（基础数学专业论文）bernoulli多项式与幂和多项式.pdf

b e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n dp o w e rs u mp o l y n o m i a l s b y l iq i n g p i n g b s ( h u b e in o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e p u r em a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o ry a n gs h e n g l i a n g m a y , 2 0 1 1 帆73帅858 帅8“iil-y 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：彦噶军 日期：弘，f 年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，l i p ：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务 作者签名：看嚆犀 新獬：印形 日期：，年，月君日 日期：力秒( 1 年6 月7 日 目录 摘要 i a b s t r a c tj i 第一章 1 1 1 2 第二章 2 1 2 2 2 3 第三章 绪论 研究背景 基本定义及性质 幂和多项式与b e r n o u l l i 多项式的行列式表示 b e r n o u l l i 多项式已有的表示方法 幂和多项式与b e r n o u l l i 多项式的行列式表示法 行列式表示法的应用 幂和矩阵及其代数性质 3 1 幂和多项式已有的研究 3 2 幂和多项式与b e r n o u l l i 多项式矩阵研究 3 3 幂和矩阵的定义 3 4 幂和矩阵的代数性质 结论与展望 参考文献 致谢 附录 1 1 4 6 6 7 心 俎幻 驭 ；：； 勰 摘要 b e r n o u l l i 数及b e r n o u l l i 多项式在数论、组合学、数量分析理论等领域有很多 重要的应用g e n o c c h i 数，s t i f l i n g 数，正切数，余切数等都与b e r n o u l l i 数有密切 的关系十七世纪，数学家j a c o bb e r n o u l l i 在研究自然数的幂和时发现了这类特殊 的数此后，数学家们利用各种方法对这类特殊的数进行了大量深入的研究，得到 了许多有意义的结论 本文主要是在利用发生函数研究b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多项式以及幂和多 项式的基础上，选取行列式法，矩阵法对b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多项式以及幂和 多项式的性质进行研究，并得到一些基本结果，具体内容如下： 第一章介绍了b e r n o u l l i 数与b e r n o u l l i 多项式以及幂和多项式的基本定义和 性质 第二章在原有的研究b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多项式的表示方法的基础上，提 出利用行列式法来研究b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多项式以及幂和多项式，给出了 b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多项式以及幂和多项式的新的表示方法 第三章利用矩阵方法对b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多项式以及幂和多项式的代 数性质进行了研究 关键词：发生函数；b e r n o u l l i 数；b e r n o u l l i 多项式；幂和多项式：行列式：矩阵 a b s t r a c t b e r n o u l l in u m b e r sa n dp o l y n o m i a l sh a v en u m e r o u si m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni n n u m b e rt h e o r y , c o m b i n a t o r i c s ，a n dc l a s s i c a ln u m e r i c a la n a l y s i s t h en u m b e r so fg e n o c - c h i ，s t i r l i n ga n do t h e r s ，a sw e l la st h et a n