（工程力学专业论文）轴向运动体系的非线性振动研究.pdf

轴向运动体系的非线性振动研究 工程力学 博士生：黄建亮 指导教师：陈树辉教授 摘要 本文应用多元l i n d s t e d t p o i n c a r 6 ( l p ) 法及增量谐波平衡法( t h e i n c r e m e n t a l h a r m o n i cb a l a n c em e t h o d ，i h b ) 研究轴向运动体系的横向非线性振动。 首先，研究无轴向运动的粱的强非线性振动，应用改进的l p 法分析了梁的 自由振动和在外激励力作用下的基谐波响应、次谐波响应、超谐波响应，并与i h b 法结果比较，证明改进的l p 法的有效性和正确性。 其次，研究轴向运动梁的横向非线性振动，根据哈密顿原理建立轴向运动粱 的横向运动微分方程，利用g a l e r k i n 方法离散方程，再应用多元l p 法分别研究 当外激励力频率q 接近于系统第一阶固有频率q 。、第二阶固有频率：。、第一 11 阶固有频率的 ( 即q 。) 和第一、第二阶固有频率的平均值寺( 。+ 珊：。) 时伴随内 jj 部共振的基谐波响应、次谐波响应、超谐波响应和组合谐波响应，同时也分析有 和没有模态阻尼的差别，从中揭示了丰富多彩的非线性振动现象。 接着，应用i h b 法计算上述各种非线性振动响应问题，并与多元l p 法的计 算结果进行比较，说明两种方法的有效性和正确性。 最后，给出本文工作的结论和对今后工作的展望。 本论文的部分研究成果已在国内外力学类核心期刊上发表或录用待发表。 关键词：轴向运动梁，非线性振动，改进的l - p 法，多元l - p 法，增量谐波 平衡法，内部共振 s t u d yo nn o n l i n e a r v i b r a t i o no f a x i a l l ym o v i n gs y s t e m s e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s n a m e ：h u a n gj i a n u a n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r c h e ns h u h u i a b s t r a c t t h em u l t i p l ed i m e n s i o nl i n d s t e d t p o i n c a r 6 ( l - p ) m e t h o da n dt h ei n c r e m e n t a l h a r m o n i cb a l a n c e ( i h b ) m e t h o da r ee m p l o y e df o rn o n l i n e a rv i b r a t i o na n a l y s i so f a x i a l l ym o v i n gs y s t e m s f i r s t l y , t h em o d i f i e dl i n d s t e d t - p o i n c a r 6 m e t h o di su s e dt o s t u d yt h es t r o n g l y n o n l i n e a rv i b r a t i o n so fb e a m sw i t h o u ta x i a l l y m o v i n g t h e f r e e v i b r a t i o n ，t h e f u n d a m e n t a lr e s o n a n c e ，s u b h a r m o n i cr e s o n a n c e ，s u p h a r m o n i ct e s o n a n c ea r es t u d i e d r e s p e c t i v e l y a l lt h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h o s eo b t a i n e db yt h ei h bm e t h o d t o s h o wt h ee f f e c t i v e n e s sa n da c c u r a c y s e c o n d l y , t h em u l t i p l ed i m e n s i o nl i n d s t e d t - p o i n c a r 6 m e t h o di su s e dt o s t u d y t h en o n l i n e a rv i b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n gb e a m s t h ee q u a t i o no fm o t i o no fa x i a l l y m o v i n gb e a m sa r e d e r i v e db yu s i n gh a m i