（基础数学专业论文）maass+l函数的二次积分均值.pdf

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1 + l o g 嘉+ 鲁) 刁+ o ( t 吾l o g t ) pj q 但对d i r i c h l e tl 函数的四次积分均值，目前为止还没有渐近公式，只 能得到上界估计o ( t ( 1 0 9t ) 4 ) 在广义l i n d e l s f 猜想下，对k21 ，下面两个结果都成立： i ( k ，t ) t 1 枉，( 1 ) i ( k ，t , q ) t 1 押 ( 2 ) 但当k 3 时，( 1 ) 和( 2 ) 的无条件结果还没被证明h e a t h - b r o w n 【7 】 证明了如下上界 ，( 6 ，t ) t 2 ( 1 0 9t ) 1 7 m e u r m a n 【1 9 】推广了h e a t h - b r o w n 的结果，他得到 耶阳) 等 有关黎曼( 函数和d i r i c h l e tl 函数的积分均值及推广已作了广泛深入 的研究，有关内容可参看 3 】，i s ， 9 1 ，i n ，【2 0 】，【2 2 】， 2 4 1 ，【2 6 】， 3 0 】和【3 1 1 在这篇文章中，我们将研究l ( s ，) 的二次积分均值，其中，是 s l 3 ( z ) 上正规化的h e c k e - m a a s s 形式设e 是任意小的正数，且；+ e 盯= r s 1 m a t s u m o t o 【1 8 】在假设i ：汹n a n u j a l l 猜想的情况下，证明了 小( s ，剧z 拈耋譬t + o ( t 3 - 3 a + e ) ， z 剧2 出2 三警( ) ， 其中a 。，。是，的傅里叶系数 我们将在无条件下，用与【1 8 】中不同的方法，证明如下结果 定理1 1 设，是s l 3 ( z ) 上正规化的h e c k e - m a a s s 形式那么对任意小 的正数s ，当；+ 仃 1 时，我们有 厂j l ( s ，f ) 1 2 d t ：c 1 ( 盯) t + o ( t 2 一等+ s ) ， ( 3 ) 山东大学硕士学位论文 其中 一仃1 ：导虹坐 c z ( 仃) = 警， o - ，。是，的傅里叶系数 我们将用【1 3 】中方法得到l ( s ，) 的渐近函数方程，即把l ( s ，) 表 示为两部分每一部分本质上都是有限和，再对两部分分别估计二 次积分均值，有一部分可得到主项，其余部分均为余项 用同样的方法，我们还可以考虑l 怡，) 的二次积分均值，得到 如下结果 定理1 2 在定理1 1 的条件下，我们有 厂1 叭s ，) 1 2 d t ：c 2 ( c r ) t + o ( t 2 一等+ e ) ， ( 4 ) 其中 咖) ：妻学 关键词：广义上半平面冗3 ；s l 3 ( z ) 上的m a a s s 形式；j a c q u e t sw h i t - t a k e r 函数；自守l 函数；函数方程；积分均值；h e c k e 算子 i i i 、 i 簟 山东大学硕士学位论文 t h es e c o n di n t e g r a lm o m e n to f m a a s sl f u n c t i o n s a b s t r a c t ac r u c i a lp r o b l e mi nt h et h e o r yo fa u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n si st oi n v e s t i g a t e m ，l ，) = 0 t ) l 弘d t ， w h e r e ，i sa na u t o m o r p h i cf o r m f o rs l n ( z ) a n dki sap o s i t i v ei n t e g e r t h i sp r o b l e m h a sl o n gb e e na ni m p o r t a n ts u b j e c tw h i c hh a sa p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d s o v e rt h e p a s ty e a r s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n sh a v ew o r k e di nt h i sf i e l dw i t hf r u i t f u lr e s u l t s ；s e e ， f o re x a m p l e ，a ne x c e l l e n tp a p e r 【1 7 i nt h ec a s eo fg l t ，t h i si st oe s t i m a t et h ei n t e g r a lm o m e n t so fr i e m a n n ( f u n c t i o na n dd i r i c h l e tl - f u n c t i o n s d e n o t e m 用= 0 丁阮棚) 卜 a n d m ，t = 而1 x 三。