（应用数学专业论文）两类非线性矩阵方程的hermite正定解.pdf

硕士学位论文 摘要 本文研究非线性矩阵方程x 士a 。x g a = q 的h e r m i t e 正定解，其中g 1 ，a 是n 铃阶菲奇孬复矩阵，q 是露摊阶珏e r m l 专e 正定矩阵。菲线秣矩阵方程在控制瑗论，动态 规划，统计，随机渗入，排队理论，梯形网络等多个领域都有重要的应用求解矩阵 方程x 圭x 一萼么一q 是数傻代数研究的重要领域之一。本文主要研究以下三个阏 题：( 1 ) 解的存在性问题；( 2 ) 数值求解方法；( 3 ) 解的扰动分析 本文主要结果如下： 1 研究了解的性质褥到了矩阵方程x + x 一譬a q 有正定解的新的充分和 必要条件，给出了正定解的新的上界和下界以及存在区间，由此也得到了q 一言x q 一考 的特薤值的范围证明了矩阵方程x 一岔x 1 a = q 必存在正定孵，给凌了存在唯 正定解的条件 2 构造了数馕求解方法，利用不动点原理，构造了求矩阵方程x + x 一口a q 的准最大正定解，最小正定解以及矩阵方程x a + x 一口a = q 的正定解的迭代方 法，给出了相应的收敛性定理当么正规，a ，q 可换时，褥到了这两类矩阵方程的正 定解的住质以及蘸定解的蠢接解法，给出了相应的正定解的表达式。 3 得到了一些新的扰动界首先给出了矩阵方程x 士x g a = q 在a ，q 同 时扰动时鳃正定解的扰动界：其次搬据& e e 条 孛数的理论，对正定解的敏感性进行 了研究；最后给出了仅对q 扰动时正定解的向后误差估计式 4 绘出了数值铡子。利用数值铡子验证了文中所褥的结论的正确性以及求解 方法的有效性，同时也说明了矩阵方程x + a + x g a q 的正定解个数的不确定性 以及当垡 l 时矩阵方程x a x g a = q 的芷定解的不唯一性。 关键词：爿# 线性矩阵方程；噩定解；迭代方法；扰动界；条件数 i i a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，h e r m i t i a 飘p o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n so ft h en o n l i n e 打m a t r 投e q u 和 专i 潍x 士a x 一窖a q 越e8 专毽凌e d ，w h e f eg 王，a 主s 躐嚣魏n 娆s 主珏鳃l 甜m p l e x m a t r i ) 亡a n d qi s 撇n 死p o s i t i v ed e 矗n i t e m a t r i x j t h en o n l i n e a u rm a t 血e q u a t i o n s h 毪托b e e nw i d e l y 辎e di nm a 搿丘e l d s8 u c h 鹪n t r o lt h e o 联d y n a m i cp r o 黟搬m i n g ， s t a t i s t i c s ，s t o c h a u s t i c6 l t 两n g ，q u e u e i n gt h e a 口a n dl 甜d 盯瓿e 乞w o r k s s d m n g 谂em a t r 没 e q u a t i o i l 8x 士a x 一口a = qi 8o n eo ft h ei m p o r t a n ts t u d y6 e l d so ft h en u m e r i c d 出e b r 氇。珏e 弛，w es t 畦毋t k e eb a s i ep r o b l 滕瑙：( 至) 疆ep 阳b l e 礅蘸专k 双瓣e 珏c e 转o l 疵i o 鼬； ( 2 ) t h en l e t h o d sf o rs o l v i n gt h en u m e r i c a ls o l u t i o n ；( 3 ) t h ep e r t u r b a t i o na n a l y s i so f t h e s d u t i o 珏。 