（基础数学专业论文）boundary+value+problems+for+the+quasilinear+differential+equation+and+equation+systems.pdf

摘要 本文研究拟线性微分方程和拟线性微分方程组在线性或非线性边值条件下正解的存 在性 在第一章中，通过引进一个函数妒：r - r 是递增的同胚同态映射且p ( o ) = 0 ，我们 利用锥上一个不动点指数定理研究方程( 1 p ( 。) ) + a ( t ) f ( x ( o ) = 0 在线性边值条件下正解 的存在性 在第二章中，利用锥上新的三函数不动点定理我们研究方程( i p ( 。) ) + a ( t ) ，( 。( t ) ) = 0 在 非线性边值条件下多重正解的存在性，其中l p ：r - + r 是递增的同胚同态映射且妒( o ) = 0 在第三章中，我们利用范数形式的锥拉伸和锥压缩不动点定理讨论下列方程组正解的 存在性， f ( 妒1 ( 。) ) + 8 0 ) ，( t ，y ) = 0 ，( 妒2 ( 口。) ) + b ( t ) g ( x ，y ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， a 妒1 ( 。( o ) ) 一声妒1 ( ( o ) ) = 0 ，口妒2 ( ( o ) ) 一芦忱( ，( o ) ) = 0 ， 【7 妒1 ( 墨( 1 ) ) + p 妒l ( 。( 1 ) ) = 0 ，7 妒2 ( 材( 1 ) ) + p 妒2 ( ( 1 ) ) = 0 ， 其中妒i ，忱：rr 十r 是递增的同胚且同态映射且妒l ( o ) = 0 ，仇( 0 ) = 0 在第四章中，在非线性项，含有一的情况下，我们利用范数形式的锥拉伸和锥压缩 不动点定理讨论下列拟线性微分方程在菲线性边值条件下正解的存在性， f ( 妒( z ) ) 7 - i - a ( t ) f ( xc t ) ，。( t ) = 0 ， 1a 妒( ( o ) ) 一声妒( 一( o ) ) = 0 ，1 妒( z ( 1 ) ) + p 妒( 一( 1 ) ) = 0 ， 其中妒：r _ r 是递增的同胚同态映射且妒( o ) = 0 关键词t 边值问题，正解，方程组，锥 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h eq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e m s ，s u b j e c tt ol i n e a ro rn o n l i n e a rb o u n d a r y c o n d i t i o n s i nc h a p t e ro n e ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ( 1 p ( ) ) + b ( t ) ，( 。( t ) ) = 0 ，s u b j e c tt ol i n e a rb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n sb yas i m p l ea p p l i c a t i o no faf i x e d p o i n ti n d e xt h e o r e mi nc o n e s w ei n t r o d u c eaf u n c t i o n 妒：r - ri 8a ni n c r e a s i n gh o m e o m o r - p h i s ma n dh o m o m o r p h l s ma n dv ( o ) = 0 i nc h a p t e r t w o ，w es t u d y t h ee x i s t e n c e o f m u l t i p l e p o s i t i v e s o l u t i o n s o f t h e e q u a t i o n ( | p ( ) ) + ac t ) l ( x ( o ) 0 ，s u b j e c tt on o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s ，w h e r ei p ：r 一冗i 8a n i n c r e a s i n gh o m e o m o r p h i s ma n dh o m o m o r p h i s ma n dv ( o ) = 0 w es h o wt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s t t w op o s i t i v es o l u t i o n sb yu s i n gan e wt h r e ef u n c t i o u a i sf i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n 船 i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no ft h ef o l l o w i n ge q u a t i o n s y s t e m s f ( 妒l ( 一) ) + a ( o l ( x ，v ) = 0 ，( i p 2 ( ”) ) + b ( t ) g ( x ，口) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， a 妒l ( o ) ) 一芦饥( 一( o ) ) = 0 ，口i p 2 ( v ( o ) ) 一芦￥( 矿( o ) ) 。0 ， i7 垆l ( 霉( 1 ) ) + p 妒l ( 一( 1 ) ) = 0 ，7 【1 0 2 ( y ( 1 ) ) + p 恕( ，( 1 ) ) = 0 ， w h e r e 妒l i 妒2 ：r + r 妇a ni n c r e a s i n gh o m e o m o r p h i s ma n dh o m o m o r p h i s ma n d 妒l ( 0 ) = 0 ， 忱( o ) 0 w es h o wt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nb yu s i n gt h e n o m et y p ec o n ee x p a n s i o n - e x p r e s s i o nf i x e dp o i n tt h e o r e m i nc h a p t e rf o u r w h e nn o n l i n e a rt e r m | c o n t a i n s 毫，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o no ft h eq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 妒( ) ) + a c t ) ( x ( t ) ，。( t ) = 0 ， l 口l p 忙( o ) ) 一卢妒( 一( o ) ) = 0 ，- y v c x ( 1 ) ) + _ 妒( ( 1 ) ) = 0 ， s u b j e c tt on o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n sb yu s i n gt h en o m et y p ec o n ee x p a n s i o n - e x p r e s s i o n f i x e dp o i n tt h e o r e m ，w h e r e 妒：冗_ + ri sa l li n c r e a s i n gh o m e o m o r p h i s ma n dh o m o m o r p h i s m a n d 妒( o ) = 0 k e y w o r d slb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；p o s i t i v es o l u t i o n s ；e q u a t i o ns y s t e m s ；c o n e 1 u 学位论文独创性声明 y 8 ( j i 7 0 3 本人郑重声明： l 、坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外。