g e n tn u m b e r s ，s e c a n tn u m b e r s ，e t c ，a r ec l o s e l y r e l a t e dt ot h eb e m o u u in u m b e r s i nt h es e v e n t e e n t hc e n t u r y , t h em a t h e m a t i c i a nj a - c o bb e r n o u l l id i s c o v e r e dt h e s es p e c i a ln u m b e r sw h e nh es t u d i e dt h ep o w e rs u m p o l y n o m i a l s s i n c et h e n ，t h em a t h e m a t i c i a n sh a v es t u d i e dt h e s es p e c i a ln u m b e r si n - v o l v i n gv a r i o u sm e t h o d s ，a n dt h e yh a v eg o t t e nm a n ys i g n i f i c a t i v er e s u l t s i nt h i sp a p e r ，w es t u d i e dt h ei d e n t i t i e so fb e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n d p o w e rs u m p o l y n o m i a l si n v o l v i n gt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n ，m a t r i xa n dd e t e r m i n a n t w ea l s o o b t a i n e ds o m ei n t e r e s t i n gi d e n t i t i e s ，t h ec o n t e n t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1i st h ei n t r o d u c t i o no ft h eb a c k g r o u n do fb e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n d p o w e rs u i np o l y n o m i a l s ，w h i c hg i v e st h ed e f i n i t i o n sa n db a s i ci d e n t i t i e so fb e r n o u l l i p o l y n o m i a l sa n dp o w e rs u mp o l y n o m i a l s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c e db e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n dp o w e rs u mp o l y n o m i - a l si n v o l v i n gd e t e r m i n a n tm e t h o d ，a n dg a v ean e wa p p r o a c ht ot h eg e n e r a t i o n so f b e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n dp o w e rs u n lp o l y n o m i a l s i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c e db e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n dp o w e rs u mp o l y n o m i a l s i n v o l v i n gm a t r i xm e t h o d ，a n dg o tt h e i ra l g e b r a i cp r o p e r t i e s k e yw o r d s ：g e n e r a t i n gf u n c t i o n ；b e r n o u l l in u m b e r s ；b e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ；p o w e r s u mp o l y n o m i a l s ；d e t e r