t h em a j nr e s u l t sa r ea sf d l a w s ： 1 t h ep r o p e r t i 箦o fs o l u t i o 璐a 淝s t u d i e d s o m en e wn e c e s s a 拶a n ds u m c i e n t c o n d i t i o 瞄f ；d rt h ee 姬s t e n c e t h ep o s i t i v ed e 蠡i l i t e 舯王u t i o n s t h en o n l i n e 甜m a 乞r 汶 e q u a t i o nx 十a x q a = qa 肫o b t a i n e d t h en e wu p p e rb o u n d 洲y l a l r e rb 吼l n d 龇y 鑫n de x 戳掇c el n 毫e 删t h ep o s l t i v ed e 垂至建i 毛e 烈躐i o n sa 豫璐v e 珏。 b 擞t h i s ，t k 蹦 1 9 e s o fe i g e n v 姒u e so fq 一x q 一盯eo b t a i n e d f u r t h e 咖o r e ，i t sp r o v e dt h a tt h en o n l i n e a r m 氇专出媚毽a i o nx 一x 一譬a = q 献w 炉h a sa s i t 溉d 醢n i t e 烈毪t i o n 强ec o 珏 d i t i o i l st h a tm a t r 汰e q u a t i o nx a 。x g a = qh a st h e1 n l i q u et h ep o s i t i v ed e f i n i t e s o l u t i o na r e 瘿v e n 。 2 。t h em e t h o d sf o rs o l 识n gt h en u m e r i e a l8 0 l t l t i o n 躺c o 璐t r 娃e t 葩。b y 谯e 叙磁 p o i n tt h e o 强t h ei t e r a t i v em e t h o d sa r ep r e s e n t e dt oc o m p u t e t h es m a l l e s ta d l dt h eq u 商 l 鑫r g e s 乏p 戚t i v e & 垂堇纛i t es 式醢i o n s 专km 晚仅明毽8 圭i 强x + 盖x 一鼙盖= q 强d 毛h e p o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o no ft h em a t r 汝e q u a t i o nx a + x g a = q t h e c o n v e r g e n c e 乇h e 疆e m 主sa k 婚g i v e 黢w h e 珏ai sl l o r m 旌锄dac o m m u t e s 奶t 量lq ，t h ed i r e c 乇m e 专h o d 纽 8 0 1 们n gt h e s et v mc l a s sm a t r i xe q u a t i o n sa r ep r e s e n t e d t h ec o r r e s p o n d i n ge x p r e 豁i o i l o ft h ep o s i t i v ed e f i l l i t es o l u t i o na r eo b t a i n e d 3 s o m en e wd e r t u r b a t i o nb o u n d sa r ed e r i v e d 。w h e na a n dqa r eb o t hp e r t t l r b 甜， t h ep e r t u r b a t i o nb o u n d so ft h ep o s i t i v ed e 6 n i t es o l u t i o n so ft h em a t r i xe q u a t i o nx 士 x 一军蠢一qa 糟西v e n 。b 8 s 以傩t h 猡繇e ee o 鞋纛l t i 潍雒礅b 黻，量l es e 矬s i t i v i 移 a n a l y s i so ft h ep 0 8 i t i 、，ed e f i n i t es o l u t i o n sa r es t u d y e d ab a c k w a r de r r o rb o u n do f 乞h e p 。