（基础数学专业论文）2赋范空间的若干凸性.pdf

摘要 摘要 本文总结了2 赋范空间的相关几何性质，得到在严格凸意义下b 最佳逼近点的 唯一性，将平的b a n a c h 空间推广到2 赋范空间给出了代数平和2 范数平的概念， 得到了2 赋范空间的平性和赋范空间的平性之间的关系，最后得到拟2 赋范空间相 关的几何性质。 关键词：2 赋范空间；严格2 凸；代数平：2 范数平 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ep r e s e n tas u r v e yo nt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so f2 一n o r m e ds p a c e s ， a n ds h o wt h a ti ns t r i c tc o n v e x2 - n o r m e ds p a c e ss e to fb b e s ta p p r o x i m a t i o no fxi nwi sa s i n g l e - p o i n t ，a n dg e n e r a l i z et h ee v e nb a n a c hs p a c e st oa l g e b r a i ce v e na n d2 - n o r me v e ni n 2 - n o r m e ds p a c e s f i n a l l y ，w es t u d ys o m ep r o p e r t i e so f q u a s i2 - n o r m e ds p a c e s k e yw o r d s ：2 - n o r m e ds p a c e s ；s t r i c t l y2 - c o n v e x ；a l g e b r a i ce v e n ；2 - n o r m e de v e n i i i 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：多炙拷 学位论文使用授权声明 f r r 遇e t 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。 学位论文作者签名： 多欠劈 导师签名： 辱忉 日期：砷年r 月彭日日期：2 d c ) i 年j 月乙7 日 l 1 第l 章绪论 1 1综述 第1 章绪论 本章将系统介绍2 赋范空间有关的基本几何性质，2 赋范空间的定义是 s g a h l e r 在1 9 6 5 年引入的，证明了如果x 是赋范空间，则在x 上一定可以定义等 价的2 范数，使之成为2 赋范空间。但2 一赋范空间x 就不一定存在等价的范数，使 之成为赋范空间，在此基础上，a w h i t e 和r e e h r e t 等进一步研究了2 赋范空间 和2 - b a n a c h 空间。c r d i m i n n i e ，s g a h l e r 和a w h i t e 引进严格凸的和严格2 凸的 概念并得到很好的结果，特别是关于2 赋范空间的严格2 凸性的有关性质，以及2 赋范空间的严格凸和严格2 凸之间的关系。 1 22 赋范空间 2 - 赋范空间是一类很重要的空间，先叫顾2 赋范空间的定义。f 回的主要概念 和定理主要来自【1 】，【2 】，【3 】，【4 】，【5 】，【6 】，【7 】。 定义1 2 i 设x 是维数大于i 的实的线性空间，如果定义了一个在空间x x x 上的 函数1 1 ，| i ：x x x 专r ，并且满足： ( 1 ) i x , y l l _ o ，等号成立当且仅当x ，y 是线性相关； ( 2 ) i i x , y n - - i l y ，x l i ； ( 3 ) 对任意的实数a 有忙x ，y l l - - i a l l l x ，y l l ； ( 4 ) l i x + y ，z l l - l l x ，y l l + l l y ，z 1 1 则称i i ，i l 为2 一范数，( x ，| j ，1 ) 为2 一赋范空间。 定理1 2 2 在上面关于2 赋范空间的定义中，可把条件( 4 ) 改为： 卜z ，+ y l l - l l x ，y l l + l l y ，z l l + l l z ，z 8 。 定理1 2 3 对于任意的线性2 赋范空i e ( x ，”，0 ) ，定义在空间x x x x x 上的函 数6 ( x ，y ，z ) - i i x - z ，y - z l l 是一个2 一度量。 