（基础数学专业论文）f调和映射的若干结论.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文主要研究f 一调和映射的稳定性，常边值问题及如果目标流形具有凸函数 时，黎曼流形之间的弱f 一调和映射本文共分为五个部分： 第一章介绍了f 一调和映射产生的背景和研究意义，同时介绍了相关问题的研 究进展情况，在此基础上叙述了本文的三个主要问题 第二章给出了，一调和映射的定义及相应的结论，同时给出了以后三章所需要 的条件和定义 第三章主要讨论了f 一调和映射的稳定性，获得的结果是李锦堂和o i l i l i t a 的结 论的推广 第四章主要讨论了单连通曲率非正流形的常边值问题 第五章主要证明了黎曼流形之间的弱f 一调和映射，如果目标流形具有凸函数 时，得到几个三勋l n ，姚型定理，推广了【1 4 】中的结论 关键词：f 一调和映射；紧致子流形；稳定性；凸函数 a 山s t r a c t i nt h i sd a p e r ，w em a i n i yd i s c u s st h es t a b i l i 母a n dc o n s t a n tb o u n d a 巧- v a l u ep r o b l e m o ff - h a r m o n i cm a p s i f 也et a r g e tm a n i f o l dh o l d sac o n v e xm n c t i o n ，w ed i s c u s st 1 1 ew e a k f h 踟n o n i cm a pb e t 、e e nr i e m 锄i a nm a i l i f 0 1 d s t h i sp a p e ri sm a d eu po ff i v ep a r t s ： i n c h a p t e ro n e ，w em t r o d u c et i l eb a c k 铲o u n da n di n v e s t i g a t i o nm e a j l i n g o f f - h 锄o n i cm a p s f u r t h e n n o r e ，w es h o wt l l er c l e v a n tr e s e a r c hp r 0 伊e s s ，w h a t sm o r e ，w e s t a t eo u rt h r e em a i np r o b l e m s i nc h a p t e r 帆o ，w eg i v et 1 1 ed e f i n i t i o no ff - h a r m o n i cm a p sa n ds o m eb 嬲i c 他s u i t s w ea l s og i v eo m e rd e f i n i t i o n sw h i c ha r eu s e di nt 1 1 ep a p e r i nc h a p t e rt 1 1 r e e ，w ed i s c u s st 1 1 e 虹b i l i 锣o ff h 蹦n o n i cm a p s ，锄dg e n e 豫l i 孔 l i j i n t 锄ga 1 1 do h n h sr e s u l t s 1 1 1c h a p t e rf o u r ，w es t u d yc o n 鳓狮tb o u n d a 眄v a l u ep r o b l e m sf o rf - h a n n o n i cm a p s o nc o m p l e t cs i m p l yc o l l n e c t e d砌e m a n n i a nm a n i f o l d sw i 廿ln o n p o s i t i v es e c t i o n a l c u j a ：t u r e ，a n do b t a i nl i o u v i l l e 够p et h e o r e m s i nc h a p t c rf i v e ，w e a kf - h a 咖o n i cm a p sb c t v l ，e e n 砌e m a n n i a nm a l l i f o l d sa r e i n v e s t i g a t e d s o m en l e o r e m so fl i o u v i l l e 锣p ea r eg i v e nf o rs u c hm a p sw h e nt a 唱e t m a n i f 0 l d sh