（基础数学专业论文）伪压缩映射迭代序列的收敛性.pdf

西南大学高师硕士学位论文摘要 ! ! 苎皇! 苎鼍詈 n m ,pm, m m - - t 毫! 皇詈苎! 篁鼍苎皇! ! 詈! ! ! 詈! 暑鼍鼍 伪压缩映射迭代序列的收敛性 学科专业：基础数学研究方向：非线性泛函分析 指导教师：邓磊教授研究生：林亨成 摘要 非线性算子的不动点理论和变分不等式理论在数学中已有较突出的地位，其最重要也很 有趣的内容是利用非线性算子理论构造迭代算法，最后证明迭代算法的收敛性鉴于此，本文 从以下几个方面讨论： 1 简述非线性算子理论的历史背景和研究现状 2 介绍和研究了2 。空间中严格伪压缩映射m a n n 迭代序列的弱收敛性 3 。在h i l b e r t 空间中引入和研究了连续伪压缩映射的一新的广义迭代算法，并证明了这类 迭代算法的收敛性 关键词：m a n n 迭代算法严格伪压缩映射广义迭代算法连续伪压缩映 射强正线性有界算子变分不等式 西南大学高师硕士学位论文 a b s t r a c t c o n v e r g e n c et oi t e r a t i o np r o c e s s f o rp s e u d0 c o n t r a c t i o n m a j o r ：b a s a lm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl e id e n g n a m e ：h e n g c h e n gl i n a b s t r a c t f i x e dp o i n to fn o n l i n e a ro p e r a t o rt h e o r ya n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yh a v e b e e np r o m i n e n ti nm a t h e m a t i c s a m o n gm a n ya s p e c t so fi t ，t h em o s ti m p o r t a n t a n di n t e r e s t i n gi st od e v e l o pe f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o d st og e n e r a t ea p p r o x i m a t e s o l u t i o n s t h i sp a p e rw i l ld i s c u s si ti nt h ef o l l o w i n gw a y ： f i r s t l y , t h eb a c k g r o u n da n dc u r r e n ts t a t eo fn o n l i n e a ro p e r a t o rt h e o r yw i l lb e d i s c u s s e d s e c o n d l y , i tw i l li n t r o d u c e sa n ds t u d i e sw e a k l yc o n v e r g e n c et om a n ni t e r a t i o n p r o c e s sf o rs t r i c tp s e u d o - c o n t r a c t i o ni nf ps p a c e t h i r d l y , i tw i l li n t r o d u c e sa n d s t u d i e san e wg e n e r a li t e r a t i v em e t h o df o rc o n - t i n u o u sp s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g si nh i l b e r ts p a c e s k e y w o r d s ：m a n n i t e r a t i v ea l g o r i t h m ；s t r i c tp s e u d o c o n t r a c t i o nm a p - p i n g ；g e n e r a li t e r a t i v em e t h o d ；c o n t i n u o u sp s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g ； s t r o n g l yp o s i t i v el i n e a rb o u n d e do p e r a t o r ；v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：年月 e t 西南大学高师硕士学位论文前言 i l j - 月i j吾 非线性算子迭代算法是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成 部分，尤其是非线性算子方程解的迭代逼近问题已成为非线性泛函分析领域近年来 研究活跃的课题它与近代数学的许多分支有着紧密的联系例如，在应用数学，物 理学及工程上的许多问题都可以转化为非线性算子方程的解( 或非线性算子的不动 点) 问题自上世纪初数学家b a n a c h 使用p i c a r d 迭代方法证实了b a n a c h 压缩映射 原理于是构造一种简单且收敛速度较快的迭代格式使之收敛到非线性算子方程 的解一直是国内外数学家关注的焦点和热衷于研究的核心问题 而自二十世纪六十年代，f i c h e r a p ，s t a m p a c c h i a l 2 ，h a r t m a n ，s t a m p a c c h i a a ， b r o w d e r 4 , 5 】，l i o n s ，s t a m p a c c h i a i s l ，k yf a n t l 等人提出和创立变分不等式基本理论 以来，经过许多数学家的努力，变分不等式的理论及应用日趋完善，现已广泛深入 到力学、物理学、现代化控制、非线性规划、经济与交通平衡、管理科学、运筹 学、优化与控制理论、微分方程问题等诸多领域到目前为止，变分不等式理论己 成为当前数学方法中非常有效的数学工具之一，其应用也不断拓广，形成一个颇具 规模的体系 变分不等式理论中最重要也很有趣的内容也是设计有效的非线性算子的迭代 算法来计算它的解迭代算法主要包括：m a n n 迭代、i s h i k a w a 迭代、n o o r 迭代 熊 寸 1 9 9 4 年，d e n g l f l s l 在l 口空间中研究了非线性李扑西兹强直升映射的i s h i k a w a 迭 代所产生的序列 z 。) 的强收敛性2 0 0 7 年，m a r i n o 和x u i l s 在h i l b e r t 空间中研究 了非线性严格伪压缩映射的m a n n 迭代所产生的序列 z 竹) 的弱收敛性2 0 0 6 年， m a r i n o 和x u l 2 l 】在h i l b e r t 空间中介绍并研究了非扩张映射的一广义迭代格式，且 证明此迭代所产生的序列 z n ) 的强收敛点为一变分不等式的解 本文第一章证明f p 空间中m a n n 迭代序列弱收敛到严格伪压缩映射的不动点 的定理，结果把m a r i n oa n dx u 的结果推广到f 口空间 本文第二章在h i l b e r t 空间中介绍并研究了连续伪压缩映射的一新的广义迭代 格式，且证明此迭代所产生的序列 z n ) ，再一定条件下，强收敛强收敛点为一变分 不等式的解 1 西南大学高师硕士学位论文第1 章l 空间中严格伪压缩映射m a n n 迭代序列的弱收敛性 _ ! ! _ o ! 一i iii!_ 第1 章 易空间中严格伪压缩映射m a n n 迭代序列的弱 收敛性 1 1引言 m a l l n 迭代过程被wrm a n n i s 提出并研究已超过5 0 多年了特别是，对于各， 种非线性算子的m a n n 迭代算法在各种空间中所产生的序列_ 【z n ) 强、弱收敛于对 应非线性算子的不动点的问题有很多的讨论f 2 ，3 ，9 】。1 9 7 9 年，在文献【9 】中，r e i c h s 研究了b a n a c h 空间中非扩张映射t 的m a n n 迭代算法 z n + 1 = + ( 1 一q n ) 死住，绍0( 1 1 1 ) 所产生的序列 z n ) 弱收敛于t 的一不动点 2 0 0 7 年，m a r i n o 和x u 1 6 】研究了h i l b e r t 空间中严格伪压缩映射? 的m a n n 迭 代算法( 1 1 1 ) 所产生的序列 z n ，在条件( i ) 七 1 ，( i i ) 甚o ( 一七) ( 1 一 o t b ) = 。