（基础数学专业论文）l环和强拟clean环.pdf

摘要 本硕士论文分为三部分 第一部分：介绍幂等元提升和c l e a n 环的研究概述及本文的主要 工作 第二部分：我们根据幂等元提升提出了l 广环及周期元强提升的概 念，并研究了l 环及周期元强提升的性质主要结果： 命题2 2 2 3 ：r 是【广环，则对角矩阵d n ( r ) 是l 环 定理2 2 2 4 ：r 是【广环当且仅当r j ( r ) 是b o o l e a n 环且幂等元 模j ( r ) 可强提升 ，咖= 0 ，则有 环当且仅当a ，b 都是弱l 广环 定理2 4 2 4 强正则环的周期元模理想可强提升 定理2 4 2 8r 是半正则环，则r i 是正则的且周期元模j 可 强提升 第三部分：推广拟一c l e a n 环的概念，提出了强拟c l e a n 环的概 念，并且研究了强拟c l e a n 环的性质主要结果： 定理3 2 2 4 若l = e l + e 2 + + e n ，n 1 ，e 是正交幂等元，且 e i a = a e i 是e i r e t 中强拟c l e a n 元，则a 是r 中强拟一c l e a n 元 命题3 2 2 5 若e 2 = e r 且a e r e 在e r e 中是强拟一c l e a n 的，则a 在r 中也是强拟一c l e a n 的 命题3 2 2 6 若冗是强拟c l e a n 环，a r ，则 ( 1 ) 若3 e 2 = e r 使e a = a e ，贝uz ( 口) r ( t e ) ； ( 2 ) 若3 e 2 = e r 使e a = a e ，则r ( a ) ( 1 一e ) r 定理3 2 2 7 若环兄是强拟c l e a n 环，则r 是s u i t a b l e 环 定理3 2 2 9 设砂= 0 ，= 0 ，则有 c = ( ：b y ) 是强拟一c e a n 环当且仅当a ，b 都是强拟一c - e a n = 孔 砂 拇 剐 是 粥 y b 2z a 理 定 = l 广环和强拟c l e a n 环 关键词：l 广环；周期元；强提升；强拟一c l e a n 环 a b s t r a c t t h es e c o n dp a r t ：w eg e n e r a l i z et h ec o n c e p to fi d e m p o t e n tl i f ts t r o n g l y p r o p o s i t i o n2 2 2 3 i fri sal - r i n g ，t h e nd i a g o n a lm a t r i xr i n g t h e o r e m2 2 2 4ri sal - r i n gi fa n do r d yi fr j ( r ) i sb o o l e a n 强a v ) i s a k l yl - r i n gi fa n do n l yi fa , ba r eb o t h 碱k y t h e o r e m2 4 2 4t h ep e r i o d i ce l e m e n to fas t r o n g l yr e g u l a rr i n g t h et h i r dp a r t ：w ep o s et h ec o n c e p to fs t r o n g l yq u a s i c l e a n r i n g s ，a n di n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e so ns t r o n g l yq u a s i c l e a nr i n g s t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n ta r et h em a i nr e s u l t s ： t h e o r e m3 2 2 4i f1 = 0 + e 2 + + a n ，n2 1 ，e ii so r t h o g o n a l i d e m p o t e n t sa n de i a = a e ii st h es t r o n g l yq u a s i c l e a ne l e m e n t so f e ir e i ，t h e nai sas t r o n g l yq u a s i c l e a ne l e m e n to fr p r o p o s i t i o n3 2 2 5 i fe 2 = e ra n da e r ei sas t r o n g l y q u a s i c l e a ne l e m e n t so ft h er i n go fe r e ，t h