 脉诊也具有明显的缺点，传统的脉诊方法缺少定量分析，主观性较大。诊脉时医 生对自己感知的脉象进行判断，对人体的健康状况进行定性分析，判断标准十分 模糊。中医脉诊的方式不易掌握，而且没有对信号进行保存，无法进一步分析和 研究，这些都严重制约了脉诊的发展。近年来，脉诊的客观化和信息化引起了人 们极大的兴趣，逐渐成为人们共同关注的课题1 2 j 。 随着计算机技术和现代信号处理技术的不断发展，利用现代信号处理的分析 方法，对采集到的脉搏信号数据进行分析以得到所需要的信息可以极大地促进脉 象诊断的客观化的信息化，是脉象信号研究的一个重要方面。脉搏是一种血液和 血管壁的振荡波，它由心脏射血过程引起，以脉搏波的形式从主动脉开始，沿 着管壁迅速传播到各分支动脉，直到微动脉末梢。它包含人体大量的生理信息， 反映了人体的健康状况，同时也易于受到内在和外在的各种刺激，具有重复性差 和非线性等特点【j j 。 脉象信号的主要特点为【2 j ： ( 1 ) 信号弱。脉象信号一般较弱，通过压电传感器直接得到的脉象信号的幅值 通常比较小，在对脉象信号进行分析之前都要首先通过放大器进行放大处理。 ( 2 ) 噪声强。肢体动作、精神紧张等都会对脉象信号造成干扰。 ( 3 ) 随机性强。脉象信号属于非平稳随机信号，其规律要通过大量数据统计得 出，并且其均值、方差等统计特征随着时间的变化而改变。 本论文的研究对象是健康正常人和海洛因吸毒者的脉象信号。脉象信号包含 人体的大量信息，可以反映人体的健康状况。吸食毒品严重损害人们的身心健康， 毒品进入人体后，肝脏是分解毒品的主要器官，吸食毒品会损害肝脏功能并导致 血液异常。吸毒容易成瘾，长期吸毒还会损害神经系统，使人体各器官功能减退， 免疫力下降，这些情况都可以在人体脉象中反映出来。 重庆大学硕士学位论文1 绪论 近年来，随着数字信号处理技术的不断发展，新的特征提取、模式识别等方 法层出不穷，在生物医学信号领域也得到了广泛的应用，取得了可喜的成就，也 为中医脉诊客观化和信息化研究带来了发展契机。 本课题旨在利用多小波变换对脉象信号进行分析，以提取能区分海洛因吸毒 者和健康正常人的特征参数，并利用支持向量机进行分类识别，从而得到一种简 便可行的脉象信号识别方法，可以对吸毒者和正常人进行区分。 1 2 脉象信号分析 利用现代信号处理方法对脉象信号进行分析和处理，推动了脉诊客观化和信 息化进程。对采集到的脉象信号进行分析和处理，寻找可以表征各种脉象的特征 参量，是脉象信号研究的一个重要的方面。 对脉象信号进行分析和研究最初是从振幅和角度等方面进行的。这些形态特 征虽然十分直观，但是脉象信号包含人体健康状况的大量信息，仅凭这些形态特 征容易忽略信号中的重要信息。因而，随着数字信号处理技术的不断发展，脉象 信号的分析方法也向更加全面与多样化方向发展。目前，广泛采用的脉象信号分 析方法有：时域分析法，频域分析法和时频联合分析法等h 。 ( 1 ) 时域分析法是直接对时域脉搏波形提取特征信息，通过对特征峰、波谷的 幅度、形态及时间参数的参量分析，找出某些特征与脉象变化的内在联系。该方 法是最常用的脉象信号分析檄，主要有对脉象信号的形态进行分析和处理的直 观形态法，对脉象信号的多种时域特征进行综合分析的多因素识图法，以及提取 脉搏波波形图面积的脉图面积法等1 4 j 。 ( 2 ) 频域分析法主要是通过傅里叶变换的方法实现脉象信号从时域到频域的 变换，得到相应的脉搏频谱曲线。有些脉象信号的特征信息在时域中很不明显， 我们可以通过对频谱图进行分析，寻找那些在时域中不明显而在频域中却较为明 显的特征，从而实现脉象信号的分析和处理。 频域分析法主要包括功率谱分析和倒谱分析两种。功率谱分析方法是通过快 速傅里叶变换或建立时间序列模型计算信号的功率谱，然后提取功率谱特征值， 实现信号的分析和研究。