（基础数学专业论文）w算子与几类整环的刻画.pdf

w 一算子与几类整环的刻画 基础数学专业 研究生陈幼华指导教师王芳贵 近年来关于星型算子的研究见诸于不少文献，一直受到人们的关注运用 星型算子很多经典的整环得到新的刻画和推广本文主要运用w 一算子，辅以 算 子来刻画p v i d ，7 r 一整环和拟p r f i f e r 整环首先，讨论了p v m d 与w 一理想的完备化， p v m d 在模上的等价刻画以及p v m d 中的素札卜理想利用理想理论的方法，证明 了冗是p v m d 当且仅当r 的每个非零有限生成理想是刨一可消理想，当且仅当r 的每 个w 一理想是完备的利用模理论的方法，证明了冗是p v m d 当且仅当r 的每个无挠 模是w 一平坦模，当且仅当r 的每个有限型模是w 一投射模此外，给出了p v m d 中分 支的素 理想的等价刻画其次，运用w 一算子与 算子刻画了k r u l l 整环和7 r 一整环， 证明了冠是k r u l l 整环当且仅当尼是s m 整环，且每个陟理想( 或亡- 理想) 是强整闭的， 当且仅当r 是s m 整环，且每个w 一理想( 或 理想) 是弱整闭的；证明了r 是7 r 一整环当且 仅当蚓的每个非零 一理想是可逆的，当且仅当冠是 乘法封闭的k r u l l 整环同时，讨 论了丌- 整环的环扩张，局部化及其多项式环最后，给出了拟p r i f e r 整环的定义，证 明了冠是拟p r f i f e r 整环当且仅当r 的每个非零w 一理想( 分别地，t - 理想或 一理想) 是平 坦的，当且仅当吲拘每个非零亡_ 有限型的扛理想( 或u 一有限型的口一理想) 是可逆的同 时，得到了拟p r f i f e r 整环是拟凝聚整环，并且系统地研究了拟p r i i f e r 整环的环扩张， 局部化，多项式环及其拉回图 关键词：w 一模廿理想p v m d准素理想丌- 整环+ 一乘法封闭整 环多项式环拟p r i f e r 整环 第i 页，共4 3 页 t h ew o p e r a t i o na n dc h a r a c t e r i z a t i o n so fs e v e r a lc l a s s e s o fd o m a i n s b a s i cm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：c h e ny o u h u as u p e r v i s o r ：w a n gf a n g g u i s t a r - o p e r a t i o n sh a v er e c e i v e dag o o dd e a lo fa t t e n t i o nc o n t i n u o u s l yi n a n u m b e ro fl i t e r a t u r ei nr e c e n td e c a d e b yu s i n gs t a ro p e r a t i o n sm a n yc l a s s i - c a ld o m a i n sh a v en e wc h a r a c t e r i z a t i o u sa n dg e n e r a l i z a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w e c h a r a c t e r i z ep v m d s ，r - d o m a i n sa n dq u a s i - p r i i f e rd o m a i n sm a i n l yb yu t i l i z i n g 1 u o p e r a t i o n sa n dw i t ht h es u p p l e m e n to ft - o p e r a t i o n s f i r s t l y , w ed i s c u s st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e np v m d sa n dt h ec o m p l e t i o no fw i d e a l s ，s o m ee q u i v a l e n t d e s c r i p t i o n so fp v m d s o v e rm o d u l e s ，a sw e l la sp r i m ew i d e a l si np v m d s u s i n gi d e a lt h e o r ym e t h o d s w ep r o v et h a tr i sap v m di fa n do n l yi fe v e r yn o n z e r o f i n i t e l yg e n e r a t e di d e a lo fr i saw c a n c