a v ec o n v e x 如n c t i o n s k 呵w o r d s ：f - h 蝴1 0 n i cm a p ；c o l i 】i p a c ts u b m 锄i f o l d ；s 也出i l 毋；c o n v e x 劬c t i o n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：砂饯海日强：o 善年r 其) 2b 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：濉防导师签名：f 可f 分岛 日期： 国年y 月砑日 日期：葫年l 广月昂 二e 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。 作者签名：砂雄 日期： l 占年r 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第一章引言 1 1 理论研究背景与发展 近三十年以来，有关调和映射的研究有很大的进展，并且得到了一系列有效的 方法和漂亮的结果 1 9 8 0 年，忻元龙 1 】证明了从球面0 2 ) 到任何黎曼流形的稳定的调和映射 必为常值映射，同时将结论推广到起始流形为s ” 2 ，m 2 ) ，得到了这样的 结果：不存在从y s 椭伽 2 ，朋 2 ) 到任意黎曼流形的非常值的稳定的调和映射 应用类似于忻元龙的讨论技巧，l g ，p f 【2 】于1 9 8 2 年证明了从紧致的流形 到伽 2 ) 的稳定的调和映射必为常值映射同年，潘养廉【3 】讨论了欧氏空间中 余维数为p 的紧致子流形到任何黎曼流形调和映射的稳定性，得到了若干稳定的调 和映射的不存在性定理，特别是证明了一类凸闭超曲面到任何黎曼流形的稳定非常 值调和映射的不存在性对于类似问题的研究，1 9 8 6 年，y o l l l l 妇【4 】证明了叩( i ) 中r 缸 罢的紧致极小子流形m ”( 聊3 ) 和任何紧致黎曼流形之间的稳定的调和映 z 射为常值映射周振荣【5 证明了在r 泐f 曲率满足一定下界的条件下，欧氏空间的 子流形和球面的子流形与任何黎曼流形之间的稳定的带位势的p 调和映射必为常 值映射，其结论是【4 】的推广 上 ，一 f 、2 1 9 9 9 年，m 触【6 】定义了f - 能量泛函，当f ) = 毛业，( 1 + 2 矿 l ，坍= 2 ) 和 p 亏。时，能量分别为熟悉的能量，p 能量，口能量和指数能量由此可见，调 和映射一方面作为一类新的变分问题，同时又是对调和映射，p 调和映射和指数调 和映射的统一和推广，具有十分重要的研究意义2 0 0 4 年，李锦堂【7 】把y o l u l i t a 的 结果推广到了f 调和映射的情形本文第三章将在一般条件下证明欧氏空间的子 流形和球面的子流形与任何紧致黎曼流形之间的稳定的f 一调和映射为常值映射 关于边值问题的研究，f r d o m 【8 】在1 9 8 2 年证明了p 调和映射在p 聊2 时， 则存在无穷多非常值p - 调和映射”：b ”j e 肼( 6 ) ，使得材l 茁曩= s o u t hp 0 1 e 其中 ，- 2 6 o ，e ”( 6 ) = ( 纵力足”天：l 叫2 + 鲁= 1 ，b ”为足”中的闭单位球，据”为b ”的 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 边界而当p 聊时，情形完全不同，k a r c h e r 和w o o d 在【9 】中证明了如果甜：b 肼哼 是到任意黎曼流形的调和映射，且满足材i 。= ，耐，则甜必是b ”上的常值映 射p = 2 = 所和2 s p o 黎曼流 形似，g ) 和( ，功之间的映射“：m 专在【6 】中，m a m 引入了f - 能量泛函的定 义如下： 驰) ：l f 洋) ( 2 1 ) 称光滑映射甜为f 一调和映射，如果对于任伺紧双区域d 互肘，”郡足，。一琵萤芘幽 的临界点 甜的f 张力场为： 柏) = _ f 峥础m 删( 尸洋”) 刊v ，埠) 出) ( 2 2 ) 其中f ) 是”的张力场 对任何v r ( 一1 鳓，有单参数映射族：m 专，吨 r 占，满足： 引卸= v i - = f 调和映射的第一变分公式为： 掣卜一l ( 枞d ( 2 3 ) 西 i ，l o 新一 、7 若掣l：o 对任意变分都成立，称：材是耳 ) 的临界点，即为，调和映射 班 i 由( 2 3 ) 可以知道“为f - 调和映射当且仅当咋 ) = o f 调和映射的第二变分公式为： 掣l 。