下，弱收敛于t 的不动点 本文将m a r i n o 和x u 的结论，在一定条件下，推广到知空间 1 2预备知识 设x 为f p 空间，c 是x 的一闭凸子集设t ：c - - + g 为自映射，f ( t ) 是映 射t 的不动点集 定义1 2 1 映射t ：c 叶c 称为严格伪压缩，如果存在一常数0 1 ，使得 t z t y l l 2 | i z 一秒1 1 2 + k l l ( z t ) z 一( j t ) y l l 2 , vz ，可c ( 1 2 1 ) 定义1 2 2b a n a c h 空间x 称为满足o p i a l 条件的，如果对于任一弱收敛z o x 的序列 z n ) ，都有 l i m s u pf i z n z o f i l i m s u pi | z n z | i ，vz 2 ；0 ( 1 2 2 ) n + n - - - o o 定义1 2 3 设x 为实b a n a c h 空间，j ：x _ x + 称为正规对偶映象，如果 j ( x ) = z + x ：( z ，z ) = l i x l l 2 = l i z + 1 1 2 ) 引理1 2 1 设x 为知( 1 a l l x l l 2 十p l l y l1 1 2 一p 一1 ) a y i l x 一可1 1 2 ， 比，y x ，z y ( i i ) p = 2 有且仅有 i l a z + p 可1 1 2 = , 入l l x l l 2 + p i i y i l l 2 一( p 一1 ) 入p o z 一可i | 2 ， 比，y x ，z y ( i i i ) p 2 有且仅有 l i 入z + p 可1 1 2 ：q l x l l 2 + p l l y l l l 2 一( p 一1 ) 入p | j z 一可1 1 2 ， 比，y x ，z y 引理1 2 2 设x 为实b a n a c h 空间，则对任意z ，y x 有 i i x + y l i i i x l i + 2 ( y ，歹( z + 秒) ) ， ( z + y ) j ( x + 可) 注1 2 i 引理1 2 1 和1 2 2 的证明分别参考文献【1 1 】和【1 7 】 1 3严格伪压缩映射m a n n 迭代过程 在本节中，我们约定x 为f p ( 1 p 2 ) 空间，c 是x 的一闭凸子集。设t ： g _ c 为严格伪压缩自映射，f ( t ) 是映射t 的不动点集事实上主要结果推广 了 1 6 】中的结论， 定理1 3 1 设j z 忆) 是由( 1 1 1 ) 定义的序列，忌，p ，q n 对任意礼满足： ( i ) 南 蕊1 - k ， ( i i ) 罢o 【一1 ) q n 一纠( 1 一q n ) = o 。， (iii)x(a,+k)2(1-a)2+(1-2a-k+ka)(1-a)(1+k-pa,。)1-2k+ ( 2 k 一3 ) + 则i i x n n ，l i i 0 ，( 礼- - + ) 证明设p f ( t ) ，我们首先证明实序列钏- q l l 单减，于是l i n k 一+ i i x n q l i 存在由引理( 1 2 1 ) 可得 z n + 1 一口1 1 2 = | i nx n g ) + ( 1 o ) ( 儿n 一口) 1 1 2 3 西南大学高师硕士学位论文 1 3 严格伪压缩映射m a n n 迭代过程 口1 l x n g1 1 2 + ( 1 一) l l 孤n g i l 2 一( p 一1 ) ( 1 一) i l 一z l | 2 口n i i x n g i | 2 + ( 1 一o ) ( i i z n 二g i | 2 + k l l x n t x n f l 2 ) 一p 一1 ) 口n ( 1 一) l l x n 一死n | 1 2 = ( 1 i z n g l l 2 一( 1 8 n ) 【( p 一1 ) 5 n k l l x n t x 几1 1 2 ( 1 3 1 ) 由于击，故有l i x n + 1 一q l l 2 i i x n q l l 2 。即删z n g | 1 ) 是单减的从而利 用( 1 3 1 ) 可得 【( p 一1 ) q n 一翻( 1 一) l l z n 一死n i l 2 i i x o - q l l 2 0 0 ( 1 3 2 ) n = o 于是由( i ) 及( 1 3 2 ) 有 l i mi n fl l z n 一乳n l l = 0 ( 1 3 3 ) n o o 下面我们证l i n k - i i x n 一死n l 存在利用引理( 1 2 2 ) ，得 j | z n 一乳n 十1 1 1 2 i i z 住一x n + l i l 2 + 2 ( x n + 1 一z o n + 1 ，j ( x n t x + 1 ) ) l i x n z 叶1 1 1 2 + 2 | i z n + l t x + 1 1 1 1 1 x 一t x 竹+ 1 1 i l i z 竹一x n + 1 1 1 2 + 2 ( 1 一) i i z n + 1 一t z n + 1 1 1 1 1 x 一t x n 0 + 2 1 1 x n + 1 一t x 竹+ 1 | | 2 再由引理( 1 2 1 ) ，计算得 fj z n + 1 一死倌+ 1j j 2 = | j ( 一丁+ 1 ) + ( 1 一口托) ( z 一死n + 1 ) | 1 2 o l i z n t z n + 1 1 1 2 + ( 1 一o ，n ) | l 死n 一乳n + 1 0 2 0 1 ) ( 1 一) | l z n t z n i f 2 o 1 i z n 一+ 1 1 1 2 + 2 ( 1 一口n ) l l x 竹+ 1 一t x n + 1 1 1 1 1 x n 一死n i l + 2 1 1 z n + 1 一t x n + 1 1 1 2 】一( p 1 ) ( 1 一q n ) q n i l z n t 。