o t 阮) 降 f o rr i e m a n n ( f u n c t i o n ，w h e nk = 1 ，h a r d ya n dl i t t l e w o o d 【6 】p r o v e dt h e f a m o u sa s y m p t o t i cf o r m u l a i ( 1 ，t ) 一t l o g z t h ec a s ek = 2w a f tc o n s i d e r e db yi n g h 锄【1 0 a n dh ed e r i v e d ，( 2 ，t ) 一嘉t ( 1 0 9 t ) 4 b e s i d e s ，f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e rk ，r a m a c h a n d r a 【2 5 】o b t a i n e dt h el o w e rb o u n do f i ( k ，t ) ，i e j ( 后，t ) t ( 1 0 9 t ) 铲 v 山东大学硕士学位论文 l a t e r ，h e a t h - b r o w n 【7 】s h o w e dt h es a i n eb o u n df o ra l lp o s i t i v er a t i o n a lk f o rd i r i c h l e tl - f u n c t i o n s ，r a n ef 2 7 p r o v e dt h es e c o n di n t e g r a lm o m e n t m 阳) = 字( g t + ( 2 7 - 1 + l o g + 萎p l o 刈g pt ) + d ( 衲删 b u tf o rf o u r t hp o w e rm o m e n t ，n oa s y m t o t i cr e s u l th a sb e e no b t a i n e d u n d e rt h eg e n e r a l i z e dl i n d e l s fh y p o t h e s i s ，t h ee s t i m a t e s a n d x ( k ，t ) t 1 托 s ( k ，t ，q ) t 1 托 ( 5 ) ( 6 ) a r et r u ef o ra l la r b i t r a r yp o s i t i v ei n t e g e rk w h i l ef o rk 3 ，( 5 ) a n d ( 6 ) h a v en o t b e e np r o v e du n c o n d i t i o n a l l y h e a t h - b r o w n 【7 】s h o w e dt h ef o l l o w i n gu p p e rb o u n d i ( 6 ，t ) t 2 ( 1 0 9t ) 1 7 m e u r m a n 【1 9 d e r i v e d 耶阳) 等 t h e r ea r eo t h e rm e a nv a l u er e s u l t sf o rr i e m a n n 1 时，定义l 函数 l ( s ，) = a l 一一， 那么工( s ，) 可以解析延拓到整个复平面 设是任意小的正数，且；+ gs = 瓢s1 m a t s u m o t o 1 s 在假设 r f l x i l a n u j a n 猜想的情况下，证明了 i li g l , n z , f 、t 3 - 3 一+ e ) ( s 汗拈薹万一d ( ) 2 山东大学硕士学位论文 在本文中，我们将用【2 3 1 中估计( 函数四次积分均值问题的思 想，无条件证明如下结果 定理1 1 设，是s l 3 ( z ) 上正规化的h e c k e - m a a s s 形式那么对任意小 的正数s ，当；+ e 盯 1 时，我们有 o i 厶( s ，) f 2 d t = c l p ) z + o ( t 2 一警+ s ) ， ( 9 ) 其中 c l ( 矿) ：o o 譬 我们将用【1 3 】中方法得到l ( s ，) 的渐近函数方程，即把l ( s ，) 表 示为两部分每一部分本质上都是有限和，这在引理3 3 中可以体现 出来，然后再对两部分分别估计二次积分均值，有一部分可得到主 项，其余部分均为余项在估计积分均值时，我们将多次用傅里叶 系数的离散均值估计 i ，n 1 2 n m 2 n 0 确定( n ，屹) c 2 我们定义函数，蚴) ：7 l f 3 一r 为 厶n ，屹) ) = 可 + 2 u 2 谚”1 + 您 设v 3 ( r ) 是对角线元素都是1 的上三角矩阵定义j a c q u c t sw h i t t a k e r 函数 这里 = 厶幔，丘n ，屹，( ( ；i 言) 钍z ) 掣7 m l ，m 2 ( t ) d + t ， 1p f n 2 ( t ) = e ( m l , , 1 ，2 + m 2 u 2 ，3 ) ，d * u = d u l ，2 d u l ，3 d u 2 ，3 并且当y 一o o 时，她删( z ；( n ，屹) ；。