（基础数学专业论文）60p阶群的thompson猜想.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 6 0 p 阶群的t h o m p s o n 猜想 基础数学专业硕士研究生张宁 指导老师陈贵云教授，曹洪平副教授 摘要 设g 是一个有限群，仉( g ) 表示群g 的元素阶的集合；啦( g ) = l g g l o ( g ) = 圳表示g 中i 阶元的个数，简记为a i ；p ( c ) = ( q 1 ，口七，) 表示g 的阶型 考虑群的数量关系对有限群结构的影响是有限群论中一个重要课题许多群 论工作者在这方面做了大量的工作如著名的s y l o w 定理，l a g r a n g e 定理，b u r n s i d e 定理等1 9 8 7 年施武杰教授提出了单群的纯数量刻画：仅用有限群元素阶的集合 和有限群的阶来刻画有限单群 j g t h o m p s o n 教授在给施武杰教授的一封信中提出了下面一个猜想： t h o m p s o n 猜想：设g 1 与g 2 为同阶型的有限群，若g 1 可解，g 2 是否可解? 一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群，侧面对t h o m p s o n 猜想进行了研究，得到了一些令人鼓舞的结果( 参见文献【9 】一 1 9 】) ，但是，至今没有 人对j g t h o m p s o n 猜想给出证明，也没有举出反例可见t h o m p s o n 问题的解决 是相当困难的 本文主要讨论了阶为6 0 p 的有限群是否满足t h o m p s o n 猜想，从6 0 p 阶非可 解群的结构入手，通过计算其阶型，得出与6 0 p 阶非可解群阶型相同的有限群必不 可解，也即阶型与6 0 p 阶非可解群相同的可解群不存在，从而有阶型与6 0 p 阶可解 群相同的有限群必可解这里p 是素数最后我们还得出了阶不大于2 0 0 的群满足 t h o m p s o n 猜想的推论主要结论如下： 定理3 66 0 p ( p 为素数) 阶非可解群g ： ( 1 ) 当p = 2 时，必同构于s l 2 ( 5 ) ，岛或a 5xz 2 ； ( 2 ) 当p = 1 1 时，必同构于l 2 ( 1 1 ) 或a 5xz s ； ( 3 ) 当p 2 ，1 1 时，必同构于a 5xz p 定理4 1 1 设i g i = 1 2 0 ，则 j 西南大学硕士学位论文摘要 ( 1 ) p ( g ) = p ( s l 2 ( 5 ) ) 当且仅当g 垒s l 2 ( 5 ) ； ( 2 ) p ( e ) = p ( 鼠) 当且仅当g 筌s s ； ( 3 ) p ( a ) = p ( a 5 易) 当且仅当g 竺a 5 易 定理4 2 1p ( g ) = p ( a 5 z n ) 当且仅当g 笺a 5 历1 定理4 3 1p ( a ) = p ( a s 磊) 当且仅当g 竺a 5x 磊其中p 2 ，1 1 定理4 1 设i g l i = 6 0 p ，其中p 为素数，p ( g 1 ) = p ( g 2 ) ，若g 1 可解，则g 2 必 可解 推论4 1 设i g l i 2 0 0 ，p ( a 1 ) = p ( a 2 ) ，若g 1 可解，则g 2 必可解 关键词：有限群非可解群阶型同构 西南大学硕士学位论文 a b s 到宅a c t i i t h o m p s o n sc o n j e c t u r eo fg r o u p so fo r d e r6 0 p m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o f g u i y u nc h e np r o f h o n g p i n gc a o a u t h o r ：z h a n gn i n g a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n d 丌e ( g ) t h es e to fi t se l e m e n to r d e r s d e n o t e b yq ( g ) = i 夕g l o ( g ) = 训，t h es i z eo fe l e m e n t so fo r d e ri i ng ，p ( c ) = ( 乜l ，q 知，q 。) i sc a l l e dt h eo r d e rt y p eo fg i ti sa ni m p o r t a n ts u b j e c tt os t u d yt h ei n f l u e n c eo nt h es t m 岫eo ff i n i t eg r o u p s b yt h e i rq u a n t i t a t i v ep r o p e r t i e s 。