王炳和等人在对脉象信号进行功率谱分析的基础上，引 入了谱能比的概念，通过计算“寸、关”不同部位的谱能比，可以获知人体的病 变器官【5 ；倒谱是首先对频谱取对数，然后再对其进行傅里叶变换得到的，它可以 将频域内的周期成分转化为倒谱上的单根线谱及其倒谐波，从而方便准确地得到 脉象信号的周期。黄镭等人提取了脉象信号的倒双谱特征，用于检测吸毒者，取 得了良好的效果【6 j 。 重庆大学硕士学位论文1 绪论 ( 3 ) 时频分析是近年来发展起来的分析非平稳信号的一种有效方法，该方法通 过设计时间和频率的联合函数，在时频平面上表述信号的时变特征，可以清晰地 描述信号的频谱如何在时间上变化。目前常用的时频分析方法主要有短时傅里叶 分析和小波分析引。 短时傅里叶变换又称加窗傅里叶变换，它通过在时域上加窗，将待分析的信 号划分成许多小的时间间隔，然后对每个时间间隔内的信号进行傅里叶分析，通 过选取适当的窗函数，就可以实现一定程度上的时频分析。针对脉象信号的非平 稳特性，周丹等采用一种全极点滑动窗递归算法对脉象信号的离散短时功率谱进 行了分析网。 小波：分析是采用时域和频域的联合表示信号的特征，它通过伸缩和平移等运 算功能对信号进行多分辨率分析，对信号的高频分量分析时具有较大的时间分辨 率，对信号的低频成分分析时具有较大的频率分辨率。小波分析属于局部化时频 分析，它可以很好地表示信号的时频局域性质，是分析非平稳信号的有力工具。 温晓明、万龙等应用小波变换的多分辨率分析方法提取脉搏的特征，找出了海洛 因吸毒者与正常健康人脉象信号之间的差异【l u 。 在提：驭特征信息之后，需要对脉象信号进行识别。目前，脉象信号的识别方 法主要有计算机自动识别、模糊模式识别、人工神经网络、支持向量机网络等。 ( 1 ) 模糊模式识别方法：模糊模式识别的理论基础是模糊数学，它可以对模糊 事物进行判断和识别。把模糊数学引入到模糊模式识别方法中，可以模拟人脑的 思维过程，简化模式识别系统的结构，以达到对客观事物进行更好地分类识别的 目的。 模糊神经网络是将模糊技术与人工神经网络相结合的产物。张坤艳针对从脉 象数据中提取的特征信息的特点，设计了一个模糊神经网络，用它对脉象信号( 平 脉、弦脉、数脉等) 进行识别 1 1 】。张洁通过在人工神经网络中引入模糊理论中的隶 属度函数，得到了正规化模糊神经网络，应用该网络对提取的特征进行训练识别， 较好地实现了脉象信号的分类【l 引。 将模糊技术与聚类分析相结合，就产生了模糊聚类分析。王炳和等首先对脉 搏信号进行a r 模型拟合，然后采用k l 变换降维并进行特征提取，最后用模糊 聚类分析的方法对脉象信号进行分析和处理【1 3 】。万龙通过提升小波变换对正常人 和吸毒者脉象信号进行分析并提取其特征，然后再利用模糊c 均值聚类算法对其 进行分类识别，取得了较好的识别效果【，2 j 。 f 2 ) 人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k ，a n n ) ：是受生物神经生理学的 启示而建立起来的网络结构，具有很强的自适应学习能力。它模仿人脑神经元的 组织方式，采取非线性的处理单元和高度互联的并行处理结构，能够实现任意的 重庆大学硕士学位论文1 绪论 非线性映射关系。人工神经网络通过学习获取知识和解决问题，并且模仿生物神 经元的突触将知识存储在连接权值中。经过训练的神经网络可用来进行模式分类， 信号处理与检测1 1 4 1 。 人工：冲经网络已在模式识别中得到了广泛的应用，在脉象识别方面，徐方维、 李春宇等在对脉象信号特征提取的基础上，用人工神经网络进行识别，取得了较 好的分类识别效果【1 5 】【1 6 】。王炳和等研究了将人工神经网络方法应用于人体脉象信 号的识别问题，他们根据中医对脉象信号的分类方式，实现了常见的7 种脉象的 分类与识别l l ”。 ( 3 ) 支持向量机( s u p p o r t v e c t o rm a c h i n e s ，s v m ) 模式识别：传统的统计模式识 别方法的性能只有在样本数目趋于无穷大时才有理论上的保证，因此其需求的样 本集较大。