，m 2 ) 是速降的 5 、， 3 3 现勉 山东大学硕士学位论文 设s 是所有光滑函数 e ：g l ( 3 ，r ) _ c 组成的集合，q 是3 3 阶矩阵，定义s 上微分算子巩： d a e o ) ：= 妄e o + o q ) ) | 。：。 设秒3 是由所有d n 生成的结合代数，习s 是d a 的中心，那么对d a 中 任意微分算子d ，丘屹) 都是d 的特征函数记 d 丘v l ，圪) = a d 丘n ，吻) 我们称冗3 上的光滑函数，是群s l 3 ( z ) 上咖e 为( n ，屹) 的m 猢 形式，如果，满足下列条件： ( 1 ) 对任意7 s l 3 ( z ) ，我们有，( 够) ：，( z ) ； ( 2 ) ，是微分算子d 习3 的特征函数，特征值为蛔，即 d i = a d f ； 八力2 7 酬蒹坤御三磊嵩 a c q u e ti d i a g ( i m n , m , 1 ) i7 。) z 地圳功加i ) 所有s l 。( z ) 上的m a a s s 形式都是偶的，即对任意的m ，竹n ，有 ，n = o m ，并且对任意s l s c z ) 上t y p e 为( - 1 ，屹) 的m 柏s s 形式，存在 一个对偶的，t y p e 为( 屹，- 1 ) 的m 嬲s s 形式 此h ( ( oo - 1 z 。) ) 6 山东大学硕士学位论文 此外，的傅里叶系数满足关系 a m ，n = 口n ，m 现在我们介绍s l 。( z ) 上有关h e c k e 算子的内容与s l 2 ( z ) 一样， 我们也可以构造s l 3 ( z ) 上的h e c k e 算子( 参见【4 】) ： t k ，c z ，= 嘉。s q 1 q 蒹e l1 i 1 0 ，我们有 m ( r a n ) 5 当瓣s 充分大时，我们定义r a n k i n - s e l b e r gl 函数 邵小，) _ 三刍”而l a i n , h i 2 用经典的积分围道方法( 参见【2 8 】， 2 9 ) ，我们可以证明 。1 2 ，n m z n n ( 1 3 ) 7 山东大学硕士学位论文 特别地，当m = 1 时，我们有 h 。1 2 ，n n n 相应地，对，的傅里叶系数a 仇，。= 口。，。，我们也可得到 j 。，。1 2 ， m 2 n 一蚤j = l ，2 3 从而，由( 2 1 ) 得 蹰勺2 一乳施一j 时无极点然后由引理3 1 知 a ( s ，) ：= g ( 5 ) l ( s ，) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 9 山东大学硕士学位论文 及 a ( 8 ，力：= 0 ( s ) 工( s ，力 ( 2 5 ) 在整个复平面全纯并且，我们有 仡1 - i - 尤2 - i - 尤3 = 0 ( 2 6 ) 下面我们给出5 ( 8 ，) 的渐近函数方程为此，我们定义 f ( “) = ( c o sb ) 以b ， ( 2 7 ) 这里b 为任意大的正实数在【1 3 】( 定理5 3 ) 中，1 w a n i e c 和k o 讪l c i 给 出了一般l 函数的渐近函数方程 引理3 2 当0 貅1 时，我们有 郇= 薹警嘶) + 帮薹器呦) ， ( 2 8 ) 其中 嘶) ：= 2 去zf ( ( 3 ) y - u f 帮i d u ， ( 2 9 ) 嘶) ：= 熹f ( 3 ) y - u f ( u ) 帮i d u ( 3 0 ) 证明我们定义 耶，) = 互1 石( 3f ( m ( s 地，) 警 ( 3 1 ) 由( 2 7 ) 知，当u 的虚部大时，f ( u ) 速降，所以我们可以把上式中的 积分线平移到r u = 一3 ，得到 1 0 m ，) = a ( s i ，) + 去正。) 