（基础数学专业论文）kaehler乘积流形中的半斜子流形.pdf

s e mi - s l a n t s u b ma n i f o l d s o f ka e h l e r p r o d u c t ma n i f o l d s ab s t r a c t t h e s e m i- s l a n t s u b m a n i f o l d i s a g e n e r a l iz a t io n o f h o lo m o r p h ic s u b m a n if o ld a n d to t a ll y r e a l s u b m a n i f o ld . i n t h i s p a p e r , w e s t u d y s o m e f - in v a r ia n t p r o d u c t s e m i - s la n t s u b m a i n f o l d s o f a k a e h le r p r o d u c t m a n if o l d , a n d c l a s s if y t h e s e s u b m a in f o l d s . t h e n th e y a r e g e n e r a liz e d t o t h e c a s e s o f f - i n v a r i a n t p r o d u c t s e m i- s l a n t s u b m a in f o ld s o f a k a e h l e r p r o d u c t m a n i f o ld , a n d w e c l a s s 勿 t h e s e s u b m a i n f o ld s . s o m e s p e c i a l c a s e s a r e s t u d i e d a s w e l l . t h i s p a p e r i s d iv id e d in t o t h r e e s e c t io n s . i n s e c t io n o n e , th e h i s t o r ic a l b a c k g r o u n d o f t h e r e le v a n t p r o b l e m s is p r e s e n te d a n d t h e m a in r e s u l ts a r e in t r o d u c e d . s e c ti o n t w o i s p r e li m i n a r i e s , in th i s s e c t i o n w e i n tr o d u c e s o m e b a s ic d e f in it io n s a n d p ro p e rt ie s r e la te d to th e s e d e fi n i t io n s . s e c ti o n t h r e e is m a in r e s u lt s a n d p r o v in g p r o c e s s e s o f t h e s e r e s u lt s . f i r s t o f a l l, t h e o r e m 1 is o b t a i n e d b y t h e s t u d y o f a k in d o f p r o d u c t s e m i - s l a n t s u b m a i n f o l d s o f a k a e h l e r m a n i f o ld . a f t e r g e tt in g l e m m a , t h e o r e m 2 i s o b t a in e d b y t h e s tu d y o f f - in v a r ia n t s e m i - s l a n t s u b m a i n f o l d s o f a k a e h l e r p r o d u c t m a n i f o l d . a f t e r g e n e r a l i z e d t h e o r e m 2 t o f - in v a r i a n t s e m i- s la n t s u b m a i n f o l d s o f a k a e h l e r p r o d u c t m a n if o l d , w e g e t t h e o r e m 3 . d u a n x i a n g - y u 但if f e r e n ti a l g e o m e t ry ) d i r e c te d b y o u y a n g c h o n g - t h e n k e y w o r d s : k a e h l e r p r o d u c t m a n if o ld , s la n t s u b m a n if o l d , s e mi - s l a n t s u b ma n i f o l d , f - i n v a r i a n t s u b ma n i f o l d 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导 师指导 下进行的研究工作及取得的 研究成果。 