支持向量机是v a p n i k 等人针对实际问题中样本数目通常有限的情况， 提出的一种新的机器学习方法。它以结构风险最小化原则为基础，在解决样本数 目较少的问题时表现出了特有的优势。温晓明、曹汉等利用支持向量机对脉象信 号进行分类识别，取得了很好的效果。 1 3 多小、波分析的国内外研究现状 小波变换是在傅里叶变换的基础上发展而来的。它采用时域和频域的联合表 示信号的特征，通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多分辨率分析，属于局部 化时频分析。它可以表示信号的时频局域性质，特别适合于分析非平稳信号。目 前，小波分析在信号处理、图像处理、数据压缩以及信号滤波与消噪等诸多领域 都取得了很好的应用成果。 多小波变换是近年来小波分析理论中出现的又一新理论。1 9 9 1 年，a l p e r t 和 r o k h l i n 构造出了最早的多小波，它们作为多项式表达式的基底，可以用于解积分 方程。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人建立了多小波变换的理论基础【l8 | ，将单尺度小波变 换推广到多尺度小波变换，使小波变换理论向前迈进了一大步。同年，g e r o n i m o 等人构造出了多小波变换中的两尺度函数，它可以同时具有对称性、正交性、短 支撑性和二阶消失矩的性质【1 9 】。1 9 9 6 年，g h m 多小波被g e r o n i m o 等人成功构造 出来【2 0 1 。g h m 多小波在时域和频域都具有很好的局域性，是当前应用最广泛的多 小波之一，它同时拥有对称性、正交性、短支撑性以及二阶消失矩等性质。d o n o v a n 等构造了正交样条多小波。c h u i 和l i a n 利用对称性构造出了支撑区间为 0 ，2 】和 0 ，3 的c l 多小波。1 9 9 6 年，s t r e l a 提出了两尺度相似变换( t s t ) 的思想，并应用 两尺度相似变换法来改进和构造多小波【2 1 1 。国内目前对多小波的研究主要是程正 兴【2 2 】、杨守志、刘志刚【2 3 】等人所做的工作。 与- 牟t d , 波相比，多小波可以同时拥有对称性、正交性、短支撑性与高阶消失 重庆大学硕士学位论文1 绪论 矩等性质，这些优势不仅使其在理论研究方面得到了飞速发展。在应用方面，多 小波也具：卣广阔的前景，目前多小波在信号处理中的应用包括一维信号的去噪、 压缩、故障诊断和特征提取等以及二维图像的去噪、压缩、图像增强以及数字水 印等【2 4 】【2 5 。 文献 2 5 应用多小波分析方法对图像信号进行去噪，得到了比用小波分析更好 的结果。：艾献【2 6 将多小波分析方法引入到了电力系统信号处理领域。钟华利用多 小波分析方法进行图像边缘的检测【”1 。陈俊采用多小波变换进行遥感图像的融合， 取得了较好的效果【2 引。 多小波包变换是多小波分析理论的发展和延续。在对信号进行多层分解时， 多小波变换只对信号的低频部分继续分解，而不再对高频部分进行细分。与之不 同的是，多小波包变换可以对高频部分继续细分，以获得任意细节的时频局部化 信息。 李文军等提出了一种基于多小波包的齿轮箱故障诊断方法【2 9 l 。李东敏等首先 对采集到的故障电流信号进行多小波包分解，然后以各频带的能量作为故障电流 信号的特征向量，利用人工神经网络实现了电力系统故障类型的识别【3 0 】【3 1 】。赵栓 峰通过多小波包分析方法分析煤岩特征实现了不同煤岩界面的识别【3 2 j 。 在生物医学信号处理领域，l i n gg u o 等通过多小波变换的多分辨率分析方法分 析正常脑电和癫痫脑电信号，提取了显示两者之间差异的特征参数，最后通过人 工神经网络实现了癫痫信号的识别【3 引。