= l 趴拳c m ，2 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s + l f 止学) | v ，1 2 一 ) ( 2 4 ) 由( 2 4 ) 式可得f 调和映射的指标形式为： 地力：l f 一洋) ) ( 2 5 ) 下面给出稳定的f 调和映射的定义 设“：m 一是f - 调和映射，如果对任意沿“的向量场v ，都有j o ，1 ，) 0 ， 那么称材为稳定的f 调和映射 对于光滑映射甜：( m ，g ) _ ( ，协，m a m 在【6 】中定义“的相应于f 一能量泛函 的f 应力一能力张量为： 品”，蛘) g 炜厅 ( 2 6 ) 对于m 上任何光滑向量场x ，有 咖( 品 ) ) ( 柳= - 是r 脚+ b 的标准正交基， 岛，巳 是m 上的局部规范标架场，使得豫 是 m 上的切向量， 垂直于m 在所考虑的点处，可使v 毛勺= o 记f 的切部分 为x ：，奄 舅= 一，岛如 础= t ，碗= ：蟛 由文献 5 】可得到以下结论 嵋巧= ( 2 1 3 ) 吖砰= 蟛硝勺 ( 2 1 4 ) 2 2 2 单连通曲率非正黎曼流形类 设( m ，g ) 是m ( m 3 ) 维完备单连通，截面曲率非正的黎曼流形对于任意x ， 】，r ( 蹦) ，曲率张量冗，d = 一v z v r v r v z + v r 】设而m ，记，为m 中点 到的距离函数峨瓴) 表示以为中心，半径为r 的测地球；品( 而) 表示以而为 中心，半径为r 的测地球面，则品( 而) 是瓴) 的边界，即强) = 品) 对任 j 意的x a ( 而) ，取局部正幺标架场 乞，) ，f = l ，研一l ，则岛瓦( a 磁( 而) ) u r 考虑径向r 泐，算子： 冗，) 兰：x 巧( 慨( 而) ) h 冗，x ) 兰乃( 峨( ) ) u ru ru ru f 的特征值为 ，厶q ，其中r 为m 的曲率算子 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 条件( c ) ：记号如上，对任何指标f ，1 s f s m l ，成立 五乃 ( 2 1 5 ) 下面引入本文第四章所需要的流形类的定义：若m 处处满足条件( c ) ，则称m 为满足条件( c ) 的流形，所有这样的流形称为单连通曲率非正黎曼流形类，记为m m # 似，g ) i 五以，f ，= l ，聊- 1 ) 设m m ，则对于标架场豫，善) ，易知成立 o 且肌一26 一口o ( 3 ) 截面曲率满足- 口2 如o ，m 的尺泐f 曲率满足以一6 2 为上界，且6 芝口 注记2 1 由( 3 ) 我们知道部分典型域召( ”，聊) 删所，功) 2 ) ，磊0 4 ) 是m 类 流形，当，l 3 时，碣和疗 4 时，碌也是m 类的流形 2 2 3 凸函数与弱f 一调和映射 由【1 4 】我们给出凸函数的定义设m 和分别是朋维和刀维光滑流形，设 厂：j 尺是c 2 函数厂称为上的严格凸函数，如果对任意的点y ， 气 ( 1 口以) 是该点的局部标架场，使得觑郴拥形式麒梆( 厂) 是严格正定的 令f ：【0 ，佃) 专【0 ，佃) 是c 2 函数，满足对任意的f 0 有f ( f ) 0 及对任意的 r o 有f 。0 ) 0 类似 6 】中定义，如果甜：m 一是f 一调和映射当且仅当 胁( f ，( 坦譬) 幽) ：o 下面考虑其弱解的情形，若甜是胁卯( f ，止掣) 也) ：o 的弱 解，称甜是弱f 一调和映射第五章我们只考虑c 1 的弱解，即c 1 的映射满足方程 l ( 耿学) 砒跗 = o ( 2 1 6 ) 对任意沿甜具有紧致支集的c 1 的向量场x 成立 7 硕士学位论文 m a s t e r s1 i i e s l s 第三章f _ 调和映射的稳定性 本章主要讨论在肘满足条件( 么) 及f 满足条件( b ) 的情形f ，f 一调和映射的 稳定性，得到的结果是李锦堂和锄挎豇口结论的推广 3 1 主要定理 定理1 设m 是r ”喁的m 维紧致子流形( m 3 ) ，并且对于某个连续取负值的函 数6 ，m 满足条件( 彳) 及，满足条件( b ) ，则m 和任何紧致黎曼流形之间的稳定 ，一调和映射是常值映射 推论1 设m 是s 册+ 岛( 1 ) 中的所维紧致子流形( 册3 ) ，并且对于某个连续取负值 的函数6 一所+ p ，m 满足条件似) 及f 满足条件( b ) ，则m 和任何紧致黎曼流形 之间的稳定f 一调和映射是常值映射 3 2 引理及定理证明 引理1 设“：m 一是f 一调和映射，则有 心洋) - v 和，掣 拳i 讹1 2 ( 单i 引i v l 训z ( 峭 f 哗) ( r ( 