n l l 2 + ( 1 一o ) ( i f 。忭一x + l l l 2 + k l l ( z t ) z n 一( i t ) x 竹+ 1j | 2 ) q n ( 1 0 f n ) 2 l i z n t z n l l 2 + 2 0 ( 1 一q n ) l l x + 1 一t x , + ll ll l z n 一死竹l i + 2 q 1 l x n + l t z n + 1 1 1 2 一p 一1 ) ( 1 一) q n l l x 竹一t x n l l 2 + ( 1 一) 3 | i z n 一乳n 8 2 + 庇( 1 ) ( 1 f z n 一乳n l l 2 - l - k ( 1 一) j 1 + 1 一乳n + 11 1 2 4 亘南大堂高师硕士学位论文 1 3 严格伪压缩映射m a n n 迭代过程 + 2 k ( 1 一o ) l i z n 十1 一t x n + l l l l l x 住一t x 竹l i ) = f 2 + k ( 1 一) 】f | z n + l 一死n + 1 f | 2 + ( 1 一a 竹) ( 1 - i - - 忌一p ( i n ) l l z 忭一t x n l l 2 + 2 ( + 忌) ( 1 一) i f 一丁z n z 竹+ 1 一丁+ 1 f | 设= l i x n t x n l | ，于是有 【1 2 一k ( 1 一) 】+ 1 ( 1 一) ( 1 + 砖一p o n ) 镌+ 2 ( 1 一) ( + 七) + 1 ( 1 3 4 ) 由于a n ob c ，在( 1 3 4 ) 两边同除以镌，且 设风= + 1 ，可得 【1 2 q n 一克( 1 一) 腭一2 ( 1 一) ( + 忌) 风一( 1 一q n ) ( 1 + k p ) ，o 解此不等式，且用( i i i ) 得 尻! ! 二竺2 些查2 近豆翌亘互受至至歪至巫殛e 重耍叵 1 2 a n k + 后 ! 三一竺n ) ( q n + 忌) - t - 1 2 k + ( 2 k 一3 ) q n + q 三 一 1 2 a 一k + 七n i 、。1 。_ - - - _ _ - _ 一= 因此也有+ 1 ；于是序列【i i x 一t x 1 1 ) 单减 在再由( 1 3 3 ) 得 n 一j m 。i f 一t x i i = 0 从而l 峨一l l z n 一乳nj j 存 定理1 3 2 如果定理( 1 3 1 ) 中的条件满足，且d 是x 的一紧凸子集， 义的迭代序列 z n ) 弱收敛于? 的一不动点 ( 1 3 5 ) 则由( 1 1 1 ) 定 证明由于知空间满足o p i a l 条件( 见【1 8 j ) ，则根据d 的弱紧性就存在 ； c ) 弱收敛于一点p d 下面证明p = t p 假设序列 z 竹) 不收敛于p ，那么就存在子序列 z 哪) 弱收敛于一点q ( g p ) j lq = t q 由( 1 3 1 ) 有j i 。舛l q l l 2 l j z n 。一q l l 2 ，又由x 的o p 谢特性，有 一n m 1 1 z n p l l 2 2 。1 + i m 。慨一p l l 2 恕慨一g i l 2 2 j 1 + i m i i 一口1 1 2 - i m 0 0 一p i l 2 + 。 ， 一 = l i mi | z n 一圳2 ， n o o 矛盾证毕口 5 西南大学高师硕士学位论文第2 章h i l b e r t 空间中连续伪压缩映射的一新的广义迭代算法 第2 章h i l b e r t 空间中连续伪压缩映射的一新的广义 迭代算法 2 1引言 迭代算法是研究变分不等式问题的有力工具，因此许多人建立了各种各 样的迭代算法去研究变分不等式问题在这些迭代方法当中，主要有：m a n n 迭 代、i s h i k a w a 迭代、n o o r 迭代等 最近，文献【2 1 】在h i l b e r t 空间研究了一类非扩张映射的广义迭代过程 娩= 考7 ，( 娩) + ( i t a ) t x t ，t ( 0 ，1 ) ，t - - + 0 ， 和 z n + 1 = a 竹t f ( x n ) + ( i 一a ) r ，佗0 ， 并证明了该迭代算法产生的序列 。