m a n ys c h o l a r sh a v eo b t a i n e dal o to fi m p o r t a n t r e s u l t s f o re x a m p l e ，t h ef a m o u s “s y l o w 8 t h e o r e m ，“l a g r a n g e st h e o r e m 一， “b u r n s i d e st h e o r e m e t c i n1 9 8 7 p r o f e s s o rs h ip u tf o r w a r dc h a r a c t e r i z a t i o n o ff i n i t es i m p l eg r o u p sb yt h e i rq u a n t i t a t i v ep r o p e r t i e s ：c h a r a c t e r i n gf i n i t es i m p l e g r o u p sb yt h es e to fi t se l e m e n to r d e r sa n di t so w no r d e r p r o f e s s o rj g t h o m p s o np o s e dt h ef o l l o w i n gp r o b l e mi nh i sl e t t e rt op r o f e s s o r s h i ： t h o m p s o n sp r o b l e m ：s u p p o s eg r o u p sg 1a n dg 2a r eo ft h es a m eo r d e rt y p e s u p p o s eg ii ss o l v a b l e ，i 8i tt r u et h a tg 2i sn e c e s s a r i l ys o l v a b l e ? s o m eg r o u pt h e o r i s t ss t u d yt h et o p i co fi n f l u e n c eo ft h en u m b e ro fm a x i m a l o r d e ro naf i n i t eg r o u p ，w h i c hi sak i n do fs t u d yo nt h o m p s o n sp r o b l e mi n d i r e c t l y t h e yo b t a i na l o to fg o o dr e s u l t s ( s e e 9 一 1 9 】) b u tt i l ln o w ，n oo n e g e t sa d i r e c tr e s u l t o nt h o m p s o n sp r o b l e m ，e v e nn oc o u n t e r e x a m p l e s oo n ec a ns e eh o wd i f f i c u l t t h o m p s o n sp r o b l e m i s i nt h i sp a p e r ，w em a i l l l yd i s c u s sg r o u p so fo r d e r6 0 ps a t i s f y i n gc o n d i t i o ni n t h o m p s o n sc o n j e c t u r e ，w es t a r ta ts t r u c t u r e so fn o n s o l v a b l eg r o u p