第1 章绪论 因此可以知道在任意的2 赋范空间( x ，1 1 ，l j ) 可以看作是个赋予2 一度量的2 一度量 空间。 定理1 2 3 任意的两个点口，6 x 和任意的y k ，确- 1 1 0 ，b l l = l l 口，b + t a 1 。 定理1 2 4 口= a ，岛，b = z f l j e 。，有怯b l l。反一口：展i f | q ，乞0 研= 2 ) ，且 f 毒ll = l l a , 6 l l = 睁i it = l 晓肛a 眦，喜( a ：肛叫皮一卜2 ) 。 i = lu 定理1 2 5 任意的维数大于1 的线性2 赋范空间( x ，”，1 1 ) 是一个局部凸的拓扑向 量空间。 定理1 2 6 若i i 1 l 是最上的个范数，那么忙少0 = 忙 少) 8 可以在x 上定义一个 2 - 范数。( b ( x x y ) 是空间x x x 上的双线性型) 定理1 2 7 如果x 上的所有双线性型都是简易的，也就是说如果x 的维数小于或 等于3 ，那么对任意x 上的一个2 一范数1 1 ，i | ，都有一个毋上的范数l i i l 使得 忙y i i = b ( x y ) 8 对任意的z ，y x 都成立。 下面是2 赋范空间的的两个性质 定义1 2 8a , b 分别是2 度量空i 日- j ( x ，艿) ，( y ，6 ) 的子空间，如果它们之间存在一 个一一对应的映射，就称2 - 距离为2 一收敛的，记为a ：b 。 下面我们定义一个函数m ( x ，y ) ，对于2 一度量空间x 的任意两个点x , y ，令m ( x ，y ) 表 示一个集聊( x ，y ) = z ：艿( 工，y ，z ) = o 且6 ( 墨j ，) = 2 6 ( 比x ，z ) = 2 a ( w , z ，少) ，wex 。 由定义显然有x m ( x ，x ) 。我们用历( x ，y ) 表示m ( x ，y ) 的任意一个元素。 定义1 2 9 一个2 度量空间具有u 性质，如果对于任意墨y x 和口，b ，c ，d x ， m ( x ，y ) 非空，并且存在一个代表性的元素m ( ，) ，使得 m ( m ( 口，6 ) ，m ( c ，d ) ) = m ( 聊( 口，c ) ，m + ( 6 ，d ) ) 。即对任意的口，b ，c ，d x 和 e m ( a ，6 ) ，厂m ( c ，d ) ，g m ( e ，厂) 存在h m ( a ，c ) ，i m ( b ，d ) 和g m ( h ，f ) 。 由g p m u r p h y ，首先定义函数( 口，6 ) = x x ：6 ( 口，b ，x ) = o ，口，6 彳 ，令x 7 是一个 2 第1 章绪论 欧几里德2 度量空间，在c a r t e s i a n 平面，赋以2 一度量么( ，) 其定义如下 彳( ( 毒。，考：) ，( 1 7 。，7 7 ：) ，( 。，：) ) = i ( 毛一f 。) ( 7 7 ：一f ：) 一( 考：f 2 ) 研。一 ，) i ，三是l 在x 中的类 似体。 定义1 2 1 02 - 度量空间具有l 性质，如果对于口，b ，qex ，8 ( a ，b ，q ) 0 ，且 口，b ，q 7 x 7 ，a ( a 7 ，b ，g ) o ， q ul ( a ，b ) ： q ul ( a 7 ，b ) ，口，6 7 ，q 是欧几里德平面 上的点，且这个平面上的2 度量是欧几里德的三角形面积。 定理1 2 1 1 对于任意的线性2 一赋范空n f x ，i i ，i i ) 中的两个元素x ，y ，m ( x , y ) 由 单点集组成。 证明：令x ，y x ，铂，r t l 2 m ( x ，y ) ，若x = yn m ( x ，y ) - - x 。若x y ，则 6 ( x ，l l ，y ) = 6 ( x ，m 2 ，y ) = o ，故i l y - x ，7 ，气一x 0 = l l y - x ，m ：- x l l = 0 ，因此y x ，- - x m 2 一x 线性无关，事实上对于任意的w x ， 昙6 ( w ，x ，y ) = 6 ( 嵋x ，确) = 6 ( 嵋工，) = 6 ( 嵋y ，铂) = 6 ( 嵋y ，) ，可以得到，分别是 x ，y 的代数中点，故确= m 2 。 定理1 2 1 2 线性2 赋范空间( x ，”，0 ) 具有l 性质。 证明：由定理1 2 3 只需说明任意的x ，y x ，代数线是由满足性质l 的u 骂”决定 的，因此只需说明对于任意给定的x ，y ，q x ，艿( z ，y ，q ) 0 ，a ，b ，g 在欧几里德平 面上存在一个三倍数，使得 g ) u l ( a ，b ) 和 g u l ( a ，b ) 之间存在一个2 一全等。 