（基础数学专业论文）theta函数恒等式及η（τ）方幂.pdf

摘要 本文利用椭圆函数理论证明了一个t h e t a 函数恒等式利用这个恒等式，给出了矿( r ) ， q 4 c t ) ，町6 ( t ) ，矿( r ) 和q l o ( r ) 表示的新证明，并且结合一些j a c o b i t h e t a 函数加法公式给出了将 自然数写成两个、四个、八个平方和的表示个数的新推导 关键词：椭圆函数，t h e t a 函数，d e d e k i n d se t a - f u n c d o n ，加法公式，平方和， j a c o b i l 亘等式 a b s t r a c t a b s t r a c ti nt h i sp a p e r , w ew et h et h e o r yo f e l l i p t i cf u n c t i o nt op r o v ea t h e t af u n c t i o ni d e n t i t y u s i n g t h i s i d e n t i t y , w e r e d e r i v e t h er e p r e s e n t a t i o n s o f , f ( t ) ，矿( r ) ，目6 ( r ) ，口8 ( r ) a n d 矿o ( r ) w e i i s o m et h e t af u n c t i o na d d i t i o n 。f o n n u l a e sd u e t oj a c o b i w i t ht h e h e l po f t h e s ea d d i 曲n - f o r i n l l l s w eg e t f o r m u l a s f o r t h e n u m b e r s o f r e p r e s e n t a t i o n s o f a g i v e n n a t u r a ln u m b e r b ys l i m s o f t w o 。f o l l r a n de i g h ts q u a r en u m b e r s k e yw o r d s ：e l l i p t i cf u n c t i o n s , t b e t af u n c t i o n s , d e d e k i n d se t a f u n c t i o n ，a d d j 一姗”u l a e i a c o b i si d e n t i t y , s q t m r en u m b e r s 1 1 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内客外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：壶1 琦 日期：出盟口习 导师签名：讪汔【习 日期：塑瑾盈夕覆 第一章引言 q ( r ) 的方幂展开问题是数论中一个重要问题，它与分拆函数p ( n ) 有着紧密的联系e u l e r 1 7 4 8 年首先证明了 兀( 1 一口“) = ( 一 接着j a c o b i1 8 2 9 年证明了 ( 1 一矿) 3 = ( - 1 ) “( 2 n + 1 ) 矿扣+ 1 ) 2 1 9 1 9 年，r a m a n u j a n 【3 1 】中给出了关于分拆函数p ( n ) 同余的三个式子 p ( 5 n 十4 ) ；0 ( m o d5 ) ， p ( t n + 5 ) 10 ( m o d7 ) ， p ( 1 l n + 6 ) 0 ( m d d l l ) 其证明可用q ( t ) 的方幂表达式得到，如【5 ，6 1 2 1 。 最近在 1 0 中c h a r t 。c o o p e r 和t o h 利用一些t h e m 函数恒等式重新得到一些关于q p ) 的 2 ，4 ，6 ，8 和1 0 次幂的著名的t h e t a 函数恒等式 本文利用下面的t h e t a 函数恒等式 0 1 ( x l r ) 0 1 ( 9 i r ) = 0 2 ( x y 1 2 r ) o a ( z + 9 1 2 r ) 一0 2 ( x + 9 1 2 t ) 如扣一1 2 r ) ，( 11 ) 重新得到一些关于目( r ) 的2 ，4 ，6 ，8 和1 0 次幂的著名的l h e t a 函数恒等式 恒等式( 1 j 1 ) 等价于e w e l l 【1 6 的六重级无穷乘积，e w e l l 利用他的公式给出了将自然数 表成四个三角数和及八个三角数和公式的简单证明，而我们利用此恒等式( 1 1 ) 给出了将自 然数表成两个平方数和，四个平方数和及八个平方数和公式的简单狂明从( 1 1 ) 