e l l a t i o ni d e a l ，i fa n do n l yi fe v e r yw - i d e a l o fri sc o m p l e t e u s i n gm o d u l et h e o r ym e t h o d s ，w ep r o v et h a tri sap v m di f a n do n l yi fe v e r yt o r s i o n - f r e er - m o d u l ei s 加一f l a t ，i fa n do n l yi fe v e r yf i n i t et y p e r - m o d u l ei s 一p r o j e c t i v e f u r t h e r m o r e ，w es h o ws o m ee q u i v a l e n td e s c r i p t i o n s o fb r a n c h e dp r i m ew - i d e a l si np v m d s s e c o n d l y , w ec h a r a c t e r i z ek r u l ld o m a i n s a n dr - d o m a i n sb yu s i n g 一o p e r a t i o n sa n dt - o p e r a t i o u s i ti sp r o v e dt h a tri s ak r u l ld o m a i ni fa n do n l yi fri sa ns md o m a l na n de v e r y 伽一i d e a l ( o rt - i d e a l ) o fri ss t r o n gi n t e g r a l l yc l o s e d ，i fa n do n l yi fe v e r yw - i d e a l ( o rt - i d e a l ) o fri s w e a ki n t e g r a l l yc l o s e d i ti sa l s op r o v e dt h a tri sa7 r - d o m a i ni fa n do n l yi fe v e r y n o n z e r ow - i d e a lo fri si n v e r t i b l e ，i fa n do n l yi fri saw m u l t i p l i c a t i v ec l o s e d k f u l ld o m a i n m o r e o v e r ，w ed i s c u s st h ee x t e n s i o n s ，l o c a l i z a t i o u s ，a n dp o l y n o m i a l r i n g so f r - d o m a l n 8 f i n a l l y , w ep r o v i d et h ed e f i n i t i o no fq u a s i - p r f i f e rd o m a i na n d p r o v et h a tr i sa q u a s i - p r i i f e rd o m a i ni fa n do n l yi fe v e r yn o n z e r o 一i d e a l ( s e p - a r a t e l y , t - i d e a lo rv - i d e a l ) o fr i sf i a t ，i fa n do n l yi fe v e r yn o n z e r ot - f i n i t et y p e t - i d e a lf o r 钉一f i n i t et y p ev - i d e a l ) i si n v e r t i b l e m o r e o v e r ，w ea l s oo b t a i nt h a ta q u a s i p r f i f e rd o m a i ni saq u a s i - c o h e r e n td o m a i na n ds t u d ys y s t e m a t i c a l l yi t se x - t e n s i o n s ，l o c a l i z a t i o n s ，p o l y n o m i a lr i n g sa n dp u l l b a c k s k e yw o r d s ：w m o d u l e ；w - i d e a l ；p v m d ；p r i m a r yi d e a l ；r - d o m a i n ；十一 m u l t i p l i c a t i v ec l o s e dd o m a i n ；p o l y n o m i a