m i n a n t ；m a t r i x 第一章绪论 1 1 研究背景 组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支，计算机科学的实质 就是算法的科学，而计算机所处理的对象就是离散的数据，所以离散对象的处理就 成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学组合数学的发 展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面组合数学诞生于十七世纪，是 一门既古老而又年轻的数学分支，古老是早在河图、洛书中我国人民就已对 一些有趣的组合问题给出了正确的解答，年轻是这门学科的飞速进展乃是近几十年 的事随着统计学、代数学、数论，特别是电子计算机的出现与发展，组合数学逐渐 显示出在数学理论及应用方面，其它学科不可替代的作用组合数学与其它学科相 结合，不断创造出新理论、新方法如今，组合数学已渗透到很多领域，其它学科的 研究方法又为组合数学提供了有效的新工具而且，组合数学的发展还因各种应用 学科的需要而形成带有实际应用色彩的新方向，像运筹学、规划论、生物数学等学 科的发展，都给组合数学理论提供了新问题，从而推动着组合数学的更快发展在 组合数学领域，二项式系数、b e r n o u l l i 数、e u l e r 数、两类s t i r r i n g 数、f i b o n a c c i 数 等等都是组合数学中无处不在，经常遇到的序列，且都具有深刻的组合背景，所以 我们称这些序列为经典组合序列，经典组合序列源于组合数学中的计数问题，并被 作为计数工具来使用，在其中起着重要而特殊的作用，一直是组合界的热门话题之 一很久以来，一直有不少人对他们进行研究，证明他们在组合数学中起着非常重 要的基础性作用，许多离散问题都与他们有密切的关系至今这些序列还吸引着不 少数学工作者的浓厚兴趣，对他们的研究特别是应用研究从未间断过 在组合数学中有许多特殊序列，如二项式系数、f i b o n a c c i 数、b e r n o u l l i 数、e u l e r 数、两类s t i r r i n g 数以及b e r n o u l l i 多项式、e u l e r 多项式等等，这些特殊序列均满 足大量的恒等式，并且在组合学、数论、数值分析等领域都有广泛的应用研究这 些特殊序列历来是组合数学的主要课题之一，具有重要的意义对于这些特殊的组 合序列以及与组合序列相关的矩阵，我们不仅需要研究它们本身所具有的性质以及 它们的相互关系，还需要研究这些序列和矩阵的共性，从而找到统一的理论或工具 来处理它们 研究组合恒等式的方法多种多样，这些方法也各有千秋，需要根据不同的问题， 灵活地选择适当的方法，合理地运用技巧和经验，提高观察和分析能力，探求更加 快捷、简练的证明方法，得到更多有意义的结论其中，常见的发生函数方法的基 本思想是：欲求未知数列 o 。：n o ) ，可先求出由此数列做成的幂级数的和函数 g ( z ) = 矿，再反过来把夕( z ) 展成幂级数以求出下面介绍矩阵方法在 1 b e r n o u m 多项式与幂和多项式 组合学中的一些应用对于两个矩阵a = ( o , i ，七) m l 和b = ( b k , j ) l x n ，我们知道 l 按矩阵乘法法则，a b = c = ( q j ) 。n 等价于q j = 啦，k b k d 更进一步，对于 k = 0 两个无穷下三角矩阵a = ( 。i ，j ) o g g 车和b = ( 6 t j ) o g 型，a 与b 互逆等价于 ，忌k ，m = 如，n ，其中如，n ( m ，n = 0 ，1 ，2 ，) 为k r o n e c k e r 记号这样，给定 两个序列和，如果鲰= a n , k x 七则有= k ，k y 七，反之亦然这说明 k = 0k = 0 矩阵可以应用到恒等式的研究上，我们可以利用矩阵理论来研究组合序列的性质， 发现和证明组合恒等式 本文主要研究b e r n o u l l i 多项式和幂和多项式这两个组合序列的相关性质数 学家j a k o bb e r n o u l l i 在研究m 阶的自然数幂和时，首先发现了b e r n o u l l i 数：定义 n 一】 & 伽) = 0 m + 1 仇+ + 一1 ) m = 尼m ( 见文献【3 ，6 】) ，展开上式： k = 0 s o ( n ) = n 研( 礼) = 互1 扎2 一 佗 ( 礼) = i 1 佗3 一 礼2 + 佗 岛( 礼) = 一j 扎3 + j 扎2 & ( 礼) = 5 1 佗5 一互1 7 5 4 + 吾1 佗3 一i n 岛( 佗) = 护一；礼5 + 丧佗4 一i n 2 岛( 佗) = 彳1 钆7 一 护+ ；礼5 一 护+ 麦n s 7 ( n ) = 百1 扎8 一 + 矗佗6 一丢矛+ 