出发，我 们也重新得到j a c o b i 的著名的恒等式 o ! ( o k ) + 暖( o i r ) = 畦( o i r ) 第一章引言 本文组织如下第二章给出关于j a c o b it h e t a 函数的预备知识；第三章给出了恒等式 ( 11 ) 的证明t 由此得到两个t h e t a 函数恒等式且利用它们重新给出叩2 0 - ) ，矿( r ) ，q 6 ( r ) ，t 7 8 ( f ) 和q ”( r ) 的表示公式；第四章我们利用恒等式( 1 1 ) 重新得到j a c o b i 加法公式从而给出 了将自然数表成两个平方数和，四个平方数和及八个平方数和公式的简单证明结柬本章之 前，我们引入q 升阶乘符号： n - i 扛；q ) o = l ， 0 ；口k = 兀( 1 x q ) ，扛；q ) 。= 1 1 ( 1 一x q 。) 2 第二章预备知识 令g = e “7 ，其中i m ( r ) 0 ，d e d e k i n d se t a - f u n c t i o n 为f 7 ( f ) = q 矗( g ；口) 。 对于任意复数z ，j a c o b it h e t a 函数 3 6 ，p p 4 5 6 - 4 5 7 定义如下： j a c o b i 三重级恒等式为 0 1 ( 。b - ) = 2 9 ( 一1 ) “q n ( n 。- 1 ) s i n ( 2 n + 1 ) 。 n = o o 。 如( z f r ) = 2 口i q n ( n + dc o s ( 2 n + 1 ) z n = o t m 如( ：卜) = 1 + 2 口一c 0 8 2 n z ， 吼( 。1 r ) = 1 + 2 ( 一1 ) ”q 2 c o s 2 n z n = l ( 2 1 ) 矿矿= ( - z q ；q 2 ) 。( 一g z ；q 2 ) 。( q 2 ；q 2 ) 。，( 2 2 ) t i 皇一 可参看 6 ，p p 1 0 利用l a c o b i 三重级恒等式得到j a c o b it h e t a 函数的无穷乘积表达式。 以( ：l r ) = 2 q ( s i n 。) ( 9 2 ；q 2 ) o 。( q 2 e “2 ；q 2 ) o o ( q 2 e 一“2 ；q 2 ) 。， 如( z i r ) = 2 q ( c o s ：) ( q 2 ；口2 ) ( 一矿e “。；矿) o 。( 一q 2 e 一“；9 2 ) ， 如( 2 卜) = ( 矿；口2 ) 。( 一q e 2 4 ；e 2 ) 。( 一q e - 2 a ，9 2 ) 。， 以( z 卜) = ( q 2 ；9 2 ) 。( q e “。；9 2 ) 。( q e - 2 i z ；q 2 ) 。( 2 3 ) 可参看 3 6 。i f p 4 6 2 - 4 6 3 3 第二章预备知识 令z = o ，可以得到如下特殊值： 讲( o 卜) = 2 q 1 1 ( 一l p ( 2 n + 1 ) q “”= 2 q = ( q 2 ；q 2 ) 己， n = o o 。( o l r ) = 2 q 矿“1 1 = 2 ( q 2 ；9 2 ) * ( 一口2 ；矿) 毛， n - o 0 3 ( 0 1 r ) = ，= ( q 2 ；q 2 ) o a ( 一q ；d ) l ， 以( o i r ) = ( 一1 r 矿2 = ( 矿；矿) * ( q ；矿) 蝥， ( 2 4 ) 其中o i ( z l q ) 是0 1 ( 2 i g ) 关于2 的偏导数令z = ：，经简单运算得 口，( 扣= 怕口弛9 6 k 同理 p ，( 扣= 镝慨f ) 一( 一q 4 ；矿) 一 ( 2 6 ) 关于周期和 ，我们有加下函数方程 0 1 ( 。+ 丌i t ) = - 0 l ( z l f ) ，0 2 ( z + i r ) = 一如( ；i t ) ， o z ( z + i t ) = 如乜l f ) ，0 4 ( z + j ，) = 0 4 ( z t ) ， 日2 ( z + 1 2 t ) = q e 4 0 3 ( z 1 2 r ) ，0 3 ( z + 1 2 r ) = q - e 目2 ( z 1 2 r ) ， 0 1 0 + 驯r ) = 一q - i e 一“7 巩( z 愀 ( 2 7 ) 我们将需要下面恒等式【3 3 ，推论2 1l 0 1 ( 。i t ) 如( 。i t ) 吼( 。