卿) a ( s 扎，) 警 山东大学硕士学位论文 其中a ( s ，) 是上式中被积函数在极点札= 0 处的留数用引理3 1 中 函数方程，并做一次变量替换，我们得到 耶，) = a ( s ，) + 2 笔( - 3 ) f ( 缸) a ( 1 一s 咱，) 警 = a ( s ，) - 去厶) 聊) a ( 1 - s + u , f ) d u u = a ( s ，f ) 一x ( 1 一s ，) 所以，我们有 a ( s ，) = ，( s ，) + x ( 1 一s ，) 当0 黜1 町，i ( s ，f ) 棚i ( 1 一s ，力郡日j 以展升厩d i r i c h l e t 教数，这 样就有 埘) 2 熹小g ( s 机) 三券警 + 熹小。( 1 - s + u ) 三尚警 刊薹警去肛州帮警 + 0 ( 1 - s ，薹等刍小叩掣i d u = g ( s ) 薹警哳惝，帮薹器哳) ( 3 2 ) 寿卜而寻j 吾一弗推导审鞋们胃鞫i 了 ( 3 2 ) 式两边同时除以g ( 5 ) ，我们得到 邵= 薹警晰，+ 帮薹筹哳卜 这样我们就证明了引理3 2 口 下面我们按照【1 3 】中定理5 4 的思路给出k ( y ) 和优( 可) 的性质 1 1 山不大学硕士学位论文 引理3 3 令s = 口+ i t ，设y ，t 1 若y t ；，那么 嘶) ( 羞) 一， ( 3 3 ) 记( 考) 一， ( 3 4 ) 这里a 可以为任意大的正实数 证明 由于f ( u ) 速降，且f ( u ) e z w 9 毗我们可以把积分线移到 吼= a ，得到 嘶) = 熹厶) 秒川跏) g ( u s 俐+ u ) d u 我们先来估计铲，为此，我们需要应用s t i r l i n g 公式： l r ( 盯d - i t ) l e 一号i f l t l a 一，t 一。 令u = a + w i 当m - 警y - f 帮警秒“产 这样由( 3 5 ) 和( 3 6 ) ，我们得到 嘶) ( 羞) 一 ( 3 6 ) 同理，我们有 优( 耖) ( 要) 一 引理得证 口 引理3 4 设k 和是两个复数列，那么对任意实数o 0 ，丁和日t ， 我们有 广( b n n - i t ) 嗣啬 ：编厂嘉+ dt - , , o ( n i b i ：) 5 ( 榭) 5 ) ， 其中。n i k l 2 ，巴n 川2 都收敛 证明参见l a u 【1 4 】( 引理3 1 ) ，此引理可用h i l b e r t 不等式证明 口 1 3 山东大学硕士学位论文 第四章定理1 1 的证明 由引理3 2 ，我们有 l ( s ，) = n = l 我们首先证明 警k ( n ) + n 0 。、7 帮，a 。n , 1 t - r ( 吐 g ( s ) 惴，- 趴”r 厂打i l ( s ，) 1 2 t=c1(盯)t+o(tdt c 1o ( t 2 一 s ， 2 盯) t +2 一差外8 ) ，t 当t t 2 t 时，由引理3 2 ，我们有 邵= 薹警哳，+ 帮薹筹嘶， 警+ 万a l , n ( k ( n ) 一1 ) - k - 万a l , n k ( n ) n t 鲁+ 。 坐孚历atl,1_叫-c n ) t ( s) 勺n 1 8u 1 v 吖一 n t 量+ l ( 8 ，) = 4 - 1 2 + 1 3 + o ( t b ) ， = n t 主+ f 0 1 n 矿 如= 警( k ( n ) ，i s t 量扣 一1 ) ， 墨蟊一。( n ) n l - - 5 7 ( 3 7 ) 1 5 山东大学硕士学位论文 从而， 厶= 帮 n 丁墨+ c 当土访一。( 几) n l - - 8 9 、7 f 剧2 拈f 川2 d r + 0 ( f 妾岫t ) +。( f i 3 i i1 i i l d t ) + o ( t b ) ( 3 8 ) i = 2 下面我们将分别估算上式右边的积分实际上，在证明过程中我们 可以看到伊i i i i z d t 可以给出主项，其他项给出余项 我们首选计算伊川2 d t 当+ 口 1 时，由引理3 4 知， f 2 出= fi 警卜 t l t 苎+ = 一a l , n 1 2 - t 2 c zf 出+ 。( 勺t 。 n 丁量+ 5 n 丁量+ e n t 量+ c 譬t + d ( t 3 - 计q 上式中我们用分部积分证明了 事实上， 1 6 n t 鲁+ 5 n t 圣托 磊l a l , n 1 2 t 3 一缸托 两l a l , n 1 2 ：广一：，d ( n u 。- ，。1 2 ) ：u一。ain。，。l：i；量+ezt要+cnu _ u z z 口i i t l 吾+ 。+ j 一( t 壬+ 。h 一。，d 血 1 严一黏押， l a l ，。1 2 、 n 萨j l a l ，。1 2 d ( u i - 2 ) n t 山东大学硕士学位论文 这里我们用了。 t 量托 n i t 2 出：f n = l喾t + o ( t 3 - 蚪s ) = - - c l ( o ) t + o ( t 3 一缸+ 5 ) ( 3 9 ) 在下面的证明中，我们将多次用到。 ， i = 1 ，2 ，3 所以在移积分线过程中，只经过u = 0 一个极点，因此有 从而我们得到 k ( n ) = 1 + 盯i 如l z 抵 盯i j tj t 互1f ( _ 。