7 7 , 2 & ( 礼) = 护一j 扎8 + ；n 7 一杀他5 + ；舻一嘉佗 岛( n ) = 击礼1 0 一 护+ i 舻一面7n 6 + 互1 礼4 一嘉礼2 s l o ( n ) = 击n 1 1 一 n 加+ ；护一n 7 + 舻一 护+ 盖礼 j a k o bb e r n o u l l i 观察发现：( 佗) 中+ 1 的系数总是丽1 ；n m 的系数总是 一2 1 ；驴一1 的系数总是曼；扩一2 的系数总是o ；一3 的系数总是- - m ( m 币- - 1 广) ( m - - 2 ) ；死竹l 一4 的系数总是0 且以的系数总是( m ) k = 高的常数倍这些规律即为 b e r n o u l l i 最初的发现j a k o bb e r n o u l l i 并没有给出具体的证明过程用现在的符 号可将上式写成如下形式( 见文献【6 】) ： ( 佗) = 矗( 玩+ 1 + ( m 1 ) b - 扩+ + ( 呓1 ) 礼) = 丽1 ( 1 ) b k n 卅1 。知 k = 0 这里的鼠( n = 0 ，1 ，2 ，m ) 即为b e r n o u l l i 数 在b e r n o u l l i 数被发现之后，研究者给出了b e r n o u l l i 数的定义： 【m = o 】，( m 0 ) 此处m = 0 】表示m = 0 时等式值为1 ；m 0 例如：( ：) 玩+ ( ；) j e 7 1 = 0 下面列出几个常见的b e r n o u l l i 数： 2 j = o ( 等1 ) 岛= 时等式值为0 脚 硕士学位论文 n012 345 67891 0 b n 1 一互1 石10 一嘉0 磊0 一嘉0 矗 随后，又有研究者给出了b e r n o u l l i 数的发生函数( 见文献【3 ，6 】) ：击= 黑eb 5 ，对上式做变换则有：酉t + = 互t 两e t + l = ；鲁芝专= ；c o t h 互t 又：s i n h 亡= 曼望2 ，c o s h t = e t + r e - t 令一t = t ，由( 一互t ) e o t h ( 一互t ) = c o t hi 则知： 岛；岛：岛：b 9 ：b n ：b l s ：= 0 此后，学者将b e r n o u l l i 数推广到b e r n o u l l i 多项式，b e r n o u l l i 多项式首次出现 是在1 8 5 1 年r a a b e 用于乘法定理中( 见文献【4 】) ： 去鼠( z + 磊k ) = m 吨玩( m z ) 实际上，早在1 6 9 0 年j a c o bb e r n o u l l i 已介绍了b e r n o u l l i 多项式，他还发现 b e r n o u l l i 多项式与幂和& ( m ) = 驴的关系( 见文献 3 ，6 】) ，即： k = 0 & ( m ) = 鲁志舻+ 1 。七= 而1 ( b n + l ( m ) 一岛+ l ( o ) ) 而数学家l e o n a r de u l e r 给出了b e r n o u l l i 多项式的发生函数( 见文献【3 ，6 ，1 0 1 ) , 旦：墨盟少 e t 一1 名佗!n = ：u 显然有：玩( 0 ) = 玩至此，有关b e r n o u l l i 数与b e r n o u l l i 多项式的研究越来越 多，文献 1 8 ，2 3 ，3 7 ，4 3 】等给出了b e r n o u l l i 多项式的高阶推广，并证明了高阶的 b e r n o u l l i 多项式的相关性质文献【7 ，1 2 】等研究了b e r n o u l l i 多项式的对称性等 等 研究b e r n o u l l i 数与b e r n o u l l i 多项式的方法多种多样，各有千秋：在1 9 6 8 年，j r i o r d a n 就在其专著( c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s ) ) 一书中系统地阐述了研 究组合序列、发现并证明组合恒等式的理论1 9 7 2 年，h w g o u l d 在其著作 ( ( c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s ) ) 中列举了5 5 0 个恒等式，为人们提供了一个方便查阅的 公式表1 9 9 4 年，徐利治先生也总结了组合恒等式发现与证明的方法而从上世纪 9 0 年代初开始，d z e i l b e r g e r 、h s w i l f 等人提出并发展了组合恒等式证明的方 法这些著作均为研究b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多项式提供了有力的理论依据本 