i r ) = 2 q l ( q 2 ；矿) 乙q n ( 3 n + 1 ) s i n ( 6 n + 1 ) 一 日1 ( z 卜) 如( ；l r ) 以( = l r ) = 一2 毋( q 2 ；口2 ) 蛩q n ( 3 n + 4 ) s i n ( 6 n + 4 ) z ， ( 2 8 ) 4 第三章町( 7 ) 指数次幂的表示 3 1 t h e t a 函数恒等式 引理3 1 没有奇点的双周期函数是一常数( 【3 4 ，p p 4 5 5 ) 定理3 1 0 1 ( x l t ) o i ( v l r ) 一0 2 ( x 一1 2 r ) 如( z + y 1 2 r ) 一0 2 ( x - fy 1 2 t ) 0 3 ( x 一1 2 r ) ， ( 3 1 ) 证明：令 m 湖= 坠地世等耘龋韭幽， ( 3 z ) 则由( 2 ，7 ) ，f ( x ，y ) 满足下列变换关系： 1 ( x + ，g ) = ，0 ，) ， ，扛，+ w ) = f ( z ，y ) f ( x + 2 丌r ，y ) = f ( x ，”) ，f ( x ，y + 2 r ) = f ( x ，p ) 因此，( z ，g ) 是周期为和2 7 r r 的双周期函数 固定y ，f ( x ，) 作为z 的函数，由( 2 3 ) 我们可知z = 0 和z = ”r 是一个周期平行四边形内 唯一可能的极点而且都是单极点 分别令z = 0 和z = 且由( 2 7 ) 得， 0 2 ( - v 1 2 r ) 0 3 ( v t 2 t ) 二e 2 ( y 1 2 * ) 0 3 ( y 1 2 * ) = 0 0 2 ( 7 r r 一j 1 2 r - ) 0 3 ( n l + y 1 2 t ) 一0 2 ( t r r + f 2 r ) 如( r y 1 2 r ) = 0 因此f ( x ，y ) 是一个关于z 的无极点的椭圆函数由引理( 3 1 ) ，( ，y ) 是一个和无关的 椭圆函数对变量y 重复以上过程，我们可得f ( x ，9 ) 是和z ，无关的函数，所咀是一个常 数 在( 3 1 ) 中令z = y = i ，可得 0 = ( 0 1 雨2 z 五) 0 百a ( r 1 2 r ) ：c ， 日 ( 吾l r ) 5 第三章_ ( r ) 指数次幂的表示 化简上式，可得 定理证毕 c = 1 3 2 q ( _ r ) 的4 次幂，8 次幂 本节我们利用( 3 1 ) 和( 3 3 ) 得到一个t h e 协函数恒等式，带入某些特殊值可得到目( r ) 的 4 次幂，8 次幂的表达式 由巩( 圳r ) 和如( 。i r ) 的乘积表示，易证 巩( z i ；) = g 一 口，( z i r ) 以( 。i r i ；8 萎 巩( z f ；) 目( i ；) = q 一 日，( z i r ) 以( 。f r ) 口- ( i r ) 以( yj r , 、( q i 2 1 1 ；- 盟q 2 ) 4 本节主要用到的t h e t a 函数恒等式是下述定理 定理3 2 1 ( 33 ) ( 3 4 ) 2 口击目2 ( 引f ) 妻矿( 抽+ 1 ) 8 m ( 6 n 十1 ) x + 幻 如( 圳r ) 妻q n ( 3 f l + 劬8 i ( 6 n + 4 净 2 赢恚州毋，( 半i 孤芋l 争( 3 s )一石i 五吼p 互尸u r l i 尸n 1 否 u j 证明：在( 3 1 ) 中令z 为山2 ，y 为! 笋，r 为，得到的恒等式和( 3 3 ) 相乘，得 州。i 孤t x + y l 删v 孚i 争r 咖州帕( 咖州r ) 矗 舞 一g 一。p - ( z j r ) 如( 。i r ) 以( z l r ) 如( i r i ：；：薏 在上式中用( 2 8 ) ，可得 2 q s 目：( y l t ) q n ( 3 n + 1 ) s i n ( 6 n + 1 ) x + 2 q ；o a ( y l r ) q n ( a n + 4 ) s i n ( f n + 4 ) x 2 而1 母吓( x + y l r 、口- ( 孚眵2 孤i 瓦“1 川2 2 7 9 1 i 丁l i j 6 第j 章卵( f 滞数次幂的表示 由此定理证毕 在( 3 5 ) 中令。= 警，y = 可得 志巩( 拍州叭羚2 + 化简得 2 扣如( 扣妻矿m 1 3s i n ( 6 n + 1 ) 荨 硝如( 扣妻矿m + 4 ) s i n ( 6 4 ) 警 2 ( 艄蝥= 2 。q 一 一 c o s - - 2 州- q 一访。2 ：, 矿学- u + 。妻 s 筹妻一一t ，咖学 由n 为奇数时c o s= 0 ，n 为偶数时s i n 垒= o 化简上式得 ( 矿；9 4 ) 銎：。q n ( + 1 ) c o s 堕竽妻矿c 一1 ) s i n 堕竽 ( 3 6 ) 由( 3 5 ) 可以得到以下三个定理 定理3 2 2 o o。 4 ( 矿；口2 ) 乞= q n ( n + l ( 饥+ 1 ) 矿m 1 一q ，c 6 n + a ) q ( 3 7 ) 一o 。一 - o o 一 证明：在( 3 5 ) 中对。