所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所傲的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 豳! 量盘 日 期：；- n b 玩丝 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：至：21 銎苤 e t期：丛丛! 垫塑 a c k n o w l e d g e m e n t s i ti sm yh o n o rt oh a v et h eo p p o r t u n i t yt oe x p r e s sm ym n c e r eg r a t i t u d et om ys u p e r v i - s o r ，p r o f e s s o rj i h u iz h a n g ，w h oh a so f f e r e dm em a n yv a l u a b l ei n s t r u c t i o n sa n d c o n s t a n t e n c o u r a g e m e n tf o rm yt h r e ey e a r s ls t u d y w i t h o u th i si m p r o v i n ga d v i c e ，t h ec o m p l e t i o n o ft h ep r e s e n tt h e s i sc o u l dh a v eb e e ni m p o s s i b l e ia l s oe x p r e s sm yh e a r t yt h a n k st op r o f e s s o rh o n g j u ng a o ，z u o d o n gy a n g ，j i n x u a n f a n g ，y u k u na n ，a s s o c i a t ep r o f e s s o ry u t i a nl e i ，f o rt h e i re n c o u r a g e m e n ta n d a s s i s t a n c e 1w o u l dl i k et oe x p r e s sm ys i n c e r et h a n k st oo t h e rt e a c h e r so fd e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s w i t h o u tt h e i rh e l p ，1w o u l dn o th a v ef i n i s h e dm ys t u d ys os m o o t h l y f i n a l l y , io w em yt h a n k st om yd e a rp a r e n t sf o rt h e i rs u p p o r ta n dm yc l a s s m a t e s e s p e c i a l l yz h i y o n gw a n g 1w i l la l s os h o wt h a n k st oq i a n g ea n dy a n h o n gm i a o n a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y a p r i l ，52 0 0 5 b a o f a n gl i u p r e f a c e t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h es t u d yo ft h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e m s ，s u b j e c tt ol i n e a ro rn o n l i n e a r b o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s ， i nr e c e n ty e a r s ，t h e r ei sm u c ha t t e n t i o nf o c u s e do nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s e e 1 ，2 ，1 4 】) ，a sw e l l a sf o rp - l a p l a c i a no p e r a t o r s ( s e e 【3 - 6 ，9 ，1 3 ，1 9 ，2 0 1 ) ，s u c he q u a t i o n sa r i s e si nav a r i e t yo fd i f f e r e n t a r e a so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s t h e r eh a v eb e e no b t a i n e dn u m e r o u sr e s u l t sb a s e d o nt o p o l o g i c a ld e g r e ea p p r o a c h ，s h o o t i n gm e t h o d ，c o m p a r i s i o nt h e o r e m ，m e t h o do fu p p e ra n d l o w e rs o l u t i o n ，s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n dn o r mt y p ec o n ee x p r e s s i o n c o m p r e s s i o nf i x e d p o i n tt h e o r e m i n1 9 9 4 ，e r b ea n dw a n g 1 】c o n s i d e r e dt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m fu ”+ a ( o l ( a ) = 0 ， 1a u ( o ) 一卢7 ( o ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 5 u ( 1 ) = 0 ， t h e yo b t a i n e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n su n d e rf ( u ) s a r i s f y i n gs u p e r l i n e a ro rs u b l i n e a r c o n d i t i o n ，t h a ti s ，0 = 0 ，k = + 。，o r ，o = + ，o 。= 0 ，w h e r e 知= l i m 。o 掣， k = l i m 。一掣 i nt h es a m ey e a r ，e r b e 2 】s h o w e dt h e r ew e r ea tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n - u ”= f ( t ，“) ，s u b j e c tt ol i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，i ff ( t ，u ) w s as u p e r l i n e a ra to n ee n d ( z e r o o ri n f i n i t y ) a n ds u b l i n e a ra tt h eo t h e re n d ，t h a ti s i i m 。一o + m i n t e l 0 ，1 】 泉竽= 。，l i m 。