lr i n g ；q u a s i - p r f i f e rd o m a i n 刖吾 在环模理论中，各类整环的不同刻画一直是交换代数中一个非常活跃的研 究课题自2 0 世纪8 0 年代以来，由于星型算子工具的引入，人们对整环的关注越 来越多所谓整环盈上的星型算子，指的是r 的非零分式理想集f ( r ) 上的一个映 射 ：a a + ，它满足以下性质： ( 1 ) 对任何a f ( 励，a k 一0 ，有( n ) + = ( o ) ，( a a ) + = a a ， ( 2 ) 对任何a ，b f ( 冗) ，若a b ，则有a + 日+ ( 3 ) 对任何a f ( r ) ，有a a ，且( a ) + = a + 众所周知，可一算子和乒算子是两个常用的星型算子，它们在理想理论中起着 重要的作用，但它们对模范畴几乎没有什么刻画王芳贵教授和r l m c - c a s l a n d 于1 9 9 7 年建立了一个新的星型算子 算子，它不仅对整环的理想理论 有如口一算子和亡- 算子一样的刻画，而且对模范畴的研究也有丰富的结果本文主 要运用一算子，辅以亡- 算子对p v m d ，n 整环和拟p r i i f e r 整环进行了一些细致的 研究 1 9 8 8 年s m a l i k ，j m o r t 和m z a f r u l l a h 在f 2 8 】中运用理想的乒可逆性等价刻 画了p v m d ，1 9 9 9 年王芳贵和r l m c c a s l a n d 在【1 5 】中又运用理想的w 一可逆性等 价刻画了p v m d 众所周知，r 是p r i i f e r 整环当且仅当同挣每个非零有限生成理想 是可消理想，当且仅当用拘每个理想是完备的，当且仅当蚓约每个无挠模是平坦 模，当且仅当同掏每个有限生成无挠模是投射模( 参见文【1 】， 2 ) 在第二章，我们 运用w 一算子理论，得到了p v m d 与p r i i f e r 整环有类似的等价刻画利用理想理论 的方法，证明了r 是p v m d 当且仅当r i 拘每个非零有限生成理想是w 一可消理想， 当且仅当兄的每个陟理想是完备的利用模理论的方法，证明了兄是p v m d 当且 仅当尉拘每个无挠模是w 一平坦模，当且仅当同拘每个有限型模是w 一投射模此外， 我们还给出了p v m d 中分支的素 理想的一些等价刻画 在第三章，我们运用w 一算子与乒算子对k r u l l 整环与7 r 一整环给出了一些新的刻 画所谓k r l l l l 整环，是指尉拘每个非零理想是 可逆的，而7 r 一整环，是指r 满足每 个真主理想能表示为有限多个素理想的积1 9 8 9 年b g k a n g 在 2 1 】中对7 r 一整环 第1 页，共4 3 页 前言 进行了一些研究，利用t 一算子理论，证明了r 是丌- 整环当且仅当尉搀每个非零t 一理 想是可逆的，当且仅当r 的每个非零素扣理想是可逆的但有所遗憾的是，b g k a n g 未对丌一整环的多项式环及其分式环进行讨论在第一节，我们利用w 一算子 与s m 整环理论，再次等价地刻画了传统的k r 山l 整环证明了冗是k r u l l 整环当且 仅当r 是s m 整环，且每个廿理想( 或扛理想) 是强整闭的，当且仅当兄是s m 整环， 且每个w 一理想( 或t 一理想) 是弱整闭的，当且仅当r 是s m 整环，伽一d i m ( r ) = 1 ，且 每个准素”理想是素w 一理想的幂的w 一积在第二节与第三节，我们给出了7 r 一整环 的一些新的刻画，也讨论了7 r 一整环的环扩张与局部化特别地，得到了兄是丌- 整 环当且仅当尉 勺每个非零w 一理想是可逆的，当且仅当r 的每个非零素一理想是 可逆的，当且仅当r 是w 一乘法封闭( 分别地，扛乘法封闭或t 卜乘法封闭) 的k r u l l 整 环同时，证明了尼黾离散赋值环当且仅当月是7 r 一整环，j ! j _ s p e c ( r ) 是全序集 1 9 8 9 年b g k a n g 乇e 2 9 中以及e h o u s t o n 和m z a f r u l l a h 在f 3 5 1 中对整环的多项 式环中的分式理想扩张问题进行了研究，于是我们在第四节利用其结论对丌一整 环的多项式环及其分式环进行了刻画，从而丰富了7 r 一整环理论 最后，我们给出了拟p r f i f e r 整环的定义，即日拘每个非零 有限型的 一理想 是可逆的在对拟p r i i f e r 整环进行研究时，我们发现引均每个非零壮理想平坦， 同拘每个非零亡_ 理想平坦与同拘每个非零俨理想平坦是完全等价的，且它们都等 价于昆黾拟p r i i f e r 整环同时，也证明了冠黾拟p r f i f e r 整环当且仅当尉拘每个非零扣 有限型的纠里想是可逆的，当且仅当同挣每个非零”一有限型的”理想是可逆的，当 且仅当r 是 一乘法封闭( 或亡- 乘法封闭) 的p v m d 此外，得到了拟p r f i f e r 整环是拟 