（基础数学专业论文）locale与拓扑空间的凝聚化.pdf

学位论文独创性声明 唧i liji ii i l l if r lf p r i i illr,ill riliihi rilly1 890069 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别加 以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的 研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名： 施 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借 阅本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 并进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名：鲤指导教师签名 签名日期： 0纠， 年厂月形日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘 要 在locale范畴或称为其对偶范畴的frame范畴的讨论和研究中，由于locale理论为 拓扑学提供了一个重要的研究手段，在locale中完全从集合的开集开始谈论其性质，正 是由于locale理论其研究拓扑结构的一种新的角度，也丰富和发展了拓扑学 一个范畴映射到另一范畴的函子，如果满足一些条件，定义它为扩张函子，对于扩 张函子来说，它的相容性、饱和性、稳定性都是知道我们研究探讨的对象，本文主要研 究对于凝聚范畴中的一些例子和关系 对于凝聚化这个扩张函子来说，它是相容饱和的；对于它的稳定性，这里给出了对 象稳定的几个等价条件和充分条件，如谱t。和谱t：，对于拓扑结构稳定性的研究也给出 了等价条件，如frame中的元是紧元，frame中每个理想是主理想 关键词：凝聚locale；凝聚化；扩张 collection in the locale of open sets to its naturefor the study of the topological structure，a locale theory not only opened up a new perspective，but also enriches and develops the topology a functor from a category mapped to another category,if meets some conditions，we can define it for expansion functor,for expansion overall functor compatibility and saturability, stability is all know we study object，this paper mainly studies for me some ofthe examples and relationship for the expansion coherentily functor，it is compatible saturated；for its stability,this gives object stable several equivalent conditions and sufficient conditions such as prime tl or prime t2；for the stability of the topological structure of the research also given conditions of equivalences，for example in a frame each element is compact or each ideal is principal ideal key words： coherent locale ii 摘 要i abstractii 引 言1 o1问题的提出1 02文章结构2 1背景知识2 11范畴相关的定义2 12函子及其相关的概念4 2范畴frm9 3loc点化和简要的结果11 4凝聚locale范畴和凝聚空间范畴的一些范畴性质14 41凝聚空间的例子和性质14 42 coh到sp的包含映射i的范畴性质15 