m i n t e o ，t l 黑手= c o ；o r l i m 。一o + m a x 难【0 t 】 糸竽= 0 ，l i m 。m a x 蚝( o ，1 糸手= 0 i n1 9 9 7 ，u s i n gt h en o r mt y p ec o n ee x p a n s i o n e x p r e s s i o nf i x e d - p o i n tt h e o r e m 1 1 ( s e ea l s o 【2 1 6 1 8 】) ，w a n g 3 s t u d i e dt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o nf o rq u a s i l i n e a rd i f f e r - e n t i a ie q u a t i o n ( g ( u 。) ) + 口( t ) ，( u ) = 0 ，s u b j e c tt oo n eo ft h ef o l l o w i n gt h r e ep a i r so fb o u n d a r y c o n d i t i o n s ： 4 ( 0 ) 一b o ( u ( o ) ) = 0 ，4 ( i ) + b 1 ( u ( 1 ) ) = 0 ，( 0 1 ) “( o ) 一玩( u 。( 0 ) ) = 0 ，t ( 1 ) = 0 ，( 0 2 ) “( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) + b l ( u ( 1 ) ) = 0 ，( 0 3 ) w h e r e9 ( 柚) = lvr 2v ，p l ，鼠( ) ，l = o ，1 ，a r eb o t hn o n d e c r e a s i n g ，c o n t i n u o u so d df u n c t i o n s ， a n dt h e r ee x i s t sb 0s u c ht h a t0s 马0 ) 如，f o ra l l 0 ，= 0o r1 h ee s t a b l i s h e da n l e x i s t e n c er e s u l tu n d e rs o m es u p e r l i n e a ro rs u b f i n e a ra s s u m p t i o n si m p o s e do nt h en o n l i n e a r i t y o f ，w h i c hc a nb el i s t e da sf o l l o w s ： ( i ) ，0 = 0a n d k = + 。( s u p e r l i n s a r ) ，o r ( i i ) o = + o 。a n dk = 0 ( s u b l i n e a r ) ， w h e r e ，0 = l i m 。一。髻薯，k = l i m 。+ 。各害 i n2 0 0 1 ，s u na n dg e l 4 1p r o v e dt h ee x i s t e n c eo f a tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n g b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mb ym e a n so ft h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y ， j ( 脚( u ，) ) + d ( t ) ，( = o ，t ( o ，1 ) ， 1 ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， w h e r e 妒p ( s ) = lsr 2s ，p 1 t h e i rr e s u l t sr e q u i r et h a tt h ef u n c t i o n ，s a t i s f i e s ( i i i ) ，0 = 厶= 0 ，o r ( i v ) f o = ，。= + o o ， w h e r ef 0 ，氏a r et h es a m ea si n ( i ) ，( ) i n2 0 0 2 ，w u 1 s jc o n s i d e r e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rs e c o n d - o r d e rt h r e e - p o i n t e q u a t i o ns y s t e m s i n2 0 0 3 ，l i 6 】d i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m w i t hp - l a p l a c i a no p e r a t o r s w h e r e ，0 ，k 0 ，。 m o t i v a t e db yt h er e s u l t sm e n t i o n e da b o v e ，t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oe x t e n da n di m p r o v e t h ee x i s t e n c er e s u l t si n 【1 - 4 ，6 ，1 3 ，1 5 ，o u rt h o u g h t sc o m ef r o m 【7 ，8 1 t h et e c h n i q u e sa r et h ee s s e n t i m l yt h es a m ea st h o s ef o rt h ep - l a p l a c i a n ，h o w e v e r ，o u rd i f - f e r e n c ei si nt h ef o l l o w i n gf o u rm a i nd i r e c t i o n s ： ( i ) t h e r ei sas u i t a b l et w i s ti nt h ed e f i n i t i o no ff 0 ，k ，卯，g ， ( i i ) w eg i v ead e f i n i t i o no fa ni n c r e a s i n gh o m e o m o r p h i s ma n dh o m o m o r p h i s m ， ( i i i ) w eg i v et h en e wh o r n li nc 1 【o ，1 】a n dc o ，1 1 2 ， ( i v ) w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fq u a s i l l n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d q u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e m s ，a n dw ea l s od i s c u s st h ee a s et h a t ，c o n t a i n sz 。 t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ( 妒( z ) ) + n ( t ) ，( 。( t ) ) = 0 ，s u b j e c tt ol i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n sb yas i m p l ea p p l i c a t i o no faf i x e dp o i n t i n d e xt h e o r e mi nc o n w ei n t r o d u c eaf u n c t i o n ：r _ 冗i sa ni n c r e a s i n gh o m e o m o r p h i s m a n dh o m o m o r p h i s ma n d p ( o ) = 0 2 r h em a i nr e s u l t sa r ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 1 l e t ( e ) h o l d a s s u m et h a t ( i l ) f 0 = 0a n d = + 。