求一阶导数且令z = o ，可得 2 口击如( g l r ) ( 6 n + 1 ) 矿“+ 1 + 2 q 如( 计r ) ( 6 n + 4 ) 矿“ 5 赢意i 翔l x 当2 1 二、2 ： 在上式中令y = 口。化简可得 4 ( q 2 ；q 2 ) 毛= 矿( ( 6 + 1 ) g 郴”1 ) - q q 一( 6 n + 4 ) 矿啡4 一一一 7 第j 章n c r ) 指数次幂的表示 由此定理证毕 j a e w e l t 【1 2 1 中得到了 z ( 1 一z ”) 4 = ( 6 r + 1 ) 扩 t # 1* e - - - o o 其中七= 七( r ，s ) = 1 + r ( 3 r + 1 ) 2 + s ( 8 + 1 ) 2 而且利用上式给出t r a m a n u j a n 的关于分拆函数p ( m 模五 p ( 5 m + 4 ) 10 ( m v d 5 ) 的一个证明 定理3 2 3 。三( t ) q n ( a n + 4 ；2 掌焘( 一札 ( 3 8 ) 证明：在( 3 5 ) 中令可= 三，由如( 羞i r ) = 0 可得 z 。硫扣互( e t 护删志删t z 0 2 ”t 眵t 由( 23 ) ，( 2 4 ) ，( 2 , 6 ) 代入上式，化简可得定理，证毕 在( 3 5 ) 中对z 求三阶导数且令= y = 0 ，可得矿( r ) 的一个如下表达式 定理3 2 4 或 6 ( q ；q ) s 一一日 如( o f r ) ( 6 n + 1 ) 3 q “3 “+ 1 一q 0 3 ( 0 1 f ) ( 6 n + 4 ) 3 9 ”“+ 4 一 一6 矿( r ) = 口 ( 6 n + 1 ) 3 q 韭啭坚矿“+ ( 6 n + 4 ) 3 口止笔辈( 3 9 ) 阒 此等式就是c h a n ，c o o p e r 和t o h 10 中的s s ( 3 ，0 ) w i n q u i s t 3 7 】中给出7 8 ( r ) 一个表达式 但是没有给出证明，也可以参考ek l e i n 和r p r i c k e 【1 9 】和b s c h o c n e b c r g 【3 2 】 3 3 ? ( f ) 的1 0 次幂 8 苎三皇丛：! ! ! 塾盗茎塑查量 本节我们利用( 31 ) 和( 3 4 ) 得到一i t h e m 函数恒等式，带入某些特殊值可得到q ( r ) 的 1 0 次幂的表达式 定理3 3 1 4 q 嚣( q n ( 3 r , + 1 ) s i i i ( 6 n + 1 ) 力f 矿渐+ q8 j n 鼽+ 4 ) 曲 + 4 q 器( q 临删8 i i l ( 6 n + 4 ) z ) ( 矿( 洲) s 证( 6 n + 1 ) 掣) 2 而1 蕊州弘p ，( 字伽( 孚i ；) 。- o ) 证明：在( 3 1 ) 中令z 为字，p 为! ，r 为；，所得的恒等式乘上( 3 4 ) 得 g 一5 岛。f r ) 如p i ，) 如p l r ) p - ( r ) 如( g l r ) 以国l r i ：；：；： 一g 一。巩( z j r ) 如 1 7 ) 以o f r ) 疗( 掣f r ) 如( 可i r ) 以。r i ：! ：! 竟： = 酬融引孤丁x + y 吵( 三尹】；) 在上式中用( 2 8 7 ，可得 一4 q f f j ( 口柏删s i i l ( 6 n + 1 ) z ) ( 矿( ) m m + 4 ) f ) + 4 岿( 矿”4 ) s i n 渤+ 4 ) z ) ( 矿f 3 1 ) s i n ( 6 n + l m 2 捌靠吣飘也咖( 一a ；- - 9 - r 2 22 22 9 志( 口，曲蛩7 2 “ 由此定理证毕 在( 3 1 0 ) 中对z 求三阶导数对求一阶导且令z = ：0 ，可得 定理3 32 6 p 、州。1 0 = q 瞿( 6 n + 1 ) 3 矿m 删( f i n + 4 ) q 竹+ 4 ) 一 一 庐( 6 n + 4 ) a q 哺( 6 n + 1 ) q 忡叫 ( 3 ，1 1 ) * 。 9 坠2 生生卫塑塑耋重 或 铆1 d ( r ) = ( 6 肼1 ) 3 9 逝磐渤+ 4 ) 叮逝磐 n - - 0 0 p 一( 6 蚰嘴已( 6 + 1 k 娅萨( 3 1 2 ) 此等式就是c h ，c o o p e r 和t o h 1 0 1 中的岛。