l t o np r i n c i p l ea n dd i s c r e t i z e db yu s i n g g a l e r k i nm e t h o d v a r i o u sr e s o n a n c es u c ha sf u n d a m e n t a lh a r m o n i c r e s o n a n c e ， s u b h a r m o n i c r e s o n a n c e ， s u p h a r m o n i c r e s o n a n c e ， s u p h a r m o n i c r e s o n a n c e ， c o m b i n a t i o nh a r m o n i cr e s o n a n c e ，a r es t u d i c di nd e t a i l ，w h i c ho c c u r r e dw h e nt h e e x c i t a t i o n f r e q u e n c y qi sn e a rt ot h ef i r s tn a t u r a l f r e q u e n c y 国i o ，t h e s e c o n d f r e q u e n c y 国2 0 ，t h eo n et h i r do ff i r s tf r e q u e n c y 甜l o ，t h eo n eh a l fo f 由l o + 珊2 0 ， r e s p e c t i v e l y f r o mw h i c h ，m a n yv a r i e da n di n t e r e s t i n gn o n l i n e a rp h e n o m e n o na r e a b s t r a c t r e v e a l e d t h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h er e s u l t sw i t ha n dw i t h o u tt h em o d e ld a m p i n ga r e a n a l y z e d a tt h es a l n et i m e t h i r d l y , t h ei h b m e t h o di se m p l o y e dt os t u d ye v e r yr e s o n a n c em e n t i o n e da b o v e t h er e s u l t so b t a i n e db yt h e h bm e t h o da n dt h em u l t i p l ed i m e n s i o nl pm e t h o da r e c o m p a r e d o n e b y o n et os h o wt h ea c c u r a c ya n de f f e c t i v e n e s so f b o t hm e t h o d s f i n a l l y , t h ec o n c l u s i o na n dr e c o m m e n d a t i o na r eg i v e n p a r t so ft h i sw o r kh a v eb e e no rw i l lb ep u b l i s h e di ns e v e r a li n t e r n a t i o n a la n d n a t i o n a l j o u r n a l s k e y w o r d s ：a x i a l l ym o v i n gb e a m s ，n o n l i n e a rv i b r a t i o n ，t h em o d i f i e dl pm e t h o d ， t h e m u l t i p l e d i m e n s i o nl p m e t h o d ，t h ei n c r e m e n t a lh a r m o n i cb a l a n c em e t h o d ， i n t e r n a ir e s o n a n c e m 第1 章引言 第1 章引言 1 1 国内外研究动态 非线性振动是从上世纪二十年代开始迅速发展起来的一门学科，是非线性振 动力学中十分重要的分支。任何振动系统都具有非线性，它们来自系统的物理的， 几何的，耗散的等因素。因此，非线性分析是现代科学基础研究的主要方向之一。 自然界和工程技术中，轴向运动体系十分普遍，它广泛存在于军事、航空航 天、土木、电子、机械和汽车等工程中。具有高速轴向运动的磁带、缆车、电梯 的缆绳、动力传输带、锯片、纺织纱线等等的振动，都是轴向运动体系振动的典 型例子。而根据其振动微分方程阶数的不同。通常分成四阶体系的运动梁和二阶 体系的运动带( 不具有抗弯刚度) 。轴向运动系统的研究在工程中有着重要的应用 价值。