so fo r d e r6 0 p ， c o m p u t et h e i ro r d e rt y p e s ，t h e ng e tt h a ti faf i n i t eg r o u ph a st h es a m eo r d e rt y p e w i t han o n s o l v a b l eg r o u po fo r d e r6 0 p ，t h e nt h i sf i n i t eg r o u pm u s tb en o n s o l v a b l e ， t h a ti st os a y , i ti si m p o s s i b l et h a tas o l v a b l eg r o u ph a st h es a m eo r d e rt y p ew i t ha n o n s o l v a b l eg r o u po fo r d e r6 0 p h e n c ei faf i n i t eg r o u ph a st h es a m eo r d e rt y p ew i t h as o l v a b l eg r o u po fo r d e r6 叻，t h e nt h i sf i n i t eg r o u pm u s tb es o l v a b l e a tt h ee n d i i i 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t 0 ft h ep a p e r w eo b t a i nt h a tt h o m p s o n sc o n j e c t u r eh o l d sf o ra l lg r o u p so fo r d e r 2 0 0 w eg e tt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e m3 6l e tgb eaf i n i t eg r o u po fo r d e r6 0 p ，w h e r epi sap r i m en u m b e r t h e n ( 1 ) i fp = 2 ，g 垒s l 2 ( s ) 鼠o r 如易； ( 2 ) i fp = i i ，g 竺l 2 ( 1 1 ) o ra s z l l ； ( 3 ) i fp 2 ，1 1 ，g 星a 5 磊 t h e o r e m4 1 1l e ti g i = 1 2 0 t h e n ( 1 ) p ( c ) = p ( s l 2 ( 5 ) ) i fa n do n l yi fg 垡s l 2 ( 5 ) ； ( 2 ) p ( c ) = p ( 岛) i fa n do n l yi fg 竺岛； ( 3 ) p ( g ) = p ( a 5 z j ) i fa n do n l yi fg 筌a s 易 t h e o r e m4 2 1p ( g ) = p ( a 5x 历1 ) i f a n do n l yi f g 垒a 5xz 1 1 t h e o r e m4 3 1p ( g ) = p ( a 5 z ；) i fa n do n l yi f g 掣a 5 z ，w h e r ep 2 ，1 1 t h e o r e m4 1l e ti g l i = 6 0 p ，w h e r epi sap r i m en u m b e r ，p ( g i ) = p ( g 2 ) ，i f g li ss o l v a b l e ，t h e ng 2m u s tb es o l v a b l e c o r o l l a r y4 1 l e ti g i i 2 0 0 ，p ( g 1 ) = p ( g 2 ) ，i fg 1i ss o l v a b l e ，t h e ng 2m u s t b es o l v a b l e k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p ，n o n s o l v a b l eg r o u p ，o r d e rt y p e ，i s o m o r