n ) 的收敛点为变分不等式 ( ( 7 ，一a 切，z p ) 0 ，2 f ( 即 的解 本文在文献【2 1 的基础上，在h i l b e r t 空间中，引入和研究了一类新的连续伪压 缩映射的广义迭代过程 x n = q n 7 ，( z n 一1 ) + ( i 一口a ) f 磊；，n 0 ， 并证明了该迭代算法生成的序n z n ) 的收敛点为变分不等式 ( ( 7 ，一a 场，z 一功0 ，f o rz f ( 刃 的解 2 2预备知识 设日为实h i l b e r t 空间，c 是日的一非空闭凸子集( ，) 和i | 1 1 分别表示内 积和泛数设t ：c _ c 为自映射，f ( 即是映射丁的不动点集，且f ( 卵非空 a ：h _ h 为线性有界映射 定义2 2 1 映射t ：c - g 称为伪压缩，如果 ( t z t y ，z y ) 1 1 2 秒0 2vz ，y c ( 2 2 1 ) 6 西南大学高师硕士学位论文 2 3 广义迭代算法和变分不等式的解 定义2 2 2 映射t ：c - c 称为强伪压缩，如果存在一常数0 乜 0 ，使得 ( a s ，z ) 卢 l z | 1 2 ，vz ，h ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 引理2 2 1 设h 是- - h i l b e r t 空间，映射p c ：h _ c 是投影映射，比 h ，y c ，则y = r z 当且仅当 z y ，一z ) 0 ，v z c yy v z i z 一，一z ) 2， 引理2 2 2 设 ) 是一非负实序列，满足条件： a n + a ( i 一) + 6 _ ，n 0 ， 其中 ) 是( o ，1 ) 中的序列，如是一实序列，且( i ) 是1 = c o ； ( i i ) l i r a s u p n _ + o 。如0 或墨li 民i o 。 则l i n l 佗_ a n = 0 证明见文献 2 2 】证毕口 引理2 2 3 设日是一h i l b e r t 空间，k 是日的一闭凸子集，f ：k k 一压缩 映射，压缩常数为q ( 0 ，1 ) ，a ：h _ h 为强正线性有界映射，则对0 7 0 ，0 p i i a i i 一1 则i i ，一；a i i l 一印 证明见文献 2 1 】证毕口 2 3广义迭代算法和变分不等式的解 这一部分我们将介绍一类新的连续伪压缩算子的迭代算法问题，并且证明了 该迭代算法强收敛点为变分不等式 ( ( a 一7 f ) p ，p y ) 0 ，y f i x ( t ) ( 2 3 1 ) 7 西南大学高师硕士学位论文2 3 广义迭代算法和变分不等式的解 的解这一部分我们设日为实h i l b e r t 空间，k 是日的一非空紧凸子集 ( ，) 和l | 1 1 分别表示内积和泛数设t ：k - 4k 为连续伪压缩映射，f ( t ) 是映射t 的 不动点集，且f ( t ) 非空a ：k k 为强正线性有界映射f ：k 。k 为李扑西 兹强伪压缩映射 引理2 3 1 设映射形是由 w t x = t t f ( x ) + ( i t a ) t x ，z h 定义的，q ，t ，7 满足条件：( i ) 0 理 1 ，( i i ) t ( 0 ，1 ) 且右 i l a l l _ 1 ，( i i i ) 0 7 鲁 则是强伪压缩映射 证明由定义2 2 1 和2 2 2 有 算法 ( 比z w r y ，z y ) = 0 7 ( ，( z ) 一，( 夕) ) + ( ，一t a ) ( t x 一珊) ，z y ) ，y 口| | z 一3 ，l | 2 + ( 1 一t z ) l l x 一耖1 1 2 = ( 1 二t ( z 一，y 口) ) l | z y l l 2 即帆是强伪压缩映射j 抽 2 3 】磁有唯一不动点，用x t 表示此不动点，则可得 钆= t ，、f ( x t ) + ( j t a ) t x t ( 2 3 2 ) 证毕口 定理2 3 1 设 z j 是由( 2 3 2 ) 定义的序列，乜，t ，y 满足条件：( i ) 0 q 1 ，( i i ) t ( o ，1 ) ，( i i i ) 0 7 笔。