例如，在磁带装置中，研究磁带的振动关系到信号的调制及磁带的磨损。 轴向运动体系其振动的激励响应关系、稳定性分析、数值仿真和控制系统设计也 提出了若干个重要问题。许多学者对于轴向运动体系振动的研究十分兴趣，已取 得了一系列的科研成果。国外学者对轴向运动体系横向振动的研究已经有很好的 综述【l ，国内学者对于轴向运动带也有一定的概述【5 1 ，在轴向运动系统的参数 振动问题方面也有研究 6 1 。轴向运动体系的振动分析成为一个活跃的研究领域。 根据轴向运动体系运动微分方程的阶数，通常分成四阶体系的运动梁和二阶 体系的运动带。运动梁具有弯曲变形，运动带不具抗弯刚度。国际上对运动带的 研究，大体上可分为四类。第一类是模态分析，s k u t c h 7 1 ( 1 8 9 7 ) 分析了轴向运动 带的振动，其边界条件是两端无横向位移的情形，其主要工作是利用两个波反向 传播的方法得到了该系统的固有频率。s a c 妒1 ( 1 9 5 4 ) 研究了一端受简谐横向位移 激励时轴向运动带横向振动的响应，由共振关系得到了该系统的固有频率。轴向 运动体系近来越来越多的问题的研究已经有较完整的解决方法。为了避免简单化 的假设，w i c k e t 和m o t e 9 1 ( 1 9 9 0 ) 利用特征函数【1 0 , 1 1 , 1 2 1 来研究轴向运动连续介质的 自由和受迫的线性振动。随后他们利用g r e e n 函数给出了响应的积分表达式，对 模态函数的选取作了改进。轴向运动带端点的弹性对振动固有频率的影响由 第1 章引言 m o t e e 。3 1 ( 1 9 6 5 ) 首先研究。p e r k i n s 和m o t e 1 4 1 ( 1 9 8 6 ) 给出了精确解。p e r k i n s 吲( 1 9 9 0 ) 分别研究了具有多个离散的支承和连续的弹性基础上轴向运动带的自由振动及 对端点简谐运动的稳态响应。w i c k e t 1 6 1 ( 1 9 9 4 ) f f 模态分析的方法研究弹性基础上 的轴向运动带，讨论了自由振动和对端点的简谐运动和运动体系上的一点简谐激 励的稳态响应。z h u 和m o t e t t l ( 1 9 9 5 ) 研究了受一单侧约束时轴向运动带对任意分 布力和边界激励的瞬态响应，采用模态分析的方法，在刚性约束和柔性约束的情 况，分别导出描述系统振动的时滞方程和时滞积分方程，后者在不计约束惯性时 可退化为时滞微分方程。c h e n “( 1 9 9 7 ) 研究了受静态载荷约束系统参数对轴向运 动带横向振动频率的影响。轴向运动体系的线性振动已研究的比较透彻。然而当 其横向位移较大或轴向运动速度较大的情况，得到的频幅响应等就失效了。而在 定性方面，如果只采用线性振动原理，那么就解释不了跳跃现象( a m e s 等i 悖1 1 9 6 8 ) 和三维空间的回旋运动( a m e s t l9 1 ，1 9 6 8 ；s h i h 2 0 l ，1 9 7 1 ；s h i h 2 1 1 1 9 7 5 ；m a c k 2 2 1 ，1 9 5 8 ) ， 此时只能应用非线性振动理念来分析。m o t e t 2 3 1 ( 1 9 6 6 ) 首先提出轴向运动体系的非 线性振动问题，分析轴向运动带的非线性振动，强调了当轴向运动速度变大时， 张力变化的重要性，指出线性振动分析只限于张力较大，速度小的问题。b a p a t 和s r i n i v a s a n 2 4 1 ( 1 9 6 7 ) 利用谐波平衡法分析了轴向运动带横向非线性振动的频 率，t h u r m a n 和m o t e 2 5 1 ( 1 9 6 9 ) 首先建立完整的轴向运动带的非线性运动方程。 s i m p s o n 2 6 1 ( 1 9 7 3 ) 在研究轴向运动体系中，建立在欧拉坐标中的能量法作为控制 方程，在解离散方程时得出了特征函数。k i m 和t a b a r r o k 2 7 1 ( 1 9 7 2 ) 应用特征值的 方法解决轴向运动带的非线性振动问题。这些早期的工作主要说明了线性振动模 型的局限性，并采用了非线性模型来修正数量关系及解释非线性现象。而近来的 研究专注于非线性问题特殊方面的研究，如近似解析方法、离散方法及非线性现 象。第二类为特定的系统的研究，s c h a j e r 2 8 l ( 1 9 8 4 ) 给出弹性支承小孔间轴向运动 带的固有频率和模态的近似解，b h a t 等【2 9 j ( t 9 8 2 ) 采用有限差分方法将弹性支承小 孔间轴向运动带的运动方程离散化，然后用数值方法求得振动。u l s o y 掣3 0 1 ( 1 9 8 5 ) 研究了带张紧轮的动力传输带参数共振的稳定性，建立了考虑带与轮耦合并计及 阻尼因素的数学模型，用空间和时间的有限差分进行数值求解，实验结果证实存 在轴向力周期涨落导致参数振动的不稳定。z h u 和m o t e t m l ( 1 9 9 4 ) i j 院了轴向运动 带附加一质量- 弹簧阻尼振子的情形，导出了耦合系统相互作用力满足的时滞积 2 第1 章引言 分，微分方程，并进行数值求解。