据我所知，除了文中 特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含 其 他 人已 经 发 表 或 撰 写 过的 研究 成 果， 也 不 包含 为 获得 业 业或 其 他 教 育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中 作了明 确的说明并表示谢意。 学 位 论 文 作 者 签 名 (手 写 ):_签 字 日 期 : _二 年 、 月 、 精 f l# 70v 学位论文版权使用授权书 本学 位 论 文 作 者 完 全了 解递达.生 有 关 保 留 、 使 用 学 位 论 文 的 规 定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和 借阅 。 本 人 授 权南昌大李可 以 将 学 位 论 文的 全 部 或 部 分内 容 编 入 有 关数 据 库 进行检索，可以 采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学 位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 手一 社 琳 签 字 日 期 : 叫年6 -y b 日 签字日期: 鞘;孤 日 学位论文作者毕业后去向: 工作单位 : 通讯地址: 电话: 邮编: 引言 k a e h l e r 乘积流形中的半斜子流形 1 1 引言 作为 全纯子流形和全实子流形的 推广， b e j a n c u 1 引入了c r 子流形的 概念。 若k a e h l e r 流形的 一个r 子流形既 不是全 纯子流形， 也不是全实子流形， 则称 为真 c 子流形. 此后，陈邦彦 4 对全纯 子流形和全实子流形了 不同 的推广， 引入了斜子流形的概念。当 斜子流形的斜角为0 时， 它是全纯子流形; 当斜子流 形的 斜 角为 粤 时， 它 是 全实 子 流 形. 如果 一 个 斜子 流 形 不 是 全 纯 子 流形 也 不 是 2- - - - -一 一 一 全实子流形，则称为真斜子流形。随着对 c r子流形和斜子流形研究的深入， p a p a g h i u c 3 】 又 引 入了 半 斜子流 形的 概 念， 它是a t 子 流 形 和 斜子 流 形 的 推广 . 若 一 个 半 斜 子 流 形 的 斜角 为二 时 ， 它是c r 子 流 形 ; 它 的 全 纯 部 分 为 零 时 ， 是 斜 2 子流形。 s a h i n r 2 = i , 衬= x , , x 2 2 = n 2 x , o n 2 = x 2 o x , = () ,() f2=(, - x 2 1 = x 12 + x 2 2 = 二 ， + x 2 = ! . (5 ) 歹 关于 丽的 度 量 和l e v i- c iv i ta 联 络 有 g ( f x , y ) 二 : (x , f y ) ， v, (f x ) 二 f m ,x ) ， v x ， y e f v m ) . (6 ) 预备知识 如 果v p e m， v x e =- t m，有 f i, x = i, f x ， 则 称 m是 m的 f 一 不 变 子 流 形 ， 其中了 是t m的 一 个 线性 变换. 设佩 j , g ) 是k a e h l e r 流 形 ，m是丽的 等 距浸 入子 流 形 ， 则 有g a u “ 方 程 v , y 二 v , y + h (x , y ) , v x ,y e r ( t m ) , (7 ) 和w e i n g a rt e n 方程 v x n一 - a , x + v n ，v x , y e r (t m) ， n e r ( t m ) , ( 8 ) 其中 ， t m 是m 的 切丛， t m i . 是m的法丛， v 是m的l e v i - c i v i t a 联络， v l 是m 的 法联络，h 是m的第 二基 本 形 式， 布是m关 于n的w e i n g a r t e n 变换。 分 解 i x. p x + f x， v x任 r ( t m) ， 其中p x和f x 分别是 j x的 切向 和 法向 分 量 . 类 似地， 分 解- 挤一 ， + f n , v 二 。 