则当t - - 4o 时，序列 轨) 强收敛于t 的一 不动点p ；且此不动点为变分不等式 的解即 ( ( a 一7 厂加，p y ) 50 ，y f ( t ) ( 2 3 3 ) p r ( t ) ( i a + 7 f ) p = p ( 2 3 4 ) 证明首先，证明变分不等式( 2 3 3 ) 的解是唯的设p ，g f ( t ) 为( 2 3 3 ) 的 解，则有 ( ( 4 7 i ) p ，p 一口) 0 8 ( 2 3 5 ) 西南大学高师硕士学位论文 2 3 广义迭代算法和变分不等式的解 ( ( a 一，y ，) g ，q p ) 0 将( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 相加，得 ( ( a 一 y f ) p 一( a 一7 f ) q ，p q ) 0 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 再根据4 7 ，( 引理2 2 3 ) 的强单调性，可得p = q 即变分不等式( 2 3 3 ) 的解是 唯一的下面，用p f ( t ) 表示变分不等式( 2 3 3 ) 的解 既然t _ 0 ，不失一般性，假设t i i a i i 由引理2 2 4 有i l j t a i f 1 一邶 取p f ( t ) ，计算得 玩一p | 1 2 = ( ( ，一t a ) ( t x t - p ) + 亡( 7 ，( 玩) 一a p ) ，z t p ) ( 1 一t z ) l l = t - v i i 2 + t ( 7 ，( 兢) 一，y ，) + 7 ，0 ) 一a p ，x t p ) = ( 1 一t p ) l l x t p l l 2 + 亡( ( 7 ，( 鼠) 一t f ( p ) ，z t - p ) + ( 7 f ( y ) 一a p ，x t p ) ) ( 1 一t 卢) i l z t p l l 2 + t 7 q l i z t p i l 2 + t ( 一、f ( p ) 一a p ，z t p ) = ( 1 一亡( 卢一7 q ) ) l i z t p l l 2 + t ( - y f ( p ) 一a p ，z t p ) 于是可得 t ( 卢一7 q ) ) i i z t p i l 2 t l l 7 f ( p ) 一a p l l l l = , - p l l ， 即 1 恢一p i i 志m 白) 一酬 因此 觑：0 t l i a i i _ 1 】是有界的 由于，是一李扑西兹映射，即i i 厂( 砚) 一，0 ) | i l i i z , 一训敬有 f ( x t ) ：t ( 0 ，i i a i i - 1 ) ) 有界由钆= t t f ( x t ) + ( i t a ) t x t 可得 - ( i t a ) t x t = t t f ( x , ) 一z t ， 和 l i ( ，一t a ) t z t l i t y l l f ( x t ) 1 + i l 1 1 则根据 x t ) 和 ，( z 。) 有界，得 ( i - t a ) t x t ) 有界又因为a 是有界的，从而 a t x t 也 有界这就意味着 i _ m u1 1 = t t x t i i2 觋亡l f 7 ，( 玩) 一a t z t i i = 0 - ( 2 3 8 ) 再由于k 是日一紧凸予嵬那么就存在一子序列( z t f l ) c 钆，当nj 0 0 时， t n 一0 ，z t f ioq ，运用( 2 3 8 ) ，有口f 口) 9 西南大学高师硕士学位论文 2 3 广义迭代算法和变分不等式的解 f 回，证明q 是燹分不等式 ( ( a 一7 - 厂功，p 一可) 0 ，秒f ( t ) 的解由( 2 3 2 ) 可得 二t a x , + t y f ( x t ) = ( j t a ) 一( f t a ) t x t ， 于是就有 ( a - ，y ，) 砚= 一昙( ，一亡a ) ( ，一r ) 兢 另外对v y f ( t ) ，计算得 ( ( a 一7 ，) z t ，z t 一) = 一昙( ( ，一亡a ) ( j t ) z 。，x t - y ) = 一i 1 ( ( 一t ) 轨一( j t ) y ，z t 一秒) + ( a ( ，一? ) 娩，z t 一可) ( a ( i t ) x t ，现一y ) ( 2 3 9 ) 再由t 是连续伪压缩映射，有( x - y ，( i - t ) x 一( ，一t ) v ) o ，比，y 日即一t 单 调然后将( 2 3 。9 ) 中的亡换成厶，当r t _ 。时，l 峨一+ o 。( ，一t ) x t 。= ( i t ) q = 0 ， q f ( r ) ，在( 2 3 9 ) 两边同时取极限得 ( ( a 一付) g ，窖一y ) 0 ( 2 3 1 0 ) 即q f ( t ) 是( 2 3 3 ) 的解；由( 2 3 3 ) 解的唯一性可得g = p ，故有钆斗p ( t 。0 ) 另外( 2 3 3 ) 还可写成 ( ( ，一a + ，y ，珍- p ，p y ) 0 ，y f ( t ) 根据引理2 2 1 有 p f ( t ) ( i a + r f 场= p 证毕口 定理2 3 2 设d 豇) 是由 。