第三类是参数激振及稳定性分析，s w o p e 和 a m e s 【3 2 1 ( 1 9 6 3 ) 用轴向运动带为力学模型讨论纺织工业中纤维线不稳定的问题， 他们分析了波在运动介质中的传播，发现波的传播速度与轴向运动速度相等时出 现发散不稳定。a l l i e s 和v i c a r i o 3 3 1 ( 1 9 6 9 ) 年j j 用特征值的方法得出了临界速度对系 统的影响。还有a n a e s 等【3 4 ( 1 9 7 0 ) 等都涉及到了轴向运动的临界速度对系统的影 响问题。m o t e 3 5 1 ( 1 9 7 5 ) 3 ：- 析了轴向运动绳的运动速度加速时的稳定性问题。 m a h a l i n g a m 3 6 1 f 1 9 5 7 ) 研究动力传输链的振动，由于齿轮上的链为多边形，而非理 想的圆形，轴向运动链在两端边界受到同频异相横向位移激励的作用，用叠加的 方法可以得到系统的响应，他还在计及阻尼时发现共振振幅随纵向速度减小，与 实验结果一致。u l s o y 等 3 7 1 ( 1 9 8 5 ) 研究了带张紧轮的动力传输带参数共振的稳定 性。第四类为其它相关课题的研究，比如考虑轴向运动梁在运动过程中的能量变 化的分析，w i c k e r t 和m o t e 3 8 1 ( 1 9 8 9 ) 考虑了能量变化而得到运动带的机械能的变 化与边界值的关系，及每个模态的机械能变化，他们的结果也可以推广到变速轴 向运动的情形。l e e 和m o t e 3 9 1 ( 1 9 9 7 ) j 蝴t t 更一般的分析和数值验证。 对于四阶体系的轴向运动梁的研究，大体上也可以分为三类。第一类也是模 态分析，对于早期轴向运动梁的研究主要是线性的、横向的振动、简支 e l u e r - b e m o u i l i 梁或固支的e l u e r - b e m o u i l i 梁h 0 4 3 1 。n e l s o n 4 3 1 ( 1 9 7 9 ) 研究了在两端 固支的情况下的固有频率和振动模态。轴向运动梁其运动是产等相的，但是由于 梁是分散体系的，在不同的临界传输速度每个振动模态所体现出来的稳定性也是 不一样的。m o t e 分别在( 1 9 6 5 ) 【1 3 1 、( 1 9 6 6 ) 1 2 3 1 把锯片模型化为简支的运动梁，其张 力跟传输速度有关。另外一个是侧面振动的分析，a l s p a u g h m l ( 1 9 6 7 ) 分析了在集 中的边缘力作用下轴向运动粱的纯扭转振动并得出频率与载荷的关系。然而如果 忽略了扭转与横向之间的耦合，那么得到的力学模型是明显错误的，用解耦来分 析的话，就会过高地测得临界屈曲荷载 4 5 , 4 6 1 。另外m o t e 4 7 1 ( 1 9 6 8 ) 指出如果在运动 梁的屈曲分析中疏忽锯带的张力和轴向运动会得到错误的稳定性分析。轴向运动 梁的第二类问题是线性参数激振及其稳定性，n a g u l e s w a r a n 和w i l l i a m s 4 8 ( 1 9 6 8 ) 用静止梁本征函数进行4 阶g a l e r h n 展开发展了确定参数共振不稳定区的数值方 法。d o y l e l 4 9 1 ( 1 9 6 9 ) 十和l a i 5 0 1 ( 1 9 7 1 ) 研究了具有周期张力变化参数激振的运动梁的 稳定性，m o t e 4 7 1 ( 1 9 6 8 ) 分析了具有周期性的边缘荷载的运动梁的稳定性。轮子的 第l 章引言 离心率、梁的刚度的变化、紧带轮或是摩擦力都会产生周期的轴向张力。而k o z i n 和m i l s t e a d 5 t l ( 1 9 7 9 ) 研究了随机张力变化的参数激振的运动粱的稳定性，k o z i n 5 2 1 ( 1 9 9 7 ) 也是在随机张力的隋况下分析了运动薄梁的情况，在这其中他们删掉在运 动方程中具有陀螺性质的加速项。然而w u 和m o t e 【5 副( 1 9 8 6 ) t 旨出在分析稳定性的 时候保留这种加速项是必要的。具有边缘荷载的简谐振动会激励简单的扭转的参 数内部共振，并且因为轴向运动和扭转运动之间的耦合，就会发生联合共振的不 稳定。通常情况下，发生不稳定时联合共振的外激励力频率要比在简单的扭转力 作用下的外激励力频率的低。第三类为其它相关研究课题，包含了能量分析，如 前面所提到w i c k e r t 和m o t e ( 2 1 ( 1 9 8 9 ) 的运动带的能量变化情况，也适用于轴向运 动梁的能量变化情况。还有b a r a k a t 5 4 1 ( 1 9 6 7 ) 自e t t 向运动粱横向振动的能量变化。 另一种是t a l e b 和m i s r a t 5 5 1 ( 1 9 8 1 ) 的运动梁与流体的相互作用的动态研究。最后是 实验的分析，m o t e 和n a g u l e s w a r a n l 5 6 1 ( 1 9 6 6 ) 对于运动梁振动的理论与实验分析相 结合的研究。d o y l e 和h o r n u n g 【4 卅( 1 9 6 9 ) 对v 形运动粱的横向振动的实验分析。 