( 3 ，1 ) b c b c m 札s hc h ，z g “h 和 h y e s i l y u n ( 5 冲给出了( q q 凇的新的表达式 兰* 3 2 ( g ；誉= 9 ( ( 一1 ) “( 2 n + 1 ) 3 q “( 删2 ) ( 妻( 一1 ) n ( 2 1 ) 产州) 一n = 一 一( ( 一1 ) “( 2 n + 1 ) 产1 ) 2) ( ( 一1 ) ”( 2 n + 1 ) 3 矿1 ) 1 6 ) ( 3 1 3 ) * 两且给出了两种不同的证明且利用上式给出了r 且l a l l u j a n 的关于分拆函数p ( n ) 模卜一 p ( 1 l u + 6 ) i0 ( m 耐i i ) 的一个简短证明z r _ g l 抽【2 5 j 中对( 31 3 ) 也给出了种完全不同的有趣证明wc h u1 8 j 也 给出了( q ；q ) 2 的种新的表达式 在( 3r i o ) 中令。= 荨，= ；化简可得 化简可得 一8 岿q n ( 3 ”1 ) s i n塑学。皇产4 ) 8 ；n 塑 2 志州瓠叭拍蹦纵 等爱一。塾帆纽学。叠c 护删 旺柳 3 4 町( 7 | ) 的2 次幂 定理3 4 。 ( 蜘) 嚣= 善q 争) ( 1 + 2 圣尹卜( 产2 + h + ；) ( 1 + 2 妻g 譬) ( 3 - j 5 ) ”o # i n 2 0 蒿 第三章叩( r ) 指数次幂的表示 或 矿( r ) = ( g 掣) ( q “2 ) 一( 9 2 4 等垡) ( q z ”- ) ( 3 1 6 ) ， 4 w n = o n = o2 - - o o 证明：在( 3 1 ) 中，令= ；，f = 誓得 3 ( 以矿) 釜 巩( ；眇，( 警 + 如( ；j 2 r ) 如( ”j 2 订一岛( z j 2 力如( ；j 2 ， 。薹”c o s 垦旦专尘( ，+ z 耋) 。薹p _ “) ( 1 + z 薹芦c o s 警) = ( 产“1 一3 矿”1 鼬”) ( 1 + 2 ) n = d n = 0n = i + 2 口2 “似+ 1 ( 1 一q “2 + 3 q 1 8 一) n - - - - o n = 1 一l 00 = 3 ( q “”1 ) ( 1 + 2 q “2 ) 一3 ( q “”) ( 1 + 2 q 2 矿) 令q 6 为q 化简得 ( 刚) 毛= ( q 孕) ( 1 + 2 q 3 = 2 ) 一( 产2 + “+ 狮+ 2 一) n = 0 ；1n = 0n 2 1 或 矿( r ) = ( 口掣) ( ) 一( g 孥竽) ( 口譬) 1呻 。 n = 0 一 n = 0 由此定理证毕 j ，a e w e l l 1 3 】中得到了 i i ( i z “1 2矿( ”虬z 一1 扩“+ 2 ) 一w p z 一g l i u ( 2 2 伸利用文中得到的一个展开公式也得到( 口；q ) 2 的一个表达式 g ；曲乙= ( - 0 ( 1 一产“) 矿一“剐“”2 n = oj 1 1 护 第三章叼( r ) 指数次幂的表示 此表达式等价于h e k e 的一个恒等式 ( 口；毛= 乏二( 一1 ) q r ：1 ) 一“。一1 ) ，2 m h 2 i m 3 5 ”( r ) 的6 次幂 在( 3 1 ) 中对z 和g 分别求一次导数，且令z = = 0 ，可得 定理3 5 ( 刚) 譬= ( 2 n + 1 ) 2 ，”一口冉”( 2 n ) 2 ， q 2 0n ；1 或 q 6 ( r ) = ( 2 n + 1 ) 2 q 等止，一( 2 n ) 2 ，口骘芷 ( 3 1 7 ) n = o 一l 一 此式就是j ，a e w e l l 1 3 1 中的推论4 ，并且作者利用此式证明了l 抽m a u j a n 的关于分拆函数 p ( n 1 模七的式子 p ( z m + 5 ) i0 ( m o d7 ) b s c h o e n e b e r g 【3 2 给出矿( t ) 另一种形式 以扣；妻妻m ( a t 2 i b ) z 扩t md h i r s c h h o m1 2 7 得到了t 7 6 ( r ) 的另一种形式 8 田6 ( r ) = ( 1 ) 扣+ 4 一州1 0 ( 炉一。2 ) 譬舻+ 俨7 柚 ( 3 ，t 9 ) 目“3 l ( i 。m d 。d1 1 0 0 】) 也可参考h l c h a r t ，s c o o p e r 和p c t o h 【1 0 j 1 2 第四章平方和问题 4 1 t h e t a 函数恒等式 在( 3 1 ) 中令为+ 7 r ，y 为口+ 7 r ，可得 0 2 ( x l r ) 0 2 ( y l r l = 0 2 ( x u 1 2 r ) 0 a ( z + u 1 2 r ) + 如渖+ y 1 2 r ) o a ( z y 2 r ) ( 4 1 ) 由0 1 ( z i r ) 和如( z l r ) 的乘积表示易证 0 1 ( x i r ) 口。扛i r ) = ! ；筹器卺如( z z l 2 r ) ( 4 2 ) ( 3 1 ) 乘上( 4 i ) 令2 r 为f ，由( 4 2 ) 可得 i ! ；巍；( 2 z l r ) 8 t ( 2 口1 r ) = 镌( z 一l r ) 镌( z + 目l t ) 一日；( z + g l r ) 日；( 。