p h i s m 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：签字日期：年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月 日签字日期：年 月 日 西南大学硕十学位论文 引言 1引言 考虑群的数量关系对有限群结构的影响是有限群论中一个重要课题，许多 群论工作者在这一方面做了大量的工作，如著名的s y l o w 定理，l a g r a n g e 定理， b u r n s i d e 定理等1 9 8 7 年施武杰教授提出了单群的纯数量刻画：仅用有限群元素 阶的集合和有限群的阶来刻画有限单群 对任一有限群g 和任一正整数d ，令c ( d ) = o c l x d = 1 若g 1 与 g 2 为有限群，满足i g l ( d ) i = l c 2 ( d ) l ，d = l ，2 ，则称g 1 与g 2 为同阶型群 j g t h o m p s o n 提出了 猜想1 ( t h o m p s o n 猜想) 设g 1 与g 2 为同阶型的有限群，若g 1 可解，则g 2 一定可解 对这一猜想的研究，目前没有什么好的办法，仅有一些群论专家从侧面进行了 研究如施武杰教授在文献【1 】中提出了 猜想2 设g 为群，日为有限单群，则g 垒h 当且仅当( 1 ) ( g ) = r e ( h ) ，其 中丌e ( g ) 表示g 中元的阶之集；( 2 ) i g i = i 驯 还有一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群，得到了一些 令人鼓舞的结果( 见参考文献 9 】- 【1 9 】) ，侧面对t h o m p s o n 问题进行了研究，有利于 t h o m p s o n 问题的解决，但是，至今没有人对j g t h o m p s o n 猜想给出证明，也没有 举出反例 很明显，若g 1 ，g 2 为同阶型有限群，则丌e ( g 1 ) = ( g 2 ) 且i g l i = i g 2 i ，于是 猜想2 证明后即可得：设g 1 ，g 2 为同阶型有限群，若g 1 可解，则g 2 非单但这离 猜想z 的证明仍很遥远 设g 是一个有限群，丌e ( g ) 表示群g 的元素阶的集合，q t ( g ) = i 9 g i o ( g ) = 训表示g 中t 阶元的个数，简记为a i ；p ( c ) = ( q 1 ，q ，) 表示g 的阶型显 然我们有：g 1 ，g 2 为同阶型群当且仅当p ( c 1 ) = p ( c 2 ) 于是t h o m p s o n 猜想可写为： 设g l 为有限群，p ( g 2 ) = p ( c 1 ) ，若g l 可解，则g 2 必可解 本文主要讨论了阶为6 0 p ( p 为素数) 的有限群是否满足t h o m p s o n 猜想，从 6 0 p 阶非可解群的结构入手，通过计算其阶型，得出阶型相同的两6 0 p 阶非可解群 必同构，也即阶型与6 0 p 阶非可解群相同的可解群不存在，从而有阶型与6 0 p 阶可 解群相同的有限群必可解，最后得出结论：6 0 p 阶群满足t h o m p s o n 猜想文章分为 两大部分进行论证：第一部分利用群的作用得出了6 0 p 阶非可解群的结构，这部分 通过对素数p 的分类分为三个方面：( 1 ) p = 1 1 ，( 2 ) p = 2 ，3 ，5 ，( 3 ) p 2 ，3 ，5 ，1 1 ； 1 西南大学硕士学位论文引言 第二部分根据6 叻阶非可解群的结构分为三个方面进行讨论：( 1 ) p = 2 ，( 2 ) p = 1 1 ， ( 3 ) p 2 ，1 1 主要结论如下： 定理3 66 0 p ( p 为素数) 阶非可解群g ： ( 1 ) 当p = 2 时，必同构于s l 2 ( 5 ) ，鼠或a 5 z 2 ； ( 2 ) 当p = 1 1 时，必同构于l 2 ( 1 1 ) 或a 5 z s ； ( 3 ) 当p 2 ，1 1 时，必同构于a 5x 磊 定理4 1 1 设i g i = 1 2 0 ，则 ( 1 ) p ( a ) = p ( s l 2 ( 5 ) ) 当且仅当g 竺s l 2 ( 5 ) ； ( 2 ) p ( c ) = p ( ) 当且仅当g 皇& ； ( 3 ) p ( c ) = p ( a 5xz 2 ) 当且仅当g 垒a 5 易 定理4 2 1p ( c ) = p ( a 5xz 1 1 ) 当且仅当g 兰a 5 磊1 定理4 。