；o r ( i i l ) f 0 = + 。oa n d o = 0 t h e np r o b l e m ( 1 1 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n t h e o r e m1 2 l e t ( e ) h o l d a s s u m et h a t ( i 2 ) 0 = = + o 。； ( i i 2 ) t h e r ee x l s sp o ，如ro z p ，( z ) l p ( q p ) ，”h 。q 2 i 否i i i j ；= j 而 t h e np r o b l e m ( 】1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s 茹la n d 菩2a n d0 0 。1j j 妒( a 力，w h e r e = ：言笔 t h e np r o b l e m ( 1 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s 。1a n dz 2a n d0 i ix l | | p | | 20 t h e o r e m1 4 l e t ( e ) h o l d a s s u m et h a t ( i 4 ) ，0 一n l 【0 ，妒( 夸) ) ； ( i i 4 ) k = 卢1 ( 妒( a 2 ) ，o o ) t h e np r o b l e m ( 1 1 ) h a sa tl e a s to d ep o s i t i v es o l u t i o n t h e o r e m1 5 l e t ( e ) h o l d a s s u m et h a t ( i 5 ) ，0 = d 2 ( 妒( 沁) ，。) ； ( i i 5 ) k = 岛e 【0 ，妒( 夸) ) t h e np r o b l e m ( 1 1 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n c o r o l l a r y1 6 l e t ( e ) ，( e 1 ) ，( i i 4 ) a n d ( i 5 ) h o l d t h e np r o b l e m ( 1 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v e s o l u t i o n s2 ；1a n d0 2a n d0 0x l | 1 r 1 1x 2 扎 c o r o l l a r y1 7 l e t ( e ) ，( e 2 ) ，0 4 ) a n d ( i i 5 ) h o l d t h e np r o b l e m ( 1 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v e s o l u t i o n so la n d2 ；2a n d0 | | 2 ；11 i r 8z 2 i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ( 妒( 一) ) + d ( t ) ， ( ) ) = 0 ，s u b j e c tt on o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w h e r ei p ：r _ r i sa ni n c r e a s i n g h o m e o m o r p h i s ma n dh o m o m o r p h i s ma n dl p ( 0 ) = 0 w es h o wt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt w o p o s i t i v es o l u t i o n sb yu s i n g8n e wt h r e ef u n c t i o n a l sf i x e dp o i n tt h e o r e m i nc o n e s t h em a i nr e s u l ti sf 0 u o w i n g ： t h e o r e m2 1 a s s u m e ( a ) 一( d ) h o i d ，a n ds u p p o s et h a tt h e r ee x i s tp o s i t i v ec o n s t a n t s0 a 舶s u c h t h a t 3 ( h 1 ) ( w ) 2 妒( 尬c ) ，i f6 c s ws ；， ( h 2 ) ( w ) 妒( 屯6 ) ，i f 0 埘6 巧， ( h 3 ) i ( w ) 妒( 如d ) ，i f0 a t h e nt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 2 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s la n dz 2s u c ht h a t n ( m a x t f o ，1 i x l ( t ) ，w i t hm a x t e 0 ，a u 1 5 ，1 x l ( t ) 6 a n db 0a n d 拖a 2s u c ht h a t ，0 ，$ ) 妒( 且如固，f o r 。i 占r l ，r 1 ， w h e r e8 。| | 。= r 1 ，i i 。0 = r t h e np r o b l e m ( 4 1 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n 茹a n dt h en o r 切to f 茹i sb e t w e e nra n dr 4 c h a p t e r1 l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 1 1i n t r o d u c t i o n i n t h i ss e c t i o n ，w ef i r s tg i v et h ef o l l o w i n gc o n c e p t sw h i c hw i l lb ea d o p t e dt h r o u g h o u tt h i s p a p e r d e f i n i t i o n1 1 l e teb e8r e a lb a n a c hs p a c e a n dki sac l o s e dn o n e m p t ys u b s e to fe ki s ac o n ep r o v i d e d ( i ) a u + 肋k ，f o ra l lu ， ka n da l la ，卢0 ， ( i i ) ，一u k i m p l yu = 0 d e f i n i t i o n1 2 ap r o j e c t i o n ：r _ ri sc a l l e da ni n c r e a s i n gh o m e o m o r p h i s ma n dh o m o - m o r p h i s m ，i ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： ( i ) i f z y ，t h e n 妒( z ) 妒( f ) ，比，9 r ； ( i i ) 妒i sbc o n t i n u o u sb i j e c t i o na n di t si n v e r s em a p p i n g i sa l s oc o n t i n u o u s ； ( i i 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