首先对于给定的a ( x ，少，q ) ，可以找到欧几里德平面三个点口7 ，b ，g ，使得 a ( a 7 ，b ，q 7 ) = 艿( x ，y ，q ) 。欧几里德平面是一个线性空间，任意包含x 7 ，少7 的可以表示为 y x + ( i 一7 ) y ，这些点也是由x ，y 决定的代数线l 仪y ) ，这样就得到这两个集合之 间的一个2 收敛。 首先对于单位区间上的，令z = r x + ( 1 - 7 ) y ，有2 范数的性质可得： 6 ( g ，x ，z ) = 归( 留，x ，少) = 声( w ，y ，y ) = r a ( q ，x ，少) = 彳( g ，x ，z ) 和 第1 章绪论 5 ( q ，z ，y ) = ( 1 一y ) 6 ( q ，x ，y ) = ( 1 一y ) 2 ( 1 一y ) a ( q ，x ，y ) = 么( g7 ，x ，z ) 。 类似的结论可以拓展到当y 不在单位区间的时候，有 q u l ( x ，y ) - ： q u l ( x ，y ) 。 定理1 2 1 3 线性2 一赋范空间( x ，i j ，1 1 ) 具有u 性质。 证明：由定理2 7 1 只需说明代数中点满足m + ( x ，y ) 的条件，对任意的口，b ，c ，d x 有 朋( 朋。( 口，6 ) ，聊( c ，d ) ) 2 圭 三( 口+ 6 ) + 三( c + d ) = l ( a + b + c + d ) = 三 圭( 口+ c ) + 三( 6 + d ) = 脚+ ( m 。( 口，c ) ，m ( 6 ，d ) ) 。 下面引入非阿基米德2 赋范空间的概念， 定义1 2 1 4 令k 是一个非零值域，x 是一个在k z 的l e ti i j | 是x 上的一个非负的函 数满足以下条件： ( 1 ) i l a l l = o 当且仅当a = 0 ； ( 2 ) j j a 口j j = 川j j 口i j 对任意的a k ； ( 3 ) i l a + b l l - m a x l a l | ，1 1 6 怫对任意的口，b x 则称i 为非阿基米德范数，( x ，i ) 称为非阿基米德赋范空间。 如果( 1 ) 中的f 是跌落的，f 1 i l 称为非阿基米德半范数。 定理1 2 1 5 一个线性2 一赋范空间( x ，”，1 1 ) 是非阿基米德的当且仅当对任意的 a , b ，c xc - i l a ，6 + c 0 m a ) 【l 口，b l l ，0 口，c l i ) 。 证明：( 1 ) 假设慨6 + c 0 m a x 1 1 日，圳，i l a ，c i i ) 对任意的口，b ，c x ，都成立。那么和2 范 数相关的那个2 度量6 满足： 6 ( a ，b ，c ) = 8 ( 口一d ) 一( c d ) ，( 6 一d ) 一( c d ) 8 _ = m a x h0 口，b l l ，l a l l l a ，c l l ，l a l l l b ，c 1 1 ) 又由于a k 且a 0 有 l a ，b + d l - m a x ，b l l ，恢c l l ，l a l l l b ，c l l ，i z l l l c ，b - a l l ，l a l l l c ，口1 1 ) 由于a 是任意的，令口专。得到| i 口，b + c i l m a ) 【硼以b 1 ) ，i l a ，c 1 1 ) ，证毕。 推论1 2 1 6 非阿基米德的数域k 的值也是非阿基米德的。 定理1 2 1 7一个线性2 赋范空间( x ，”，l i ) 是非阿基米德的当且仅当对任意 a , b ，c e x ，有慨b l l l l a ，e l l ，i l a ，b + c l l = l l a ，c 8 。 证明：l 若对任意的口，b ，c e x ，有l l 口，b l i l l a ，c l l ，i l a ，b + c l l = l l a ，c 1 1 若i l 口，c l i l l a ，6 + c 0 那么 i a ，b + c - d l l = l l a ，c 0 = l l a ，b + c l l 且l l a ，b l i = l l a ，b + c - c l l = l l a ，b + c i j ， 即有l l 口，6 + c 0 m a ) ( l i 口，b l l ，慨c 1 1 ) ，因此空间( x ，”，l i ) 是非阿基米德的。 