文献 3 4 】采用多小波变换进行虹膜纹理特征 的提取和识别。崔建江等提出了一种基于计盒维数全局特征和多小波的局部特征 相结合的特征提取方法，提高了静脉识别过程中的特征匹配速度【3 引。李东对手掌 特征图像进行多小波分解处理，提取与手掌纹线相关的子区域，并应用这些特征 子区域对掌纹图像进行初次匹配【3 酬。 1 4 论文的主要研究工作 本论文首先详细阐述了多小波变换的基础知识和基本理论，并重点分析了多 小波变换的多分辨率分析方法。然后对脉象信号进行多小波分析，结合频带能量 和近似熵的方法提取区分海洛因吸毒者和健康正常人的特征参数。本文还对脉象 信号进行了多小波包分析，通过频带能量和系数熵的方法提取特征参数。最后在 特征提取的基础上，利用支持向量机进行分类识别。全文共五章，各章节详细内 容安排如下： 第一章简单介绍了课题研究的意义，脉象信号分析和识别的方法以及多小 波的国内外研究现状。 第：二章详细阐述了小波分析与多小波分析的基础知识和基本理论，重点分 重庆大学硕士学位论文1 绪论 析了多小波变换的多分辨率分析方法以及m a l l t 算法，并对多小波的性质、多小波 变换的信号预处理以及多小波包变换方法进行了介绍。 第三：荸应用多小波和多小波包分析方法分析脉象信号。对脉象信号进行多 小波分解，结合频带能量和近似熵的方法，通过比较分析，提取区分海洛因吸毒 者和健康正常人的特征参数，根据提取的特征参数对两者进行分类识别。本章还 对脉象信号进行了多小波包分析，通过频带能量和系数熵的方法提取特征参数。 第四章简单介绍了支持向量机网络的基本原理以及实现方法，并运用此方 法对脉象信号进行分类识别。 第五章总结，并简要说明下一步的研究方向。 重庆大学硕士学位论文2 多小波变换的基本理论 2 多小波变换的基本理论 2 1 小波变换 小波分析属于时频分析的- t o o ，它是在傅里叶变换的基础上发展而来的。傅 里叶变换属于全局变换，它采用单独的时域或频域表征信号。而小波变换则采用 时域和频域的联合表示信号的特征，通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多分 辨率分析，属于局部化时频分析。小波所起的作用与傅里叶分析中的正弦和余弦 函数类似，它用这些小波及其伸缩和平移表示l 2 ( 1 0 中的函数或信号，可以很好地 表示信号的时频局域性质，特别适合于分析非平稳信号。 2 1 1 连续小波变换 “波是具有振荡性的，“小波”就是在较短时间区间上具有振荡特性的波。 具有这种“小波”特征的函数通常称为小波函数。在小波变换中定义的小波函数 缈( f ) 需要满足如下的2 个条件。 v ( f ) 函数具有波动特性，它的支撑区间有限或是可以速降为零： ly ( f ) 功= 0 ( 2 1 ) 此式表示( ，) 是具有波动特性的定义在有限时间域上的函数，或是具有速降特性 的函数； i v ( t ) 满足允许条件： c q , ： ：邀盟d 缈 眦构成子空间的 一个r i e s z 基； 则称满足以上条件的函数矽( ，) 为尺度函数，并称痧( f ) 生成空间r ( r ) 的一个多 分辨率分析( m r a ) 。 在多分辨率分析中，矿f 称为逼近空间。通常尺度函数随着逼近空间巧的改变 而改变，从而形成对应p 伍) 的不同的多分辨率分析。在实际应用中，常用的尺度 函数一般都具有紧支撑性。 多分辨率分析具有以下重要性质吲： 若是尺度函数，它生成三2 ) 的多分辨率分析耽 ，则必然存在系数序列 h k ) 艇z ，使得以下尺度关系成立： 矽o ) = 2 玩协一七) ( 2 8 ) k 这正是两f 尺度方程。 实际上，矽o ) 圪c 巧，由于动( 2 f 一七) k 。z 构成k 的一个r i e s z 基，故存在 系数揪) ，使得矽g ) = 乏玩矽( 2 f k ) 。 k 设y ，是三2 伍) 空间的多分辨逼近，则存在函数矽( f ) r ( 尺) ，使得 矽m ( f ) = 2 j 2 矽( 2 。