s i i 张d e 鑫n i t es o l u i 睨主so b t a i | l e dw h e nq i sp e f t u 南硪 4 t h en u m e r i c a l le x a m p l e sa r eg i v e n t h en u m e r i c 址e x a m p l e sa r e 酉v e n 乞o i l l u s t r a t et h ec o r r e c 搬e s so ft h e o r e t i c a lr e s u l sa n dt h ee f e e c t i v e n e s so fi t e r a t i v em e t h o d s i i i 硕士学位论文 a tt h e8 a m et i m e ，t h e ya l s o8 h 鲫t h a tt h e 肌m b e ro ft h ep o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n so f t h em 妇设e q u a t i o 飘x + x 留a = qi s 强c e r t 如，a n dt h ep o s 主t i v ed e n i t e 烈u t i o n o ft h em a t r i ) 【e q u a t i o nx a x g a q ( 口 1 ) i sn o tu n i q u e k e yw b r d s ：n 弧l i n e a rm a t r i ) ce q u a t i o n ；p o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n ；i t e r a t i v em e t h o d ； p e r t u r b a t i o nb o u n d ：c o n d i t i o nn u m b e r i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：翘孰 因期：二如扩年多月，尽 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 熏、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：2 蚤d 辟乡月厂嚣 日期：2 p 曲扩年多月刃日 巍奸 纠厚 第l 章绪论 1 1 课题研究的意义与发展概况 非线性矩阵方程是数值代数研究的重要领域之一茬许多物理问题中经常可 以遇到求解线性矩阵方程村z = ，的翔题鸭其中矩阵埘是利用囊限差分方法求勰 椭圆偏微分方程时提炼出来的令 m = ( ， 考虑矩阵m = 面+ d i a g 旧一o ) ，其中 面= ( 通过对肘的不同的l u 分解，就可以得到不同的矩阵方程 倒如，如果将面分解成 砑= ( 二三) = ( a 。三一，：) ( ：曼) ， 令x = y ；，要使以上分解成立，则x 必须是矩阵方程 x + x 一。 = 0( 1 - 1 ) 的解 同样，如果将衙分解成 面= ( 二- = 毛) = ( 一j 三一。二) ( _ - j ；) ， 令x = y ：，要使以上分解成立，则x 必须是矩阵方程 x a x q a = q ( 1 。2 ) 的解从而矩阵方程肮= ，的求解问题转化成了两个分别具有上三角和下三角系 数矩阵的方程的求解问题 对砸阵方程 x + a x 1 a = f ( 1 3 ) 一1 一 两类非线性矩阵方稃的h e r r n i f e 正定解 和 x a x 一1 a = j ，( 1 4 ) 到目前为止，国内外很多学者对此进行了研究同时这两类矩阵方程的来源也已经 有了很详细的描述 例如在控制论方面，z a b e z y kj f 2 j 引用了控制系统 盈+ 1 = 西q 十d 札i ，z 何，“i uf = 0 ，l ， 和相应的二次价值函数 一i j ( z o ，t 0 ，一1 ) = f 【( e 墨，) + ( r 吨， ) 】，= l ，2 ， 扛= o 其中状态空间h 和控制空间矿均是h i l b e r t 空问，垂：h _ h 和d ：矿一日是线性有界 算子，e ：日_ 日是有界自共轭半正定算子，兄：u 一( ，是有界自共轭正定算子同 时，z a b e z y kj 还给出要求解此系统的最优控制问题，其核心问题是求解，使得满 足方程 = 圣k ( f + d r - 1 d + 耳) - l 西+ e ，( 1 5 ) 而此方程等价于磁c c a t i 方程 k = a ( 耳一b ( r + b + 口) 1 b + k ) a + e ，( 1 6 ) 其中 = 面，日= d 而且当日= 静，u = 酽时，e n 目楷r d ajc 【3 l 