e ni ti sas t r o n g l yq u a s i c l e a ne l e m e n t so ft h er i n go fr p r o p o s i t i o n3 2 2 6r i sas t r o n g l yq u a s i c l e a nr i n g ，a n da r ， t h e n n l l 一环和强拟一c l e a n 环 ( 1 ) i fb e 2 = e ra n de a = a e ，t h e nl ( a ) r ( 1 一e ) ； ( 2 ) i fb e 2 = e ra n de a = a e ，t h e nr ( a ) ( 1 一e ) n t h e o r e m3 2 2 7i fri sas t r o n g l yq u a s i c l e a nr i n gt h e ni ti sa s u i t a b l er i n g c = ( 、三三) t s as t r 。n g - yq u a s i c - e a nr i n gi fa n d 。n yt fa ，ba r e l v 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名： 日期：_ 厶8 年j 习jj 习 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名： 指导教师签名：砂影 日 期：厂9 冒年同口日 l 一环和强拟一c l e a n 环 1 引言 l 一环和强拟c l e a n 环 1 1 幂等元提升的研究概述 本文中的环均指有单位元的结合环，模均指酉模，u ( r ) 表示由r 中的一切 单位构成的集合，却( r ) 表示由r 中的一切幂等元构成的集合，j ( n ) 表示r 的 j a c o b s o n 根 幂等元提升的概念是1 9 6 4 年j a c o b s o n 在文献f 1 】中提出的设l 是环r 的 加法子群，若z r ，且z x 2 l ，则3 e 2 = e r 使e a r ，则称幂等元模 l 可提升 n i c h o l s o n 在文献【2 】中主要的目的是研究环r 是e x c h a n g e 环当且仅当幂 等元模每个左理想可提升n i c h o l s o n 首先定义了一类环s u i t a b l e 环经过证明 得到环r 是s u i t a b l e 环当且仅当幂等元模每个左理想都可提升接下来通过讨 论得出s u i t a b l e 环与e x c h a n g e 环是等价的，继而达到本文的研究目的同时利 用这个结论得到e x c h a n g e 环( s u i t a b l e 环) 与幂等元提升的另一个关系环r 是 e x c h a n g e 环当且仅当r j ( r ) 是s u i t a b l e 环且幂等元模j ( n ) 可提升对于幂等 元提升的讨论可参见文献【3 】- 6 】 2 0 0 3 年，y u a n q i n gy e 在文献【7 】中提出了周期元提升的概念设j 是环r 的理想，称r 的周期元模，可提升，若对v a r ，且a 一a i ，则3 b n = b r 且a b i 在文献【2 】中y u a n q i n gy e 利用周期元可提升讨论了s e m i d e a n 环的性质 设a 是环r 的理想且a j ( r ) 若a 是s e m i c l e a n 的且r 中周期元模a 可提升，则冗是s e m i c l e a n 环 2 0 0 5 年，n i c h o l s o n 和y z h o u 在文献【8 】中根据幂等元提升的概念提出了 了幂等元强提升的概念设，是环r 的理想，称幂等元模，可强提升，若 v a 2 一a i ，3 e 2 一e a r ( e 2 一e r e ) ，使得e a i 强提升的概念是在提升概念的基础卜提卅来的，对幂等元的范围加以限制 在文献【8 中作先给出了幂等元强提升的几个等价定义设丁是环r 的理想，则 下列三个命题等价： ( 1 ) a 2 一a t ，3 e 2 = e a r 使得e a t l 环和强拟c l e a n 环 ( 2 ) a 2 一a t ，3 e 2 = e a r a 使得e a t ( 3 ) a 2 一a t ，3 e 2 = e r a 使得e a t 文献f 4 】中关于幂等元强提升的主要结论： ( i ) 每个丌一正则右理想( 也就是诣零右理想) 是强提升的 ( i i ) 任意一个环的右基座是强提升的；事实上基座对每个序数a 是强提升 的 ( i i i ) 设，是环r 的理想，面= r i ，v a r ，瓦= a + i ，若幂等元模，强提升 且 