凝聚整环，而且完全利用尉拘任意三个理想之间的关系等价刻画了拟p m f e r 整环 对于拟p r i i f e r 整环的环扩张，得到了拟p r i i f e r 整环的每个叫一扩环仍是拟p r i i f e r 整 环，从而推出它的每个分式环也是拟p r i i f e r 整环在第四章第三节，我们还系统 地研究了拟p r i i f e r 整环的多项式环及其拉回图特别地，通过拟p r i i f e r 整环在 强m i l n o r 方图中的讨论，我们给出了最大公因子整环在强m i l n o r 方图中的一个 刻画：设r d t f 是强m i l n o r 方图，且d 和t 都是局部环，则兄是最大公因子整环当 且仅当d 和t 都是最大公因子整环，乃f 是赋值环，且f = l 因此，我们可以看 到叫一算子的建立给各类整环理论的研究注入了新的活力 y h c h e n 5 2 0 1 6 3 c o r n 第2 页，共4 3 页 毕业论文 第一章星型算子理论与w 一算子的预备知识 本文恒设r 是具有单位元的交换整环但不是域，是嗣均商域设a 是耳的b 子模，若存在非零元素a r ，使得a acr ，这等价于说存在非零元素c k ， 及月的非零理想j ，使得a = c i ，则a 称为兄的分式理想从分式理想的定义可以看 出，每个非零分式理想等价于一个非零理想，因此在很多关于整环的讨论中，用 非零分式理想与非零理想互换，其等价刻画的结论依然成立用f ( 固表示吲拘非 零分式理想的集合，( 兄) 表示咒的非零有限生成分式理想的集合所谓整环兄上 的星型算子，指的是蚓拘非零分式理想集f ( r ) i - 的一个映射+ ：a a + ，它满足 以下性质： ( 1 ) 对任何a f ( r ) ，a k 一0 ，有( n ) + = ( o ) ，( a ) + = a a + ( 2 ) 对任何a ，b f ( r ) ，若a b ，则有a 鼠 ( 3 ) 对任何a f ( r ) ，有a a + ，且( a ) + = a + 对a f ( 励，若a 。= a ，则a 称为尉佝 分式理想若且是吲拘理想且a = a ， 则a 称为刷拘* 理想如果对任何a f ( r ) ，恒有a + 一ub ￥，其中日暇遍a 的一 切有限生成子分式理想，则+ 称为具有有限特征的星型算子若存在b ，( r ) ， 使得a + = b + ，则a 称为同拘 一有限型分式理想对a f ( r ) ，令d ( a ) = a 这 就是一个星型算子，记为d 这是一个平凡星型算子，每个理想都是d - 理想 设a 是的r - 子模，定义a 。= zek i z a 兄) 如果j 是尉拘非零有限生 成理想，且j - 1 = r ，则称，是尉拘g l a z v a s c o n c e l o s t j ! 想( 简称为g v _ 理想) ，并 用j c v ( r ) 表示对a f ( r ) ，定义映射：a a 。= ( a _ 1 ) 一，称为冗的俨算 子若厶= a ，则a 是尉约弘分式理想此外，定义映射：a a t = u 鼠l b a ，且be r ( r ) ) ，称为r 的乒算子若a = a ，则a 是r 的t 一分式理想众所周 知，若a ，( r ) ，则a a 。，从而t 一算子具有有限特征设m 是无挠戽模 如果由j c v ( r ) ，z k o m ，和j z m 能推出z m ，则m 称为i i ) 一模 若m 是吲拘分式理想，则m 称为叫一分式理想定义l 死一 z k o mi 存在j c v ( r ) ，使得如m1 ，称之为m 的叫一包络我们自然地把m 作为m 0 的子模 显然，且乱= 0 当且仅当m = 0 对aef ( r ) ，映射：a a 。即称为吲驹 一算子 第3 页，共4 3 页 第一章星型算子理论与一算子的预备知识 由【5 ，p r o p o s i t i o n3 2 】，我们知道一算子具有有限特征关于一般+ 一算子的详细讨 论，可以参见文【1 】 1 1 一般星型算子的预备知识 定义1 1 1 【1 】设a 是k 的体子模，若存在k 的犀子模口，使得a b ：冗，则a 必 为分式理想，称为可逆分式理想 引理1 1 2 【6 1 对a f ( r ) ，以下各条等价： f 1 ) a 是可逆的； ( 2 ) a 是投射模； ( 3 ) a 是有限生成的，且对月的任何素理想p ，a p 是马的主分式理想； ( 4 ) a 是有限生成的，且对r 的任何极大理想m ，a 。是冠。的主分式理想 r 7 1 定义1 1 3 设 是兄上的星型算子，a f ( r ) 如果存在b f ( r ) ，使 得( a b ) + = r ，这等价于说，( a a _ 1 ) + = r ，则a 称为 一可逆分式理想 r 州 引理1 1 4 。设+ 是r _ k 具有有限特征的星型算子，a f ( 兄) ，则以下各条等 价： ( 1 ) a 是+ 一可逆的； ( 2 ) a 是+ 一可逆的； ( 3 ) a 是+ 一有限型的，且对刷托秦 一理想p ，a p 是主分式理想； ( 4 ) a 是 一有限型的，且对础勺极大 一理想m ，a 。