r *l 1 1 其 中 *和 f n 分 别 是 ，的 切 向 和 法 向 分 量 . 如 果 v p e m， j 咖 ) c t n m ， 则 称 m 是 丽 的 全 纯 子 流 形 . 如 果 v p e m, j 咖 ) c 林 ， 则 称 二 是 丽的 全 实 子 流形.这两个定义有以 下推广( -9 4 1) : 1 . 若m的 等 距 浸 入 子 流 形m上 存 在 可 微 分 布d: p ，几c 兀 m， 而 且d 关于j 不变，d的正交补分布d l 关于j 反不 变，则 称m是一个c 子流形。 2 . 设 m是 m的 等 距 浸 入 子 流 形 ， 若 饰e m， 1 i x e 耳 m， i x 与 兀 m之 间的夹角0 是常数， 则称m是斜子流形，b 称为m的斜角。 3 .设 fu 1是 m 的 等 距 浸入 子 流 形 ， 若 m 上 存 在 可 微 分 布 d: p h马c t m， 且d 关 于j 不 变， d的 正 交补 分 布 d 1 是 斜的 ， 则 称m是m 的 半 斜 子 流形 . 特别 地 ， 当 d 的 斜 角0 . 0 时， m是 全 纯 的 ; 当 斜 角0 . 三 时， 2 d l 关于j 是 反 不变 的，m是 丽的c r 子流 形. 主要结果 设丽是k a e h le : 流 形 ， m是 它 的 乘 积 半 斜 子 流 形， 即 存 在丽的 全 纯 子 流 形 “ ; 和斜子流形m , ， 使m- m t x m , ， 其中b 是m ， 的 斜角，则v x , , y . e t (t m , ) , (9)l0) g (p x p e ) 二 一 ， (p 2x e , y e ) = c o s 2 0 g ( x y e ) 8 (f xf y , ) 二 s in e b g (x . ,y , ) . 设d i m m - 2 m，d im mt - 2 h ，d im m, - p，4 - 2 m一 2 h 一 p . 当b ， 。 时， f x , ， 。 ， v x , e 1 (t m , . 取 m的 局 部 么 正 标 架 乍 。 ， 气 . ，e . ， 其 中 ， - 1, 2 , -,h ， i . + ” “ 一 2h + 1 ,. . .,2 h + p , 且 限 制 在 m : 时 长 ， 为 m : 上 的 局 部 么 正 标 架 ，限 制 在 m ， 时 ， 认 为 二 。 上 的 局 部 么 正 标 架 。 由 于 凡， 。 而 且 由 ( 1 0 )有 : g(, f e b ) 二 s in e 0 g (ee , ) = s in e 0 5 , 6 . (1 1 ) _fe-1， ， ，_ 、 .， _ _ 故p - 4 时 ， 4 氛 斗 尧 .卜 是 m的 一 个 么正 法 标 架. i - s in e j 妇主要结果 定理1 . 设 m= m , x m 。 是k a e h le r 流 形 m的 乘 积 半 斜 子 流 形，其中 m , 是 丽的 全 纯 子 流 形， m 。 是 丽的 斜 子流 形 ( b ， 0 ) ， 若m的 余 维 数4 与 m， 的 维 数p 相同 ， 则m; 是m中 的 全 测 地 子流 形 证明 : 用8 表 示m上 的 黎 曼 度 量 ， 也 表 示 在 各 个 子 流 形 上 的 诱 导 度 量， v ， v , v ,v ， 分 别 表 示丽， m， m , , m ， 上 的l e v i- c iv ita 联 络， * ， h , h ， 分 别 表 示m， m ,. ， m ， 关 于m的 第 二 基 本 形 式。 则 v x , y t 二 v x , y t 十 h (x , , y , ) 二 v x r y t + h (x ,., y r ) , v x t y t e i (t m 小 主要结 果 故 23) (l(1 h (x , ,y , ) = h (x r ,y , ) , 同理 h (x . , y . ) = h 2 (xy v x , ， y , e 1 (t m , ) . v x , ， y , e t (t m j . “ “ 上 的 ” “ “ 正 标 架 i-ii,e. 一 je e,“ 一 粼， 其 中 - 1,2,-,h , i - i+ h a 2 h + 1 ,- - -, 2 h + p , 限 制 在 m : 上 时, ,e , i 为 m , 上 的 局 部 么 正 标 架 ， 限 制 在 m , 时 仁 为 材 ， 上 的 局 部 么 正 标 架 ， 长1 是 m的 法 标 架 . v n e t (tm l )， 二 n g 二 . 磊， ， x , 磊、 ， 使 得 ， “ ， 则 v x , . y , e 州 t m , ) , z , e i (加， ) ， 8 (h (x , ,y , i f z e ) 二 ， (v , , y , + h (x , ,y r i f z , ) 二 ， iv - , y , ，二 ， ) 二 。 