文主要是在利用发生函数研究b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多项式以及幂和多项式的 基础上，选取行列式法，矩阵法对b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多项式以及幂和多项式 的性质进行研究，并得到一些基本结果 在此，我们还提到一类与b e r n o u l l i 数与b e r n o u l l i 多项式相似的组合序列：e u l e r 数与e u l e r 多项式我们已经知道b e r n o u l l i 数是数学家j a k o bb e r n o u l l i 在研究m 3 b e r n o u l l i 多项式与幂和多项式 阶的正整数幂和时发现的，而e u l e r 数时数学家l e o n a r de u l e r 在研究交错的整数 幂和时发现的e u l e r 数与e u l e r 多项式无论是在形式还是性质上与b e r n o u l l i 数与 b e r n o u l l i 多项式均有相似，因此，本文中涉及到b e r n o u l l i 数与b e r n o u l l i 多项式的 基本结果，也会给出e u l e r 数与e u l e r 多项式的相应结果有关e u l e r 多项式以及 高阶e u l e r 多项式的性质可参见文献1 0 ，1 5 ，2 3 ，3 7 ，4 3 1 等 幂和多项式与b e r n o u l l i 数及e u l e r 数关系密切，幂和多项式在数值计算中应 用较多，比较常见的是正整数幂和多项式与交错的整数幂和多项式，有关幂和多项 式的研究历年来亦是层出不穷：有关幂和多项式的性质及相关结论的研究可参见文 献f 8 ，1 9 ，2 0 ，2 6 ，2 7 1 等有关幂和多项式的计算问题可参见文献2 8 ，3 9 ，4 5 ，4 9 1 等本文亦给出了幂和多项式的行列式表示法以及利用矩阵法得出其与几个组合序 列之间的代数关系 下面首先给出有关b e r n o u l l i 多项式，b e r n o u l l i 多项式以及幂和多项式的基本 定义及性质 1 2 基本定义及性质 定义1 2 1 ( 见文献【3 ，6 ，1 0 ) b e r n o u l l i 多i 贝式与e u l e r 多项式如f 定义： 蓦：壹鼠( z ) 五t ne t 一1 厶一”r 7 扎! 磊= 薹脚，筹 e t + 1 二 一 佗 n 乏叭证 r l 得 = 即 第三章幂和矩阵及其代数性质 3 1 幂和多项式已有的研究 下面我们来看已有的有关幂和式的一些研究 ( 1 ) 利用第2 类s t i r l i n g 数求幂和：由文献【6 】知 虹批卜扣广j 踟 此处翟= i ( i 一1 ) - j + 1 ) ，i 3 = i ( i + 1 ) ( i + 歹一1 ) ，符号( ；) 代表二项式系 数，即( ；) 兰琊，符号 ；) 代表第2 类s t i r l i n g 数又 虹副= 扣广锄戮+ 对上式中的i 从1 到i i 求和可得： 跏，= 副北：三) = 驴k 广锄趴黝 ( 2 ) 利用e u l e r i a n 数求幂和：设p = p i p 2 是一个置换，若p i p i + 1 则称 i 是p 的一个降阶( 见文献【3 ，6 】) 令a ( n ，k ) 为有k 一1 个降阶的n 元置换的个 数，称其为e u l e r i a n 数由w o r p i t z k y 性质： 虹妻撕，( 计= 赛撕，( 抖k 忌。) 对上式中的i 从1 到1 1 求和可得： 跏，= 骞撕，g ：主) = 骞撕，( 一川k - j “) ( 卜虹善k - 1 ( 廿，( 扩 对上式中的i 从l 到n 求和可得： 拈一争广j ( 拇垆驴k 广j g 够“毗 b e r n o u l l i 多项式与幂和多项式 取k = 1 ，2 ，3 ，整理后可得： 10o000 一1 200 00 133o 00 一l 464 00 151 0 - 1 050 一1 6- 1 52 0 - 1 56 ( 4 ) f a u l l l a b e r ( 详见文献【1 6 】) ：f h 似矿喇_ 1 ) 肛2 盖( 扩。 岛) 研m ) ( n ) 岛( 佗) ) ( n ) 对上式中的i 从1 到n 求和可得： 州矿= 2 三( 一垆2 妻( 2 七一乞+ 1 ) 酬毗 取k = 1 ，2 ，3 ，整理后可得： n ( n + 1 ) ( 佗m + 1 ) ) 2 - - i - 1 ) ) 3 m + 1 ) ) 4 ( n ( n + 1 ) ) 5 = 2 10 o 0 0 0 2 0 o o 013 o 0 0 0 4 4 0 0011 05 研) 岛( 佗) ( 死) 岛) 岛( 亿) ( 3 1 ) ( 3 2 ) 岍1 ，k + l _ i k + l c 删2 磊c ( 尼1 ) + ( 护m 。