卜- 后) ，七z ，构成巧内的规范正交基，其中( f ) 称为尺度函数。 设巧是rq ) 空间的多分辨逼近，空间是空间巧在空间巧+ ，上的的正交 补空间，则存在函数( f ) ，使得沙m ( f ) = 2 川2 ( 2 。t 一七) ，k z ，构成空间上的规 范正交基，其中沙( f ) 称为基本小波函数。 重庆大学硕士学位论文2 多小波变换的基本理论 2 1 4m a l l a t 算法 m a l l a t 将多分辨率分析的概念引入到小波分析的理论当中，并由此提出了小波 变换的快速分解和重构算法。其具体思想是3 6 】：设厂( ，) r ( 尺) ，假设在已得到厂( f ) 在2 分辨率下的投影彳，f y ， y ，) z 构成r ( r ) 的多分辨率分析，那么我们可以 知道_ = l 一，o 杉即： 彳，f = a j - 1 f + d _ 1 f ( 2 9 ) 在这个式j 子中4 一。厂= c h ，。矽j - l , k ( f ) ，d j _ 1 厂= d j - l , k 驴r j - l , k ( f ) ， 七= 一k = 一 所以可得出： 么j 厂= c j , k c j ，k ( f ) = c 一，k q k j - l , k ( f ) + d j - l , k 沙j - l , k ( f ) ( 2 1o ) kkk 由于函数矽和函数及其二进平移和伸缩具有正交性，我们可以得出： c 一，= c 加 = c 川忍：饿 ( 2 1 1 ) d j _ 1 ，= c = c 加g ：垅 ( 2 1 2 ) c j ，。= = c 一，。h 女一：。+ d ，一。，。g 女一：。 ( 2 13 ) 在多分辨率分析的基础上，m a l l a t 给出了小波系数分解与合成的快速算法，即 m a l l a t 算：珐。使用该算法对信号进行分析时，不需要知道尺度函数和小波函数的具 体表达式，而只需要它们相对应的滤波器系数。这为应用小波变换提供了非常便 捷的手段，使m a l l a t 算法在信号处理领域得到了广泛的应用。 2 2 多，j 、波变换 多小波基是由多个小波的母函数经过伸缩和平移生成，其定义如下：一组函 数集y ( f ：i = 眇，( f ) 少2 ( f ) y ，( f ) r r ( r ) 7 ( r 1 ) 称为，_ 阶正交多小波，如果其伸 缩和平移妒似= 眇，( 27 f - k ) 缈：( 2 。f k ) y ，( 2 。t - k ) f ，( ，k z ) 形成( r ) 的一 组正交基，则当，= 1 时称甲( f ) 为单小波( 即传统小波) ，r 1 时吵( f ) 为多小波。 2 2 1 多小波的多分辨率分析 多分辨率分析是小波变换中的重要概念。在单小波变换中，一个多分辨率分 析是由一个尺度函数生成，而在多小波变换中，它是由2 个或2 个以上尺度函数 构成的。多尺度函数用i ( t ) = m ( f ) 矽。( f ) 矽，( r ) r 表示，相应的多小波函数用 罗( f ) = 掣，1 ( f ) y 2 ( f ) y ，( f ) 丁表示。 令咖( f ) = 珐( f ) 矽：( r ) 矽，( r ) r ，矽f l 2 ( r ) ，f - 1 ，2 ，r n 为一个向量函数， 若巧= s p a n 2 m 办( 2 j f 一七) ，k z ) ，并且 ) 满足如下性质p 8 1 口9 1 ： 单调性：巧c _ + 1 ， w z ； 重庆大学硕士学位论文2 多小波变换的基本理论 逼近性：n 巧= o l ，c l o s e ( u 巧= l 2 似) ； ，= 一j = 一 ，f 申缩性：厂o ) 营厂( 2 f ) + ，； 平移不变性：厂o ) 厂o 一后) y f ，v k z 劬( 2 7 f 一| j ) ，1 ，r ，七z ) 生成圪的r i e s z 基。