位 x , j y t ,z e = b (v r , n r , z , ) = 8 (v a , j y t ,z . ) = o ( 1 4 ) 故h (x y , ) = h (x y r ) = o , m , 是 m中 的 全 测 地 子 流 形.口 推 论1 . 设m - m , 二 m ， 是 全 纯 截 面曲 率为 。 的 复空 间 形 丽介 ) 的 乘 积 半 斜 子 流形，若m的 余维 数4 与m， 的 维数 p 相同 ， 则m, 也 是 全 纯 截面 曲 率为 的 复空间形。 引理( 5 , 6 ) 设m= m x m2 是乘积黎曼流形， 若m是m的f不 变子流形， 则 m 是 丽 ， 或 丽 z 的 等 距 浸 入 子 流 形 ， 或 者 m = m ， 二 m z 是 丽的 乘 积 子 流 形 ， 其 中从 和m, 分别是m， 和m2 的 等距浸入子流形. 主要结果 证 明 :由 i . 挤e r (t m ) 和 ( 日 ， 有 g (f n ,i .x ) 二 g ( n , f i. x ) = g ( n ,i . f x ) = 0 . v ne r ( t ml ) ( 1 s ) 故 f n任 r ( t m孟 ) .由g a u s s 方 程 v x y = v ,x (i ,y ) = i . (v . y ) + h (x ,y ) 二 v x y + h ( x ,y ) ( 1 6 ) 知 v x ( f y ) 二 v ti x ( _ . f y ) = v i x ( f i , y ) 二 f v , ,r ( i . y ) = f i . ( v x y ) + f h (x , y ) ( 1 7 ) v . ( f y ) = i .v . ( f y ) + h (x , f y ) 故 瓦( v , y ) + f h (x ,y ) = i .v . ( f y ) + h ( x , j y ) 由v f = 0 ，知 i. v x ( f y ) = i . f v x y 二 f i . 仅x 均 因 此 o f .0， 故 f h (x ,y ) = h ( x , 川.( 1 8 ) 由m是丽的万 不 变 子 流 形 ， 知f x = 1 ， 所以f 的 特征 值为， 1 . 对 于饰e m， 设 d , = i x e t o m i f x - 对，d o = x e t r m 1 1x 一对 则 d 二 田 对= t o m m中 的 邻 域u 中 任 意 两 点 p , 4 都 可以 用 极 小 测 地 线 连 接. 设y 为 连 接p + 4 的 极 小 测 地 线 ， y : 0 ,t 1 一 m， 其 中 ， (0 ) = p , y o ) 二 ; . 对 x , , y , e t , m， 将 x y , 沿 着， 平 行 移 动， 得x (t ) ， y ( t) e t . m， 并 且v , x (t ) 二 v ; y ( t) = o .定 义 主要结果 1 : o , r r ，1 (t ) = g ( fx (t ), y ( t) ) . 关 于1 (t ) ， 有 v ; 1 (t ) = v ; g ( f x (t ) ,y (t ) ) 二 g (v ( fx ( t ) ), y ( t) ) + g (1 x (t ) , v y (t ) ) 二 8 ( v ; f ) x ( t) , y (t ) ) + g 沙f x ( 1 ) ,y (1 ) ) + 8 恤( t ), v ; y ( t ) ) = o 故 提常 数 因 此， d im 巩二 。 ， d im 弓= b 都 为 常 数 定 义m上 分 布d , : p hd p , d z : p hd 2 p . 当 习时 ， 有t , “= d , , d , = t m， 几的 积 分 流 形 是 m 由于 ( 1 9 ) r (t m ,) 二 tx e r ( t m ) i - ,x 一 x . r ( t m z ) 二 1 e r ( t m ) i x , x x , v x er ( t m) , n , i , x二 于 ( x , i , x + x z i , x + x ,i , x一 ， z i . x ) 二 告 (ii,x + f i,x ) (20)(zl) x + i , 挤) 贡 (i ,x 一 . f x ) =0 = i , x 才知1. z z , x 因此 t m ct m2 . 故m是mz 的等 距浸入子流形。 同 理，当b = 0 时，m是m: 的 等距浸入子 流形。 当a , b 都 不 为0 时，v x e r ( d , ) , y e r ( d z ) , z e r ( t m) ， 有 f ( z x ) = v z ( f x ) 二 v z x， f ( v z y ) 二 一 v z y . 