讹，嵋) 批，帕 证明：对任意的p m ，取p 点的局部标架场 岛) ，满足v 一勺l = o ，有 心哗) ：v q v 唧f 蝉) ：v 唧【f ，蝉) i 幽i v 弓i 幽| 】 ( 譬m 1 2 i v 川+ 洋) | 则( 3 1 ) 由耽豇粥，z 6 d c 七公式可得 去l 砌1 2 ：昙 卸2 三似，幽 = 心锄，幽冲i 吼j 2 ( 3 2 ) 而 一f 出学) ( 妣幽 ：一f ，洋) 【 + ( 矿妣d 蝴 ：f ，峭 ) ，幽 = v 唧妇 ) ，尸4 掣) 毗 一p ) ， ) = v 啼( 3 3 ) 把( 3 2 ) 和( 3 3 ) 代入( 3 1 ) ，即得引理结论 引理2 题设如定理l ，则从m 到的f 一调和映射有 蟛，蟛) = 一l ，洋) q ，抛 + l f 。洋磁蟛 + l ，洋) 蟛碟， 证明：，一调和映射的第二变分公式是 j ( 叫，喇) ：l p 埠) ： + l f 洋) | v 叫1 2 一 ( v 。，删) ，舭， = ( ( v 勺出) 气，呜 + 雠，抛料，舭，) 9 = + 磁蟛 = 去v 气i 幽1 2v 气i 幽1 2 + 联蟛 爿出1 2 ivl 如0 2 + 磁蟛( 妣。，砒讹，心 ( 3 5 ) 由引理1 ，有 p 洋) ：iv 1 2 _ l f 洋) ( r ，毗) 龇，妣， 一p 洋) 一p 洋) l 跏1 2 ( 3 6 ) 又有 lv 姒：1 2 = lv 幽1 2 + 磁厅：( 幽勺，幽白 ( 3 7 ) 把( 3 5 ) ，( 3 6 ) 和( 3 7 ) 代入( 3 4 ) ，并且求和即得引理结论 引理3 题设如定理1 ，则从m 到的f 一调和映射有 ，( 砰，f ) = l ，口笋蝣磋乃口以，+ l ( f 7 口笋) 硝吆一2 夥溉口吆 其中蜕= 吆巳 证明：f 一调和映射的第二变分公式是 j ( 舅，f ) = l 刊竽) ( 啷，也 2 + l ，止竽) i v 砰1 2 一( r ( f ，讹) 讹，舅 ( 3 8 ) f 一( 吗( v 霹，碱 ：印( 单) 彤磁吆蚺， ( 3 9 ) 由( 2 1 4 ) 式，可得 v 一= 吆( v z 一) 岛= 屯。哆硝q 由g 口螂方程，有 l 啷1 2 = ( 磁能一夥钆 ( 3 1 0 ) 由( 2 1 3 ) ，有 ( ( 幽，一) 蜮，孵 = 硝 ( 3 1 1 ) 把( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 代入( 3 8 ) ，即得引理结论 1 0 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 疋理1 田证明 足理让明分为两邵分 ( 1 ) 当m 为起始流形时，由引理2 得 ，( 叫，叫) = 一l f 洋) ( 掀纪肘岛，抛 + l f 7 洋) 够钐 + l f 。洋磁睇( 帆，抛犯，毗 若l 幽l 不恒为零，则 ，( 蟛，叫) = 一l 如尸拳 + l 即f 4 学) 蟛 + l 神，鸠彤 又因 2 珂。( f ) ( p 一2 ) f o ) 及 雠嘭( 帆，抛 = ( 磁 ) 2 芝o ， 所以有 ，( 删，嘲) u 如i 。2 ，( 譬) 一膨如 + o 一2 ) 彤 ：+ 蟛蟛瓯】 毗，妣。) l i 卸咿洋) 2 = l 凹咿止学) i 幽1 2 + j 蒯。晒( 坦争i 出1 2 = l 峭2 o 这是矛盾的，故i 幽i _ 0 ( 2 ) 当m 为目标流形时，由引理3 得 ，( 舅，砰) = l ，( 学增磁以，+ l ( ，掣) 形能一2 衫玩 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 推论1 的证明由于m 是s 斛b ( 1 ) 的紧致子流形，可以将它看成是欧氏空间 尺卅+ l t b + 1 的子流形，所以第二基本张量分成两部分：一部分是m 在s 埘+ 知( 1 ) 的第二基 本张量，仍记为磁：另一部分是s 埘+ 岛( 1 ) 在r 斛| l b + 1 中的第二基本张量在m 上的限制， 记为瓦将m 看成r 斛知+ 1 的紧致子流形，运用定理l 即得推论1 注记3 1 当p = 2 ，m 是s 肼+ b ( 1 ) 的紧致极小子流形时，条件( 彳) 为 - 2 硝& 峨屯 其中6 所以强栅( ，) = v 日毋( 巳) 一毋白巳) ，叱( 导一一 = 引理2 1 3 】设翰o ，对任意的x 峨瓴) ，成立 啊，三，f = l ，m l ( 4 3 ) 引理3 【1 3 】设m m ，则对任意的，在峨( ) 上成立 