一g l r ) ( 4 3 ) 上式中令z 为z + ”，为y - i - ”r 得 一i ! ! ；囊钆( 2 z i r ) 以( 2 i r ) = 篚( z 一目i r ) 目i ( z + i r ) 一鹾( z + i r ) 目；( z 一，i r ) ，( 4 r 4 ) 在上式中令z 为z + j ”可得 一i ! ! ；囊日t ( 2 z i r ) 目t ( 2 9 i r ) = = 。；( z 一目l r ) 目；【z + g l r ) 一p ；( 。+ f i r ) 目；( z 一l r k ( 4 5 ) 结合上面两个恒等式且令z y 为z ，+ y 为y ，可得 鹾( 。l r ) 镌( + 瑶扛f r ) 鹾( 1 r ) = 鳄( z l r ) 鳄白1 r ) + ( z i r ) 日；( y 卜r ) ， ( 4 6 ) 令z = ，得 以( z l r ) + 以( z i r ) = 田( z l r ) + 锯( 刮r ) ， ( 4 7 ) 令。= o ，我们可得j a c o b i 的著名恒等式 镌( o l f ) + 哦( o f ) = 酲( o l r ) ， ( 4 8 ) 1 3 第四章平方和问题 注记：最进。l i u f 2 1 用留数定理得到等式( 4 6 ) 且给出它的许多应用 在( 3 1 ) 中令z = y 可得 田( 驯r ) = 如( 0 1 2 r ) 如( 2 2 1 2 r ) 一0 3 ( 0 1 2 7 ) 0 2 ( 2 x 1 2 r ) ， 在( 3 1 ) 中令$ 为z4 - 2 笋，为+ ! ，可得 如渖一y 1 2 r ) 0 2 - i - y 1 2 j l ) + o s ( z y 1 2 | 7 ) 0 3 ( x - i - y 1 2 1 - ) = 如0 l 下) 如0 卜) 在上式中令，= 0 ，可得 酲( z 1 2 r ) + 镌扛1 2 一= 以( o 卜r ) 以( j f ) 在上式中令。为4 - ，可得 鳄扛1 2 r ) + 畦扛1 2 r ) = 如( o 卜) 以( z i f ) 在( 4 3 ) 中令z = y ，2 x 为z ，可得 誊焘咏咖) 硼。i 棚咖) 硼榔2 ( 0 h ， 在( 4 4 ) 中令z y ，2 x 为z ，可得 一i ! ! ；：整瑶( z i r ) = 蠼( 。l r l 镌( z i r ) 一以( z i r ) 酲( 。i r ) ， 在( 4 5 ) 中= 0 ，可得 i ! ；惫以( 2 z i r ) 以( 。i r ) = 砖( 。i r ) 一口：( zi r ) ， 令为z + ，可得 醮们刺i i r ) - 吼i 巾嘶i 吐 注记：最近，c h a r t ，i d u 和n g 9 1 利用t h e t a 函数循环和得到一个一般恒等式， 得到恒等式( 4 1 1 ) ，( 4 1 2 ) 和( 4 ，1 6 ) ， ( 4 9 ) ( 4 i o ) ( 4 1 i ) ( 4 1 2 ) t 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 令n = 2 可 塑婴生旦型塑一 4 , 2 l a m b e r t 级数 k 1 且是一个整数，令r k ( 。) 表示一个给定自然数n 可以写成个平方和的表示个数 t h c t a 函数( g ) 定义如下 ( g ) = 矿 1 4 1 7 ) 由此羝( n ) 的生成幽裂悬。 扩( q ) = r a ( n ) q ( 4 ，1 8 n - o ( g ) ：0 3 ( o i r ) = q 2 ；目2 ) 。( 一吼矿) 乙， ( 4 t 1 卿 舭q ) 刈0 f r ) = 誊焘， h 利用巩( 。卜) ，如( z l f ) 和0 3 ( 名l ，) 的无穷乘积展开式，我们可得占- ( 。1 r ) r 如( 计r ) 和0 3 ( 。1 7 ) 的 对数导数的三角级数展式 弓1 理4 , 2 1 黔卜m + a 喜番s i n 。n z 秒卜一t a n z + 4 霎筹s i n 。m 和卜t 霎 警咖咖 ( 4 2 证明：对口。捌r ) 的无穷乘积展式求对数导数得 和纱2 i q 严2 k e g _ 护_ ! - ：+ 喜薷 ：c o t z - i - 于2 护砂妻一沙“一妻2 蛔叼“妻矿# = 善2 铲铲。薹产k “一苫2 矿，”薹矿”。5 g l n 5 u ：c o t 。一2 i 手? ：( p “一。