是主分式理想； ( 5 ) 存在有限生成分式理想b ，使得( a b ) + = r 引理1 1 59 1 设+ 是r 上具有有限特征的星型算子，p 是+ 一理想，上的极小素理 想，则p 是+ 一理想 命题1 1 6 设a ，b f ( r ) ，则 f 1 ) a 是t 一有限型的当且仅当a 是小有限型的 ( 2 ) a 是t 一有限型的扛分式理想当且仅当a 是 一有限型的 一分式理想 证明 由 算子与”一算子的定义与性质即得 y h c h e n 5 2 0 1 6 3 c o i n 第4 页，共4 3 页毕业论文 篁二皇里型墨量里堡童竺：簦主塑望鱼塑堡 命题1 1 7 设+ 是矧拘任何星型算子若a 是同拘非零+ 一有限型的平坦分式理 想，n a 是可逆的 证明设a + = 鼠，其中b 是a 的有限生成子分式理想，则有a 一1 = b 一1 m s ，p r o p o s i t i o n1 a 是可逆的 1 2 w 一算子的预备知识 f 9 l 命题1 2 1 一设，是尉 q 非零理想，n icl 五l 从n v - n 想是亡_ 理想 纠里想是u 理想 f 4 1 命题1 2 2 一设m 是无挠品模，a ，日是m 的子模，则n b ) 。= a 。n b 0 1 4 1 命题1 2 3 一设，是同均理想，则( 仍。= 棚_ 因此，若雎 励 9 叫一理想， 则，也是尉拘w 一理想 f l n l 命题1 2 4 一设以f ( 兄) ，则l = u 厶，其中j 取遍，的一切有限生成子理 想 设兄堤整环的扩张，对任何无挠的口模f ，我们用f w 表示其作为n 模 的w 一包络，以便与其作为b 模的w 一包络相区别设m 是无挠戽模，如果存在m 的 有限生成子模，使得坛。= 。，n m 称为 有限型模，以- y l g 简称为有限型模 我们用s p e c ( r ) 表示矧拘素理想的集合，用m a x ( r ) 表示r 的极大理想的集合同 样，用训一s p e c ( r ) 表示r 的素w 一理想的集合，用w m a x ( r ) 表示矧抢极大廿理想的 集合 1 1 】 引理1 2 5 一设m 是无挠尼模，则 ( 1 ) 若s 是周 勺乘法集，贝j j ( m s ) = ( ( l 死) s ) 且若m 是有限型且模， 贝j j m s 是有限型凡一模 ( 2 ) 若m 是尉拘极大叫一理想，n m m = ( n 如) 。且若m 是有限型b 模，n m m 是有限生成足。一模 ( 3 ) 若a ，且是m 的子模，则a 。= 巩当且仅当对任何m 一m a x ( r ) 有a 。= b m y h c h e n 5 2 0 1 6 3 c o r n 第5 页，共4 3 页毕业论文 第一章星型算子理论与 一算子的预备知识 引理1 2 6 一设m 是无挠尼模，则且气=n 尬。 m e w - m a x ( r ) f 1 翻 定义1 2 7 一设t 是励 勺扩环，如果对任何a ，( r ) ，由a - 1 = r 能推 出( a t ) 。= t ，则称t 是r 的t l i n k e d 扩环若尉拘每个扩环都是t l i n k e d 扩环， 则称r 是t - l i n k a t i v e 整环，简称为t l 整环 】0 1 引理1 2 8 一对整环r ，以下各条等价： ( 1 ) r 是t l 整环； ( 2 ) g v ( r ) = 脚； ( 3 ) r 的每个理想是伽一理想； ( 4 ) 吲拘每个极大理想是w 一理想； ( 5 ) 每个无挠尼模是训一模 1n 1 定义1 2 9 一设r 与t 都是整环，r t 是整环的扩张如果t 作为皿模 是w 一模，则t 称为r 上的硼一整环若r t k ，则我们称t 是蚓拘w 一扩环 n 引理1 2 1 0 一设r t 是整环扩张，则以下各条等价： ( 1 ) 对司拘任何理想j ，l ( i t ) w ； ( 2 ) 对用约任何理想i ，( l t ) w = ( i t ) w ； ( 3 ) 对t 的任何w 一理想a ，anr 是r 的 一理想； ( 4 ) 对_ r 的任何理想i ，( i t ) wnr 是同拘w 一理想； ( 5 ) 对尉拘任何有限生成理想i ，( i t ) wnr 是刷拘 1 1 1 一理想； ( 6 ) 由jeg v ( r ) ，能推出，t g y ( 丁) ； ( 7 ) 对t 的任何素w 一理想尸】pn 兄是刷拘廿理想； ( 8 ) r 是r 上的叫一整环 y h c h e n 5 2 0 1 6 3 c o r n 第6 页，共4 3 页毕业论文 第二章w 一算子与p v m d 设 咒) 是兄上的任意个未定元的集合，对f r 五) 】，我们用c ( ，) 表示 由，的系数在r 中生成的理想，称为，的容度设风( 冗) 表示尉拘非零v 一有限型 的口一分式理想的集合，在其中定义弘乘法为：a ；b = ( a b ) 。