故 v z xer ( d , ) ， v z y e r (d z ) ， f x , y l = j v , y 一 f v r x 二 v y y 一 v y x二 x ,y . 因 此 ， x ,y e r (d , ) ， d : 对 合 ， 由 f r o b i n iu s 定 理 ， f x ,y = f v . y 一 f v , x 二 一 v x y + v y x 二 一 x . y . vx，y e r ( d , )( 2 2 ) d , 可积。同理， vx，y e r ( d z )( 2 3 ) 主要结果 因 此 x ,y e r ( d . ) ， d z 也 可 积 . 设 城和 m z 分 别 为 d , 和 d z 的 积 分 流 形 . v x e r ( t m, ) , y e r ( t m, ) ，有 g ( x , y ) = g ( i . x , i . y ) 二 g ( i . f x , i . y ) 二 g ( f i . x , i . y ) 二 g ( i . x , f i . y ) = g ( i . x , i . f ) 二 g ( i . x , - i . y ) 二 一 g ( x , y ) g ( x , y ) 司， d x e r ( t m, ) ， y er ( t m2 ) .( 2 4 ) v z x e r ( t m, ) ，v z y e r ( t m2 ) ， d z e r ( t m) g ( v z x , y ) = o , g ( x , v z y ) = o . 因 此， 从和m 2 都 是m的 全 测 地 子 流 形. 由 于m是 局 部单 连 通的 ， 利 用d e r h a m 分 解 定 理 ，m可以 局 部 分 解 为m , x m 2 . 对b x e r (t m , ) ， 由 ， ,i .x = i .x， n 2 i. x = 0 ， 知x e r (t m,) . 因 此 ， m : 是 m， 的 等 距 浸 入 子 流 形. 同 理 ， 材 2 是丽的 等 距 浸 入 子 流 形 . 所 以 ， m是 丽 ， 或 丽 2 的 等 距 浸 入 子 流 形 ， 或 者 m = m , x m 2 是 丽 的 乘 积 子 流形。口 定 理 2 . 设 丽= 万 ， 二 丽 2 是 乘 积k a e h l二 流 形 ， m - m t x m ， 是 它 的 歹 一 不 变 乘 积 半 斜 子 流 形 ，其 中 m ， 是 丽的 全 纯 子 流 形 ， m ， 是 丽的 斜 子 流 形 (b ， 0 ) , 则有且仅有以下几种情况 1 . m- m t x m ， 是m , 或 “2 的 乘 积 半 斜 子 流 形; 2 . m : 是 丽 ， ( 或 丽 2 ) 的 全 纯 子 流 形 ， m ， 是 丽 2 ( 或 丽 : ) 的 斜 角 是 b 的 斜 子流形: 3 . m , = m 卜m j 是 万中 斜 角 是b 的 乘 积 斜 子 流 形 ， m t x m 二 是 m t ( 或 主要结果 丽z ) 的 斜 角 是b 的 乘 积半 斜 子 流形 ，m j 是mz ( 或 丽: ) 的 斜 角 是b 的 斜子 流 形; 4 . m : 一 m 知m 异 是 丽的 乘 积 全 纯 子 流 形 ， m ; 是 丽 ， ( 或 丽 z ) 的 全 纯 子 流形，m 厂 二 m ， 是mz ( 或mi ) 的 乘积 半 斜子 流形: 5 . m ,. - m 柔 二 m子 是丽的 乘积 全 纯 子 流 形， m , = m 二 二 m 矛 是 丽中 斜 角 是 b 的 乘积斜子 流 形，m 柔 x m 二 和 m井 x mj 分 别是m i 和 mz 的 斜角 为b 乘 积 半斜 子 流形。 证明: 设d i m m - 2 m . d i m mi - 叭 ，d i m m z - 2 n , , d i m m, = 2 h . d im m, - p . 由 于m是丽的 万 不 变 斜 子 流 形，由 引 理 知m是m , 或 mz 的 子 流 形 ， 或 m一 m : 二 m , 是 乘 积 流 形 ， 其 中 城是 丽 ， 的 子 流 形 ， m z 是 丽z 的 子 流 形 . m 是m， 或mz 的子流形时，为情况 1 . 设d im m , 二 、 ，d m m 2 二 n 2 ， 则2 h + p = rh + n z . m ; 上 有 两 个 分 布d , 和d z ， v p e m， t , m : 二 巩。 呵， 其 中 弓c t o m , ， 一弓c t m : 分 别 是 d , 和 d z 在 p 点的纤维。 v x , y e 以 d j ， 有v , y e t (t m , ) , v , y ( =- t (t m , ) ， 故 v , y e i (t m t f1 t m , ) = t j d j , x ,y 二 v , y 一 v ,.x e t (d j , 所以 ，d , 可积 . 