一；) = c 眦划亡万( p “盯2 一) ：c手：s m 纰(422)otz+4 = e 南咖纰 竹 第四章平方年i 问题 其中第2 个等式是分别把 l 1 f 黟，f i 孤 用形式幂级数展开，第3 个等式用了交换和号类似的可得到其它几个的对数导数的三角级 数展式，由此定理证毕， 下面我们将得到一个含有l a m b e r t 级数的重要的t h c t a 函数恒等式 定理4 2 i 2 0 塑2 ( y 些j 2 生r ! ) o ! s 垒( 止y 1 2 与r = 赛例打) 一爱口i 2 下) ( 42 3 ) )如”。7 如” 、 证明：在( 3 1 ) 中利用对数求导的方法对z 求一阶导数且令z = 0 磺( o l z ) e 。治；f ) 一【要( 1 2 r ) + 譬( 一# 1 2 r ) 】如( 一引2 r ) 如( f 1 2 r ) 一 赛( 刊2 r ) + 釉2 r ) 川9 1 2 f ) 0 3 ( 邮i r ) 由如( g 2 r ) ，如0 1 2 r ) 是偶萌数；警矧2 下) ，薏( 引2 r ) 是奇函数，化简上式得 j茎黼=瑟(f1202(y12r)oz(y12t2 r ) 一嬖( 1 2 r ) 如如”1 所以定理得证 由如( p 1 2 r ) ，0 3 ( y 1 2 r ) ，研( o i r ) ，8 ( l f ) 的无穷乘积表示及筹( y 1 2 r ) ，惫( 9 1 2 r ) 的级数 展示，化简e 式得 ! 竺丛! ! 兰! ! ：! ! ：兰! 三2 苎f ! 兰：i 2 竺 ( 一；q 4 ) l ( - q 2 e 2 ；酽k ( - q ：e 。；q 2 ) o 。一t a 叭t 霎器咖撕，删， 定理4 2 2 卅m c 刊一。秘导等， 撕w 一z 静南， 证明：在( 4 2 4 ) 中令”；j ，且令矿为口得 等群糍一1 3 十t 薹器1 s m 塑3 ( 一q 3 ；q 3 ) 。( 一g ；口) 。量l + 矿。一 1 6 ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) 兰婴至兰查竺塑壁 苦瓣一z 静器( 一矿；q 3 ) ( 一口；q ) ：；、3 1 + 矿 其中( ；) 是勒让德符号 由( 4 2 0 ) 可得( 4 2 5 ) 再令口为一口可得( 4 2 6 ) ，由此定理得证 4 3 两平方和 g a u s s 在1 8 0 1 年用二次型的方法证明了如下的两平方和公式 定理4 3 证明：在( 4 2 4 ) 中令f = i ， 释糕觥一1 4 + a 薹样- i - 咖塑4( q 4 ；q 4 ) 盈( 一矿；酽) o 。：三l q “ 时舢惴得畿。耋c 皋iq - 一皋1 ， 丝：1 + 4 争f j 竺一j ：) ， ( 一q ，g 您鲁、俨。+ 俨。“ 由以( o i r ) = 考舞言可知 黼h + a 耋( 币q 4 n - 1 一舄) ， 令g 为一g 得 因此可得 、，芒，一。q ”3 、 o i ( o l 垆l 一4 圣( 南而一亡p ) 醒( o r ) = 1 4 = 1 + 4 ( 矿“1 一q 刖“。) k = l 州1 一l 镕怒8 i “， 1 7 ；一 电 丢一 瞎 1 l n 也 第网章平方和问题 比较口，i 的系数可得 r 2 ( 呐= 4 l 一4 1 d ”4 m 担1 m o 出) 自i 3 t m 。d ) 由此定理证毕 c g j j a c o b i 1 8 他给出r 2 ( n ) 的如上表达式，m dh i r s c h h o m 【2 8 】利用j a c o b i 三重级恒等 式也给出了您( ) 的一个证明，s b h a r g a v a 和c ，a d i g a 【7 】利用r a m a n u j a n1 铂求和公式也 给出了一个简单证明 4 4 四平方和 l a g r a n g e 在1 7 7 0 年前第一个证明了l a g r a n g e 定理：任意正整数n 都可以表成四个平方数 的和1 8 2 8 年c gjj a c o b i 【1 8 l 利用椭圆t h e t a 函数的方法证明了如下更强的公式 定理4 4 “( n ) = 8 d ( 4 r 2 8 ) d 4 自o t 高糯s 耋筹 ( q 4 ；q 4 ) 毛( 一9 2 ；9 2 ) 惫鲁1 十萨“ 令4 2 为口化简得 器s 薹鬻1 ， ( 一g ；们岛鲁+ 矿 洲加t + s 0 0 等， 1 8 第四章平方和问题 喇此令q 为- q - j 得 撕) = - + 8 三焉 = - + s 霎竿等+ s 耋羔 = ，+ s 薹号三舅；州。2 n q ，2 “i + s 耋鲁器一s 薹兰暑 = - + s 善而n q 锄耋筹 = 1 + 8 矿【d 一d ”1 “i 0 ： 比较矿的系数可缛 ( n ) = 8 d # 舞k ) 由此定理证毕 s b i m r g a 和c a d i g a l 7 利用r a m a n u j a n l 他求和公式也给出了r 4 ( n ) 的一个简单证明。 