，a ，b 风( r ) 如 果e ，( r ) 在这个乘法之下构成一个群，则痂冼称为一个p r f i f e rv - m u l t i p l i c a t i o n d o m a j n ，简称为p v m d d e d e k i n d 整环，k r u l l 整环，g c d ( 最大公因子) 整环 与p r i i f e r 整环都是常见的p v m d 近年来关于p v m d 的讨论，有许多丰富的结 果王芳贵利用理想的w 一可逆性对p v m d 进行了刻画( 参见【1 5 ，t h e o r e m2 1 】) ， 并得到p v m d 中的每个w 一理想是完备的( 参见f 9 ，c o r o l l a r y3 9 ) ，且每个有限型 模是肚投射模( 参见 1 7 ，t h e o r e m3 9 】) 本章在第一节利用理想理论的方法，得 到兄是p v m d 与同拘每个伽一理想完备是等价的而在第二节，利用模理论的方 法，得到r 是p v m d 与尉 勺每个有限型模是叫一投射模也是等价的在第三节，将 对p v m d 的环扩张与素w 一理想进行讨论 2 1p v m d 与w 一理想的完备化 n 4 i 定义2 1 1 一设r 是整环，p 是r 【x 】的非零素理想，且p n r = 0 ，则 称p 是r x 】中的u t z ( u p p e rt oz e r o ) 记为p u t z ( r ) ，或p u t z 1 剐 引理2 1 2 一对整环r ，以下各条等价： f 1 ) r 是p v m d ； ( 2 ) 每个非零的廿有限型w 一分式理想是w 一可逆的； ( 3 ) 每个非零的有限生成分式理想是训一可逆的； ( 4 ) 每个2 一生成分式理想是t ) 一可逆的； ( 5 ) 对尉搀任何素w 一理想p ，r p 是赋值环； ( 6 ) 对r i 约任何极大w - t l 想m ，凰、是赋值环； ( 7 ) 兄是整闭整环，且若尸是r 】中的u t z ，则p 含有元素，使得c ( ，) 。= r 命题2 1 3 设+ 是r 上的任何星型算子，则以下各条等价： 第7 页，共4 3 页 第二章”算子与p v m d ( 1 ) r 是整闭整环i ( 2 ) 设a r 一0 ，j ，( 兄) 若，2 = a i ，贝r j i , = ( a ) ( 3 ) 设a r 一0 ，i ，( 兄) 若1 2 = a i ，贝r j i ( a ) 证明( 1 ) 号( 2 ) m 1 ，p r o p o s i t i o n2 4 1 】，有i = ( a ) ，故l = ( n ) + = ( n ) ( 2 ) = ( 3 ) 显然 ( 3 ) j ( 1 ) 显然有，l ( o ) 由【1 ，p r o p o s i t i o n2 4 1 】，r 是整闭整环 引理2 1 4 设r 是整闭整环，a ，b r 一0 若存在正整数n 1 ，使得a n a l b ( 扩，b n ) 。，贝j j ( a ，6 ) 是廿可逆的 证明由a n - 1 b ( a “，6 n ) 。可知，存在j = ( d 1 ，也) a v ( r ) ，使 得j a n - 1 b ( a “，b n ) 若礼= 2 ，则存在孔，y l r ，使得d i a b = x i a 2 + y i b 2 等 式两边同时乘以磐，则有( 地a 、j 2 一吐( 喾) + z ，玑= 0 因此警在兄上整，从而 有喾r 令z = 喾，则o z = 弘6 于是我们有 五n ( a ，6 ) ( 鼽，d i z ) = ( a y l ，a z ，o ( 盔一z ) ，a x i ) ( n ) 令，= ( y l ，d l z ) + - + ( y s ，也一z ) ，则有j 口( a ，b ) l ( ) ，故 ) = ( j a ) 。 ( ( o ，6 ) ，) 。( o ) 因此( ( n ，b ) a - 1 ，k = r ，即( n ，6 ) 是叫一可逆的 我们假设命题对n 一1 成立设a n - 1 b ( n “，扩) 。，则存在，y l r ，使 得硅8 n - 1 b 一墨矿+ 啦b n 等式两边同时乘以笔= ，则有( 喾p 一哦订- 2 ( 喾) + z i 醇= 0 因此警在兄上整，从而有警r 令z = 喾，则哦o ”一1 6 = x i a ”+ a z b n ，从而有d i a n b = 墨a ”1 + z b ”1 ( a ”1 ，扩_ 1 ) 因此1 a “一“c 一 ( 扩，6 竹_ 1 ) ，故a n - 2 b ( a n ，b n - 1 ) 。