43凝聚空间的几个等价条件16 5扩张函子18 51扩张函子19 52相容扩张函子20 53饱和扩张函子_20 54平稳函子20 55凝聚空间的扩张函子2l 551凝聚空间开集格平稳一些探讨22 552凝聚空间点平稳一些探讨22 6一些待解决的有趣问题23 参考文献24 附录a本文使用的一些范畴符号25 致 谢26 辽宁师范大学硕士学位论文 引 言 o1问题的提出 拓扑结构作为一个研究空间结构的、重要的基础数学分支，从其产生以来一 直被数学工作者所关注，一般拓扑学的研究主要是研究在给定集合上定义拓扑的 结构，进而研究拓扑空间的性质，而在研究过程中最为基本的、最为重要的就是 集合中的点，即拓扑空间的点，而我们关注的拓扑空间的性质一直以来都是以点 的为基本对象逐渐地定义、讨论和研究，而拓扑学也一点点的建立起来，所以拓 扑空间的点作为重要的研究中介联系着拓扑空间的各个性质，正是由于这个原因， 一般拓扑学也被广泛的称为点集拓扑学 一般拓扑学出现了一批经典的专业书籍，如，kelly1】，rengelking2】， bourbaki3，james rmunkres4等学者的著作在我国对于拓扑学也出现了很多 关于拓扑学的书籍，蒲保明【5】，方嘉琳f6】，熊金成【71，以及而方嘉琳老师也有 对于外文拓扑学的译著，拓扑空间论【8】 由于拓扑学广泛的概括了具有特点的数学结构，一般拓扑学很快的发展为数 学众多分支、也对一些数学之外的学科起着不可替代的重要作用，它的发展为数 学其他分支的研究和讨论提供了一种有力的手段，更大的推动了他们的发展随 着经典逻辑的代数化与泛代数的发展，格论是引进的一个新的代数系统 20世纪30年代，mstone在研究抽象布尔代数的表示理论【7】【8】时发现布尔 代数和分配格均可与某些特定拓扑空间的开集族(格)有着极为紧密的内在联系 几乎是在同一时代，塔斯基的工作使直觉主义逻辑代数与某些拓扑空间开集格之 间的内在联系也被人们认识到了，参见【9】，于是激起了人们从纯代数(布尔代 数，格)结构出发探讨拓扑空间的结构和性质 gbirkhofr的(第一版)专著(lattice theory)是20世纪30年代的格论及 其对于数理逻辑、泛代数、一般拓扑学、泛函分析和概率论等数学分支中应用的 系统的总结，促使近代格论逐步形成 在30年代末期，格论的方法就开始引起数学家用于拓扑空间的研究的关注， 例如t1问紧化问题的研究者hwallman对，以及boole代数与分配格的表示理 论的研究者mhstone等，都颇具有格论的特点 到20世纪50年代，ehresmann10和b6nabou11又提出了将满足第一无穷 分配律的完备格(即完备heyting代数，在逻辑中也称为brouwer格)仅考虑有 限交与任意并运算看作一种广义空间，从而建立起一种不用背景集合及其点的广 义空间理论这一领域的结果已相当丰富，如见gnobeling的专著，我国数学家 关肇直先生的著作对此也有简要的介绍接着，如hugil dowker、dstrauss等一 些著名的拓扑学家做了许多开创性工作，参见【1211i81接着，chdowker， dpapert(streauss)，jrisbell，ptjohnstone等对frame理论的发展和丰富都 作出了很大的贡献到了70年代，jisbell19】的工作引发了众多数学工作者在 locale范畴下统一无点拓扑理论的研究 1982年，ejstone出版了专著(stone space)【201在这部专著中，此前关于 无点拓扑理论的主要工作被系统整理汇总这部专著也成为该理论的一个重要的 基本文献值得一提的是，近些年在计算机理论科学中关于dcpo的理论研究一 locale与拓扑空间的凝聚化 度相当火热，而locale理论既是其中的一部分也为其提供了方法因此，如关于 dommn理论21】的专著以及对于计算机理论及逻辑相关的著作22】，这样的许 多文献均较为系统地介绍了locale理论的内容 我国对于locale理论的研究也取得了很大的发展，如罗懋康老师和贺伟老 师对于locale在我国的发展和壮大起着重要的作用，locale理论，其研究方法 结果都与拓扑学、格论、层论、同调论、范畴论以及逻辑学等有着密不可分的 关联，并对逐渐的它们产生不可忽视的影响locale理论，在一些数学学者中还 使用着一个更具有广泛性的名称：格上拓扑一般而言，这个名称的内容除了 locale理论外，还包含格论和拓扑学等学科的方法处理与格论和拓扑学都密切 