3 1p ( c ) = p ( a 5 乙) 当且仅当g 鲁a 6 磊 定理4 1 设i g l i = 6 0 p 为素数) ，p ( c 1 ) = p ( g 2 ) ，若g 1 可解，则g 2 必可解 推论4 1 设i g l l 2 0 0 ，p ( g 1 ) = p ( g 2 ) ，若g 1 可解，则g 2 必可解 本文中的群均为有限群，常用符号和术语如下： i g i 表示群g 的阶；o ( g ) 表示元素9 的阶；h g 表示日为群g 的子群； h 鱼g 表示子群日是g 的正规子群；亿( g ) 表示g 中元素阶的集合；o h i 表示g 中 i 阶元的个数；p ( c ) 表示g 的阶型；唧表示群g 的s y l o w - p 子群的个数；a u t ( g ) 表示群g 的自同构群；hsg 表示日同构于g 的一个子群；妒( 七) 表示k 的欧拉 函数值；t r ( x ) 表示矩阵z 的迹；2 表示二阶单位矩阵；叼表示组合数；以孑表示排 列数 文中出现的其它未说明的符号和术语都是标准的，参见文献【2 】，【4 】 2 西南大学硕士学位论文 预备知识 2预备知识 我们先给出文中论述所用到的基本定义和定理 定义2 1 s t 每个群g 都至少有两个正规子群，一为群g 本身，一为单位元群 若群g 除这两个正规子群外再无别的正规子群时，就叫g 为单群 定义2 2 n 若群g 有换位群列 g = g o g ， g ， g ( k 1 ) g ( 七) = l ，其中g 0 + x ) = 【g g ( ) 】 我们称群g 为可解群 可解群的性质： 性质2 1 n 可解群的子群和商群都是可解的 性质2 2 1 3 设nqg 若与g n 都是可解群，则g 也是可解群 引理2 1 ( s y l o w 定理) 2 1g 中s y l o w - p 子群的个数唧是l g i 的因子，并且 唧三l ( m o dp ) 引理2 2 ( c 定理) 【2 】设h g ，则n c ( h ) c a ( h ) s a u t ( g ) 引理2 3 ( f e i t t h o m p s o n ) 1 2 奇数阶群必可解 引理2 4 n 设i g l = 2 n ，n 是奇数，则g 必可解 引理2 5 ( b u r n s i d e ) 【2 】设p ，q 是素数，a ，b 是正整数，则矿9 6 阶群必可解 引理2 6 1 3 矿阶群g 必为交换群，且有两种类型，其不变量分别为铲) 和 ，p ) 引理2 7 n 设g 是有限群，则g 为可解群的充要条件是：只有分解i g i = m n 使( m ，n ) = l 时，g 就有阶m 的子群又当g 为可解群时，凡阶m 的子群必共轭 引理2 8 1 z l 矿阶初等交换p 一群g 的自同构群a ( g ) 的阶 i a ( g ) i = p 壶n 似一1 ) ( p 一1 ) 妒一1 ) ( 矿一1 ) 3 西南大学硕士学位论文 第3 章6 0 p 阶非可解群的结构 3 6 0 p 阶非可解群的结构 构造6 0 p 阶非可解群时，我们主要用了群在其子群上的作用、n c 定理等方 法、命题，在给出6 0 p 阶非可解群的结构之前，再给出几个引理： 引理3 16 0 p ( p 1 1 ) 阶群g 非单 证明对p 进行分类讨论： 当p 3 1 时，由s y l o w 定理，g 的s y l o w - p 子群的个数唧= l ，即g 有p 阶正 规子群，群g 非单 当p 2 9 时，考虑阶2 9 的单群，通过查单群a t l a s 表 2 2 】知，只有当p = 1 1 时为单群l 2 ( 1 1 ) 综上可知6 0 p ( p 1 1 ) 阶群g 非单 由参考文献| 8 】及单群a t l a s 表我们还可以得到： 引理3 2 单蜘一群共有8 个：a 5 ，a e ，l 2 ( 7 ) ，l 2 ( s ) ，l 2 ( 1 7 ) ，l 3 ( 3 ) ，u 3 ( 3 ) ，u 4 ( 2 ) ， 阶分别为：2 2 3 5 ，2 3 3 7 ，2 3 3 2 5 ，2 3 