于是由归纳假设我们得到( n ，6 ) 是w 一可逆 的 定义2 1 5 设兄是整环，a ，b ，g 是r 的理想如果由a b = a c 能推出j e 乙= c 0 ，则称a 是r 的w 一可消理想 定理2 1 6 对整环r ，以下各条等价： ( 1 ) 尼是p v m d ； ( 2 ) 兄的每个非零有限生成理想是叫一可消理想 y h c h e n 5 2 0 1 6 3 c o r n 第8 页，共4 3 页 毕业论文 第二章 算子与p v m d ( 3 ) 设a ，b ，g 是吲拘有限生成理想若a b = a c ，且a 0 ，则上乙= c 0 ； ( 4 ) 兄是整闭整环，且存在正整数礼 1 ，使得对任何a ，b r ，有( ( n ，6 ) “) 。= ( a 8 ，扩) 。； ( 5 ) 尼黾整闭整环，且存在正整数n 1 ，使得对任何a ，b r ，有a n - 1 b ( a ”，b - ) 。 证明 ( 1 ) = ( 2 ) 设a 是r 的非零有限生成理想，b ，g 是冗的理想，j j a b = a e 则有 ( ( a 一1 a ) 。b ) 。= ( a _ 。a b ) 。= ( a 一1 a a ) 。= ( ( a 一1 a ) 。g ) 。 由引理2 1 2 ，a 是w 一可逆的故_ 1 a k = r ，从而有b 0 = c 0 ( 2 ) j ( 3 ) 显然 ( 3 ) 号( 4 ) 设2 = i a ，其中r 一0 ，i ，( 咒) 则l = ( n ) 。= ( o ) 由 命题2 1 3 ，r 是整闭整环对任何a ，b r ，我们有a ，6 ) 3 = ( a 3 ，a 2 b ，a b 2 ，b 3 ) = ( a ，6 ) ( a 2 ，6 2 ) ，因此( ( n ，6 ) 2 k = ( a 2 ，b 2 ) 。 ( 4 ) 号( 5 ) 显然 ( 5 ) 号( 1 ) 设a ，b r 一0 由引理21 4 ，( a ，6 ) 是 一可逆的由引理2 1 2 ， r 是p v m d 我们说r 的一个理想j 称为赋值理想，是指存在嗣拘赋值扩环y 及矿的一 个理想a ，使得a n r = i ，等价于说j y n r = i 设 u l a n 是r 的所 有赋值扩环，我们称i = nf k 是，的完备化若i = 1 7 ，则称j 是完备的 r 在【1 6 中j d s a u y 和w v v a s c o n c e l o s 讨论了整闭整环上平坦理想的完备化问 题，证明了k r u l l 整环，最大公因子整环或凝聚整闭整环中的每个平坦理想是完备 的在 9 1 中王芳贵得到了更一般的结论，证明了p v m d 中的每个w 一理想是完备 的通过叫一可消理想与赋值理想的一些知识，我们可以迸一步完善上面的结果 引理2 1 7 设r 是整环，a ，b r 一0 对正整数n 1 ，若( n “，扩) 。是r 的一些 赋值理想的交，则 ( a “，扩) 。= ( a n ，a n - l b ，n 酽一1 ，6 “) 。= ( ( o ，6 ) ”) 。 y h c h e n 5 2 0 1 6 3 c 0 1 1 1 第9 页，共4 3 页毕业论文 第二章 算子与p v m d 证明设a “，6 n k = n 厶，其中 厶i k r ) 是同驹一些赋值理想对满 足i + j n 的任意非负整数i ，j 及任意k f ，我们有 ( n 。t o ) ”= ( a n ) 2 ( 扩户( a “，扩) “( a “，b o ) 。) “m ) “ 由 1 ，l e m m a2 4 4 j ，a , b j 厶，故n b j n 厶= ( a “，6 n ) 。于是我们有 k e r ( 矿，酽) ( 矿，a n b ，一，n 泸一，扩) = ( a ，b ) “( a n ，扩) 。， 因此( 扩，6 n k 一( a “，a - l b ，- ，n 铲，铲) 。= ( ( o ，6 ) ”) 。 定理2 1 8 对整环r ，以下各条等价： ( 1 ) r 是p v m d ； ( 2 ) r 的每个廿理想是完备的； ( 3 ) r 的每个w 一有限型的廿理想是完备的； ( 4 ) 周拘每个w 一有限型的廿理想是吲拘一些赋值理想的交 证明 ( 1 ) 号( 2 ) 设，是同拘 理想由引理1 2 6 ，有i =n ，且。由 m e t w - m a x ( r ) 引理2 1 2 ，风是赋值环，故，因此1 7 = i ，即，是完备的 ( 2 ) j ( 3 ) ：争( 4 ) 显然 ( 4 ) 寺( 1 ) 显然，r 的任何主理想都是一有限型的叫一理想，从而是尉 勺一些 赋值理想的交由f 1 ，l e m m a2 4 6 】，r 是整闭整环对任何口，b r 及任何正整 数佗 1 ，( a “，6 竹) 。也都是矧拘w 一有限型的 一理想，从而也是r l 勺一些赋值理想的 交由引理2 1 7 ，有( ( o ，6 ) ”) 。= ( a ”，扩) 。由定理2 1 6 ，r 是p v m d 2 2p v m d 在模上的等价刻画 设m 是无挠r - 模如果对r 的每个极大州一理想m ，a 是平坦鼯模，则m 称 为w 一平坦模如果m 是有限型的无挠尼模，且对翮搀每个极大 理想m ，m 。