相关的问题的研究，如fuzzy拓扑学，便是格上拓扑学的一个重要分支 在locale理论中点化是一个重要的研究对象，由于点化是使得locale从开 集通过函数转化成为一个拓扑空间，使得给定的一个locale的格结构转变为的 拓扑空间变得形象，具体，容易被人们所研究和讨论进而对于locale的研究， 关于可点化的讨论引起了数学工作者的关注 但是并不是每个locale都可以进行点化，如在实数轴上，给定的开集均为 正则开集，做为拓扑空间我们知道实数中点有连续统势，但其开集格作为locale 却不能找到任何一个点，即是一个无点locale而凝聚locale作为空间式locale 的一个充分条件，凝聚locale的一些性质就值得探讨和研究对于拓扑结构的一 种代数抽象，locale理论也为拓扑学的提供了一些新的角度本文从范畴的角度 考量它与拓扑空间范畴之间的一些关系 02文章结构 除引言外，全文共分6个部分 第一部分介绍一些正文中使用范畴论的概念符号的含义以及必要的预备知 识；第二部分将讨论范畴frm(loc)的一些范畴之间的一些简单的范畴关 系；第三部分给出了locale中点化拓扑的一个定义方法，证明了与文献中定义 的拓扑等价：第四部分主要讨论了范畴coh与coh的一些范畴性质：第五部 分给出扩张函子的定义，讨论一些扩张函子的性质；第六部分提出值得探讨的 一些问题 1背景知识 这里先介绍一下基本的范畴论的相关概念和简单的命题和定理等结论 11范畴相关的定义 一个范畴(category)e是由： (1)一族对象(obiect)obe； (2)任意一对对象a，b，对于一个集合e(a，b)，其元素称为态射(morphism)， 使得当aa 7或者bb7时e，b)与eca，口7)不交； 士学位论文 若a，b，cobc，厂e(a，b)， ge(b，c)则存在唯一的g厂e(a，c)，称为厂与g的复合； (b)结合律(associativity)：若a，b，c，dobc，厂e(a，b)，ge(b，c)， he(c，d)，则有 h(gf)=(幻)厂? (c)单位态射(indentity morphism)：对每个对象a存在一个态射 1ae(a，a)使得对任意的厂e(a，b)z29e(c，a)有 fla=f1ag=g： 设e是一个范畴，e的态射的全体记作more 若a，bobc，厂e(a，8)，类似于习惯上对映射的表示， 我们用一个箭头表示为f：ab，称a是厂的定义域，b为厂的值域，记作 dom(厂)=a，cod(厂)=b 设e是一个范畴，以e的对象为对象，以e的态射的反向为态射形成一个新范畴， 称为e的对偶，记作cdp(即厂eop(a，b)当且仅当厂e(b，a) 、 ， duality principle设p是一个关于所有范畴的真命题，则将命题p中所有的态射 反向得到的新命题p+也是一个关于所有范畴的真命题 对范畴论中的任意一个命题p，我们有(p+)+=p成立，由对偶原理可知， 命题p成立当且仅当其对偶命题p+成立因此对于范畴论中的任意一对对偶命题， 我们只需要证明其中一个命题成立，另一个即成立 设4，b是范畴e中的两个对象，厂：4-b如果存在态射g：b一4使得 af=h，1a=fa， 则称厂态射是一个同构(isomorphism)如果存在一个同构f：a一b， 则称以与b是同构对象(isomorphism object)容易验证同构是obe i-_的-个等价关系 设e是一个范畴，若范畴e满足： (a)obe7obe； locale与拓扑空间的凝聚化 (b)e7(a，口)c(a，b)；a，bobc； (c)e中的复合与e中的复合相同； (d)e中的单位态射与e中的单位态射相同； 则称e 7是e的子范畴(subcategory)进一步，如果对子范畴c 7中的任意两个对象a，b， 都有e7ca，口)=e(a，b)成立则称e是e的满子范畴(厂uff subcategory) 12函子及其相关的概念 设e和d是范畴一个函子(fun够tor)f：ed由两个映射组成： obc_obd：a h f) morc_mord：厂h fly) 满足ddm(f(厂)=f(dom(f)，cdd(f(厂)=p(cod(z)，f(1a)=1fc)，且 若dora0)=cod(厂)则f国厂)=f(a)f(厂) 任意范畴e都存在一个到自身的单位函子1e：e_e使得在对象和态射上 的对应都是恒同的 使得g把每个拓扑空间对应为所在的集合，而把连续映射对应为自己 命题1、设f：以_召，g：刀一e是函子，定义gf：以_c使得对以中的任意一个 