石，瓦，酝) 是r 的正交幂等元，则 ( 1 ) v n 1 ，i = l ，2 ，礼，存在r 中的正交幂等元e 1 ，e 2 ，e n 使得瓦= 瓦 且e i a f r ( 2 ) 若，是i d e m p o t e n t f r e e 的，且可+ 瓦+ + 画= t ，则，存在正交 幂等元e i a i r 使得e 1 + e 2 + + e n = 1 ( i v ) 设，是环冗的理想，葡= r x ，v r r ，f = r + i ，则下列命题等价： ( 1 ) 幂等元模，强提升 ( 2 ) 若页= 砸o 0 砸则r = t 1o 0 死，其中正a i r 是右理 想 ( 3 ) 命题( 2 ) 中n = 2 时 ( v i ) 设，是环r 的理想，瓦= r x ，v r r ，于= r + j ，幂等元模j 强提升且 ，是i d e m p o t e n t f r e e 的，则 ( 1 ) 若e 2 = e 且f 2 = ，则e r 型，r 当且仅当_ 笺丽 ( 2 ) 若r s 竺m 。( s ) ，则r 竺m ( e r e ) ，其中e 2 = e r ，e r e = r ，e r e e i e 竺 s 1 2 c l e a n 环的研究概述 c l e a n 环的概念是1 9 7 7 年由n i c h o l s o n 在文献 2 】中提出的称元素b r 是c l e a n 元，如果b = u + e ，其中u u ( 兄) ，e i d p ( 兄) 称环r 是c l e a n 环，如 果r 中的每个元素都是c l e a n 元 n i c h o l s o n 在研究s u i t a b l e 环的中心元可以写成一个单位和一个幂等元的 和，这样n i c h o l s o n 称可以写成一个单位和一个幂等元的和的元为c l e a n 元，从 而有了c l e a n 环的概念，并且验证了c l e a n 环是s u i t a b l e 环强正则环，正则 环，r e d u c e d 环，局部环，代数闭域上的n 扎矩阵环等都是c l e a n 环同时还给出 2 i 广环和强拟一c l e a n 环 r 是c l e a n 环当且仅当r j ( r ) 是c l e a n 环，且幂等元模j ( r ) 可提升 1 9 9 4 年，v i c t o r p c 和y uh u a p i n g 在文献【9 】中讨论了半完备环和单位正 则环都是c l e a n 环，并且给出了当冗有正交幂等元的有限集时，r 是e x c h a n g e 环当且仅当r 是p o t e n t 环当且仅当r 是c l e a n 环当且仅当r 是半完备环因此 c l e a n 环类非常大，并且与其它环如s u i t a b l e 环，r e d u c e d 环等紧密联系在一起 关于c l e a n 环的其它研究可参见文献 1 0 一 1 5 】 1 9 9 9 年，n i c h o l s o n 在文献【1 6 】中提出了强c l e a n 元和强c l e a n 环的概念 称环冗中的元素b 是强c l e a n 元，如果b = u + e ，u e = e u ，其中u ( r ) ，e i d p ( r ) 称环r 是强c l e a n 环，如果r 中的每个元素都是强c l e a n 元并且推广 了c l e a n 环上的一些结果例如上述关于c l e a n 环扩张的主要结果( i i v ) 都可以 推广到强c l e a n 环上去关于强c l e a n 环的讨论可参见【1 7 - 2 0 2 0 0 3 年，y ey u a n q i n g 在文献【2 1 】中根据c l e a n 环的概念提出了s e m i c l e a n 的 概念，称环兄是s e m i c l e a n 环，如果r 中的每个元素b = u + a ，其中u 沙( r ) ，a 为周期元，即把c l e a n 环概念中的幂等元换成周期元，同时推广了c l e a n 环上的 一些结果 2 0 0 5 年，佟文廷等在文献【2 2 】中提出了g c l e a n 的概念，称环冗是g c l e a n 环，如果冗中的每个元素b = u + w ，其中u u ( r ) ，w 为单位正则元，即 把c l e a n 环概念中的幂等元换成单位正则元文献【2 3 一【2 5 】，主要结果： ( i ) 级数环冗【m 】是g c l e a n 环当且经当r 是g c l e a n 环 ( i i ) 设r 是交换环，多项式环r x 】不是g c l e a n 环 ( i i i ) 是e 是环冗的幂等元，若e r e 和( 1 一e ) r ( 1 一e ) 都是g 二c l e a n 环，则 r 