3 2 7 ，2 4 3 2 1 7 ，2 4 3 3 1 3 ，2 5 3 3 7 ，2 6 3 4 5 下面我们开始构造6 0 p 阶非可解群由引理3 1 知，只有当p = 1 1 时才存在单 群，情况比较特殊，我们就先来讨论p = 1 1 时非可解群的结构 定理3 16 6 0 阶非可解群g 必同构于三2 ( 1 1 ) 或a 5x 历1 证明若g 为单群，则g 笺l 2 ( 1 1 ) 若群g 非单，可设g 中含正规列1 塑h 宴k 璺g ，其中k h 笺l 为单 群，由引理2 3 - 2 5 ，2 2i i l i ，且l l i = 2 2 3 5 ，2 2 3 1 1 ，2 2 5 1 1 ，再由引理3 2 可 得，i l i = 2 2 3 5 = 6 0 ，l 竺a 5 ，于是g 中的正规列只能是1 翌h 鱼g ，且其中 g h 兰a 5 或h 1 垒a s 若g h 竺a 5 ，则i h l = 1 1 ，考虑g 在日上的作用，由g c 定理，g c g ( h ) 焉 a u t ( h ) ，由引理2 8 ，l a u t ( h ) i = 1 1 1 = 1 0 ，所以l g c g ( h ) i i1 0 ，于是i g ( 日) i = 1 ，2 ，5 或1 0 由于g 的非可解性，i g c a ( 日) l = 1 ，即c c ( g ) = g ，日z ( g ) ，再 由g 的非可解性，h = z ( g ) ，即c z ( v ) 竺a 5 ，i z ( g ) l = 1 1 ，z ( c ) n a 5 = l ，故 g 垡a 5 z ( g ) 垒a 5 磊1 若h 1 皇a 5 ，即h 皇a s ，考虑g 在日上的作用，g c g ( a 5 ) a u k & ) = 鼠， i g c c ( a 5 ) i i6 0 ，由g 的不可解性，i g c b ( a 5 ) i = 1 或6 0 若i g c g ( a 5 ) l = l ，a s z ( g ) ，这是不可能的，故i g c c ( a 5 ) i = 6 0 ，此时i g ，g ( 凡) l = 1 1 ，而a 5 c b ( a ) g ， 且i a 5 - c g ( a 5 ) i = i a , i i c g ( a 5 ) i = 6 0 x 1 1 = 6 6 0 ，故有g 笺a 5 c o ( a s ) 笺a 5 z 1 1 综上就有：6 6 0 阶非可解群g 必同构于l 2 ( 1 1 ) 或a s 五1 ，且当g 既非可解 又非单时必同构于a 5 五1 4 西南大学硕士学位论文 第3 章6 0 p 阶非可解群的结构 下面我们来讨论p 1 1 时6 0 p 阶非可解群的结构 定理3 21 2 0 阶非可解群g 必同构于s l 2 ( 5 ) ，瓯或a 5x 历 证明由1 2 0 阶群g 非单，可设g 中含正规列1 笪h 塑k 璺g ，其中k h 竺l 为单群，l 筌a 5 ，于是g 中的正规列只能是1 璺日鱼g ，且其中a i - i 垒a 5 或 x - i 1 笺a 5 若a h 竺a 5 ，i h i = 2 ，考虑g 在日上的作用，由l v c 定理，g c g ( 日) i g i ，故i g ( a 5 ) i = 3 不成立，因此l c c a ( a s ) l = 6 0 1 c a 5 i = 3 ，g 型a 5xc a ( a s ) 垒a 5 z 3 综上可得1 8 0 阶非可解群g 必同构于a 5x 磊 定理3 43 0 0 阶非可解群g 必同构于a 5x 玩 证明类似定理3 3 的证明即得 定理3 56 叻 2 ，3 ，5 ，1 1 ) 阶非可解群g 必同构于a 5x 磊 证明由于p 1 1 ，由引理3 1 ，群g 非单，于是非可解群g 中含正规列 1 望日璺k 鱼g ，其中k - 垒三为单群，且l l l 5 且z l 或( g 一1 ) 无平方因子；或q = p 为m e r s e n n e 质数； 或q = p = 1 7 ) 当且仅当7 r e ( g ) = 仞，e ( q 一1 ) 的因子；( 口+ 1 ) 的因子) ，其中p = 2 时，= l ；p 2 时，g = 丢 定理4 2 2 设i g l i = 6 6 0 ，p ( g 2 ) = p ( a 1 ) ，若g l 