对象a a卜一号g(f(a)， 对胡中的任意一个态射f：ab， (厂：a_b)h(g(f)：g驴)一g(f)， 贝ijgf是一个函子 设f：ed是一个函子如果存在函子g：d_e使得 gf=le，fg=1d 4 辽宁师范大学硕士学位论文 则称f是范畴e到范畴d的一个同构(isomorphism) 如果存在范畴#-u范畴d的同构f：e_d，则称范畴e与范畴d是同构的 显然同构形成了范畴之间的一个等价关系 设e和d一个范畴f：ed与g：e_d是两个函子， 一个自然变换(natural transformation)a：fg是一个映射 obemord： a卜(?f似)一g(a)，a。be， 使得对e中的任意态射f：a_b，g(厂)口口f(f)成立， 即下面的图标可交换： g g(a) il aft) j， ) 如果自然变换仅：fg满足对任意的aobc， cta-fca)一6(a) 是一个同构，则称是一个自然同构(natural isomorphism) 令坛：x_gf僻)是包含映射贝0对任意的集合映射f：xy下面的图表交换： gf仪) 厂l_ 因此y：1secgf是一个自然变换 5 x locale与拓扑空间的凝聚化 设f：e_d是一个函子如果存在函子g：de及自然同构 ttl：1e_gf和卢：1d_f6， 则称函子f是一个等价(equivalence) 如果存在等价函子 f：e_d， 则称范畴e与范畴d是等价范畴(equivalent categories) 如果范畴e与范畴dop等价，则称范畴e与范畴d是对偶等价范畴 (dual equivalent categories) 如果范畴e中的任意j型图(有限j型图)都存在极限，则称e是一个完备范 畴(comple抬c口抛9。砂)(有限完备范畴(厂fn拓ply complp钯c口抛g。ry) 对偶地我们可以定义有限余完备范畴(cocomplete category) (有限余完备范畴(finitely cocomplete category) 定理1设e是一个范畴，下列命题等价： (1)e是有限完备的； (2)e中存在有限积和等值子； (3)e中存在拉回和终对象 定理2 范畴e是完备的当且仅当e存在积和等值子 设f：e_d是一个函子，j是一个小范畴 如果对范畴e中的任意一个j型图d：j_e的极限 (乃：a_o(3)1ioba， 都有 6 辽宁师范大学硕士学位论文 p(乃)：f(a)一fd(j)ijob3) 是j型图fd：jd的极限，则称函子f保持j型图的极限 如果对任意的小范畴j，f都保持j型图的极限，则称f保持极限 具体地，如果f保持j=(=)型图的极限，则称f保持等值子 命题2设是一个完备范畴，则保持极限当且仅当保持积和等值子 命题3任意一个态射函子保持极限 设f：ed是一个函子： 如果对任一j型图d：je以及d上的锥形 协：ld(i)ljob3) 使得 (f(乃)：f(l)一fd(j)job3) 是fd的极限，则有 (乃：l，d(，)【，ob3) 是d的极限，我们称f反射极浸(reflect limit) 设f：以-曰，g?召一以是一对函子考虑下面两个双函子： c月opjel_set-ca，b)一召(f(a)，b) 以。p圆_set?ca，b)一以(a，g) 若这两个双函子之间存在一个自然同构，则称f与g是一对伴随函子(n彬ointpair)， f是g的左伴随(z盯t口彩。饥c)(g是f的右伴随(right口d1。nc)，记作(f-i g) 定理3 设f：以一召，g：召_以是一对函子 f与g是一对伴随函子cf_g)当且仅当存在两个自然变换： 叩；1矾-gf，f fg-1曰 locale与拓扑空间的凝聚化 满足条件(g)(，7g)=1g，(f)(即)=1f，即下面的图表可交换： r r g 设范畴d是e范畴的满子范畴如果包含函子 ，：de 存在左伴随，我们称d是e的反射子范畴(reflective subcategory) 若(e，叼，)：e-d，则称函子 f：ed 为反射函子(reflective functor)，对任意的cobc，称态射 rc：cjf(c) 为对象c的d反射一reflection for c) 对偶地， 如果包含函子i：e_d存在右伴随，我们称d是e的余反射子范 畴(coreflective subcategory)若(j，g，77，)：d-g则称函子 g：d_e 为余反射函子(coreflective functor)，对任意的cobc， 