+ 3 e v e ng m 对上式中的i 从1 到n 求和可得： 以州广1 2 三c ( 七1 ) + ( 拇小知，+ j e v e ng 11 ) 知) 因此： 2 以州，k + l - - - - 2 j o d d ( ( 七1 ) + ( 州“卅2 三o k 1 ) 嘛知， n咏啭小小廿； 硕士学位论文 = 2 三c ( 七；1 ) + ( 辂小如川c 产 则有：c 2 n 1 ，c n c n + 1 ，靶：2 嘉c ( 七；1 ) + ( 多) ) s 2 k + ，一a n ，) (1 ) ( n + 1 ) ) k 芝二( ( ：上) + i ：) 1 一 取k = 1 ，2 ，3 ，整理后可得： ( 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) ( 死( 死+ 1 ) ) 2 ( n ( n + 1 ) ) 3 ( n ( n + 1 ) ) 4 + 1 ) ) 5 = 2 ( 5 ) k n u t h ( 详见文献 8 】) ：由 3 00 00 150o0 0 57 00 0l1 4 90 0 o73 01 l 岛( 佗) & ( n ) 鼠( 死) & ( 礼) 研o ( 钆) ( 3 3 ) 佗= ( ：) ； 礼3 = 6 ( “言1 ) + ( ：) ； n 5 = 1 2 0 ( n 吉2 ) + 3 0 ( n ；1 ) + ( ：) ； 容易知任意奇次幂的g ( n ) 可以表示为如下的线性关系： g ( n ) = o t ( ：) + a 3 ( “j 1 ) + a s ( n 吉2 ) + 整理后可得： 夕) = o - ( n 言1 ) + a s ( n ：2 ) + 0 5 ( n 言3 ) + 对于奇数次幂和则有： n 1 = ( n j l ) ； e n 3 = 6 ( “：2 ) + ( n 吉1 ) ； e n 5 = 1 2 0 ( n 吉3 ) + 3 0 ( n ：2 ) + ( n 言1 ) ； e n 7 = 5 0 4 0 ( ”吉4 ) 十1 6 8 0 ( n 吉3 ) + 1 2 6 ( “妄2 ) + ( “言1 ) ； 护= 3 6 2 8 8 0 ( 气+ 0 5 ) + 1 5 1 2 0 0 ( n 吉4 ) + 1 7 6 4 0 ( “吉3 ) + 5 1 0 ( n j 2 ) + ( n 言1 ) ； e n l l = 3 9 9 1 6 8 0 0 ( 1 + 6 ) + 1 9 9 5 8 4 0 0 ( 气+ 5 ) + 3 1 6 0 0 8 0 ( ”言4 ) + 1 6 8 9 6 0 ( ”言3 ) + 2 0 4 6 ( ”：2 ) + ( “孝1 ) ； e n l 3 = 6 2 2 7 0 2 0 8 0 0 ( 1 + , 7 ) + 3 6 3 2 4 2 8 8 0 0 ( 1 + 6 ) + 7 2 6 4 8 5 7 6 0 ( 写+ 5 ) + 5 7 6 5 7 6 0 0 ( “吉4 ) + 1 5 6 1 5 6 0 ( ”吉3 ) + 8 1 9 0 ( “：2 ) + ( “妄1 ) 19 b e r n o u l l i 多项式与幂和多项式 同理，对于偶数次幂和我们可以如下得到： 此处： 因此： 舻= 死( ：) = 6 死( n j l ) + 死( ：) 礼6 = 1 2 0 n ( n 言2 ) + 3 0 死( n ；1 ) + 礼( ：) = 巩( 礼) ， = 1 2 巩) + 巩) ， = 3 6 0 u 3 ( n ) + 6 0 v ( n ) + v l ( n ) ， 嘶，= 永+ k - 1 ) = c 麦七) + ( n 麓。1 ) 舻= 丑( n ) ， n 4 = 1 2 t 2 ) + t 1 ) ， n 6 = 3 6 0 t 3 ( 死) + 6 0 乃+ t 1 ) ， e n 8 = 2 0 1 6 0 t 4 ( 佗) + 5 0 4 0 t 3 ( n ) + 2 5 2 t 2 ( n ) + t 1 ( 几) ， e n l 0 = 1 8 1 4 4 0 0 t 5 ( n ) + 6 0 4 8 0 0 t 4 ( n ) + 5 2 9 2 0 t a ) 十1 0 2 0 t 2 ( n ) + 五( n ) ， e n l 2 = 2 3 9 5 0 0 8 0 0 t 6 ( 佗) + 9 9 7 9 2 0 0 0 t 5 ( 佗) + 1 2 6 4 0 3 2 0 t 4 ( n ) + 5 0 6 s s o t 3 ( 他) + 4 0 9 2 t 2 ( 佗) + t 1 ( 礼) ， 此处： 靳，= ( 佗麦驻1 ) + ( 蒜) = 丽2 n + 1c 矗尼) ( 6 ) g e s s e l ( 详见文献【5 】) ：令 n ( 扎) = ( 一1 ) n 一i m = ( 一1 ) n 一1 ( 1 m 一2 m + 3 m 一+ ( 一1 ) n + 1 矿) 死。