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一九o ，v ，l f 肌一l ( 4 4 ) 引理4 【1 9 】设d 三m 是一紧致区域，它的边界a ! d 是m 中光滑超曲面，对c 2 映 射”：( m ，g ) 专( ， ) 及m 上任意光滑向量场x ，都有 l f 拳( 如h = 驴( 警龇咖l + j l ( 撕( ) ) ( 叉，) l + j ： ( 昂，v x 1 ( 4 5 ) 特别地，当f ( f ) = f 时，代入( 4 5 ) 式，可得 l p ( 甜) l = l l + ( 崛) ( l + l ( 品，v 粉l ( 4 6 ) 定理1 的证明选取岛( 而) 上的局部幺正交标架场 乞) = 弛，昙) ，其中 口= 1 ，册；f = l ，m 1 表示单位径向向量场显然a 瞰( 而) 的单位法向量 d ， a 刀= 一 a ， 在公式( 4 6 ) 中，设d = 壤( 而) ，z = ，导，有 防 l ( 知) ( 品，跗 1 = k ( 而) p ( “) 木1 一k ( 而) l = ( 知) r e ( 材) 1 一k ( 知) r 似x ，m 1 另一方面 由引理l 有 r l 也卜l k 。知，尺i 幽导| 2 1 r i 幽巳1 2 幸1 尺i 如i 慨( 而) 1 2 木1 = o ( 4 7 ) v a x = 昙 否 劣 v 扣岷昙= 蓦磅 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s v 吩x = ，巳 以及 一 ，i l v ，_ i 暑l 逐点计算，可取弛 使( ) 对角化，从而( 4 8 ) 为 ( 品，啪= p ) ( 1 + r 荟) - i 幽昙1 2 一，著饥巳，地巳 1 生= !角l 一im i = 吉( ，一1 ) i 如昙i + 专 1 + ，( 一) 】l 讹1 2 二 ，-l(ir二f 。l，。l 一 由引理2 ，易知 朋一l ，一1 聊一2 o ， j - l 又由引理3 ，有 o 从而可得 l ( 知) 厶( 而) & ( 材) o嘎( 知) 。 峨( 而) 、7 由( 4 7 ) 和( 4 1 1 ) ，有 f 幽i = 0 所以z f 是常值映射 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 证毕 硕士擎位论文 m a s t e r st h e s l s 第五章弱f 一调和映射与凸函数 本章主要讨论了黎曼流形之间的弱f 一调和映射在假定目标流形具有凸函 数的情形下，得到了几个三f d 删沈型定理，推广了【1 8 】中的部分结果 5 1 主要定理 定理1 设m 和是黎曼流形，m 是紧致的黎曼流形，设“：m 专是c 1 的弱 f 一调和映射，并且在砧( m ) c 上存在一个c 2 的严格凸函数厂：哼r ，则“是常 值映射 定理2 设m 和是黎曼流形，m 是完备非致的黎曼流形，设甜：m 一是c 1 的弱f 一调和映射，并且在上存在一个c 2 的严格凸函数厂：jr ，使得一致范 数i 矽i 有界，甜满足 p 洋) ：一f ，( 掣) z ，口c e 矽) ( 幽，如) 7 7 v ( 刁( g 删( 力。材) ) ，p ( _ 望当幽 厂：哼尺是c 2 的映 证明：对任意的点x m ，豫) ( 1 f m ) 是点x 的局部幺正交标架场， v 吩巳l 。= o + 芝( 猡( ( 舒耐u ) 。材”，f ，( j - 粤鸟幽p ， = 姜( 嘛洋w 毗棚尸拳善 o ，有f ，o ) o ，及对任意的f o ，有 f 。( f ) 0 ，从而有 尸哗) ：o 抛1 幽1 2 ：o ( 豇) 若乃础( v 矽) ( 咖，幽) = 0 ，由于厂是上的严格凸函数，有 i 幽i = o 故”为常值映射 证毕 定理2 的证明任意固定一点x m ，在x 点存在一个半径为r 的度量球，记为 岛( 功 在m 上存在一个光滑函数刁，满足 o s 刁虬i 砌喀詈 删= 器二茎2 ， 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 共甲是与x 尢夫的正常数 已知厂：专r 为上的严格凸函数，且一致范数有界，设i 矽i + l = 一l 尸洋) sl f 出譬) i d u 。