称态射 ec：ta(c)一c 为对象c的d余反射一coreflection for c) 命题4设范畴d是e范畴的满子范畴则下面条件等价： 8 i f f1 l 少 匕 d满足下面的 d_dt d 设范畴e存在有限积，如果对任意的aobc，积函子 ca x一)；ee 存在右伴随，则称e是一个cartesian闭范畴 beck定理给定伴随函子(e g，r，)：,召，设以上自然地得到的模为= (丁，r，肛)，对应的伴随为(ft，gt，rt，t)，比较函子为咒：召以t贝0下列条件等 价： (1)x：曰-以t是一个同构 (2)函子g产生满足如下条件的平行对态射的余等值子： g(厂)，g0)：a(a)-g徊)在以中具有绝对余等值子 (3)函子g产生满足如下条件的平行对态射的余等值子： g(厂)，ccq)：gca)_g)在,am具有分裂余等值子 更多的范畴相关概念和定理可参见文献，【23和24】 2范畴frm 引入文献25】一些格与frame的概念 9 locale与拓扑空间的凝聚化 设l1，l2都是格， 厂：l1一l2 是映射，若厂保有限并和有限交，则称厂为格同态单满的格同态称为格同构 命题5设l1，l2都是格，厂：l1-l2是格同态，贝ijf(l1)是l2的子格 设l是格，若对于任意的a，b，cl，下列分配律成立： 口a(6 v c)=(n a 6)v(口a c) 或 口v(6 a c)=(n v 6)a(口v c) 则称l为分配格 设(d，)是分配格，若d的元都有补元，则称(d，)是boole代数或boole格 有任意并的偏序集称为完备a一半格有任意交的偏序集称为完备v一半格 有任意并与任意交的偏序集称为完备格 以满足第一无限分配律的完备格为对象，以保任意并，有限交的映射为态 射所构成的范畴称为frame范畴，并记作frm在frame范畴中，对象称为frame， 态射称为frame同态 frame范畴的对偶范畴称为locale范畴，并记作loc在locale范畴中，对 象称为locale，态射称为连续映射 不难得到，将一个完备格看做一个范畴，则l是heyting代数当且仅当l 是cartesian闭范畴；任一一个boole代数看做一个范畴，都是cartesian闭范 畴 我们记函子 if：dcopopfrm，盯(l)=scott topology，a(f)(u)-厂一1(u)， ：dcoptop，xl=(l，仃(l)，三=厂； d：topop-frm，o(x)-topology of x，0(厂)(u)-厂一1(u) 我们有，o=or即下面图可交换： dcopop一一 t0pop - frm 10 文 记 设l是locale，则l的点是指frame同态 p：l_力(1) ptl=(p2llp是厂rnmp同态)， ei】ptl是locale l的全体点之集 设l是locale，若frame态 咖；-o(ptl) 是单射，则称locale l是空间式的，或称l有足够多的点 定义对于完备格l，记ptl=(alay晰，且口1)，则 ptl=pr0)(1)，其中pr(l)表示j【，的素元， val，记 supl(口)=协ptllap)=t a n ptl为a的上集， 记 inf(a)=ptlsupl(n)=ptl t a 为a在ptlr扣a的上集的余或补 命题6设l为完备格，定义 pt l=(f s llf为完全完备素滤子) pt l的拓扑有下面给定形式的集合生成， q(z)=(fptlxf) 由这种方法生成的集合构成pt l的拓tbn(x)与前面给出的拓扑是等价的 命题7对于任意完备格l，空间ptl为sober的 证明：显然对于任意pptl有，如)一=supl0) 若pq为ptl中不同的元，且(p)一=(q)一，则pq，pq 因此可得ptl为t0空间 locale与拓扑空间的凝聚化 叩一i 12 辽宁师范大学硕士学位论文 【ptoc)c缸cx)=(too(d)取)_) =u o(f)一1 o僻(x)一) =u(ud(y)ld(u)趴(x)一) =uuo(y)iz仨厂一1(u) =uuo(y)if(z)硭u) =y(厂(x)一 =知(厂(x) 实际上f，d)一d(p幻)为格同构， 映射fp弛j p比一pto(ptl)为同胚映射 为了证明移c与d函子为伴随函子，只需证下面图可交换： pc l fp 0仪) info( pc l pto(ptl) 0) o(pto(x) 奴) 对任意的pptl，我们有 (pt infd(fpcl(p)=(vt inl)(vt cp一) =(pt inil)(ina(p) =supinfi-1infl(p) =p i_dcale与拓扑空间的凝聚化 对任意的u e inf(s)，我们有d(亏x)(in岛(x)(u)=蕞1 infocx)(u)=u一 定理31设l为连续分配格，空间p比为s06p7_且局部紧的，且s坤?