2 若空间( x ，”，0 ) 是非阿基米德的，那么对于口，b ，c e x ，i l a ，6 l i i i 口，c 0 有 l a ，b + c l l - m a x ，b l l ，i l a ，c u ) = l l a ，c l l m x 卸口，b + c l l ，8 口，o i l ) = l l a ，b + c i l 因此可得慨c l l = 1 1 0 ，b + c i j ，证毕。 定义1 2 1 8x 是一个定义在数域k 上线性空间，t 是x 上的一个向量拓扑，x 的 一个子空间称为是局部凸的如果存在一个凸的0 的邻域。 定理1 2 1 9 非阿基米德线性2 赋范空间是一个局部凸的拓扑向量空间。 推论1 2 2 0 非阿基米德线性2 赋范空间是一致化的和完全正则的。 定理1 2 2 1 ( x ，| | ，i i ) 是一个非阿基米德线性2 赋范空间，那么此空间具有k 性 s 第l 章绪论 质当且仅当对任意一对数口，6 x 且恢b l i 0 ，非阿基米德2 一范数i | ，i i 口 6 和范数 i i ，l f 生成同样的拓扑。 证明：令( x ，”1 1 ) 是一个维数大于1 的在k 上的非阿基米德范数空间。若k 是球完 备的，也有类似的h a h n - b a n a c h 定理成立，对任意的定义在x 上的连续线性泛函f 都可以延拓到x 上的一个连续的映射厂，并且和有相同的范数。故定义以下范数： 川1 _ 。品皆，对任意的一。，存在一个连续线性映射厂： x - - k ，( 口) - - m + i l a l l 且o l l s l l l 。实际上t 是由口，p 生成x 的子空间，j l l 是k 的元素，且o 静引从删k 的连续线性映射可以写成厂碘于是有： 口) | - 净i i = 珈口f f ，酬外- 咿u _ 。j l 1 1 f - ( z , 了) = 1 1 肌i i iii i 。令厂 的 延拓且l l i l l = = 0 + 0 ，：i ff ( 口) = ：0 厂0 0 口i 且o ! ；0 厂l l ! ；1 。 定理1 2 2 2k 是一个球完备非平凡的1 非阿基米德的数域，( x ，”1 1 ) 是一个k 上非 阿基米德2 赋范空间维数大于i ，令f 是x 到k 上的所有连续线性映射的集合，范 数小于或等于1 ，存在非阿基米德2 一范数口，b 线性无关，l i ，l i 和i i j i 生成的相比， 空间c a ，| | | i ) 有k 性质和s 性质，并且2 一范数是以下定义的 lc i ，6 0 = s u pi 厂( 口) g ( 6 ) 一g ( 口) 厂( 6 ) i 。 证明：对任意的x 上的两点口，6 且o 恢6 1 1 - 2 1 1 1 1 i l b l l + 故慨b l i “o ，o o ) ，若口，6 线性相 关则慨b l l = o ，现在假设怯b l l = o ，即有i 厂( 口) g ( 6 ) 一g ( 口) 厂( 6 ) = o 对任意的厂，g f ， 只需要说明口，6 线性无关。 aexr a o ，由f 知厂( 口) = l l s i i i a l l o 且存在 y k ，厂( 6 + y 口) = 0 ，有 i f ( a ) g ( b + r a ) l = l ( 口) g ( 6 + 7 ，口) 一g ( 口) 厂( 6 + y 口) i = i ( 口) g ( 6 ) 一g ( 口) 厂( 6 ) l = o 得至! j 第1 章绪论 对任意的g f ，g ( b + r a ) = o ，即得6 + y 口= 0 ，故口，6 线性无关。所以”，0 有非阿 基米德2 范数的性质1 ，并且还有性质2 ，3 ，任意的f ，g f 有 i 厂( 口) g ( 6 + c ) 一g ( 口) 厂( 6 + c ) l = l ( 厂( 口) g ( 6 ) 一g ( 口) 厂( 6 ) ) 一( 厂( 口) g ( c ) 一g ( 口) 厂( c ) ) i _ m a x i f ( a ) g ( b ) 一g ( 口) 厂( 6 ) i ，i ( 口) g ( c ) 一g ( 口) 厂( c ) i ) 即有慨b + c l l - 0, 即q 专口然后运用不等式a ( a ，b ，c ) 2 5 ( 口，b ) 6 ( 口，c ) ，r v j t a ，q ，a 2 x 和口x 有 ! i m 6 ( 口，口，q ) = 0 ，由s g a l e r 得6 ，6 生成相同的拓字b r ( x ，1 1 ，0 ) 具有k 性质，不 难得到任意的非阿基米德2 赋范空间上面的结论都成立，由ia ，6 l i 2 1 1 6 i f 和( x ， 1 1 ，| 1 ) 上的拓扑由6 ，6 。