证明了求解以 上m c c a t i 方程的解等价于求解方程y + m r y 一1 m = ，其中y = r + 口t k b ，吖= r b 一1 a b ，= b 下a 下b t r b 一1 a b + 兄+ b t o b 同时e n 毋e r d ajc ，r 皿acm ， 剐k e b o e ral 【4 】证明了当0 是正定矩阵时，求解矩阵方程x 十a x 一1 = q 的问题 等价于求解方程y + y l = j ，其中y = q 一 x q 一 ，五= q 一吾 q 一 而矩阵方程( 1 5 ) 又等价于阳c c a t i 方程 x = f x p 一，x ( d 一兄d 一1 + x ) 一1 x f + e ，( 1 7 ) 其中f = 中，x ；f e r r a n t ea ，l e v ybc 【5 】证明了求解彤c c a t i 方程( 1 ，7 ) 等价于 求解方程x = q + x 一1 ，其中q = e ，= 一，d 一兄d 一1 = + q _ 1 j v 同时 还证明了当q 是正定矩阵时，求解矩阵方程x = q + x 以的问题等价于求解方 程y = ，+ 4 y 一1 a ，其中y = q 一 x 口一i ， = q 一；q 一 同样，矩阵方程x 士a x 一1 a = ，在电子网络 6 j ，随机渗入【7 ，引，统计学【8 - 引，动态 规划| l o l l 】，排队理论【1 2 i ，梯形网络【1 3 】等多个领域部有很重要的应用 在实际中，由于人们经常会碰到这两类非线性矩阵方程，因此这两类矩阵方程 的研究也就越来越引起人们的重视 一2 一 硕士学位论文 早在1 9 9 0 年，a n d e r s o uwn ，m o r l e ytd 利用短算子s ( ) 的方法，绐出了口正 定耐，矩肄方程 x 十 + x 一1 a o( 1 + 8 ) 有正定解的充要条件，同时培出了选代求解方程正定解的方法+ 王磬9 3 年，e n 阳r d a jc 4 l 引入了有理矩僻值函数，证明了矩阵方程( i _ 8 ) 若存在正定解，则必存在最小正 定解和最大正定解，并将此问题简化嘲，在以楚实矩阵，q = 的情况下讨论了矩阵 方程( 1 。8 ) ，不仅给出了解存在的充分必要条件，而且采用简单的递归算法具体求解 了该矩阵方程，同时将其应用到了最优控制理论中 1 9 9 6 年，詹兴致和谢建掣1 嗣采用矩阵相关知识对矩薄方程x + 岔x _ 1 a = j 再 次进行了研究，给出了该矩阵方程有解的充臻条件是a 满足分解a = r q p ，其 孛p 和q 是正交矩阵，对角矩阵鞠滤足r 饥e o ，r 2 十2 = ，此时方程 的解为x = 一产p ，并由此给出了该矩阵方程有解的一些必要条件1 9 _ 9 8 年，刘新 国1 1 6 i 继续研究了该矩箨方程：给出了求解的简单迭代1 9 9 9 年，郭晓霞【1 7 i 给出了矩阵 方程租8 ) 存在可稳定他解的充分必要条件2 0 年，徐树方【1 8 证明了矩阵方程x + a x 一1 a = 珀勺最大正定解是良态的。给出了求解最大正定解的迭代方法，并且讨论 了该迭代方法的收敛性。髓后徐树方，孙继广【坤t 到和陈小山，黎稳翠1 】详缎讨论了挺 阵方程( 1 8 ) 的最大正定解的扰动界，误差分析以及条件数 在研究矩阵方程( 1 3 ) 麴基础土，l 9 8 年，l 啪o vlg ，e s y 耐sm 嘲对此进行了 扩展，讨论了矩阵方程 x + a 4 x 一2 a = _ ， ( 1 9 ) 的正定解存在的充分条件，牲口若存在两个数d ，口满足o a 芦 1 和铲( 1 一位) ， a 2 ( 1 一芦，则矩阵方程( 1 9 ) 青芷定解，同时给出了求解i i 勺两个迭代方法并 讨论了解的收敛性与收敛率但是在理论求解与其体计算中都与不确定的数q ，腑 关，2 0 0 3 年，张玉海【2 3 1 给出了a 正规时，矩阵方程( 1 9 ) 有解的充要条件是p ( ) s 南， 在此稷设拳件下，通过求解方程妒( 1 一霉) = k ( 且 ) 和矿f l 一工) = ( a ) 豹两个 非负解，从而得到了确定的口l ，n 2 ，风，岛，满足o o l asl 蔓岛s 咖5l ，由 此确定了解的具体范日，印x f 8 l f ，壤，j u f 岛f ，啦明u x | 8 ，sk x ) 妄恁，岛 l ( x ) s 口2 髓后e 1 s 辫醴sm ，a 卜d b i b a 珏am 剐和廖安平醐研究了此类矩阵方程歪为广 泛的形式，讨论7 矩阵方程 x + 岔x 咄a = f l ，l o ) 在a 为实矩阵情形下的可解性，给出了矩阵方程( 工i o ) 有解的充要条件以及迭代求 解方法，但是也有不确定的数口，芦2 4 年，珏a s 粕册vl ，i 瑚n o vlg 1 2 6 】继续研究了 一3 一 两类非线性矩阵方程的h e m i t e 正定解 矩阵方程 x + 五x 啼a = 0 ，( 1 1 1 ) 其中一是非奇异的复矩阵，而0 则是任意的正定矩阵给出了矩阵方程( 1 _ 1 1 ) 有解的 充要条件，得到了解的扰动界在此基础之上，2 0 0 6 年，h a n o vig p 7 】更为详细的研究 了矩阵方程( 1 1 1 ) ，引用了拉直算子，得到了一些新的结果，同时利用标量方程n “( 1 一 o ) = 畦( 1 拿一号 q j ) 和矿( 1 一钟= 盯 ( q 一詈a q 一 ) 以及口”( 1 一a ) = 碟( a 0 一 ) 和伊( 1 一 圆= 盯 ( a q 一) ，得到了解的具体存在区闻，构造了求最小正定解和特殊解的数值 迭代方法，并讨论了相应的收敛性 在方程( 1 3 ) 的基础上，2 6 年，h 8 s 躲吖vi ，e l - s 8 弹dsm | 2 8 1 遴行了另外一种扩 展讨论了矩阵方程 x + 。x 一6 a = 口 ( 1 1 2 ) 在0 l 时正定解不一定是唯一的，由此我们 给出了方程存在唯一正定解的条件其次给出了求解的方法及相应的收敛性定理， 得到了正定解的扰动界，利用数值捌子说明了结论豹正确性以及求解方法的有效 性和可行性 本文还解决了阻下两种矩阵方程方程的求解列题： 5 一 髓类4 # 线性矩阵方程的h e 黜i t e 正定燃 ( i ) 蔗怒正规矩阵，a ，q w 换( 见8 2 2 3 及3 2 2 ) ； f i 玲a 是嚣鼹阶奄冥复矩阵，q z ， 考虑矩阵方程 ， x 圭蠢事x ”罐= ；l ；+ 实际上：存在谢矩俾r 使褥 a = p ( 三：莒) t 其孛建l l 嚣鬻弄，辩箍阵方糕f 薰，差国有莲定解麓嵬蘩条襻楚 y 圭( 等1t ) y - 霉( 三：三) 端j 省芷定簿，其孛y 裟羧p ， 然而矩阵方程( 1 1 7 ) 有芷定解的嵬要条件炮 ( 1 。强) 王。王0 z 走建；l z 叫蔗l l = 善一蔗；l 羹2 l ( 王王国 眷芷定簿。囊瑟可知萋楚阵方程王。王鳓宥正定解，粼一冀；l 麓袈是菱定矩薄，爨诧矩薄 方程( 1 1 6 ) 的求解阏题便转纯成了本文研究的矩阵方程 盖3本史所用的记号 s 摊拜 钟绷 拶撙x 摊 l p 如) 孙胁 a 峨( ) 气蔗) a o ( a 0 ) 蠢 嚣 a 廖 奎蕉髂露菱瓣簿熬集台 全体性挖非奇异复矩阵的集合 全嚣嚣嚣耍矩阵夔集会 单位雉阵 全体戆捉黔实对称矩簿瓣集会 矩阵熊融o b e n i 燃范数 矩阵熬谱范数 矩薄众瀚共藐转鼍 矩阵1 的奇异值( 萨l ) 如) ( 以) ) 篷薄麓鳃特鬣燕 矗t 固l 孟2 固| | k 羹；| 矩阵l 熄h c r n l i t e ( 半) 正定矩阵 矩簿建一君是珏e r 糍i 专e 半菠定踅辫 6 一 硕士学位论文 1 4预备知识 定义1 4 1 淘假设赫( 拖) 是矩阵方程( 1 1 ) 的正定解，如果对矩阵方程( 1 王) 的所 有正定解x 都有x ( x x l ) ，则称x s ( x 厶) 是矩阵方程( 1 1 ) 的最小( 最大) 正定 解。 。定义l 鲍假设托l 是矩傅方程t 1 1 ，) 韵正定解，+ 如果对矩阵方程( 1 1 ) 的所有正 定解x 戈都有k 一 x q 一 ) o ，则当口( o ，1 】时，a n b 穗，当q 【一1 ，o ) 时， a 毪酽 引瑷1 4 2 嘲对任意的m ，x ，y m j o ，则当瘦 0 时，对任意的x 0 ，都有 = 南厂e 驴瓠 引璎羔4 4 矧对任意的a 线艿 0 ，有 e 肌嚣_ e a = z 1 e ( 1 - t ) 慨“删批 引理1 4 5 阔如果尬，a m l ， o ，鸲，b 惫m 2 ， o ，且曰a o ，则 当q 【1 ，+ o 。) 时， 肛( 等) p 1 鼹肥( 等) ”1 萨 弓l 理1 4 6 f l 对任意的a 0 ，都有 | | e 一 | | = e 一 n f a ) 。 两类非线性矩阵方程的h e m i t e 正定解 引理1 4 7 【4 2 】 如果a ，b2o ，则存在尸钾煳，使得p a p 和p b p 都是对角矩 阵更进一步有，如果a o ，则可以选择p ，使得p a p 一歹，p b p 是对角矩阵。 