可解，则g 2 必可解 证明若g 2 不可解，则g 2 垒l 2 ( 1 1 ) 或a 5x 历1 1 0 西南大学硕士学位论文第4 章6 0 p 阶群的t h o m p s o n 猜想 若g 2 掣a 5 磊1 ，此时g 2 中无1 5 阶元，与可解群g 1 中含1 5 阶元矛盾，故 g 2 掣l 2 ( 1 1 ) ，由引理4 2 2 ，g 2 竺l 2 ( 1 1 ) 当且仅当7 r e ( g 2 ) = 1 1 ，1 ( 1 1 一1 ) 的因 子； x ( 1 1 + 1 ) 的因子 = 【1 ，2 ，3 ，5 ，6 ，1 0 ，1 1 ，此时g 2 中也无1 5 阶元，与g t 中 有1 5 阶元矛盾 综上有g 2 必可解 最后我们来验证6 0 p0 2 ，1 1 ) 阶群满足t h o m p s o n 猜想 3 6 0 p ( p 2 ，1 1 ) 阶群的t h o m p s o n 猜想 定理4 3 1p ( v ) = p ( a 5x 磊) 当且仅当g 鲁a 5 磊，其中p 2 ，1 1 证明充分性显然，只需验证必要性 当p 3 ，5 时， p ( a ) = p ( a 5 磊) = ( o l l ，o r 2 ，0 1 3 ，0 1 5 ，a s p ，a 5 p ) = ( 1 ，1 5 ，2 0 ，2 4 ，p 一1 ，1 5 一1 ) ，2 0 一1 ) ，2 4 0 1 ) ) ， 若g 可解，则g 有h a l l - 3 ，5 ) 子群日，日为1 5 阶循环群，从而g 中有1 5 阶元，矛 盾，所以g 不可解，于是g 兰a 5x 磊 p = 3 时， p ( c ) = p ( a 5 磊) = ( o l l ，勉，锄，o t 5 ，o r 6 ，c i g l 5 ) = ( 1 ，1 5 ，6 2 ，2 4 ，3 0 ，4 8 ) ， 若g 可解，则g 有h a u - 3 ，5 ) 子群日，且个数q 3 ，5 1 4 ，又由s y l o w 定理，日的 s y l o w - 5 子群的个数n 5 = 1 ，故g 中5 阶元的个数为4 、8 或1 6 ，与0 1 5 = 2 4 矛盾， 故g 不可解，g 竺a 5 历 p = 5 时， p ( g ) = p ( ax 磊) = ( r v l ，o t 2 ，o t 3 ，o t 5 ，q 1 0 ，0 1 1 5 ) = ( 1 ，1 5 ，2 0 ，1 2 4 ，6 0 ，8 0 ) ， 若g 可解，则g 有h a l - 3 ，5 ) 子群日，l h i = 3 5 2 ，且扎 3 ，5 1 4 ，又由s y l o w 定理，日 的s y l o w - 5 子群惟一，设为p ，i p i = 2 5 ，由引理2 6 ，我们分两种情形进行讨论： p = ，l a i = 2 5 ，此时p 中5 阶元的个数为妒( 5 ) = 4 ，从而g 中5 阶 元的个数为4 、8 或1 6 ，与q 5 = 1 2 4 矛盾，此时可得g 不可解，g 笺a 5 磊 p = x ，l a l = 1 6 l b = 5 ，此时p 中5 阶元的个数为2 4 ，从而g 中 5 阶元的个数为2 4 、4 8 或9 6 ，同样与q 5 = 1 2 4 矛盾，于是g 不可解，g 竺a 5 磊 综上就有：p 2 ，1 1 时，p ( g ) = j d ( a 5 名) 当且仅当g 垡a 5 z p 定理4 3 2 设i g l i = 6 0 p ，p 2 ，1 1 ，p ( g 2 ) = p ( g 1 ) ，若g 1 可解，则g 2 必可解 证明这是比较显然的若g 2 不可解，则g 2 垡a 5xz p ，从而p ( g 2 ) = 1 1 西南大学硕士学位论文 第4 章6 0 p 阶群的t h o m p s o n 猜想 p ( a 5x 乙) ，p ( g 1 ) = p ( a 5x 磊) ，于是g 1 笺a 5 磊，与g l 可解矛盾，所以g 2 一 定可解 到此我们就得出了6 0 p 阶群满足t h o m p s o n 猜想的结论，综合定理4 1 2 、定 理4 2 2 及定理4 3 2 有如下结论： 定理4 1 设i g l l = 6 0 p ，其中p 为素数，p ( a 2 ) = p ( c 1 ) ，若g 1 可解，则g 2 必可 解 最后给出一个推论：价不大于2 0 0 的群满足t h o m p s o n 猜想 4 阶不大于2 0 0 的群的t h o m p s o n 猜想 引理4 4 1 1 2 1 】设g 是一个有限群，则7 r e ( g ) = 1 ，2 ，3 ，5 ) 当且仅当g 垒a 5 推论4 1 设l g l i 2 0 0 ，p ( g 2 ) = p ( a 1 ) ，若g 1 可解，则g 2 必可解 证明由引理2 3 - 2 。