( n ) = 又 i = 1 ( 一1 ) n i 2 m = ( 一1 ) ”一1 ( 1 2 m 一2 2 m + 3 2 仇一+ ( - - 1 ) “+ 1 礼轨) i = i ( i ( i + 1 ) ) 七十“( t 一1 ) ) 七= 2 j e v e n ( ；) i 2 奄一j 两边同乘以( 一1 ) n 一对上式从i = 一n 到礼求和且除以2 可得： ( 佗+ 1 ) ) 南= 2 je v e n( “啦2 壹j = o ( 2 七一k 巧) 靳卜 取k = 0 ，1 ，2 ，整理后可得： 此处 此处 1 n ( n + 1 ) ( n + 1 ) ) 2 ( n ( n - i - 1 ) ) 3 m - t - 1 ) ) 4 = 2 硕士学位论文 l0 000 0l0 o0 01l00 0 0 3l0 0 0161 ( 佗) 死( 死) 五( n ) 死( 佗) 死( 死) ( 7 ) 张帆( 详见文献 1 7 1 ) ：定理1 ：令a = n ( n - t - 2 x - t - 1 ) 则有 nm o + t ) 2 1 = m ( z ) ”， i = 1k = l 砂k ) = 去霎( 哿) ( 乏) + 互1 ) 2 t 吨七岛m 墙( 争砂( z ) = 去萎( 蛩) ( 乏) + 互) 2 t 吨七岛m 墙( 争 定理2 ：令a = n + 2 x + 1 ) 则有 ( 一1 ) 州 + i ) 2 m = g ：m ) ( z ) ”， i - - - - 1k - - 1 g = 三姜( 劲( 弘q 1 “k 办1 尼鲰 g 3 m ( z ) = 三( 1 一( 一1 ) n ) 易m + 1 ) 下面我们将给出幂和多项式的另外一些结果 由 3 2 幂和多项式与b e r n o u l l i 多项式矩阵研究 钟_ ( 2 删七= 2 暑( 芋) 凇 ( 3 4 ) b e r n o u m 多项式与幂和多项式 对上式中的i 从1 到1 1 求和可得： ( 2 n + 1 ，2 k _ _ l = 2 磊o d d ( 跏，=j 取k = 1 ，2 ，3 ，整理后可得： 又由 ( 2 佗+ 1 ) 2 1 ( 2 n + 1 ) 4 1 ( 2 礼+ 1 ) 6 1 ( 2 n + 1 ) 8 1 ( 2 n + 1 ) 1 0 1 ： ( ；) ( ；) ( ：) ( ；) ( ? ) ： 0o 0 ( ：) ( ：) h ( 2 i + 1 ) 2 七一1 一( 2 i 一1 ) 2 七一1 = 2 对上式中的i 从1 到n 求和可得： ( 2 他+ 1 ) 2 扛1 1 = 2 ，e v e n f n = 1 0 0 0 ，e v e n ( 2 三1 ) 2 2 “n 0 。 0 0 0 ( 弩) ( 妣：- 1 ) 2 j 矿 ( 2 七歹1 ) 嘲栌圭 取k = 1 ，2 ，3 ，整理后可得： ( 2 n + 1 ) 一1 ( 2 佗+ 1 ) 3 1 ( 2 死+ 1 ) 5 1 ( 2 扎+ 1 ) 7 1 ( 2 n + 1 ) 9 1 ： ( 0 1 ) ( ：) ( ：) ( ；) ( ：) ： 2 2 & m ) 2 4 岛( 礼) 2 6 & ) 2 8 岛) 2 1 0 岛( n ) ( 3 5 ) ( ：2 k1 ) 2 姗1 一n 2 s o ( 佗) 2 3 岛) 2 5 & ( n ) 2 7 岛( 几) 2 9 & ) 此玳由引理2 2 1 ( 曼口n 等) ( 三o ok 等) = ( 曼c n 筹) 中得：。= c o 0 1 a o lb o a l2c 1 鲁n o + 6 1 0 1+ b z o ! a 2 = 景 鲁知+ 研b n - - 1 。+ 击蜀警+ + 。n = 鬻 整理后得：6 0 0 0 = c o ( 3 6 ) ) n ， 一，一 嘞； ) g g g g ； ，j 0 0 0 0； o o o 0 0 ； 、l，、l，、l， o o0； o 0】。