引理1 4 8 ( 谱分解定理) 如果a 是正规矩阵，则存在u c ，抖黼，使得 舶，= r 雾= 九) ， 一8 一 硕士学位论文 第2 章 矩阵方程x + a 木x g a = q ( g 1 ) 一 2 1 解的性质 的h e r m i t e 正定解 孙c 删堪中( 罢卜一一- ，的 ( 彬q 一) q 一；+ ( ( + ) 一口a q 一；) + ( ) 一口a q 一 = ， ( 。嚣j ) ( ( 嚣；) = ， 仁1 ， 自( 2 兰型三二黼邓w 肛倒删 反之，假设存在四n ，z c n ”使得a = ( w 1 ) z ，且l。二。i 是列 两类非线性矩阵方程的h e m i k 正定解 也就是说，x 是矩阵方程( 1 1 ) 的正定解 证毕 定理2 1 2 矩阵方程( 1 圭) 有正定解x 的充要条件是存在p j ，v 护n 祁对焦 矩阵r ，垂， 0 使得 a = p p 肼圣扩0 主， 其中2 + 西2 = ，e 2 = ( p q 一 u ) r 2 p q 一；u 此时x p r 2 p 是矩阵方程( 1 1 ) 的 正定解 证明假设存在只m ，u 伊“和对角矩阵r ，垂，e 0 ，2 + 妒= j ，e 2 = ( 弼一；) 。r 2 舶一 矿，使得a = p p ，垂u t q ，直接计算易知x = p r 2 p 是矩阵方 程( 1 1 ) 的正定解 反之，假设x o 是矩阵方程( 1 1 ) 的正定解，由引理1 4 8 ( 谱分解定理) 可知，存 在j p u 似 使得x = 尸r 2 p ，其中r 0 是对角矩阵，则矩阵方程( 1 1 ) 可写为 p + f 2 尸+ + p r 一翱p a = 0 ， r 2 + p 且p 。f 一幻p a p + = p q p ， p a + 尸r 一2 9 p a p = p q 尸一1 1 2 ( 2 2 ) 由引理1 4 7 ，存在u 泸竹和对角矩阵e 0 ，使得 结合( 2 。2 ) 式可得 扩+ 口一 尸( ，) 0 p ) 尸q 一号u = j ， c 厂+ q 一；p r 2 尸q 一 u = e 2 u 0 一 p + p a p + r 一秘p a 户+ p q 一 矿= j 一2 ( 2 3 ) 令= r 一口尸a 0 一；u ，垂2 = ，一2 ，则( 2 3 ) 式可化为 = 圣2 ， ( 2 4 ) 由于耳钾加，故圣2 0 ，令膨= 并垂，则由( 2 4 ) 式商村+ 硝= ，即州驴黼， 由= r q p a q 一 u = m 垂，有a = p r 碍m 圣u 0 i 证毕 定理2 。1 3 如果矩阵方程( 1 1 ) 有正定解x ，则 盯( a ) ， 旷 l l q | 孚。( 窜十1 ) 口+ 1 。 证明假设矩阵方程( 1 1 ) 有正定解x ，由定理2 1 2 ，我们有a = ，”r 口i ，圣+ q ， 其中p ，吖，u ，“x n ，r ，垂 o 是对角矩阵，2 = ( p o ，) r 2 尸q ，且2 + 垂2 = ， 一1 0 一 则 玎t ( a ) = # 盖| | = | | 尸( p q 2 扩q p ) 5 嬲圣一q 韧 f f q | | ；i f 旷f f 由f | f q f f 纠旧| | 拳群杀。 一卜步有器孝知 证毕 2 1 2 解的界的估计 定理2 。l 。4 如果矩阵方程( 王。1 ) 有正定解x ，则 州瓶再肛( 端) p 1 瑚哪 证明设x 是矩阵方程( 1 1 ) 的正定解，则 x o ， 即x q a q 1 a + ，由引理1 4 1 得 x 够丽 由x 1 】内 则 ( 嘏) p 1 华 乏料羔 一1 2 1、j一)、， 州生1勃 、_0一qr i 釉帮 ，i、一，rl ， l丝州一一 ，卜 一 1 2 氟 l l 一 一 印1 卉 硕士学位论文 于是口七 i 苦，南= o ，1 ，2 ，从而a2 恕乜电i 苦，1 】 口十工 七_ 。口十j 定理2 1 6 如果矩阵方程( 1 1 ) 有正定解，则 程( q 一 a 口一；) 石了写嘉石 且x 矗q 其中a 是数量方程 扩( 1 一o ) = 盯：( q 一差a 0 一 ) 在【o ，i h 】内的解t 证明考虎序歹| i q o = 0 ，o 七+ l2 则显然有x q o q = 0 假设x q k 0 ，那么 - 一 ，七= 0 ，1 ，2 ， = a 七+ 1 0 于是x q i q ，七= 0 ，1 ，2 ， 显然序列 q i ) 是单调递增的，且x o q ，七= l ，2 ，我们有 乜k ，q 一 x q 一 茎口一 q q 一 ， 因此a 七1 根据单调有界原理，序列( 0 = 七 是收敛的令矗= 1 i mq 七，则 k - _ q = 即五是数垦方程( 2 6 ) 的一个解但是数最方程( 2 6 ) 有解的充分条件是 积卵4 。