即存在常数a 和b ， 0 a b o 。，使得对任意的，_ 维序列c = c tk e z ，2 ( z ) 7 有 么i | c 0 2 - i x 玄c ? 痧。一后) 4 b o c 0 2 ( 2 1 4 ) i i k z1 2 1 i i l 2 ( r ) 则称呖生成三2 俾) 的，重多分辨分析，西( f ) 为此m r a 的尺度函数向量。由多分辨 率分析的定义可知，织( f ) ，矽，( f ) z ock ，故存在r ，的矩阵日。，使得 办( x ) 织( x ) 咖( x ) 1 日矗 ：悸 k e z l ： h 是h 二 日乏h 嘉 日矗日是日二 织( 2 x 一七) 痧2 ( 2 x 一七) 痧，( 2 x 一尼) f 2 1 5 ) b l j 西( f ) = h o ( 2 t 一七) ( 2 1 6 ) 上式称为多尺度函数圣 ) 的矩阵两尺度方程。它可以表示成频域形式 空( 国) = h ( c o 2 ) 0 ( c o 2 )( 2 1 7 ) 其中，蠢；f ，缈) 表示多尺度函数中对每个分量作傅里叶变换后的矩阵函数。 日f ，国) = 去日露p t 础，称为垂( f ) 的矩阵两尺度符号。 厶j j z 根据公式( 2 1 7 ) ，可知： 参( 国) = 日。( 缈) 参( o ) = 兀h d ( o v ) 函( o ) ( 2 1 8 ) i = 1 由多分辨率分析的伸缩性和平移不变性，可以知道与多尺度函数相对应的正 交多小波 甲( r ) = 沙。( f ) y ：( f ) 虬( 纠r 的 伸缩 和平移 妒，女= y 。( 2 。f k ) y ：( 2 。f k ) y ，( 2 7 f 一七) 】r ，( 歹，k z ) 构成正交补空间的正交 基，即在矿f + 1 中的补空间形，的一个标准正交基。 相应地，一定存在，xr 的矩阵g 后，使得多小波函数妒( f ) 满足两尺度方程【2 5 】： 吵( f ) = g k 妒( 2 t 一七) ( 2 1 9 ) 吵( 缈) = 甲( 国2 ) 妒( 缈2 )( 2 2 0 ) 式中，q ( o o 表示多小波函数中对每个分量作傅里叶变换后的矩阵函数。 a ( r o ) = i 1 g t p - i o , , k 称为甲( f ) 的矩阵两尺度符号。g ( 国) 为矩阵高通滤波器的频率响 应，g 。为矩阵高通滤波器的系数。 重庆大学硕士学位论文2 多小波变换的基本理论 设函数缈( f ) r ( r ) ，若有缈( 口+ f ) = 够( 口一于) ，则称缈( f ) 是对称的；若有 伊 + f ) = 一妒 一f ) ，则称伊( f ) 是反对称的。尺度函数和小波函数的对称和反对称 算过程中：无冗余，减少了计算量4 0 1 。有利于数据压缩和数值计算。 矽，在其上不为零的区问称为该函数的支撑。即如果咖的支撑为 0 ，i 】，那么在 区间 0 ，i ：1 2 _ 外，破的值为零。短支撑性可以避免运算过程中因截断而产生的误差， 多小波的两尺度函数的支撑分别为 0 ，1 1 ， 0 ，2 ；s a 4 多小波的两尺度函数的支撑均 为 0 ，3 等。 积分广。0 f 七y ( f ) 出称为函数y ( f ) 的矩。若r 。f y ( f ) 出= 0 ，k = 0 , 1 ，p 一1 ，p 1 ， 而广。f p g t ( t ) d t 0 ，即函数少( f ) 的前p 个矩为零，也就是前p 个矩消失了，此时称 函数y ( f ) 有p 阶消失矩 3 7 1 。所有小波都具有一阶消失矩，为更好地对线性函数进 g h m 多小波是二重多小波，两小波函数y 。( f ) 和y 2 ( f ) 分别是对称和反对称的， 支撑区问均为 0 ，2 。其对应的两个尺度函数么( f ) 和欢( f ) 是相互正交的，两者均是 对称的，支撑区间分别为【o ，1 ， 0 ，2 。