同理，d z 也可积设d , 和d z 的积分流形分别为m 柔 和m t ，则 m r m 二 : m 弄 ， m 二 和m乒 分 别 是城和m z 的 子 流 形 . 类 似地，m， 二 m 二 x m 矛 ， m二 和m 言 分 别 是城和m , 的子 流 形 主要结果 于 是 ，m 弄 二 m 孟 是m ， 的 乘 积 子 流 形， “ 了 二 m 矛 是 m: 的 乘 积 子 流 形 . 设j , j , 和j , 分别 是m, m: 和m2 上的 复 结构 y p e m和xe 耳 m， 有 x 一 戈+ 凡， 其 中 凡 e 几 丽 ， ， x , e e 耳 丽 : ， 并 且 j x = j x , + j x , = j , x , + j , x , ( 2 5 ) 故 饰e m， y x c - 兀 m , ， 有 i x = 入 x e 毛 丽 : . 另 外 ， 由 m ， 是 丽的 全 纯 子 流 形 ， 可 知 j x e 几 m r . 因 此 ， i x e 几 丽 ， 门 几 m r 二 毛 m r1 .所 以 m ; 是 丽 的 全 纯 子 流 形。 同 理 ，mzr 也 是 m的 全 纯 子 流 形. y p e m , y x e t d m 冰兀 m , ， 有 j x = j ,x e 爪 丽 : . 又 由 m ， 是 万的 斜 子 流 形 ， 知j x - p x + f x ， 其 中 p x e 毛 m , , f x e 几 m ; 。 由 于 向 量 长 度 不 变 ， c o s o = a 为 常 数 ， 故 m 二 是 万 : 的 斜 子 流 形 . 同 理 ， m 矛 是 丽 x 的 斜 子 流 形 . 于 是 ， m r m m异 二 m厂 是丽中 的 乘 积 全 纯 子流 形， m , = m 二 x m 了 是丽中 斜 角 为 b 的 乘 积 斜 子 流 形， m 井 二 m二 和m 早 x m 矛 分 别 是瓦和 丽2 中 的 乘 积 半 斜 子 流 形， 它们的 斜角为0 . 若d im m 二 = 0 , d im m j ， 。 ， d im m 二 k 0 , d im m 子 司， 即 m 矛 = m, ， m 姿 二 m r o 或m 二 = m e ， m君 二 m , ， 得 情 况2 . 若d im m b k 0 , d im m矛 ， 。 ，d im m 二 rt 0 , d im m李 习， 即 m卜m t : 或 m 厂 = m r ， 得 情 况3 . 若d im m 二 = 0 , d im m 矛 ， 。 ， d i m m 票 ， 0 , d im m 异 ， 0 ， 即 m 矛 二 m , : 或 m 卜m , ， 得 情 况4 . 若d im m 二 ft 0 , d i m m j x 0 , d im m 委 o o , d i m m 梦 pe 0 ， 得 情 况s . o 主要结果 推 论2 . 设 m= m1 x m2 是 乘 积k a e h le r 流 形， m 万r : 对。 是 它的 f 不 变 乘 积 半 斜 子 流 形 ， 其 中 m : 是 m的 全 纯 子 流 形 ， m ， 是 m的 斜 子 流 形 ( 8 . 0 ) . 若m的余 维 数9 与 m， 的 维数p 相 同， 则 有 且 仅 有以 下 情 况 1 . m二 二 丽 : ( 或 丽: ) ， m 。 是 丽2 ( 或丽: ) 的 斜 角 为0 的 斜 子 流 形. 当 8 - 二 2 时 ，m， 是 m2( 或m i ) 的i a g ra n g e 子 流形 . 2 . m , = m 卜m ; 是 丽中 斜 角 为 8 的 乘 积 斜 子 流 形 : m r 二 m 二 是 丽 : 的 斜 角 为 b 的 乘 积 半 斜 子 流 形 ， m 矛 是 丽 2 的 斜 角 为 0 的 斜 子 流 形 ; 或 m : 二 m 孟 是 丽 2 的 斜角 为 0 的 乘 积 半 斜 子 流 形， m 二 是 m 的 斜 角 为b 的 斜 子 流 形。 3 . m , m 孚 二 m 异 是 丽的 乘 积 全 纯 子 流 形 ; m 二 是 丽 ( 或 丽 : ) 的 全 纯 子 流形 ，m 子 二 m ， 是 m2 ( 或丽 : ) 的 乘 积 半斜 子 流 形 . 4 . m t = m 知m 井 是 丽的 乘 积 全 纯 子 流 形 ， m , = m 二 二 m j 是 丽中 斜 角 为 e 的 乘 积 斜 子 流 形 ， m 异 二 m 二 和 m 厂 x m 才 分 别 是 丽 : 和 m 2 的 斜 角 为 e 的 乘 积 半 斜 子流形。 证明: 由 于m的 余维 数 4 与m ， 的 余 维 数p 相 同， 故m - m , + /n 2 - h + p . 