n = o l n 7 ，( z n 一1 ) + ( i 一口n a ) t x n ，比o k ( 2 3 1 1 ) 定义的序列，a ，口n ，y 满足条件：( i ) 0 口 1 ，( i i ) ( o ，1 ) ，( i i i ) 0 ，y 鲁 则当一0 ( 犯一。) 时，序列 z n ) 强收敛于丁的一不动点p 西南大学高师硕士学位论文 2 3 广义迭代算法和变分不等式的解 证明首先，证明序列 ) 有界取p f ( t ) ，计算得 i l z 付一p l l 2 = ( ( ，一o a ) ( 死n p ) + o ( ，y ，( 一1 ) 一a p ) ，z 竹一p ) ( 1 一q n 了) l l x n p l l 2 + q n ( - f f ( x n 一1 ) 一a p ，z n p ) = ( 1 一q n 3 ) l l x 一p 0 2 + o ( ，y 厂( z n 一1 ) 一7 厂) + ，y ，0 ) 却，x n p ) = ( 1 一q n p ) i l z n p i l 2 + n ( ( ，y ，( z n 一1 ) 一，y ，( p ) ，z n p ) + ( 7 ，) 一却，z n p ) ) ( 1 一q n 3 ) l l x 一p i l 2 + q n 7 q i i z n 一1 一p i z 竹- p l i + o ( ，y ，) 一却，z n 一西 ( 2 3 1 2 ) 由( 2 3 1 2 ) 得 恢一训l l x , , - 1 - p l l + 割17 ，o ) 一却l l = l l x - 1 - v i i + 字訾 ( 2 3 1 3 ) 由( 2 3 1 3 ) 可推出 l l x , , - p l l m 觚 l l z o - v l l ，訾) ， 并且 i i f ( x n ) l i f f 厂( z n ) 一f ( p ) l l + l i f ( p ) 1 口l l z n p l | + l i f ( p ) i f 再由z n = a n t f ( x 竹一1 ) + ( i a n a ) t x n ，有 - ( i 一位n a ) t x 仃= o ，y ，( 一1 ) 一， 和 i i ( j r a n a ) t x n l l a n ，7 1 f ( x n 一1 ) i j + i i z n l | 由以上证明知， z n ) ， ，( 一1 ) ) ， ( j a , a ) t x n ) ， a t x n ) 均为有界序列 让q n 一0 一) ，则有 | l z n 一死n i | = o l n 忡，( 一1 ) 一a t x n i lo0 _ o 。) ( 2 3 1 4 ) 由( 2 3 1 2 ) 得 卢i l z n p l l 2 ，y o f l | z n 一1 一p l l l i z n p l i + ( t f ( p ) 一a p ，z n p ) ) ， 】1 西南大学高师硕士学位论文2 3 广义迭代算法和变分不等式的解 等( 1 i z n 一1 v i i 2 - t - i i x n p 1 2 ) - t - ( ，y ，b ) 一a v ，x n p ) 从而有 忙n 卅 ( 1 一糌) l l - 1 - - p l l 2 + 糌志( 7 f ( p ) 一a p 刊 即 i i 一硎2 ( 1 一) 1 1 一l 一删2 + ， 其中= 业2 5 - 1 a ，= 志( ，y ，p ) 一却，一p ) 显然( o ，1 ) 且器1 = 下证 l i m s u p 0 ， 即 l i ms u p ( - ) 一a p ，z n p ) 0 ( 2 3 1 5 ) 事实上，取 z n ) 的子序列 z n 。) ，那么 l i m s u p ( t f ) 一a p ，z 行一p ) = 1 i m ( ，y ，( p ) 一却，。n 。一p ) n k - - - o o 因为k 是日的一非空紧凸子集， z n ) 有界，所以就一定存在子序列z n 。一可 k 由映射r 及”l l 的连续性，与( 2 3 1 4 ) 有 i l u 一勋i i2 坦赂i i x 竹t t x n , i i = 0 即y f ( t ) 从而由( 2 3 3 ) 有 h m s u p ( t f ( p ) 一a p ，。n p ) = ( ，y ，) 一却，耖一p ) s0 n - - 0 0 则( 2 3 1 5 ) 成立于是引理( 2 2 2 ) 的条件被满足，所以z n - p 证毕口 西南大学高师硕士学位论文结语 结语 本文在以下两个方面得到有意义的结果： ( 1 ) 把严格伪压缩映射的m a n n 迭代序列弱收敛到严格伪压缩映射的不动点理 论推广到乙空间 ( 2 ) 给出了连续伪压缩映射的一类新的广义迭代算法，并证明了该迭代算法的 收敛性，得到一变分不等式的解 这些结果推广了很多文献中的结果，参加f 1 4 ，1 6 ，2 1 1 。 