同时生成，故( x ，”，0 ) 具有s 性质。 第1 章绪论 1 32 - b a n a n c h 空间有关性质 在2 - 赋范空间的基础上，a w m t e 得到一些2 - b a n a n c h 空i 司的性质。f 回就来 介绍2 - b a n a n c h 空间的有关内容。 下面的主要概念和定理来自【1 】， 2 1 ， 3 】，【4 】，【5 】。 定义1 3 12 赋范空间( x ，”，1 1 ) 当中的柯西列，一个线性2 赋范空f 日q ( x ，”，j i ) 的序列 ) 称为柯西列如果存在两点z , y x ，且z ，y 线性无关，有 熙k 一，y l l = 0 ，想0 矗一，z 0 = o 。 下面有一个定理 定理1 3 2 j 1 ，j i ) 是一个线性2 赋范空间，那么有以下结论成立： ( 1 ) 若 ) 是x 中的一个柯西列，那么对于相应的口，b ，0 ，口| l ，l i 矗，6 l l 都是r 中柯西列。 ( 2 ) 若 矗 ， 以 都是x 上的柯西列，对于相应的口，b ，和 口。 ， 口。) ， 矗+ 只) 都是x 中的柯西列。 证明：1 由2 - 赋范空间的性质( 4 ) ，可得0 矗，a l l ：l l ( x 一) + ，a l l - i k x 一靠) ，a l l + b ，a l i ， 即有0 ，, l l - i l x o ，口0 0 ( 一) ，口0 ，同样的可得i i ，1 l - i i x 。，a l i 2 ，矗一x ，矗_ y ，刀jo o 那么x = y ； 下面就几个具体的例子。 例1 3 6 欧几里德三维线性空间，令x = 口，+ 彩+ 础，y = 讲+ + 弦，定义： n x ，y n = l x y i = 口6 s 三三i = ( b f - c e ) i + ( c a - a f ) j + ( a e - d b ) k = ( b f - c e ) 2 + ( c d - a f ) 2 + ( 口p - a b ) 2 _ ，那么( e 3 ，1 1 ，1 1 ) 是2 - b a n a c h 空间。 例1 3 7 令只为所有次数不超过n 的在区间 o ，l 】上的实多项式的集合，用通常的方 法定义向量的加法和乘法，故只是r 上的线性空间。令 葺) 三为区间【o ，1 】上2 n + 1 个任意不同的固定的点。令厂，g c p , , ，定义0 厂，g l l = 0 如t ： f o ，若f ，g 线性相关 | f = 加班( 薯) l ，若f ，g 线性无关那么( 聃，| i 是一他b 锄c h 空间。 例1 3 8 令q 3 是3 维欧几里德线性空间，并且所有的系数都是有理数，在有理数域 定理1 3 9 空间( x ，j 1 ，j i ) 所在的数域是完备的且是维数为2 的线性2 赋范空间， 那么( x ，f f ，l i ) 是2 - b a n a c h 空间。 证明：令( x ，| i ，l i ) 是一个线性2 - 赋范空间，其基为 e 。，e 。 ， ) 是x 上的柯西列， 那么存在b 中线性无关的向量口，b ，。l ，i 。m 。8 一，口8 = o ，办m 曲0 一，b l l = 0 ，令 m h ” ”m - _ ” 2x 1 e l + x n 2 e 2 ，a2 口l e l + a 2 e 2 ，b = 6 i e i + b 2 e 2 ， 由前面的定理可得： u x 一，口8 = 8 ( 而一) e - + 瓴：一：) e 。，q e l + 呸乞8 = i 呸( 。一。) 一q ( 毛：一：) | | i e 。，e 。i l ，同 理可得：0 一靠，b l l = l b = ( x 。一。) 一岛( 矗：一：) l i e 。，e ：l i 。由于e le ：线性无关，故 i l e , , e 2 f l o ，即有l i m 。l a 2 ( x , ，一。) 一口l ( 而：一靠：) l = o 且有： 舢l i m i b 2 ( x 。，一j ) 一6 l ( 屹2 一砀2 ) l = o ，因此有： 粤娶i 吃6 2 ( 矗t 一) 一口i 岛( 毛z z ) i = o 和点默i - a z b z ( x 。一。) 一a 2 b 。( x n ：一：) i _ 0 ，即 得：m l i m ，。( a z b ，一口】6 2 ) ( 矗2 一2 ) = o ，昙2 鲁，故纛雯( ：一：) = o ， ：) 是柯西列， 同理可得 吒 是柯西列，既然 ： ， 。 都是实的柯西列存在实数乃，y 2 ，使得 。l i m 。