一 d(ptl)为同构映射 证明：显然ptl是sober的，记u为点p在ptl的一个领域， 现在要寻找p的一个包含在u中的紧领域 假设存在l中的a，使得u=intl(a)=ptlt a 因为为连续格，存在元ba且b$p 则有scott开滤子f，af m_t b，设q=ptlf贝uq紧，进而由af m_t b可得 ina(b)qinfl(a)u因为b墓p我们有pnflo)，故ct为包含u的p的 紧领域，得证一 定理32 sober空间x，开集格d(x)为连续格当且仅当x为局部紧的 推论对于t2空间x，开集格d(x)为连续格当且仅当x为局部紧的 命题9设x为s06pr空间，上，为连续分配格，则ptb，zl】兰xptl 命题10设l1与l2为两个连续分配格，则有， (i)pt(l10l2)兰ptllptl2 (ii)对偶的，对于局部紧sober空间x、y，有o(x x y)兰d(x)d(y) 4凝聚i oca i e范畴和凝聚空间范畴的一些范畴性质 凝聚locale作为可以locale可以点化的充分条件，它的一些性质和凝聚空间的 一些性质是值得我们关注和探讨研究的，在范畴中的地位也是很重要的，在此 部分我们将研究一些凝聚locale范畴和凝聚空间范畴的一些性质 41凝聚空间的例子和性质 称locale l为凝聚的，若k(l)为l的子格，h_vxl，3ai，ia，使得x= vi以口f 记作厂；ba，若厂)互厂)则称fdc口z 连续映射厂?b a为凝聚的 14 辽宁师范大学硕士学位论文 定义范畴coh为全部空间式凝聚locale，sober空间具有凝聚拓扑，即凝聚空 间拓扑空间x被称为凝聚空间，若任意两个饱和紧集的交为紧的 例存在一个按照scott拓扑，紧，局部紧但不凝聚的domain 命题411 sober凝聚空间x的任意非空饱和紧集的交是紧饱和的 记kf=(ni口为厂r口m印的紧元) 42 coh到sp的包含映射i的范畴性质 1、e；lat_cohdp是ic；cohop_lat的伴随函子 2、包含映射f：coh叫lat，反射尺：loc一coh满足对任意的localel， 尺l=肋l 3、函子pt：locsp是将loc的余反射对应为sober空间的满子范畴 下面介绍空间式分配格范畴lato是lat的满子范畴， pt 函子f：lato一lat对的等值子lat二二互=loc e ，lato由自然变换眠pt e确定的格组成 皇 则由等价范畴lat j cohop，即有 范畴coh是完备的，由loc中的极限组成是闭的，有非满包含映射 l：coh_sp由以下的结论， 引理41包含映射i：coh_sp反射极限 t。iv u贰上咐 h 一 一 一 一l-im；i；ir：耋p；丫叭 locale与拓扑空间的凝聚化 证明：给定函子inf：d icoh， 假设e：f-inf为coh中的锥形，对任一锥形x：xinf 有且仅有一个连续映射厂使得下面图表可交换， 由于f具有保证e连续的最粗的拓扑，e中的任一紧开集为某个集合fobd的 形如 n(efl(ui)lif) 的有限个开集的并，且紧开集ui c f嘶 则映射厂为凝聚映射，进而，包含映射z：coh一sp反射inf的极限 引理42包含映射f：cohsp保极限 另一方面， 假设p：e-f孔厂为sp中的锥形，对任一锥形x：xinf为coh中的极限 1ob coh且有单定义域的映射为凝聚映射，则与e有相同的点， 因为 厂一1：j2enx 为子frame的包含映射，且给定开集u力n 厂-1u紧则有u紧，则映射e为凝聚映射 空间式的极限在较粗的拓扑下必为凝聚的，因此f为同胚映射，即 包含映射：coh一sp保极限一 43凝聚空间的几个等价条件 定理41若xispl下列条件等价： 1 x为凝聚的 2存在某个分配格a，满足口：ptc4)_醐为凝聚映射，使得x=pt) 16 辽宁师范大学硕士学位论文 3 x为sp中凝聚映射酽j妒的等值子且包含映射：x一酽为凝聚映射 证明：由引理可知，pt：loc+sp保极限 当i：e_s仅在loc中为给定(凝聚)sj sb的等值子，且x=pte 则i：x-e凝聚的当且仅当若i：e_s则xobcoh_ 定理42下列条件等价： 1自然映射口：pt_e是凝聚映射 2 coh含有(凝聚)映射口j妒的等值子 3函子pt：lat_locop映射像为凝聚locale 4函子k；coh-lat有左伴随 5 coh是完备范畴 6对任意空间式locale以，映射枷?pt)一eli是凝聚的 7空间式locale满足素理想定理 8 coh是sp的非满反射子范畴 证明：13等价有前面的定理显然成立；对于格同态，0：a-b， 则下图中的映射pt(o)为sp中的态射， pc(b)上口 姒日)i 卜v v pt(a)_叫s 为o。