由于时间和精力有限，本文没能对以下问题进行深入研究： ( 2 ) 本文是在h i l b e r t 空间中研究了随机问题和变分包含问题，那么是否能在更 广的空间中来研究它呢? 如：b a n a c h 空间，一般的度量空间等 ( 3 ) 本文是在较多的条件下证明了迭代算法的收敛性，那么能否在较少或较弱 的条件下来证明迭代算法的收敛性呢? 1 3 西南大学高师硕士学位论文参考文献 参考文献 【1 】g f i c h e r a ，p r o b l e m ie l a s t o s t a t i c ic o nv i n c o l iu n i l a t e r a l i ：1 1p r o b l e m a 出s i g - n o r i n ia m b i g u ec o n d i z i o n ea lc o n t o r n o ，a t t e m a c a d n a z l i n c e i m e r e c 1 s c i n a t s e z i a ( 1 9 6 3 6 4 ) ，7 ，( 8 ) ：9 1 - 1 4 0 【2 】g s t a m p a c c h i a ，f o r m e sb i l i n e a r i r e sc o e r c i t i v e ss u rl e se n s e m b l e sc o n v e x e s ，c r a c a d 。s c i p a r i s ( 1 9 6 4 ) ，2 5 8 ：4 4 1 3 - 4 4 1 6 【3 p h a r t m a n ，g s t a m p a c c h i a ，o ns o m en o n l i n e a re l l i p t i cd i f f e r e n t i a lf u n c t i o n a l e q u a t i o n s ，a c t am a t h ( 1 9 6 6 ) ，11 5 ：2 7 1 - 3 1 0 【4 】f e b r o w d e r ，e x i s t e n c ea n da p p r o x i m a t i o no fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rv a r i a t i o n a l i n e a u a l i t i e s ，p r o c n a t l a c a d u s a ( 1 9 6 6 ) ，5 6 ：1 0 8 0 - 1 0 8 6 【5 】f e b r o w d e r ，an e wg e n e r a l i z a t i o no ft h es c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，m a t h a n n ( 1 9 6 7 ) ，1 7 4 ：2 8 5 - 2 9 0 6 】j l l i o n s ，s t a m p a c c h i ag ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，c o m m u p u r ea p p l i e d m a t h ( 1 9 6 7 ) ，2 0 ：4 9 3 - 5 1 9 【7 】f k y , e x t e n t i o n so ft w o f i x e dp o i n tt h e o r e m so ff e ：b r o w d e r ，m a t hz ( 19 6 9 ) ， 11 2 ：2 3 4 - 2 4 0 8 1 8w r m a n n ，m e a nv a l u em e t h o d si ni n t e r a t i o n ，p r o c a m e r m a t h s o c ( 1 9 5 3 ) ， 4 ：5 0 仔_ 5 1 0 9 】s r e i c h ，w e a kc o n v e r g e n c et h e o r e m sf o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g si nb a n a c h s p a c e s ，j m a t h a n a l a p p l ( 1 9 7 9 ) ，6 7 ：2 7 4 - 2 7 6 【1 0 】b h a l p e r n ，f i x e