a ：12 乃，触x 22 兄，令x = m e l + 儿e 2 ，只需证- - + x ，z o 。4 拿c = q e l + 乞e 2 z ， 即有 熙0 一x ，训= 。l i m 。i i ( x 一片) e - + ( 吃：一) e z ，c l e 。+ 乞e ：0 = ! 鲤j 乞( 。一弘) 一c l ( 毛：一儿) l l j e 。，e ：0 ：0 ，即 有矗- - ) x ，刀哼，( x ，i f ，1 1 ) 是一个2 - b a n a c h 空间。 定理l 3 1 0 ( x ，i i ，。i i ) 是线性2 - 赋范空间，如果熙0 吒一，训= o 那么对于任意 的x x ，数列 | i 一x ，训 是一个收敛数列。 定理1 3 1 1 1n果limix一x，4=0，那么舢lira。0，all-uttt,n-ao, x ，d i i o 卅” 1 4 有界线性2 泛函 下面的主要概念和定理来自【1 】，【2 】， 3 1 ，【4 】，【6 】。 第1 章绪论 首先给出两个定义： 定义1 4 1 2 泛函是一个定义在a x c 上的实值映射，彳，c 分别是线性2 赋范空间 的线性流形。 定义1 4 2 令f 是一个定义在a x c 上2 范数，f 称为线性的2 泛函如果满足： ( 1 ) f ( a + c ，6 + d ) = f ( a ，6 ) + f ( a ，d ) + f ( c ，6 ) + ，( c ，d ) ， ( 2 ) f ( a a ，f i b ) = a 卢f ( a ，b ) ，a ，卢为所在数域的两个数 f 是一个定义域为d ( 用，称f 是有界的如果存在一个实数 k o 使得f f ( 口，6 ) i - k l l a ，b l i ，对任意的f ( a ，6 ) ed ( f ) 。 下面具体看几个例子： 例1 4 3 ( x ，i i ，1 1 ) 是一个线性的2 一赋范空间，其基为 e i , e ：) ，定义 f ( a ，6 ) = 口1 皮- a 2 屈，j t a = a l e l + 0 2 e 2 ，b = 展e l + 卢2 乞，令c = p a e l + i t 2 e 2 ，d = 4 e 1 + 6 2 e 2 ，? ? 于是有 f ( a + c ，b + d ) = ( a t + “) ( p 2 + 8 0 一( 口2 + j l l 2 ) ( 展+ 磊) = 口1 扇+ o r l 龟+ “色+ 地疋一a 2 届一心届一a 2 嘎一l a 2 6 1 = ( a l 卢2 一0 1 2 卢1 ) + ( 口1 6 2 - a 2 磊) + ( “皮一心j e l l ) + ( “疋一心磊) = f ( a ，6 ) + ，( 口，d ) + f ( c ，6 ) + f ( c ，d ) f ( a a ，p 6 ) = a a l 即2 - a o t 2 鹏= 筇晚仍- a 2 届) = 叩f ( a ，b ) ， 印( 酬斗。皮飞仆黼，故f 是一个有界的线性2 - 泛函。 例1 4 4 令( e 3 ，i i ，0 ) 是上节给的例子，是一个2 - b a n a e h 空间，定义 y ( x ，j ，) = ( x 陟) ，( i ) 是向量的点乘积，故f 是一个无界的线性2 一泛函。 如果定义g ( x ，y ) = q x l 2l y 2 _ i ( x i 少) 1 2 ) i ，h 表示口的长度，q 口1 2 h i 2 - i ( 口1 6 ) 1 2 ) = l 口6 1 2 ， 故g 是一个有界的线性2 泛函。 定理1 4 5 如果f 是一个有界的线性2 泛函，a ，b 是线性相关的两个向量， 第1 章绪论 ( a ，b ) o ( f ) 那么f ( a ，b ) = 0 。 定理1 4 6如果f 是一个定义域为o ( f ) 的有界的线性2 一泛函，有 = s u p 圳1 f 训i i - 1 ，( x ，y ) d ( f ) = s u p 错i f f f i 0 ，( x ，y ) d ( f ) ) 证明：令彳= s u p i f ( x ，y ) i ：l l x ，y l l = 1 ，( x ，y ) d ( f ) ) ，有l f ( x ，j ，) i 0 使得当 i a - - c ，b l l 6 ，忙b - d 1 6 或者枷一f ，d 0 6 ，| | 口，b - d 1 6 时有i f ( a ，b ) - f ( c ，d ) l s ，f 是连续的当且仅当在其定义域的任意一点都是连续的。 定理1 4 82 范数f i ，i | 是一个连续的2 - 泛函。 