n _ u f 帮警- n t 圣+ 5 由柯西不等式，我们有 l i ，( 一一+ 吾+ e ) n t 差+ 5 d u u 警正峥，“聊，帮挚 而o , l , nf 。) g ( s + j u ) d u ui 2 正州删刖l 警正川删 厶川 n r 量+ 。 n 孚时，由于f ( u ) 速降，所以 蟊碧引。暑。等1 2 l f ( 酬引帮阻p ， 这里b 可以任意大另一方面，当i g 让is 簪时，由s t i r l i n g 公式，我 们有 帮- 挚写躺嚣鬻e 啤t 警+ g ( s ) ” r ( 挚) r ( 学) r ( 学) 一一 所以，我们得到 f t 2 t 2 2 d t f t z j 厶u i i 鼙引n 量。再a l , n 2f 、川 吾g ( g s + u ) 1 2 蝴t 乒三：嘴+ e i 酬。孚p 十5 ( fl ；a l , n1 2 d r ) 批 。 1 9 训孚 “ 。n t 鲁托“ 然后由引理3 4 ，我们有 从而， f i 量t e l 。器卜。暑。c r 刊譬矗 + 5 n ：s t 毒+ 。 。 f 啪 i 第肿小e 嘶曲巾啸d u t3一斯托(40) 伊吲z d t 的估计与伊i h l z d t 类似，因此我们只给出简略证明 由s t i f l i n g 公式及( 2 6 ) 知 现在我们估计 1 8 l 帮1 2 r 一 ( 4 1 ) fi 再a n , 1f r 如私 n 0 由跄心 e ， i = 1 ，2 ，3 所以平移过程中不经过被积函数的极点，故有 哳，= 去厶一沁，竹1 脚，等掣警 于是，由柯西不等式和引理3 4 ，我们得到 f ( l 扣，i 。量。n 2 1 f ( u ) 1 ；l 帮出 p 母5 f 厶一限酬酬n 妻押一a n , 1 1 2 出 p 书。( t 刊警 n t ! + 5 t 钉托 由( 4 1 ) 和( 4 2 ) ，我们有 f m t p 押 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 用柯西不等式得到 f 眦m ( f 2 d t ) 吾( f 2 d t ) 吉p 和 ( 必) 这样由( 3 8 ) ，( 3 9 ) ，( 4 0 ) ，( 4 3 ) 和( 4 4 ) 我们就证明了( 3 7 ) 1 9 2 d 叫一啊 器 扣 毋 严厶 山东大学硕士学位论文 设正整数k 使得2 k t 2 k + 1 ，我们有 上i ( s ，) 1 2 d t5 上l 二( s ，) 1 2 d t + k = 0f - 。一- - 。g r i l ( s ，) 1 2 d t = o ( 1 ) + c 1 ( 盯) 2 - k - i t + o ( ( 2 - k - i t ) 2 一等+ 8 ) k = 0k = o ：c 1 ( 盯) ? + d ( t 2 一等+ e ) 定理1 1 得证 口 山东大学硕士学位论文 第五章定理1 2 的证明 我们在这一章证明定理1 2 证明过程与定理1 1 的证明类似，所 以我们只做简单推导 与上一章一样，我们先证明 厂汀阢，) 1 2 d t ：c 2 ( o ) t + d ( 严一洳) 叭s ，) 1 2 = + d ( 严一墨卧8 ) - ，r 设t t 2 t 我们知道 l ( s ，) = n = l 两边同时求导，得到 l ，( s ，) = ( n = 1 我们不妨设 其中 a l , n v 印( ) + 帮 警哳) ) 7 + ( 帮 n t 暑扣 0 1 m l o g n 7 , s n _ a l 1 0 9 n ( v 。( n ) 一1 ) + 勺 7 , n t 考+ 。 a “旷, ll o ，g n l 7 z 一卅帮薹 n t 墨+ 筹访一s ( n ) + d ( t 坷) 政s ，) = + 以+ 如+ 以+ 以+ 如+ o ( t b ) ， 以= 一 如= 一 ，l t 墨+ 。 n r 叠+ 8 a l m l o g n , n s a x , n l 。o gn ( v 。t n ) 一1 ) ， 也= n = l生( k ( n ) ) 7 ， 7 1 , s 、9 、7 7。 2 1 _-_l_11lllllllllilllllllililill - l 0 一 黜稿业荆 山东大学硕士学位论文 以= 帮至害“， 如= 帮薹器( 哳) ) ， 一帮( 矧+ 鬻) 。+ 。秽a n , 1 i r 一吐 与上一章处理伊2 d t 和j 尹1 2 1 2 d t 一样，我们有 r 2 t 川2 d t = c 2 ( a ) t + o ( t 3 砌托) ， ，r r 2 t i j 2 1 2 m t 3 曲托 ，t 现在我们考虑j 尹i 无1 2 d f 我们有 以= 薹z 。