设 d im m卜叭 ，d i m m 2 二 u2 ，d i m m卜 p i ，d i m m e 二 p 2 ， 则h - k , + h 2 ， p - p i + p 2 、 = 叭+ p , , n 2 二 2h 2 + p 2 . 因为 m r x m b 是m : 的 乘 积半 斜子 流 形 ， 故 v p e m ， v x , e t p m b , 有j x , = p x , + f x , e t p m . ， 其 中 p x , e t , m , ， 故 f x e e 兀mi . 由 ( 5 ) , v x t e t p mi ， 有 0 = b (j x t ,x . ) 二 一 b (x t ,j x , ) 二 一 s (x t , p x , ) 一 8 ( x t , f x e ) 二 一 8 ( x t ,f x , ) , 主要结果 故 f x b 14 t v m 1 ， 于 是， 2 m , 二 n , + p : 二 2h,+2 p , . 同 理 ，2 m , a n t + p 2 = 2 h 2 + 2 p 2 故 m , = k , + p , ， m 2 = h 2 + 几 于是 ， mo=m,， m 弄 = m r ， 有m , = h + p = m， m 2 = 0 : 或m 2 = m ee，m 尹 二 m r ， 有 。 2 = h + p = m ， m , = 0 . me = m s ，mim r = m r ， 有 。 1 = h ， m 2 = p ， m r = mi ; 或 m 二 = m e ， 当 e 三时 ， 2 m2 = mr - r ， 有 m , 二 p ， m 2 = h ， m r = m 2 . m 。 是丽2 的la g r a n g e 子 流 形 ， 或是 丽: 的i a g rm g e 子 流 形.口 定 理3 . 设 丽二 丽: x 丽2 是 乘 积k a e h le r 流 形. 若m是 它 的歹 不 变 半 斜 子 流 形( 0 0 0 ) ， 则 有 且 仅 有以 下 情况 1 . m是 mi 或丽2 的 半 斜 子 流 形: 2 . m - m : 二 m ， 是 丽的 乘 积 半 斜 子 流 形 ， m r 是 丽 ， ( 或 m 2 ) 的 全 纯 子 流 形 ， m ， 是 m 2 ( 或 m , ) 的 斜 角 为 。 的 斜 子 流 形 : 3 . m= m 手 二 m 矛 是 丽的 乘 积 子 流 形 ， 其 中 m 二 是 万 : ( 或 m s ) 的 全 纯 子 流 形 ， m 矛 是 丽 z ( 或 万 ; ) 的 一 个 斜 角 为 b 的 半 斜 子 流 形 ; 4 . m= m 界 二 m 矛 是 丽的 乘 积 子 流 形 ， 其 中 m 姜 是 m i ( 或 万 z ) 的 斜 角 为 b 的 半 斜 子 流 形 ， m 言 是 m z ( 或 丽 ; ) 的 一 个 斜 角 为 b 的 斜 子 流 形 : 5 . m= m 寻 二 m ze 是 丽的 乘 积 子 流 形 ， 其 中 m 异 是 m i 的 斜 角 为 。 的 半 斜 子 流 形 ， m j 是 丽 z 的 一 个 斜 角 为 b 的 半 斜 子 流 形 。 证 明 : 由 于“是万的歹 不 变 半 斜 子 流 形， 由 引 理 知m是丽 ， 或丽z 的 子 流 主要 结果 或 者 m- m , x m : 是 乘 积 流 形 ， 其 中 m : 是 丽 i 的 子 流 形 ， m 2 是 丽 2 的 子 流 设m 上的分布d是j不变的，d l 是斜的。 形形 当m是m: 或m2 的子流形时，知m是m， 或m2 的半斜子流形，此时为情 况 1 . 当 m- m : 二 m 2 是 乘 积 流形 时， 设 d o n t o m : 二 熙， d o n t p m 2 = 川. 对 v p e m , v x e 弓， 由 d 是 j 不 变 的 ， 得 j x e d p ， 又 由 丽 : 是k 2 e h l e r 流 形 ， i x e 兀 mi ，得 i x e 玛， 因 此d , 是 m , 的 j 不 变 分 布 同 理， d 2 是 m 2 的 j 不 变 分布。 对n t p m ， 二 弓 1 对n t p m : 二 弓 1 饰 e m .对 v x e 只 1 ， 有 me 毛 丽 : ， 又由 于d l 是 斜 的， 知 树 在m, 上 是 斜的 同 理， d 2 在m 2 上 是 斜的 当d ct m , ， 且d c t m2 ， 或 者d l c t m , ， 且d c t m2 时 ， 为 情 况2 . 当d ct m, 或d c t m 2 ， 且时和树非 零时 ， 为 情况3 . 当d - c t m， 或d c t m, ， 且几和几非零 时 ， 为 情况4 . 当几,d 2 , 时， 居都非 零 时， 为 情 况5 .口 推论3