轴向运动粱的其中一个研究热点是一端带有质量的伸展梁，其结构为一端 固支另一端为自由型( 即悬臂) 。这种动力学模型在许多工程领域里得以应用。例 如空间伸展结构 5 7 , 5 s 、印刷机器里的输纸器【s 9 】、自动化机械工具等。l i p s 和md i 6 0 1 ( 1 9 7 8 ) 研究了在一定的传输速度下的横向振幅。t a b a r r o k 等( 1 9 7 4 ) 以牛顿第二 定律和l a g r a n g i a n 函数建立了伸展梁的横向与纵向相耦合的非线性动力学模型。 s t y l i a n o u 和t a b a l t o k 6 2 , 6 3 l ( 1 9 9 4 ) 以有限元模型分析梁的运动及其稳定性问题。 f u n g 和l u 岬1 ( 1 9 9 8 ) 以t i m o s h e n k o 梁、e u l e r - b e m o u l l i 梁、简单柔性梁和简单刚 体运动等几种模型建立梁的非线性运动方程。a i b e d o o r 和k b u l i e f 6 5 1 ( 1 9 9 6 ) 利用 多尺度法给出非线性方程的一个近似的解析解，并与模态法的数值解作了比较。 李山虎等( 6 6 1 ( 2 0 0 2 ) 根据e u l e r - b e m o u l l i 梁理论和牛顿第二定律也做了相近的工 作。 1 2 非线性振动的研究方法 轴向运动体系的振动属非线性振动，研究非线性振动的方法很多。一般来说， 对非线性微分方程要得到准确的解析解是非常困难的。到目前为止，只有极少数 非线性方程得出了严格的解。为了得出这些非线性方程的近似周期解，发展了许 4 第1 章引言 多定量方法。这些方法可分为三大类：谐波平衡法，摄动法和等效线性化法。上 述类型中的方法都有自己的特点，在各种不同的应用中既有自己的优点但也有不 足的地方，根据具体的应用将各种方法在本节里加以介绍。 1 2 1 谐波平衡法( h a r m o n i cb a l a n c em e t h o d ) 谐波平衡法的思想就是把周期解展开为具有几个谐波的f o u r i e r 级数，把它 们代入原始的控制方程里，并令方程的两边相同谐波的系数相等，褥到一系列以 f o e r 级数的系数为未知量的非线性代数方程，求解微分方程化为求解代数方 程。在早期，h a y a s h i1 6 7 1 ( 1 9 6 4 ) ，j o r d a n 和s m i t h 醯1 ( 1 9 7 7 ) ，n a y f e h 和m o o k t 6 9 1 ( 1 9 7 9 ) 描述了其正确的作法。为了解这些含有谐波系数的非线性代数方程，许多学者作 了大量的工作，包括了迭代方法或n e w t o n r a p h s o n 方法。d o o r e n l 7 0 l ( 1 9 7 1 ) 提出 在谐波平衡法中应用迭代技术的典型例子。而更多的学者则是利用 n e w t o n r a p h s o n 方法的谐波平衡法( 简称，h b n r 或g n r ) ，如c h i a 和 p r a b h a k a r a 7 1 1 ( 1 9 7 8 ) 应用这种方法分析了四边形薄板的非线性振动， t o n g u e l 7 2 j f l 9 8 4 ) 在研究旋翼飞机的极限环特征里使用了这种方法，c h e t m g 和i u 7 3 1 ( 1 9 8 8 ) 绘出了这种方法的显式表达式，l e u n g 和f u n g 7 4 , 7 5 1 ( 1 9 8 9 ) 1f u n 9 1 7 6 1 ( 1 9 8 9 ) 利用这种方法分别考查了d u f t i n g 方程，框架、纺织结构几何非线性振动，系统 的分叉等，d u n n 和d u g u n d j i l 7 7 1 ( 1 9 9 2 ) 利用这种方法分析了悬臂翼的非线性颤振 和分叉问题，k i m 和d u g u n d j i l 7 8 ( 1 9 9 3 ) 也在这种方法的基础上分析了合成动叶片 的非线性空气弹性变形的振幅问题，b l a n k e n s h i p 和k a h r a m a n i 丹1 ( 1 9 9 5 ) 通过这种 方法解决机械振荡器的参数激振的稳态受迫响应，郑小平等( 1 9 9 7 ) 利用谐波平 衡法计算局部非线性运动系统的稳态响应。 l a u 和c h e u n g 引( 1 9 8 1 ) 发展了增量谐波平衡法( i h b 法) ，在非线性系统的周 期和半周期振动分析中开创了另外一个研究路线。增量谐波平衡法成功地应用于 一系列的非线性结构振动中以及相关的问题中，如梁的非线性振动( c h e u l g 和 l a u 【3 2 】，1 9 8 2 ) ，板( l a u ，c h e u n g 和w u m l ，1 9 8 4 ) ，和壳( l a u 和c h e u n g 8 4 1 ，1 9 8 6 ) ，多 层组合粱( i u ，c h e u n g 和l a u i 鲇l ，1 9 8 5 ) ，夹层板( i u c h e u n g l 8 6 1 ，1 9 8 6 ) ，非线性结构 体系的近周期振动分析及柱不稳定分析( l a u ，c h e u n g 和w u 8 7 , 8 8 1 1 9 8 2 1 9 8 3 ) 。 