i的一个因子，则pt(e)为凝聚映射 反变函子coh(一，)：cohsets，是obcoh的幂的左伴随函子， 分配格在sets中的模比较eilenberg-moore函子k，由beck定理可知，24 locale与拓扑空间的凝聚化 若k有左伴随函子，i-lato-lat是反射函子， coh为完备范畴(余完备范畴)，则15全都等价 1穹6显然成立，下证6 j 7，考虑x e obsp，q为x上的拓扑，则， x pt(q)l_n a上 eq 其中x一n映射的复合， 映射r：xeq为iocalex到coh的反射，由假设可知，s必为凝聚函子， a：pt(q)一e为同构 另一方面，a为同构，显然s：x-pt(n)为x到coh的反射函子， 即7j8 若x为sp的凝聚映射的等值子 r x_伍jb l 贝tjr：xcoh为x至ucoh反射，凝聚映射r一必为函子， 等值子x为映射r崂x，其中x具有商拓扑，则i：x一a为凝聚的，即8号2， 得证 5扩张函子 在数学结构的讨论中，集合的幂，拓扑结构中开集的导集，拓扑空间的紧 化，代数中的完备化等都是在讨论一类相似的函子，这种函子将对象嵌入到映 射象中去了，并且在不同的范畴中，都有其重要的、不可替代的研究意义和值 得深入探讨的且有趣问题 18 辽宁师范大学硕士学位论文 51扩张函子 设e和d是两个范畴一个函子(functor)a：e_d，若满足： obcob：d：a h o(a)， a司o(a)，a为o(a)子对象， morcmot2)：f h o(f) o(f)idom(f)= 则称函子盯：e_d为扩张函子 命题511范畴e都存在一个到自身的单位函子1e：ee是扩张函子 证明：结论显然成立 命题512函子a：e_d为扩张函子，函子t：d-为扩张函子， 则函子ta：ee为扩张函子 证明：由函子o：e_d为扩张函子则满足 obc_ob2)：a h o(a)， a q a(a)，a为o(a)子对象， morcmotd：f h a(o o(f)idom(d=e 由函子t：de为扩张函子则满足 obd_obe：a h r(a)， a司t(a)，a为t(a)子对象， mold_more：f h t(o t(f)ldom(f)=f； 则对函子to：e_，有， obcobe：a h za(a)，a司o(a)q to(a)； 19 locale与拓扑空间的凝聚化 morcmorc：f f-)to(f)， ta(o id。m(f)=t(ocf)ld。m(。(o)=t(o(f)id。m(o=f 显然，函子t(：lr：e一为扩张函子 本文主要关注的是拓扑空间的扩张函子，在本文出现扩张函子如不特别说 明，指的就是拓扑空间的扩张函子 52相容扩张函子 自然的，在拓扑范畴中，有很多对象扩张函子的映射像与原像是相容的。 定义521若扩张函子。满足o(x)司x，则称。为相容扩张函子 显然的，范畴e都存在一个到自身的单位函子le：ee是相容扩张函子 当然一个扩张函子也可能不是相容扩张函子，我们有， 例1 一个拓扑空间x的紧化，就是一个扩张函子，显然这个扩张函子也 是相容扩张函子； 例2 o：x一2x，显然如给定2x中的上半连续拓扑或下半连续拓扑等， 我们可以知道，这个扩张函子就不是相容扩张函子，也就是说并不是每个扩张 函子的相容扩张函子 那么按照这种方法定义的相容扩张函子与前面的扩张函子是不同的，另一 方面，我们显然可以知道一个函子是相容扩张函子那么他一定是扩张函子 53饱和扩张函子 同样的，扩张函子的原像在像中的饱和的，这个性质也是值得我们关注和 探讨的 定义522 若扩张函子。满足o(x)2 x，则称or为饱和函子， 其中o(x)表示o(x)的闭包； 显然的，范畴e都存在一个到自身的单位函子le：ee是饱和扩张函子 54平稳函子 在数学研究问题中，一类不动的问题是我们始终在探讨的问题，不动点问 题也一直是数学家们深入研究的问题之一，很自然的一个问题，扩张函子作为 一个函子是否存在类似于不动点的不动对象呢? 