证明：由2 范数的性质有： i l 口，b l l = l l ( a c ) + c ，6 8 口一岛6 0 + 8 c ，6 0 = 0 口一g 6 8 + 8 c ，o - d ) + d 1 - l l a - c ，b l l + ，b - d h + ，d 0 即 | l 口，b l l - i i c ，d l i - - - i l a - c ，b l l + l l c ，b - d i ， 另一方面： 0 c ，d 0 = l i e ，( d 一6 ) + 6 | is c ，d 一6 0 + 8 c ，b l l = l i e ，d b l l + 1 ( c - a ) + a ，b l l - - l i e ，d b l l + l l ( c 一口) ，b l l + l l a ，6 0 即 0 c ，d l l l l 口，b l l - i i c ，d b l l + l l ( c 一口) ，b 0 ，故有：慨b l l - i i c ， 彳l l l - - - i l a - c ，o i l + l i e ，6 一d 1 1 故可得2 范数1 1 ，| i 是一个连续的2 泛函。 第1 章绪论 定理1 4 9 如果一个线性2 泛函在点( o ，0 ) 处连续，那么在它的整个定义域d ( f ) 上 都连续。 定理1 4 1 0 一个线性2 泛函连续当且仅当它有界。 定义1 4 1 1 ( ) ( ，l | ，0 ) 是一个2 - b a n a c h 空间，x 。是定义在x x _ l z l 拘有界线性2 一 泛函，令f ，g x ，如果满足以下条件： ( 1 )如果f ( a ，6 ) = g ( 口，6 ) ，有f = g ； ( 2 )( f + g ) ( 口，b ) = f ( a ，6 ) + g ( 口，b ) ； ( 3 ) ( 口f ) ( 口，6 ) = a f ( a ，6 ) ； 对任意的( 口，b ) x x x 都成立。 定理1 4 1 2 ( x ，l i 1 i ) 是一个b a n a c h 空间。 证明：由f ，g x 可得：( f + g ) ( 口+ g 6 + d ) = f ( 口+ c ，6 + d ) + g ( 口+ c ，b + d ) = f ( a ，6 ) + f ( 口，d ) + f ( c ，6 ) + f ( c ，d ) + g ( 口，6 ) + g ( 口，d ) + g ( c ，6 ) + g ，d ) = ( f ( 口，6 ) + g ( 口，6 ) ) + ( f ( 口，d ) + g ( 口，d ) ) + ( f ( c ，6 ) + g ( c ，6 ) ) + ( f ( c ，d ) + g ( c ，d ) ) = ( f + g ) ( 口，6 ) + ( f + g ) ( 口，d ) + ( f + g ) ( c ，6 ) + ( f + g ) ( c ，d ) ( f + g ) ( a a ，, e b ) = f ( a a ，f i b ) + g ( a a ，卢6 ) = 筇f ( a ，6 ) + a f l g ( a ，6 ) = a f l ( f ( a ，6 ) + g ( 口，6 ”= 卵( f + g ) ( 口，6 ) 。 还有i f ( 口，6 ) + g ( 口，6 ) j i f ( 口，6 ) i + i g ( 口，6 ) i - l l f i i i l a ，b l i + h u a ，b u = ( 1 1 e l l + i l a l l ) a ，b l l ， 因此有：f + g e x ，0 f + g l i 冬i i f i i + i i g i l ，同理可得a f x ，故x 是一个线性空间，i i - 0 定义了一个x 上的范数有： ( 1 )若：l l f i l - o 则f = o 且若f = o ，i i f i l = o ； ( 2 ) l l a f i l - - i a i i i f i i ； ( 3 )i i f + g i i i f i + i l a l i ； 第i 章绪论 下证其完备性，假设 c ) 是一个柯西列，有l i m0 e c 9 = 0 ， 由 7 册n 一 一 i c ( 口，6 ) 一己( 口，6 ) i - 1 1 e 一| i i i 口，6 l i ，对于所有的( 口，6 ) b b 实数列 e ( 口，6 ) ) 是一个 柯西列，定义f ( a ，6 ) = l i r ae ( 口，b ) ，有： 小n - o o f ( a 4 - c ，b + d ) = l i m e ( 口+ c ，b + d ) = l i m i e ( 口，b ) + e 0 ，d ) + e ( c ，6 ) + e ( c ，d ) 】 打 ” 一 = l i m f n ( a ，6 ) + i i e c ( 口，d ) + l i m f n ( c ，6 ) + l i m e ( c ，d ) 栉 一 厅 n = f ( a ，b ) + f ( a ，d ) + f ( c ，6 ) + f ( c ，d ) f ( a a ，3 6 ) = l i mf n ( a a ，f i b ) = a 3l i m f n ( a ，b ) = 邮f ( a ，b ) 故f 是一个线性2 泛函。还有 力- g on l i i f i i - i i f m f l 0 ，存在一个正整数n 使得0 e - f i l n ，有 i e ( 口，6 ) 一f m ( a ，b ) l - l l f 一f m l l l l 2 ，b l l - n ，又f ( 口，6 ) = 。l i 。m 。e ( 口，6 ) ，存在一 个m 使得l 死( 口，6 ) 一f ( a ，b ) l - , g l l a ，b l l ，因此 i e ( 口，6 ) 一f ( a ，b ) l - l f 肘( a ，b ) - f ( a ，b ) l + l f m ( a ，b ) - f ( a ，b ) l _ n 若| | 口，b l l = 0 ，f n ( a ，b ) - 0 = f ( a ，6 ) ，也有l e ( 口，b ) - f ( a ，b ) l - 2 s l l a ，b l l ，即有 0 e - f l l _ 2 e ，故( x + ，1 1 i i ) 是一个b a n a c h 空间。 定理1 4 1 3( x + ，”，l | ) 是一个2 - b a n a c h 空间且对于线性无关的向量f ，g 有 i i f ，o i l = i i f i ii i g i i 。 证明：有上面的定理不难看出x 是一个线性空间，”，i i 定义x 上的一个2 一范数， ( 1 ) 如果：1 1 f ，g 1 1 - - o ，有f = 0 或g = 0 ，f ，g 是线性相关的，i i f ，a v l l = 0 当且仅当 f = 0 或者a = 0 ； ( 2 ) 0 f ，g 0 = 0 f l l l i g 0 = i i g i l i i f 0 = i l g ，f 0 ； 第1 章绪论 ( 3 ) 0 f ，- g i l = m i - g i l = 0 f i i i a i l i g 0 = l a i i g i | i i f l i ( 4 ) 0 g + 圳i | g l i + 俐l 由以上性质可得0 f ，g + h i i = i i f i i i g + h i i = l i e ，e l i + l i e ，日0 ， 假设 c ) 是空间( x + ，1 1 i i ) 上的一个柯西列，故存在线性无关的的g , h 使得： 憋8 c 一兄，g 0 = 0 ，。l i 。m 。8 c 一巴，日0 = 0 ，可得煅0 c 一1 1 = o 。由上个定理 c ) 在空 间( x ，i ) 是收敛的，故也在( x ，| i ，0 ) 中收敛，( 彳，| i | i ) 是一个基于线性独立的 2 - b a n a c h 空间。 定理1 4 1 4 ( x ，l i ，f i ) 是一个2 - b a n a c h 空间，m 和v ( b ) 是x 上的线性流形，令f 是区间m xv ( b ) 上有界的线性2 - 泛函，那么存在x xv ( b ) 上的一个有界的线性2 - 泛 函h 使得 ( 1 ) h ( a ，a b ) = f ( a ，a b ) ，v ( a ，a b ) ( 口，a b ) ； ( 2 ) i i f u = u m i l 证明：令g x m ，n = a + f l g ：a m ，卢r ，口7 ，a 7 m ，有以下成立： f ( a ，6 ) 一f ( 口 ，6 ) = f ( 口一口”，b ) - l l f l l l l a 一口”，6 0 = l l g l l l l ( a + g ) 一( 口 + g ) ，b l l - l f l l l l a + g ，b l i + m l l a ”+ g ，b l l 即 - m l l a + g ，b l l - f ( a , o ) l l f l l l l a + g ，b l l - f ( a ，6 ) ，若口，矿m 是变化的，还有 s = 。s u