板的动态不稳定分析( p i e r r e 和d o w e l l l 8 9 】，1 9 8 5 ) ，干摩擦阻尼系统( p i e r r e ，f e r r i 和 第l 章引言 d o w e l l l 9 0 1 1 9 8 5 ；f e r r i 和d o w e l l 9 “，1 9 8 8 ) ，三次非线性系统( c h e u n g ，c h e n 和 l a u 9 2 1 ，1 9 9 0 ) ，h o p f 分叉和极限环( l a u ，y t t e n 9 3 l ，1 9 9 1 ) ，分段线性系统的非线性振 ( l a u z h a n g 9 4 i ，1 9 9 2 ) ，耦合的d u f f i n g 振荡器的非线性振动分析( l e u n g 和 c h u i 9 ”1 9 9 5 、，具有干摩擦的平带驱动器的非线性周期振动( l e a m y 和 p e r k i n s 9 “1 9 9 8 ) ，在有参数激振和时间迟滞的非线性系统里的周期响应和混沌 ( r a g h o t h a m a 和n a r a y a n a n 97 1 ，2 0 0 2 ) 。可以看出增量谐波平衡法已越来越广泛地 应用非线性振动分析中。 i h b 法最大的优点在于它不仅能分析弱非线性振动，而且也能分析强非线性 振动。该法是一个半解析半数值的方法，有解的解析表达式，但表达式的系数由 数值方法来确定。因此是可以得到满足使用者预先给定精度的解。 但是，i h b 法也有缺点，在应用i h b 法求解时，必须给定迭代的初值，如果 初值选得不好，将会影响收敛的速度。所选谐波项数没足够多的话，也将会影响 解的精度。 1 2 2 摄动法 摄动一词起源于天文学，通常指天体在某一引力场中的周期运动轨道受到其 他天体影响所产生的小扰动。经建立严格的数学理论后，摄动法被广泛地应用到 自然科学的各个领域去，上个世纪五十年代开始，力学学家应用它来研究各种力 学问题。摄动法的主要思想是解的形式或其它所要求的值表达为小参数占的幂级 数展开，通过比较占的同一幂次项的系数，原来的非线性微分方程就可转化为一 系列可解的线性的常微分方程或偏微分方程。m i n o r s i c y 9 8 1 ( 1 9 6 2 ) 在他非线性振动 的书中描述了摄动技术的主要应用和理论，n a y f e h 眇1 ( 1 9 7 3 ) 在他的书中包括了近 所有的摄动技术，并指出它们的异同、优点及不足的地方。n a y f e h 和m o o k 6 9 i ( 1 9 7 9 ) 将摄动法进一步推广到多自由度的系统中。而摄动法主要分为两大类。 在摄动技术中，最先和最基本的是l i n d s t e d t p o i n c a r 6 ( l p ) 方法，这个方法首 先由l i n d s t e d t 1 0 0 】( 1 8 8 2 ) 提出，后p o i n c a r 6 1 0 1 1 ( 1 8 8 6 ) 的周期性理论使这种方法的 应用更有理论基础。这种方法的主要思想是将频率脚也展开为占的幂级数，使得 在求非线性振动问题时，其解避免出现久期项。l i g h t h i l l 1 0 2 1 ( 1 9 4 9 ) 将l p 方法推 广，提出对久期项的自变量进行坐标变换的方法。后来郭永怀( 1 0 3 , 1 0 4 1 ( 1 9 5 3 ，1 9 5 6 ) 6 第1 章引言 进步修改后将其应用于粘性流体力学，因此钱学森m 5 1 ( 1 9 5 6 ) 将这类方法统称 为p l k 法( p o i n c a r 6 一l i g h t h i l l k u om e t h o d ) 。 然而传统的l p 法只适用于弱非线性振动的分析，当分析强非线性振动时， 它就失效了。为了能将l - p 法的思想应用于强非线性振动里，陈树辉1 0 6 1 ( 1 9 9 0 ) 提出了改进的l - p 法，后c h e u n g ，c h e n 和l a u b 0 7 1 ( 1 9 9 1 ) 应用于单自由度系统， 之后陈树辉和张佑启 1 0 8 , 1 0 9 1 ( 1 9 9 6 ) 又将它应用二自由度系统和研究同时含有两 次、三次非线性系统。唐驾时和尹小波1 1 0 1 ( 1 9 9 6 ) 利用它来分析一类强非线性振动 的分叉，之后唐驾时j ( 2 0 0 0 ) 又利用它求强非线性系统次谐共振解。l a u 1 1 2 1 ( 1 9 8 9 ) 提出一个多元摄动法，该法把l p 方法推广到多自由度的系统，通过引进新变量 来表示不同的尺度，它们可以是不同量级的尺度，也可以是同量级的尺度，所以 把它称为多元l - p 方法。陈树辉等】( 1 9 8 9 ) 又用它分析拟周期振动，内部共振问 题。 多尺度法是五十年代后期发展起来的求方程近似解析解的方法。