m d h i r s c h h o m 2 9 】利用j a c o b i 三重级恒等式也给出了r 4 ) 的一个证明，g h h a r d y 和e m w r i g h t 2 6 j 中给出了算术的证明，g e a n d r e w s 和b c b e m d t l 4 1 中利用r a m a n u j a n 的 椭圆函数理论给出了另一种证明 4 5 ，八平方和 为了得到另一个恒等式，我们需要下面的模变换公式【3 3 ，p p 5 0 4 j 吼( 。步f i 力= ( 一i r ) ”2 2 7 如( 叫订， p l 【z f l 一1 f ) = 一( 一打) e ”7 2 0 1 ( z i r ) ( 4 2 9 ) 在( 4 1 5 ) 中令f 为一l r ，。为。一。且利用上面的变换公式，化简可得下面的t h e m 函数 恒等式 定理4 5 1 如( 2 叫r ) 田( o 卜) 一畦( z i ，) 一砰( z i r ) ，( 4 3 0 ) 1 9 苎婴童! 查塑塑望 利用此定理可得到下面的八平方和定理 定理4 5 2 唯( n ) = 1 6 ( - - i ) “d a 证明：用对数求导的方法对。求四阶导数且令z = 0 ，化简可得 ( 吼卟，= 器 利用( 24 ) 和( 4 2 1 ) 且令2 t 为r 化简可得 黼h 州耋等 因此令q 为一q ，可得 n 为奇数时 撕卜t 州薹羔 = - 哩，( 2 n - i ) 3 q ： - * + t e 子咝1 - q ： 一埔。( 2 n - 1 ) a q 2 - 1 枷妻n = l 鲽 薹年等堋耋车等 = - 枷耋啬。薹车等 = 1 + 1 6 矿d 3 3 2 矿d a n 2 1 d m ”1 ：拯 = 1 + 1 6 矿( 扩一2 d 3 ) 一1 d h ： d 3 2 d 3 = d 3 d ： “h “3 1 ) 第四章平方和问题 n 为偶数时，设n = 2 k d s d 1 2 k 2 d 3 = d 3 + d 3 2 扩 。甾。：鉴。：。也。 = ( 一1 ) 。扩 综上可得 d 3 2 扩= ( 一1 ) ”w 如 ：箍 h 比较扩的系数可得 ( 小= 1 6 ( 一1 ) “扩 d h 由此定理证毕 r s ( n ) 由c g j j a c o b i 1 8 】给出，j - el i n1 2 0 中给出了r s ( n ) 的个初等证明，k s w i l l i a m s 3 5 1 中给出了算术的证明，g e a n d r e w s 和b c b c m d t 4 1 中利用r a m a n u j a n 的 椭圆函数理论给出了另一种证明g e a n d r e w s 【1 】中用6 妒6 给出了r 2 ( 扎) ，r 4 ( n ) ，r s ( n ) 的 一种证明 2 1 参考文献 【1 】g e a n d r e w s a p p l i c a t i o n 3 0 f b a s i ch y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n 。s i a m m1 9 7 4 ，1 6 ，4 4 1 4 8 4 【2 】ge a n d r e w s ，t h et h e o r yo f p a r t i t i o n s , e n c y c l o p e d i ao f m a t h e m a t i c sa n di t sa p p l i c a t i o n s ，a d d i s o n - w e s l e y , 1 9 7 6 【3 】g e a n d r e w s ，s b e k l m da n dd z e r l b e r g e r , as i m p l ep r o o f o f j a c o b i s f o r m u l a f o rt h en u m b e ro f r e p r e s e n t a t i o n s o f o n i m e r g e r a l l 口m 坷弦 r s q u a r e s ，a m e r m a t h m o n t h l y1 0 0 ( 1 9 9 3 ) 2 7 4 - 2 7 6 【4 】g e a n d r e w sa n d b c b e m d t , r a m a n u j a n s l o s t n o t e b o o k p a r t l ，s p f i n g e r , 2 0 0 5 【5 】b c b e r n d t ，s hc h a i i z - g l i u 。a n dh y