也是g c l e a n 环 2 0 0 7 年，王尧，刘苏在文献【2 6 】中提出了拟一c l e a n 环的概念，称环冗是拟 c l e a n 环，如果r 中每个元素a = u + e ，其中e i d p ( r ) ，u 是r 中的拟正则元 推广了c l e a n 环上的一些结果同时给出了m o r i t a c o n t e x t 环是拟一c l e a n 环的 充分必要条件并补充证明了g c l e a n 环的这一性质 1 3本文的主要工作 本硕士论文分为三部分主要讨论l 环与强拟一c l e a n 环下面对各章作一 简要介绍 第一部分：介绍幂等元提升和c l e a n 环的研究概述及本文的主要工作 3 l 环和强拟c l e a n 环 第二部分：我们根据幂等元提升提出了【广环及周期元强提升的概念，并研 究了l 广环及周期元强提升的性质主要结果： 命题2 2 2 3 ：r 是【广环，则对角矩阵d n ( 冗) 是【广环 定理2 2 2 4 ：冗是l 广环当且仅当r j ( r ) 是b o o l e a n 环且幂等元模j ( r ) 可强提升 定理2 2 2 8 ：设砂= 0 ，妒= 0 ，则有 fayl c = il 是弱l 广环当且仅当a ，b 都是弱l 广环 wb 定理2 4 2 4 强正则环的周期元模理想可强提升 定理2 4 2 8r 是厶半正则环，则r i 是正则的且周期元模，可强提升 第三部分：推广拟一c l e a n 环的概念，提出了强拟一c l e a n 环的概念，并且研 究了强拟一c l e a n 环的一些性质主要结果： 定理3 2 2 4 若1 - - e 1te 2 + + e n ，礼l ，e t 是正交幂等元，且e i a = a e t 是 e i r e i 中强拟一c l e a n 元，则a 是r 中强拟- c l e a n 元 命题3 2 2 5 若e 2 = e r 且a e r e 在e r e 中是强拟c l e a n 的，则a 在 r 中也是强拟c l e a n 的 命题3 2 2 6 若r 是强拟一c l e a n 环，a r ，则 ( 1 ) 若3 e 2 = e r 使e a = a e ，则f ( o ) r ( 1 一e ) ； ( 2 ) 若3 e 2 = e r 使e a = a e ，则r ( a ) ( 1 一e ) r 定理3 2 2 7 若环r 是强拟c l e a n 环，则冗是s u i t a b l e 环 定理3 2 2 9 设妒= 0 ，咖= 0 ，则有 c = ( 品三) 是强拟一c e a n 环当且仅当a ，b 都是强拟一c e a n 环 4 i 广环和强拟一c l e a n 环 2l 环和周期元强提升 2 1l 环的定义 2 0 0 5 年n i c h o l s o n 和y z h o u 在文献【8 】根据幂等元提升的概念提出了幂等 元强提升的概念并利用幂等元强提升讨论了i s e n i r e g u l a r 环，i s e m i p o t e n t 环和i s e m i p e r f e c t 环根据n i c h o l s o n s l ，设j 是环r 的理想，称幂等元模， 可强提升，如果a 2 一a i ，存在e 2 = e a r 使e a i 环兄的j a c o b s o n 根 是r 的一个特殊的理想，我们利用环r 的j a c o b s o n 根，根据强提升定义一类新 的环，我们称它为l 广环，并给出其一些性质首先给出l 环的定义： 定义2 1 1 称环r 中的元素a 为l 元，如果存在e 2 = e a r ，使e - a j ( 兄) 称环只是l 广环，如果r 中的每个元素都是【广元 显然，每个b o o l e a n 环均是【广环 事实上，上述定义的为左【广环，类似地，我们可以定义右【广环的概念一般 地，左i 广环未必是右l 环 2 2l 环 2 2 1i 广环的等价定义 命题2 2 1 1r 是【广环当且仅当对r 中任意元素a ，存在b r 且b a b = b 使a ( 1 一b ) j ( 冗) 证明： 必要性因为e 2 = e a r ，所以设e = a r 则由e 2 = e 得( a t ) 2 = a r 令b = r a r ，则b a b = ( r a r ) a ( r a r ) = r ( a r ) 3 = r a r = b 且a ( 1 一b ) = a ( 1 一r a r ) = a a r a r = a a r = a e j ( r ) 充分性令e = a b a r 则e 2 = ( a b ) ( a b ) = a ( b a b ) = a b = e ，且e a = 口6 一a = a ( b 一1 ) = - a ( 1 一b ) j ( r ) e h r l i c h 在文献 2 7 】中定义了单位正则元，称环r 中的元素a 为单位正则元， 若存在单位b 使得a b a = a 推论2 2 1 2r 是l 一环，a 是r 巾元素，则 ( 1 ) 存在e 2 = e a r ，使e a 是单位正则元 ( 2 ) 存在，r ，且，= f a b 使l 一，r ( 1 一o ) 证明：( 1 ) 因为r 是l 一环，则v a r 存在e 2 = e o r ，使e a ，( r ) 所 5 l 一环和强拟c l e a n 环 以1 一e + a 矿( 冗) ，即存在牡r 使( 1 一e + o ) t 正= 1 所以u e 让+ 跳= 1 所 以e a u = e 所以( e 口) u ( e o ) = e ( e a ) = e a 因为u u ( 冗) ，所以e a 是单位正则元 ( 2 ) 因为冗是l 广环，由命题2 1 得存在b r 且b a b = b 使a ( 1 一b ) ，( r ) 即1 一a + a b u ( r ) 所以存在u r 使u ( 1 一a + a b ) = 1 ，即u ( 1 一a ) + u a b = 1 所以1 一u a b = u ( 1 一o ) 令，= u a b ，则f a b = u a b a b = u a b = ，且1 一，= 札( 1 一a ) r ( 1 一n ) 2 2 2i 广环的一些性质 定理2 2 2 1 ( 1 ) l 环的同态像仍是l 广环 ( 2 ) 环 忍) 涮的直积r = i i t j 忍是l - 环当且仅当每个r 均是l 广环 证明： ( 1 ) 是显然的 ( 2 ) 必要性由( 1 ) 立即可得 充分性v a r = h i j r ，则a = ( r 1 ，您，) ，其中r i 忍( i ，) 因为每 个忍都是【广环，所以存在e 2 = 岛n 尼使e l a i ，( 冗) 令e = ( e l ，e 2 ，) ，则e 2 = ( e l ，e 2 ，) 2 = ( e l ，e 2 ，) = e a r ，且e n = ( e l r l ，e 2 一r 2 ) ( j ( r 1 ) ，( 岛) ，) = j ( r 1 ，r 2 ，) = ，( r ) 所以r = h i j r 是【厂环 命题2 2 2 2 如果r 是i 广环，则e r e 和( 1 一e ) r ( t e ) 都是i 厂环 证明：因为r 是【广环，所以v e a e e r e ，存在，2 = ，( e a e ) r ，使 ，一e a e j ( r ) 因为，( e a e ) r ，设，= e a e r ( r 冗) 所以e y = e e a e r = e a e r = ，令夕= y e ，贝u 夕2 = y e y e = y ( e y ) e = y 2 e = y e = 夕，且夕e r e g e a e = y e e a e = e y e e a e = e ( y e a e ) e e j ( r ) e j ( e r e ) 所以e r e 是 【广环 同理可证( 1 一e ) r ( t e ) 也是工广环 定理2 2 2 3 如果r 是l 环，则对角矩阵玩( r ) 也是三一环 证明： 考虑1 2 = 2 时的情况d 2 ( r ) 设a ：i no l d 2 ( r ) ，由r 是l 一环得存在e 2 ：e 。冗使e n 1 0 b l 6 01 l + 一b j j 1llllllj 且 0 o l 口 药 一 0 u e 2 既 a 斗 1j 1i，j o 而 r 0 0 0 厂lrl 1j = 0 6 口 0 6h _ 卜。山 兄 | j 叱)，1iij一0 0 0 e r 1l n e o n厂11一= 仁 = a 设 e 一 卜 则 e ，、 l 广环和强拟一c l e a n 环 又知存在，2 = ，一b r 使，- t - b j ( r ) 设，= - b s ，8 r ， 帅= = 且f 一 三三 = 兰，：6 = 兰兰 + 三，二6 兰三 + ，( 功( 冗) ) = ，( d 2 ( 冗) ) 令g = 。e ，0 ，则g 2 = g = a ； 。