n a y f e h ( 1 9 7 3 ) 将多尺度法归纳为三类：( 1 ) 多变量展开法( 或导数展开法) ：( 2 ) 薅变量展开 法；( 3 ) 推广的多尺度法( 或非线性多重尺度法) 。第一类方法已经由 s t u r r o c k t u 4 ，u 5 1 ( 1 9 5 7 1 9 6 3 ) f r i e m a n t “6 1 ( 1 9 6 3 ) ，n a y f e h 7 1 ( 1 9 6 5 ) 和s a n d r i t l 8 1 ( 1 9 6 5 ) 所发展。它的主要思想就是引进新的时间变量l = f ，其中g 是小参数，那么 变量z 是时间f 的函数变为瓦，耳，疋，的函数，所以对于时间f 的导数变为 芸= 旦o r o + s 嘉+ e 2 昙+ ，可理解为导数象应变量一样，展开为小参数的幂级 数，得到一个一致有效的展开式。因此，把这个方法称为导数展开方法。多尺度 法的第二类是由c o l e 和k e v o r k i a n n 9 1 ( 1 9 6 3 ) 引进的，m o r r i s o n 【1 2 0 1 ( 1 9 6 6 ) 证阴了这 个方法等价于二阶平均值方法。它主要的观点是引进两个时间尺度。第三类方法 是前两种方法的推广，n a y f e h t 比1 1 ( 1 9 6 7 ) 利用渐进序列a o ( e ) 代替s 的幂级数，那 么= 玩( 占) ，利用假定瓦= 瓯( s ) 岛【以( s ) 妇，其中t ( e ) 是另一渐近序列，它对 于线性或非线性时间尺度同样适用，这个方法由k u z m a k 瞳2 1 ( 1 9 5 9 ) ， m a h o n y l l 2 3 1 ( 1 9 6 2 ) 和n a y f e h 1 2 4 1 ( 1 9 6 5 ) 几个学者所发展。 多尺度法虽然应用起来比较繁琐，但它相对于传统的l p 法颇为有效，因而 7 第l 章引言 发展很快，自六十年代开始在许多领域，如物理，工程和应用数学里得到广泛的 应用。陈树辉【1 0 6 1 ( 1 9 9 0 ) 概述t 多尺度法之前的应用。近来这个方法被应用于 a b d e l h a f e z 【1 ( 2 0 0 2 ) 含有二次，三次，四次的非线性项的振动系统z h a o 1 2 6 1 ( 2 0 0 2 ) 等的弹性索的二维模型的非线性振动分析，e 1 b a s s i o u n y 1 2 7 ( 2 0 0 3 ) 分析了含有三 次非线性项简谐激励的振动系统里三个模态的相互作用，a r a f a t 和n a y f e h 【i ”1 ( 2 0 0 3 ) 研究的悬索的非线性振动，李欣业，陈予恕【1 2 9 1 ( 2 0 0 4 ) 等的多自由度内共振 系统非线性模态的分岔特性。 摄动法的另一大类为k b m 法，v a nd e rp o l 根据常数变易法的思想，提出以 s = 0 时谐波解的正弦和余弦项的两个常数缓慢变化作为弱非线性系统的近似 解。k r y l o v 和b o g o l i u b o v b 3 0 l ( 1 9 4 7 ) 以谐振解的振幅a 和相位角臼作为变化的系数， 并展开为s 的幂级数，还将弱非线性系统的展开为g 幂级数的各阶渐近解作为变 化系数振幅a 和相位目的函数，从而可得高阶的渐近解。后来，b o g o l i u b o v 和 m i t r o p o l s k i 1 3 h ( 1 9 6 1 ) 给出了严格的数学证明，故称为 k r y l o v b o g o l i u b o v m i t r o p o l s k y ( k b m ) 法。利用k b m 法不但可以分析稳定的周期 振动也可以研究瞬间的振动。陈树辉u 0 6 1 ( 1 9 9 0 ) 举了几个k b m 法的应用例子，而 近几年，y a n g l 3 2 1 ( 1 9 9 5 ) f 立用k b m 法分析了机翼颤振的极限环问题，z h o u 和 t z o u 1 3 3 1 ( 2 0 0 0 ) 通过k b m 分析了非线性压电的薄圆形壳的主动控制，孟光1 3 4 】 ( 2 0 0 2 ) 利用它来分析延时反馈振荡器在弱正弦外激下的强制振动。 1 2 3 等效线性化法 在前面我们介绍了两大类研究非线性振动的方法，而另一类的方法是等效线 性化法。在非线性振动系统中的一次近似解也具有简谐振动的形式，因此很自然 就提出了用一等效的线性微分方程来代替非线性系统的微分方程，使它所得到的 解与非线性微分方程相同，这就是等效线性化法的基本思想。等效线性化法的本 质与平均法是一样的，可以得到相同的一次近似结果，但等效线性化法的物理概 念比较简单易于理解。f 褚亦清1 3 5 1 1 9 9 6 ) 1 3 国内外学者研究轴向运动体系非线性振动多数采用的方法 上一节我们介绍了分析非线性振动具有周期解的些基本方法。而在研究轴 8 苎! 皇! ! 童 - _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 向运动体系非线性振动中，有许多问题值得去关注。