一 ) 茎踊州1 一王) = 高每 一1 3 一 证毕 ( 2 6 ) 两类非线性矩阵方稃的h r 珊j t e 正定解 又函数，( z ) = z 2 ( 1 一z ) 的最大值在善2i h 达到，所以数量方程有且仅有一个解 在 o ，南】内 我f f 】有口0 = 0 南假设吣南瑚l - 吼“一南= 击那么 口十l4 十l口十上4 + l 一 嘶，三掣 厄磊而= 南 所以q 七i o ，i h i ，七= o ，1 ，2 于是丘= 些已口七 o ，i 苦】 证毕 我们考虑数量方程f 2 5 1 和 州1 叫= ( 黼) p 1 根卵竹札 如果 ( 嘏) p 1 硝卵灯k 南， 则数量方程( 2 5 ) ，( 2 7 ) 分别有两个实根阮 岛，口l 0 2 ，且o 胁 q 2 岛 0 1 n 1 0 o i a 2 0 x 冬盛q ) ， 仍= x o f 岛q a 1 4 一 硕士学位论文 a 1 ( q 一g ( x ) q 一；) 一( 击竹1 ) i 一) q ；( 击q 妒。伽q q g ) 。一) 卵( 击( 黼) 护。”剐；一) ( 糌) 譬口； 从而有风，q 一g ( x ) q 一口l ，即p l q g ( x ) n l q 因此，g x ) 是锄上的压缩映射，蠢b 嗍誉动点定理知g ( x ) 在妒2 内套一个不 动点即存在x 妒2 ，使得x = g ( x ) 成立，也就是说矩阵方程( 1 1 ) 在妒2 内有一个正 定解 考虑映射f ：f ( x ) = q 一x 一譬a ，f 在上连续，且吼为有界闭凸集，如 果x 锹，则 a n ( q 一f ( x ) q 一) = f 一( 嘏) 铲1 扣衍铲掣， u ，一( 嘏) p 1 ( 粉) p 1 警c l 二， = 口2 ， 妯卜( 粉) 铲夸q 伊婶 。 姒t j 一( 糌) 扩1 ( 揣) p 1 墨”剐 从而有n 2 ，( ? 一p ( y ) q 一侥，即n 2 q f ( x ) 风q 斟此，g ( x ) 是张上的蕊缩映射，翻b r o l w e r 不动点定理翔f ( x ) 在魏内宥一个不 动点即存在x 妒4 ，使得x = f ( x ) 成立，也就是说矩阵方程( 1 1 ) 在咖内有一个正 定解。 一1 5 一 = 一 = 一 两类非线性矩阵方程的h e r r n i r e 正定解 假设x 是矩阵方程( 1 1 ) 的任一正定解，则 k ( q 一 y q 一 ) = l a l ( q 一 a x g h q 一 ) 2 卜氅掰 卜掰， 从而( 1 一 n ( 0 一；x 0 一 ) ) a ：( 0 一 0 一 ) 蔓a 1 ( 0 一 月q 一口a 0 一 ) ，即 n ( q 一 x 0 一 ) o l 或 。( q 一 x q 一) a 2 所以矩阵方程( 1 1 ) 在i p 3 上无正定解 同理可得 l ( q 一；x 0 一；) ：1 一a n ( 0 一 + x g a q 一 ) 卜糍掰 ， 。( 0 一言 q 一4 0 一i ) 二 埘( q 一 x q 一 ) 从而( 1 一 l ( q 一 x 口一；) ) a ：( q 一 x 0 一 ) a 。( 0 一i a q 一口a q 一 ) ，即 - ( 0 一 x 0 一) 且或a l ( 0 一x 0 一圭) s 屉 所以矩阵方程( 1 1 ) 在妒l ，妒5 上无正定解 实际上，定理2 1 5 也说明了矩阵方程( 1 ，1 ) 在妒5 上无正定解 证毕 注2 1 1 假设x 是矩阵方程( 1 1 ) 的正定解，由定理2 1 7 可以得到q 一吉x 0 一 的所 有特征值均在协，a - 】u 口2 ，岛 内 2 2数值求解方法及收敛性分析 本节给出了矩阵方程( l 1 ) 的正定解的存在条件，构造了求准最大正定解和最小 正定解的迭代方法，给出了相应的收敛性定理，并且讨论了在a 正规， ，0 可换时正 定解的性质及求解方法 2 2 1 准最大正定解 我们考虑选代 = r 口，虬+ i = q a + x f 。a ( 2 9 ) 定理2 ，2 1 如果 2 旧一扩l 矗每， ( 2 - 1 0 ) 一1 6 硕士学位论文 则对= ( q ，( 【了b ，1 ，由( 2 9 ) 式确定的序列 凰) 收敛到矩阵方程( 1 1 ) 的正 定解鼍，且k 满足 南。 