5 可得阶不大于2 0 0 的群中除阶为6 0 、1 2 0 、1 8 0 的群外 均为可解群，自然满足t h o m p s o n 猜想当阶为1 2 0 、1 8 0 时由定理4 1 可得满足 t h o m p s o n 猜想只需讨论阶为6 0 的情形 i g l l = 6 0 ，若g 2 不可解，则g 2 垒a 5 ，p ( g 2 ) = p ( a 5 ) = p ( g 1 ) ，由引理4 。2 3 ， g 1 竺a 5 ，与g 1 可解矛盾于是阶为6 0 的群也满足t h o m p s o n 猜想 综上有结论成立 1 2 西南大学硕士学位论文 参考文献 参考文献 1 s h iwj an e wc h a r a c t e r i z a t i o no ft h es p o r a d i cs i m p l eg r o u p s a 1 ，g r o u pt h e - o r y p r o c e e d i n g so ft h e1 9 8 7s i n g a p o r eg r o u pt h e o r yc o n f e r e n c e c b e r u n ， n e wy o r k ：w a l t e rd eg r u y t e r ，1 9 8 9 ：5 3 1 5 4 0 【2 】徐明曜有限群导引( 上册) 【m 】北京：科学出版社1 9 9 3 ：3 4 ，5 5 ，6 2 6 3 【3 】张远达有限群构造( 上册) m 】北京：科学出版社1 9 8 2 ：1 8 8 【4 】徐明曜有限群导引( 下册) m 】北京：科学出版社1 9 9 3 ：1 9 3 【5 】5施武杰，关于有限群的“阶”【j 1 ，常熟理工学院学报，2 0 0 5 ，1 9 ( 4 ) ：1 - 5 【6 】陈重穆，施武杰，关于有限单群的若干结果 j 】 科学通讯，1 9 8 6 ，1 1 ：8 7 6 f 7 】施武杰，用阶型刻画单群及有关课题【j 】，数学进展，1 9 9 1 ，2 0 ( 2 ) ：1 3 5 - 1 4 1 【8 】施武杰，关于单j 6 - 群【j 】，西南师范大学学报( 自然科学版) ，1 9 8 8 ，( 3 ) ：1 - 4 【9 】杨成，最高阶元个数不同的有限群【j 】，数学年刊，1 9 9 3 ，1 4 ：5 6 1 5 7 6 【1 0 1g u i y u nc h e na n dw u j i es h i ，f i n i t eg r o u p sw i t h3 0e l e m e n t so fm a x i m a lo r d e r ， t oa p p e a ri n “a p p lc a t e g o rs t r u c t ” 【1 1 】姜友谊，最高阶元素个数小于2 0 的有限群是可解群 j 】，西南师范大学学报( 自 然科学版) ，1 9 9 8 ，2 3 ( 4 ) ：3 7 9 3 8 4 【1 2 】姜友谊，最高阶元素个数为3 2 的有限群是可解群 j 】，河北大学学报( 自然科学 版) ，1 9 9 9 ，1 9 ( 3 ) ：2 1 5 2 1 9 【1 3 】晏燕雄，陈贵云，最高阶元个数为6 8 p 的有限群 j 】，广西科学，2 0 0 5 ，1 2 ( 4 ) ： 2 4 1 2 4 5 【1 4 】姜友谊，最高阶元素个数为2 _ 矿的有限群是可解群【j 】，数学年刊，2 0 0 0 ，2 l ( a ) ： 6 1 6 4 【1 5 】杜祥林，最高阶元个数为卸的有限群 j 】，数学年刊，2 0 0 4 ，2 5 a ( 5 ) ：6 0 7 - 6 1 2 1 6 】姜友谊，钱国华，最高阶元个数为6 p 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