p e l l i c a n o t 3 6 ( 2 0 0 0 ) 在这方面 作了一个小结，这里面的众多问题都是在恒定的轴向运动速度和恒定的轴向张力 下研究的。w i c k e r t 和m o t e l 9 1 ( 1 9 9 0 ) 利用特征函数的方法研究轴向运动体系的横 向非线性振动，他们还利用了g r e e n 函数的方法研究在轴向运动带上具有周期移 动的物体的横向非线性振动。w i c k e r t t l 3 7 ( 1 9 9 2 ) 1 立用k b m 法分析了轴向运动梁的 横向振动及其分叉。c h a k r a b o r t y 等m ，1 3 9 1 ( 1 9 9 9 ) 通过非线性的复模态考查了运动 梁的自由和强迫响应。p e l l i c a n o t 6 l ( 2 0 0 0 ) 利用高阶g a l e r k i n 过程截断方程研究运 动梁的动态响应。a i j a w i 等【m o l ( 1 9 9 5 f l i _ 开究了无定常张力的作用、内部跨度的耦 合、轴向速度对自由振动固有模态的限制等是通过摄动和g a l e r k i n 方法来实现 的。c h e n 1 40 1 ( 1 9 9 7 ) 研究了在静载荷的作用下运动带的固有频率和稳定性，其中 参数包含了干摩擦、惯性量、阻尼和刚度。r i e d e 和t a r t l l 4 2 1 ( 2 0 0 0 ) 应用多尺度法 考查了运动粱的内部共振。而在许多文献中，考虑了轴向速度或轴向张力是时间 的函数下的轴向运动体系的动态特性。p a k d e m i f l i 3 l 等( 1 9 9 4 ) 应用f l o q u e t 理论来 分析轴向速度为正弦函数的运动梁的稳定性，他们【1 ( 1 9 9 7 ) 还利用多尺度法分 析了轴向运动为加速度的主参量共振和联合共振问题。m o c k e n s t u r m 等 5 1 ( 1 9 9 6 ) 应用g a l e r k i n 过程和k b m 的摄动方法参数激励下的稳定性和极限环。z h a n g 和 z u 1 4 6 , 1 4 7 1 ( 1 9 9 9 ) 1 立f f j 多尺度法分析了轴向运动梁在参数激励下的非线性振动。 s u w e k e n 和v a nh o r s s e n “8 】( 2 0 0 3 ) 利用两个时间尺度的摄动方法近似得到了在低 速和速度变化下的运动带振动的解。6 z 和p a k d e m i r l i 1 4 9 1 ( 1 9 9 9 ) ，6 z 【1 5 0 1 ( 2 0 0 1 1 也 是应用多尺度法研究了速度变化下的运动带的振动。f u n g 和c h a n g t s t l ( 2 0 0 1 ) 和j 用有限差分方法得出了边界条件变化下的数值结果。r a v i n d r a 和z h u h 2 1 ( 1 9 9 8 ) 在超临界区域里研究了轴向加速运动的低尺度的混沌响应。m o o n 和 w i c k e r t i s 3 ( 1 9 9 7 ) 完成了对滑轮偏心率影响下运动带的理论与实验分析。 在一些文献中，广泛采用g a l e r k i n 方法来离散非线性的偏微分方程及其边界 条件，这里要注意的是当采用高阶g a l e r k i n 截断时会产生大量的未知位移的展开 项。在a i - j a w i t l 4 0 1 ( 1 9 9 5 ) 考虑到上下两个跨度的轴向运动梁的局部非线性振动时 采用了g a l e r k i n 方法，其计算量是十分庞大的。特别是当自由度超过1 0 0 个时 ( l a k s h m i k u m a r a n 和w i c k e r t ”j ，1 9 9 6 ) ，离散过程只能采用特征函数。在位移的 展开项里利用特征函数离散在精确和收敛性方面通常是一个很好的选择，然而对 9 第1 章引言 于轴向运动体系来说，特征函数是比较复杂而且依赖于速度，此外，在如果有分 叉，那么在分叉之后特征函数则要依赖于平衡位置的考虑。m o o n 和 w i c k e r t 1 5 3 1 ( 1 9 9 7 ) 在石开究边界位移导致轴向运动带非线性受迫振动时，直接对系 统的运动的偏微分方程应用平均法，导出可解性条件和平均化方程，将解析法得 到的振幅与轴向速度的关系与实验结果及基于一阶g a l e r k i n 截断所得到的数值 结果进行比较，三者基本吻合。所以在轴向运动体系里一般采用的是g a l e r k i n 方法。 在研究轴向运动体系的非线性振动里会存在着响应的内部共振问题。内部共 振是非线性振动的特有现象之一，它可能发生的条件是多个固有频率成比例或接 近成比例所以对于轴向运动体系来说，它只是在一定的张力和传输速度下出现 的。而当这种条件存在时，多个模态之间的相互作用就很明显( n a y f e h 【6 9 1 ，1 9 7 9 ) 。 l a u ，c h e u n g 和w u i s 3 1 ( 1 9 8 4 ) 利用i h b 法去研究薄圆盘的内部共振问题，i u 和