对于很多范畴来说，扩张函子确实存在不动对象 定义541若扩张函子。满足a(x)=x，则称。为平稳函子， 辽宁师范大学硕士学位论文 其中x被称为不动对象； 定义542若范畴对象x满足o(o(x)=o(x)，则称。对x为一次平稳 函子，其中x被称为一次不动对象； 类似的可以定义二次平稳函子和二次不动对象，三次平稳函子和三次不动对象等； 对象x来说，若不存在i、歹n，使得o(x)=oj(x)，则称。为永动对象； k个a，-7弋 其中萨(x)表示，。(。(。(。(x) 由定义，显然我们有下面的结论： 命题541低次平稳函子必为高次平稳函子 推论一次平稳函子为二次平稳函子 命题542低次平稳对象必为高次平稳对象 推论一次平稳对象为二次平稳对象 55凝聚空间的扩张函子 我们这里关注的范畴中的平稳函子基本问题主要有，对象平稳问题和结构 平稳问题，这两个基本问题，也是非常重要的问题对于凝聚空间来说，就是点 个数的平稳问题和开集格的平稳问题 对于凝聚空间来说，包含函子f：cohfrm，结合遗忘函子u：frm -0 dlat，和函子idl：dlatcoh，如下图 i u idl coh-4 frmdlat_coh 记五o=idl帕u。f：cohcoh，显然尼d为扩张函子它的映射像为凝聚空间， 我们称它为凝聚扩张函子，而它的映射像五。仪)称为x的凝聚化 定理551凝聚扩张函子尼d为饱和、相容扩张函子 证明：vlobfrm， 厶o；l_兀00) x h上z 显然，l为尼d)的子locale，即正。为相容扩张函子；另一方面，易于验证， 厶d(0)=o，即尼。为饱和扩张函子，得证 locale与拓扑空间的凝聚化 551凝聚空间开集格平稳一些探讨 定理552设l为加me，尼o，l一层d0) x卜哼上x 则下列三个条件等价： (1)f是同构映射； (2)l中每个元是紧元； (3)l中每个理想是主理想 证明：(1)(3)等价显然，下面证明(2)、(3)等价， (3)j(2)val，若口不紧，存在子并半格a c j，口，使得va=口， 但n仨a， 而j=上a是一个理想，但非主理想，矛盾 (2)j(3)设，是主理想，记vj=口，由于口为紧元，为理想， 故有口j，即j=l口 例1有限空间满足定理5s2的条件； 例2序数空间，按scott拓扑，满足定理552的条件 例3【0,1】，标准拓扑为永动对象 显然我们有下面几个结论， 命题551凝聚扩张函子厶：cohcoh存在不动对象 命题552凝聚扩张函子厶：cohcoh存在永动动对象 552凝聚空间点平稳一些探讨 对于有点空间来说，点的平稳即空间等式，下面给出几个简单的结论 定义s51凝聚空间的素谱为极大谱，我们称该凝聚空间为谱t1的 定义552对于凝聚空间x的谱11、12，存在n、bq(x)， 满足n诺11，6隹12我们称该凝聚空间为谱t2的 命题ss-3若凝聚空间为谱t1的，则空间x为点平稳的 命题5-53若凝聚空间为谱t2的，则空间x为点平稳的 辽宁师范大学硕士学位论文 6一些待解决的有趣问题 对于无穷空间的有限余拓扑空间来说，sober化后通过上面的扩张方式会 有什么样的性质呢?由于笔者时间和知识的限制没有进一步探讨研究，紧化空 间进而凝聚化这种扩张方法又会有什么有趣的结果呢?自然数集的极大紧化空 间的凝聚化就是一个很有趣的扩张，没有足够的时间来继续探讨下去。 不过继续的探讨将会有更加有趣、有意义的结果出现 locale与拓扑空间的凝聚化 参考文献 1 jl凯莱，一般拓扑学，科学出版社，1982 2ryszard engelkinggeneral topology，second ed，sigma series in pure mathematics， v016，heldermann verlag，berl in，1989 、 3nicolas bourbaki，general topologychapters 14，elements of mathematics， springerverlag，berl in，1998 4james rmunkres，topologysecond edition，prenticehall inc，englewood c1iffs， nj。2000 5蒲保明，蒋继光，胡淑礼拓扑学高等教育出版社，1985 6方嘉琳点集拓扑讲义辽宁人民出版社，1983 7熊金城点集拓扑讲义高等教育出版社，2003 8尔玉之宏，永见启应，拓扑空间论方嘉琳译科学出版社，19