t 兰 a c 现c 冗，且g 一以 j ( d 2 ( 冗) ) ，所以d 2 ( 兄) 是l 环 由归纳法可知对角矩阵队( 冗) 也是【广环 根据 2 8 】，称环r 是b o o l e a n 环，如果它的每个元素都是幂等元 定理2 2 2 4r 是l 广环的充分必要条件是r j ( r ) 是b o o l e a n 环，且幂等 证明：必要性因为r 是i 广环，所以v a r 存在e 2 = e a r ，使 e a ，( r ) 即v - 5 蕊存在- d 2 = 百丽，使虿一- d = 百所以- 5 = 虿因为 - 9 2 = - g ，所以- 2 = - d 所以r j ( r ) 是b o o l e a n 环 幂等元模j ( n ) 可强提升显然可证 充分性因为r j ( r ) 是b o o l e a n 环，所以v - 5 r j ( r ) ，有- 5 2 = 西，即 v a r 有a 2 一a 了( r ) 因为幂等元模j ( r ) 可强提升，所以y a r 存在 e 2 = e a r ，使e a j ( r ) 所以r 是l 广环 n i c h o l s o n 2 】称环r 是p o t e n t 环，如果幂等元模j ( r ) 可提升，且每个不包 含在j ( r ) 中的左( 或右) 理想含有非零幂等元 假设v e a r ，若e 2 = e ，则有e = 0 因为r 是l 广环，所以存在e 2 = e a r ， 使e a j ( 冗) 由假设得e = 0 所以一a j ( 兄) ，即a j ( r ) 与假设矛盾所 以存在e 2 = e a r 且e 0 又因为l 一环的幂等元模j ( n ) 都可提升，所以r n i c h o l s o n 2 9 1 称环r 中的幂等元是奉原的，如果e r e 无真幂等元称e 是 l o c a l 的，如果e r e 是l o c a l 环下面结果在r e g u l a r ，s e m i p e r f e c t 和s e m i g u l a r 7 l 环和强拟c l e a n 环 命题2 2 2 6 在l 一环中每个本原幂等元均是l o c a l 的 证明：设只是l 环，e 2 = e r 是本原的设a e r e 且a 毛j ( e r e ) 取 ，2 = ，a r 使厂一a j ( r ) ，则，o ( 如果，= 0 ，则一口j ( r ) ，即a j ( r ) 矛盾) 因为，a r ，a e r e ，所以，e r e r 设，= e r e r ( r ，r 冗) ，则 e ，= e e r e r = e r e r 7 = ，所以e r a r 又因为( r e ) 2 = ( f e ) ( f e ) = f ( e f ) e = ，2 e = y e ，所以，e 是幂等元又因为，= e 厂，所以y e = e y e e r e 而e 是本原 的，所以y e = e 所以a r e r ，所以a r = e r ，所以a 在e r e 中有右逆即e r e 是l o c a l 环，所以e 是l o c a l 的 定义2 2 2 7 称环r 是弱l 一环，如果v a r ，存在e 2 = e r ，使 e a j ( r ) 显然可得弱l 一环的同态像仍是弱l 一环 王尧，刘苏【2 6 】定义了拟c l e a n 环，称环r 是拟c l e a n 环，如果v 口r ，有 n = e + 牡，其中e i d p ( r ) ，u 是r 中的拟正则元那么，我们显然可以得到，弱 i 广环是拟c l e a n 环，但拟c l e a n 环不一定是弱l 广环同时我们可以证明在拟 一c l e a n 环上成立的关于m o r i t ac o n t e x t 环的结论在弱l 环上同样成立 王尧【3 。】对具有一对零同态的m 凹乱qc 帆匏眈环g = ( w a b v ) ，讨 论了c 与a ，j e 7 之间的一些性质关系m o r i t ac o n t e x t ( a ，b ，k 彬妒，) 包含两 个环4 ，b ，两个双模a v b ，b w a 和一对双模同态 砂：w a y 该条件保证 ：v0b w 叫a 和 加圆v ) w 7 = 矽( u o w ) a ，b b ，口vw w ，按照通常定义的矩阵加法和如下定义的乘法i a 口v + ，v b 7，1 做成一个环，称为m d r t t nc 伽t e 耐环 ( 叫ou ) + b b 7 砂= 0 ，咖= 0 ，则有 ) 是弱l 一环当且仅当a ，b 都是弱l 广环 证明：设c 是弱l 一环，i = 的理想易见r i 全a ，n j 竺b 8 砂烈 乞 ，啪卜 0”6 ，乱卜卜 钍 = 舢 = 脚y b条a 彤 足，0 硝 = b ， 一 ， 一 、li， 口 6 w + m 设y b 82 a 2 2 理 = 定 c 尺 是 ，3 、 都 环 ， l 马 j 与 贝 是、-、翻 y 0 口和 a a，环 = 商 j 的 、五 y b l 弱 0 w 为 作 i 广环和强拟c l e a n 环 反之，任取r = a ，v ) b ec , 贝, ur = a 。b ) + 0 ，：) ， ，口使，一6 j c b ，而v a l v 1 ) c ，a lv i ) ( o w l b l w l ，u 0 ) = l ， l ( 二引， ( 三二二：) ( 一：u ) = 1 a ，：) ， ( 二引a l v ) = 1 a 玲 即a l 。