0； 6 1 口o4 - b o a l = e l 6 2 0 0 + 2 b l a l + b o a 2 = c 2 硕士学位论文 ( ：) 6 n l a l + ( ；) 6 n 一2 a 2 + ( ：) 6 0 00 ( ：) 6 t( ；) 6 0 0 ( ：) 6 2( ；) 6 -( ：) 6 0 ii： ( ；) 6 n( ：) k 一，( ；) k 一2 由曼掣俨：由 曼墨铲t n ( e t 一1 ) ：t e 疵 e t = 等 b n ( z ) 等嘉等= 亡矿等 n = 0n - - - - 0 n = 0 = 风p ) ，k = 嘉，c n = t x n ，( ：) t 000 i ( ：) ( ；) 亡0 0 l ( ：) ；( ；) ；( ；) t 0 l ；! ( 苫) 而t ( ：) 砉( 三) 击( ；) 南 ，( ：) 0 00 i 黝 ( ；) 0 - 0 l 狗( ；) 0 i i；ii 丽1 ( ；) 元1 ( ：) 击( ：) 击( ；) 由曼掣护：南一 0 0 0 i ( ：) ( ：) ， o o 、 则三风( z ) 可t n ( 1 + n - - - = 0 等) 2n - - 0 2 扩等n = 0 显然：歹= 0 ，b o = 2 ； j 1 ，b j = 1 故：= b p ，k = ；：蓁：，c n = 2 扩 ( z ) ( z ) ( z ) 风( z ) b o ( z ) b 1 ( z ) 岛( z ) 风0 ) 2 m； 甄 、llliiillf， 0 o o；) o o o； = n o 。 弘 o n n i _ 气0 o o ；k + -，一 ，山 & 百 皿 有 g 故 、llillllij， o 1 2 n lj 红红切；彬 1 z 护；矿 lj、j 玩目岛 ll，、j 0 o 0 ； 、l ， 则 又 故则 得 即 b e r n o u l l i 多项式与幂和多项式 得：(琴1誊乏当0。兰0；2至0000 23 ，) ( 兰誊 = ( 妻 i ( o ) 2 ( ：) li 蜀( z ) ii 2 z i 得：l ( ：)( ；) 2 ( ；) li 易( z ) i ：l 2 2 2 i i ： i ； ；ii ；ii ；i ( ”)( ：) ( n ) ( n ) 2 ( ：) 昂( z ) 2 矿 墨鼠( 礼) 耵t k k = o 一矿t 一1 一两 c n t l = 古 t 瓯 k = o 生 烈 鼠 o of r e t - - 1 = j 嚆 k = o j = o 。 n l = 一。 j = o l 生： 缸- 1 七! 一 ，= 南， n k + l 栌 七+ 1k ! = 雨n k + 丁1 曼，耋受曼02，0约j；。兰000k+l 1k k ( 兰量 = ( 妻n k + 1 猢 ( ：) i i 研( 几) ii 譬l 蛔( ；) i i ( 死) i = l 譬i ； ji ； ： ll；ll ： l 上( ：) ( ：) 两2 ) 由( ：) ( 七) 、瓯( 礼) 丽 ( 4 ) 由交错幂和的定义知：括e 。t a ( 礼) 簧2 三0 0f l 善t - - 1 ( 一1 ) j 歹七鲁 七= 0知= 0j = 0 j = ok - - - - 0譬：n - 1 ( 1 ) j e j t j = o 显然：j = 0 ，b o = 2 ，c o = 1 + ( 一1 ) 计1 ； 抚麒10 萎00手腥h矧(-1)0 0 t2kk 2 ( i l ( o ) 2 ( i ) l | 乃( 仡) li州扎l 故：i ( ：) ( ；) 2 ( ；) ii( 佗) i = i ( 一1 ) 州佗2i i ：； ； ii ! il i i ( ：)( 。)( 2 ) ( ：) ) 、巩( n ) 、( 一1 ) 州舻 反之，在上述( 1 ) 中，若互换a n ，k 的位置，则有： 七一 绁削 脚 “伽 = 脚 脚 卜 州 = ( o ) m ( z ) ( o ) b 1 ( z ) ( ：) 岛( z ) 0 ( ；) 岛( z ) ( ；) b ( z ) 硕士学位论文 0 0 ( ；) 岛( z ) ( ：) 风( z ) ( n ) 风一- ( z ) ( n z ) b n 一2 ( z ) ( ：) 岛( z ) 记作m n = c 则m = c n ，可知矩阵m 中： 舰j = g ) ( 巩 歹= 0 j 1 ，2 ，) 下面我们将给出这类矩阵的定义，并研究其代数性质 3 3 幂和矩阵的定义 ( 三 = ( 塞 计算形如s m ( 礼) = o 仇+ 1 m - t - 2 m + + ( 佗一1 ) m = k ”( m n = 1 ，2 ，3 ，) ) 的问题称为正整数幂和问题，简称幂和问题下面我们列出常见的几个幂和多项式： 1 1 1 11 岛( 礼) = n ；研( n ) = 石，。2 一去死；( n ) = i ，。3 一去扎2 + 去佗 二二。厶u 幂和问题是一个典型的古老问题，在数论以及数值计算方面有广泛的应用，已 经受到很多国内外学者的关注，也得到了许多有意义的结论这里我们先对一些 符号作出说明：符号( z ) 代表二项式系数，即( ；) = 志；符号【嚣】代表第1 类s t i r l i n g 数；符号 ： 代表第2 类s t i f l i n g 数有关幂和问题的发展史见文献 f 2 6 ，2 7 ，3 6 1 陈景润和黎鉴愚获得了幂指数从1 , - 一3 0 的幂和公式及幂和公式的一 般性质f 1 9 一其他一些学者给出了计算幂和的新方法，例如：逐差法，积分法，矩 阵法等 2 s