g h m 多小波具有二阶逼近阶，它的低通、 凰= 去1 砸- 6 ，马= 去 巍勰皿= 去 麓冀风= 去 兰压斟 g 。= 【- 【：一击：- 31 ，g 。= l - 委一： ，g ：= 【- 吾老二 ，g ，= 吕 二i i l 。0 ， 图2 1g h m 多小波的尺度函数与小波函数 f i g 2 1g h m m u l t i w a v e l e ts c a l i n gf u n c t i o n sa n dw a v e l e tf u n c t i o n s s a 4 多小波 s a 4 多小波是1 9 9 8 年q t j i a n g 构造出的一种对称一反对称的多小波。它的 两个尺度函数办( f ) 和矽：( f ) 的支撑均为【0 ，3 ，两小波函数y ，( f ) 和少：( f ) 的支撑均为 o ，3 。s a 4 多小波滤波器系数矩阵为： 以及 日2 = s h l s ，日3 = s h o s ，g 2 = s g l s ，g 3 = s g o s 其中，s ：d i a g ( 1 ，一1 ) ，口= 4 + 瓜。 s a 4 多小波的尺度函数与小波函数的时域波形如图2 2 所示 图2 2s a 4 多小波的尺度函数与小波函数 2 f i g 2 2s a 4m u l t i w a v e l e ts c a l i n gf u n c t i o n sa n d w a v e l e tf u n c t i o n s 1 3 重庆大学硕士学位论文2 多小波变换的基本理论 c l 多小波 c l 多小波是由c h u i 和l i a n 在强化了双尺度系数具有中心对称、正交性以及 逼近阶数被固定等约束条件下构造的。c l 多小波共有两种： c l 3 多小波，其滤波器长度为3 ，两尺度函数办( f ) 和矽：( f ) 、两小波函数。( f ) 和y ：( f ) 的支撑均5 b o ，2 。c l 3 多小波滤波器系数矩阵为： 风= 三1 11 ，q = 三 1 。童 ，马= 三 一 1 一： 厶 蚓旺o1 1 f 引印互卜 ， 4 4 j l 11 22 矗一而 44 l 一1 q ：扼 c l 4 ：多小波，其滤波器长度为4 ，两尺度函数1 ( t ) 和：( f ) 、两小波函数妙。( f ) 和：( f ) 的支撑均为 o ，3 。c l 4 多小波滤波器系数矩阵为： 风= 如嘉5 肛s - 3 蛎4 i - 6 j ，日= 封蒜5 二揭 耻新盟芎5 - 加1 0 + 3 州1 圻- 6 1 耻新淼鬈z 磐 日2 = s h l s ，h 3 = s h o s ，嚷= s g i s ，g 3 = s g o s 其中，s = d i a g ( 1 ，一1 ) 。 2 2 2 多小波的m a l l a t 算法 令f 巧，巧是由矽，女= 2 j i2 办( 2 t - k ) ，= 1 ，2 ，n ，j ，j z 线性张成 的闭集，根据正交多分辨率分析，则有【2 6 】： 饨) = 钆。“。( f ) = 觑( f ) + 七少u ，。( r ) ( 2 2 1 ) 这里，。 ， c l , j , k = e 厂( t ) 办工。( o a t ，d 。，。= e 厂( f ) y u ，。( t ) d t 。将传统正交小波 分解与重构的m a l l a t 算法扩展至正交多小波情况，令 c j ，女：= ( c 1 ，女，c 2 ，c r , j , k ) 2 ，d ，女= ( d 1 ，j ，d 2 , j , d ，j ，t ) 1 则有【2 6 】： c ，= h 。c 船m ( 2 2 2 ) d 一，k = g 。d 船 ( 2 2 3 ) c j ，。= h ；c j 一。，：。+ 。+ g * k d ，一。，：。+ 。 ( 2 2 4 ) 式