是投 射( 自由) r ，模，则m 称为w 一投射模显然，w 一投射模必是w 一平坦模众所周知， 兄是p r i i f e r 整环当且仅当每个无挠模是平坦模，当且仅当每个有限生成无挠模是 投射模下面我们可以得出p v m d 在w 平坦模与眇投射模上有类似结论 1 1 1 命题2 2 1 一有限型的叫一平坦模是w 一投射模 y h c h e n 5 2 0 1 6 3 c o m 第1 0 页，共4 3 页毕业论文 第二章一算子与p v m d 命题2 2 2 设尼是整环， 越ii r ) 是无挠b 模的一簇子模的定向集若 每一是w 一平坦模，则m = um 也是叫一平坦模 t 证明设m w m a x ( n ) f h 于n i g w 一平坦模，故( m ) 。是平坦风一模f 1 3 1 8 ， t h e o r e m3 4 7 】，有且靠= ( u ) 。= u ( m ) 。也是平坦r 一模因此m 是”一平坦模 i 由叫一平坦模与仰一投射模的定义及引理1 2 5 ，我们不难得到如下命题 命题2 2 3 设兄是整环，m 是无挠尼模，则 ( 1 ) m 是叫一平坦模当且仅当必。是伽一平坦模； ( 2 ) m 是廿投射模当且仅当坛。是 一投射模 定理2 2 4 对整环r ，以下各条等价： ( 1 ) r 是p v m d ； ( 2 ) 每个 一模是 平坦模； ( 3 ) 每个无挠模是叫平坦模； ( 4 ) 每个有限型的w 一模是w 一投射模； ( 5 ) 每个有限型模是仆投射模； ( 6 ) 每个有限生成无挠模是”一投射模 证明 ( 2 ) 甘( 3 ) 和( 4 ) ( 5 ) 由命题2 2 3 即知 ( 1 ) j ( 3 ) 设m 是无挠犀模，n l w m a x ( r ) ，则m 。是无挠日。一模由引 理2 1 2 ，见，是赋值环故m 。是平坦r m 模，从而m 是眇平坦模 ( 3 ) 号( 5 ) 净( 6 ) 显然 ( 6 ) 辛( 1 ) 设，是尉 勺非零有限生成理想，则j 是仆投射模，从而也是w 一可逆 的由引理2 1 2 ，r 是p v m d ， 2 3 p v m d 的环扩张与p v m d 中的素w 一理想 设t 是兄上的 整环对t 的任何分式理想a ，令豇恤：a a 。由一模 的性质知，w r 是足上的w 一算子所诱导的t 上的一个具有有限特征的星型算 予，这样，t 中满足a 。= a 的分式理想称为w r 一分式理想此时对t 的任何分 y h c h e n 5 2 0 1 6 3 c o i l l第1 l 页洪4 3 页 毕业论文 第二章 算子与p v m d 式理想a ，有a 。a w 设t 是且上的w 一整环，z t 若存在一个非零的有 限生成戽模b t ，使得z 晚，玩，则称z 是r 上的w 一整元素，或称z 在且上廿 整我们用蟛：表示t 中在r 上廿整元素的集合，称为r 在t 中的w 一整闭包显 然有砰群当t = k 时，我们就简记俨= 磁类似于p v m d 的定义， 如果? 的每个非零的有限生成理想是w r 一可逆的，则称t 是p w r m d ( p r i i f e r 咖一 m u l t i p l i c a t i o nd o m a i n ) 我们用w r - s p e c ( t ) 表示兄上的 t o 一整环t 的素r 一理想的 集合 n l 引理2 3 1 一设兄t 是整环扩张，且是黾整闭整环，t 在r 上整若q s p e c ( 印，且p = q n r s p e c ( r ) ，则n k = r p 定理2 3 2 设r 是整闭整环，t 是r 上的眇整环，且t 在r 上整 若t 是p 伽 r m d ，则冗是p v m d 证明 设p w - s p e c ( r ) 由t 在r 上整，有t 在r a z w 一整f l j 1 9 ，t h e o r e m 3 3 】与【1 9 ，c o r o l l a r y2 2 】，* t o l o 定理成立，即存在q r s p e e ( t ) ，使得q n r = p 由引理2 3 1 ，nk = r p e b 1 9 ，p r o p o s i t i o n1 2 】，t q 是赋值环r a i l ， t h e o r e m1 9 1 6 ，r 口是赋值环，因此r 是p v m d 定理2 3 3 设r 是整闭整环，t 是r 的 扩环，且t 在尼上叫一整 则兄是p v m d 当且仅当t 是p r m d 证明 设r 是p v m d ，q 伽r s p e c ( t ) 记p = qn 冗，则p w s p e c ( r ) 从而b 是赋值环由引理2 3 1 ，r p = n k = t q ，故是赋值环由 1 9 p r o p o s i t i o n1 2 】t 是p w r m d 反之，设t 是p w r m d ，p w - s p e c ( r ) 由t 在r _ 上一整，w - l o 定理成立，即 存在q w r s p e c (