v 1 ) ( o ，：) 是拟正则元由a l 。v 1 ) 的任意性知0 ，：) 令9 = ( 三f 。) ，则夕2 = 夕c 且分r = ( e - 一w n ，- - 一v 6 ) = ( e - 。a ，一06 ) + ( ：- ) j c e ，+ j c c ，j c c ， 根据【2 z ，由定理2 1 1 立得 推论2 2 2 9 如果口和b 是环，a 是双模，则可分零扩张a ： 是弱 l - 环当且仅当a 和b 都是弱l - 环 推论2 2 2 1 0 对于每个佗1 ，环r 是弱l 一环当且仅当r 上一切n 礼上 2 3周期元强提升的定义 1 9 6 4 年，j a c o b s o n 在【1 】中提出在了幂等元提升的概念随后，y u a n q i n g y e 在幂等元提升的基础上又提出了周期元提升的概念2 0 0 5 年，n i c h o l s o n 对幂 等元的选取范围加以限制，在【8 】中提出了幂等元强提升的概念 根据幂等元提升，周期元提升，幂等元强提升的研究特点，我们给出周期元 强提升的定义 9 l 广环和强拟一c l e a n 环 定义2 3 1 设j 是环r 的理想，称周期元模，可强提升，若v o n a ，3 b “= b a r ( b 一b r o ) 使得b a ， 2 4 周期元强提升 2 4 1周期元强提升的等价定义 定理2 4 1 1 设r 是环，t 是r 的理想，则下列条件等价： ( 1 ) v a n a ，3 b n b a r 使得b a i ( 2 ) v a n a i ，3 b n b a r a 使得b a i ( 3 ) v a n a i ，3 b 一b 胁，( b n b 胁) 使得b a ， 证明：r 三s 表示r s t 则r 三s 号， z 三s z ，v x r ( 1 ) 兮( 2 ) 若a n 三a ，则( n 2 ) “一a 2 = ( 扩+ n ) ( 口n a ) ( a 2 + a ) t t 由( 1 ) 设b n = b a 2 r ，使b 三a 三a n 令b = a 2 x ，假设x b = z ，定义，= a x a a r a 广= ( a x a ) ( a x a ) ( a x a ) = a x b n 一1 a = ( n z o ) = o z 铲一2 a = = a x a = ， ，= a ( x a ) 三a nx a ) = a n - 2a 2 x a ) = a 舻2 a a = o n 三a 所以( 1 ) j ( 2 ) 得 证 ( 2 ) j ( 3 ) 显然可证 ( 3 ) 号( 1 ) 设a n 三a 由( 3 ) ，选铲= b r a ，使得b 三a 设b = y a ，的= y ， 则y a y = 的= y ，定义，= a y ，则尸= ( a u ) ( a y ) ( a y ) = a ( y a ) ( u a ) ( y a ) y = a b n 一1 y = a b 一2 y = 口幻= a y = ，a r a n - 1 ，= a n - 1 ( a y ) = a n y 三a y = ，定 义9 = y a n ，则矿= ( i a n - 1 ) ( ，n ”1 ) ( y a ”1 ) = y ( a n - i f ) ( a n - - 1 y ) a 沪1 = i a n 一1 = 厂o n 一1 = g ，r o r y a = ( a y ) a = a ( y a ) = a b 所以，夕= y a ”一1 = a b a 肛2 三a a a 俨2 = a n 三a 所以( 3 ) 兮( 1 ) 得证 2 4 2周期元强提升的性质 命题2 4 2 1 设，是环兄的理想，假设。和1 是r 和r i 中的唯一周期元 若i r ，i 垡j ，则周期元模，可提升，但不是强提升 证明：因为r i 中的周其i 】元只有。和1 ，所以剧期元模，可提升因为 1 垡j ，取b i ，使l + b 无逆元若a = l + b ，则o n a = ( 1 + 6 ) ”一( 1 + b ) = ( 几一1 ) 6 + 暖b 2 + + b n i ，但0 不能提升a 因为若0 - a i ，则a i ，即 1 0 i 广环和强拟一c l e a n 环 l + b i 所以l ，所以，= r 所以只有l 关于周期元提升o ，但1 面r 所以 周期元模，不是强提升 命题2 4 2 2i 是环r 的理想，r = i o x ，x 是右理想，则周期元模j 强提 升 证明：令i = ，冗，x = ( 1 一，) r ，其中广= ，设扩一a i ，o = b + c ，其 中b = f a i ，c = ( 1 一f ) a x ，则c r a 又因为c 一口= - b i 所以只需证 矿= c 