a l , n1 ，：，n _ u f 帮( 渊一鬻d u ， 另一方面，我们应用 一和：；1 + 7 + 妻( 熹一丢) ( 4 6 ) 得到 鬻= 三( 篇+ 鬻2j + 篇) 一下3 l o g r r 魄j u i = 2 s _ t s a t ， 一= 一i 。- - _ ，。_ 一十- _ 。，。一十o 。一- 一。! ? 。一瓠 g ( s ) r ( 旦专丑) 。r ( 兰专1 2 ) 。r ( 2 ) 2 7 其中( 4 6 ) 中7 是欧拉常数用上式及与引理3 3 中相同的处理方法， 当n z 托时，我们得到， 荟1 3n - u f 掣( 矧一鬻) 警p 所以， 扣三a l , n 驯1f n _ u f ( u ) 帮( 渊一鬻) 警删p 卜 2 2 山东大学硕士学位论文 容易看出，t t = 0 是可去极点，所以可以平移上面的积分线至吼= 一盯+ ；+ 与上一章方法一样，我们有 ，2 t 吲2 d t t 3 一孙托 ，t 对于其他的项，我们就不一一叙述了，它们都可以用类似的方法处 理这样我们就证明了定理1 2 口 2 3 ， ， 山东大学硕士学位论文 参考文献 d b u m p ，“a u t o m o r p h i cf o r m sa n dr e p r e s e n t a t i o n s ”，c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 9 7 j w c o g d e u ，h h k i m ，a n dm r m u r t y , “l e c t u r e so na u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n s ”，f i e l d si n s t i t u t em o n o g r a p h s2 0 ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o c i d e n c e ，2 0 0 4 3 b c o n r e ya n da 。g h o s h ，o nm e a nv a l u e so | t h ez e t a - f u n c t i o n s ，m a t h e - m a t i k a ，3 1 ( 1 9 8 4 ) ，1 5 9 - 1 6 1 d g o l d f e l d “a u t o m o r p h i cf o r m sa n dl - f u n c t i o n sf o rt h eg r o u pg l ( n ，r ) ”， c a m b r i d g es t u d i e si na d v a n c e dm a t h e m a t i c s9 9 ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ， c a m b r i d g e ，2 0 0 6 d g o l d f e l da n dx l i ，v o r o n o if o r m u l a so ne l ( n ) ，i n t m a t h r e s n o t ， ( 2 0 0 6 ) ，a r t i d8 6 2 9 5 ，2 5p p g h h a r d ya n dj e l i t t l e w o o d ，c o n t r i b u t i o nt ot h er i e m a n nz e t a - f u n c t i o n a n dt h et h e o r yo ft h ed i s t r i b u “o no fp r i m e s ，a c t am a t h ，4 1 ( 1 9 1 8 ) ，1 1 9 - 1 9 6 d r h e a t h - b r o w n 。f r a c t i o n a lm o m e n t so ft h er i e m a n nz e t a 如n e t i o n ，j l o n - d o nm a t h s o c ，2 4 ( 1 9 8 1 ) ，6 5 _ 7 8 d r h e a t h - b r o w n f r a c t i o n a lm o m e n t so ft h er i e m a n nz e t af u n c t i o n ，i i , q u a r t j o fm a t h ，4 4 ( 1 9 9 3 ) ，1 8 5 - 1 9 7 m n h u x l e y , t h ed i s t r i b u t i o no fp r i m en u m b e r s ”，o x f o r dm a t h e m a t i c a l m o n o g r a p h s ，c l a r e n d o np r e s s ，o x f o r d ，