训l 砌j i 幽l s 人l 争洋凇l ( 5 4 ) 由于l f 出学) i 如l ，所以令r 专时，有 般人l 7 洋帕i - o 从而( 5 4 ) 式变为 l f 7 峭舰( 聊) ( 也，幽) o 类似于定理1 的讨论，可以容易地证明i 幽i = o 故甜为常值映射证皂， 硕士擎位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】x i n y l ，s o m er e s u l t so ns t a b l eh 踟o n i cm a p s 【j 】d u k em a t l l ，1 9 8 0 ，4 7 ( 3 ) ：6 0 9 - 6 1 3 【2 】l e u n g ，p f ，o nt h e 鼬i l 时o fh 黜0 n i cm a p s m 】s p r i n g e r - v e r l a gn o t e sm a m s ， 1 9 8 2 。9 4 9 ：1 2 2 1 2 9 【3 】p a ny l ，s o m en o n c x i s t e n c et 1 1 e o r e m so ns t l b l eh 锄o n i cm a p p i l l g s 【j 】c h m e s e a n n m a _ t h ，1 9 8 2 ，3 ：5 1 5 - 5 1 8 【4 】y o l u l i t a ，s t a b i l i 锣o f h 锄o n i cm a p s 锄d 蛐d a r dm i n h i l a li 咖e 娼i o m 叨t 0 h o l ( u m a t h ，19 8 6 ，3 8 ：2 5 9 2 6 7 【5 】z h o uz r ，s 龇i 1 时a n dq 1 姗t i l mp h e n o m e n e n 锄dl i o u v i l l e 恤o r e i i l so f p - h a m l o n i cm a p sw i t hp o t e n t i a l 【j 】k o d a im a t h ，2 0 0 3 ，2 6 ：1 0 l - 1 18 【6 】a r am ，g e o m e t 叮o f f - h a m l o n i cm a p s 【j 】k o d a im a t h ，1 9 9 9 ，2 2 ：2 4 3 2 6 3 【7 】 l i j t ，f - h a r i n o n i cm a p sf o rm i i l i m a ls u b m a n i f o l d sw i mp o s i t i v e砌c c i c u n ，a n 鹏【j 】a c t am a t hs c i ，2 0 0 4 ，2 4 ( a ) ：l5 2 - l5 6 【8 】 f a r d o u na ，o ne q u i v 撕粕tp - h 跏o m cm a p s ，a 衄i n s th c i l i l p o i i l c 玳叨 1 9 9 8 ，l5 ( 1 ) ：2 5 7 2 【9 】k a r c h e rj ，w 0 0 dj c ，n o n - e x i s t e n c er c s u l t sa n dg r o w mp r o p e n i e sf o rh a m o n i c m a p s 锄df 0 舯s j r e i n ea n g e wm a t h ，l9 8 4 ，3 5 3 ：16 5 - l8 0 【1o 】l e m a i r el ，a p p l i c a t i o n sh a n n o n i q u e sd es u r f a c e sr i e m 锄i a n s 【j 】d i f rg e o m ， 1 9 7 8 ，1 3 ：5 1 - 7 8 【1 1 】c h e nq ，s t a b i l 时a n dc o n s t a n tb o u n d a 巧一v a l ( u ep r o b l e m so fh 觚n o l l i cm a p sw i 也 p o t e n t i a l 。【刀a u s t r a lm a t hs o c ，2 0 0 0 ，6 8 ( a ) ：1 4 5 - l5 4 【1 2 】s e a l e yh c j ，h 锄o n i cm a p so fs m l le n e 略y b u l ll o n d o nm a 廿1s 0 c ，1 9 8 1 ，l l o ： 1 2 7 - 1 4 2 【1 3 】潘养廉，单连通曲率非正流形的调和映射 j 数学年刊，1 8 ( a ) ：3 ( 1 9 9 7 ) ， 3 0 7 3 1 2 1 4 】g 0 - d o nw b ，c o n v e xn m c t i o n s 柏dh a n n o n i cm a