即可 矿一c = ( a - b ) n 一( 口一b ) = ( a n c t ) 一( c l n c t n 一1 6 + ( - 1 ) n - 1 铲) inx = 0 ， 所以矿= c 所以周期元模，可强提升 命题2 4 2 3 设，是r 的理想，页= r n ，- i = ，若周期元在r 和页 上模和了强提升，则在月上模j 也是强提升 证明：设a n 一口i ，则有- a n 一瓦- i 因为周期元在瓦中模7 强提升， 所以挣= z _ _ 使z 一石7 因为虿- - ，所以z a r n ，所以 z a r + n a r 又因为i ，虿一- d 7 ，所以z 一口i + n ，对 z n z n ，3 b = b x r 使b z n 所以b z + n a r + n a r ，且 b o = ( b z ) + ( z n ) n + i i 所以周期元模j 强提升 定理2 4 2 4 强正则环的周期元模理想可强提升 证明：设冗是强正则环，是环冗的理想因为r 是强正则环，所以 v a r ，3 e 2 = e r ，u u ( 兄) ，使c t = 乱e = e 也若口n n i ，即( u e ) n 一( u e ) i 由u e = e u ，得u ”e “一u e = i t n e 一 u e = ( 牡“一u ) e i 取b = u e u a r ，其 中口r ，且u o = 口钍= 1 ，则6 n = ( u e v ) “= 札e n u = u e o = b 且b 一口= 6 一a n + o n a b c t “= u e o 一“n e 2 = ( , u r n u 竹) e ( - - e ) 因为( u n - u ) e i ，i 是理想， 所以( u u ne ( v - e ) 1 ，即b - a “i 所以b - a = ( b - a n ) + ( n n 一口) i + i ， 所以r 中周期元模，强提升 命题2 4 2 5 设，是环r 的理想，且兄巾周期元模，强提升设b “= b ，c r ，秒= - d ，且万一= 石r i ，则存在广= 厂c r ，使7 = - d ，且y b = o 证明：令o = c ( 1 一b - - 1 ) ，则瓦= 石( t 一歹酉) = 石一严一1 = 石 而o n q = c ( 1 一b r 。- 1 ) 】n c ( 1 一扩一1 = ( c - c b 1 1 ) “一c ( 1 6 “一1 ) = ( c - c ) + ( 1 - 砩矿一1 c 6 “一1 + + ( - 1 ) n - 1 ( b - 一1 ) “】+ c b 肛1 ，+ ，由周期元模j r 强提升及 i 广环和强拟一c l e a n 环 命题1 得，j 广= f a r a ，使7 = - 5 所以，a r = c ( 1 一扩一1 ) r c r 7 = 瓦= 苞， 并且f b a r a b ，a b = c b c 扩1 b = 西一c b n = o 所以f b a r a b = o 所以f b = o 命题2 4 2 6 设冗是环，r 中周期元模每个右( 左) 理想可提升的充分必要条 件是周期元模每个右( 左) 理想可强提升 证明： 号”设t 是r 的右理想，a n a t 则由周期元模每个右理想 可提升，( o n a ) r 是右理想，得周期元模( a n a ) r 也可提升，即3 b = b r ， 使b a ( a n a ) r 又因为a a r ，所以b a + ( a “一a ) r a r ，且 b a ( a n a ) r t r t 所以周期元模每个右理想可强提升 ”显然可证 引理2 4 2 7 1 s l 设j 是环r 的理想，则下列命题等价： ( 1 ) r 是l 半正则环 ( 2 ) ir e s p e c t sr 的每个本原右理想 ( 3 ) ir e s p e c t sr 的每个有限生成右理想 ( 4 ) v a r ，3 b r ，使得b a b = b ，且a a b a i ( 5 ) v a r ，存在正则元d a r ( 或d a r a ) 使得a d i ( 6 ) 对于左理想( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 5 ) 也成立 定理2 4 2 8r 是l 半正则环，则r r 是正则环且周期元模，可强提升 证明：v a r ，由r 是半正则环，得3 e 2 = e a r ，使得( 1 一e ) a i ，即 可可= _ ，也就是- 5 = 丽因为e n r ，所以令e = a r ( v r r ，则- 5 = 丽， 即r i 是正则环 下证周期元模，强提升 设a r 且a 2 一a i 因为尺是j r 半正则环，所以由引理得存在a r 中正 则元d 使得a