鼍q 一( 粉) p 1 删1 a ( 2 1 1 ) 一而且满足上式的k 是唯一妁 证明任取x 【苦q ，q l ，有百南，x 。 令f ( x ) = q a + x 一9 a ，显然f ( x ) 在i h 印，q i 上连续t 郴) q 一小( 孚川伊1 j | = 醐j q 之川一( 半川矿1 i | j 呐l - ( 字川悃1 | r ) q 型0 又f ( x ) = o a x 一口a 茎q ，由b r o u w e r 不动点定理，( x ) 在【 h q ，q l 内有一个 不动点鼍，且由定理2 1 4 得 南q 鼍。一( 粉) p 1 枷叫a 假设x ，y 孑h q ，刨，则 x 雨焉研，y 面谛研f i if ( x ) 一f ( y ) 0 = 0 a ( x 一。一y 一。) 1 i ”| f 2 【x 一寸l ，一口0 1 i 陋o 雨嘉驴”n y j j ：i j 胪鱼暑芝l l 口_ ”州o x y | j 由条件( 2 1 0 ) 知f 为孑苦口，刮上的压缩映射，即鼍是f 在 毛口，q 上的唯一不动 考虑迭代( 2 9 ) ，( 【孑苦，1 】，我们有= ( q i 苦口，q j 因为f ( 【 苦q ，q 】) c 孑b q ，q 】所以对七= o ，l ，2 ，都有x t 【 h 。，。 因此 l l x 七一x ( 1 lsl l a l l 2 1 1 q q i | q + 1 鱼二笋n x i i x 川 由条件( 2 1 0 ) 知矩阵序列 k 收敛到鼍 证毕 两类非线性矩阵方程的h e r m j 培正定解 注2 - 2 1 在定理2 2 - 1 的条件下，由于鼍是矩阵方程( 1 1 ) 在孑b o ，q 】上的唯一正 定解，由定义1 4 2 ，鼍是矩阵方程( 1 1 ) 的准最大正定解特别地，当矩阵方程( 1 1 1 ) 存 在最大正定解时，k 就是矩阵方程( 1 1 ) 的最大正定解 定理2 2 2 假设 柏嘞卵) 学( 揣) ，1 n ( 2 1 2 ) 令口2 租岛分别是数嚣方程 邪叫= ( 嘏) p 1 礤卵灯幻 和 州1 叫= ( 糌) 翻q 灯幻 在i h ，1 ) 内的解，且孑苦基。恳 l t 如果 h ；业掣 1 ， ( 2 1 3 )d l2 再丁一 j ，l j - j ， 则对蜀= 扫0 ，口b 2 ，尻】，由迭代( 2 9 ) 确定的矩阵序歹l j 尥) 收敛到矩阵方程( 1 1 ) 的 正定解贾陋2 q ，岛剜，且贾是矩阵方程( 1 1 ) 的准最大正定解正 证明我们首先证明矩阵卑列 瓤 c 扛2 q ，岛q j 由墨= 旧，乎【q 2 ，岛b 有q 2 口x d = 日q 侥q x ，：q 一嘉a 口叮a q ( ，一击口：( 。一 a q 一 ) ，) q = q 一击( 揣) p 1 肿侧q x 1 = 0 q =0 l、l a o 一 ) ，jq 6 叶一l a ! ( 1 一0 2 ) q 0 2 q 于是n 2 0 x i 茎岛q 假设2 国曼雉愿q ，由引理l 。4 1 和弓l 理1 4 5 ，有 础始盯t = 扣，k 叮壶( 糌厂旷 一1 8 一 a 罡卜旷q丽hh棚h | 和滢 音 崮此 盖0 l 裂q 一 嚣4 a ? 一寿( 嬲厂删a g ( t 一壶( 嘏) ( 黼) p 1 踯吲卜 拦岛q ， 。 类龇我脯嚣1 s 扣l ，军壶( 嘏厂铲西此 + l q 一 t x f 峰a a 0 一叮a p 1 ( 糌卜e 王吲弘 l 旧。) 夕心p 唧 于是啦q s 如q ，七；o ，l ，2 ，。 因为虬n 2 旗所以抵鼎f 下霹我们考虑溉仲一溉，由弓l 理盖4 t 2 有 l | + 扣一氙8 紫| f a ( 爿己一。一x 芒，) l i | | 1 2 盖焉一l 一盖矗# 剑邮( 掣) 州一驯 s f 划磐掣n 乓一凰镕 口；“，” 常6 j j 一l l 兰酵t 乇l 墨一魁# 由条件( 2 。1 3 ) ，矩障序列f 氟 是i 血z 口，珐翻上的c a u 曲y 岸列，且矩阵序列f 熄 收敛 予矩阵方程( 1 。l j 的个正定解安扭2 母，盎铡。 假馥矩阵方程( 1 1 ) 有弧个正定解，x 芒b 2 q ，日l ，则 | | x 一爿啡| = + ( x 7 一孽x 胃一辛 | | 钏l 圳2 譬”硼 l | x 一x 玑 由此知露是矩肄露程( 1 + l 瑚e b q ，锚上的唯正定解根据定义l 、4 ，2 ，岩楚矩阵方 稗( 1 1 ) 的准最大正定解，帮需；粕厶证毕 2 ，2 。2 最小正定解 一1 9 一 、j一、j1_fl l i 一 _ 一 矿一驴旧一瓣 一丽一一一 p u f 弋 三- 硝 一 1 q让